Orthogonal decompositions of integral trace forms of certain algebraic number fields via Bezoutians
大竹 秀一 (Shuichi OTAKE) ・早稲田大学基幹理工学部
概要
有限次代数体
K
やその整数環上には,
有理数体Q
上のtrace
写像が定める二次形式が付随しており, K
のtrace form
或いはintegral trace form
と呼ばれる.
本稿では, K
が円分体や,
ある種のtrinomial
から定まる場合に,
そ のintegral trace form
の 有理整数環Z
上の直交分解や, p
進整数環Z
p上の標準形に関する結果を紹介する.
1 Introduction
K
を有限次代数体とし, K
のQ
上の最小多項式をf(x)
とする; K ≃ Q [x]/(f(x)).
このとき,
写像Tr
K/Q: K × K → Q ; (α, β) → trace
K/Q(αβ)
は
K
上のsymmetric Q -bilinear form
を定めるが,
これをK
あるいはf
のtrace form
と呼び, symmetric Q -bilinear form space (K, Tr
K/Q)
をTr
KまたはTr
f と表すことにする.
また, Tr
K/QをK
の整数環O
Kに制限すると,
トレー スの性質から値は有理整数環Z
に取ることが分かり, O
K上のsymmetric Z -bilinear form tr
K/Qが定まる.
これをK
あるいはf
のintegral trace form
と呼び, symmetric Z -bilinear form module (O
K, tr
K/Q)
をtr
Kまたはtr
fと表す.
以下, tr
f のZ
pへの係数拡大をtr
K,pまたはtr
f,pと表す.
一般に
, trace form
あるいはintegral trace form
の本格的な研究は, O. Taussky [?]
から始まったとされており,
そ の後Conner-Perlis [?]
やSerre [?]
等により,
興味深い問題の提出や, Galois cohomology
との関連からGalois
の逆問 題への応用等がなされ,
現在までの研究の道筋がつけられた.
数多くある(integral) trace form
に関連する話題のうち,
本稿で扱う問題は次のものである.
Problem 1.1 symmetric Q ( Z )-bilinear form
のうち, (integral) trace form
から定まるものを全て決定せよ.
または,
全ての(integral) trace form
を具体的に計算せよ.
本稿の目的は
, [?], [?]
に基づき,
円分体のintegral trace form
と,
ある種のtrinomial
から定まるintegral trace form
に関し,
そのZ
上の直交分解と, p
進整数環Z
p上の標準形の具体的な明示式を紹介をすることである.
最後に記号の準備をしておく
([?]
参照). R
を単位的可換環とし, (X
1, β
1), (X
2, β
2)
をsymmetric R-bilinear form module
とする. (X
1, β
1)
と(X
2, β
2)
がsymmetric R-bilinear form module
として同型となるとき, (X
1, β
1) ≃
R(X
2, β
2) (
または単にX
1≃
RX
2)
と表し, (X
1, β
1)
と(X
2, β
2)
の(symmetric R-bilinear form module
としての)
直 和を(X
1, β
1) ⊕ (X
2, β
2) (
または単にX
1⊕ X
2)
と表す.
特に, 0
以上の整数m ∈ Z
≥0に対し, m × (X
1, β
1) (
または 単にm × X
1)
で, (X
1, β
1)
のm
個の直和を表す;
m × (X
1, β
1) = m × X
1:=
X
1⊕ · · · ⊕ X
1| {z }
m
m ≥ 1,
⟨ 0 ⟩ m = 0.
次に
, (X
1, β
1)
と(X
2, β
2)
のテンソル積を(X
1, β
1) ⊗ (X
2, β
2) (
または単にX
1⊗ X
2)
と表す.
また, R
係数のn × n
対称行列M
に対し, M
が定めるR
n上のsymmetric R-bilinear form module
を⟨ M ⟩
Rと表すものとし,
記号の簡単 のため, ⟨ a ⟩ X
1:= ⟨ [a] ⟩ ⊗ X
1( ∀ a ∈ R)
とおく.
特に, G, H
で以下の空間を表す;
G =
⟨[ 2 1 1 2
]⟩
R
, H =
⟨[ 0 1 1 0
]⟩
R
.
2 Relationships between (integral) trace forms and Bezoutian forms
f
1(x), f
2(x) ∈ R[x]
をR
上の多項式とし, n ≥ max { deg f
1, deg f
2}
を満たす整数n
に対し, B
n(f
1, f
2) := f
1(x)f
2(y) − f
1(y)f
2(x)
x − y =
∑
n i,j=1α
ijx
i−1y
j−1∈ R[x, y], M
n(f
1, f
2) := [α
ij]
1≤i,j≤nとおく
.
このとき, M
n(f
1, f
2)
はR
係数の対称行列となり, R
n上のsymmetric R-bilinear form
を定める.
このsymmetric R-bilinear form
をf
1とf
2のBezoutian form (Bezout
の二次形式)
と呼ぶ.
以後, M
n(f
1) := M
n(f
1, f
1′) (f
1′はf
1の形式的な微分)
と表す. Bezoutian form (Bezout
の二次形式)
に関しては,
高木[?], Krein-Naimark [?]
に 優れた解説がある.
本稿で述べる結果は全て,
次の定理により(integral) trace form
をBezoutian form
と見ることに より得られる結果であることを注意しておく.
Theorem 2.1 K = Q (θ)
をn
次の代数体とし, θ
のQ
上の最小多項式をf(x)
とおく.
このとき, Tr
K≃
Q⟨ M
n(f) ⟩
Q.
ここで, θ
を適当に整数倍してf(x) ∈ Z [x]
としておくと, tr
K≃
Z⟨ M
n(f) ⟩
Zとなるための必要十分条件は, 1, θ, · · · , θ
n−1がK
の整基底をなすことである.
特に,
この条件が成り立つときは, tr
K,p≃
Zp⟨ M
n(f) ⟩
Zpである.
3 Main results for cyclotomic fields
以後
, 1
の原始n
乗根ζ
nに対し, tr
n:= tr
Q(ζn)とおく.
一般性を失うことなく, n
が偶数ならば4
で割れていると仮 定する.
また, I
(r)で集合{ 0, 1 }
のr
個の直積を, i
(r)= (i
1, i
2, · · · , i
r)
でI
(r)の任意の元を表すものとする.
Theorem 3.1 n
を3
以上の整数とし,
その素因数分解をn = 2
ep
e11p
e22· · · p
errとし, n
′= p
e11p
e22· · · p
errとおく. (i) e = 0
のとき,
tr
n≃
Z⊕
i(r)∈I(r)
⟨ ( − 1)
∑rm=1imn
∏
r m=1p
imm⟩ X
n(i(r)).
ここで,
X
n(i(r))= ⟨ 1 ⟩ ⊕ ( ∏
rm=1
p
emm−1(p
m− 2)
im+1− 1 ) /2 × H.
(ii) e ≥ 2
のとき,
tr
n≃
Z{ ⟨ 2
e−1⟩ (
⟨ 1 ⟩ ⊕ ⟨− 1 ⟩ ⊕ (2
e−2− 1) × H )
, n
′= 1,
⊕
i(r)∈I(r)
⟨ ( − 1)
∑rm=1im(n/2) ∏
rm=1
p
imm⟩ Y
n(i(r)), n
′> 1.
ここで
,
Y
n(i(r))= ⟨ 1 ⟩ ⊕ ⟨− 1 ⟩ ⊕ ( 2
e−2∏
r m=1p
emm−1(p
m− 2)
im+1− 1 )
× H.
次に
, tr
n,p:= tr
Q(ζn),pの標準形に関する結果を述べる.
そのため,
以下ではφ( ∗ )
でEuler’s totient function
を, D
nで円分体Q (ζ
n)
の判別式をそれぞれ表すものとする.
また, p
を奇素数とする時,
任意のp
進単数a ∈ Z
×p に対し,
u
a,p:=
{ 1, a ∈ ( Z
×p)
2, u
p, a / ∈ ( Z
×p)
2とおく
.
ここで, u
pはp
を法として平方非剰余となる正の整数のうち,
最小のものを表す.
他方, p = 2
の時は, u
a,2(a ∈ Z
×2)
を次のように定義する;
u
a,2=
1 a ∈ ( Z
×2)
2,
3 a ∈ 3( Z
×2)
2,
5 a ∈ 5( Z
×2)
2,
7 a ∈ 7( Z
×2)
2.
Theorem 3.2 p
を奇素数とする.
また, n
を3
以上の整数とし, n = p
en
′(e ≥ 0, p ∤ n
′)
と表す. (1) e = 0
のとき,
tr
n,p≃
Zp(φ(n) − 1) × ⟨ 1 ⟩ ⊕ ⟨ u
Dn,p⟩ . (2) e ≥ 1
のとき,
tr
n,p≃
Zp⟨ p
e−1⟩ (
(n
1× ⟨ 1 ⟩ ) ⊕ ⟨ u
a1,p⟩ )
⊕⟨ p
e⟩ (
(n
2× ⟨ 1 ⟩ ) ⊕ ⟨ u
a2,p⟩ ) .
ここで,
a
1= {
( − 1)
1+(pe−1−1)/2, n
′= 1, D
n′, n
′> 1, a
2=
{
( − 1)
(pe−1(p−2)−1)/2, n
′= 1, D
n′, n
′> 1
かつn
1= φ(n
′)p
e−1− 1, n
2= φ(n
′)p
e−1(p − 2) − 1.
Theorem 3.3 n
を3
以上の整数とし,
その素因数分解をn = 2
ep
e11p
e22· · · p
errとし, n
′= p
e11p
e22· · · p
errとおく. (1) e = 0
のとき,
tr
n,2≃
Z2( ⊕
i(r)∈I(r)
⟨ ( − 1)
∑r
m=1im
n
∏
r m=1p
imm⟩ )
⊕ (
(φ(n) − 2
r)/2 × H ) . (2) e ≥ 2
のとき,
tr
n,2≃
Z2{ ⟨ 2
e−1⟩ (
⟨ 1 ⟩ ⊕ ⟨− 1 ⟩ ⊕ (2
e−2− 1) × H )
, n
′= 1,
⟨ 2
e−1⟩ (
Z
n⊕ ⟨− 1 ⟩ Z
n⊕ (φ(n) − 2
r+1)/2 × H )
, n
′> 1.
ここで
,
Z
n= ⊕
i(r)∈I(r)
⟨ ( − 1)
∑rm=1imn
′∏
r m=1p
imm⟩ .
4 Main results for certain trinomial extensions
P
n(x) := x
n+ nklx
s+ l
を以下の性質(P.1), (P.2), (P.3)
を満たすtrinomial
とする; (P.1) 1 ≤ s < n
かつgcd(n, s) = 1.
(P.2) k, l ∈ Z
かつn
の素因数はl
の素因数でもある.
(P.3) l
とd := 1 + ( − 1)
n−1(n − s)
n−sk
n(ls)
s は平方因子を持たない.
また, n(s) := 2s + 1
とおき, s
′を次のように定義する;
s
′:=
{
s n(s) ≤ n, n − s n(s) > n.
ここで
, s
′≥ 2
ならば,
ユークリッドの互除法からr
0= n, r
1= s
′,
r
m−1= q
m−1r
m+ r
m+1(0 < r
m+1< r
m, 1 ≤ m ≤ ω), r
ω= q
ωr
ω+1(r
ω+1= 1)
を満たす正整数q
mとr
mが取れる. s
′= 1
のときは, q
0= n − 1, r
2= 1
とおくこととする. Theorem 4.1 n
を上記の条件を満たす任意の整数とし, n
が奇数ならば,
a
0=
{ s {− (n − s)k }
q0−1kl n(s) ≤ n, s
′{− (n − s
′)kl }
q0−1k n(s) > n, b
0=
{ (n − s)k n(s) ≤ n, (n − s
′)kl n(s) > n, a
m= ( − a
m−1)
qmb
m−1, b
m= a
m−1(1 ≤ m ≤ ω − 1),
d
0=
a
0s
′= 1,
− a
ω−2b
ω−2s
′≥ 2, r
ω−1= r
ω+ 1, r
ω: odd,
a
ω−1 それ以外とおく
.
このとき,
tr
Pn≃
Z⟨ n ⟩ ⊕ ⟨− nl ⟩ (
X
0⊕ n
0× H ) .
ここで,
X
0=
⟨[ d
01 1 (1 − d)/d
0] ⟩
n : odd,
⟨ d ⟩ n : even,
n
0= {
(n − 3)/2 n : odd, (n − 2)/2 n : even.
次に
, tr
Pn をZ
pまで係数拡大して得られるtr
Pn,pの標準形に関する結果を述べる.
以下,
任意のr ∈ Z
pに対し, v
p(r)
でr
のp
進付値を表すものとする.
また,
多項式f(x) ∈ Q [x]
に対し, d(f)
でf
の判別式を表すものとする. Theorem 4.2 p
を奇素数とし, n = p
εnn
p, d = p
εdd
p, l = p
εll
p(ε
n= v
p(n), ε
d= v
p(d), ε
l= v
p(l))
と表す. (1) p ∤ l
かつp ∤ d
のとき,
tr
Pn,p≃
Zp(n − 1) × ⟨ 1 ⟩ ⊕ ⟨ u
d(Pn),p⟩ . (2) p ∤ l
かつp | d
のとき,
tr
Pn,p≃
Zp⟨ p ⟩⟨ u
d′0,p⟩ ⊕ (
(n − 2) × ⟨ 1 ⟩ ⊕ ⟨ u
d′1,p⟩ ) .
ここで,
d
′0=
{ nd
pl/d
0n : odd,
− nd
pl n : even, d
′1=
{ ( − 1)
(n−1)/2n
n−1d
0l
n−2n : odd, ( − 1)
(n−2)/2n
n−1l
n−2n : even.
(3) p | l
のとき,
tr
Pn,p≃
Zp⟨ p
εn⟩⟨ u
np,p⟩ ⊕ ⟨ p
εn+1⟩ (
(n − 2) × ⟨ 1 ⟩ ⊕ ⟨ u
d′ 2,p⟩ )
.
ここで,
d
′2=
{ ( − 1)
(n−1)/2n
np−1dl
np−1n : odd, ( − 1)
n/2n
n−1pdl
pn−1n : even.
Theorem 4.3 n = 2
εnn
2, l = 2
εll
2(ε
n= v
2(n), ε
l= v
2(l))
とおく. (1) 2 ∤ n
のとき,
tr
Pn,2≃
Z2{ ⟨ u
n,2⟩ ⊕ G ⊕ (n − 3)/2 × H 2 ∤ kl, n = 3 or 2 ∤ kl, s
′= 2,
⟨ u
n,2⟩ ⊕ ⟨ 2
εl⟩ (
(n − 1)/2 × H )
それ以外
