曲線の和に関する Arnold 不変量の加法性

曲線の和に関する Arnold 不変量の加法性

杉山 龍太郎

境 圭一

概 要

本稿では平面上のgeneric閉曲線(定義2)のgenericホモトピー(定義4)に ついて論じる. 特に, generic閉曲線に対するgenericホモトピー不変量であ るArnold不変量St, J^±(定理14, 15, 16)の, 曲線の和に関する加法性につ いて考察する. また2つの曲線を分離する際の, 符号を含めた接触回数の計 算方法についての研究結果を報告する.

1.

_研究動機

generic

閉曲線を, 定義

の同値関係によって分類することを目標として研究が始められ

た. Arnold (1994) は

つの閉曲線の連結和

に関して,

が加法的 であること, 連結和をより一般化した

に関して,

が加法的であること を示した. その後

が曲線同士が交差を持つ和に おける

の加法性について, ある特別な場合について考察した.

より一般化された曲線の和に関して, Arnold 不変量の加法性がどのようになっている のか疑問を抱き, Mendes de Jesus-Romero Fuster らの論文で定義された, 2 つの曲線を 分離する際の符号を含めた接触回数を数えた

の計算方法を与えたい, と考えた. 一 般化された連結和に対する不変量の振る舞いを記述する上で, 必ず

が必要であった ので, 計算方法を与える必要があった.

2. Generic

_閉曲線

_{ホモトピー}

定義

閉曲線

が正則

であるとは, 任意の

に対して,

˙

c(t)̸= 0

をみたすことである.

定義

正則な閉曲線

が

任意の

に対し, #

(2) s̸=t, c(s) =c(t)

となる任意の

に対し,

が一次独立, をみたすとき,

を

閉曲線

という.

定義

定義

のようなパラメータ付け可能な

も

閉曲線とよび, パラ メータを指定したものを向き付けられた

閉曲線とよぶ.

以下, 向きのついていない曲線は大文字で表し, 向きの付いた曲線, またはそのパラ メータについては小文字で表す事にする.

定義

を

つの

曲線を結ぶホモトピーとする.

とあらわす.

が次の

を満たすとき,

は

ホモトピーであるという:

(1)

各

は正則,

(2)

有限個の

を除いて,

は

曲線,

直接接触 逆接触

正

負

図

接触の種類と正負

1

2 3

1 3 2

new born triangle

図

各

において

は次のいずれか一方のみを満たす:

(a) 3

重点をただ

つだけ持ち, その

重点で交わる

本の接ベクトルのうち, どの

2

つも

次独立である.

(b)

自己接触をただ

つだけ持ち, 接触する

本の辺の曲率が異なる.

Generic

ホモトピー

について,

が自己接触を持つとき,

は

において自己接触を

通過すると呼ぶ. また

が

重点を持つとき

重点を通過すると呼ぶ.

定義

閉曲線

について,

つを結ぶ

ホモトピーで, 自己接触や

重点通過 をしなものが存在するとき,

と定義する.

定義

の同値関係について, generic 閉曲線を分類することが本研究の目標である.

定義

自己接触を通過する際, 接触する点における

本の辺の速度ベクトルが同じ向 きであるとき, この接触は直接

逆向きであるとき, この接触は逆

であ ると言う.

注意

自己接触が直接か逆かは, 曲線の向きを変えても変わらない. よって自己接触 が直接か逆かは, 向き付けられていない閉曲線に対して定まる.

定義

自己接触を通過した後,

重点が増えるとき, この接触は正

減ると きを負

であると言う.

定義

重点通過が正

であるとは,

によって決まる値

が偶数のときをいう. ただし

とは, 3 重点通過後 に出来る, 3 本の辺によって作られる三角形のことである.

は, 3 重点の近くの

本の 辺を通る順序によって定まるサイクルの向きと同じ向きを持つ辺の数である.

図

の場合は

と

の辺の向きがサイクルの向きと一致しているため,

となる.

K₀ K₁ K₂ K₃

. . .

図

注意

曲線の向きを逆にしても,

の値は変わらない. また

本の辺の順序を巡回的 に変えても

の値は変わらない. よって

重点通過の正負は, 向き付けられていない閉 曲線に対し定まる.

定義

正則曲線

に対し,

を

|c(t)˙ |

とする. このとき

を

の指数

といい, ind(c) と書く.

定理

正則曲線の指数は正則ホモトピー不変量である. さらに

と

が正則

ホモトピックであるための必要十分条件は, これらの指数が等しいことである.

3. Arnold

不変量

定義

を図

のような

閉曲線とする.

定理

向き付けられていない

閉曲線に対し,

重点を通過しない

ホモトピーに関する不変量

で,

(1) generic

閉曲線

が,

重点を

つ正に通過して

に変形したとき,

となるものが一意的に存在する.

定理

向き付けられていない

閉曲線に対し, 直接接触を通過しない

generic

ホモトピーに関する不変量

で

(1) generic

閉曲線c が, 直接接触を

つ正に通過して

に変形したとき,

(2) J⁺(K₀) = 0, J⁺(K_i+1) =−2i (i= 0,1, . . .)

となるものが一意的に存在する.

定理

向き付けられていない

閉曲線に対し, 逆接触を通過しないgeneric ホモトピーに関する不変量

で

(1) generic

閉曲線

が, 逆接触を

つ正に通過して

に変形したとき,

−2,

=C₀+_ΓC₁ Γ

C₀ C₁

図

一般化された連結和

C₀ C₁

=C₀+_ΓC₁

図

となるものが一意的に存在する.

これらの不変量が存在することの証明については

を参照して頂きたい.

4.

一般化された連結和

定義

を

閉曲線とする.

に対し

な曲線

で, 端 点の一つが

上に, もう一つの端点が

上にあるものを橋

とよぶ.

定義

橋

に沿った一般化された連結和を, 図

によって定まる閉曲線の足しあわ せとする.

必要に応じて足し合わせた曲線に向きを入れて考え, それに矛盾が無いように足し合 わせる

つの曲線にそれぞれ向きを与える.

定義

を

つの

閉曲線とする.

のときの一般化された連 結和を

と呼ぶ. 図

が

の例である.

定義

定義

と同じ仮定で, 更に

の

重点の個数

のとき,

を連結 和

と呼び, 単に

で表す

Γ

C₀ C₁

図

連結和

˙ c(0)

R v

˙ c(0)

v s=−1

s= 1

˙ c(0)

図

の決め方

定理

連結和に対して

不変量は加法的である. つまり

を

閉曲線とすると

J^±(C₀) +J^±(C₁) = J^±(C₀+C₁), St(C0) +St(C1) = St(C0+C1).

定理

に関して,

は加法的である.

5. Alexander numbering,

法線指数

曲線の分離

C ⊂ R²

を向きのついていない

閉曲線とする. Mendes de Jesus-Romero Fuster が

に関して, 一般化された連結和の特殊な場合に関しての加法性を得ている

それを更に一般化することを目標としている.

定義

をを向き付けられた閉曲線とし,

とおく.

を

の連結成分の

つとし,

を

内の任意の点とする.

e^iθ(t) = c(t)−p

|c(t)−p|

となる連続関数

を選ぶとき

ind^R(c) := θ(2π)−θ(0) 2π

を

に関する

の

と呼ぶ.

注意

は

の選び方には依存しないが, 曲線の向きには依存

する.

x∈C

を

重点でない点,

を

における

の単位法ベクトルとする. (x, v) に対して

を次のように定義する.

定義

を

が指し示す

の連結成分とする. このとき

のパラメータ

を一 つ選んで

ind_v(C) := s·ind^R(c)

とおき,

の

方向の法線指数とよぶ. ただし,

は,

から見て曲線が

の近傍 で右

に進むとき

である

補題

はパラメータ

の取り方によらず定まる. 特に

は

の向きに

関係なく定まる.

図

分離の例

定義

を閉曲線とする. この

つの曲線を正則ホモトピーで動かす事で

となるようにする操作を分 離

と呼ぶ. 分離を行ったあとの

つの閉曲線

は分離されている

という.

定義

を

重点とする.

を

番目の速度ベクトルの向きに出発し, 次に

に戻っ てくるまでの部分のパラメータ

をえらぶ.

を

e^iθ(x) = c(x)−c(0)

|c(x)−c(0)| (0< x <1), e^iθ(0) = c(0)˙

|c(0)˙ |, e^iθ(1) =− c(1)˙

|c(1)˙ |

を満たす連続関数とする. このとき

2(θ(1)−θ(0)) π

を

重点

の第一半指数

とよび,

とかく.

を

番目の速度ベクトル の向きに出発して同様に定義される値を

の第二半指数とよび,

と書く.

注意

半指数

は

の選び方によらない.

定義

向きのついた

閉曲線

の

重点

に対し

を

の指数

とよぶ.

補題

重点の半指数は曲線の向きに依存するが, 指数は向きに依存しない.

定義

を,

重点

を持つ, 向きのついた

閉曲線とする. このとき

を

I^±(c) =

∑_n

k=1i(A_k)±2n 4

と定義する.

2

重点の指数が曲線の向きによらないから,

も曲線の向きに関係なく定まり, 次の 関係が成り立つ.

定理

c_i c_i

Γ

c_i

Γ

c_i

Γ

図

による交点の増加の様子

1 2 3

1 2 3

図

和に関する

重点通過する辺の向きの入れ方

6. strange sum

_に関する

_の加法性

定理

を分離された

閉曲線とする.

を

をつなぐ 橋のパラメータとし,

の

重点の個数を

とする. このとき

J^±(C0+ΓC1) = J^±(C0) +J^±(C1) + indγ(0)˙ (C0) + ind₋γ(1)˙ (C1)±2nΓ±|IntΓ∩(C0∪C1)|.

証明の概要だけ記す.

の向きを一つ選び, その向きに矛盾がないように

の向きを選ぶ.

の

に沿った

という操作

を考える

参 照). この変形によって,

となるような

になるま で変形する. このとき

から

への変形の途中での接触の様子を調べることで

I^±(C_i^′) = I^±(Ci) + ind₍₋₁₎ⁱ_γ(i)˙ (Ci)±2nΓ± |IntΓ∩Ci|

が得られる. これを定理

に適用すれば結果を得る.

7.

曲線の和から自然に入る向きに関する曲線の分離の際の接触回数

C₀

と

を

閉曲線として変えないまま分離するとき,

と

は分離の途中で 何度か接触や

重点通過を起こす. 例えば図

の場合, 直接接触や

重点通過はなく, 負 の逆接触を

回起こすように分離することができる.

定義

を

を

を結ぶ橋とする. それぞれの向き

を,

に矛盾がないように選ぶ.

を分離する際の

重点通過の符号は

によって与える. ただし

の辺順序の付け方は,

か ら自然に決まるものとする.

定義

を向きのついた閉曲線とし,

を

を結ぶ橋とする. それぞれの向

き

を,

に矛盾がないように選ぶ.

と

を

閉曲線として変えない

まま分離するとき,

c₀ c₀

ˆ c₀ c₁

c₁ ˆc₁

γ

ˆ (1) γ

(1)⁻

ˆ

c₀ ˆc₁

図

曲線同士の交差の解消

• T_Γ⁺(c₀, c₁)

を,

と

の間で起こる正の直接接触の回数から負の直接接触の回数 を引いた値,

• T_Γ⁻(c₀, c₁)

を,

と

の間で起こる正の逆接触の回数から負の逆接触の回数を引 いた値,

• T_Γ^St(c0, c1)

を,

と

の間で起こる正の3 重点通過の回数から負の

重点通過の回 数を引いた値,

と定める.

これらは

に依存する値である. 混同のおそれが無い場合には

を省略し,

などとも書く.

これらの値は

で導入された値だが, その計算方法は

では述べられていないので, 本稿の§

で計算方法を与える，

8.

一般化された連結和の特別な場合に関する

_の加法性

Γ

は

閉曲線

と

の間の橋で, そのパラメータ

は

となるように選ぶ.

の向き

を選ぶ場合は,

に矛盾なく 向きが入るものとする.

定義

を

閉曲線,

を

の間の橋とする.

上の点

につい て,

と

が

において同じ向きであるとは,

における

の速度ベクトル

に沿って

まで平行移動したもの) が

における

の速度ベクトルと

未満の 角をなすこと, そうでないとき,

と

は

において逆の向きであるという.

同様に, Γ

上の点

について,

と

が

において同じ向きであるとは,

における

の速度ベクトル

に沿って

まで平行移動したもの) が

における

の 速度ベクトルと

未満の角をなすこと. そうでないとき,

と

は

において 逆の向きであるという.

定理

閉曲線

を結ぶ橋

が

かつ

を満 たすとき

J^±(C₀+_ΓC₁) = J^±(C₀) +J^±(C₁)−2T_Γ^±(C₀, C₁) + 2(

ind_γ(0)˙ (C₀) + ind_−γ(1)˙ (C₁)) .

ただし

のパラメータ

は

となるように選ぶ.

C₀ C₀ C₀ C₁

l₀⁻

に寄与

に寄与

Γ γ(1)

R R^′

Cˆ₀ Cˆ₀ Cˆ₀ C1

Γˆ γ(1)

R R^′

図

のときの

の様子

証明の概要だけ記す. 図

の

のように,

を

方向に,

を

方向に平行 移動して分離する. 分離後の曲線は

で表すことにする. この変形に合わせて

を 引き伸ばして得られる曲線を

とする. このとき

は

に関する

に なっている. 今の状況では

だから, 定理

を適用する.

9.

一般化された連結和に関する

の加法性

定理

を使って, 一般化された連結和に関する

の加法性について考える.

補題

を

を

と

を結ぶ橋で,

となるものとする.

に

に沿った

を行い,

で, ˆ

は自己交差を持たず, Intˆ

となるような

に変形 する

で, ˆ

と

が

において同じ向きであるようなものの 数を

逆向きであるようなものの数を

とおく. このとき

ind_γ(0)˙ˆ ( ˆC₀) = ind_γ(0)˙ (C₀)−l₀⁻+l₀⁺

が成り立つ.

定理

を

を

と

を結ぶ橋で,

とする.

上の点で, Γ に関して

と同じ向きである点 の個数を

とおき, 逆向きの点の個数を

とおく. ただし

とみなす. この とき

J^±(C₀+_ΓC₁) = J^±(C₀) +J^±(C₁)−2T^±(C₀, C₁) + 2(

indγ(0)˙ (C0) + ind₋γ(1)˙ (C1))

±2nγ±2(l₀^±+l₁^∓).

証明

に沿った

の

を考え,

となるようにする. た

だし

は定理

の

と同じ条件を満たすものとする.

図

由来の自己接触

c₀ c₀ c1 c₁

ˆ

c₀ c₁ ˆ

c₀ c₁

Γˆ

c0 c0 c1 c₁

(1)

T_γ^±

c₁

と

回直接接触

と

回逆接触

ˆ

c₀ c₁

ˆ c₀

c₁ Γˆ

(2) (3)

図

の計算手順

Push appendix

によって生じる接触回数は次のとおりである. まず,

と

の交点に由

来して,

回の直接接触と

回の逆接触が起こる.

がもつ

重点由来の自己接触は図

のようになっていて, 2 重点

つに対し, 直接接触が

回, 逆接触が

回起きている.

よって

J⁺(ˆc₀) =J⁺(c₀) + 2l₀⁻+ 2n_γ, J⁻(ˆc₀) =J⁻(c₀)−2l⁺₀ −2n_γ. T^±(ˆc0, c1)

を, ˆ

と

の分離を次のような手順に分解することにより計算する:

(1) ˆc₀

を一度

に戻し,

と

を分離し,

を

に戻す.

という手順に分解して計算する. それぞれ図

より

のとき直接接触が

回, 逆接触が

回起こり,

(2)

のとき直接接触が

回, 逆接触が

回起こり,

では

と

の間で接触が起こらない.

図

図

の

図

は

の場合だが,

の場合も同様である. よって

T_ˆγ⁺(ˆc₀, c₁) = T_γ⁺(c₀, c₁)−l⁻₁, T_ˆγ⁻(ˆc₀, c₁) =T_γ⁻(c₀, c₁) +l₁⁺

となる. また

である.

であり,

c₀ +_Γˆ c₁

には定理

を適用できるから

=J⁺(ˆc₀) +J⁺(ˆc₁)−2T_ˆ⁺

Γ(ˆc₀, c₁) + 2(ind_γ(0)˙ˆ (ˆc₀) + ind_−γ(1)˙ˆ (c₁))

=J⁺(c₀) +J⁺(c₁) + 2l₀⁺+ 2n_Γ−2(T_Γ⁺(c₀, c₁)−l⁻₁) + 2(indγ(0)˙ (ˆc0) +l₀⁻−l₀⁺+ ind₋γ(1)˙ (c1))

=J⁺(c₀) +J⁺(c₁) + 2n_Γ−2T_Γ⁺(c₀, c₁)

+ 2(ind_γ(0)˙ (c₀) + ind_−γ(1)˙ (c₁)) + 2(l₀⁺+l⁻₁).

同様にして計算すると

J⁻(c₀+_Γc₁) = J⁺(c₀)+J⁺(c₁)−2n_Γ−2T_Γ⁻(c₀, c₁)+2(ind_γ(0)˙ (c₀)+ind_−γ(1)˙ (c₁))−2(l₀⁻+l⁺₁).

10. T_Γ^±

と

の計算方法

定義

を向き付けられた

閉曲線とする.

重点の近くで

をつなぎかえる操 作の事を,

を

すると言う

参照).

smoothing

の結果, 任意の

閉曲線は単純閉曲線の和集合になる. 例えば

を

した結果, 図

のようになる.

を

閉曲線とする.

を結ぶ

橋

があって

に向きを選んで, これに合うように

に向きが入っている

ものとする. このとき

を分離するときの符号を含めた接触回数

につ

いて考える.