産業連関表の単位構造分析の一般化

産業連関表の単位構造分析の一般化

藤岡 明房

【要旨】

本論文の目的は，尾崎巌教授によって定式化された産業連関表の

unit structure

分析を一般化することである．ここで，産業連関表の

unit structure

とは，ある 産業

i

で

1

単位の最終需要が生じた時，その需要を満たすために必要な中間財の 産業間の取引構造のことを意味する．例えば，自動車産業の単位構造についてい えば，自動車を

1

台生産するために必要な中間財の産業間取引構造を示すことに なる．そのため，全ての産業の最終需要に応じて生み出される中間財の産業間取 引構造にくらべると，

1

つの産業の最終需要

1

単位によって生み出された中間財 の産業間取引構造を示しているため，その産業の固有の産業間取引構造を明らか にすることができるという長所がある．しかし，尾崎はある産業の

unit structure

を示したが，他の産業の単位構造や産業全体との関係に関しては，触れていない．

そのため，

unit structure

分析の適用範囲が限定されてしまうことになった．も し，

unit structure

分析の一般化ができるならば，その応用が広がることが期待 できることになる．

そこで，本論文では，

unit structure

分析を一般化し，さらに産業連関表の競 争輸入型の輸入外生モデルと，競争輸入型の輸入内生モデルについての

unit structure

について定式化する．

【キーワード】

単位構造，産業連関表，輸入外生モデル，輸入内生モデル

1. はじめに

産業連関表を用いた単位構造分析は，尾崎巌（

1975, 1980

）教授（慶応大学）に よって開発された手法である．ここで，単位構造（あるいは，ユニット・ストラ クチャー 

Unit Structure

_{）とは，ある産業}

i

_で

1

単位の最終需要が生じた時，

その需要を満たすために必要な中間財の産業間取引構造のことを意味する．例え ば，自動車産業の単位構造については，自動車を

1

台生産するために必要な中間 財の産業間取引構造を示すことになる．そのため，全ての産業の最終需要に応じ て生み出される中間財の産業間取引構造にくらべると，

1

_{つの産業の最終需要}

1

単位によって生み出された中間財の産業間取引構造を示しているため，その産業 の固有の産業間取引構造を明らかにすることができるという長所がある．

しかし，尾崎教授の示した定式化だけでは特定の産業の単位構造は分かるが，

他の産業との関係や産業構造全体との関係などは不明のため，単位構造分析の利 用が限定されるという問題が存在していた．その上，産業連関表には競争輸入型 の産業連関表と非競争輸入型の産業連関表があり，競争輸入型の産業連関表はさ らに輸入外生モデルと輸入内生モデルの区別がある．その区分に基づくと，尾崎 の単位構造は競争輸入型の産業連関表の輸入外生モデルに限定されており，輸入 内生モデルや非競争輸入型の産業連関表における単位構造については示されてい ないことになる．

本論文では，全ての産業についての個別の単位構造を示すように単位構造の一 般式を定式化し，その性質について検討する．その際利用するのは，産業連関表 の競争輸入型の輸入外生モデルである．続いて，競争輸入型の輸入内生モデルに ついての単位構造についての一般式を定式化する．これらによって，単位構想分 析の適用範囲を拡張できることが明らかにされるであろう．

2. 単純な産業連関分析

産業連関表に基づいた産業連関分析は，

W.W.

レオンチェフによって

1930

年

代にはじめられ，

1940

年代にある程度完成した．

ある産業

i

_{の生産は中間財の需要}

x

_{ijと最終財需要}

f

_{iの合計と等しくなる．}

x

1 ＝

x

11 ＋

x

12 ＋…＋

x

_1n ＋

f

1

x

₂ ＝

x

₂₁ ＋

x

₂₂ ＋…＋

x

_2n ＋

f

₂

（

1

）

x

_{i ＝}

x

_{i1 ＋}

x

_{i2 ＋…＋}

x

_{in ＋}

f

_i

x

n ＝

x

n1 ＋

x

n2 ＋…＋

x

nn ＋

f

n

また，

j

産業の産出財

xj

には投入財

j

＝

1, 2,

…

, n

のベクトル（

x

_1j

, x

_2j

,

…

, x

_nj） が必要である．

j

財の産出と投入財との間で比例関係を仮定すると，投入産出の 比率は一定になる．そのため，投入係数

a

ij㲇

x

ij／

x

jが定式化できる．

この投入係数を利用すると，（

1

）式は次のように定式化できる．

 

x

1  

a

11

a

12

a

1i

a

1n  

x

1    

f

1   

x

2 

＝

a

21

a

22

a

2i

a

2n  

x

2

＋ 

f

2 

（

2

）  

x

_i  

a

_i1

a

_i2

a

_ii

a

_in  

x

_i  

f

_i 

 

x

_n   

a

_n1

a

_n2

a

_ni

a

_nn  

x

_n  

f

_n 

この行列式をベクトル表示に置き換えると，

X

＝

AX

＋

F

（

3

）

となる．ここで，

X

は産出ベクトル，

A

は投入係数行列，

F

は最終需要ベクトル である．

この行列式を変形すると，

（

I

−

A

）・

X

＝

F

（

4

）

となる．この行列式から，レオンチェフの逆行列を求めると，次のようになる．

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

X

＝（

I

−

A

）⁻¹・

F

（

5

）

レオンチェフの逆行列（

I

−

A

）⁻¹は

B

と表すことにする．

B

の

i

行

j

列の要素 は，

b

ijである．そのため，（

5

）式は，

X

_＝

B

_・

F

_（

6

_）

となる．

この（

6

）式において最終財についての需要ベクトル

F

が与えられると，レオン チェフの逆行列は投入係数行列から形成されているので一定となり，生産財の産 出

X

が決定されることになる．

単位構造の行列は（

6

）式に基づいて作成される．（

6

）式で，右辺の最終需要ベ クトル

F

の中の第

j

財の最終需要だけが

1

で，それ以外の財の最終需要は

0

とす ると，

b

11

b

12 …

b

_1i

b

_1j …

b

_1n   

0

 

b

_1j 

b

₂₁

b

₂₂ …

b

_2i

b

_2j …

b

_2n   

0

 

b

_2j 

… … … … … … …   …  … 

X

^j＝

b

i1

b

i2 …

b

ii

b

ij …

b

in   

0

＝ 

b

ij  （

7

）

b

_j1

b

_j2 …

b

_ji

b

_jj …

b

_jn   

1

 

b

_jj 

… … … … … … …   …  … 

b

n1

b

n2 …

b

ni

b

nj …

b

nn   

0

 

b

nj 

となる．

この関係を用いて，第

j

財の単位構造を求めてみる．

まず，レオンチェフの逆行列

B

は，次のように分解できる．

B

＝（

B

¹

, B

²

,

…

, B

^j

,

…

, B

ⁿ）

ここで，

B

^jはレオンチェフの逆行列

B

の第

j

列目を表す．

この第

j

番目の列ベクトル

B

^jは，

⎡⎜

⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎜⎜

⎜⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎜⎜

⎜⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

B

^j＝（

b

_1j

, b

_2j

,

…

, b

_ij

,

…

, b

_nj）ʼ

（ここで，（ ）ʼは列ベクトルを表す）

という要素

b

ijから成り立っている．

ここで，

B

^jは，第

j

財の最終需要

1

単位を生産するのに直接間接に必要とされ る各財の投入量を意味する．

これらの要素を対角要素とする対角行列を

B

^〜j_{と表すことにする．}

対角行列

B

^〜jは，次のようにあらわされる．

b

_1j

0 0 0 0 0 0 b

2j

0 0 0 0 B

^〜j＝ … … … … … … 

0 0 0 b

_ij

0 0

… … … … … …

0 0 0 0 0 b

nj

この対角行列に投入係数行列

A

をかけると，第

j

財の単位構造行列

U

^jが得られ る．なお，簡略化のため

B

^〜jの第

3

行目と第

5

行目は省略した（以下，同様の簡略 化を行う）

U

^j＝

AB

^〜j

a

₁₁

a

₁₂

a

_1i

a

_1n

b

_1j

0 0 0



＝

a

21

a

22

a

2i

a

2n

・

0 b

2j

0 0



a

i1

a

i2

a

ii

a

in

0 0 b

ij

0

 

a

_n1

a

_n2

a

_ni

a

_nm

0 0 0 b

_nj

u

^j₁₁

u

^j₁₂

u

^j_1i

u

^j_1n

＝ 

u

^j21

u

^j22

u

^j2i

u

^j2n 

（

8

_）

u

^ji1

u

^ji2

u

^jii

u

^j1n 

u

^j_n1

u

^j_n2

u

^j_ni

u

^j_nn

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

このようにして得られた単位構造の行列は，第

j

財の最終需要が

1

単位だけ生 じたときの産業間の取引構造を表している．

3. 単位構造分析の拡張

 前節の単純な産業連関分析では，輸出や輸入は明示的には示されていなかっ た．そこで，輸出

E

と輸入

M

を取り入れた産業連関分析を行うことにする．最 終需要

F

は国内財の最終需要

F

^dと輸出

E

から輸入

M

を引いたものになる．した がって，需給均衡式は，以下のように拡張される．

X

＝

AX

＋

F

^d＋

E

−

M

（

9

）

輸入の扱い方については，輸入品についての

2

つの仮定に基づいて区別される．

第

1

は，輸入品と国産品の類似性に関する仮定である．「輸入品が国産品と類似 性が高いとみなす」という仮定の場合，輸入品は国産品と競争しているものとみ なして定式化するため競争輸入型産業連関表と呼ばれる．反対に，「輸入品が国産 品と類似性が低いとみなす」場合，輸入品は国産品と競争していないとみなして 定式化するため，非競争輸入型産業連関表と呼ばれる．第

2

_{の仮定は，「輸入が} 産出と関連していないとみなす」か「輸入が産出と関連しているとみなす」かに ついての仮定である．競争輸入型産業連関表においては，非関連タイプは競争輸 入型産業連関表の輸入外生タイプと呼ばれ，関連タイプは競争輸入型産業連関表 の輸入内生タイプと呼ばれる．非競争輸入型産業連関表において，通常は，非関 連タイプは利用されず，関連タイプだけが利用される．そのため，非競争輸入型 産業連関表の輸入内生タイプだけが利用されている．

このように輸入を

3

種類に分けることによって，定式化も

3

種類に区別できる．

そのため，単位構造分析を行うための単位構造自体も

3

種類に分かれることにな る．しかし，非競争輸入型の産業連関表はあまり利用されていないので，今回は 省略する．

4. 競争輸入型産業連関表の輸入外生タイプ

そこで，初めに，競争輸入型産業連関表の輸入外生タイプについての単位構造 を調べてみる．

輸入が外生タイプの場合，輸入は産出から独立であるから，中間投入は国産品 と輸入品の区別をしないので，輸入外生タイプの投入係数は（

7

）式の投入係数

A

と同じになる．そして，輸入が外生なので，中間需要の中の輸入分を最終需要か ら引く必要がある．そのため，結果的に輸入外生タイプの需給均衡式は（

9

）式と 同じ式になる．

X

＝

AX

＋

F

^d＋

E

−

M

（

10

）

この（

10

_）式からレオンチェフ逆行列を求めると以下の式が得られる．

X

＝（

1

−

A

）⁻（¹

F

^d＋

E

−

M

）

すなわち，

X

＝

B

・（

F

^d＋

E

−

M

） （

11

）

である．ここで，

B

はレオンチェフ逆行列を表す．その

i

_行

j

_{列の要素は}

b

_ijとな る．

単位行列を求めるためには，（

11

）式を改めて（

10

）式に代入する．その結果，

X

_＝

A

_・

B

_・（

F

^d_＋

E

₋

M

_）＋（

F

^d_＋

E

₋

M

_{） （}

12

_）

という式が得られる．

最終需要

F

は，国内最終需要

F

^dと輸出

E

の合計から輸入

M

を引いたものに

なる．

F

＝

F

^d＋

E

−

M

（

13

）

したがって，（

12

）式は以下のようになる．

X

＝

A

・

B

・

F

＋

F

（

14

）

（

14

）式を行列で表示すると以下のようになる．

x

1

a

11

a

12

a

1i

a

1n

b

11

b

12

b

1i

b

1n

f

1

f

1

x

2

＝

a

21

a

22

a

_2i

a

_2n

・

b

21

b

22

b

_2i

b

_2n

・

f

2

＋

f

2

（

15

）

x

_i

a

_i1

a

_i2

a

_ii

a

_in

b

_i1

b

_i2

b

_ii

b

_in

f

_i

f

_i

x

n

a

n1

a

n2

a

in

a

nn

b

n1

b

n2

b

ni

b

nn

f

n

f

n

ここで，

x

1 

a

11

a

12

a

1i

a

1n 

b

11

b

12

b

1i

b

1n 

f

1

X

＝

x

2 

A

＝

a

21

a

22

a

2i

a

2n 

B

＝

b

21

b

22

b

2i

b

2n 

F

＝

f

2

x

_i

a

_i1

a

_i2

a

_ii

a

_in

b

_i1

b

_i2

b

_ii

b

_in

f

_i

x

_n

a

_n1

a

_n2

a

_in

a

_nn

b

_n1

b

_n2

b

_ni

b

_nn

f

_n

である．

（

15

）式を変形すると，

x

1

a

11

a

12

a

1i

a

1n

b

11

f

1 ＋

b

12

f

2 ＋

b

1i

f

i ＋

b

1n

f

n

f

1

x

2

＝

a

21

a

22

a

2i

a

2n

・

b

21

f

1 ＋

b

22

f

2 ＋

b

2i

f

i ＋

b

2n

f

n

＋

f

2

x

_i

a

_i1

a

_i2

a

_ii

a

_in

b

_i1

f

1 ＋

b

_i2

f

2 ＋

b

_ii

f

_i ＋

b

_in

f

_n

f

_i

x

_n

a

_n1

a

_n2

a

_in

a

_nn

b

_n1

f

₁ ＋

b

_n2

f

₂ ＋

b

_ni

f

_i ＋

b

_nn

f

_n

f

_n

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

 

a

₁₁

a

₁₂

a

_1i

a

_1n

b

₁₁

f

₁

a

₁₁

a

₁₂

a

_1i

a

_1n

b

₁₂

f

₂  ＝

a

21

a

22

a

2i

a

2n

・

b

21

f

1

＋

a

21

a

22

a

2i

a

2n

・

b

22

f

2

 

a

i1

a

i2

a

ii

a

in

b

i1

f

1

a

i1

a

i2

a

ii

a

in

b

i2

f

2

 

a

_n1

a

_n2

a

_in

a

_nn

b

_n1

f

_n

a

_n1

a

_n2

a

_in

a

_nn

b

_n2

f

2

a

₁₁

a

₁₂

a

_1i

a

_1n

b

_1i

f

_i

a

₁₁

a

₁₂

a

_1i

a

_1n

b

_1n

f

_n

f

₁

＋

a

21

a

22

a

2i

a

2n

・

b

2i

f

i

＋…＋

a

21

a

22

a

2i

a

2n

・

b

2n

f

n

＋

f

2

a

i1

a

i2

a

ii

a

in

b

ii

f

i

a

i1

a

i2

a

ii

a

in

b

in

f

n

f

i

a

_n1

a

_n2

a

_in

a

_nn

b

_ni

f

_i

a

_n1

a

_n2

a

_in

a

_nn

b

_nn

f

_n

f

_n

a

₁₁

a

₁₂

a

_1i

a

_1n

b

₁₁

0 0 0 f

₁

＝

a

21

a

22

a

2i

a

2n

・

0 b

21

0 0

・

f

1

a

i1

a

i2

a

ii

a

in

0 0 b

i1

0 f

1

a

_n1

a

_n2

a

_in

a

_nn

0 0 0 b

_n1

f

1

a

₁₁

a

₁₂

a

_1i

a

_1n

b

₁₂

0 0 0 f

₂

＋

a

21

a

22

a

2i

a

2n

・

0 b

22

0 0

・

f

2

a

i1

a

i2

a

ii

a

in

0 0 b

i2

0 f

2

a

_n1

a

_n2

a

_in

a

_nn

0 0 0 b

_n2

f

2

a

₁₁

a

₁₂

a

_1i

a

_1n

b

_1i

0 0 0 f

_i

＋

a

21

a

22

a

2i

a

2n

・

0 b

2i

0 0

・

f

i

a

i1

a

i2

a

ii

a

in

0 0 b

ii

0 f

i ＋…

a

_n1

a

_n2

a

_ni

a

_nn

0 0 0 b

_ni

f

_i

a

₁₁

a

₁₂

a

_1i

a

_1n

b

_1n

0 0 0 f

_n

f

₁

＋

a

21

a

22

a

2i

a

2n

・

0 b

2n

0 0

・

f

n

＋

f

2

（

16

_）

a

i1

a

i2

a

ii

a

in

0 0 b

in

0 f

n

f

i

a

_n1

a

_n2

a

_in

a

_nn

0 0 0 b

_nn

f

_n

f

_n

となる．ここで，レオンチェフの逆行列

B

_の

i

_{列だけのベクトルを}

B

ⁱ_{とする．さ} らに，このベクトルの要素を用いた対角行列を

B

^〜iとおく．第

i

財の最終需要ベク トルは

F

ⁱと表すことにする．

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

b

_1i

b

_1i

0 0 0



f

_i

B

ⁱ_＝

b

2i 

B

^〜i_＝

0 b

2i

0 0



F

ⁱ_＝

f

i

b

ii 

0 0 b

ii

0

 

f

i

b

_ni

0 0 0 b

_ni

f

_i すると，

X

＝

A

・

B

〜1

・

F

¹＋

A

・

B

〜2

・

F

²＋…＋

A

・

B

〜n

・

F

ⁿ＋

F

（

17

）

という式が得られる．この式を行列で表示すると以下のようになる．

x

1

a

11

b

11

a

12

b

21

a

1i

b

i1

a

1n

b

n1

f

1

a

11

b

12

a

12

b

22

a

1i

b

i2

a

1n

b

n2

f

2 

x

2

＝

a

21

b

11

a

22

b

21

a

_2i

b

_i1

a

_2n

b

_n1

・

f

1

＋

a

21

b

12

a

22

b

22

a

_2i

b

_i2

a

_2n

b

_n2

・

f

2 

x

_i

a

_i1

b

₁₁

a

_i2

b

₂₁

a

_ii

b

_i1

a

_in

b

_n1

f

₁

a

_i1

b

₁₂

a

_i2

b

₂₂

a

_ii

b

_i2

a

_in

b

_n2

f

₂ ＋…

x

n

a

n1

b

11

a

n2

b

21

a

ni

b

i1

a

nn

b

n1

f

1

a

n1

b

12

a

n2

b

2i

a

ni

b

i2

a

nn

b

n2

f

2 

a

11

b

1i

a

12

b

2i

a

1i

b

ii

a

1n

b

ni

f

i

a

11

b

1n

a

12

b

2n

a

1i

b

in

a

1n

b

nn

f

n

f

1

＋

a

21

b

_1i

a

22

b

_2i

a

_2i

b

_ii

a

_2n

b

_ni

・

f

_i

＋

a

21

b

_1n

a

22

b

_2n

a

_2i

b

_in

a

_2n

b

_nn

・

f

_n

＋

f

2

a

_i1

b

_1i

a

_i2

b

_2i

a

_ii

b

_ii

a

_in

b

_ni

f

_i

a

_i1

b

_1n

a

_i2

b

_2n

a

_ii

b

_in

a

_in

b

_nn

f

_n

f

_i

a

n1

b

1i

a

n2

b

2i

a

ni

b

ii

a

nn

b

ni

f

i

a

n1

b

1n

a

n2

b

2n

a

ni

b

in

a

nn

b

nn

f

n

f

n

（

18

）

したがって，第

i

産業の第

i

行第

j

列の要素が

U

_ijⁱとなる単位構造行列

U

ⁱを用 いると次のよう表すことができる．

X

＝

U

¹

F

¹＋

U

²

F

²＋…＋

U

ⁱ

F

ⁱ＋…＋

U

ⁿ

F

ⁿ＋

F

（

19

）

ただし，

F

ⁱ_＝［

f

_i

f

_i …

f

_i］ʼ，

F

_＝［

f

₁

f

_2 …

f

_{n］ʼである．}

あらためてこの式を行列表示で表すと以下のようになる．

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

 

x

₁

u

¹₁₁

u

¹₁₂

u

¹_1i

u

¹_1n

f

₁

u

²₁₁

u

²₁₂

u

²_1i

u

²_1n

f

₂

 

x

2

＝

u

¹21

u

¹22

u

¹2i

u

¹2n

・

f

1

＋

u

²21

u

²22

u

²2i

u

²2n

・

f

2

＋…

 

x

i

u

¹i1

u

¹i2

u

¹ii

u

¹in

f

1

u

²i1

u

²i2

u

²ii

u

²in

f

2  

x

_n

u

¹_n1

u

¹_n2

u

¹_ni

u

¹_nn

f

1

u

²_n1

u

²_n2

u

²_ni

u

²_nn

f

2

u

₁₁ ⁱ

u

₁₂ ⁱ

u

_1i ⁱ

u

_1nⁱ

f

_i

u

ⁿ₁₁

u

ⁿ₁₂

u

ⁿ_1i

u

ⁿ_1n

f

_n

f

₁

＋

u

21 ⁱ

u

22 ⁱ

u

2i ⁱ

u

2nⁱ

・

f

i

＋…＋

u

ⁿ21

u

ⁿ22

u

ⁿ2i

u

ⁿ2n

・

f

n

＋

f

2 （

20

_）

u

i1 ⁱ

u

i2 ⁱ

u

ii ⁱ

u

inⁱ

f

i

u

ⁿi1

u

ⁿi2

u

ⁿii

u

ⁿin

f

n

f

i

u

_n1 ⁱ

u

_n2 ⁱ

u

_ni ⁱ

u

_nnⁱ

f

_i

u

ⁿ_n1

u

ⁿ_n2

u

ⁿ_ni

u

ⁿ_nn

f

_n

f

_n

この単位構造行列を利用した（

20

_）式は，単位構造分析の基本式とみなすこと ができる．例えば，

j

産業についての単位構造を得るためには，

F

ⁱ＝（

1

 

1

 … 

1

）ʼ，

f

i＝

1

，

f

1＝

f

2＝…＝

f

j＝…＝

f

n＝

0

 （

j

㱠

i

）とおくと，

x

1

u

11ⁱ

u

12ⁱ

u

1iⁱ

u

1nⁱ

1 0 x

2

＝

u

21ⁱ

u

22ⁱ

u

2iⁱ

u

2nⁱ

・

1

＋

0

（

21

）

x

_i

u

_i1ⁱ

u

_i2ⁱ

u

_iiⁱ

u

_inⁱ

1 1

x

_n

u

_n1ⁱ

u

_n2ⁱ

u

_niⁱ

u

_nnⁱ

1 0

となる．（

21

）式の右辺の行列

U

ⁱが

i

産業の単位構造行列である．すなわち，こ の行列は，第

i

産業に対する最終需要が

1

単位生じる時，その需要を満たすため の中間財の取引構造を表わしている．

（

20

_）式は，

g

ij＝

f

j／

x

i （

22

）

という関係を利用すると，

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣

⎡⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎣

⎡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎣