数Ⅱ 自主演習⑪ （三角関数のグラフ，三角方程式・不等式）
基 本 編
１
＊次の関数のグラフを描き， y sin x のグラフとの位置関係をいえ．
(1) y sin x 1 (2) y 3 sin x (3)
sin 2 x y
２ 0 ≦ ＜ 2 のとき，次の等式を満たすθの値を求めよ．また，θが一般角のときの値も求めよ．
(1) sin 1 (2) cos 0 (3)
＊2 sin 1
(4)
＊2
cos 3 (5)
＊3
tan 1 (6) tan 1
３ 次の等式を満たすθの値を求めよ．ただし， 0 ≦ ＜ 2 とする．
(1) sin 0 (2)
＊2
sin 1 (3)
2 cos ≧ 3
(4)
＊2
cos ≦ 1 (5)
3
tan 1 (6)
＊tan ≧ 1
標 準 編
Ａ 次の関数のグラフを描け．また，その周期をいえ．
(1)
＊y x 2 sin 1
3 (2) y 2 cos 2 x (3)
＊2
2 cos 1
3
x
y
(4)
2 sin 2 x
y (5)
＊
tan 4 x
y (6)
sin 3 2 x y
Ｂ 次の等式を満たすθの値を求めよ．ただし， 0 ≦ ＜ 2 とする．
(1)
2 2 3
sin (2)
＊2 2 1
cos (3)
＊2 1 sin 3
(4) 1
cos 6
(5)
＊2 1 2 6
sin
(6)
2 1 4 cos 3
(7) 2 cos
2 5 sin 4 0 (8)
＊2 sin
2 9 cos 6 0
Ｃ 次の不等式を満たすθの値の範囲を求めよ．ただし， 0 ≦ ＜ 2 とする．
(1) 2
2 1
sin (2)
＊3
tan 2 ≦ (3)
2 1 cos 6 ≦
(4)
＊2 1 sin 3
(5)
＊2 cos
2 5 2 cos 6 0 (6) 1 sin ≧ 2 cos
2 Ｄ
＊次の関数の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの x の値も求めよ．ただし， 0 ≦ ＜ 2 とする．
(1) y cos
2x sin x 1 (2) y sin
2x 3 cos x
x y
O
x y
O x
y
O
x y
O x
y
O
x y
O
x y
O x
y
O x
y
O
基 本 編 の 解 答
１ (1) (2) (3)
y軸方向に 1 だけ平行移動したもの x軸をもとにして y軸をもとにして
y軸方向に 3 倍に拡大したもの x軸方向に 2 倍に拡大したもの
２
n 0 , 1 , 2 , 3 ,
の整数とする．
(1) 2
n
, 2
2
一般角は (2) 2
n
, 2 2 , 3
2
一般角は （
or
n 2
n
2 , 3
2 2
）
(3)
n 2
n
6 , 11 6 2
, 7 6 , 11 6
7
一般角は
(4) 2
n
6 , 5
6 , 7 6
5
一般角は （
or
n 2
n
6 , 7 6 2
5
）
(5)
n
, 6 6 , 7
6 一般角は (6)
n
4 , 3
4 , 7 4
3 一般角は
３ (1) 2 (2) 2
6 , 11 6
0 ≦ 7 (3) 2
6 , 11
0 ≦ ≦ 6 ≦
(4)
4 5 4
3 ≦ ≦ (5) 2
2 , 3 6 7 , 2
0 ≦ 6 (6) 2
4 , 7 2 3 4
, 3
0 ≦ 2 ≦ ≦
標 準 編 の 解 答
Ａ (1) (2) (3)
（基本）周期は 4 周期は 周期は 4 (4) (5) (6)
周期は 2 周期は
sin3 6 x
y
だから 周期は
3 2
Ｂ (1) 0 ≦ 2 ≦ 4 より 3 , 4 6 , 7 , 3 6 3
, 8 3 , 7 3 , 2
2 3
(2) 0 ≦ 2 ≦ 4 より
8 , 13 8 , 11 8 , 5 8 3 4
, 13 4 , 11 4 , 5 4
2 3
(3)
3 とおくと
3
だから
6 , 7 2 3
5 3 6
, 5 6 2
sin 1
≦
(4)
6 とおくと
6
だから
6 11 6
13 2 6
1
cos
≦
(5)
2 6 とおくと
12 2
だから
6
23 6
6 , 19 6 , 11 6 , 7 6 2
sin 1
≦
3 , 5 3 , , 2
0
(6)
4
3 とおくと
4 3 3
だから
12
5 4
, 4 2 4
cos 1
≦
2 , 3
0
(7) ( 与式 ) 2 ( 1 sin
2 ) 5 sin 4 0 2 sin
2 5 sin 4 0 ( 2 sin 1 ) (sin 2 ) 0 , 1 ≦ sin ≦ 1 より
2
sin 1 6 , 5
6
(8) ( 与式 ) 2 ( 1 cos
2 ) 9 cos 6 0 2 cos
2 9 cos 4 0 ( 2 cos 1 ) (cos 4 ) 0 , 1 ≦ cos ≦ 1 より
2
cos 1 3 , 4 2
3
t y
O
t y
O Ｃ (1)
2 6 とおくと
2
だから 0 4
6 17 6
, 13 6 5 6 2
sin 1
≦
12 17 12
, 13 12
5
12
(2)
2 とおくと 2 だから ≦ ≦ 0 ≦
, 2 0 3
3
tan
, 2
3
0 2
≦ ≦
(3)
6 とおくと
6
だから
6
13 6
3 5 3 2
cos ≦ 1 ≦ ≦
≦
2 3 6 ≦ ≦
(4)
3 とおくと
3
だから
3
7 3 3
7 4
, 9 4 3 2 3
sin 1 ≦
≦ 2
12 , 23 12
0 5
≦
(5) ,
2 cos 2 0 ) 2 3 (cos ) 2 cos 2 ( )
( 与式 1 ≦ cos ≦ 1 より cos 3 2 0 4 7 4
(6) ,
2 sin 1 1
sin 0 ) 1 sin 2 ( ) 1 sin ( ) sin 1 ( 2 sin 1 )
( 与式 ≧
2 ≧ または ≧ 1 ≦ sin ≦ 1
6 5 , 6
2
3 ≦ ≦
Ｄ (1) y cos
2x sin x 1 2 sin ) sin 1
(
2
2
x x
4 , 9 2 1
2 sin sin
2
x x
1,2と変形し， sin x t 1 ≦t ≦ 1 とおくと，
4 9 2 2 1
2
2
t t t
y （右図参照）
2
1
t のとき， 最大値 4 9
1
t のとき， 最小値 0 2
0 ≦ x より
6 , 5 6 2
sin 1 2
1
x x
t だから， 最大値
4
9 （
6 , 5
6
x のとき）
2 1 3
sin
1
x x
t だから， 最小値 0 （
2
3
x のとき）
(2) y sin
2x 3 cos x
cos 3 ) cos 1
(
2
x
4 , 7 2
3
1 sin 3
cos
2
x x
と変形し， cos x t 1 ≦ t ≦ 1 とおくと，
4 7 2 1 3
3
2
2
