江口俊男
On the Structure of Simple Left Ideals
By Tosio EGUCHI
緒言
前回に於て,条件B‑を付加することにより一応idempotentsの存在とSの完全単純を証 明することができた。こゝで始めに帰り,一般準群の単純イヂヤルの構造を究める必要が生じ てきた。そこで先づ核を持つ一般準群の単純左イヂヤルの構造を追求してみる。
単純左イデヤノしの構造 定理l
Sを条件Aを満足する準群とする。 Lを少くとも一つの単位元e∈L‑nをもつSの単純左 イヂヤルとする。其の時‑
a) eとL‑nの任意の単位元はL‑nの任意の元に対して右側単位である。
b) Lに於て,任意の元Cに対して, ecnon∈n 証明
これは前回の定理4と全く同じである。即ち単純右イヂヤルの存在を定理4では用いてない。
従ってそのまゝ適用できる。
注意
単位元をもたない単純左non‑n‑Potentイヂヤルの存在を示す例がある。かような単純左 イヂヤルに対しては定理1は成立しない。
定理2
Sを条件aを満足する準群とするo LをSの単純左イヂヤルとする。 eaをL‑nの任意の 単位元とする。 Gαをnに属しないeαLの集合とするならば, Gαは群である。
証明
lo先づGaが準群であることを示す。
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長崎大学学芸学部自然科学研究報告 第7号（1958）e．L●e、L＝＝e、（Le、L） ⊆e、SL⊆e．L
故に任意の二元x，y∈eルに対して関係xy∈nが少くともx，yの何れか一つがn に属するとき成立する，ということを示せばよい。
G、の元は，正しくはe。c，c∈L， e、c non∈nなる元である。前に証明した定理4 で，c∈Lとd∈L−nに対して等式xc−dは一つの解x，x∈L−nをもつという事 を知っている。
さてx＝＝e、q，y−e、c2，x∈G、，y∈G、とする。然しe、c、・e、c2＝＝e、clc2∈n。
（房e、C！）＝e、なる元あが存在する。関係e．C！C2∈nはあe．C・C2∈nを含む。故に e、c2∈n之は矛盾
故にG、は準群である。
20G、は唯一つの単位元e．を含むことを示す。
仮りに相異る二つの単位元e．，eβ∈G、が存在するとする。eβ2＝・eβ，e。eβ一eβ又・
e、eβ＝eβ2，e・eβ一eβnOn∈n，eβを入れかえても同様，故にe、＝・eβ 之は矛眉。
3。次にG、の任意の元aに対して xa＝＝eα
ay＝＝e￠
の解がG、に存在し且一意的なることを証明する。
a）G、∋a（a＝e．anOn∈N）とする。
N＋La＝L，e、N＋e、La＝e、L要素e．はe、Lに含まれる。故に又e、Laに含まれる。
故に常にxa一・e、なるx∈e、L−N＝G、が存在する。
b）上述のことからaa−e、なるa∈G．が存在する。このaが叉aa−e．を満足するこ とを示す。先ずaaはG、に属す。且（aa／2−a（aa）a＝・ae、a＝・aa＝e．之はay−e、
の解の存在を示している。
c）最後に解の一意性を示す。
若しx！a＝・x2a，e、a＝anon∈NならばxFx2である。（定理1，6）
次にay1−ay2＝e．とする。房a＝e．なる房を両辺に左より結合すると房ayFあay2
eαy1 ＝＝＝eαy2
．． y1＝y2 之で定理2は完全に証明された。
定理 3．
定理6・2の仮定が満足されているとする。e。，eβを二つの異るidempotent∈L−Nとす。
群G、とGβは交わらない。
証 明
G．とGβが共通元a∈L−Vをもつとする。この元は二つの形a−e、a＝eβaでかける。
e、a−a nOnNだからe、一￠βを得る。これは仮定に反する。
定理 4
Sを条件aを満足する準群とする。Lを少くとも一つめidempotent non∈Nをもつ単純左 イデヤルとす6。このとき
L・＝ΣPG．十P，P2＝N α
G．：互に相交らない群 P：N−potent準群
証 明
Lのすべてのidempotentの集合をEとする。e．に対して群G．を対応させる。又 P＝L一ΣG、とおく
α
a）先づ任意のc∈Pに対して，Lc⊆Nを示す。
c∈PでN＋Lc⊆Nとする
N＋Lc−N＋（N＋Le、）c−N＋Le、故に明らかにe、c non∈N
関係N＋Lc−Lはe／c−cなるeノの存在を示している。この元eノはidempotentで
ある。
c＝e／c＝＝e〃c，e、cnon∈Nからeノ＝e
さて群は，e c−cを含むe／L−Nのすべての元からなる。然しこれは仮定c∈Pに反する これよりPはLc⊆Nなるすべてのc∈Lの集合である。
b）Pは準群である。
何となれば，c軍∈P，c2∈Pとする。即ちLc！⊆N，Lc2⊆N すると
Lc1c2⊆Nc2⊂N
即ち e竃c2∈P
c）PはN−potent，更に正確にはP2−Nである。
任意のc∈Pに対してLc⊆N，だから 又LΣc⊆N，LP⊆N 然しP2⊆LP⊆N， 且N2−N⊆P2， 故にP2＝N
系
Lを核Nをもつ準群Sの単純左イデヤルとし，少くとも一つのidempotent∈L−Nをも つとす。このときL−Nが，互に相交らざる群の和．として現わされるための必要且十分条 件は，L−NがNpotent元をもたないことである。
証 明
10 長崎大学学芸学部自然科学研究報告 第7号（1958）
a） 必要条件な．ることの証明
若しS二N＋ΣG．ならば
αG．∋cの各potencyはG．に属し，Nに属することはできない。
b）十分なることの証明
若しc∈L−Nに対して，関係c2non∈Nなるならば，任意の6∈L−Nに対して N＋Lc＝L。故に定理3の証明に於けると同様に，c∈L−Nは或る群に属する。
定 理 5
群一定理4に於けるLのcomponellts一はすべてisomorphicである。
証 明
e．，eβをL−Pの二つのidempotentとする。
Xをe．X−x，（x∈G．なる一定の元）なるL−Pのすべての元の集合とする。この時
eβx一（eβe．）X−eβ（e、X）一eβL。更に正確にはそれはGβに属する。eβx∈Nはe、eβx∈N・
即ちe、x∈Nを含む。又x∈G．，e、x＝xだからx∈N。之はx∈G．に矛盾する。逆 にeβX−eβXなるL−Pのすべての元の集合をX とすると，
X2X，然し，e、Xノー（e、eβ）X』e、（eβXノ）二e、eβx−e、x−x，故にXノ⊆X故にX』X。
以上の事からL−Pは互に相交らない集合X，Y，Z，…の和として示される。それは L−Pのの任意のidempotentを左から乗じた時L−Pの唯一つの元を与える。
今，X，Y，Z，…から夫々x，y，z，…をとる。明らかに
Gα＝二｛：eαx，eαy，… ｝ Gβ二｛eβx，eβy，eβz， …｝
Gr＝＝｛e7x，ery，e7z，…｝
e、x一→eβxは群G．の群Gβに対する同型像であることを示す。
a）積e、X・e、yはこの写像ではeβxyに対応する。然しこの元は積eβX・eβyに外ならない。
b）二元e．xキe．yは夫々相異なる元eβxキeβyに対応する。何となればeβx−eβyは
e．eβx−y，即ちe．x−ey。之は仮定に反す。
定理 6
Sを核Nをもつ準群とする。：L、をSの単純左イデヤルとする。L乞は少くとも一つのidem・
potent non∈Nをもち，関係LゴL乞キNを満足する。この時：L乞とLゴの群componentsは
互に同型である。
証 明
qをL乞のidempotentとする。G＝・e LrNをこのidempotentに対応するL乞のコγポー
ネγトー群とする。定理5より明らがに次の事をいえば十分である。G乞と同型なGブーコγ ポーネγト群一の序在すること。
LゴLFL からab−eδなる二つの元a，b∈LゴーNがある。ba∈b：Lゴ⊆Lゴを考える。
（ba）2＝・b（ab）a＝・（beε）a＝・ba元baは島のidempotentである。
それはNには含まれる。ba∈Nはbab−be乞一b∈N，之は矛盾。
ba＝eゴ， Gゴ＝eゴLゴーN ．
x乞一→・bx乞aがqに対するqの同型写像であることを示す。
．元xゴ＝bx aはqの元である。何となればeゴb−bab一・beブーb，故にxゴーbx乞a⊆eゴbx乞L∫
⊆eゴLゴ，且つbx乞a∈Nはabx￠ab−e￠x幽＝x乞∈N，之は仮設に反す。
対応＆一→bx乞aは若し，xr→bx乞a，x♂一→b珂aならばx乞x 一→b（x乞xD a一（bx乞a）
・（b珂a）の時準同型である。この準同型は同型でもある。何となればxブーbx、aはaxゴb−
abx乞ab−x乞，即ちxゴー→axゴbは＆一→bx乞aの逆写像である。故にこの写像は一対一対応
である。
緒 言
idempotentを中心にして単純準群の構造は一応明らかにすることができた。更に条件Aを 満足し，且idempotentをもつ場合について言及しなければならない。これについては次回
に述べたい。
Summary
1． Let S be a semigroup satisfying condition A弱． Let L be a simple left ideal of S
havingatleastoneidempotente∈L−n．then，
a）eandeveryidempotent∈：L−nisarightidentityforeveryelement∈L−n。
b） In L it is possible to cancel on the right with every element e for which ec
non∈Nholds．
莞L having the idempotent e∈L−N is certainly non−N−potent，so that it is sufficient to suppose condition A．
2． Let S be a Semigroup satisfying condition a．Let L be a simple left ideal of S．
Lete．beanyidempotent∈L−NandG．thesetofallelementsof e、L which do
not belong to N。when G、is a group．
3． Let the suppositions of Theorem6，2be satisfied．Let e．，eβbe two different
idempotent∈L−N，ThenthegroupsG、，Gβaredisjoint．4． Let S be a semigroup satisfying Condition a．Let L be a simple left ideal of S
12 : r; ‑F ‑ i : 1 . +F *+ f l 7 * (1958)
having at least one id,empotent r,or+ N. Then L is a sum of d,isjoint groups ] G.
and, of one n ‑ potent semigroup P with the index of n ‑ potency p = 2, In formulae
L = G* + p, p2 =n
5 . The group‑components of L in Theoren 4 are all isomorphic together.
6 . Let S be a semigroup having a Kernel r. Let Li and, Li be and to simple left ideals of S. each having at least one idempotent ncn‑n and satisfying the relation LjLi n. Then the group‑components of Li and Lj are isomorphic to one another.
