「数学的な見方・考え方」を育む発問を視覚化する発問評価シートについての一考察 : 米国NCTMの数学的モデル化を活用して

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(1)Title. 「数学的な見方・考え方」を育む発問を視覚化する発問評価シートについての一考察 ― 米国NCTMの数学的モデル化を活用して ―. Author(s). 松田, 航; 橋本, 忠和; 三上, 清和. Citation. 北海道教育大学紀要. 教育科学編, 69(2): 343-356. Issue Date. 2019-02. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/10398. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) 北海道教育大学紀要（教育科学編）第69巻第２号 Journal of Hokkaido University of Education（Education）Vol. 69, No.2. 平成 31 年２月 February, 2019. 「数学的な見方・考え方」を育む発問を視覚化する発問評価シートについての一考察 ― 米国NCTMの数学的モデル化を活用して ―. 松田航・橋本忠和＊・三上清和＊＊北海道教育大学大学院教育学研究科高度教職実践専攻＊. 北海道教育大学函館校学校教育学研究室. ＊＊. 北海道教育大学函館校生徒指導研究室. A Study on an Evaluation Seat to Visualize Asking Questions that Improve Mathematical Thinking ― Using NCTM’s Mathematical Model, in the United States ―. MATSUDA Kou, HASHIMOTO Tadakazu＊ and MIKAMI Kiyokazu＊＊ Graduate School of Education, Hokkaido University of Education ＊. Department of School Education, Hakodate Campus, Hokkaido University of Education. ＊＊. Department of Student guidance, Hakodate Campus, Hokkaido University of Education. 概要本研究では，育成をめざす「数学的な見方・考え方」の概観を明確にした上で，どのような発問が生徒の「数学的な見方・考え方」を働かせる上で有効なのかを明らかにするため，発問の視覚化に取り組んだ。そこで注目した先行研究が片桐重男の「数学的な考え方についての発問一覧」と，米国NCTMの「数学的モデル化」である。本研究においては，まず次期中学校学習指導要領数学科における「数学的な見方・考え方」の位置付けを次期中学校学習指導要領数学科の記述を参考に整理すると共に，その位置付けから片桐の論に着目する価値を明らかにする。つづいて，「数学的な考え方についての発問一覧」と「数学的モデル化」を組み合わせ，「発問評価シート」を作成し，実践事例を通して，その内容と活用法に関する改善点を抽出する。. １はじめに中央教育審議会答申において，各教科の「見. 方・考え方」の育成の重要性が示された。そこでは「見方・考え方」が「どのような視点で物事を捉え，どのような考え方で思考していくのか」1）. 343.

(3) 松田航・橋本忠和・三上清和. という各教科ならではの物事を捉える視点や思考. 断を行っていく上で必要不可欠な資質・能力. のあり方として示されている。この「見方・考え. 4）を身に付ける際に有効に働くものである。. 方」が重視される理由を答申の中では以下のよう. 以上の記述から「数学的な見方・考え方」は資. に示されている。. 質・能力の三つの柱である「知識及び技能」，「思. ・「見方・考え方」を働かせることが深い学び. 考力，判断力，表現力等」及び「学びに向かう力，. を実現する鍵となること。. 人間性等」の全てに働いているものと捉えること. ・「見方・考え方」が各教科の本質的な意義の. ができ5）それを発揮させ，育むことにつながる「数. 中核をなすものであり，教科等の学習と社会. 学的な見方・考え方」を高める授業づくりがこれ. をつなぐものであること。. からの数学教育に求められていると考えられる。. ・児童生徒が学習や人生において「見方・考え. 続いて「数学的な見方・考え方」の定義に関し. 方」を自在に働かせ活用することができるよ. ては2017年公示の中学校学習指導要領解説数学編. うにすること。. で，「事象を数量や図形及びそれらの関係などに. ・「見方・考え方」を育成する教師の専門性を 2）発揮し，高めようとすること。. 着目して捉え，論理的，統合的・発展的に考える 6）と示されており，それを「見方・考え方」こと」. また，2017年公示の中学校学習指導要領数学科. の両視点で捉えると以下のように整理できる。. でも，下記のように「見方・考え方」は，「数学. 「見方」の視点. 的な見方・考え方」として，中学校数学科の目標. ・事象を，数量や図形及びそれらの関係について. を実現する主軸として位置づけられている。（目. の概念等に着目してその特徴や本質を捉えるこ. 標一部抽出）. と。. 「数学的な見方・考え方を働かせ，数学的活動を通して，数学的に考える資質・能力を次の通 3）. り育成することを目指す」. 「考え方」の視点・目的に応じて数，式，図，表，グラフ等を活用しつつ，論理的に考え，問題解決の過程などを. 加えて2017年公示の中学校学習指導要領解説数. 振り返るなどして既習の知識及び技能を関連付. 学編では，「数学的な見方・考え方」を目標とし. 7）けながら，統合的・発展的に考えること。. て位置づける4点の理由を示している。（下線筆者）. 加えて，授業の中でこの「数学的な見方・考え. ・「数学的な見方・考え方」は，数学的に考え. 方」を高める手立てとしては，2017年公示の中学. る資質・能力を支え，方向付けるものであり，. 校学習指導要領解説数学編において，継続的に言. 数学の学習が創造的に行われるために欠かせ. 葉や数，式，図，表，グラフなどの数学的な表現. ないものである。. を用いて，論理的に考察し表現したり，その過程. ・生徒一人一人が目的意識をもって問題を発見. を振り返って考えを深めたりする学習活動を重視. したり解決したりする際に積極的に働かせて. 8）されている。. いくものである。. ただ，「数学的な見方・考え方」を高めるため. ・「数学的な見方・考え方」を働かせた学習活. の学習活動の工夫は従前から取り組まれており，. 動は，数学的に考える資質・能力を育成する. それが再び次期中学校学習指導要領数学科で重視. 多様な機会を与えるとともに，数学や他教科. している点が，これを育成する困難さを象徴して. の学習，日常や社会において問題を論理的に. いるとも言える。. 解決していく場面でも広く活かされるもので. そこで，本研究においては，まず育成をめざす. ある。. 「数学的な見方・考え方」の概観を明確にするこ. ・「数学的な見方・考え方」は，身近な生活の. とから取り掛かり，続いて授業中で「数学的な見. みならず，社会における賢明な意思決定や判. 方・考え方」を育む手立ての手がかりとして，片. 344.

(4) 「数学的な見方・考え方」を育む発問評価シート. 桐重男の著書『数学的な考え方の具体化と指導―. が本研究の趣旨である。. 算数・数学科の真の学力向上を目指して ― （2004）』の下記の指摘に注目した。「数学的な考え方は直接教える事柄ではなく，子ども自身がつまずきを克服していく過程で身. ２「数学的な見方・考え方」の今日的価値と構造. につくことが望ましく，発問の形でなされるべ. ここでは「数学的な見方・考え方」が今日の数. 9）き」. 学教育においてどのような価値があるかを明らか. この片桐の「数学的な考え方」と「発問」を関. にするために，次期中学校学習指導要領数学科に. 連づける指摘から，「数学的な見方・考え方」を. おける「数学的な見方・考え方」の価値付けを示. 育む手立てとして「発問」に着目した。その上で，. すともに，その記述と片桐（1988）の文献等も参. どのような「発問」が生徒の「数学的な見方・考. 考にしながら「数学的な見方・考え方」の構造を. え方」を向上させる上で有効なのかを，明らかに. 整理する。. するため，「発問」を視覚化し，その有効性や課題点を把握する必要性を見出すこととした。. ２−１次期中学校学習指導要領が示す「数学的. したがって，本研究では中学校数学科における. な見方・考え方」の定義と資質・能力との. 教師の「発問」を片桐が示す「数学的な考え方に. 関連. ついての発問一覧」における「問題形成・把握」・. 「数学的な見方・考え方」は，2017年公示の中. 「見通しを立てる」・「解決の実行」・「論理的組織. 学校学習指導要領解説数学編（以後，要領解説と. 化」・「検証」の問題解決の過程に沿った五つの段. 記述する）において，「数学的な見方・考え方」. 10）. と「発問」の種類「数学的な態度の発問」「方. を「事象を，数量や図形及びそれらの関係などに. 法に関係した考え方の発問」「内容に関係した考. 着目して捉え，論理的，統合的・発展的に考える. 階. 11）. え方の発問）」を組み合わせて分類する。それ. こと」14）と定義している。この文の中で「数量や. をNCTM（National Council of Teachers of. 図形及びそれらの関係などに着目して捉え」るこ. Mathematics：米国数学教師評議会）の「数学的. とは，「数学的な見方」に関するものであり，要. 12）. モデル化」のプロセスに組み合わせることで. 領解説においては，「事象を数量や図形及びそれ. 「数学的な見方・考え方」を育む「発問」を視覚. らの関係についての概念等に着目してその特徴や. 的にとらえることできるのではないかと想定し. 本質を捉えること」と「概念に着目する」視点が. た。具体的には，授業における「発問」を視覚化. 示されている。. した効果を検証する方法として，本研究では「発. この点について，金沢大学の大谷実は「関数の. 13）問評価シート」を活用する。. 15）見方」を例に挙げ，以下の手順を示している。. なお，このシートは片桐の上記の発問の分類を. ①ある数量を別の数量に着目することで事象を. NCTMの「数学的モデル化」のプロセスに当て. 間接的に考察する。. はめ，具体的な発問内容を構造的かつ視覚的に把. ②新しい概念や原理及び法則を生み出す。. 握し，分析できる構成となっている。. ③他の領域の概念と関連付ける。. この「発問評価シート」と教師の発問と生徒の. この手順から「数学的な見方」においては，「事. 発言を記録した映像，及び生徒の「授業評価アン. 象を間接的に考察」，「概念や原理及び法則を生. ケート」を組み合わせて，「数学的な見方・考え方」. む」，「他の概念と関連付ける」等，「その特徴や. に及ぼす教師の発問の分類と効果を視覚化するこ. 本質を捉える」ために「着目」する際，ただ見る. とで，「数学的な見方・考え方」を育む「発問」. ＝気付くだけでなく，「考察・生む・関連付ける」. の有り様を明らかにし，授業改善に役立てること. 等の「思考力」や，能動的な姿勢＝「学びに向か. 345.

(5) 松田航・橋本忠和・三上清和. う力」に通じる要素も含んでいると思われる。また，大谷はこの「数学的な見方」は新しい知識・技能の習得に関わるとしており，次期学習指導要領の育成すべき資質・能力の三つの柱のひとつである「知識及び技能」に深く関わる重要な要素と捉えることができる。続いて，「論理的，統合的・発展的に考える」ことは「数学的な考え方」に関するものである。そして要領解説においては，「目的に応じて数・. 図１「数学的な見方・考え方」と資質・能力の三つの柱の関連図16）. 式・図・表・グラフ等を活用しつつ，論理的に考え，問題解決の過程を振り返るなどして既習の知. のどちらが先ということではなく，循環し高めあ. 識及び技能と関連付けながら，統合的・発展的に. う関係であることも見てとれる。. 考えること」としてあり，その中の「目的に応じて数，式，図，表，グラフ等を活用しつつ」は「数学的活動」と繋がると思われる。さらに，要領解. ２−２片桐の「数学的な考え方」に注目する今日的意義. 説の「論理的に考え，問題解決の過程を振り返る」. 片桐は「数学的な考え方」を「自主的に算数・. の部分は，数学的活動の定義にある「解決過程を. 数学の内容を理解し，算数・数学的問題を形成. 振り返って概念を形成したり体系化したりする」. し，解決，発展させていくことができるために大. ことと関連しており，数学的活動と「数学的な考. 切な考え方」として捉えている。その考え方の内. え方」の深い接点が読み取れる。また，要領解説. 容としては，理科教育において強調される科学的. に「既習の知識及び技能と関連付けながら」とあ. 思考を例に出し，その特徴である「筋道を通して. るように，「数学的な見方」と同様に資質・能力. 思考すること」，すなわち帰納的な考え方や演繹. の三つの柱の「知識及び技能」との関連性も見い. 的な考え方という他教科で重視されている考え方. だせる。加えて，「統合的・発展的に考えること」. と重複しているということを認めながら，「数学. に関しては，「思考力・判断力・表現力」との関. 的な考え方」を「算数・数学科で指導することが. 連が見いだせると共に，大谷が「関数の見方・考. 望ましい考え方」という教科独自のものとして示. え方は，日常や社会の事象に関心を持ち，事象の. 17）している。. 中に客観的で簡潔な法則等を求めようとする科学. そして，彼は「数学的な考え方」は「数学的方. 的で探究的な資質を涵養する」としているように，. 法に結びついた面」と「数学的内容に結びついた. 「学びに向かう力・人間性等」にも関与している. 面」があると考え，二つの考え方に分けている。. ことが分かる。. 以下の表1は，片桐の「数学的方法と内容に関係. このように「数学的な見方・考え方」の定義を. した数学的考え方」と要領解説における「数学的. 読み解くと資質・能力の三つの柱との深い関わり. な見方・考え方」を比較するために作成したもの. があることが明らかになり，それを基に「数学的. である。. な見方・考え方」と資質・能力の三つの柱との関. この比較を通して，片桐の「数学的な考え方」. 係性を図式化したものが下の図1である。. を今日において注目する意義を示す。. この図を概観すると，「数学的な見方・考え方」. この表1を概観してみると，要領解説の「数学. と資質・能力の三つの柱が密接に関連し合い，そ. 的な見方」の「事象を数量や図形及び，それらの. れぞれの能力を高めあっていることが見てとれる。. 関係について概念等に着目して」という記述は，. また，「数学的な見方・考え方」と「資質・能力」. 片桐の「数学の内容に関係した数学的な考え方」. 346.

(6) 「数学的な見方・考え方」を育む発問評価シート. 表１「数学的な見方・考え方」と「数学的な考え方」との関連18）. ・「演繹的な考え方」・「類推的な考え方」したがって，「論理的」に考えるための「考え方」の視点，を片桐の「数学の方法に関係した数学的な考え方」は含んでいると言える。これらの関連性の視点を裏付けるように，片桐も2017年の著書の中で，『「内容に関係した考え方」＝「数学的な見方」，「方法に関係した数学的な考え方」＝「数学的な考え方」としてみると捉えや 19）その関連性を認めている。したがっすい』とし，. て，片桐の「数学的な考え方」の捉え方，さらには，そこから発想されている彼の「数学的な考え方についての発問一覧」を研究対象とすることは今日的にも価値あることと考えられる。２−３「数学的な見方・考え方」の今日的課題の下記の記述との接点が見いだせる。. 前項で，要領解説における「数学的な見方・考. ・「構成要素の大きさや関係に着目する」. え方」と片桐の「数学的な考え方」の接点からそ. ・「基本的法則や性質に着目する」. の教育的意義について整理してきたが，当の「数. すなわち，「関係に着目」という「見方」の視. 学的な見方・考え方」については，1989年から中. 点において両者は関連していると思われる。. 学校学習指導要領において数学科の目標に位置づ. また，要領解説の「特徴や本質を捉える」とい. けられているにもかかわらず，その捉え方，指導. う記述においても，片桐の「数学の内容に関係し. 法についてはまだ課題があると考えられる。. た数学的な考え方」の下記の記述との接点が見い. そこで，その課題を明らかにするために2017年. だせる。. 8月上旬に北海道渡島地区の教員を対象としたア. ・「表現や基本原理に基づいて考えようとする」. ンケートを実施した。対象とした教員の校種は幼. ・「ものや操作の意味を明らかにしたり，広げ. 児教育34名，小学校52名，中学校4名，高校1名，. たり，それに基づいて考えようとする」. 特別支援教育3名で，合計94名である。アンケー. すなわち，「本質を掴む」という「見方」の視. トの内容としては，「各校園に関わる各教科・領. 点においても，両者は関連していると思われる。. 域の見方・考え方の定義を知っていますか」とい. 続いて，要領解説の「数学的な考え方」につい. う質問である。この質問に対して，５段階（５と. ては，「数学的な考え方」において重要視されて. ても４まあまあ３どちらとも２あまり１. いる「統合的な考え方」や「発展的な考え方」が. いいえ）のうち，肯定的な回答（５とても，４ま. 片桐の「数学の方法に関係した数学的な考え方」. あまあ）をしたものは，図２を見て分かるとおり. の記述においても含まれている。それに加えて，. 36.16％に留まった。このことから各学校種，各. 要領の「論理的に考え，問題解決の振り返る」と. 教科において「見方・考え方」の定義の理解が不. いう記述についても，次の3点について片桐の「数. 十分であることが読み取れる。. 学の方法に関係した数学的な考え方」における記. その背景として，「考え方」の定義・内容の「論. 述と共通している。. 理的」「統合的」「発展的」という言葉には，曖昧. ・「帰納的な考え方」. さがあると考えられ，特に「論理的」は，概念的. 347.

(7) 松田航・橋本忠和・三上清和 21）と発問に注目している。ろう」. また，この発問に関しては，「数学的な見方・考え方」は特別なときに高まりを見出すものではなく，日々の授業の中で継続的に高まっていくものであるとしている。加えて，「数学的な見方・考え方」は教え込むものではなく，子供が自ら引き出すものであると，片桐がその継続性と自主性 22）子供に対しての重要性を指摘しているように，. 図２「見方・考え方」の定義についてのアンケート. 継続的に疑問や課題を投げかけ，子供の中で考えを膨らませ，引き出す発問の重要性が読み取れる。. に広がりが大きいため，どのように内容を焦点化. したがって，本研究においては，片桐の「数学. し育成を図ればよいか分かりにくいということが. 的な考え方」の引き出す手立てとしての発問に着. 推測される。. 目することにした。. また，「数学的な見方」については，「本質を捉. ところが，「見方・考え方」については，北海. える」とあるが，この「本質」という言葉も概念. 道渡島地区の教員を対象とした前アンケートにお. 的に広がりが大きく，指導内容の想定が難しいと. いて，その育成に関する指導の手立ての現状を把. いうことが考えられ，これが「数学的な見方・考. 握するために「『見方・考え方』を育む手立てで. え方」の指導を難しくしている要因だと思われる。. 取り組んでいることはありますか」という質問を投げかけたところ，発問はあまり「見方・考え方」. ２−４課題解決の手立てとして発問に着目する意義. を育む手立てとして活用されていないことが分かった。（図3）この図3によると，「見方・考え. 以上の課題点を解消するため，本論においては. 方」を育成するための手立てとして，「教材」と. 生徒の「数学的な見方・考え方」の育成に効果が. いう回答が62％，「授業展開」という回答が55％. ある手立てを視覚化するため発問に着目した。. と多いのに対し，「発問」については，29％と低く，. この発問に注目した裏づけとなる先行研究に，. あまり重要視されず，活用されていない様子が見. 片桐の「数学的な考え方」を高める発問に関する. 受けられた。. 研究がある。片桐は，「数学的な考え方」に焦点を当てた指導や，日常的に「数学的な考え方」の高まりを促すことができる指導をするために，「子供がつまずいたときに，直接役立つ知識や技能についての助けをするのでなく，これを引き出すような考え方，さらに考え方を引き出すような数学的な態度についての助けを用意しておかなくてはならな 20）と，子どもの「数学的な考え方」を引き出い」. すための「助け」を用意しておく必要性を指摘している。さらに，その「助け」として「直接教える事柄でなく，これを受けて，子供自身がつまずきを克服していけるような助けであることが望ましい。したがってそれは発問の形でなされるであ. 348. 図３「見方・考え方」を育む手立てのアンケート.

(8) 「数学的な見方・考え方」を育む発問評価シート. したがって，片桐が指摘するように，発問の仕. 師評議会」が1989年に発表したものであり，生徒. 方の工夫によって「数学的な見方・考え方」が育. の数学における問題解決の思考の流れを図4のよ. 成されることが期待されているにもかかわらず，. うに図式化している。この過程は，左上の「現実. その効果がどの程度あるのか，どのような発問が. 世界の問題場面」から始まり，「単純化」・「批准」・. 望ましいのかについては，まだ現場での検証研究. 「数学化・「変換」・「解釈」という操作を経なが. が十分進んでいないように見受けられる。. ら，問題の解決へと進んでいく。. ゆえに，本研究において「数学的な見方・考え方」を育む教師の発問の効果を視覚的に捉えることは，意義のあることと考えられる。そこで，次節においては片桐の「数学的な考え方についての発問一覧」と，その効果と位置付けを視覚化する手立てとして，NCTMの「数学的モデル化」とを組み合わせて，「数学的な見方・考え方」を育む発問を把握する手法と活用法について検討していく。. 図４数学的モデル化 NCTMスタンダード所収24）. この図4の問題解決の構造は，生徒の問題を解決する上での「数学的な見方・考え方」の状況を. ３「数学的な見方・考え方」を視覚化する. 把握するのに役立てると考えられる。. 「発問評価シート」の構想と活用法についてここでは，本研究で構想した「発問評価シート」の構造を示し，加えて，教師の「発問チェックリスト」と生徒の「授業評価アンケート」の内容と組み合わせ方について説明する。３－１「発問評価シート」の構想まず，「発問評価シート」の構築にあたっては，二つの先行研究を基としている。一つは，片桐の「数学的な考え方についての発問一覧」である。（その各項目は，別紙資料１ A11～ I54として 23）もう一つは，NCTMの「数学的モデル化」示す）. である。本研究では，この二つを組み合わせることで，教師のどのような発問が生徒の「数学的な. ３－１－２本論における「発問評価シート」の構造「数学的モデル化」を土台として，片桐の「数学的な考え方についての発問一覧」を「発問評価シート」と組み合わせることで，教師が授業中に行った発問が「どの問題解決の場面で」「どのような効果をもった」ものであるかを視覚化することを試みた。図5〜9は，片桐の5つの問題解決のプロセス（「問題形成・把握」・「見通しを立てる」・「解決の実行」「論理的組織化」・「検証」）の各場面においての「数学的な考え方についての発問一覧」を「数学的モデル化」に組み合わせ，位置づけたものである。. 見方・考え方」を育むのに効果的なのか，視覚化するのに役立つと考え，「発問評価シート」を構想した。３－１－１ベースとなるNCTMの「数学的モデル化」とはこの項では，「発問評価シート」構想の土台となる「数学的モデル化」の概要について述べる。. 図５「問題形成・把握」場面による数学的モデル化25），26）. 「数学的モデル化」とは，NCTM「米国数学教. 349.

(9) 松田航・橋本忠和・三上清和. 参照）そして，これらの5つの段階の発問を全て一つに集約したものが下の図であり，本論での「発問評価シート」とはこれを指す。. 図６「見通しを立てる」段階の数学的モデル化27）,28）. 35）,36）図10 「発問評価シート」. ３－２発問評価シートの活用法について図７「解決の実行」段階の数学的モデル化29）,30）. この節では，どのように発問評価シートを活用し，「数学的な見方・考え方」を育む発問の視覚化を進めるかを述べる。その活用のために，本研究では二種類の記入情報を使う。一つ目は，「発問チェックリスト」である。これは，教師が行った発問をカテゴリーごとに計測していくためのものである。二つ目は，「授業評価アンケート」である。これは，授業後に生徒に実施し，「数学的な. 31）,32）. 図８「論理的組織化」段階の数学的モデル化. 見方・考え方」が育まれているかを見取るためのものである。次項では，これらについて説明する。３－２－１記入情報Ⅰ「発問チェックリスト」の内容この項では，筆者が構想した「発問評価シート」の活用のための「発問チェックリスト」（表2）の内容等について述べる。. 33）,34）. 図９「検証」段階での数学的モデル化. この「発問チェックリスト」は，前述した片桐の「数学的な考え方についての発問一覧」を土台. この5つの思考プロセスに片桐の「数学的な考. にして作成している。その参照した内容は，片桐. え方についての発問一覧」の分類を照らし合わせ. が問題解決の過程に対応させて作った「数学的な. ることで，片桐が分類した「発問」が具体的に. 見方・考え方」を引き出す発問であり，その一覧. 「数学的な見方・考え方」のどこに作用するのか. は問題解決のそれぞれの過程ごとに，主に育まれ. を示すことができると想定した。（図内Ａ1～Ｅ8. ると考えられる「数学的な見方・考え方」と，そ. は，発問一覧における「数学的な考え方」のカテ. れから引き出される発問からなる（別紙1参照）。. ゴリーの分類であり，筆者が割り当てた。別紙1. この片桐が示す問題解決の過程は，Ⅰ問題形. 350.

(10) 「数学的な見方・考え方」を育む発問評価シート. 成・把握，Ⅱ見通しを立てる，Ⅲ解決の実行，Ⅳ. 点の視点から構成されている。. 論理的組織化，Ⅴ検証の五段階で構成されてお. ・発問するタイミングが授業の段階とあっている. り，その一つ一つに発問に対応する「数学的な見方・考え方」を対応させてある。「発問チェックリスト」では，その5段階の構成を参照にカテゴ. か・発問の内容が生徒に伝わりやすいように，明確なものになっているか. リーを構築している。. ・発問後の授業展開が正しいものになっているか。. また，表2では，片桐の「数学的な考え方につ. 次に各項目の評価観点とその活用を示すと以下. いての発問一覧」がカテゴリー化して左端に配置. のようになる。. してあり，右側の欄には回数と評価という項目を. ①「発問するタイミングが，授業の段階と合って. 設けている。. いるか」. この「発問チェックリスト」を参観者がチェッ. 「発問チェックリスト」は，片桐が示す問題. クし，集計した情報を「発問評価シート」に当て. 解決の5段階の項目がある。この段階と教師が. はめ，「数学的な見方・考え方」の発問の視覚化. 発問したタイミングが一致しているかを評価す. に活用する。. る。例えば，「問題形成・把握」の段階で，その段階の発問を行っていれば，よい評価とな. ３－２－２記入情報Ⅰの活用法. り，違う段階の発問を行っていれば，悪い評価. 記入情報Ⅰの活用法に関しては，「発問チェッ. となる。. クリスト」の用紙を参観者に配布し，記入してもらう。その際，参観者が記入する情報の項目は，「回数」と「評価」と「評価理由，気付いた点」. ②「発問の内容が生徒に伝わりやすいように，明確なものになっているか」についてこれは，教師の発問の言葉や発問の問い方が，. の3点である。. 生徒にとって明確で分かりやすいものになって. まず「回数」は，対応する発問を教師がしたと. いるかを評価する。曖昧な表現や難しい表現を. 参観者が認識したときに，計測し記入する。. していれば，悪い評価になる。. 続いて「評価」は教師が授業中に行った発問に対しての評価を行う。その評価の基準は以下の3. ③「発問後の授業展開が正しいものになっているか」について. 表２「発問チェックリスト」（一部）37）,38）. 351.

(11) 松田航・橋本忠和・三上清和. これは授業展開に沿って，発問が行われたこ. いては，回数，評価をデータ化し，分析を行う。. とにより，その後の展開が不自然になっていな. また，参観者には，「発問チェックリスト」及び. いか，おおよそ指導案の流れに沿って展開され. 授業の発問についてのコメントを記入してもら. ているかを評価する。授業を分断する発問や授. い，改善点の抽出につなげる。. 業の問題解決の流れに沿わない発問は，悪い評. 続いて記入情報Ⅱ「授業評価アンケート」につ. 価となる。. いても，その評価をデータ化し，平均点と生徒の. この評価観点を統合した視点で参観者はそれぞ. コメントから，授業内の発問についての改善点及. れの発問に対して評価をつける。. び「数学的な見方・考え方」の育成の見取り方に. 最後に，「評価理由・気付いた点」は，教師の. ついての改善点を抽出することとした。. 発問の評価をした後に，その評価をした理由や教師の発問で気付いた点を記入する。以上の「回数」と「評価」と「評価理由，気付いた点」3つの記入事項を参観者が記入し，「発問評価シート」を活用する記入情報Ⅰとして役立てる。. ４「発問評価シート」，「授業評価アンケート」を用いた事前調査から，今後取り組む上の課題の抽出前述した「発問評価シート」による発問の効果分析と課題を，参観者からのデータを視覚化する. ３－２－３記入情報Ⅱ「授業評価アンケート」. ことから探り，そこから今後の事例開発において. 「発問評価シート」を活用するために，「発問. 活用できる効果と課題，そして，その課題を改善. チェックリスト」に加えもう1つ用意するものが. する方向性を見出すために，事前調査を行った。. 「授業評価アンケート」である。これは，授業後. この章はその調査について述べる。. に生徒に記入してもらうアンケートである。その項目は，単元や本時のねらいに応じた主発. ４−１事前調査概要. 問と連動させたいと考えている。それゆえ質問項. 今回，調査対象としたのは，大学院の実習校で. 目は，主発問に対応する問題解決の段階を決め，. ある，函館市内公立中学校の第1学年Ｄ組の生徒. それに繋がる質問項目を片桐の「数学的な考え方. （男子15名，女子17名）である。実践単元は「正. についての発問一覧」を参考に作成した。授業実. 負の数」，実践範囲は「累乗の計算」で，第一著. 践の際には，全ての問題解決の段階に対応させる. 者が授業を担当した。授業展開は，前時で学んだ. と多量となるので，主発問を2〜3個に絞り込み，. 累乗の計算の順序について復習を行った後，累乗. 質問項目を作成した。したがって，今回行った事. の式を4つ提示し，答えの大小について予想し，. 前調査では，3個の主発問に対応する質問項目で. 式を計算して求めていくというものであった（授. 作成した「授業評価アンケート」で実施している。. 業本時案：別紙資料2）。今回の実践では，主発問を絞り込むため「累乗. ３－３記入情報Ⅰ・Ⅱを連動させた活用法. の意味を理解し，累乗を含む式を正しく計算でき. 次に，記入情報Ⅰと記入情報Ⅱをどのように. る」という本時の目標から，問題解決の過程のう. 「発問評価シート」に連動させ，組み合わせるか. ち，「問題形成・把握」「見通しを立てる」「解決. を述べる。. の実行」を主として，実践を行った。. 今回行う事前調査においては，これらの情報Ⅰ，. この事前調査授業において，大学院の教授，院. 情報Ⅱを「発問評価シート」の改善点の抽出に活. 生合計7名に「発問チェックリスト」の概要を説. 用する。. 明，配布し，授業内での発問をチェックしても. まず，記入情報Ⅰ「発問チェックリスト」につ. らった。. 352.

(12) 「数学的な見方・考え方」を育む発問評価シート. また授業後に生徒に対して「授業評価アンケー. 表３抽出した発問と他発問との関連表. ト」を行った。４−２実施結果から見た「発問評価シート」の成果図11は参観者が記録した，それぞれのカテゴリーで分類された発問の平均回数を示したものである。図を概観し，発問回数が1.5以上のものを抽出すると以下の3点だった。 A1…問題を明確に（どうなっていれば分かるのか等） C4…演繹（分かっていること「分かること」を基にして考えよう） C12…アルゴリズム（決まっている手順で（計算）してみよう）. 数も多く，また，関連発問の数及びその関連性も強い。その発問間の関係性を表現したのが図12で. また，発問間の相関をjs-starを使って算出し他. ある。. 結果，他の発問と4個以上関連している発問は以. この図12から読み取れることとしては，A1. 下の4点で，その関連発問は以下の表3の通りで. 「問題を明確に」の発問は，表3にあるように. ある。. 「抽象化」・「見通し」・「式」・「演繹」の発問と関. この表3にある「A1：問題を明確に」は発問. 連が強く，導入部分の教師の問題把握に関連する発問は，生徒の問題解決のプロセスに影響があることが分かる。続いて「C4：演繹」もA1同様，発問数も多く，また，関連発問の数及びその関連性も強い。その発問間の関係性を表現したのが図13である。この図13から読み取れることとしては，C4 「演繹」の発問が，表3にあるように「式，表現」・「筋道」・「発展」・「アルゴリズム」の発問と関連が強く，生徒の問題解決のプロセスにおいて，教師の「解決の実行」段階での「演繹」の発問は，その後の問題解決の質を深める共に，解法の振り返り等のプロセスに影響があることが分かる。. 図11 「発問チェックリスト」の回数抽出. 図12 A1「問題を明確に」と他発問との関連図. 353.

(13) 松田航・橋本忠和・三上清和. の問題解決に効果があると考えられる発問を抽出でき，他の発問との関係も見いだせた。そして，その発問の効果を生徒の「授業評価アンケート」により把握することで，次時への改善点の方向性も探ることができたと考える。図13 C4「演繹」と他発問との関連図. ４－３「発問評価シート」実施上の改善点だが，実施方法については，改善点も浮かび上. また，図14は，「授業評価アンケート」質問項. がった。今回「発問チェックリスト」には回数や. 目（表4）の回答の平均点を示したもの（1〜5. 評価の他に参観者から授業に対するコメント及び. 段階で評価）である。この図14を見ると，「問題. の記入で気付いた改善点を記述する欄も設けた。. の意図が分かる」の質問項目において，5点満点. そのコメントと「授業評価アンケート」及び授業. で4.6点という結果が出た。この背景としてはA1. 反省会の意見等をまとめたのが表5である。. 「問題を明確に」の発問が，評価にプラスの作用. 表5のコメントから，指導案についての改善. をしていたことが推測できる。さらに，「既習知. と，発問の定義やチェックの仕方についての課題. 識を基に考える」の質問項目においては5点満点. 点が明らかとなり，その改善として次の項目を抽. で4点という結果だった。この背景としてはC4. 出した。. 「演繹」（分かっていることを基に考えよう）の. ①参観者が評価しやすい指導案の展開部分の表記。. 発問が，評価にプラスの作用をしていたことが推. ②授業のねらいに沿った発問をしていく必要があ. 測できる。したがって，「発問評価シート」により，生徒. る。 ③具体的な発問を事前に想定しておく必要がある。以上の改善点に留意し，次時の実践での「数学. 表４事前調査の「授業評価アンケート」質問項目. 的な見方・考え方」を育む発問の視覚化の効果を，より明確にする「発問評価シート」の活用法の新表５事前調査による改善点. 図14 「授業評価アンケート」の平均点. 354.

(14) 「数学的な見方・考え方」を育む発問評価シート. たな方向性の示唆を得られたと考える。. える。別紙資料２. ５おわりに本研究の成果として，前章の事前調査で行った「発問評価シート」による視覚化のプロセス等により，今後の実践研究への課題と改善点を見いだすことができた。これからは，この課題と改善点に留意して，「発問評価シート」を用いた実践を函館市公立中学校の「式と計算」の領域において，実践的検証を進め，「数学的な見方・考え方」を育む発問の視覚化する手立て及び発問の質を向上させる手立てについて考察を深めていきたいと考別紙資料１39）. 註１中央教育審議会，2015，「幼稚園，小学校，中学校，高等学校及び特別支援学校の学習指導要領等の改善及. 355.

(15) 松田航・橋本忠和・三上清和. び必要な方策等」，文部科学省，p.34. 29 前掲書，花山，1997，p.147を参照に図を作成. ２文部科学省，2017⒜，『中学校学習指導要領』，p.50. 30 前掲書，片桐，2004，pp.137-138を参照に図を作成. ３同上. 31 前掲書，花山，1997，p.147を参照に図を作成. ４文部科学省，2017⒝，『中学校学習指導要領解説数. 32 前掲書，片桐，2004，pp.138-139を参照に図を作成. 学編』，p.21. 33 前掲書，花山，1997，p.147を参照に図を作成. ５上書，pp.21-22. 34 前掲書，片桐，2004，p.139を参照に図を作成. ６上書，p.21. 35 前掲書，花山，1997，p.147を参照に図を作成. ７同上. 36 前掲書，片桐，2004，pp.136-139を参照に図を作成. ８上書，p.10. 37 前掲書，花山，1997，p.147を参照に図を作成. ９片桐重男，2004，『数学的な考え方の具体化と指導－. 38 前掲書，片桐，2004，pp.136-139を参照に図を作成. 算数数学科の真の学力向上を目指して－』，明治図書，. 39 前掲書，片桐，2004，pp.136-139を参照に作成. pp.120-121 10 上書，pp.120-123 11 同上 12 花山亘，1997，『21世紀への学校数学の創造米国 NCTMによる「学校数学におけるカリキュラムと評価のスタンダード」』，筑波出版会，p.147 13 片桐重男，1988，『数学的な考え方の具体化数学的な考え方・態度とその指導』，明治図書なお，この片桐の示す発問の種類や発問一覧は， 1980年代に「数学的な考え方」を育成するために提案されたものであり，2019年完全実施の次期学習指導要領における「数学的な見方・考え方の育成」を目指す中学校における数学科の発問の効果分析として活用するために，本研究では，米国NCTMの数学的モデル化のプロセスを基に生徒の「数学的な見方・考え方」と教師の発問を関連付けた「発問評価シート」を作成・活用することをねらいとしている。 14 前掲書、文部科学省，2017⒝，p.21 15 大谷実，2017，「数学的に考える資質・能力を育成する数学教育の展望」，『中等教育資料，no.976』文部科学省，pp.14-15 16 前掲書，文部科学省，2017⒝，pp.21-22と大谷実， 2017，pp.14-15の記述を参照に筆者が作成 17 片桐重男，2017，『名著復刻数学的な考え方の具体化数学的な考え方・態度とその指導Ⅰ』，明示図書 pp.121-124 18 前掲書，文部科学省，2017⒝，pp.21-22と片桐，2004， pp.134-135と片桐，2017，p.222を参照に筆者が作成 19 前掲書，片桐，2017，p.0，まえがきの部分 20 前掲書，片桐，2004，p.119 21 同上 22 同上 23 前掲書，片桐，2004，pp.136-139 24 前掲書，花山，1997，p.147 25 前掲書，花山，1997，p.147を参照に図を作成 26 前掲書，片桐，2004，p.136を参照に図を作成 27 前掲書，花山，1997，p.147を参照に図を作成 28 前掲書，片桐，2004，p.137を参照に図を作成. 356. （松田航教職大学院函館校院生）（橋本忠和函館校教授）（三上清和教職大学院函館校教授）.

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