2021 年 7 月 15 日

ココンマ圏と profunctor

alg-d

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2021 年 7 月 15 日

これまで見てきた通り，圏論ではコンマ圏が非常に重要な役割を果たす．そうすると気 になるのは，コンマ圏の双対となる「ココンマ圏」は存在するのであろうか，ということ である．

定義. 圏C の図式a ←c →bをaからbへのspanという．双対的に，図式a →c←b をaからbへのcospanという．

定義. C を圏，a, b ∈ C を対象とする．aから bへのspanがなす圏Span_C(a, b)を以下 のように定める．

• Ob(Span_C(a, b)) :={⟨f, g⟩ ∈Mor(C)² |c∈C, a←−^f c−→^g b}

• ⟨f, g⟩,⟨k, l⟩ ∈ Span_C(a, b)とする．c:= dom(f)，d:= dom(k)とする．⟨f, g⟩^か ら⟨k, l⟩への射は，次の図式を可換とする射h: c→dで定める．

a b

d c

k l

f g

h

圏C が文脈から明らかな場合は添え字を省略して単にSpan(a, b)と書く．また同様にし てcospanがなす圏Cospan_C(a, b)が以下のように定まる．

• Ob(Cospan_C(a, b)) :={⟨f, g⟩ ∈Mor(C)² |c∈C, a−→^f c←−^g b}

• ⟨f, g⟩,⟨k, l⟩ ∈Cospan_C(a, b)とする．c:= cod(f)，d := cod(k)とする．⟨f, g⟩^か

ら⟨k, l⟩への射は，次の図式を可換とする射h: c→dで定める．

d c

a ^{f g} b

k h l

ここでは小圏の圏Catにおけるspan，cospanを考える．

A −→^F C ←−^G BをCatのcospanとしたとき，コンマ圏G↓F はspanA ←G↓F →B を与えるのであった．^*1

命題 1. コンマ圏を取る操作は関手↓: Cospan(A, B)→Span(A, B)を与える．

証明. A−→^F C ←−^G B，A−→^K D ←−^L Bをcospan，H: ⟨F, G⟩ → ⟨K, L⟩^をCospan(A, B) の射とする．このとき関手↓H: G↓F →L↓K をコンマ圏の普遍性により定める．

C^′

A B

G↓F L↓K

⇐=

= =

K L

P1 ↓H P0

=

C^′ C

A B

G↓F

⇐=

= =

K L

P1 P0

F G

H

普遍性により，これは明らかに関手↓: Cospan(A, B)→Span(A, B)を与える．

そこで，もしこの関手が左随伴を持つとすると，それが「ココンマ圏を与える関手」で あるとみなすことができる．というのも「コンマ圏の普遍性」の双対バージョン(^定理2) が成り立つからである．

それを説明するため，関手↓^が左随伴↑: Span(A, B)→Cospan(A, B)を持つとして，

そのunitをηとする．A ←−^F C −→^G Bをspanとすると↑⟨F, G⟩^はcospanであるから，

それをA −−→^Q0 F ↑G ←−−^Q1 Bと書くと，これのコンマ圏を考えることができる．このとき

*1後の構成の都合上，F↓G^ではなくG↓F ^{を考える．ここを}F ↓Gに変えた場合は，後で出てくる Prof(A, B)^がProf(B, A)^になる．

S :=η_⟨F,G⟩はSpan(A, B)の射C →Q1↓Q0 (次の図式の点線の射)のことである(ここ でP₀, P₁, θはコンマ圏Q₁↓Q₀ から得られる関手と自然変換である)．

A F ↑G

Q₁↓Q₀ B C

⇒ =

θ Q₀

Q₁ F

G P1

P₀

S

=

=

これらを合成して得られる自然変換をρ: Q1G⇒Q0F とする．

定理 2. 関手↓^が左随伴↑: Span(A, B) → Cospan(A, B)を持つとする．このとき上の ように定義した図式

A F ↑G

C B

⇒ =

ρ Q0

Q1

F

G

は次の普遍性を満たす: X ^を圏，R0: A →X^，R1: B →X ^を関手，α: R1G ⇒R0F ^を 自然変換とする．

X A

C B

⇒ =

α R₀

R1

F

G

このとき関手H: F ↑G→X が一意に存在して以下を満たす．

(1) HQ0 =R0，HQ1 =R1 である．

(2) 次の自然変換の等式が成り立つ．

X A F ↑G

C B

⇒ =

ρ

=

=

R₀

R1

F

G Q0

Q1

H

= A

X

C B

⇒ =

α R₀

R1

F

G

証明. まずH の存在を示す．そのためにコンマ圏R1↓R0 を取り，そこから得られる関 手と自然変換をP₀^′, P₁^′, θ^′ とする．普遍性により次の図式の点線の関手M: C →R₁↓R₀ が得られる．

X A

R1↓R0 B C

⇒ =

θ^′ R0

R₁ F

G P₁^′

P₀^′

M

=

= =

X A

B C

⇒ =

α R0

R₁ F

G

このとき随伴Hom(↑⟨F, G⟩,⟨R₀, R₁⟩) = Hom(∼ ⟨F, G⟩,↓⟨R₀, R₁⟩) により，M の随伴射 となる関手H: F ↑G →X が取れる．これが条件(1)(2)を満たすことを示す．

まず条件 (1)は，定義よりH がCospan(A, B)の射であるからよい．条件(2)を示そ う．随伴のunitの性質から↓H◦S =M が成り立つ．従って

X A

B C

⇒ =

α R0

R1

F

G

=

X A

R₁↓R₀ B C

⇒ =

θ^′ R0

R1

F

G P₁^′

P₀^′

M =

=

=

X A

R1 ↓R0 B Q1↓Q0

C

⇒ =

θ^′

=

=

R0

R₁ F

G P₁^′

P₀^′ P₁

P0

=

=

S

↓H

=

X A F ↑G

B Q1↓Q0

C

R0

R1

F

G P1

P0

=

=

S

⇒ =

θ

=

Q0 =

Q1

H

=

X A F ↑G

B

C

R0

R₁ F

G

⇒ =

ρ

=

Q₀ =

Q1

H

となり条件(2)が成り立つ．

後はH の一意性を示せばよい．H^が条件(1)(2)^{を満たすとすると}H ^はCospan(A, B) の射F ↑G→X だから，随伴射M: C →R₁↓R₀ が取れる．従ってこのM が一意であ ることを示せばよい．再びunitの性質から，これは↓H ◦S =M を満たす．故に

X A

R1↓R0 B

C

⇒ =

θ^′ R₀

R1

F

G P₁^′

P₀^′

M

=

=

=

X A

R1↓R0 B Q₁↓Q₀

C

⇒ =

θ^′

=

=

R₀

R1

F

G P₁^′

P₀^′ P1

P₀

=

=

S

↓H

=

X A F ↑G

B Q1↓Q0

C

R0

R1

F

G P1

P0

=

=

S

⇒ =

θ

=

Q0 =

Q1

H

=

X A F ↑G

B

C

R0

R₁ F

G

⇒ =

ρ

=

Q₀ =

Q1

H

=

X A

B

C

⇒ =

α R0

R1

F

G

となるから，R1↓R0の普遍性によりM ^{は一意である．}

そこで問題は↓: Cospan(A, B)→Span(A, B)が左随伴を持つか，ということになる．

答えは存在する，であるが，これを構成するためにprofunctorというものを導入する．

定義. C, D を圏とする．C から D への profunctor (もしくは distributor もしくは correspondenceもしくはbimodule)とは関手P: C → Db のことである．profunctor を 記号P: C −◦→ Dなどで表す．

自然同型Hom_Cat(A×B, C)∼= HomCat(A, C^B)により，profunctorP: C −◦→ D即ち 関手P: C →Dbと関手P: D^op×C →Setを同一視することができる．以下，特に断らず この同一視を行う．またC^からD^へのprofunctor^{がなす圏を}Prof(C, D) :=Set^Dop×C で定める．

定義. P: A −◦→ B，Q: B −◦→ C に対して profunctor の合成Q⊗P: A −◦→ C を関手 (y^†Q)◦P: A→Cbで定める．

A B

Bb Cb

P

Q y

y^†Q

圏Cに対して米田埋込y: C →Cbが定めるprofunctorをidC: C −◦→ Cで表す．米田 埋込と左Kan拡張の性質から容易に分かるようにP: C −◦→ Dに対してP ⊗id_C ∼= P， id_D⊗P ∼=P である．

命題 3. P: A−◦→ B，Q: B−◦→ Cをprofunctorとするとき Q⊗P(a)∼=

Z _b∈B

P(b, a)×Q(−, b).

証明. X ∈Bbに対してy^†Q(X)∼= Z _b∈B

Hom^Bb(y(b), X)×Qb∼= Z _b∈B

Xb×Qbである からQ⊗P(a) =y^†Q(P a)∼=

Z _b∈B

P a(b)×Qb= Z _b∈B

P(b, a)×Q(−, b)． F: C →Dを関手とする．このときprofunctor F_∗: C −◦→D，F^∗: D−◦→C が

F_∗(d, c) := HomD(d, F c), F^∗(c, d) := HomD(F c, d)

により定まる．つまりF_∗(c) =y◦F(c) =F⁻¹y(c)，F^∗(d)∼=F^†y(d)である．

そこでcospan A−→^F C ←−^G Bに対してprofunctor Φ(F, G) : A−◦→ Bを Φ(F, G) :=G^∗ ⊗F_∗ ∼= (G^†y)⊗(y◦F)∼=y^†(G^†y)◦y◦F

により定義することができる．

Cb

C Bb

A B

F

G G^†y

y^†(G^†y)

y y

ここでyが忠実充満よりy^†(G^†y)◦y ∼= G^†y となるから結局Φ(F, G)∼= (G^†y)◦F が分 かる．従ってΦ(F, G)(a)∼=G^†y(F a)∼= HomC(G−, F a)となる．

命題 4. Φ : Cospan(A, B)→Prof(A, B)は関手となる．

証明. Cospan(A, B)の射H: ⟨F, G⟩ → ⟨K, L⟩ (次の図式を参照)を取る．

D

C

A ^{F G} B

K H L

既に見た通りΦ(F, G),Φ(K, L) : A −◦→B^{は次で与えられる．}

Φ(F, G)(b, a)∼= HomC(Gb, F a) Φ(K, L)(b, a)∼= HomC(Lb, Ka) そこでΦ(H)_ba: Φ(F, G)(b, a)→Φ(K, L)(b, a)を合成

Φ(F, G)(b, a)∼= HomC(Gb, F a)−→^H Hom_C(HGb, HF a)∼= Φ(K, L)(b, a) により定義する．これはb∈B，a ∈Aについて自然である．

...

) f: a→a^′，g: b^′ →bとする．次の図式が可換であることを示せばよい．

HomC(Gb, F a) HomC(HGb, HF a)

HomC(Gb^′, F a^′) HomC(HGb^′, HF a^′)

H

HF f◦−◦HGg F f◦−◦Gg

H

それはH が関手であるから明らか．

これによりΦ : Cospan(A, B)→Prof(A, B)は明らかに関手である．

逆に profunctor P: A −◦→ Bに対して cospan Σ(P) = (A −−→^FP CP GP

←−− B)を以下の ように定義することができる．まず圏C_P を次により定める．

• Ob(C_P) := Ob(A)⊔Ob(B)

• HomCP(u, v) :=













HomA(u, v) (u, v ∈Aのとき) Hom_B(u, v) (u, v ∈Bのとき)

∅ (u∈A, v ∈Bのとき) P(u, v) (u∈B, v ∈Aのとき)

• 射f: u →v，g: v→wの合成g◦f を次で定める．

g◦f :=









g◦f (u, v, w ∈Aのとき) g◦f (u, v, w ∈Bのとき)

P(f,id_w)(g) (u, v∈B, w ∈Aのとき．下図参照) P(idu, g)(f) (u∈B, v, w∈Aのとき)

u

v

w ^f

g g◦f

Hom(u, w) =P(u, w)

Hom(v, w) =P(v, w)

P(f,idw)

∈∈

A B

関手F_P: A → C_P，G_P: B → C_P を自然な埋込で定めれば Σ(P) ∈ Cospan(A, B) で ある．

命題 5. Σ : Prof(A, B)→Cospan(A, B)は関手となる．

証明. Prof(A, B)の射θ: P ⇒ Qに対してCospan(A, B)の射Σ(θ) : Σ(P) → Σ(Q)， 即ち次の図式が可換となるような関手Σ(θ)を定める．

C_Q

CP

A ^{FP GP} B

FQ GQ

Σ(θ)

そのためには対象a∈A，b∈Bに対して写像Σ(θ) : HomC_P(b, a)→HomC_Q(b, a) をう

まく定めればよい．HomCP の定義からΣ(θ) := θba: P(b, a)→ Q(b, a)と定義すること ができる．これによりΣ(θ)は関手になる．

...

) 定義からΣ(θ)(id) = idは明らかである．従ってf: u→v，g: v →wとしたと きにΣ(θ)(g◦f) = Σ(θ)(g)◦Σ(θ)(f)となることを示せばよい．

(i) u, v, w ∈A^またはu, v, w ∈B^{の場合，明らか} (ii) u, v∈B，w ∈Aの場合，定義から

Σ(θ)(g◦f) =φ_uw(g◦f), Σ(θ)(g) =φ_vw(g), Σ(θ)(f) =f であり，一方φが自然変換だからθ_uw(g◦f) =θ_vw(g)◦f が分かる．

P(u, w) Q(u, w)

P(v, w) Q(v, w)

φ_uw

Q(f,idw) P(f,idw)

φ_vw

g◦f θuw(g◦f) θ_vw(g)◦f

g φ_vw(g)

φ_uw

Q(f,idw) P(f,idw)

φ_vw

(iii) u∈B，v, w ∈Aの場合，定義から

Σ(θ)(g◦f) =φ_uw(g◦f), Σ(θ)(g) =g, Σ(θ)(f) =φ_uv(f) であり，一方θが自然変換だからθuw(g◦f) =g◦θuv(f)が分かる．

P(u, v) Q(u, v)

P(u, w) Q(u, w)

φuv

Q(id_u,g) P(id_u,g)

φuw

f θuv(f) g◦θuv(f) g◦f θ_uw(g◦f)

φuv

Q(idu,g) P(id_u,g)

φuw

以上によりΣ(θ)は関手であることが分かった．

これによりΣが関手になることを示す．Σの定義よりΣ(id) = idは明らかである．そこ でθ: P ⇒Q，σ: Q⇒Rに対してΣ(σ◦θ) = Σ(σ)◦Σ(θ)を示す．そのためにはa∈A， b∈B^に対して(σ◦θ)ba =σba◦θbaを示せばよいが，それは自然変換の合成の定義であ る．

命題 6. 随伴Σ ⊣ Φ : Prof(A, B) → Cospan(A, B)が成り立つ．更にこれのunitは同 型である．

証明. 随伴であることを示すため，P ∈Prof(A, B)，(A −→^F C ←−^G B) ∈Cospan(A, B) について自然な全単射

φ: HomCospan(A,B)(Σ(P),⟨F, G⟩)→Hom_Prof(A,B)(P,Φ(F, G)) を定義する．

まずprofunctor P: A −◦→Bに対して

Φ(Σ(P))(−,□) = Φ(F_P, G_P)(−,□)= Hom∼ CP(G_P−, F_P□) =P(−,□)

だからΦ◦Σ ∼= idである．この自然同型を η: id ⇒ Φ◦Σとする．このとき φを，射 H: Σ(P)→ ⟨F, G⟩^に対してφ(H) := Φ(H)◦ηP: P ⇒Φ(F, G)と定める．Φの定義に より，φ(H)baはb∈B^，a∈A^{に対して合成}

P(b, a) = Hom_CP(G_Pb, F_Pa)−→^H Hom_C(Gb, F a)

で与えられる．このφは全単射Hom(Σ(P),⟨F, G⟩)→Hom(P,Φ(F, G))を与える．

...

) 単射であることはφ(H)ba の定義から明らかである．よって全射性を示せばよ い．そこでθ: P ⇒Hom_C(G−, F□)を自然変換とする．このときH を

• 対象x ∈C_P に対してHx:=

( F x (x∈A) Gx (x∈B).

• 射f: u →vに対してHf :=









F f (u, v ∈A) Gf (u, v ∈B) θba(f) (u∈B, v ∈A).

と定義する．このH: CP →C は関手である．

...

)H(id) = idは明らかなのでf: u→v，g: v→wとしてH(g◦f) =Hg◦Hf を示す．

(i) u, v, w ∈Aまたはu, v, w ∈Bの場合，明らか (ii) u, v∈B，w ∈Aの場合，定義から





H(g◦f) = θ_uw(g◦f) Hg = θvw(g)

Hf = Gf

であり，一方θが自然変換だからθ_uw(g◦f) =θ_vw(g)◦Gf である．

Ψ(u, w) HomC(Gu, F w)

Ψ(v, w) Hom_C(Gv, F w)

θuw

−◦Gf Φ(f,id_w)

θvw

g◦f θuw(g◦f) φ_vw(g)◦Gf

g θ_vw(g)

θuw

Φ(f,idw) −◦Gf

θvw

(iii) u∈B，v, w ∈Aの場合，定義から





H(g◦f) = θ_uw(g◦f)

Hg = F g

Hf H = θuv(f)

であり，一方θ^{が自然変換だから}θuw(g◦f) =F g◦θuv(f)^である．

Ψ(u, v) HomC(Gu, F v)

Ψ(u, w) Hom_C(Gu, F w)

θuv

F g◦−

Ψ(id_u,g)

θuw

f θuv(f)

F g◦θuv(f) g◦f θ_uw(g◦f)

θuv

F g◦−

Ψ(id_u,g)

θuw

以上によりH は関手であることが分かった．

このとき明らかにHFP = F^，GPH = G ^だからH ^は射Σ(P) → ⟨F, G⟩^であり，

φ(H) =θである．

このφが自然であることを示す．即ちθ: P ⇒Q，M: ⟨F, G⟩ → ⟨K, L⟩^に対して Hom(Σ(Q),⟨F, G⟩) Hom(Q,Φ(F, G))

Hom(Σ(P),⟨K, L⟩) Hom(P,Φ(K, L))

φ

θ◦−◦Φ(M) Σ(θ)◦−◦M

φ

が可換であることを示す．H: Σ(Q) → ⟨F, G⟩として，まず右回りで送った先を考える と，そのba成分は(θ◦φ(H)◦Φ(M))_ba =θ_ba◦φ(H)_ba◦Φ(M)_ba =θ_ba◦H◦M である．

一方左回りの ba成分は(φ(Σ(θ)◦H ◦M))ba = Σ(θ)ba ◦H◦M = θba ◦H◦M であ る．よって可換性が分かった．

以上によりΣ⊣Φである．φの定義よりこの随伴のunitはηであり，これは同型であ る．

unit が同型だから Σ : Prof(A, B) → Cospan(A, B) は忠実充満である (「随伴」の PDFを参照)．

次にspan A←−^F C −→^G Bに対してprofunctor Ψ(F, G) : A−◦→Bが

Ψ(F, G) :=G_∗⊗F^∗ ∼= (yG)⊗(F^†y)=∼y^†(yG)◦F^†y ∼=F^†(yG)

により定まる．ここで各点左Kan拡張の一般論によりy^†(yG)◦F^†y ∼=F^†(yG)となるか ら結局Ψ(F, G)∼=F^†(yG)である．

Cb Bb

A B

C

⇒ = ⇒ =

F G

F^†y

y^†(yG)

y

y

=

Bb

A B

C

⇒ =

F G

y F^†(yG)

命題 7. Ψ : Span(A, B)→Prof(A, B)は関手となる．

証明. そのためにSpan(A, B)の射H (次の図式を参照)を取る．

A B

D

C

K L

F H G

Ψ(F, G),Ψ(K, L) : A −◦→ B はΨ(F, G) ∼= F^†(yG)，Ψ(K, L) ∼= K^†(yL) を満たすので あった．よって左Kan拡張の普遍性により自然変換Ψ(H) : Ψ(F, G) ⇒Ψ(K, L)^が得ら れる．

A B

Bb

C

=⇒

Ψ(H)⇒

F G

K^†(yL)

F^†(yG) y

= A B

Bb

D

C

⇒ =

K L

F G

H K^†(yL)

y

これによりΨが関手となることを示そう．

まず明らかにΨ(id) = idである．よってΨが合成と交換することを示せばよい．そこ で(A←−^F C₀ −→^G B)−→^H (A←−^K C₁ −→^L B)−−→^H′ (A←−^S C₂ −→^T B)をspanの射とすると

A B

Bb

C₀

⇒ =

Ψ(H⇒ ^′) Ψ(H)⇒

F G

S^†(yT)

K^†(yL) F^†(yG)

y

=

A B

Bb

C₁

C₀

⇒ =

Ψ(H⇒ ^′)

K L

F G

H S^†(yT)

K^†(yL) y

=

A B

Bb

C2

C₁

C₀

=⇒

S T

K L

F G

H^′

H S^†(yT)

y

=

A B

Bb

C₀

=⇒

⇒ =

Ψ(H^′◦H)

F G

S^†(yT)

F^†(yG) y

より普遍性からΨ(H^′◦H) = Ψ(H^′)◦Ψ(H)が分かる．

逆に関手Λ : Prof(A, B)→ Span(A, B)がΛ :=↓ ◦Σにより定まる．(後にΨ⊣Λ が 分かる(^命題12)^．)

Span(A, B) Prof(A, B) ⊥ Cospan(A, B)

Ψ

Λ

Σ

Φ

↓

profunctor P: A−◦→ Bに対してΛ(P) = (A ^F

←−−P C^{P G}

−−→P B)と書く．

CP

A B

GP ↓FP

C^P

⇐=

F^P G^P

FP GP

命題 8. 圏C^P は以下のようになる．

• Ob(C^P) ={⟨a, b, f⟩ |a ∈A, b ∈B, f ∈P(b, a)}

• ⟨a, b, f⟩,⟨a^′, b^′, f^′⟩ ∈Ob(C^P)に対して Hom_C^P(⟨a, b, f⟩,⟨a^′, b^′, f^′⟩) =

(

⟨g, h⟩

g: a→a^′, h: b^′ →b, P(h, g)(f) =f^′

)

命題 9. Λ : Prof(A, B)→Span(A, B)は忠実充満である．

証明. P, Q∈Prof(A, B)とする．

まず忠実であることを示すため，θ, σ: P ⇒QがΛ(θ) = Λ(σ)を満たすとする．定義 より

CQ

CP

A B

C^P

⇐=

= =

FQ GQ

F^P G^P

FP GP

Σ(θ)

=

CQ

A B

C^P C^Q

⇐=

= =

FQ GQ

F^P Λ(θ) G^P

=

CQ

CP

A B

C^P

⇐=

= =

FQ GQ

F^P G^P

FP GP

Σ(σ)

である．よって対象⟨a, b, f⟩ ∈ C^P に対してΣ(θ)(f) = Σ(σ)(f)となる．これはθ = σ を意味する．

次に充満であることを示すためH: Λ(P) →Λ(Q)とする．θ: P ⇒ Qを定義しよう．

そのためにb ∈ B，a ∈ A を取りf ∈ P(b, a)とする．このとき⟨a, b, f⟩ ∈ C^P だから

H⟨a, b, f⟩ ∈C^Q である．圏C^P の定義よりH⟨a, b, f⟩=⟨a, b, θba(f)⟩^{と書ける．これに} より写像θ_ba: P(b, a)→Q(b, a)が定まる．θ_ba はb∈B，a ∈Aについて自然である．

...

) g:a →a^′，h: b^′ →bとする．次の図式が可換であることを示せばよい．

P(b, a) Q(b, a)

P(b^′, a^′) Q(b^′, a^′)

θba

Q(h,g) P(h,g)

θ_b′a′

f ∈ P(b, a)を取り f^′ := P(h, g)(f)とする．このとき⟨g, h⟩: ⟨a, b, f⟩ → ⟨a^′, b^′, f^′⟩ は C^P の射である．故に H⟨g, h⟩: H⟨a, b, f⟩ → H⟨a^′, b^′, f^′⟩ ^は C^Q の射であり H⟨g, h⟩ = ⟨g, h⟩ ^{である．よって} Q(h, g)(θba(f)) = θba(f^′) = θba(P(h, g)(f)) と なる．

よってθ: P ⇒Q^{となる．このとき}Λ(θ) =H ^である．

命題 10. Λ◦Φ∼=↓^である．

証明. H: (A −→^F C ←−^G B) → (A −→^K D ←−^L B)^をCospan(A, B)^{の射とする．定義より} Λ(Φ(H))は

CQ

A B

C^P C^Q

⇐=

= =

FQ GQ

F^P Λ(Φ(H)) G^P

=

CQ

CP

A B

C^P

⇐=

= =

FQ GQ

F^P G^P

FP G_P Σ(Φ(H))

で与えられる関手である．ここで

Φ(F, G)∼= HomC(G−, F−), Φ(K, L)∼= HomC(L−, K−)

でありΣ(Φ(H))は H: HomC(Gb, F a) → HomC(Lb, Ka) により定まる関手である．

よってΛ◦Φ∼=↓^である．

命題 11. ⟨L, η⟩^がF: C →Dに沿ったE: C →U の各点左Kan拡張であるとする．任 意の圏X と関手G: X →Dに対して合成

X D

F ↓G ⇒ = FC ^η =⇒ U

E L G

P1

P0

は左Kan拡張である．

証明. 任意の関手S: X →U に対して Hom_U^X(LG, S)∼=

Z

x∈XHomU(LGx, Sx)

∼= Z

x∈XHom^Cb(HomD(F−, Gx),HomU(E−, Sx))

∼= Z

x∈X

Z

c∈C^op

Hom_Set(Hom_D(F c, Gx),Hom_U(Ec, Sx))

∼= Z

⟨c,x⟩∈C^op×X

Hom_Set(Hom_D(F c, Gx),Hom_U(Ec, Sx))

∼= HomProf(X,C)(Hom_D(F−, G□),Hom_U(E−, S□))

∼= HomProf(X,C)(Φ(G, F),Φ(S, E))

∼= HomSpan(X,C)(Λ(Φ(G, F)),Λ(Φ(S, E))) (命題9)

∼= Hom_Span(X,C)(F ↓G, E↓S) (^命題10)

∼= HomU^F↓G(EP0, SP1) (コンマ圏の普遍性) だからP₁^†(EP0)∼=LG^である．

命題 12. ^随伴Ψ⊣Λ : Span(A, B) →Prof(A, B)が成り立つ．更にこれのcounit^は同 型である．

証明. 随伴であることを示すため，(A←−^F C −→^G B)∈ Span(A, B)，P ∈ Prof(A, B)に ついて自然な全単射

φ: Hom_Span(A,B)(⟨F, G⟩,Λ(P))→Hom_Prof(A,B)(Ψ(F, G), P) を定義する．そのためにまず自然同型ε: Ψ(Λ(P))⇒P が存在することを示す．

...

) 定義よりΨ(Λ(P))∼= (F^P)^†(y◦G^P)である．一方A ^F

←−−P C^{P G}

−−→P Bはコンマ 圏GP ↓FP として与えられていたから，命題11により G^†_Py◦FP はF^P に沿った y◦G^P の左Kan拡張である．故に自然同型ε: Ψ(Λ(P))⇒P が存在して次の等式が 成り立つ．

A

C^P B Bb

=⇒

y F^P

G^P

Ψ(Λ(P))

=⇒^ε

P

=

A C_P

C^P ⇒ = B =⇒ Bb

∼=

GP

y G^†_Py F_P

F^P

G^P P

H: ⟨F, G⟩ →Λ(P)を射とする．即ちH は次を可換とする関手である．

A B

C^P C

F^P G^P

F H G

このとき自然変換φ(H) : Ψ(F, G)⇒P をφ(H) := ε◦(Ψ(H))で定める．つまりφ(H) は

A B

Bb

C

=⇒

⇒

ε Ψ(H)⇒

F G

P

Ψ(Λ(P))

F^†(yG) y

=

A B

Bb

C^P C

=⇒

⇒

ε

F^P G^P

F G

H P

Ψ(Λ(P)) y

=

A B

Bb

C^P C C_P

=⇒

∼

=

F^P G^P

F G

H P

y FP GP

G^†_Py

により定まる自然変換である．これは全単射φ: Hom(⟨F, G⟩,Λ(P))→Hom(Ψ(F, G), P) を与える．

...

) 単射性は明らかだから全射性を示す．そのためにσ: Ψ(F, G) ⇒ P を自然変換 とする．このときθ :=σ_F ◦ηと定義し(次の図式を参照)，

Bb

A B

C

⇒^σ

⇒ ^η=

F G

y F^†(yG)

P

H を

• 対象c∈C に対してHc:=⟨F c, Gc, θc⟩

• 射f: c→c^′に対してHf :=⟨F f, Gf⟩

で定義する．これは明らかに関手 H: C → C^P を定める．また明らかに H は射

⟨F, G⟩ →Λ(P)でありφ(H) =σである．故にφは全射である．

このφが⟨F, G⟩, P について自然であることを示す．そのためにM: ⟨F, G⟩ → ⟨K, L⟩^， θ: P ⇒Qとする．

Hom(⟨K, L⟩,Λ(P)) Hom(Ψ(K, L), P)

Hom(⟨F, G⟩,Λ(Q)) Hom(Ψ(F, G), Q)

φ

Ψ(M)◦−◦θ M◦−◦Λ(θ)

φ

が可換であることを示す．

以上により↑:= Σ◦Ψと定義すれば

Span(A, B) ⊥ Prof(A, B) ⊥ Cospan(A, B)

Ψ

Λ

Σ

Φ

↑

↓

より↑ ⊣ ↓となる．従って次の定理を得る．

定理 13. ^関手↓: Cospan(A, B)→Span(A, B)^は左随伴↑^を持つ．

Λ,Σが忠実充満だから↑ ⊣ ↓^{は冪等随伴である}(「随伴関手」のPDFを参照)．そこで 充満部分圏Comma(A, B)⊂Span(A, B)，Cocomma(A, B)⊂Cospan(A, B)を

Ob(Comma(A, B))

:={x ∈Span(A, B)|^あるz ∈Cospan(A, B)が存在して↓(z)∼=x}, Ob(Cocomma(A, B))

:={x ∈Cospan(A, B)|^あるz ∈Span(A, B)が存在して↑(z)∼=x} で定義すれば圏同値Comma(A, B)≃Prof(A, B)≃Cocomma(A, B)が得られる．

参考文献

[1] Jean Bénabou, Distributors at Work, http://www.mathematik.tu-darmstadt.

de/~streicher/