学位論文要旨（修士（理学））

学位論文要旨（修士（理学））

論文著者名 下山 裕介

論文題名：光格子における

2

成分ボソン混合系の相転移と励起スペクトル

本文

レーザー冷却により原子気体を

nK

程度の極低温まで冷却することで冷却原子気 体ができる。冷却原子気体ではレーザーの定在波を用いた周期ポテンシャルを印 加でき、人工的な結晶構造を作り出すことができる。これは光格子と呼ばれ、固 体中に近い状況を再現する。また、冷却原子系では、巨視的な数の原子気体が基 底状態に落ち込むボースアインシュタイン凝縮を起こすことにより、超流動とな ることが分かっている。近年、光格子中の冷却原子系の性質に注目した実験や理 論の研究が活発に行われている。特にレーザー強度を比較的強くすることにより ハバードモデルで記述できる疑似的な状況を作りだすことができ、超流動

-

モット 絶縁体転移などが観測されている。光格子中冷却原子気体の利点は、周期ポテン シャルの深さや粒子数など、系を記述するパラメータを操作できる点である。特 に、理論と実験の比較精度が非常に高く、新奇現象の発見及び背景の解明が行い やすい。本論文では、2 成分ボース・ハバードモデルにグッツヴィラー近似を適 用することで光格子中の

2

成分ボソン混合系の基底状態の相図と励起スペクトル を調べた。各成分のホッピングと同成分間相互作用とは等しいとすると、異成分 間相互作用により、超流動やペア超流動、カウンターフロー超流動などいくつか の量子相が現れる。量子相そのものを観測することはとても難しいので、それら の量子相や相転移を特定するのに有用な励起スペクトルを計算した。超流動相の 励起スペクトルはいくつかのギャップフルモードと

2

つのギャップレスモードが現 れ、それぞれ秩序変数の振幅の揺らぎと位相に対応することが分かっているが、

2

成分の場合でも超流動相において同様の振る舞いが見られた。また転移点では、

2

次相転移の時ある振幅モードは消え、

1

次相転移の時残ることが分かっているが、

２成分の場合でもこの振幅モードを見ることによって転移次数の変化を調べた。励 起スペクトルはブラッグ散乱によって測定できるので、線形応答理論を使うこと で動的構造因子を計算する。今回は

2

種の密度揺らぎの応答を考え、密度揺らぎ は異なる量子相において異なる励起のブランチに対応していることを示した。

目 次

1

はじめに

2

2

定式化

4

2.1 2

成分

BHM . . . . 4

2.2

グッツヴィラー近似

. . . . 4

2.3

有効ハミルトニアン

. . . . 5

2.4

線形安定性解析

. . . . 6

2.5

線形応答理論

. . . . 8

3

計算結果

10 3.1

基底状態と相転移

. . . . 10

3.1.1

相図

. . . . 10

3.2

励起スペクトル

. . . . 12

3.2.1 SF

相

. . . . 12

3.2.2

転移点近傍

. . . . 12

3.2.3 PSF

相

. . . . 13

3.3

動的構造因子

. . . . 14

4

まとめ

16

1 はじめに

レーザー冷却技術の発展により、原子気体を

nK

程度の極低温まで冷却すること が可能になっている。この冷却原子気体にはレーザーの定在波を印加することが でき、人工的な結晶構造を作り出すことができる。これは光格子と呼ばれ、個体 の構造に近い状況を再現する。また冷却原子系では、巨視的な数の原子気体が基 底状態に落ち込むボースアインシュタイン凝縮を起こすことにより、超流動にな ることが分かっている。この超流動

(SF)

からモット絶縁体

(MI)

への量子相転移 が観測され、光格子にトラップされた極低温原子は量子多体強相関系の研究に新 たな知見をもたらした

[1]

。特に、光格子中の

2

つの異なる超微細状態

[12]

、原子

[13]

、同位体

[14]

などの

2

成分ボソン混合系の実験

[2]

は、新奇な量子相の新たな 発見の可能性を広げた。これまで

2

成分ボース・ハバードモデル

(BHM)

の分析で は、

2

成分ボソン混合系を定量的に調べることで、

SF

や

MI

、相分離、ペア超流動

(PSF)

、カウンターフロー超流動

(CSF)

、密度波、超個体などの様々な量子相が予

想された。

PSF

は異なる

2

成分ボソンにより構成される超流動で、

2

成分ボソン間 の引力相互作用により現れる

[3, 4]。CSF

は

2

成分ボソン間に斥力相互作用が働い ている時に

MI

相に現れ、あるボソンと、それとは異なる成分のホールのペアで構 成される超流動として説明できる

[3, 4]

。

PSF(CSF)

では、同相

(

逆相

)

な運動量の 自由度のみ許された超流動であり、言い換えればその相では運動は消失しておら ず、逆相

(

同相

)

の運動は禁じられている。ここでは、

2

成分ボソンペアの運動量 を同相な運動量、

2

成分ボソンの粒子とホールペア

(

アンチペア

)

の運動量を逆相 な運動量と表現する。これらの相は広く関心が集まっているにも関わらず、未だ 実験的に観測されていない。

これまで、

1

次元格子中の

SF,PSF,CSF

相でのダイポール振動の研究

[5]

がされ ているが、このような動的な振舞いを理解するためには光格子中の

2

成分ボソン 混合系の励起を明らかにすることが重要である。

1

成分ボソンの励起

[6, 7]

は理論 的にも実験的にもよく理解されている。

MI

相では最低励起スペクトルの

2

つの ブランチはギャップがありそれぞれ粒子とホール励起のモードに一致する

[8]。ま

た、

SF

相では励起スペクトルは

1

つのギャップレスモードと複数のギャップフル モードを持つ

[9]

。ギャップレスモードは超流動秩序変数に一致し、ボゴリューボ フモードとして知られている。一方、サイト当たりの粒子数密度

(フィリング)

一

定の

SF-MI

相転移近傍における最低のギャップフルモードは振幅モードとみなせ

る。またよく知られているように振幅モードは、転移点でギャップレスモードにな る。励起スペクトルは、実験的にはブラッグ分光法

[10]

などで調べることができ、

2

相の違いや相転移を特徴づけることに上手く使われる。よって、素励起は

2

成分 ボソン混合系の

SF-MI

相転移を区別するのに利用できることが期待される。

本研究では、絶対零度における光格子中の

2

成分ボソン混合系の量子相転移と 励起スペクトルを、グッツヴィラー近似

(GA)

により調べる。今回は、各ボソンの ホッピングと化学ポテンシャルと同成分間の相互作用がそれぞれ等しいと仮定す

る。そして

SF

、

MI

相を描くために、

2

成分

BHM

に直接

GA

を適用する。しかし、

この手法では

PSF

と

CSF

をとらえることができない。なぜならこれらの相は、ペ アとアンチペア粒子のホッピングから生じるからである。これらの相を分析する ために、ペアとアンチペアの自由度を含んだ

2

次摂動論の範囲で有効ハミルトニ アンを使う。初めに、この系の基底状態を調べる。次に、1成分

BHM

の励起スペ クトルの計算手法

[11]

を

2

成分混合系に発展させ、その励起スペクトルを調べる。

そして、

SF

相と

MI

相の励起スペクトルに対する異成分間相互作用が与える影響 を議論する。最後に、格子系に対する線形応答理論を適用することで密度揺らぎ の応答を調べる。今回はブラッグ分光法によって

SF

、

PSF

が同定できることを示 すために、これらの相における

2

種の密度揺らぎに関する動的構造因子を計算す る。ここでの

2

種の密度揺らぎとは、1成分のボソンのみが揺らいだ場合と

2

成分 ペア

(

同相

)

のみが揺らいだ場合である。

2 定式化

2.1 2 成分 BHM

D

次超立方格子系に

2

成分ボソンを入れた系を考える。光格子は化学ポテンシャ ルに比べ十分深いと仮定すると、2成分

BHM[7]

は、

H = ∑

α=1,2



 − t _α ∑

⟨ i,j ⟩

(ˆ b ^† _α,i ˆ b _α,j + ˆ b ^† _α,j ˆ b _α,i ) + U _α 2

∑

i

ˆ

n _α,i (ˆ n _α,i − 1) − µ _α ∑

i

ˆ n _α,i





+ U ₁₂ ∑

i

ˆ n _1,i n ˆ _2,i

(1)

となりここで、

ˆ b ^† _α,i (ˆ b _α,i )

はサイト

i

の成分

α = 1, 2

の生成

(消滅)

演算子、ˆ

n _α,i ≡ ˆ b ^† _α,i ˆ b _α,i

は数演算子、

⟨ i, j ⟩

は最近接サイトの総和を表している。

t _α , U _α , µ _α , U ₁₂

はそ れぞれホッピング強度、オンサイトの同成分間相互作用、化学ポテンシャル、オン サイトの異成分間相互作用である。

U ₁₂

の強度は実験で操作できる

[15]

。また、

SF

、

PSF

の秩序変数をそれぞれ

Φ _α,i ≡ ⟨ ˆ b _α,i ⟩ , Φ ^P _i ≡ ⟨ ˆ b _1,i ˆ b _2,i ⟩

であり、

n _t = n ₁ + n ₂

で

n α

は

α

成分のサイト当たりの粒子数

(

フィリング

)

とする。ここでは、

U 1 = U 2 = U > 1, t ₁ = t ₂ = t, µ ₁ = µ ₂ = µ, | U ₁₂ | < U

とする。

U ₁₂

がこれを満たさないとき、

斥力では相分離を起こし、引力では系の崩壊を起こしてしまう

[16]

。

2.2 グッツヴィラー近似

絶対零度における式

(1)

の基底状態と励起スペクトルを調べるために

GA

を用い た。グッツヴィラー変分関数は

| Ψ ⟩ = ∏

i

∑ ∞ n

1

,n

2

=0

f _n ⁽ⁱ⁾

₁

_,n

₂

(τ ) | n ₁ , n ₂ ⟩ i (2)

とし、

| n ₁ , n ₂ ⟩ i

はサイト

i

の成分

α = 1, 2

の粒子数

n ₁ , n ₂

のフォック状態であり、変分 因子

f n ⁽ⁱ⁾

1

,n

2は規格化条件

∑

n

1

,n

2

| f n ⁽ⁱ⁾

1

,n

2

| ² = 1

を満たす。安定条件

∫

dτ ⟨ Ψ | i¯ h _dτ ^d − H ˆ | Ψ ⟩

から

f n ⁽ⁱ⁾

1

,n

2 の運動方程式

i¯ h df n ⁽ⁱ⁾

1

,n

2

dτ = { ∑

α

[ U

2 n α (n α − 1) − µn α

]

+ U 12 n 1 n 2

} f _n ⁽ⁱ⁾

₁

_,n

₂

− t ∑

⟨ j ⟩

i

(Φ _1,j √

n ₁ f _n ⁽ⁱ⁾

₁

_{− 1,n}

₂

+ Φ ^∗ _1,j √

n ₁ + 1f _n ⁽ⁱ⁾

₁

_+1,n

₂

)

− t ∑

⟨ j ⟩

i

(Φ _2,j √

n ₂ f _n ⁽ⁱ⁾

₁

_,n

₂

_{− 1} + Φ ^∗ _2,j √

n ₂ + 1f _n

₁

_,n

₂

₊₁ )

(3)

を導く。この時、各成分の超流動秩序変数は

Φ _1,j = ∑

n

1

,n

2

f _n ^(j)

₁

_−1,n ^∗

₂

√

n ₁ f n ^(j)

1

,n

2

, Φ _2,j =

∑

n

1

,n

2

f _n ^(j)

₁

_,n ^∗

₂

_{− 1} √

n ₂ f n ^(j)

1

,n

2である。ここで

∑

⟨ j ⟩

ⁱはサイト

i

の最近接サイト数を表す。

基底状態では波動関数は定常的なので、変分因子は

f _n ⁽ⁱ⁾

₁

_,n

₂

(τ ) = ˜ f _n ⁽ⁱ⁾

₁

_,n

₂

e ^{− i˜ ω}

ⁱ

^τ (4)

と書くことができる。

f ˜ n ⁽ⁱ⁾

1

,n

2は定常状態の係数であり時間に依存しない。位相因 子

ω ˜ _i

は式

(4)

を式

(3)

に代入することで

¯ h˜ ω i =

∑ ∞ n

1

,n

2

[ U

2 n 1 (n 1 − 1) − µn 1 + U

2 n 2 (n 2 − 1) − µn 2 + U 12 n 1 n 2

] f ˜ _n ⁽ⁱ⁾

₁

_,n

₂

²

− t ∑

α

∑

⟨ j ⟩

i

( ˜ Φ ^∗ _α,j Φ ˜ _α,i + ˜ Φ _α,j Φ ˜ ^∗ _α,i )

(5)

となることが分かる。ここで定常状態の超流動秩序変数は

Φ ˜ _1,j = ∑

n

1

,n

2

f ˜ _n ^{(j) ∗}

1

− 1,n

2

√ n ₁ f ˜ n ^(j)

1

,n

2

, Φ ˜ _2,j = ∑

n

1

,n

2

f ˜ _n ^{(j) ∗}

1

,n

2

− 1

√ n ₂ f ˜ n ^(j)

1

,n

2である。今回は、虚時間発展法

[18]

により式

(3)

を 解くことで基底状態の係数を計算する。計算手順は、

(i)

虚時間

τ ^′ = iτ

と適切な係 数の初期値を用意し、

(ii)

その値から秩序変数

Φ _i

を計算し、

(iii)Φ _i

を式

(3)

に代入 して、(iv)手順

(ii),(iii)

を係数とエネルギーが収束するまで繰り返す。ここで、行 列ハミルトニアンのフィリングをカッティングする。最大数は

n _c1 = n _c2 = n _c = 6

とする。

2.3 ^{有効ハミルトニアン}

式

(3)

ではホッピング項を

1

次摂動として扱っているので、

PSF

相を描くことは できない。なぜなら

PSF

に不可欠なペアのホッピングは

2

次過程だからである。

もし式

(3)

を用いて

PSF

相を描こうとしても相図にはその相は現れない。なので

PSF

相を描くために、ペアとアンチペアの低エネルギー部分空間内での有効ハミ ルトニアンを使い、

2

次摂動論の範囲でペアやアンチペアのトンネリングを表現 する。

t/U << 1

で、式

(1)

のハミルトニアンはホッピング項を摂動として

H = H ₀ + tV

として扱える。非摂動項

H ₀

と摂動項

V

はそれぞれ

H ₀ = ∑

α,i

[ U

2 n ˆ _α,i (ˆ n _α,i − 1) − µˆ n _α,i ]

+ U ₁₂ n ˆ _1,i n ˆ _2,i (6)

V = − ∑

α, ⟨ i,j ⟩

[ ˆ b ^† _α,i ˆ b _α,j + h.c.

]

(7)

である。

2

次摂動論を用いることで有効ハミルトニアン

[3]

を引き出すことがで きる。

引力相互作用

U ₁₂ < 0

のとき、ペアの低エネルギー部分空間は

2

成分が等しい占 有数である単一サイトフォック状態で表せる。

0 < (U + U ₁₂ )/U << 1

で、有効ハ ミルトニアンは

H _eff = H ₀ − 2t ² U

∑

⟨ i,j ⟩

[ ˆ

n _i (ˆ n _j + 1) + ˆ n _j (ˆ n _i + 1) + ˆ b ^† _1i ˆ b ^† _2i ˆ b _1j ˆ b _2j + ˆ b ^† _1j ˆ b ^† _2j ˆ b _1i ˆ b _2i ]

(8)

となる

[3]

。式

(8)

に対する適切なグッツヴィラー波動関数は

| Ψ _P ⟩ = ∏

i

∑

n

f _n ^P(i) | n, n ⟩ i (9)

と与えられる。この波動関数

(9)

を式

(8)

に適用すると

i¯ h d

dτ f _n ^P(i) = [

U n(n − 1) − 2µn + U ₁₂ n ² ] f _n ^P(i)

− 2t ² U

∑

⟨ j ⟩

i

[n(¯ n _j + 1) + ¯ n _j (n + 1)] f _n ^P(i)

− 2t ² U

∑

⟨ j ⟩

i

[

Φ ^P _j nf _n ^P(i) _{− 1} + Φ ^P _j ^∗ (n + 1)f _n+1 ^P(i) ]

(10)

という運動方程式が導かれる。ここで

PSF

の超流動秩序変数を

Φ ^P _i = ∑

n

i

(f _n ^{P(i) ∗}

i

− 1 n _i f n ^P(i)

i

)、

ペア粒子の平均密度を

n ¯ _j ≡ ⟨ n ˆ _1,j ⟩

で表せる。基底状態では、係数は

f n ^P(i)

1

,n

2

(τ ) = f ˜ n ^P(i) e ^{− i˜ ω}

^Pi

^τ

となり、ここで位相因子

ω ˜ _i ^P

は、

¯

h˜ ω _i ^P ≡ ∑

n

 

 U n(n − 1) − 2µn + U ₁₂ n ² − 2t ² U

∑

⟨ j ⟩

i

[n(¯ n _j + 1) + ¯ n _j (n + 1)]

 

 f ˜ _n ^{P(i) 2}

− 2t ² U

∑

⟨ j ⟩

i

( ˜ Φ ^P _j Φ ˜ ^P _i ^∗ + ˜ Φ ^P _j ^∗ Φ ˜ ^P _i )

(11)

であり、定常状態の

PSF

の超流動秩序変数は

Φ ˜ ^P _i = ∑

n

i

( ˜ f _n ^P(i)

_i

_{− 1} ^∗ n _i f ˜ n ^P(i)

i

)

となる。

2.4 線形安定性解析

この節では線形化された運動方程式を引き出し、エネルギーと素励起の波動関 数を計算できるようにする。この運動方程式から

SF,PSF

相で励起スペクトルを 導き出す。

定常状態から小さく揺らいでると仮定して、

f _n ⁽ⁱ⁾

₁

_,n

₂

(τ ) =

[ f ˜ _n ⁽ⁱ⁾

₁

_,n

₂

+ δf _n ⁽ⁱ⁾

₁

_,n

₂

(τ ) ]

e ^{− i˜ ω}

ⁱ

^τ (12)

と与えられる。定常状態は均一であると仮定し、揺らぎを平面波とすると

δf _n ⁽ⁱ⁾

1

,n

2

(τ ) = ∑

k

( u _n

₁

_,n

₂

_,k e ^{i(k · r}

ⁱ

^{− ω}

^k

^τ) − v ^∗ _n

1

,n

2

,k e ^{− i(k · r}

ⁱ

^{− ω}

^k

^τ) )

(13)

と置ける。r

_i

はサイト

i

の位置ベクトルである。式

(12,13)

を式

(3)

に代入し、小 さな揺らぎを持った方程式を線形化すると

(

A _k B _k

− B _k ^∗ − A ^∗ _k ) (

u _k v _k

)

= ¯ hω k

( u _k v _k

)

(14)

という線形化された運動方程式を得られる。

u _k

と

v _k

はそれぞれ

u _n

₁

_,n

₂

_,k

と

v _n

₁

_,n

₂

_,k

を成分に持つ

(n _c + 1) ²

次のベクトルである。行列成分

A _k

と

B _k

は

A ⁽ⁿ _k

¹

^,n

²

^),(n

^′1

^,n

^′2

⁾ ≡

[ ∑

α

( U

2 n _α (n _α − 1) − µn _α )

+ U ₁₂ n ₁ n ₂ − ¯ h˜ ω _i ]

δ _n

₁

_,n

′ 1

δ _n

₂

_,n

′

2

− zt ( Φ ˜ ₁ √

n ₁ δ _n

₁

_{− 1,n}

′

1

+ ˜ Φ ^∗ ₁ √

n ₁ + 1δ _n

₁

_+1,n

′ 1

)

− zt ( Φ ˜ 2

√ n 2 δ _n

₂

_{− 1,n}

^′₂

+ ˜ Φ ^∗ ₂ √

n 2 + 1δ _n

₂

_+1,n

^′₂

)

− ϵ(k) [

C _1,1 ¹ + C ₋ ¹ _{1, − 1} + C _1,1 ² + C ₋ ² _{1, − 1} ]

(15) B _k ⁽ⁿ

¹

^,n

²

^),(n

^′1

^,n

^′2

⁾ ≡ ϵ(k) [

D ¹ _{1, − 1} + D ¹ _{− 1,1} + D _1, ² _{− 1} + D ₋ ² _1,1 ]

(16) C _l,m ¹ ≡ √

n ^′ ₁ + (1 + l)/2 √

n ₁ + (1 + m)/2 ˜ f _n ^∗

′

1

+l,n

^′₂

f ˜ _n

₁

_+m,n

₂

C _l,m ² ≡ √

n ^′ ₂ + (1 + l)/2 √

n ₂ + (1 + m)/2 ˜ f _n ^∗

′

1

,n

^′₂

+l f ˜ _n

₁

_,n

₂

_+m D _l,m ¹ ≡ √

n ^′ ₁ + (1 + l)/2 √

n ₁ + (1 + m)/2 ˜ f _n

′

1

+l,n

^′₂

f ˜ _n

₁

_+m,n

₂

D _l,m ² ≡ √

n ^′ ₂ + (1 + l)/2 √

n ₂ + (1 + m)/2 ˜ f _n

′

1

,n

^′₂

+l f ˜ _n

₁

_,n

₂

_+m (17)

であり、

ϵ(k) ≡ 2t ∑ _D

l=1 cos(k _l a)

で

a

は格子間距離であり

D

は空間の次元である。

式

(14)

を対角化することで、与えられた定常状態の励起スペクトルを計算できる。

式

(14)

では

PSF

の低位励起を正しく計算できないので、有効ハミルトニアン

(8)

とそこから得られた運動方程式

(10)

から、新たに線形化した運動方程式を得る必 要がある。それは行列成分こそ異なるが式

(14)

と同じ形をとる。ここで

u _k

と

v _k

はそれぞれ

u _n,k

と

v _n,k

を成分に持つ

(n _c + 1)

次のベクトルである。行列成分は

A ^n,n _k

^′

≡ {

U n(n − 1) − 2µn + U 12 n ² − 2zt ²

U [n(˜ n + 1) + ˜ n(n + 1)] − ¯ h˜ ω _i ^P }

δ n,n

^′

− 2zt ² U

[ Φ ˜ ^{P ∗} (n + 1)δ _n+1,n

′

+ ˜ Φ ^P nδ _{n − 1,n}

′

]

− ϵ ^P (k) [

(n ^′ + 1)(n + 1) ˜ f _n ^P

′

^∗ +1 f ˜ _n+1 ^P + n ^′ n f ˜ _n ^P

′

^∗ − 1 f ˜ _n ^P _{− 1} ]

(18) B _k ^n,n

^′

≡ ϵ ^P (k)

[

n ^′ (n + 1) ˜ f _n ^P

′

− 1 f ˜ _n+1 ^P + (n ^′ + 1)n f ˜ _n ^P

′

− 1 f ˜ _n+1 ^P ]

(19)

ここで

ϵ ^P (k) ≡ ^4t _U

²

∑ _D

l=1 cos(k _l a)

である。

2.5 線形応答理論

ここでは光格子中の

2

成分ボソン混合系を描写する、運動方程式

(3,10)

に適用 した線形応答理論を導入する。そして、3種の密度揺らぎに対する動的構造因子を 計算するために、線形応答理論を用いる。

外場により応答する時間依存摂動ハミルトニアンを

H ˆ _pert (τ ) = − ∑

i

(

λ _i G ˆ _i e ^{− iωτ} e ^ητ + λ ^∗ _i G ˆ ^† _i e ^iωτ e ^ητ )

(20)

として、

λ i

は外場の強度、

η

は系にゆっくり外場を作用させることを表す因子であ る。

G ˆ

は局所演算子であり

G ˆ i = ∑

n

1

,n

2

,m

1

,m

2

G m

1

,m

2

,n

1

,n

2

| m 1 , m 2 ⟩ i ⟨ n 1 , n 2 | i (21)

である。さらに外場を

λ _i = ∑

k λ _k,ω e ^{ik · r}

ⁱ と平面波で展開する。局所物理量

F ˆ _i ≡

∑

n

1

,n

2

,m

1

,m

2

F _m

₁

_,m

₂

_,n

₁

_,n

₂

| m ₁ , m ₂ ⟩ i ⟨ n ₁ , n ₂ | i

の平均値の揺らぎは

δ ⟨ F ˆ _i ⟩ = ∑

k

[

χ _{F , ˆ G ˆ} (k, ω)e ^{− iωτ} e ^ητ + χ _{F , ˆ G ˆ}

_†

(k, − ω)e ^iωτ e ^ητ ]

e ^{ik · r}

ⁱ

λ _k,ω (22)

となる。

GA

では応答関数

χ F , ˆ G ˆ (k, ω)

は

χ F , ˆ G ˆ (k, ω) = − 1

¯ h

∑

ν

[ ⟨ 0 | F ˆ | ν ⟩⟨ ν | G ˆ | 0 ⟩

ω + iη − ω _k,ν − ⟨ 0 | G ˆ | ν ⟩⟨ ν | F ˆ | 0 ⟩ ω + iη + ω _k,ν

]

(23)

となる。

| 0 ⟩

は基底状態、

| ν ⟩

は

ν

番目の励起状態である。応答関数

(23)

の行列要 素は

⟨ 0 | O ˆ | ν ⟩ ≡ ∑

n

1

,n

2

( f ˜ _n ^∗

1

,n

2

O _n

₁

_,n

₂

_,n

₁

_,n

₂

u ^(ν) _n

1

,n

2

,k − v ^(ν) _n

1

,n

2

,k O _n

₁

_,n

₂

_,n

₁

_,n

₂

f ˜ _n

₁

_,n

₂

)

(24)

⟨ ν | O ˆ | 0 ⟩ ≡ ∑

n

1

,n

2

( u ^(ν) _n ^∗

1

,n

2

,k O _n

₁

_,n

₂

_,n

₁

_,n

₂

f ˜ _n

₁

_,n

₂

− f ˜ _n ^∗

₁

_,n

₂

O _n

₁

_,n

₂

_,n

₁

_,n

₂

v _n ^{(ν) ∗}

1

,n

2

,k

)

(25)

と定義する。ここで

u ^(ν) _n

1

,n

2

,k

と

v _n ^(ν)

1

,n

2

,k

は式

(14)

の解である。

SF

では

η/U = 10 ^{− 2}

、

PSF

では

η/U = 10 ^{− 4}

に設定する。今回は物理量と外場の演算子が等しい

F ˆ = ˆ G

とし、応答関数を計算する。動的構造因子

S _{F ˆ} (k, ω)

は

S F ˆ (k, ω) = Im (

χ F , ˆ F ˆ (k, ω)/Π )

(26)

で表せる。ただしこの関係は絶対零度の時のみ当てはまり、ω <

0

で

S _{F ˆ} (k, ω) = 0

となる。そして動的構造因子をエネルギー積分した静的構造因子

S _{F ˆ} (k) ≡

∫

dωS _{F ˆ} (k, ω) (27)

を使って動的構造因子を規格化する。

S ¯ _{F ˆ} (k, ω) = S _{F ˆ} (k, ω)/S _{F ˆ} (k) (28)

3 計算結果

3.1 基底状態と相転移

ここでは、

GA

を用いて基底状態の

SF,PSF

相図

(zt/U, µ/U )

を描く。ただし、

各成分のホッピングと化学ポテンシャルと同成分間相互作用は等しいとする。ま た

z

は配位数である。励起スペクトルを調べたいので、あらかじめ相図を出して おくことが便利である。

3.1.1

相図

図

1(a)

と

(b)

では異成分間相互作用が斥力の時の相図を描いた。ローブで囲ま れた黒い

Φ _i = 0

の領域が

MI

相である。各

MI

のトータルフィリングは整数であり 下から

n t = 1, 2

と増えていく。

t/U = 0

の時、

µ

軸における

MI

相は

n t

が奇数のと き

U ₁₂

の大きさに、偶数のとき

U

の大きさにそれぞれ対応している。

U ₁₂ /U = 0

のとき奇数の

MI

相は消える。それは各成分が互いに影響を及ぼさずに

1

成分ボソ ン系と同じように振舞うからである。また、図

1(a)

で

n t

が偶数の時、

1

次相転移 が確認できた。しかし、図

1(b)

で

n _t

が偶数の時は相転移は連続的であった。

図

1(c),(d)

では、

U ₁₂ = − 0.7

の時の相図を示した。（

c

）は式

(1)

に

GA

を直接適 用し、

(d)

は式

(8)

から得られた図である。これらの相図では、

n t

が偶数の

MI

相 しか現れない。図

1(c)

では

t/U > 0

の範囲でも直接別のモットローブに移ること が分かる。だがこれは

PSF

相に

2

次のホッピング過程を考慮していない式

(1)

を 使ってしまったものによる。この領域には

PSF

相が存在している。実際、有効ハ ミルトニアン

(8)

を適用した図

1(d)

では、

PSF

相で各モットローブが離れている ことが分かる。図

1(c)

に比べて図

1(d)

の

MI

領域が随分大きくなっているが、こ れは有効ハミルトニアン

(8)

が

t

が大きい範囲ではより高次のホッピング項が影響 してしまうため、妥当でないからである。

図

1(e),(f)

では、

U ₁₂ = − 0.7

の時の

PSF

相を示した。この相はペアの運動量の みが許されるので、Φ

_i = 0

かつ

Φ ^P _i ̸ = 0

の領域に現れる。図から

PSF

相は非常に 小さいことが分かる。これにより実験的に実現ができないと考えられる。

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

図

1: (zt/U, µ/U )

平面の相図。(a)U

₁₂ /U = 0.9,(b)U ₁₂ /U = 0.5,(c)U ₁₂ /U =

− 0.7,(d)U ₁₂ /U = − 0.7

。

(a),(b),(c)

は式

(3)

から得られた

SF

の秩序変数

Φ _i

の相図 である。

(d)

は式

(10)

から得られた

PSF

の秩序変数

Φ ^P _i

から得られた相図である。

(e),(f)

は

PSF

相を表している。PSF相は

Φ _i = 0

かつ

Φ ^P _i ̸ = 0

のところに現れる。

(e),(f)

から分かるようにモットローブ間の小さい範囲に

PSF

相は確認できる。化

学ポテンシャルの高いモットローブにはノイズが見られるがこれはフィリングを カッティングした影響である。

3.2 励起スペクトル

節

2.4

では、

D

次光格子中の

2

成分ボソン混合系の素励起の計算法を導入した。

節

3

で基底状態の相図が得られたので、この節では励起スペクトルの特徴を明らか にするためにその計算法を用いる。以後、

D = 2

とし励起の運動量は

k _x = k _y ≡ k

とする。

3.2.1 SF

相

式

(14)

を対角化することで

SF

相における励起スペクトルを計算する。自発的 対称性破れが起きている相

(

ここでは

SF,PSF

相

)

では、ギャップフルモードは秩 序変数の振幅の揺らぎ（ヒッグスモード）、ギャップレスモードは秩序変数の位相 の揺らぎ

(

南部・ゴールドストーンモード

)

にそれぞれ対応している

[20]

。

3.2.2

転移点近傍

図

2

では、

n _t = 1, U ₁₂ /U = 0.9

励起スペクトルをプロットした。

t/U

を変えて転 移点

t _c /U ≃ 0.0405

から

MI

相内の励起スペクトルをプロットした。ここで化学ポ テンシャル

µ

を一定にした。転移点から

t/U

を小さくすると

MI

相で２つのギャッ プレスモードがギャップフルモードになる。これらはそれぞれ粒子とホールの励起 に対応していて、この振る舞いは

1

成分

BHM

とも一致する

[11]。

(a) (b)

図

2: (ka/π, E _k /U )

平面の励起スペクトル。パラメータは

n _t = 1, U ₁₂ /U = 0.9

で ある。ホッピング強度は、

(a)t/U = 0.0405 ≃ t _c /U,(b)t/U = 0.039

。

図

3

では、n

_t = 2, U ₁₂ /U = 0.5

の励起スペクトルをプロットし、図

2

と同様に

t/U

を変化させた。

SF

相ではギャップフルモードがあるので、そのモードが転移 点でギャップレスとなり、

4

つのモードが低エネルギー部分で重なりあっていると

考えられる。ギャップレスモードは超流動秩序変数の振幅に対応しているので、こ れは同相と逆相の超流動が同時に消えたことを示している。この同時性はヒステ リシスがないことを意味しており、これが

2

次相転移であることが分かる。そし て、図

2

と同様に

t/U

を小さくするとそれらが重なりながらギャップフルモードと なる。

(a) (b)

図

3: (ka/π, E _k /U )

平面の励起スペクトル。パラメータは

n _t = 2, U ₁₂ /U = 0.5

で ある。ホッピング強度は、

(a)t/U = 0.04125 ≃ t _c /U ,(b)t/U = 0.04

3.2.3 PSF

相

図

4

で

n t = 1

の

PSF

の励起スペクトルである。パラメータは

t/U = 0.03

と

U ₁₂ /U = − 0.7

に設定する。ここでは、最低モードとその一つ上のモードに大きな 差があった。これは

PSF

相では同相モードしか現れない為であると思われる。

(a)

図

4: (ka/π, E _k /U )

平面の

PSF

相の励起スペクトル。パラメータは

t/U = 0.03, U 12 /U = − 0.7

である。

3.3 動的構造因子

ブラッグ分光法により実験的に

1

成分の動的構造因子を測定することに成功し ており、ここから

SF

相におけるボゴリューボフモードの観測に繋がった

[22]。こ

の節では

SF,PSF

相の

2

成分ボソン混合系に対する動的構造因子を計算し、これら

の相をブラッグ分光法によって区別できることを示す。

ブラッグ分光法では、運動量

k

と振動数

ω

の振動する外場をボース気体に当て 気体の密度揺らぎを誘発し、その応答を測定する。今回は

2

種の密度揺らぎを考 え、それを式

(20)

に適用する。

(i)1

成分密度揺らぎ

G ˆ _1,i = ˆ F _1,i = ˆ n _1,i ,(ii)

同相の密 度揺らぎ

G ˆ ⁱⁿ _1,i = ˆ F _1,i ⁱⁿ = ˆ n _1,i + ˆ n _2,i

である。これらを式

(23,26)

に代入し動的構造因

子

S F ˆ (k, ω)

を計算する。これらの密度揺らぎは実験的には外場として、成分依存

レーザー

[23]

により引き出す。

PSF

相の動的構造因子を計算する。図

5

では

(a)1

成分密度揺らぎ,(b)同相密度 揺らぎに対する動的構造因子

S ¯ F ˆ (k, ω)

をプロットした。どちらも最低モードであ る同相モードに反応した。

PSF

相では常に粒子はペアを組んでいるので同じ結果 になるのは妥当である。ここでは、

F ˆ _1,i ^out

に対する応答はないと考える。なぜなら

PSF

はペアの運動量しか許さないため、アンチペアの応答をさせようとしても反 応しないであろう。以上から、各相で密度揺らぎによる応答が異なることが分かっ たので、ブラッグ分光法によって動的構造因子を測定することは、これらの相を 同定するのに役立つかもしれない。

(a) (b)

図

5: (ka/π, E _k /U )

平面の

PSF

の動的構造因子

S ¯ F ˆ (k, ω)

。

n _t = 1, t/U =

0.03, U 12 /U = − 0.7

である。

(a)1

成分の密度揺らぎの応答

F ˆ 1,i ,(b)

同相の密度揺 らぎの応答

F ˆ _1,i ⁱⁿ

4 まとめ

本研究では、光格子中の

2

成分混合系の基底状態の特徴と励起を

GA

を使って調 べた。平面

(µ/U, zt/U )

の基底状態の相図を得られ、

U 12

による相境界の変化を計 算した。そして、線形化された運動方程式を解き、いくつかの相の励起スペクト ルを計算した。

t/U

量子相を減らしたとき、転移点近傍でギャップフルモードが下 がり、ギャップレスモード、つまりボゴリューボフモードに近づき低エネルギー部 分が一致した。また

PSF

相の励起スペクトルも計算し、ほぼギャップレスなモー ドが見れた。さらに線形応答理論による動的構造因子を導き出した。

PSF

相に対 して

2

種類の密度揺らぎに対する応答を調べた。このことから量子相は密度揺ら ぎに対する応答を測定することで同定できるかもしれない。つまり、未だ実験的 に見つかっていない

PSF

相や

CSF

相などの発見は、ブラッグ分光法による動的構 造因子の測定が非常に大きく役立つかもしれない。

今回の研究では、

2

成分

BHM

で現れる

CSF

相は調べていない。また数値計算 の問題から、

SF

相に現れるはずのギャップレスモードが確認できなかった。さら に、逆相揺らぎの応答を調べることもできなかった。今後はこれらを調べてさら に

2

成分ボース混合系の新奇相の発見に貢献したい。

謝辞

本論文は筆者が首都大学東京理学研究科物理学専攻博士前期課程に在籍中の研 究結果をまとめたものである。同専攻准教授荒畑先生には指導教官として本研究 の実施の機会を与えて戴き、終始ご指導を戴いた。ここに深謝の意を表する。同 専攻教授森先生、並びに同専攻教授堀田先生には副査としてご助言戴くとともに 本論文の細部にわたりご指導を戴いた。ここに深謝の意を表する。

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