SHGH conjecture and the irrationality of Seshadri constants

SHGH conjecture and

the irrationality of Seshadri constants

広川未流

楫研究室

February 5, 2016

Introduction

Question

射影平面 P

上の線形系の次元を決定せよ．

線形系の次元について ( 例 ) 2 次曲線全体： 6

2 次曲線の定義方程式：

f = a

x

+ a

xy + a

y

+ a

xz + a

yz + a

z

p(= [0 : 0 : 1]) で重複度 2 を持つ 2 次曲線全体 ˜

： 3 a

= 0, f

(p) = f

(p) = 0 , a

= a

= 0 ) 3 = 6 ` 3

p

; p

で重複度 2 を持つ通る 2 次曲線全体 ˜

：

同様に 6 ` 3 ` 3 = 0 と期待されるが , 次元は 1 となる

線形系 ˜

は “ 期待通り ” の次元になる： nonspecial 線形系 ˜

は “ 期待とは異なる ” 次元になる： special

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Introduction

Question

射影平面 P

上の線形系の次元を決定せよ．

線形系の次元について ( 例 ) 2 次曲線全体： 6

2 次曲線の定義方程式：

f = a

x

+ a

xy + a

y

+ a

xz + a

yz + a

z

p(= [0 : 0 : 1]) で重複度 2 を持つ 2 次曲線全体 ˜

： 3 a

= 0, f

(p) = f

(p) = 0 , a

= a

= 0 ) 3 = 6 ` 3

p

; p

で重複度 2 を持つ通る 2 次曲線全体 ˜

：

同様に 6 ` 3 ` 3 = 0 と期待されるが , 次元は 1 となる

線形系 ˜

は “ 期待通り ” の次元になる： nonspecial 線形系 ˜

は “ 期待とは異なる ” 次元になる： special

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Introduction

Question

射影平面 P

上の線形系の次元を決定せよ．

線形系の次元について ( 例 ) 2 次曲線全体： 6

2 次曲線の定義方程式：

f = a

x

+ a

xy + a

y

+ a

xz + a

yz + a

z

p(= [0 : 0 : 1]) で重複度 2 を持つ 2 次曲線全体 ˜

： 3 a

= 0, f

(p) = f

(p) = 0 , a

= a

= 0 ) 3 = 6 ` 3

p

; p

で重複度 2 を持つ通る 2 次曲線全体 ˜

：

同様に 6 ` 3 ` 3 = 0 と期待されるが , 次元は 1 となる

線形系 ˜

は “ 期待通り ” の次元になる： nonspecial 線形系 ˜

は “ 期待とは異なる ” 次元になる： special

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Introduction

Question

射影平面 P

上の線形系の次元を決定せよ．

線形系の次元について ( 例 ) 2 次曲線全体： 6

2 次曲線の定義方程式：

f = a

x

+ a

xy + a

y

+ a

xz + a

yz + a

z

p(= [0 : 0 : 1]) で重複度 2 を持つ 2 次曲線全体 ˜

： 3 a

= 0, f

(p) = f

(p) = 0 , a

= a

= 0 ) 3 = 6 ` 3

p

; p

で重複度 2 を持つ通る 2 次曲線全体 ˜

：

同様に 6 ` 3 ` 3 = 0 と期待されるが , 次元は 1 となる

線形系 ˜

は “ 期待通り ” の次元になる： nonspecial 線形系 ˜

は “ 期待とは異なる ” 次元になる： special

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Introduction

Question

射影平面 P

上の線形系の次元を決定せよ．

線形系の次元について ( 例 ) 2 次曲線全体： 6

2 次曲線の定義方程式：

f = a

x

+ a

xy + a

y

+ a

xz + a

yz + a

z

p(= [0 : 0 : 1]) で重複度 2 を持つ 2 次曲線全体 ˜

： 3 a

= 0, f

(p) = f

(p) = 0 , a

= a

= 0 ) 3 = 6 ` 3

p

; p

で重複度 2 を持つ通る 2 次曲線全体 ˜

：

同様に 6 ` 3 ` 3 = 0 と期待されるが , 次元は 1 となる

線形系 ˜

は “ 期待通り ” の次元になる： nonspecial 線形系 ˜

は “ 期待とは異なる ” 次元になる： special

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Introduction

Question

射影平面 P

上の線形系の次元を決定せよ．

線形系の次元について ( 例 ) 2 次曲線全体： 6

2 次曲線の定義方程式：

f = a

x

+ a

xy + a

y

+ a

xz + a

yz + a

z

p(= [0 : 0 : 1]) で重複度 2 を持つ 2 次曲線全体 ˜

： 3 a

= 0, f

(p) = f

(p) = 0 , a

= a

= 0 ) 3 = 6 ` 3

p

; p

で重複度 2 を持つ通る 2 次曲線全体 ˜

：

同様に 6 ` 3 ` 3 = 0 と期待されるが , 次元は 1 となる

線形系 ˜

は “ 期待通り ” の次元になる： nonspecial 線形系 ˜

は “ 期待とは異なる ” 次元になる： special

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Introduction

Question

射影平面 P

上の線形系の次元を決定せよ．

線形系の次元について ( 例 ) 2 次曲線全体： 6

2 次曲線の定義方程式：

f = a

x

+ a

xy + a

y

+ a

xz + a

yz + a

z

p(= [0 : 0 : 1]) で重複度 2 を持つ 2 次曲線全体 ˜

： 3 a

= 0, f

(p) = f

(p) = 0 , a

= a

= 0 ) 3 = 6 ` 3

p

; p

で重複度 2 を持つ通る 2 次曲線全体 ˜

：

同様に 6 ` 3 ` 3 = 0 と期待されるが , 次元は 1 となる

線形系 ˜

は “ 期待通り ” の次元になる： nonspecial 線形系 ˜

は “ 期待とは異なる ” 次元になる： special

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Introduction

Question

射影平面 P

上の線形系の次元を決定せよ．

線形系の次元について ( 例 ) 2 次曲線全体： 6

2 次曲線の定義方程式：

f = a

x

+ a

xy + a

y

+ a

xz + a

yz + a

z

p(= [0 : 0 : 1]) で重複度 2 を持つ 2 次曲線全体 ˜

： 3 a

= 0, f

(p) = f

(p) = 0 , a

= a

= 0 ) 3 = 6 ` 3

p

; p

で重複度 2 を持つ通る 2 次曲線全体 ˜

：

同様に 6 ` 3 ` 3 = 0 と期待されるが , 次元は 1 となる 線形系 ˜

は “ 期待通り ” の次元になる： nonspecial 線形系 ˜

は “ 期待とは異なる ” 次元になる： special

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Introduction

Question

射影平面 P

上の線形系の次元を決定せよ．

線形系の次元について ( 例 ) 2 次曲線全体： 6

2 次曲線の定義方程式：

f = a

x

+ a

xy + a

y

+ a

xz + a

yz + a

z

p(= [0 : 0 : 1]) で重複度 2 を持つ 2 次曲線全体 ˜

： 3 a

= 0, f

(p) = f

(p) = 0 , a

= a

= 0 ) 3 = 6 ` 3

p

; p

で重複度 2 を持つ通る 2 次曲線全体 ˜

：

同様に 6 ` 3 ` 3 = 0 と期待されるが , 次元は 1 となる 線形系 ˜

は “ 期待通り ” の次元になる： nonspecial 線形系 ˜

は “ 期待とは異なる ” 次元になる： special

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Introduction

Question

射影平面 P

上の線形系の次元を決定せよ．

線形系の次元について ( 例 ) 2 次曲線全体： 6

2 次曲線の定義方程式：

f = a

x

+ a

xy + a

y

+ a

xz + a

yz + a

z

p(= [0 : 0 : 1]) で重複度 2 を持つ 2 次曲線全体 ˜

： 3 a

= 0, f

(p) = f

(p) = 0 , a

= a

= 0 ) 3 = 6 ` 3

p

; p

で重複度 2 を持つ通る 2 次曲線全体 ˜

：

同様に 6 ` 3 ` 3 = 0 と期待されるが , 次元は 1 となる 線形系 ˜

は “ 期待通り ” の次元になる： nonspecial 線形系 ˜

は “ 期待とは異なる ” 次元になる： special

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Introduction

Question

射影平面 P

上の線形系の次元を決定せよ．

線形系の次元について ( 例 ) 2 次曲線全体： 6

2 次曲線の定義方程式：

f = a

x

+ a

xy + a

y

+ a

xz + a

yz + a

z

p(= [0 : 0 : 1]) で重複度 2 を持つ 2 次曲線全体 ˜

： 3 a

= 0, f

(p) = f

(p) = 0 , a

= a

= 0 ) 3 = 6 ` 3

p

; p

で重複度 2 を持つ通る 2 次曲線全体 ˜

：

同様に 6 ` 3 ` 3 = 0 と期待されるが , 次元は 1 となる 線形系 ˜

は “ 期待通り ” の次元になる： nonspecial 線形系 ˜

は “ 期待とは異なる ” 次元になる： special

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Definitions

ı : X

! P

^を一般の r 点での blow-up とし , その exceptional divisor を e

; : : : ; e

, l := ı

O

(1) ．

Definition (Special divisor)

PicX

3 D = dl `

m

e

に対して ,

virtual dimension ： v -dim(D) =

`

mi(mi+1) 2

expected dimension ： e-dim(D) = max f v -dim(D); 0 g と定義する．

h

(X

; O

(D)) – e-dim(D) となることが知られており ,

\ = " となるとき D は nonspecial,

\ > " となるとき D は special という

special divisor の例

D = 2l ` 2e

` 2e

は special ．

e -dim(D) = 6 ` 3 ` 3 = 0 だが , h

(X

; O

(D)) = 1 となる．

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Definitions

ı : X

! P

^を一般の r 点での blow-up とし , その exceptional divisor を e

; : : : ; e

, l := ı

O

(1) ．

Definition (Special divisor)

PicX

3 D = dl `

m

e

に対して ,

virtual dimension ： v -dim(D) =

`

mi(mi+1) 2

expected dimension ： e-dim(D) = max f v -dim(D); 0 g と定義する．

h

(X

; O

(D)) – e-dim(D) となることが知られており ,

\ = " となるとき D は nonspecial,

\ > " となるとき D は special という

special divisor の例

D = 2l ` 2e

` 2e

は special ．

e -dim(D) = 6 ` 3 ` 3 = 0 だが , h

(X

; O

(D)) = 1 となる．

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Definitions

ı : X

! P

^を一般の r 点での blow-up とし , その exceptional divisor を e

; : : : ; e

, l := ı

O

(1) ．

Definition (Special divisor)

PicX

3 D = dl `

m

e

に対して ,

virtual dimension ： v -dim(D) =

`

mi(mi+1) 2

expected dimension ： e-dim(D) = max f v -dim(D); 0 g と定義する．

h

(X

; O

(D)) – e-dim(D) となることが知られており ,

\ = " となるとき D は nonspecial,

\ > " となるとき D は special という

special divisor の例

D = 2l ` 2e

` 2e

は special ．

e -dim(D) = 6 ` 3 ` 3 = 0 だが , h

(X

; O

(D)) = 1 となる．

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Definitions

ı : X

! P

^を一般の r 点での blow-up とし , その exceptional divisor を e

; : : : ; e

, l := ı

O

(1) ．

Definition (Special divisor)

PicX

3 D = dl `

m

e

に対して ,

virtual dimension ： v -dim(D) =

`

mi(mi+1) 2

expected dimension ： e-dim(D) = max f v -dim(D); 0 g と定義する．

h

(X

; O

(D)) – e-dim(D) となることが知られており ,

\ = " となるとき D は nonspecial,

\ > " となるとき D は special という

special divisor の例

D = 2l ` 2e

` 2e

は special ．

e -dim(D) = 6 ` 3 ` 3 = 0 だが , h

(X

; O

(D)) = 1 となる．

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Definitions

ı : X

! P

^を一般の r 点での blow-up とし , その exceptional divisor を e

; : : : ; e

, l := ı

O

(1) ．

Definition (Special divisor)

PicX

3 D = dl `

m

e

に対して ,

virtual dimension ： v -dim(D) =

`

mi(mi+1) 2

expected dimension ： e-dim(D) = max f v -dim(D); 0 g と定義する．

h

(X

; O

(D)) – e-dim(D) となることが知られており ,

\ = " となるとき D は nonspecial,

\ > " となるとき D は special という

special divisor の例

D = 2l ` 2e

` 2e

は special ．

e -dim(D) = 6 ` 3 ` 3 = 0 だが , h

(X

; O

(D)) = 1 となる．

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Definitions

ı : X

! P

^を一般の r 点での blow-up とし , その exceptional divisor を e

; : : : ; e

, l := ı

O

(1) ．

Definition (Special divisor)

PicX

3 D = dl `

m

e

に対して ,

virtual dimension ： v -dim(D) =

`

mi(mi+1) 2

expected dimension ： e-dim(D) = max f v -dim(D); 0 g と定義する．

h

(X

; O

(D)) – e-dim(D) となることが知られており ,

\ = " となるとき D は nonspecial,

\ > " となるとき D は special という

special divisor の例

D = 2l ` 2e

` 2e

は special ．

e -dim(D) = 6 ` 3 ` 3 = 0 だが , h

(X

; O

(D)) = 1 となる．

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Definitions

ı : X

! P

^を一般の r 点での blow-up とし , その exceptional divisor を e

; : : : ; e

, l := ı

O

(1) ．

Definition (Special divisor)

PicX

3 D = dl `

m

e

に対して ,

virtual dimension ： v -dim(D) =

`

mi(mi+1) 2

expected dimension ： e-dim(D) = max f v -dim(D); 0 g と定義する．

h

(X

; O

(D)) – e-dim(D) となることが知られており ,

\ = " となるとき D は nonspecial,

\ > " となるとき D は special という special divisor の例

D = 2l ` 2e

` 2e

は special ．

e -dim(D) = 6 ` 3 ` 3 = 0 だが , h

(X

; O

(D)) = 1 となる．

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Definitions

ı : X

! P

^を一般の r 点での blow-up とし , その exceptional divisor を e

; : : : ; e

, l := ı

O

(1) ．

Definition (Special divisor)

PicX

3 D = dl `

m

e

に対して ,

virtual dimension ： v -dim(D) =

`

mi(mi+1) 2

expected dimension ： e-dim(D) = max f v -dim(D); 0 g と定義する．

h

(X

; O

(D)) – e-dim(D) となることが知られており ,

\ = " となるとき D は nonspecial,

\ > " となるとき D は special という special divisor の例

D = 2l ` 2e

` 2e

は special ．

e -dim(D) = 6 ` 3 ` 3 = 0 だが , h

(X

; O

(D)) = 1 となる．

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Definitions

ı : X

! P

^を一般の r 点での blow-up とし , その exceptional divisor を e

; : : : ; e

, l := ı

O

(1) ．

Definition (Special divisor)

PicX

3 D = dl `

m

e

に対して ,

virtual dimension ： v -dim(D) =

`

mi(mi+1) 2

expected dimension ： e-dim(D) = max f v -dim(D); 0 g と定義する．

h

(X

; O

(D)) – e-dim(D) となることが知られており ,

\ = " となるとき D は nonspecial,

\ > " となるとき D は special という special divisor の例

D = 2l ` 2e

` 2e

は special ．

e -dim(D) = 6 ` 3 ` 3 = 0 だが , h

(X

; O

(D)) = 1 となる．

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Conjecture

SHGH Conjecture

C: prime divisor on X

) C: nonspecial.

ただし , ı : X

! P

^{は平面上の一般} r 点での blow-up とする．

これを Segre-Harbourne-Gimigliano-Hirschowitz 予想という．

SHGH 予想は次と同値である．

D 2 PicX

: special ) 9 C: ( ` 1)-curve s.t. D:C » ` 2 D 2 PicX

: standard form ) D: nonspecial

SHGH 予想は Nagata 予想を導く Nagata 予想

C: 既約かつ被約な平面曲線 , deg(C) = d, mult

C = m

(p

; : : : ; p

2 P

) に対して ,

d –

m

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Conjecture

SHGH Conjecture

C: prime divisor on X

) C: nonspecial.

ただし , ı : X

! P

^{は平面上の一般} r 点での blow-up とする．

これを Segre-Harbourne-Gimigliano-Hirschowitz 予想という．

SHGH 予想は次と同値である．

D 2 PicX

: special ) 9 C: ( ` 1)-curve s.t. D:C » ` 2 D 2 PicX

: standard form ) D: nonspecial

SHGH 予想は Nagata 予想を導く Nagata 予想

C: 既約かつ被約な平面曲線 , deg(C) = d, mult

C = m

(p

; : : : ; p

2 P

) に対して ,

d –

m

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Conjecture

SHGH Conjecture

C: prime divisor on X

) C: nonspecial.

ただし , ı : X

! P

^{は平面上の一般} r 点での blow-up とする．

これを Segre-Harbourne-Gimigliano-Hirschowitz 予想という．

SHGH 予想は次と同値である．

D 2 PicX

: special ) 9 C: ( ` 1)-curve s.t. D:C » ` 2 D 2 PicX

: standard form ) D: nonspecial

SHGH 予想は Nagata 予想を導く Nagata 予想

C: 既約かつ被約な平面曲線 , deg(C) = d, mult

C = m

(p

; : : : ; p

2 P

) に対して ,

d –

m

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Conjecture

SHGH Conjecture

C: prime divisor on X

) C: nonspecial.

ただし , ı : X

! P

^{は平面上の一般} r 点での blow-up とする．

これを Segre-Harbourne-Gimigliano-Hirschowitz 予想という．

SHGH 予想は次と同値である．

D 2 PicX

: special ) 9 C: ( ` 1)-curve s.t. D:C » ` 2 D 2 PicX

: standard form ) D: nonspecial

SHGH 予想は Nagata 予想を導く Nagata 予想

C: 既約かつ被約な平面曲線 , deg(C) = d, mult

C = m

(p

; : : : ; p

2 P

) に対して ,

d –

m

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Conjecture

SHGH Conjecture

C: prime divisor on X

) C: nonspecial.

ただし , ı : X

! P

^{は平面上の一般} r 点での blow-up とする．

これを Segre-Harbourne-Gimigliano-Hirschowitz 予想という．

SHGH 予想は次と同値である．

D 2 PicX

: special ) 9 C: ( ` 1)-curve s.t. D:C » ` 2 D 2 PicX

: standard form ) D: nonspecial

SHGH 予想は Nagata 予想を導く Nagata 予想

C: 既約かつ被約な平面曲線 , deg(C) = d, mult

C = m

(p

; : : : ; p

2 P

) に対して ,

d –

m

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Conjecture

SHGH Conjecture

C: prime divisor on X

) C: nonspecial.

ただし , ı : X

! P

^{は平面上の一般} r 点での blow-up とする．

これを Segre-Harbourne-Gimigliano-Hirschowitz 予想という．

SHGH 予想は次と同値である．

D 2 PicX

: special ) 9 C: ( ` 1)-curve s.t. D:C » ` 2 D 2 PicX

: standard form ) D: nonspecial

SHGH 予想は Nagata 予想を導く Nagata 予想

C: 既約かつ被約な平面曲線 , deg(C) = d, mult

C = m

(p

; : : : ; p

2 P

) に対して ,

d –

m

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Conjecture

SHGH Conjecture

C: prime divisor on X

) C: nonspecial.

ただし , ı : X

! P

^{は平面上の一般} r 点での blow-up とする．

これを Segre-Harbourne-Gimigliano-Hirschowitz 予想という．

SHGH 予想は次と同値である．

D 2 PicX

: special ) 9 C: ( ` 1)-curve s.t. D:C » ` 2 D 2 PicX

: standard form ) D: nonspecial

SHGH 予想は Nagata 予想を導く Known Results

r » 9 のとき

D = dl `

m

e

, m

» 11 のとき

D = dl ` m

e

, m » 42 のとき

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Definitions

Definition (Seshadri constant)

X ：非特異射影代数多様体 , L ： X 上の nef divisor とする．

L の p 2 X における Seshadri constant を次で定義する．

"(L; p) = sup f t 2 R j —

O

(L) ` tE : nef g

ただし , — : ~ X ! X ： p における X の blow-up, exceptional divisor を E とする．

Seshadri constant の例 X =“ P

^の 1 点 blow-up"

L = 2l ! "(L; p) = 2 L = 2l ` e

! "(L; p) = 1 L = 2l ` 2e

! "(L; p) = 0

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Definitions

Definition (Seshadri constant)

X ：非特異射影代数多様体 , L ： X 上の nef divisor とする．

L の p 2 X における Seshadri constant を次で定義する．

"(L; p) = sup f t 2 R j —

O

(L) ` tE : nef g

ただし , — : ~ X ! X ： p における X の blow-up, exceptional divisor を E とする．

Seshadri constant の例 X =“ P

^の 1 点 blow-up"

L = 2l ! "(L; p) = 2 L = 2l ` e

! "(L; p) = 1 L = 2l ` 2e

! "(L; p) = 0

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Definitions

Definition (Seshadri constant)

X ：非特異射影代数多様体 , L ： X 上の nef divisor とする．

L の p 2 X における Seshadri constant を次で定義する．

"(L; p) = sup f t 2 R j —

O

(L) ` tE : nef g ただし , — : ~ X ! X ： p における X の blow-up,

exceptional divisor を E とする．

Seshadri constant の例 X =“ P

^の 1 点 blow-up"

L = 2l ! "(L; p) = 2 L = 2l ` e

! "(L; p) = 1 L = 2l ` 2e

! "(L; p) = 0

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Definitions

Definition (Seshadri constant)

X ：非特異射影代数多様体 , L ： X 上の nef divisor とする．

L の p 2 X における Seshadri constant を次で定義する．

"(L; p) = sup f t 2 R j —

O

(L) ` tE : nef g ただし , — : ~ X ! X ： p における X の blow-up,

exceptional divisor を E とする．

Seshadri constant の例 X =“ P

^の 1 点 blow-up"

L = 2l ! "(L; p) = 2 L = 2l ` e

! "(L; p) = 1 L = 2l ` 2e

! "(L; p) = 0

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Definitions

Definition (Seshadri constant)

X ：非特異射影代数多様体 , L ： X 上の nef divisor とする．

L の p 2 X における Seshadri constant を次で定義する．

"(L; p) = sup f t 2 R j —

O

(L) ` tE : nef g ただし , — : ~ X ! X ： p における X の blow-up,

exceptional divisor を E とする．

very general な点での Seshadri constant の値は一定であり [Sano,2014], その値を "

と記す

"

が無理数になる例は知られていない

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Definitions

Definition (Seshadri constant)

X ：非特異射影代数多様体 , L ： X 上の nef divisor とする．

L の p 2 X における Seshadri constant を次で定義する．

"(L; p) = sup f t 2 R j —

O

(L) ` tE : nef g ただし , — : ~ X ! X ： p における X の blow-up,

exceptional divisor を E とする．

very general な点での Seshadri constant の値は一定であり [Sano,2014], その値を "

と記す

"

が無理数になる例は知られていない

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Main Theorem

Main Theorem

r – 9 を整数とする． SHGH 予想が r + 1 で成立すれば ,

P

^の r 点 blow-up 上に Seshadri constant "

(A) が無理数にな る ample divisor A が存在する

定理の意義

SHGH 予想の必要条件

Seshadri constant の無理数性の十分条件 SHGH 予想の研究に対する新たな視点

SHGH 予想 ) ^{いくつかの予想} ) Nagata 予想 )

Seshadri constant の無理数性

いくつかの予想

nef divisor )nonspecial

negative curve )rational etc...

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Main Theorem

Main Theorem

r – 9 を整数とする． SHGH 予想が r + 1 で成立すれば ,

P

^の r 点 blow-up 上に Seshadri constant "

(A) が無理数にな る ample divisor A が存在する

定理の意義

SHGH 予想の必要条件

Seshadri constant の無理数性の十分条件 SHGH 予想の研究に対する新たな視点

SHGH 予想 ) ^{いくつかの予想} ) Nagata 予想 )

Seshadri constant の無理数性

いくつかの予想

nef divisor )nonspecial

negative curve )rational etc...

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Main Theorem

Main Theorem

r – 9 を整数とする． SHGH 予想が r + 1 で成立すれば ,

P

^の r 点 blow-up 上に Seshadri constant "

(A) が無理数にな る ample divisor A が存在する

定理の意義

SHGH 予想の必要条件

Seshadri constant の無理数性の十分条件 SHGH 予想の研究に対する新たな視点

SHGH 予想 ) ^{いくつかの予想} ) Nagata 予想 )

Seshadri constant の無理数性 いくつかの予想

nef divisor )nonspecial

negative curve )rational etc...

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Main Theorem

Main Theorem

r – 9 を整数とする． SHGH 予想が r + 1 で成立すれば ,

P

^の r 点 blow-up 上に Seshadri constant "

(A) が無理数にな る ample divisor A が存在する

del Pezzo surface (r » 8) 上の ample divisor の Seshadri constant は有理数になる [Sano,2014]

) Main Theorem の r – 9 という条件は sharp になっている．

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Main Theorem

Main Theorem

r – 9 を整数とする． SHGH 予想が r + 1 で成立すれば ,

P

^の r 点 blow-up 上に Seshadri constant "

(A) が無理数にな る ample divisor A が存在する

これは

の結果の拡張に なっている：

先行結果

Theorem2.2[Dumnicki-Küronya-Maclean-Szemberg,2013]

rを9以上の整数とする．SHGH予想がr+ 1で成立すれば, 次のどちらかが成り立つ．

(1)"gen(A)が無理数になるample divisor A2PicXrが存在する (2)SHGH予想が rで成立しない

Corollary[Dumnicki-Küronya-Maclean-Szemberg,2013]

SHGH 予想が10で成立すれば,

P^2の 9点 blow-up上に "gen(A)が無理数になる ample divisor Aが存在する

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Main Theorem

Main Theorem

r – 9 を整数とする． SHGH 予想が r + 1 で成立すれば ,

P

^の r 点 blow-up 上に Seshadri constant "

(A) が無理数にな る ample divisor A が存在する

これは

の結果の拡張に なっている：

先行結果

Theorem2.2[Dumnicki-Küronya-Maclean-Szemberg,2013]

rを9以上の整数とする．SHGH予想がr+ 1で成立すれば, 次のどちらかが成り立つ．

(1)"gen(A)が無理数になるample divisor A2PicXrが存在する (2)SHGH予想が rで成立しない

Corollary[Dumnicki-Küronya-Maclean-Szemberg,2013]

SHGH 予想が10で成立すれば,

P^2の 9点 blow-up上に "gen(A)が無理数になる ample divisor Aが存在する

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Outline of Proof

Key Proposition r を正の整数とする．

SHGH 予想が r + 1 のときに成り立てば , r のときも成立する．

SHGH 予想： PicX

3 D = dl `

m

e

, m

– ´ ´ ´ – m

– ` 1, d – m

+ m

+ m

) D: nonspecial

ı : X

! X

1 点 blow-up とすると , ı

D = dl `

m

e

` 0e

とかける．

方針： m

; m

; m

の正負により場合分け

case0: m

– m

– m

– 0 ) ı

D: nonspecial case1: m

– m

– 0 > m

case2: m

– 0 > m

– m

case3: 0 > m

– m

– m

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Outline of Proof

Key Proposition r を正の整数とする．

SHGH 予想が r + 1 のときに成り立てば , r のときも成立する．

SHGH 予想： PicX

3 D = dl `

m

e

, m

– ´ ´ ´ – m

– ` 1, d – m

+ m

+ m

) D: nonspecial

ı : X

! X

1 点 blow-up とすると , ı

D = dl `

m

e

` 0e

とかける．

方針： m

; m

; m

の正負により場合分け

case0: m

– m

– m

– 0 ) ı

D: nonspecial case1: m

– m

– 0 > m

case2: m

– 0 > m

– m

case3: 0 > m

– m

– m

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Outline of Proof

Key Proposition r を正の整数とする．

SHGH 予想が r + 1 のときに成り立てば , r のときも成立する．

SHGH 予想： PicX

3 D = dl `

m

e

, m

– ´ ´ ´ – m

– ` 1, d – m

+ m

+ m

) D: nonspecial

ı : X

! X

1 点 blow-up とすると , ı

D = dl `

m

e

` 0e

とかける．

方針： m

; m

; m

の正負により場合分け

case0: m

– m

– m

– 0 ) ı

D: nonspecial case1: m

– m

– 0 > m

case2: m

– 0 > m

– m

case3: 0 > m

– m

– m

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Outline of Proof

Key Proposition r を正の整数とする．

SHGH 予想が r + 1 のときに成り立てば , r のときも成立する．

SHGH 予想： PicX

3 D = dl `

m

e

, m

– ´ ´ ´ – m

– ` 1, d – m

+ m

+ m

) D: nonspecial

ı : X

! X

1 点 blow-up とすると , ı

D = dl `

m

e

` 0e

とかける．

方針： m

; m

; m

の正負により場合分け

case0: m

– m

– m

– 0 ) ı

D: nonspecial case1: m

– m

– 0 > m

case2: m

– 0 > m

– m

case3: 0 > m

– m

– m

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Outline of Proof

Key Proposition r を正の整数とする．

SHGH 予想が r + 1 のときに成り立てば , r のときも成立する．

SHGH 予想： PicX

3 D = dl `

m

e

, m

– ´ ´ ´ – m

– ` 1, d – m

+ m

+ m

) D: nonspecial

ı : X

! X

1 点 blow-up とすると , ı

D = dl `

m

e

` 0e

とかける．

方針： m

; m

; m

の正負により場合分け

case0: m

– m

– m

– 0 ) ı

D: nonspecial case1: m

– m

– 0 > m

case2: m

– 0 > m

– m

case3: 0 > m

– m

– m

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Outline of Proof

case1: m

– m

– 0 > m

m

; : : : ; m

= ` 1,

D = dl ` m

e

` m

e

+ e

+ ´ ´ ´ + e

e

(( ` 1)-curve) についての ideal exact sequence:

0 ! O

(D ` e

) ! O

(D) ! O

(D j

) ! 0

を考えて , 次が成立する．

h

(X

; O

(D ` e

)) = h

(X

; O

(D)) 同じ操作を繰り返すと ,

h

(X

; O

(D)) = h

(X

; O

(D ` e

` ´ ´ ´ ` e

))

= h

(X

; O

(dl ` m

e

` m

e

)) SHGH 予想が r = 2 で正しいことから D: nonspecial

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Outline of Proof

case1: m

– m

– 0 > m

m

; : : : ; m

= ` 1,

D = dl ` m

e

` m

e

+ e

+ ´ ´ ´ + e

e

(( ` 1)-curve) についての ideal exact sequence:

0 ! O

(D ` e

) ! O

(D) ! O

(D j

) ! 0

を考えて , 次が成立する．

h

(X

; O

(D ` e

)) = h

(X

; O

(D)) 同じ操作を繰り返すと ,

h

(X

; O

(D)) = h

(X

; O

(D ` e

` ´ ´ ´ ` e

))

= h

(X

; O

(dl ` m

e

` m

e

)) SHGH 予想が r = 2 で正しいことから D: nonspecial

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Outline of Proof

case1: m

– m

– 0 > m

m

; : : : ; m

= ` 1,

D = dl ` m

e

` m

e

+ e

+ ´ ´ ´ + e

e

(( ` 1)-curve) についての ideal exact sequence:

0 ! O

(D ` e

) ! O

(D) ! O

(D j

) ! 0 を考えて , 次が成立する．

h

(X

; O

(D ` e

)) = h

(X

; O

(D)) 同じ操作を繰り返すと ,

h

(X

; O

(D)) = h

(X

; O

(D ` e

` ´ ´ ´ ` e

))

= h

(X

; O

(dl ` m

e

` m

e

)) SHGH 予想が r = 2 で正しいことから D: nonspecial

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Outline of Proof

case1: m

– m

– 0 > m

m

; : : : ; m

= ` 1,

D = dl ` m

e

` m

e

+ e

+ ´ ´ ´ + e

e

(( ` 1)-curve) についての ideal exact sequence:

0 ! O

(D ` e

) ! O

(D) ! O

(D j

) ! 0 を考えて , 次が成立する．

h

(X

; O

(D ` e

)) = h

(X

; O

(D)) 同じ操作を繰り返すと ,

h

(X

; O

(D)) = h

(X

; O

(D ` e

` ´ ´ ´ ` e

))

= h

(X

; O

(dl ` m

e

` m

e

)) SHGH 予想が r = 2 で正しいことから D: nonspecial

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Outline of Proof

case1: m

– m

– 0 > m

m

; : : : ; m

= ` 1,

D = dl ` m

e

` m

e

+ e

+ ´ ´ ´ + e

e

(( ` 1)-curve) についての ideal exact sequence:

0 ! O

(D ` e

) ! O

(D) ! O

(D j

) ! 0 を考えて , 次が成立する．

h

(X

; O

(D ` e

)) = h

(X

; O

(D)) 同じ操作を繰り返すと ,

h

(X

; O

(D)) = h

(X

; O

(D ` e

` ´ ´ ´ ` e

))

= h

(X

; O

(dl ` m

e

` m

e

)) SHGH 予想が r = 2 で正しいことから D: nonspecial

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Corollary of Main Theorem

Corollary

r を 9 以上の整数とする． SHGH 予想が r + 1 で成立

) ^任意の a 2 f sn

j s; n 2 N ; 9 » s » r g ^に対して , Seshadri constant が無理数になる A: ample divisor on X

が存在する．

Main Threorem : r 点 blow-up

Corollary : r ˆ n

点 blow-up ( など )

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Corollary of Main Theorem

Corollary

r を 9 以上の整数とする． SHGH 予想が r + 1 で成立

) ^任意の a 2 f sn

j s; n 2 N ; 9 » s » r g ^に対して , Seshadri constant が無理数になる A: ample divisor on X

が存在する．

Main Threorem : r 点 blow-up

Corollary : r ˆ n

点 blow-up ( など )

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Corollary of Main Theorem

Corollary

r を 9 以上の整数とする． SHGH 予想が r + 1 で成立

) ^任意の a 2 f sn

j s; n 2 N ; 9 » s » r g ^に対して , Seshadri constant が無理数になる A: ample divisor on X

が存在する．

Main Threorem : r 点 blow-up

Corollary : r ˆ n

点 blow-up ( など )

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Main Theorem

Main Theorem

r – 9 を整数とする． SHGH 予想が r + 1 で成立すれば ,

P

^の r 点 blow-up 上に Seshadri constant "

(A) が無理数にな る ample divisor A が存在する

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Works in progress

Works in progress SHGH 予想 Nagata 予想

Seshadri constant の有理性 nef divisor は nonspecial か？

X

上の negative curve は rational か？

etc...

Remark

SHGH conjecture

,

“nef divisorsはnonspecial" & “negative curvesがrational"

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