カオスを利用した一様乱数の発生
著者
古賀 均, 白石 貞純, 井上 政義
雑誌名
鹿児島大学理学部紀要. 数学・物理学・化学
巻
14
ページ
25-30
別言語のタイトル
Generation of Uniform Random Numbers with the
aid of a Chaos
カオスを利用した一様乱数の発生
著者
古賀 均, 白石 貞純, 井上 政義
雑誌名
鹿児島大学理学部紀要. 数学・物理学・化学
巻
14
ページ
25-30
別言語のタイトル
Generation of Uniform Random Numbers with the
aid of a Chaos
鹿児島大学理学部紀要(数学･物理学･化学),
No. 14, p. 25-30, 1981
カオスを利用した一様乱数の発生
古賀 均*･白石 貞純*･井上 政義*
(1981年9月30日受理)
Generation of Uniform Random Numbers
with the aid of a Chaos
Hitoshi Koga* Sadasumi Shiraishi*
and Masayoshi Inoue*
Abstract
A new method for the generation of uniform random numbers is proposed by
making use of the difference equation xn+1-4&Jトxn) which shows chaotic behavior
for a certain initial value. The invariant measure of this difference equation indicates
that the distribution of the random numbers, which is directly obtained by the
difference equation, is not uniform. Therefore, we multiply the random number
by 1000 and take the decimal fraction which is considered to be a uniform random
number. A detailed comparison between this new method and a congruence method has
been made and it shows that the new method is very useful.
il.序 論
生物の個体数の変化に関するロジスティック方程式を,オイラー法によって差分化すると,
avfi-axn{l-xn); 0<a≦4, (1)
という差分方程式を得る｡この差分方程式は,パラメータαの取り方によって,単調減少,早
調増加,減衰振動,周期振動,ランダム(カオス)と全く違う解の動きをすることが, Mayの
数値実験1)から知られている｡ここで(1)を関数記号mを用いて,
zサ+i-/(ォサ) ; /(ォ)-ax(l-x),
と書く｡
次に,写像Jの周期点に関して知られている2っの定理を紹介する｡
定理(Sliarkovski)2'全ての正の整数に対して次のような順序で並べる｡
3<5<7<.-<2w+l<...<2.3<2.5<2.7
<- <22-3<22.5<22.7<-.<2"-3<2w.5<2".7<...<2"<2"-1<･-<2<1.
この時写像fがp周期点をもてばp<qなるすべてのqについてq周期点が存在する.
(2)
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古賀 均･白石 貞純･井上 政義
定理(Li⊥Yorke)3> /を1次元の区間Jからそれ自身への連続な写像とする｡ fが2寮以外
の周期点をもてば,次の性質をもつ非可算個の非周期点の集合βが存在する｡
1) S∋x,y(x≠y)に対して,
limげ"(*)-/%)I >O,
n一∞
塾生げ>(x) -/%)ド-0･
7=コ冗く2) S∋x,周期点Zに対して,
hm ¥f*(x)-/"(ォ)! >O.
umコ冗互すなわち,写像fが3周期点を/もつならば,ある初期値x｡∈Sから始まる写像avn-/"W
はどのような周期点にも近づくことがない,乱雑な解を与える｡しかもそのような初期値∬O
が非可算個存在するということである｡これをLi-Yorkeは"カオス"と名づけた Mayの
数値実験によるとa-3.8284-
の時, (2)の写像関数は3周期点を持つようになる.
dx
ところで a-4の場合の写像関数(2)は <&*--ゴート性を示すことが知られている｡
1-*)
を不変測度としてもつ-ル
＼§2.一様乱数の発生の方法
序論で述べた写像f(x)-4x(l-x)の性質を用いて一様乱数を発生させることを我々は考え
た｡この写像fで表わされる差分方程式に,ある初期値xo(O<xQ<l)を与えることによって
得られた10000個の乱数のヒストグラムが図1である｡この図は,不変測度から予想されるよ
うに0と1の近傍に分布がかたよっている｡これを補正するために,我々は,出てきた値を
1000倍して,その整数部分を省き,残りの小数点以下の実数を一様乱数とした｡このように
0.0 -0.040
0.040 0.080
0.080 0.120
0.120 0.160
0.160 0.200
0.200 0.240
0●240 0.2800.280 ----0.3∠0
0.320 0.360
0.360 ----0.400
0,400 ----0.440
0.440 -0.480
0.480 -0.520
0'520 ---ut560
0.560 ---0.もoo
0.600 ---0.640
0.640 0.680
0.680 0.720
0.720 --0.760
0.760 ----0.800
0.800 --0.840
0.840 --0.880
0.880 O.92C
0.920 --0.960
0.9も0 ----1.000
0 凸 r サ o o i r ノ 4 仁 ノ 2 4 6 1 ▲ 9 2 2 久 ノ m m o o < o ら L L 1 ハ D f M n W m223dr<f o r-dノもうoo^r-一iTi-ifr oo-d-ND O cc n pJ lAノ C
tJ lO-^^n c^c^cvj rvj CMフh フ<¥i CV C¥i<M<M CV OJ tォ"サ<M CォJ tJ *in i<ノ
⊥ l
-;;一-::-i:･給うi併廿や-:: #砕ヰ? -･√ # サ"一蝣ォ蝣づt ･;こ-:;--;:- -:;s- tf-inHi tf-tt iさせや船路う f -*to >*☆ i:; :: う: ;: ☆.IY併itや舟や常☆ rrヰ'(舟併せii?寸をji iさ辞せ?やせ沸すtii 船☆if･ ☆赦せ#せせ瀞尊貴･給や♯沓寸をサ*-a--;;蝣?##蝣>併
ii-うさォ-:;☆ ☆せせiI*･:チttォづ:･jHS一&ォ##ォ# ;ォx-ほ寸汚さヨEXfI-1{Xrサ*>-3 3声門c<ia-nS a E諾 うi☆#*☆せせ}kヰ::一 :;-放･X･う 蝣ォ ォ う*ォ せせ･ささ舟や♯Jh瀞-a-☆甘食r{併せ #蝣(:-ji- -:iHi ☆併舟if ji･ ☆ ::蝣-::一
弓HXJXK やせせや辞林蝣i:一 :>ォ蝣tti> 廿Rサ*iォa.!g'サsォォ?ォォ 1i-サ蝣}!一件尊や#舟ォ蝣ォォ蝣### ji･沓せせやせせ♯rr☆せせ ii辞せ☆#せせ☆舟敬うttoii 祐併せ廿やiPや併K一骨併せ ;?xTitx -x^I -T'.m xtI ''Iォ
I ･ It併1させや尊甘併せせせ券うむや 2KZaIEIilTXIサ弓EEEヨ Hサ;ササX'XrXォーXiXォaa R <:-*ォ せせせせ♯itせせ☆*一 サi :; 寸: 蝣!! *やせやせせ☆骨幹瀞や-::-i:･う*ォ甘放せやせ廿や1tせせtttf蝣>! 一日f:呂t-'liX'x-gaRt Z EXiXiS-EE i:･ヰyiを♯ Fr廿や#ォ jHS一浄蝣ォー *舟# ;: *-i:Hi 併併せ廿や#♯♯各港♯券常せせや蝣ォ-;:-:h>-;;--;h㌻･X･坊#ォ
i;一;i蝣::蝣> *ォ瀞rr与 ☆ reP井骨や-x -:: ->.iLう<蝣 *!-ヰさけう f蝣サ#蝣> と やiiそPii
カオスを利用した一様乱数の発生
0.0 C.C40
0.040 ----0.080
0.080 0.ユ20
0.120 ---0.160
0.160 ---U.200
0.∠00 0.240
0●∠HO 0.2800.∠80 ---0.320
0.320 0.36C
0.360 -C.400
0.400 ----0.440
0.440 0.480
0.^80 0.う20
0.520 ---0.560
O.iJfcG
0.600
0.640
0.680
0.720
0.760
---ottOO
--oォ64QO.68C
o.720
----0.7も0
---0.800
0.800 0.840
0.840 ---0.68C〕
O.b8O 0.920
0.920 0.96C
0.960 1.00C
3 94 ヰ･ i川与川 サー*辞a蝣::-ォ 蝣!:蝣蝣サ;一 ;:- # -:;; -;: * ji 38b li骨ォ ttォ併称耕せ解凍☆首☆･路*-i >俳 394 : 畑削Ht-tttt-SHi-tt-Sttttttt** 369 1riをや♯･>せ-サ<ト辞せ砕身臥せ卦削* ::-36う * サーfr->廿や併せ サー:川tttttt郎:.う: 蝣!: 44b *廿解仲井#廿せせ耕♯☆港1日 *ォ *川う: a* 4 0 1 i! ☆ヰ川併せ併称i:･ヰi # :: 糾卜削*ォ -S5- :! :: TO^^KSI! ㌫ 汚Kiafi 3 9 3 4川i川併糾川 :* :ト幹蝣>:一 {ト給☆蝣K- it -ii: -: ｣EK 謁Mix ; i ii-b i -ia;ササaiHiH[XiKK相 EJ弓 EMiX-SiXiX-ziほEX∃ RX3 333日ヨ瀞RE^EXiXE 4 0 4 ft #<川やせせ外剛相身1柑ヰト削卜給 S'r蝣: 3 91 解すト給うト幹や☆☆掛幹☆蝣s:一件脊 :h:-*# rfctliliii 3 95 相称骨や☆外与H相即:-ォ 沓tttttttt R t -i;X;サiI:*:KtXrX'XtォXiHE 4 4 3 辞せ骨幹♯-ト給 サi'f蝣!: 幹#*<Hト辞 Eや官 cumほ ほEExwIEKJ EE 4度? Eヨ JrXtXrXtltXtXtXtHほEliliJ t;T:サx;x-xォiX-xtXiサほHサXR 384 やややや♯せうり川ォ サォtt*ト蛤>*ォ蝣 *岩 E3IX-ヨ 謂廿 369 ☆☆ii･竹紫や廿や*ォ蝣削川舟解-xa ::蝣 4 16 甘<:一蝣&廿や斗併i'rii･･;捕+:一身俳号*蝣ォ.蝣:: -* ::蝣 421 ヰト削川･約日川 舟併##*### サ*サ &図2.カオスを利用して発生させた10000個の乱数のヒストグラム｡
但し,初期値ガ｡-0.75324.
27
して発生させた10000個の一様乱数のヒストグラムが図2である｡また初期値xo(O<xo<l)
を 0.5,0.75等にとると,写像fほ周期解をもつ｡しかし,そのような初期値のルベーグ測
度は0である｡そこでこのような例外的な周期解を省くため,我々は初期値として1から9ま
での数字で表わされる小数点以下5桁の数をとった｡
§3.従来の方法との比較
前章で説明した,カオスを利用する一様乱数の発生法と,従来の一様乱数の発生法の一つで
ある混合型合同法注)を比較した.調べた内容は. (1)ポーカーテスト. (2)ヒストグラム, 3
2次元散布図. (4)平均値, (5)相関(6) CPU-timeである｡
(1)ポーカーテストとは,区間(0,1)を10等分して,それを0から9に対応させ,乱数_6
個毎の出現パターンの適合性を見るものである｡ここでは7500個の乱数によってポーカーテ
ストをおこなった｡このテストの結果を表1に示してある｡ (但し,従来の方法の初期値ZX
の意味は,注)に示してある｡)この表によれば,従来の方法と我々の方法との間に優劣はな
い｡
(2)ヒストグラムは,発生させた乱数の一様性を調べるものである｡従来の方法及び我々
の方法で発生させた乱数(10000個)のヒストグラムが,それぞれ図3及び図4である｡これ
らの図から,各区間の出現頻度は両方法とも,はば一様であることがわかる｡
3) 2次元散布図は Xiの値に対して#*+lがどのような値を取るかを調べるものである.
従来の方法によって発生させた乱数(200個)による2次元散布図が図5であり,同様に,
荏)混合型合同法による一様乱数発生の方法は以下の通りである.ある1つの整数乱数Mn (初期値Moは
ZXで表わす.)が決まった時,それに整定数aをかけ,整定数Oを加え,それを整定数pで割った時の
余りを次の整数M.M+lとする｡
Mn+1-aMn+c (modp).
初期値ZXは, pよりも小さな整数で使用者が適当に決める.この整数乱数M.n+iを実数に変換し,
pで割ると,区間(0,1)で一様に分布する一様乱数が得られる.ここでは a-23, c-113179 u-32749
を使用した｡
28
古賀 均･白石 貞純･井上 政義
表1･ポーカーテストの結果｡右端の2例がカオスを利用した方法によるもので
あり,その左の2例が混合型合同法によるものである｡また,平均値･相
関 CPU-time,及びポ-カ-テストの理論値もそれぞれ示している｡
PC叶くER TYPE
TEST AAAAA
AAAAB
AAABB
AAABC
AABBC
AABCD
ABCDE
RIRONCHI
O.8001
の. 0045
0. 0090
の.8720
の. 1080
0.5040
0. 3824
M E A N V A L U E C 亡t R R E L A T 1 O N C P U - T I M EU●し し 04し
0.040 0.080
0.080 0.120
0.120 0.160
0.⊥b0 - 0.200
0.200 0.?4Q
U'∠40 ----0 2800.280
0.320
0.360
0.400
0.440
01480
0.520
0.560
- 0.320
0.36C
- 0.400
0.44G
--0.480
Q.520
-..-0.う60
--0.モoo
0.600 - 0.640
0.640 -･-一一0.6800.680 ---0.720
0.720 ----0.76G
0.760 - 0.800
0.boo 0.84C
0.840 --0.&8C
0.880 ---0.920
0.920 ---0.960
0.960 ----l.OOC
O <"><-{i｣ノウ7仁ノ年 H cO ^004 O H <f4 H rl* O h-H O
O ォ H ォ ー i l ^ -0 0 0 3 n j l -^ -c c H t n o o a < b H 3 D O O
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0.091B
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0.3151
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XO=0. 59743
0. 0004
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位. 0077
0.0728
0. OB3B
O. 5295
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0.588
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5 S 854 MS
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*う(;-* 蝣ォ 併せ☆ ォ -:: ☆サ#a--::蝣 ::一希う'
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i:一:く蝣>.'!蝣ii K号J -fr tf-うI
#う*ォせ辞林廿救う:-*☆瀞づ:-骨瀞骨幹ォ ォ** !! ヰ}蝣蝣:: 蝣*: :川: #☆骨 ;:- :)蝣☆ 尽せii併骨幹 ji.づ:一 ォ うと瀞☆併
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-:;- -ss--:s-せせ瀬林1** & #ヰ e サ蝣>;<蝣-::一 ::蝣* 舟や* # #* #蝣&寸を4日: # ;?蝣ォ 蝣;蝣: ::一蝣:.<t*i> "-うi蝣a-*を や併せ併せ舟券iI瀞1:･赦せ蝣ォ*沸せ舟iLヰ(:一::蝣>:;一蝣>.:-::- ji;- #於-* #ォー蒋ヰ (!蝣*ォ蝣*ォ*
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併う?-fttttttt｣蝣#<Sォ{:･舟朝蝣K-〈*蝣サ#
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>:-う>t>ォ
-::-1'さ･;手心併jtう:一
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舟
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サう?併せ
淑女jS-tttt☆各港jf#骨浄☆骨身沓*蝣-::-☆う}蝣蝣&#☆->:-a蝣?:-i争i:･各港# ☆☆･::･静サォ#併yr
図3･混合型合同法によって発生させた10000個の乱数のヒストグラム.但し,初期値/X=2435L
O.0 - 0.040
0.0^0 0.08(メ0.080 -0.120
0.120 0.16C
0.160 0.200
0.200 - 0.240
0.240 0.280
O.∠80 0.32C
0.320 0.360
0.360 - 0.400
0,400 ---Gサ44G0.440 ----0.480
0.480 ---0.520
0.520 0.560
0.360 0.600
U.600 ---0.640
0.640 ---0.680
0.も80 ---0.720
0･7∠0 --…0.760
0.760 0.600
0.800 -0.840
0.840 0.880
Q.S80 0.920
0.920 ---0.960
0.960 1.000
1 ⊥ < X > > * O < T l < H b 0 8 ハ ) 0 0 7 4 t L 1 ハ o o . o t -9 2 1 っ L A h M O q ノ o c t ^ < -J ノ d < r t -凸 つ r -i O T a リ l t ^ f -r -i O ′ C h -( M C ( V o a r -h -I f . 4 tノ4 4tJ en to cノムT tノtJ AT4 勺ノ 4 4tJ 34 っノ <t <t c^l fJ ATmnamitx-i H
そ'<蝣# *させうむ♯尊やi:･骨幹や*う:･併称希･;i: -ii- -:: -;: :- a *蝣::･う: a :< jtヰs--:;一 ;:一 ::- -:;- #-:> #*#*蝣#港骨ヰト･;‡サ:--::-# * サ# #☆☆井♯☆キ*:Vr*蝣サ.:-*希1 s:一蝣:< -:;一浄甘it･併称 MZIXtXH R ∃ E-xrx>x4X'-I-H汚KKKBEヨ舟RSl iHi･ヰ:一蝣サ>港や廿廿･X.甘*-::一蝣!;-蝣::- **ヰHfr tttt舶舟･X･うi i>s一-:;舟奇骨蝣?:一件::-づ;蝣#-*☆併せ☆せせや)^i併せ骨☆☆☆各港&it-is--Vf::蝣#::一蝣ォaaa寸を#ォォ蝣##蝣&蝣サtうォ *併せ瀞や i;:-*ォ蝣蝣>.! 骨rr骨it舟ォー蝣}! 蝣!!蝣 ;与# #浄争うと併a一 ;: 蝣*-:S蝣ォ -;:一蝣}; う*蝣サォ蝣ォ蝣#*# -*ヰ>-::一 :! 併せ }'かせせせ骨併せ舟骨ii#脅せせせ骨身☆サ蝣サ&#!S蝣サ#甘うH>ォ蝣#蝣サ'蝣‡う;蝣a-ii･ヰ*-K--:t-ft舟･XH'r甘 A;∫ -::--;;併ttttttやづ:･ ☆* **** ☆itjS# -::一{:-☆ォ蝣:<iHHHHJ一舟併給:;<ケiHさう:･骨帝i:･ i:. ☆幹やせせYrや辞令☆ jfr-SH*各港寸.< ォ蝣蝣S: :: ォ -:: -サーサjH** サォ ##ヰ* # *う! :? 4ケiiVc
う'rヰ:･せき･R･骨ヰIや瀞tt骨#-:;-蝣!( ;:蝣*ヰ:一-;: >.: -;< -;; :.< * j:一 ;:-う} * ォ蝣*骨*ォ蝣ォうh;- #-* う'r骨･:i竹井やせせFr☆☆脊☆ ☆寸.Lせ* -Si--::一蝣::蝣;:-::-*-s:- -;:一::-:i-a ☆舟ヰ手中*:{-sさ･持せ 冷食やせせJi
