代数的空間および滑層空間の位相幾何的総合研究
著者 與倉 昭治
別言語のタイトル Comprehensive studies of topological aspects
of algebraic spaces and stratified spaces
URL http://hdl.handle.net/10232/14710
様式Ｃ－１９
科学研究費助成事業（科学研究費補助金）研究成果報告書
平成２４年 5月 30日現在
研究成果の概要（和文）：（１）motivic Hirzebruch classを用いてMilnor number の一般化であ るmotivic Milnor classを構成した。（２）Chern class のゼータ関数などを特殊な場合として 含む、motivic Hirzebruch classのゼータ関数を構成した。 （３）代表者が以前構成したuniversal bivariant theoryのアイデアを用いて、fiberwise bordism groupを導入し、さらに
differentiable space の理論を用いて、fiberwise bordism groupのbivariant theoryを構成で きることを示した。(4)通 常 は 自 然 変 換 と し て 捉 え る こ と が で き な い 加 法 的 不 変 量 を 、 圏 論 的 に 自 然 変 換 と し て 捉 え る こ と が 出 来 る こ と を 示 し た ．
研究成果の概要（英文）：(1) Using motivic Hirzebruch class, we constructed Motive Milnor classe, which is a generalization of the Milnor number. (2) W constructed a zeta function of the motivic Hirzebruch class, a special case of which gives rise to the zeta function of the Chern class. (3) Using the idea in the universal bivariant theory introduced by the representative of this grant, we introduced the notion of fiberwise bordism group and we showed that we could construct a bivariant theory of fiberwise bordism group, using the notion of differentiable spaces. (4) We showed that any additive invariant, which cannot be usually captured as a natural transformation, could be captured as a natural transformation.
交付決定額
（金額単位：円）
直接経費 間接経費 合 計
2009年度 1,700,000 510,000 2,210,000
2010年度 1,000,000 300,000 1,300,000
2011年度 800,000 240,000 1,040,000
年度
総 計 3,500,000 1,050,000 4,550,000
研究分野：位相幾何学、代数幾何学 科研費の分科・細目：数学・幾何学
キーワード：代数多様体、コボルデイズム、モチーフ、特性類、bivariant theory、algebraic cobordism、ゼ ー タ 関 数
１．研究開始当初の背景
研究代表者與倉は, 2005 年に J.-P.Brasselet 博士(仏,Luminy 研究所)、J.Schürmann 博士(独, Münster 大学)との共同研究で,
複素代数多様体の相対 Grothendieck 群の共変 関手 K_0(V)/-)から Q[y]係数のホモロジー 群 の 共 変 関 手 H_*(-;Q[y]) の 自 然 変 換
T:K_0(V/-)->H_*(-, Q[y])で、X が非特異多様 体の場合「T ([id_X:X->X]) は T_y(X)のポアン カレ双対となる」を満たすものが唯一つ存在す ることを齋藤盛彦氏の Mixed Hodge Modules の 理論を用いて証明した。ここに, T_y は Hirzebruch の特性類と呼ばれるもので, 一種 のTodd 類の変形である. この自然変換をT_y_*
機関番号：17701 研究種目：基盤研究(C) 研究期間：2009 ～ 2011 課題番号：21540088
研究課題名（和文）：代数的空間および滑層空間の位相幾何的総合研究 研究課題名（英文）：Comprehensive studies of topological aspects of algebraic spaces and stratified spaces
研究代表者：與倉 昭治（YOKURA SHOJI）
鹿児島大学・大学院理工学研究科・教授 研究者番号：60182680
で表す. T_y_*の存在証明には他にも２つあり, それぞれ利点がある。しかし, 齋藤氏の Mixed Hodge Modules の理論を用いている事が, 特に 重要であると言える. 我々の Mixed Hodge Modules の理論の応用は、2008 年に Springer Verlag 社から出版されたPeters-Steenbrink の 本などにも引用されている。
この自然変 T_y_*:K_0(V/-)->H_*(-, Q[y])の 重要性は大きく次の２つである。
(1)Deligne の Mixed Hodge Structure を用いて 定義される motivic characteristic 又は Hodge 多項式 E(-,u,v):K_0(V)-> Z[u,v] の高次元 homology 版 で あ る こ と 、 す な わ ち Grothendieck-Riemann-Roch 型の定理であるこ と。その意味で,T_y_*:K_0(V)/-)-> H_*(-, Q[y])を motivic characteristic class と呼ぶ。
（２）我々の motivic characteristic class T_y_*:K_0(V/-)-> H_*(-, Q[y])は,以下の３つ の重要な特異多様体の特性ホモロジー類の理論 (1)MacPherson's Chern class
(2)Baum-Fulton-MacPherson's Riemann- Roch, (3)Cappell-Shaneson's L-class 又は Goresky -MacPherson's L-class
を統一することである。その意味では, これは 1973 年に MacPherson によって提起された unification 問題に対する肯定的な解答と言え る。
２．研究の目的
本研究では, 以下の４つの項目に関して, motivic characteristic class および関連する 事項について更に研究を進めることであった。
(1) 上記の３つの内, Chern 類および Todd 類 の特性類の理論は, 連携研究者の大本亨氏など により個別に equivariant 版が構成されてい るので、これを統一するものとして、
この motivic characteristic class T_y_*の equivariant 版の構成を考える。これにより, L-類の equivariant 版も構成できることにな る。なお、特異多様体の L-類の研究に関しては stratified spaces （滑層空間）の位相の研究 を更に押し進める必要がある。
(2) MacPherson's Chern Chern class の理論 は proalgebraic variety (複素代数多様体の射 影極限)に研究代表者與倉によって拡張された。
同様に、motivic characteristic class T_y_*
をproalgebraic variety に拡張することを考察 する。これができれば, 同時に, Riemann-Roch, および L-class についても拡張されることにあ る。
(3) motivic characteristic は motivic measure/integration で基本的役割をするが, 研 究 分 担 者 の 安 田 健 彦 氏 に よ り , Deligne-Mumford ス タ ッ ク に motivic measure/integration が拡張された。
これに鑑み, motivic characteristic class T_y_*をより一般に代数的スタックに拡張する
事を考える.
(4)この上記３つの研究に深く関連するものが、
Fulton-MacPherson の 意 味 で の bivariant theory ( 双 変 理 論 ) で あ る 。 motivic characteristic class T_y_*の双変理論版を構 成することである。Levine-More の Algebraic Cobordism の理論と深く関係する。
３．研究の方法 平成 21 年度:
(1)2009 年 8 月 24 日〜8 月 28 日、ストラスブル グで開催される第５回日仏特異点シンポジウ ム}「Singularities in Geometry and Topology」
に, Scientific Committee Member として参加 し, 並びに、研究発表および参加者達との研究 連絡を行った。
(2)J.-P.Brasselet 博士 J.Schürmann 博士, C. McCrory 博士（米国, Georgia 大学）をそれ ぞれ適切な時期に 1 週間鹿児島大学に招聘し、
共同研究を行った。更に、セミナーまたは講演 会を開催し、３博士にはレビューまたは研究発 表を行ってもらった。
(3)代表者および分担者全員、本研究と関連する、
国内で開催された研究集会・シンポジウムに参 加し研究発表または研究連絡を行った。研究集 会等に参加できない場合は、関連する研究を行 っている国内の研究者達を招聘し、研究協力を してもらった。
(4)2010 年 2 月に、本研究に関連する研究集会
「第５回代数・解析・幾何学セミナー」を鹿児 島大学理学部で開催した。
平成 22 年度
(1)2010 年 5 月に Heidelberg 大学に１週間ほど 滞在し、M. Banagl 博士と共同研究を行った。
(2)2010 年度内に開催された国内または国外の 研究集会に出席し、研究成果の発表ならびに参 加者達との研究連絡を行った。
(3)J.Schürmann 博士,Banagl 博士を適切な時期 に１週間鹿児島大学に招聘し、共同研究を行っ た。更に、セミナーまたは講演会を開催し、２ 博士にはレビューまたは研究発表を行ってもら った。
(4)代表者および分担者全員、本研究と関連する、
国内で開催された研究集会・シンポジウムに参 加し研究発表または研究連絡を行った。また、
関連する研究を行っている国内の研究者達を招 聘し、研究協力をしてもらった。
(5)2011 年 2 月に、本研究に関連する研究集会
「第 6 回代数・解析・幾何学セミナー」を鹿児 島大学理学部で開催した。
平成 23 年度
(1) 2011 年 7 月に Hefei で開催された Singular -ity Theory and Applications で研究発表なら びに参加者達と研究連絡を行った。
(2)2011 年度内に開催された国内または国外の
研究集会に出席し、研究成果の発表ならびに参 加者達との研究連絡を行った。
(3)代表者および分担者全員、本研究と関連する、
国内で開催された研究集会・シンポジウムに参 加し研究発表または研究連絡を行った。また、
関連する研究を行っている国内の研究者達を招 聘し、研究協力をしてもらった。
(4)2011年12月にOberwolfach数学研究所で研究発 表ならびに参加者達と研究連絡を行った。また、
鹿児島に招聘する予定であったBanagl氏と Schürmann氏も研究集会に参加していたので、彼ら と研究連絡を行った。
(5)2012 年 2 月に、本研究に関連する研究集会
「第 7 回代数・解析・幾何学セミナー」を鹿児 島大学理学部で開催した。
４．研究成果
(1)Motovic Hirzebruch classを使って、こ れまで自然変換として捉えられていなかっ たMilnor類を自然変換として捉えるモチビ ックMilnor-Hirzebruch類の理論を導入・定 式化して、Milnor類の概念を拡張し、また Verdier- Riemann-Roch 型の定理など関連 する定理等を証明した。
(2)Levine-Morel のalgebraic cobordismは bordism理論あるいはcobordism 理論を基礎に構 成されたもので、一般 cohomology 論の中で普遍 的なものである。Fulton-MacPhersonのbivariant theoryの意味で申請者によって構成された universal oriented bivariant theoryの構成をヒ ントにを、Schürmann氏との共同研究で、
Atiyahのbordism理論やThomのcobordism理論の bivariant theory版とも言えるbivariant bordism 群の理論を構成した。これは、Atiyahのbordism 理論では捉えられない量を含んでいる。
(3) )Motovic Hirzebruch classのゼータ関 数を構成し、Chern類のゼータ関数、Todd類 のゼータ関数、Hirzebruch-ThomのL-類のゼ ータ関数を統一的に扱えることを示した。
(4) )Motovic Hirzebruch classの構成を踏 まえて、相対Grothendieck群を少し一般化す ることによって、通常は自然変換として捉え ることができない加法的位相不変量を、常に 圏論的に自然変換として捉えることが出来 る（categorificationと言う）を示した。
５．主な発表論文等
（研究代表者、研究分担者及び連携研究者には 下線）
〔雑誌論文〕（計 35 件）
(1) Shoji Yokura, “Bivariant motivic Hirzebruch class and a zeta functions of the motivic Hirzebruch class”, Proc. 5th Franco-Japanese Symposium on Singularities,
IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, (53 pages) (印刷中), 査読有 (2) Jörg Schürmann and Shoji Yokura,
“Motivic bivariant characteristic classes and related topics”, Journal of
Singularities, Vol. 5 (2012), 124-152,査読 有, DOI: 10.5427/jsing.2012.5j,
(3) Shoji Yokura, “Characteristic classes of pro- algebraic varieties and motivic measures”, Algebraic & Geometric Topology, Vol.12 (2012) 601-641, 査 読 有 , DOI:
10.2140/agt.2012.12.601
(4) Jörg Schürmann and Shoji Yokura,
“Grothendieck groups and a categorifi- cation of additive invariants”,
International J. Mathematics, Vol.23, No.1 (2012) 1-37, 査読有
DOI No: 10.1142/S0129167X12500577
(5) Tadashi Aikou, “Averaged Riemannian metrics and connections with application to locally conformal Berwald manifolds”, Publicationes Mathematicae Debrecen, 80 (2012), (15pages) 印刷中, 査読有
http://www.math.klte.hu/publi/contents.php ,
(6)Toru Ohmoto, “Vassiliev type invariants for generic mappings, revisited", to appear in Contemp. Math., AMS, Proceedings of the 11th International Workshop on Real and Complex Singularities, ICMC-USP/Sao Carlos-Brazil (July 26-30, 2010). 査読有 印刷中
(7) Toru Ohmoto, “A note on Chern-Schwartz- MacPherson class” , Proc. the 5th
France-Japanese symposium on Singularities (Aug. 24-29, 2009, Strasbourg), IRMA lecture note series, 査読有 印刷中
(8) Shoji Yokura, “Genera and characteristic classes of singular varieties”, Oberwolfach Reports OWR No.
56/2011, (2011) 59 – 62,査読無 DOI: 10.4171/OWR/2011/56
(9) Tadashi Aikou, “Semi-parallel vector fields and conformally flat Randers metrics”, Publicationes Mathematicae Debrecen, 78 (2011), 191-207, 査読有, http://www.math.klte.hu/publi/load_jpg.php
?p= 1532
(10)Hitoshi Furusawa，Yasuo Kawahara，Michael
Winter, “Dedekind Categories with cutoff operators”, Fuzzy Sets and Systems, 173
(2011), 1-24, DOI:
10.1016/j.fss.2010.11.008, 査読有
(11) Shoji Yokura, “Motivic characteristic classes”, in ``Topology of Stratified Spaces”, MSRI Publications 58, Cambridge University Press (2010), 375-418, 査読有 http://library.msri.org/books/Book58/files /42yokura.pdf
(12) Jean-Paul Brasselet, Jörg Schürmann and Shoji Yokura, “Hirzebruch classes and motivic Chern classes for singular space”s, Journal of Topology and Analysis, Vo1. 2, No.1 (2010), 1-55, 査読有
DOI : 10.1142/S1793525310000239
(13) Shoji Yokura, “Motivic Milnor classes”, Journal of Singularities, Vol. 1 (2010), 39 – 59, 査読有
DOI: 10.5427/jsing.2010.1c
(14) Kimio Miyajima、”CR deformations of cyclic quotient surface singularities”、
“The Japanese-Australian Workshop on Real and Complex Singularities JARCS III", CMA Proceedings, 43 (2010), 55-65 、 査 読 有 , http://maths-old.anu.edu.au/
research.publications/proceedings/043/
(15) Tadashi Aikou, “Some remarks on Berwald manifolds and Landsberg manifolds”, Acta Math. Acad. Paedagogicae Nyiregyhaziensis, 26, No.2., (2010), 139-148, 査 読 有 , http://www.emis.de/
journals/AMAPN/vol26_2/amapn26_13.pdf (16) Shoji Yokura, “A universal bivariant theory and cobordism groups” , Adv. Studies in Pure Math., Vol. 56 (2009) 363-394 (The Proceedings of the Fourth Franco-Japanese Symposium on Singulari ties), 査読有, http://www.ams.org/bookstore/aspmseries (17) Shoji Yokura, “Oriented bivariant theories, I”, International Journal of Mathematics, Vol. 20, No. 10 (2009), 1305--1334, 査読有
DOI : 10.1142/S0129167X09005777
(16) Takehiko Yasuda, “On monotonicity of F-blowup sequences,” Illinois Journal of Mathematics, 53 (2009), 101-110, 査 読 有 http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&
version
=1.0&verb=Display&handle=euclid.ijm (18) Yukinobu Toda and TakehikoYasuda,
“Non- commutative resolution, F-blowups and D-modules”, Advances in Mathematics, 222 (2009), 318-330, 査 読 有 , http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2009.04.00 4,
(19) Toru Ohmoto, “Thom polynomials and around", RIMS Kokyuroku Bessatsu, B11, New Trends in Combinatorial Representation Theory eds. S. Ariki and M. Okado, (2009), 75—86、
査読有
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/be ssatsu/open/B11/B11.html
(20)大本 亨、 “特異点の数え上げと同変 Chern 類”， 数学（日本数学会），61 巻 1 号 (2009), 21—39，査読有
http://mathsoc.jp/publication/sugaku/index 61.pdf
〔学会発表〕（計 38 件）
(1)Takehiko Yasuda、Motivic integration and modular representations of a cyclic group of prime order，第 7 回代数・解析・幾何学セミナ ー、鹿児島大学、2012 年 2 月 15 日
(2) Toru Ohmoto, Singular Chern class and degree formula, 第 7 回代数・解析・幾何学セ ミナー、鹿児島大学、2012 年 2 月 15 日 (3) 宮嶋公夫, 強擬凸 CR 構造とその変形入門 I, II、研究集会「接触構造・特異点・微分方程 式およびその周辺」、鹿児島大学 2012 年 1 月 20 日，21 日
(4) Shoji Yokura: Special Introductory Lecture, “Genera and characteristic classes of singular varieties”, Stratified Spaces:
Joining Analysis, Topology and Geometry, Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, December 12-16, 2011，2011 年 12 月 13 日,
(5) Takehiko Yasuda，Higher Nash blowups，
Artin approximation and arcs，シュレーディ ンガー研究所、オーストリア、2011 年 11 月 23 日，
(6) Tadashi Aikou，Some remarks on average d metrics and connections， The 46th symp osium on Finsler Geometry，静岡市, 2011年1 1月18日
(7)與倉昭治：Fiberwise bordism groups and related topics, 東京大学大学院数理科学研究 科トポロジー火曜セミナー、2011 年 11 月 8 日
(8) Takehiko Yasuda,Quotient-like singular ities in positive characteristic and nonco mmutative rings，第6回日仏特異点シンポジウ ム，九州大学西陣プラザ, 2011年9月7日 (9)安田健彦，F-blowups in dimension two，特 異点論とそのひろがり(招待講演)，京都大学, 2011 年 8 月 23 日
(10)Shoji Yokura: “Fiberwise bordism groups”, SINGULARITY THEORY CONFERENCE, University of Science and Technology of China Hefei, China, July 25-31, 2011，2011 年 7 月 27 日、
(11) Hitoshi Furusawa, Relational and Multirelational Representation Theorems for Complete Idempotent Left Semirings ， 12th International Conference on Relational and Algebraic Methods inComputer Science (RAMiCS 2011)，Rotterdam, The Netherlands, 2011 年 6 月 1 日
(12) Takehiko Yasuda 、 Noncommutative resolution of pure subrings and Frobenius morphisms ， Workshop on non-commutative geometry and the McKay corespondence，名古 屋大学, 2011 年 3 月 15 日，
(13) Toru Ohmoto, Chern class for singular spaces, JSPS-VAST Japan-Vietnam Bilateral Joint Projects Topology of singularities and related topics, II, 東北大学大学院理学研究 科数学教室川井ホール、2011 年 1 月 6 日 (14) Shoji Yokura, Natural transformations associated with additive homology classes, 共同研究集会「実閉体上の幾何と特異点論への 応 用 」 ( 京 都 大 学 数 理 解 析 研 究 所 , 2010.11.30~12.3), 2010 年 11 月 30 日 (15) Hitoshi Furusawa, Representation Theo rems for Complete Idempotent Left Semiring s, Workshop on Lattices, Relations and Kle ene
Algebras, University College London（イギリ ス）, 2010 年 9 月 21 日
(16) Toru Ohmoto, Vassiliev type invariants revisited, The 11th International Workshop on Real and Complex Singularities, ICMC-USP/
Sao Carlos- Brazil, 2010 年 7 月 27 日, (17) Tadashi Aikou、Negative vector bundles and complex Finsler geometry ， 2010 International conference on Finsler geometry, Chern Institute（中国）2010 年 6 月 21 日，
(18) Shoji Yokura, A categorification of
additive homology classes, Mathematisches Kolloquium, Mathematisches Institute der Universitaet Heidleberg, Germany, 2010 年 5 月 20 日
(19) Takehiko Yasuda, Commutative and noncommutative desingularizations via Frobenius morphisms ， Workshop on Higher Dimensional Algebraic Geometry, National Taiwan University（台北）, 2010 年 4 月 1 日，
(20) Takehiko Yasuda，Frobenius morphisms and noncommutative resolutions，Algebraic geometry in characteristic p and related t opics，東京大学、2010年2月19日，
(21) Takehiko Yasuda, An application of th e Frobenius morphism of a noncommutative B lowup、
Higher Dimensional Algebraic Geometry，京都 大学、2009年12月17日，
(22) Kimio Miyajima, Analytic construction of deformation of resolution of normal is olated singularities,Australian-Japanese W orkshop on Real and Complex Singularities, The University of Sydney, Australia, 2009 年9月17日,
(23) Shoji Yokura, Motivic canonical classes, Workshop “Geometry of Singularities”, Universität Münster, Germany August 31 – September 1, 2009, 2009 年 8 月 31 日,
(24)Toru Ohmoto, Some formulae of Chern classes of Symmetric products and Hilbert schemes, Workshop “Geometry of Singularities”, Universität Münster, Germany August 31 – September 1, 2009, 2009 年 8 月 31 日,
(25) Takehiko Yasuda, Noncommutative resol ution and Frobenius morphism、The 5th Fran co-Japanese Symposium on Singularities、IR MA, Strasbourg, France, 2009年8月27日、
(26) Shoji Yokura, Motivic bivariant classes and motivic zeta functions, The 5th Franco-Japanese Symposium on Singularities, IRMA, Strasbourg, August 24 -28, 2009, 2009 年 8 月 25 日、
(27) Tadashi Aikou, Some remarks on Kahlerian Finsler manifolds, Workshop on Finsler Geometry and its Applications (May 24-May 29, 2009), , Debrecen, Hungary, 2009 年 5 月 25 日
６．研究組織 (1)研究代表者
與倉 昭治（YOKURA SHOJI）
鹿児島大学・大学院理工学研究科・教授 研究者番号：60182680
(2)研究分担者
宮嶋 公夫（MIYAJIMA KIMIO）
鹿児島大学・大学院理工学研究科・教授 研究者番号：40107850
愛甲 正（AIKOU TADASHI）
鹿児島大学・大学院理工学研究科・教授 研究者番号：00192831
安田 健彦（YASUDA TAKEHIKO）
鹿児島大学・大学院理工学研究科・准教授 研究者番号：30507166
古澤 仁（FURUSAWA HITOSHI）
鹿児島大学・大学院理工学研究科・准教授 研究者番号：00357930
(3)連携研究者
大本 亨(OHMOTO TORU)
北海道大学・大学院理学研究科・准教授 研究者番号：20264400
