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Sur une vari6t白Iocalement apPlicable dans 1 espace prqjectif ti dimension infinie
JOy6 Kanitani
R6sum6．
Nous d6finissons d abord， d une mani△re g60m6trique， Pespace projectif 8 A dimension infinie et d6montrons qu il admet une base班＝（・4∂（i∈1）， autrement dit，
qu il existe， pour un point quelconque P de S， une sous−famille finie（Ai，… ， ノ1」）
de班telle que 1）∈（∠4fV・・…・VAJ）． Ensuite， en associant A班une famille des points d unit6， nous introduisons les coordonn6es homogさnes（xり（i∈1）du point P（ti＝0，
sauf pour un nombre fini d indices i∈1），ainsi que les coordonn6es normales au moyen desquelles nous donnons b 8 une topologie． Nous consid6rons enfin une vari6t6 diff6rentiable dont les cartes locales sont des applications topologiques dans 8． Bien que， pour un point，1es coordonn6es≠O soient de nombre fini， les nombres des coordonn6es≠O pour Ies points dans un voisinage ne sont pas born6s quelque petit qu on fasse le voisinage． LA， on rencontre quelques difficult6s， si l on veut g6n6raliser pour la dite vari6t61e vecteur tangent． L objet principal de cet article est de d6crire comment peut・on effectuer cette g6n6ralisation．
§1 Base de l espace projectif r6el ti dimension infinie
1．Consid6rons un ensemble 8（≠の）et une famille 8 de parties de 8 satisfaisant
コ コ
aUX a10meS SUIVantS：
Axiome 1． Pour deux 616ments quelconques de S， il existe une partie et une seule qui les contient et qui apPartient h 8．
Nous apPelons un 616ment de S un point， et皿e partie apPartenant b 8 une droite． Nous d6signerons par PVg la droite contenant Ies points distincts P et（2．
Axiome 2． Une droite contient au moins trois points distincts．
Axiome 3． Soient A， B， C trois points distincts， et D， E deux points distincts tels que D∈（AVB），E∈（ノ1VC）． Il existe alors au moins un point commun aux deux droites B∨C et DVE．
On d6signe par 80 une partie dont I 616ment est un point unique， et par SI une droite． Etant donn6 une partie 8ご一1（i≧1）et un point／1∈Si−1，0n d6signe par S，
1，ensemble des points P tels que P∈（AVB）（B∈8ご一1）．
Axiome 4． Pour tout S，， le compl6ment de 8 par rapport A S n est pas vide．
Partant de ces axiomes， on peut d6montrer qu une famille finie form6e deプ十1 points ind6pendants （i． e． non contenus dans un S「−1）de 8 d6termine un S「，
plus pr6cis6ment， qu il existe un S「et皿 seul qui contient ces r十1 points ind6一
pendants．
On dit qu，une famille（Pa）（α∈」）de polnts de S est libre， si toute sous−famille finie de（Pa）（α∈」）est form6e de points ind6pendants．
Soient maintenant（Pa）（α∈」）皿e famille quelconque de points de S， et U la r6union des 8「dont chacun est d6termin6 par une sous−famille finie de（Pa）（α∈」）．
On dit que Ia famille（Pa）（α∈」）θ刀gendre l ensembleひ En particulier， lorsque Ia famille（Pa）（α∈」）est libre， on l apPelle base de U・
2．Nous allons maintenant d6montrer que l ensemble S possede une base． Soinet
∈51 ensemble des parties de S， dont chacune est engendr6e par une famille libre de points de S． Il suffit de prouver que l ensemble（ら， ordonn6 par inclusion， est inductif de sorte que（らpossさde un 6161nent maximl W en vertu du th60rさme de Zorn． En effet， s il existait un point P（≡Wアde S， on obtiendrait une famille Iibre b nouveau， en adjoignant 1）Ala base deワ版 L ensemble W engendr6 par cette famille
・pParti・nt ti 9・t・n・IVsg Ul， d ・u W−Ul ， ca・W・・t m・x輌m・L C ・・t・b・u・de・
La d6monstration se r6duit ainsi b prouver que pour tout sous−ensemble⑮de g，totale皿ent ordonn6 par incclusion， la r6union V des ensembles de G appartient A（≡5． Soit F la r6union des familles libres de points de 8， d皿t chacune engengdre un ensemble de 6． Comme tout point de V appartient h un S「d6tremin6 par une sous．famille f輌nie de F，1 ensemble V est contenu dans l ense皿ble engendr6 par F．
Il suffit donc maintenant de v6rifier que la famille F est libre， c est・a・dire， que toute sous．famille finie Y de F est form6e de points ind6pendants． Or， pour tout point Pde Y， il existe皿ensemble ZP de⑮， dont la base apPartient b F et renferme P comme un 616ment． Comme l ensemble des Zp（P∈Y）est fini et totalement ordonn6 par inclusion， il admet un plus grand 616ment 17 qui contient les autres Zp（p∈y）．
La falnille finie Y est donc une partie d，une base de 17 de sorte qu elle est form6e de points ind6penants・
§2 Coordonn6es homogさnes d 皿point de 8
3． En prenant d abord， sur une droite e， trois points distincts C，0， U et en d6finissant 1 addition et la multiplication pour les points 1）（p∈e，p≠C）par rapport au systさme［C，0，（刀， on peut faire， de l ensemble de ces points p， un corps Ke o心 P十〇一＝」P， P×σ＝P． Or， il existe une apPlication qui est une co皿position d apPlications perspectives de e dans une autre droite e et qui， au systさme［C，O、
U］sur e， fait correspondre ull systさme［Cノ，0 ，し7ノ］pr6alablement donn6 sur e t．
Au moyen d 皿e telle apPlication on peut 6tablir un isomorphisme entre les deux corps Ke et Ke ． Nous supPoserons， d ore et d6jb， que tout corps Ke est isomorphe au corps R des nombres r6els． Dans ce cas，1 ensemble S「est dit l espace projectif r6el A dimensionsプ． Conform6ment h cette d6nomination， nous appelerons 8 espace Prejectif reet b dimensi・？1 infi？1｛e・
Soit班＝（Ai）（i∈1）une base de S． D apr6s le th60rさlne de Zelmero， il existe un bon ordre sur la famille d indices Z On le notera par le signe≦． Le systさme for皿6
3 par une sous．famille finie （A，，…，Aゴ） （i＜…＜」）de E｝l et par un point U，…j
∈（AIV…VAゴ）（U，…・∈a ・・一・Ai∨…VA．V…VAゴ（・・i− 」）），・e・a n・mme・n・epe，e d・
sommets Ai・…，A／et deカoilzt d π刀碗 U，…j． Ce repさre sera dit cmplet lorsqu A chaque sous・famille（As，…ノ1ε）de（、缶，…，ノ1ゴ）， s attache le point d intersection Us… ＝（AsV…VA，）∩（ノ1pV…V／1qVひ…ゴ）
comme point d unit6，0ti∫…tp…σest une permutation de i・・プ．
D aprさs cette d6finition， si Ies sous．rep△res frontiさres パ
［Ai，…， Ar，…，Aゴ；u，…？・・ゴ〕 （κ：ゴ→戊 ），
o立
〔ノi…？…ゴ＝α．∩（A．VU，…ゴ）
sont tous complets， il en est de meme pour le repさre ［Ai，…， Aブ∫ひ…ゴ］．
4．Noue allons maintenant d6montrer que nous pouvons associer， h la base班， une famille U＝（σ￡）（t∈T）de points de 8 de maniさre A avoir un systさme de repさres complets par attacher， h chaque sous．famille fillie de Q｛， un et un seul point de U．
Lorsqu，une telle correspondance se trouve entre chaque sous．famille finie de （A，）
（i∈［c，β］⊂1）et un point de la sous−famille homologue de U， oti e est le plus petit 616ment de I， nous dirons que la relation R trt i est、・6rifi6e． Il suffit maintenant de P「ouver que
（β∈1et∀，（（γ∈1・etγ＜β）⇒Rtr｝ ））⇒R｛β｝．
En supPosant que R lγ｝est vrai pourγ∈［c，β［， on prend comme pointひ（，，s）
un point quelconque de la droite ／1，V／1，s， qui est diff6rent de ／1， et de Afi．
Nous d6signerons d6sormais ur｝tel point simlement par Lτβ． AIa sous−famille finie
［ノ1io， A∫1，…，ノlir， A，9］（io＜il＜…＜∫r∈［らβ［）de｛∠4 ｝（i∈［ど，β］⊂1）， on associe le point ひ回…irfi d6termin6 de la maniさre suivante：
1°．
on fait
2°．
Lorsque 《o＝e， en utilisant le point ひイ1… ir qui est d6jA connu d aprさs Riγ1，
U，i1…irfi＝（ノ1fiV U，i，…iア）∩（乙T， fi V／1ilV…VAir）．
Lorsque e＜io， en introdisant d al）ord le point こftio…irfi＝（ノ1βVこJtio…ir）∩（こ万βV／1 io V AiスV…V／4iア），
on fait
しTioii…irfi＝（ノ1、Vこ」、io…irfi）∩（Aio V／lil∨…VAirV／lp）．
On d6montre maintenant que le repさre［ノ1ずo，…， Air， Ap∫Uto…ε。P］est complet．
Or， en faisant
U，ip＝（ノlpV Uti）∩（こ」、pV Ai） （c＜i＜β），
UiP＝（A，Vむ、ip）∩（／1、∨∠lfi），
on obtient les repさres complets ［A、，Ap；U，P］，［ノ1 ，ノ1β；ひβ］．
Il suffit donc de prouver que si cela arrive pour toute sous．famille （Afo， Aゴ1，…ノ1is，ノ1β）（s＜r）de（ノ1fo，…，
Air， Ap）， il en est de mEme pour chaque sous．famille
A
u i
iβ
Ai
ノ1ko，ノlkl，…Ak si1，ノ1β）de（Aio，…，Air，ノ1β）． Envisageons une sous・famille （、4ko…，Ak s＋1， Ap）． SupPosons
Aβ d，abord que どくko． Parmi ∠4ko，… ， A充3＋1 prenons un
point AJ． Soient Aゴo，…∠4 js les autres points． Puisque jo・∵ブミノest une permutation de ko… ks＋1 et que R毒γ｛
est vrai， le plan π＝乙r，ko… ks÷1V／1ゴV∠4P coupe l，hyper−
Aj，．
plan αゴ＝A，VAioV…VAゴsVAp （dans Ss＋3＝A，V／1ko V…VA， s＋IV∠4β） 1e long d une droite e qui contient les points ／lfi， こ万ゴo… 」5 et le po三nt d，intersection At 1）＝（AゴV〔」、ko…ks＋lfi）∩（しT，fiV（AjoV…ノ1ゴs）），
car ces trois points se trouvent 6videmment dans le planπet aussi dans 1 hyperrplan αゴ． Donc， ce point P est en coi ncidence avec le point
こ7、50…j，sp ＝（ApVこ万ブo…ゴs）∩（ころβV／1ブoV ・・V／1戊s）．
D autre part， il est le point d intersection des deux droites Afi V U， jo…」8， AゴV U、ko…
舌8＋1βdans le planπ． Donc， la droite joignant Aゴavec乙r，ko…k s＋1βrencontre l hyper．
planα∫au pointσ，ゴo…ブ、β． Par la projection du point A， sur 1 hyperplan α・＝AkoV
…VAk s＋iVAp， les po三nts U，ko…ks÷I s etびげo…ゴsβsont port6s respectivement， d，apres d6finition， aux po三nts L㌃・o…k−s÷1βet こ1日o…ゴsβ． On a donc
こ万o…Jsβ＝（AjV UkO…h−s÷lp）∩（AゴoV・・VAJs），
ce qui nous montre que ［Ajo，…， A∫s，ノ1β；し㌃o…Jsβ］ est un sous・repbre fronti6re de
［Ako，…，ノIL． s＋i， Ap∫Uko…k s＋1．p］． Le premier est complet d apらs Phypothese． Le point んP・uv・ntεt・e un p・int q・・1・・nq・e d・（A・・，…， A・・＋・），1・・epe・e［A・・，…Ak s＋・Ap；
Ulto…kε＋I p］est complet d aprさs ce que nous avons remarqu6 au n°3・
SupPosons ensuite queゐo＝ど． Si l on fait元＝ko， il vient ・
（ ● ．jg，…㍉3s）＝（klジ・…・， k・＋・），
幽 こJ，n・i…k8＋1 P＝（ApVU，k1…ks＋1）∩（σ，βV／1大1V…VAk s＋1）
et， par suite， le sous・repさre frontiさre ［Aklデ・・， Ak s＋1，ノ1β∫U，ピ・・h−s＋1 P］est en coincidence avec le repさre ［Aゴo，…， ∠4is， ノ1β，；こ万o…ゴsp］ qui est complet d aprさs 1 hypothさse・
Lorsqueブ≒ko， on a元o＝ζ，
砺、…ゴ，β一（AβV U、」、…ゴ、）∩（U，βV Ai・V…VAd・），
et元1・・ゾ4 devient une permutation de k，…ks＋1・Comme nous l avons remarqu6 plus haut， la droite／1ゴV U，kl…k， s＋1 contient Ia pointこん1…ゴsβ． C est le point d intersection de AjV・U，ki…k，＋1βavec l hype・p1・n A，VA」・V…Ni・A」・Xf・Aβd・n・1 espace 88＋2＝ん．▽
Akl V…Ait s＋1V／1β． Nous voyons ainsi que， dans ce cas aussi， tout sous・repさre frontiさre de ［Ako，… ∠4κs＋1，ノ1β；Lなo… L・8＋1β］ est complet．
5．Une famille ll de points de S 6tant associ6e a la base班de 8 de la maniさre dont nous venons de mentiomer， on peut introduire les coordonn6es homogさnes d un point」P de S「＝AiovAiiV・・・… VAir par rapPort au repさre ［Aio・Ail・・… ∠4ir∫Uioii…
《。］． Soint p maintenant un point quelconque de 8． Envisageons l ensemble（らdes sous．familles finies de班dont chacune d6termine un espace projectif contenant P．
Soientムet L2 deux 616ments de（≡5，8「1 espace projectif d6termin6 par Li U L2， et
5 ゴ （κ＝0，1，…，プ）les coordonn6es homogさnes de p par rapport au repさre ［Aio，＿，
A、r∫ Ui。…，，］． On a al・rs ・ ・−0，1・rsqu・1… mm・t A・・ n ・・t pas c・nt・nu d・n・L・
ou dans Z4． Donc， L1∩L2∈（ら． Nous pouvons ainsi prendre， ti partir de L， et en diminuant proche en proche le nombre de sommets structuaux， un sous．enselnble qui d6termine un espace projectif contenant le point P． Mais ce ce nombre n est pas m・i・d・eq・・1． O・fi・it d・n・p・・arri…1・pl・・p・tit 616m・nt M−（Aゴ・）…A」・）d・
∈5，car on a M⊂（Ll∩L）， L 6tant皿616ment quelconque de（ら・
Si l on regard le point P comme un point dans l espace projectif S（P）d6termin6 P・・為。，…，Aゴm，… bti・nt se・c…d・nn6・・h・mgさ… q・i・・nt t・・t・・diff6・ent・・
de z6ro． On peut donc repr6senter ce point P par les coordonn6es x＝（xっ （i∈1）
telles que jci＝0， h Pexception de susdites coordonnさes cダo，… ， xゴm・
N。u、 apP，1。。、 r。n，embl・9・d・・p・i…d・8・−Ai。VAI、V…VAI・， d…1・・
coordon6es homogさnesピo，…，ゴγsont toutes diff6rentes de z6ro int6rieur de S「par rapprot au systさme（Aio，ん1，…， Ai，）， car il est d6termin6 ind6pendamment du choix de la fmaille ll des points d unit6：le point P se trouve dans l int6rieur de S（P）＝＝
ん。v…ん・・
6．E・…d・nn6皿p・i・・x−（xり（i∈1）d・S，・n・pP・ll・ゴ／￥ixs l l・・…rd・…ees 刀o〃nales de x． Nous d6sgnerons d6sormais et sauf mention expresse du contraire P。，（xl）（τ∈1）1・・c…d・nn6・・…m・1・・d・p・i・・x・D・pl…1・rsq・・x」°・ ・t m
（ゴo＜… 〈元；n）・…1・・c…d・nn6・・n・・m・1・・≠O d・p・i・・x…us c・・vi・nd・… d・
faire xゴo＞O de sorte qu on ait O＜xjo＝1−［xデi l−… −1 tプm 1・
Nous avons alors， pour un point de 8， un et un seul systさme de coordonn6es normales． En particulier， la seule coordonn6e normale≠O d un point de la base班 est 6gale h 1．
Prenons un point a＝（aり（〆∈1）de 8． Soient L la sous．famille finie de QI， qui d6termine Pespace 8（α）， etρ皿nombre positif monindre que les valeurs absolues des coordonn6es normales≠O de ce point a． On a alors O＜ρ＜1， et O＜ai一ρ＜a ＋ρ ou ai一ρ＜ai十ρ＜O selon que ai＞O ou ai〈0． Etant donn6 un nombre positif λ mondre queρ， consid6rons un point t dont les coordonn6es homog6nes（の（i∈1）
satisfont aux in6galit6s
｜ti−ai l＜δ （た1，0＜δ＜ρ）．
Puisque
t ← ，．こ ， ： 、 、
αLo〈t ＜d十《），
on a， d aprさs ce que nous venons de remarquer，8（α）⊂S（のet laf［一δ＜1til＜lail十δ，
Prenons le point t Sコr un espace Sn（刀＞0）d6termin6 par une sous・famille finie
…1・・n…L ⊃Ld・？t・S・i・・＜・〈÷・E…mm・n・par rapP…aux・…d・nn6・・
homogさnes≠O de t， on a 1−nδ〈Σ囲く1＋72δ
i
et， par SUIte，
o v
一O ゴ δ
十η
1
ZN Σ［が【
s
ai十δ
＜ 1−nδ
OU
v
箒
α−
彦N
ΣItS］
s
ai十δ
＜ 1十nδ
selon que ti＞O ou tτ〈0． Donc，6tant donn6 un entier positif刀， nous pouvons d6terminer un no皿bre positifδde maniさre査avoir
（｜t −a ］〈δ）⇒（ Nt
Σ1tSl
s
一ai ＜・）・
En effet， il suffit de faireδ＜2／3力．
Nous appelons Pensemble des points x dont les coordonn6es normales＠り（i∈1）
satisfont aux in6galit6s Ixi−a 1＜λ （i∈1）
cube projectif de centre α et de largeur 2， et nous le d6signerons par （￡（a，λ）．
7・ Prenons un point x∈⑤（α，σ）：1，ti−ai 1＜σ（i∈1）． Puisque ti−ai＝O sauf pour un nombre fini d indices i， on peut prendre un nombre positifτde maniさre A avoir τ＜σ一i cイーail （i∈1）
et， par sulte，
V∈E（x，・）⇒｜ヅーa 1＜σ i．e． 9（x，・）⊂E（α，σ）．
Il en suit que Pintersection de deux cubes projectifs s exprime comlne une r6union de cubes projectifs． Nous pouvons donc donner une topologie ti S Pou「
laquelle 1，ensemble des cubes projectifs devienne une base（au sens toPologique）・
Cela 6tant fait，1 espace S n est pas compact． En effet， nous ne pouvons pas choisir
du recourrement ouvert
｛9（x，2）｝伝∈s） ． un recouvrement（（S（xl，2），……，⑮（x。，2）），car il existe un indiceκtel qu on a
tlt・．…＝vrt＝0， ce qui nous montre que le point A。 se trouve A l，ext6rieur de cesプ cubes．
Mais l espace projectif S「Adimension finie est compact． SupPosons d abord que 8「＝AfoVAiiV…V／1，。． Soit｛Ua｝（α∈α）un recouvrement ouvert de 8「． Puisque l espace S「admet une base d6noml）rable， de d6montrer qu on peut extraire de ｛Ua｝
（α∈α）un recouvrement fini se ramさne b dire que toute famille infinie（xt）（1∈」）
de points de S「admet un point d accumulation dans 8・． Or， pour chaque point de la famille（xt）（1∈」）， nous pouvons prendre， dans l espace cartecien jEr＋1， comme son image le point T伝∂dont les coordonn6es carteciennes sont en coincidence avec ses coordonn6es normales． Les points T（zl）（1∈」）se trouvent dans le pav6 ferm6 Rごluit 1≦1 （κニ0，1，…， r）． Il existe， dans R， un point 2イo tel qu on puisse trouver，
pour un nombre positif quelconqueε， un point T（tl）satisfaisant aux in6galit6s
7
1 Vii −Uoitl＜ε （κ＝0，1，…，プ），Σ！ ti 1＝1．
Ainsi les coordom6es uoi・ne sont pas tous nulles． Si l，on prendεde maniさre qu il soit moindre que les valeurs absolues des coordonn6es≠O de tto， il vient
lit。i 1一ε＜1〆1＜IU。 「1＋ε d oti
I1一ΣIUoi 1＜（プ十1）ε i． e． ΣIUo 1＝・1，
c
Ce qui nOuS mOntre qUe T−iUo∈S「．
Soit maintenant S「un espace projectif quelconque A dimensionsプ． Il existe皿 espace projectif Sn ・＝ AioV…VAin contenant 1 espace 8「． Celui・ci est une partie relativement ferm6e h Sn． Or， Sn est compact． Il en est donc de meme pour S「．
8・ Soient班 ＝（A ゴ）（元∈」）une autre base de S， etカi（i∈1） les coordonn6es homo9さnes du point A／ par rapPort A la base班＝（A，）（i∈1） （1 indice j 6tant donn6，0n aカメ＝O sauf pour un nombre fini≠O d indicesの． Les coordonn6es d un point quelconque de S， rapPort6es b Ia base班s，expriment sous la forme
ci＝Σ2｛ρ♂ （i∈1），
5
o立2ゴ＝＝Osauf pour un nombre fini d，indices j． D，une maniさre pr6cise， si（A ゴo，…，．4ノゴ∋
est la sous．famille finie de班 qui d6termine l，espace projectif S，（x）on a 2ゴ＝O A l exception de 2ゴo，…，2ブm qui sont tous differents de z6ro． Nous avons aussiΣ2元ρゾ＝0，
ゴ
sauf pour皿nombre fini≠O d indices i．
Le point d，unit6〔アゴo…ゴln associ6 A l，espace 8ノ（x）＝ノ1，ゴoV…VA dm peut s 6crire れ
Σκフ予ゴst s＝O
de sorte que les coordonn6es homoeさnes≠O du point x par rapPort au repさre［Aノゴo，…，
A dm∫σノゴo…ゴm］ sont donnさes par rl s xl im N
2ゴo − − 2ゴ7π 一 ρ・．亀
κ∫0 κゴm
Nous avons donc
．
ぼ一Σx 」 KSp 」i、
ゴ
La transformation projective est une application bijective 8→8 qui donne lieu a la correspondence univoque entre des droites de Ia maniさre que la relation d incidence soit conserv6e． Elle conserve donc， concernant l ensemble des points sur une droite，
la propri6t6 d 合tre les points d intersection des six c6tes d un quadrangle complet avec la drote en question et， par suite， elle conserve le rapport anharmonique des quatre points sur une droite． Ainsi， Ies coordonn6es homogさnes d un point P，
rapport6es A la base班＝（Aイ） （i∈1）deviennent celles du point Pノ＝TP rapport6es
8
bla famille libre L＝（TA，）（ゴ∈1）， o心アest une transformation projective． D autre part， il existe une partie Z／ de Q］〔telle que 班 ＝LUI／ soit une base de S et que L∩1ノ＝￠（la famille班 est l 616ment maximal de l ensemble des fanlilles libres dont chacune est form6e par L et par une partie de班）． La transformation T
s exprime donc par
ρ・ctt＝Σz」rc」pi （i∈1）≦
d aprさs ce nous avons remarqu6 plus haut．
En particulier，1・involution T， qui permute∠4，，∠4、 o白1 indiceζest l 616ment le plus petit de I， et qui Iaisse invariant les autres points de 衷 et tous les points d，unit6 s exprime par
tO tt・＝cκ， ρ：じ λ＝te， ρa／i＝」ci ＠≠ζ，ゴ≠ゐ）．
Si l on prend pour coordonn6es du point x et de son image x les coordonn6es nOrmaleS， il vient
lρ1＝1ρ1Σ1こ〆fl＝Σ｜vii＝1．
Pour un point tel que xk＞0， il vientρ＝1．
Envisageons maintenant un cube projectif（SJ（b，2）， o亡S（ゐ）＝ノ1，∨Ai・V・ V／1伽
（ゐくil…＜im）． D aprさs Ia convention faite au 6°on aぴ＞O et， par suite， ck＞O pour tout x dans（ξ（b，2）， comme nous Pavons remarqu6 au n°6． Donc，1 involution Tk transforme⑤（ゐ，σ）en E（b ，σ）， o心8（ゐ ）一んVAイ、V…VA，・・．
§4 Carte locale de ／14 dans 8
9． Soient M un espace de Hausdorff， et｛Ua｝（α∈α）un recouvrement ouvert deハ4．
SupPosons qu・il exisrte， pour chaque し㌦， une apPlication topologique gv cr de Ua dans une partie ouverte pua（Ua）de l espace project三f r6el S b dimension infinie． Soient 班＝（Ai）（i∈1）une base de 8．
Prenons un point xo∈M SupPosons que xo∈Ua et que S（σo）＝A，・VAilV…AinL
（・。−gu。x。）． N。u， p・uv・n・t・・uv…nn・mb・e p・・itif 2 t・l q・・le cub・p・・jec・if．
E（・。，7．）、。it，。nt・。u d… P。。（の． C・mm・n・u・1 ・v・ns rem・・q・6 pl・・h・ut・
P。，1，i。。・1・ti・n T，、 ce・ub・E（・。，2）d・vi・nt⑤（・・。，7・）（・・−TIσ・−T…9・・x・）d・n・
1。q。。1・・，・・p・・i・if p・u・t・u・p・i…．L・・c…d・nn6・・n・・m・1・・tt （i∈1−・）d・
pointび＝T，、〜o〃。x∈（￡（uo，λ）seront dites les cordonn6es locales du point x dans le
。。i，i。。g。、Ubiq・e Vx。−gu。一・E（σo，2）一（Tl，gu。）一 E（・。，2），・〆6t・nt・eg・・d6・・mm・
une fonction de lti（i∈1一ζ）， A savoir， ltt＝1一Σ1ui 1．
10．Supposons ensuite que les deux domaines Ua， Up de la carte se coupent．
Prenons un point xo∈乙「a∩Up． Soient
σo＝＝PUa Vo， 8（σo）＝AhVAilV…VAim，（SJ（σo，2）⊂〜クσα（Ua∩Ufi），
τo＝〜クUfiエo， 8（τo）＝AκVAj， V…VAゴn，（ξ（τo，μ）⊂SPufi（σ・∩Uli）
（h＜ゴ1〈…＜i打1；克く元1V…V元n）．
︑
9 L intersection V＝o＝g）σα一1（￡（σo，2）∩〜勿β一1（ξ（τo，μ） est un voisinage du point xo． Les
deux domaines
Ω。，β一T・9u。Vx。，Ωβ，。−T・ PUfi v・・
，。nt h。m。。m。，ph・・． L・・d・ux・y・tさm・・de c…d・nn6・・1・cal・・（ui），（が）（i・i∈1−・）
du point x∈Vxo， qui sont respectivement les coordonn6es normales du point u＝
Tl、pv。x et celles du point v＝TkPu fiX se relient au moyen d 6quations de la forme vi−P」（…， ut，…） ＠，1∈1−・），
0＜ぴ＝P ＝1一Σ｜P弓，
・・i＝9 （… ， vl， …） ＠，元∈1・一・），
0＜ltt＝9・＝1一Σ｜9i l．
Si l on se donne un point u（resp． un point v），
fini des d indices i∈1
fini d，indices元∈1・一 e（i∈1一ζ）．
De v＝TkψUfi（T，9u。）−1ThPu。（Tkgufi）−lv が＝Pタ（…，9i（…， vt，…），…）
De meme， on a
μゼ＝2i（…， P」（…， teS，…），…）
Soient〃un point deΩ。，fi， etσun nom Ωα，β． Soient v＝T，〜勿β（Thpua）−1 u． Il existe alors E（v，τ）⊂Ωβ，。et（カ・∈E（v，τ）
（Ul＝Thgua（TrPUfi）−IVI）．
……（10．1）
。n a・ui−0（が＝0）sauf pour un nomber
−・（5∈1−e），・t・n・・ aussi・pi−0（9 −0）・auf p・u・un n・mb・・
on d6duit
（v∈Ωβ，e， ；i，ブ，t∈1一ζ）．
…… （10．2）
（u∈Ωα，β；i，元，5∈1−z）． ……（10．3）
ber positif quelconque tel que （ξ（lt，σ）⊂
τ＞O tel que
⇒ltl∈（SJ（lt，σ） ……（10．4）
De Inεme，6tant donn6 un point v∈Ωβ，。 et un nomber positifτ ΩP，a， nous pouvons tr卯verσ＞O tel que
E（・t，σ）⊂Ω。，βet（U、∈E（・t，σ）⇒V1∈E（V，・））
（v＝Txrρu P（Tl￡〜クUa）一1 lt， v1 ＝Th・sクσβ（Th 9uα）−1 Ul）・
tel que（S」（v，τ）⊂
・・・… （10．5）
11． Soient x∈Vxo⊂（Ua∩Ufi）， u（x）∈Ω。，β， v（x）∈Ωβ，。． En prenant les nombresτ，σde Ia皿aniさre d6sign6e par（10．4）， fixons 1 indice元1∈1−c． Prenons， dans（￡（v，τ）⊂Ωβ，♂
un point vl tel que
V、ゴ1≠が1，V、ゴ＝が （元≠ブ1）（元，元1∈1一ζ）．
Posons
η（彦）＝tVl十（1一彦）v （0≦≦t三≦1）．
Puisque
lrpk−（t）一が1＝z｜v、L ・一・vk 1＜τ （k∈1），
Σ1ηs（t）1−tΣlv，sl＋（1−t）Σlvs［＝t＋1−t＝1，
8 8 8
1e pointη（t）（0≦≦t≦≦1）d6crit un segment dans（SJ（v，τ）de sorte que le pointξ（t）＝
Ti，〜Pσa（T，〜ク〃β）−1η（t） engengre un arc dans（￡（zt，σ）． Si les fonctionsξi（0（i∈1−−z）
sont continuellement diff6rentiables dans（0≦≦t≦≦1）， en particulier，
∀5＞0ヨ0〈 o〈1∀t （ltl＜to：＞1ξノi（t）−tt／il＜δ）
（i∈・一・・ξ・・（・）一＃、， ・ ・一ξ ・（・）），
et que la borne inf6rieureσdes valeurs absolues de 7 《≠O et l est positive， on dit que cet arc est r6gulier au point 1 （x）． Dans ce cas， siπ ・≠0， il existe pourδ＝きσun noml〕er positif to tel queξ （t）≠O dans（0≦t≦to）et， par suite， queξ・（の一ttr≠0， car ξ （t）−lt ＝tξ （t1） （0＜ 1＜t）．
Il r6sulte de lh que
Ω・・ （…・v㌧…）一・（9・・一；多・σ，元∈・一・）， ・・…・（・・．・）
sauf pour un nomber f輌ni d indicesどqui d6pendent de chix de l indice元1．
Nous d6signerons， par S（θゴ1），1 espace S（u）VS（u ）qui est d6termin6 uniquement par Ia tangente Ojt h l，arc en question au point u（x）．
De meme， en prennantσ＞0，τ＞O de la maniさre d6sign6e par（10．5）， et en fa五sant l indice il fixe， on consid6re un pointπ1∈巳（tt，σ）⊂Ω。，βtel que
…il≠が1， π、i−ui（i≠i、） （i，ど、∈1一ζ），
Ie segment d6crit par le pointξ（の＝ttt1十（1一のtt（0≦t≦1）， et l・arc d6crit par le P・i・t殉一Tmpup（T、gu。）−1ξ⑦． Si cet arc e，t，69。li。， au p。i。t v（勾，。n。
P…（…，us，…）一・（P・・一謬・，元∈・一・）， ……（・・．・）
sauf pour un nombre fini d indice元qui d6pendent de choix de l indiceど1．
En vertu de（11．1），（11．2）， on peut tirer de（10．2），（10．3）
δ∫ユゴ＝Σ（Ps乞）1 （の（gゴ1s）v（x）， δili＝Σ（g i）妙（の（Pilt）u㈹， ……（11．3）
s t
o心1es sommationsΣetΣsont 6tendues h un nomber fini d indices respectifs．
s t
Si ces r6gularit6s sont v6rifi6es tontes les deux pour tout point τ∈Vo ind6ndamment de choix des indices il，元1 fix6s auparavant， et aussi indpendamment de choix du pomt xo∈Ua∩こTp， on dit que les cartes locales pσ。， gσp se relient diff6rentiablement．
Si cela arrive， comme nous le supPoserons d6sormais， pour toute couple de cartes
、locales dont les domains se coupent，1 espace M est dit vari6t6 diff6rentiable．
§5 Vecteur tangent
12・ Sointノてx） une fonction d6finie dans une partie ouverte σde M． Prenons un point xo∈U． SupPosons que xo∈Ua． Soient
σo＝Pu。Xo， 8（σo）＝A，VA，，V…VAim， （X（σo，2）＝9u。（σ∩Ua），
V（X。）−9U。 1E（σ。，2）， 7フ厄（σ。，7．）＝E（U。，ス）．
Introduisons Ia fonction∫＊（…， ui，…）（lt∈⑤（tto，7．）， i∈1−c）telle que
11
ノてx）＝プ ＊（…，tti（x），…），
（X∈VXO，μ（X）＝ThgUaX）．
Si cette fonction ∫＊ est diff6rentiable dans （S（πo，2）， on dit que ∫（x） est diff6rentisble en point xo， et si cela arrive pour tout point xo de ころ Ia fonction ゾてx） est dite diff6rentiable dans こ1．
C est une propri6t6 deプてx） ind6pendante de choix de Ia carte locale dont Ie domaine contient le point xo、 En effet， lorsque xo∈σ∩Ua∩Up， en prenantσ∩Ua
∩乙％削aplace de Ua∩Up， nous pouvons introduire comm tout A l heure les domaines Ω。，β，Ωβ，αqui se trouvent dans un cube（sJ（ん，ρ）， et les deux systさmes de coordon．
n6es locales（tの，（が）（i，元∈1−c）du point x∈Vxo qui se relient par d 6quations de la forme（10．1）． Prenons， dansΩβ，。， un point quelconque v． Soit tt son image dans Ω。，fi． On a alors，1 indice j 6tant fix6，
9ji（…， vt，…）＝O
sauf pour un nombre fini d indices i∈F−e．
Or， on a aussi une fonction∫＊＊（…，vj，…）（v∈Ωβ，α）tell que ノてx）＝∫＊＊（…，が（x），…）．
D autre part，
プてx）＝プ ＊（…，ttt（x），… ）＝∫＊（…，（2i（…， u∫（エ），…），…）．
On a donc
∫＊＊（…，vd，
％v￥一Σ霧9・・，
8
…）＝f＊（…，9i（…， vf，…），…），
… …（12．1）
oti la sommationΣest 6tendue pour un nombre fini d illdices 5∈1−e．
ぷ
De m6me， on tire
霧＝Σ芸＊Pil・ ……（12・・2）
t
13．Consid6rons une fam三Ile｛∫｝des fonctions diff6rentibles dont chacune est d6finie dans une partie ouverte de M contenant un vo三sinage du point x∈M． Soientθ皿e application lin6aire de couple（x，ノ） （ノ∈｛∫｝）dans R（r6els）． S三1 on d6finit
（θ十θ ）（x，∫）＝θ（x，∫）十θ （x，∫）， （αθ）（x，∫）＝αθ（x，∫）
o立αest un nombre r6el，1，ensemble定（x）de telles applications devient un espace vectoriel dans le corps de nombres r6els．
En supposant maintenant que les fonctions de la famille｛∫｝sont d6finies dans un voisinage du point xo∈M『et que xo∈こJa， prenons un voisinage cubique τ夕o
灘翼繍謙竃蒙驚、：｛ 11 lllgl
Pappelle 1 espace tangent h M au point c． D aprさs（12．1）， il est d6termin6 ind6penda・
mment de choix de coordonn6es locales．
Tout 616ment▽de T（x）est muni des propri6t6s suivantes：
1°▽ui＝O saUf pour un nombre fini d indices i∈1−z， car▽ est une combi・
naison lin6aire de ∂
∂tti
2° ▽ est une diff6rentiation， A savoir，
▽（x，fgう＝プてx）▽（x，8う十9（x）▽（x，プり．
R6ciproquement，皿616ment▽de寛（x）muni de ces propri6t6s est un vecteur
tangent． En effet， prenons un cube（￡（u，σ）⊂（S」（2イo，2） et un point v∈（￡（u，σ）． Le point w＝（1一のu十tv （0≦9t≦1） se trouve dans（SJ（び，σ）∩S（v）． Si l on pose F⑦一∫＊（…，τρ㌔…） （∫∈｛∫｝），
il vient
F（0）＝∫＊（…，ui，…），
F（1）＝プ＊（…，が，…）
eち par sulte，
∫＊（…，vi，…）
ユ ゴ・ぐ・・，ui，…）＋Σ＠・−us）∫鱗読・
8 0
0亡1a so皿mation Σ est 6tendue ti un nombre fini d indices∫． Si 1 on regard
お
f＊（…，wi…）comme une fonction deが， t en laissant le point lt fixe， la fonct三〇n
ユ
9i・c・・，が，・づ一∫（Of＊∂τρτ）…u＋・・−u）l dt
O
est diff6rentiable dans（X（tt，σ）． Posons
gi（ッ）＝9i＊（…，がω，…） （ッ∈（T・Pu。）−i E（tt，・a），
▽（y，が）＝2i（y）．
Si les conditions 1°，2°sont v6rifi6es， on a d abord 2i・＝O sauf pour un nombre fini d indices i∈1一どet puis
▽ty，∫）＝Σ2t（ツ）9z（ツ）十Σ（が（3，）一πs）▽（ツ，9s），
s
o立1es sommationsΣetΣsont 6tendues A un nombre fini d indices respectifs． En
8 t
particulier， lorsque bt−x， il vient
▽（x，D一Σ・ ・（x）sc＊一Σ（λ・②∂2、）f，＊
￠
13
ロ
ce qul nous montre que▽est un vecteur tangent au point x．
D，apr6s（12．1），（12．2）， on a
∂
一Σ91・
8
∂
∂vt ∂ltS，
∂
一ΣPkt
t
∂
∂が ∂vt ・・・… （13，1）
R6f6rences
1．
II．
IIL
IV．
V．
N．Bourbaki， El6ments de Math6matiques， Premi6re Partie， Livre I， Chapitre III．
N．Bourbaki， El6ments de Math6matiques， Premi6re Prartie， Livre II， Chapitre II．
ALichnerowitz， Th60rie globale des connexions et des groupes d holonomie．
0．Veblen and J． W． Young， Projective geometry．
EBertini， Introduzione alla geometria proiettiva degli inperspaz三．
