微分積分学および演習Ⅰ 演習問題 2

微分積分学および演習Ⅰ 演習問題 2

工学部・未来科学部1^年 担当: ^{原 隆}(未来科学部数学系列・助教)

演習課題

Exercises in class

※∗印の付いた問題は、少し難易度が高めです。

問題2-1. (^{色々な関数の微分}) 以下の関数を微分しなさい。

(1) f(x) = x³−6x

x²−4 (2) f(x) =x²e^x (3) f(x) = 3^2x (4) f(x) = tanx (5) f(x) =√

e^x+ 27 (6) f(x) =e^cosx (7) f(x) = log(logx) (8) f(x) = log

√ x+ 3

x²−4 (9) f(x) =x^x (10)f(x) =e^ex

2

(11)f(x) = √³

sin(e^x) (12)f(x) = cos(sinx) 3^x+x³

問題2-2. (連続であっても微分不可能な関数)^∗ 関数 f(x) =|x|=





x (x≥0 ^のとき)

−x (x <0 ^のとき)

を考える。

(1) y=f(x) ^{のグラフの概形を}xy 平面上に図示しなさい。

(2) f(x)^が x= 0 で連続であることを確認しなさい。

【ヒント】先ずはf(x)がx= 0で連続であることの正確な定義を思い出そう。

(3) ∆y=f(0+∆x)−f(0) =|∆x|^とおく。∆xを0に近づけたときの ∆y

∆x ^の右極限 lim

∆x→+0

∆y

∆x 及び左極限 lim

∆x→−0

∆y

∆x を計算しなさい。この結果を用いて、f(x) ^が x= 0 ^{で微分不可能で} あることを確認しなさい。

【ヒント】x=aで右極限と左極限が一致しないときは「f(x)はx→aで 収束しない 」と考えます。

問題2-3. (^{逆三角関数の微分法})

以下の関数の微分を計算しなさい。値域 (逆三角関数を考えている範囲) ^{に注意すること}!!

(1) f(x) = Arccos (x) (2) f(x) = sin⁻¹x

(3

2π≤sin⁻¹x≤5 2π

)

(3) f(x) = arcsin(x)

(

−3

2π≤arcsinx≤ −1 2π

)

(4) f(x) = arctan(x) (0≤arctanx < π) (5)^∗f(x) = (arccosx)² (π≤arccosx≤2π) (6)^∗f(x) = Arctan (x²)

【ヒント】 (5) arccosx を“ひと塊”に見て合成関数の微分法 (6) x² を“ひと塊”に見て合成関数の微分法

【解答】

問題2-2.

(1) ^{絶対値の定義から} f(x) =





x (x≥0^のとき)

−x (x≤0^のとき)

であるので、グラフの概形は下図の通り。

x y

O

y=f(x) =|x|

y=−x y=x

※ グラフが“尖っている”と“右から近づけた接線”と“左から近付けた接線”が異なってしまう!!

(2) 関数の連続性の定義から lim

x→0f(x) =f(0) (= 0) となることを示せば良い。そこで x → 0 としたときのf(x) の右極限と左極限を計算してみると

xlim→+0f(x) = lim

x→+0x= 0, lim

x→−0f(x) = lim

x→−0(−x) = 0 より、確かに lim

x→0f(x) =f(0)が成り立っている。

(3) ∆y

∆x = |∆x|

∆x =





1 (x≥0 ^のとき)

−1 (x≤0 ^のとき)

であるから

∆xlim→+0

∆x

∆y = lim

∆x→+01 = 1, lim

∆x→−0

∆x

∆y = lim

∆x→−0(−1) =−1 となり、右極限と左極限が一致しないため、極限値 lim

∆x→0

f(0 + ∆x)−f(0)

∆x ^{は存在しない。}

即ち関数y=f(x) ^はx= 0 ^{で微分不可能である。}