The equations of motion of air and that of continunity of a fluid in the above defined coordinate system can be most readily derived by considering

By Takao SATO (Nagasaki University)

(Manuscript received Nov. 30, 1968.)

Introduction

The equations of motion of a particle of mass in a system of three Cartesian coordinates are well familiar to us with its origin situating at the earth's center or on its surface.

The equations of motion of air and that of continunity of a fluid in the above defined coordinate system can be most readily derived by considering

the pressure of fluid.

The author has contrived a simple and convenient method of expressing the corresponding form of equations referred to the spherical polar‑and cyli‑

ndrical coordinates with the preceding origin.

Now, take axes x, y and z at p, at the earth's surbace the axis of x be:ng horizontal, and directed towards South, the axis of y being horizontal and directed towards East, and the axis of z being vertical. The directions of these axes are changing with the motion of p. Let u, v, w be component velocities along these three axes, x, y, z be the component of external force, p, p be respectively the pressure and density of the air and co and <p be the angular velocity of the earth's rotation and latitude of P. Then the equations of motion of air are as follows.

窓‑2o)vsinp‑X一志各号(。

窓+2 0)(usi岬+wcos(p^)‑Y‑‡昔号(2)

雷‑2o)vcoscp‑Z一g言霊(5)

The relations between the Cartesian and cylindrical polar coordinates are x‑rcosθ y‑rsinθ 2‑2, t‑t,

Let γ 」, wbe thecomponent velocities ofr, θ andz directions then we

have

88 Takao SATO 

o u stn e o u  ^6u 

r ucos6+vsln6, u= Tcos6  sln6, Ox   r 6 O  ^o r coso 

6u Ou 

 vcos6‑usino, v rsln6+ cos6, o y sln6 o r+cose  6u .  r 60 

Hence we have 

u +vOu =TOu+Ji6u 6u (6)  6y+w or r 66+w6z  ^6u  6z 

In the same way 

u xv+v6v av+  Ov+wav (7)  6y =ror T 66 6z  ^{+w oz  Ov} 

and 

  6  op̲  ^6 p sin 6 

6 t = o t cos6 6 O  ' Ox   cos6 o r r 

, 

O   cos o sin 6 O p + cos o   

e t ==6 t sln6 + 6 6  ^{6t  ' oy}   6p̲  _Or r 

Let F. , Fo, F. , be the component of external force along r, 6, z, so 

X=Fr cos 6 ‑Fe sin 6 , 1 

Y=Fr sin 6 +Fe cos 6 , ( 9 ) 

Then equation ( I ) can be transformed to (10) using relation 

d 6 +u O 6 

dt =6 t 6 x+v oOy+w6 z 

6r 6r 0  ,    r6r  ⁶  

O t cos 6 o r cos 6 6 r sin 6 l+T  O 6 cos 6 ‑ Tstn6   

sln o   cos o ) + w ( 

‑  in 6 /  2 o'sin(p( r sin o + 

 6 O z cos 6 6 z 

e cos6)=F.cos 6 ‑Fcsin6 ‑1 o p. cos6 ‑ o p sin6 (10)  ^p u;b.  ( 06 r ) 

In the same way equation ( 2 ) will become 

6r  O   (a r  l6 r  ^{0   )} 

6 tsin6 + 6 t cos6 + r 6 rsin6 + o rcos6 +T O 6 6sin+ rcos6 + 

6   6 stn+ 6    cos 6 ‑   sin o ) + w  ^{(  6T}  ' cos 6 )+ 2 a'( T cos 6 sin p ‑‑   sin 6 

Oz 

1/0p . cos6 6p 

sin (p + wcos (p )=F. ,sin 6 +Fe cos 6 ‑T l  r stn 6 + r 6 6 (11)  By (10) xcos6+ (11) xsin6, we have 

o r 6 T +   ( O 6      +w O r 2 Q,  sln(p + 2 a' wcos(psln6 =Fr   it+ror  or /    _Oz 

1 6p 

And by (11) xsin6 ‑(10) xcos6, we have 

polar‑and cylindrical coordinate. 89 

‑( 6   + r  ) 

O   + r 6  + +w 6   +2 co(Tstn(q+wcospcos6) F  r 06 

1 1 6p 

Equation ( 5 ) can be directly transformed to 

6w 6w+ 6w 6w  + T * L ̲ 2 wcos (p ( T sin 6 +   cos 6 )= F.‑ g ‑

Ot 6r r 66 6z  +w  1 Op 

‑ ‑  p oz  ¹⁴⁾ 

Next we will proceed to the problem of transformation from the Cartesian to  the spherical polar coordinates neglecting the deviating force due to the earth's  rotation. 

we have the relation in this case 

(i 5) 

x=r sin6cos(p, y=r sin6sin(p,  z=r cos6 

Let g, p. C be the component velocities along the directions of r, 6, p .  Let us take three axes x', y' and z' along the above three directions, then  we have the next relation between both systems (x , y , z) and (x', y', z') 

x' y' 

x sin 6 cos (p cos 6 cos p ‑ sin p (16) 

y sin 6 sin (p cos 6 sin, p cos (p 

cos p ‑sin e O 

Hence we get 

u sin 6 cos (p + v sin 6 sin (p + wcos o 

v = u cos 6 cos (p + v cos 6 sin 'p ‑ wsin 6 (17)  =‑ 

C = u sin p +cos (p ! 

Moreover 

O(u,v,w) ̲ O(u,v,w) 6(u , v ,w) a 6    Or  (x,y,z) 6(x,y,z)+  6r  + 

O(u , v , w) 6 (p (18)  a(p O(x,y,z) 

In (18) 

a 6 ̲ cos6 cos p o p ̲ 

O x  sin 6 cos (p r sin 6  ' Ox  r '    ^6x 

O 6 ̲ cos6sln(p 

o y =sin6stn(p ,  _' oy    y   rsino (19) 

o r sin6 O P = O  ^06̲̲ 

6 z  cos o o z  ^Oz  

Eventually we have 

6u = uOr+v6r+w 66 6e  ^{Ou  Ou  or au} 

u‑O x+ v 6 x+ v 6 y+w  ^{oy+w  6z Ox 6y  6 z )  r} 

90       Takao SATO

   馨1）』1蓄＋（偽・書拶＋ω袈）9陽一ξ彩＋傷＋．、事．，馨影

      （20）

And

   趣一∂ξs♂％θ 。5ψ＋∂η6。8θ6。8ψ一鍍3ガnψ   『 （21）

   ∂ψ ∂∫     ∂∫     ∂オ

In this way Euler s equation can be transformed as follows．

   器（剛霧1（ ）＋霧1（謬〜・）＋ξ（9浮（ ）＋霧1（切＋1多

   （∬2 ））＋紹諺（一 ）＋継劣y ）＋霧1（納＋ξ（ザ抽（ ））＋

    グ31％θ（馨農（一 ）＋馨3（κプ）＋馨5（躍2 ）一ξ（y躍 ）一η（ ）一ζ・

、，

（フ2 ）垣叫礎うガ堕純 ）r告（離、醒馨多（ つ    ＋7sl％θ・彩（κ2・））      ・（22）

   ∂ξ     ∂η     ∂ζ      ∂ξ     ∂η     ∂ζ

   瀞助＋瀞助＋禅ン2 ）＋ξ（∂〆（助†∂〆、（ ）＋∂グ    （ン2の＋濡yめ＋客謬（ つ冨霧1（ツ・1）＋ξ（ う一η（励＋

     c  ∂ξ    ∂η    ∂ζ

    アεズnθ（∂ψ（ン∬ ）＋6▽（ ・1）＋∂9（ン2 ）＋ξ（諾涯 ）＋η（劣γ）＋c

   （∬2 剛 ）＋Fθ（ ）＋Fg（ツ2 ）一告（馨診（ン劣 ）＋1器（岬

     1  ∂ρ

    7ε、ηθ薇（ツ2 ）       （25）

   馨1（2め＋9浮（2プ）＋ξ（ll（2κ ）＋ll（2ツ ））＋多（ll（2∫・）＋

   2者（2プ）＋ξ（ ）一η（2κ ））＋7s蓋θ、（馨5（ ）＋2霧（2プ））一

   F・（z劣 ）＋F・（2め一去（9諺（β劣 ）＋傷（2プ））・ （24）

By the procedure（22）×（劣劣 ）十（23）×（ yκ ）十（24）×（βκ ）

weget

   霧1＋ξ多多＋夢（窪1一η）＋7s易、θ（器ζ岡一F一瑠、（25）

Similarly，we get by（22）×（諾y ）十（25）×（y y ）十（24）×（2．y ）

   94＋ξ2畢＋鱗＋ξ）＋．孟θ僻c・・sθ）一F・一ρ1グ馨参（26）

(27) 

These three formulas reduce to (28), (29), (50) 

taking account of the total differentiation following the fluid. 

ddt = 66t +   ̲ Or LF  06c + rsl cnO 6 ,p  . 6 ･, 

l(7'2+ ( ) F 

r, 

d V +  ̲1q 1 6 p. (29)  ^C cos6=F 

dt .    ‑7r 06 

dC +   c + 7 ccoso F 1 6 p ,  ⁵⁰⁾  dt r P  p rsin6  q' 

Equations (28), (29), (50) are concerning to polar coordinates fixed in, space. 

When we adopt the Cartesian coordinates (x, y, z), the origin being the  earth's center, Z axis being .the earth's axis pf . .rotatjon, and lx y: pla, ne being  the earth's equatorial plane, the ･equations of motion will become 

du  2=X 1‑ 6p  dt 2(ov‑x(o  _p 6x 

dv Y rL̲op 

dt +2Q,u yco p 6y '  ⁽⁵¹⁾ 

dw=Z‑1 op 

dt P 6z 

By means of the relation between the Cartesian and polar coordinates, we get  the following equation referred to the latter coordinates. 

d  1  ‑‑(V 2+ c2)‑ 2 a, csin6 ‑ r Q,2sin2 6 = F ‑i O p 

d p +  7 c2coso ̲ 2 co ccos6 r (o stn6 cos6 Fo I O p  pr 66 '(32) 

dt r r 

d c +  ̲c + 7 ccos6 + 2 co  sln6 + 2 co   cos6 F ‑ I O p 

dt . r v p rsin6 6 p 

As the second and third terms on the left‑hand side of these equations involve  the multiplication of component velocities and therefore produce neglisible  small amount. 

Let us put 6 = 2 ‑L and replace L for 6 and consequently p for‑   .  77 

Then we have 

92  Takao SATO 

d  2 o, CCOSL F ‑g‑1 O p  dt   

dl7+2a' cslnL F ‑ I OL (55)  dt I Pr Op 

dt + 2 a' ( cosL  slnL) Fp prcosL O P 

here F., Fh. F., ,being the component of external forces other than the gravitation  of the earth along the direction of axes. 

At last we will proceed to the discussion of equation of continuity. 

This equation is expressed by (54) concerning to the Cartesion coordinates 

O P O( P u )+ 6( P v)+ 6( P w)  ₍₅₄₎ 

Oz =0  1 t+ 6x  _py 

In cylindrical coordinates it becomes as follows by pursueing the same method  and notations. 

OP I O(P r  )+  6(P )+0(Pw) (55) 

O t +T 6 r O z = O  ⁰⁶ 

Similarly it becomes in spherical polar coordinates. 

̲O P+0(P  )+1 6(P  )+ 1 6(P c)+ 2 P   + cos6 p T/ O (56) 

O t O r .‑ 6 6 rsin6 6 (p ･" r 

This paper was read at the lecture meating held by the Meteorologrcal Socuety 

of Japan in Nagoya City at Oct. 22, 1968.