図チャレ 第 198 回 (2018 年 3 月 )
座標空間において，
O
を原点とし，A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C(1, 1, 0)
とする．OAB
を直線OC
の周りに1
回転してできる回転体をL
とする．以下の問に答えよ．(1)
直線OC
上にない点P(x, y, z)
から直線OC
におろした垂線をPH
とする．−−→ OH
と−→ HP
をx, y, z
の式で表せ．(2)
点P(x, y, z)
がL
の点であるための条件はz
22xy
かつ0 x + y 2
であることを示せ．(3) 1 a 2
とする．L
を平面x = a
で切った切り口の面積S(a)
を求めよ．(4)
立体{(x, y, z) (x, y, z) ∈ L, 1 x 2}
の体積を求めよ．出典：
2018
年 神戸大学解答
(1) −−→ OH
は−→ OP
の直線OC
への正射影であるから−−→ OH = −−→ OC −→ OP −−→ OC
2−−→ OC
= 1 x + 1 y + 0 z
1
2+ 1
2+ 0
2(1, 1, 0)
= x + y
2 , x + y 2 , 0
(
答)
−→ HP = −→ OP − −−→ OH = x − y
2 , y − x 2 , z
(
答)
(2) ∠ COP = θ
とおくと，cos θ =
−−→ OC −→ OP
−−→ OC −→ OP = √ x + y 2
x
2+ y
2+ z
2P ∈ L ⇐⇒ 0 θ π
4
かつx 0
かつy 0
かつx + y 2 x 0, y 0
のもとで，0 θ π
4 ⇐⇒ √ x + y 2
x
2+ y
2+ z
2cos π 4
⇐⇒ x + y
x
2+ y
2+ z
2— 1 — c
早稲田数学フォーラム⇐⇒ (x + y)
2x
2+ y
2+ z
2⇐⇒ z
22xy
x 0
かつy 0 ⇐⇒ x + y 0
かつxy 0
であるから，P ∈ L ⇐⇒ z
22xy
かつ0 x + y 2
(
証明おわり) (3)
回転体L
の平面x = a (1 a 2)
による切り口はz
22ay
かつ0 a + y 2
∴ z
22a y 2 − a
断面積S(a)
はS(a) = √
2a(2−a)
−
√
2a(2−a)
2 − a − z
22a
dz
= − 1 2a
√
2a(2−a)
−
√
2a(2−a)
z +
2a(2 − a) z −
2a(2 − a) dz
= 1 2a
1 6
2a(2 − a) +
2a(2 − a)
3= 1
12 a 16 √
2
a(2 − a)
3= 4 √ 2 3
√ a (2 − a)
32(
答)
(4) a = 2 sin
2θ π
4 θ π 2
で置換積分することにより，求める立体の体積
V
はV =
21
S(a) da
= 4 √ 2 3
π2 π4
√ 2 sin θ (2 cos
2θ)
32(2 sin
2θ)
dθ
= 4 √ 2 3
π2 π4
√ 2 sin θ 2 √
2 cos
3θ 4 sin θ cos θ dθ
= 64 √ 2 3
π2 π4
sin
2θ cos
4θ dθ
= 64 √ 2 3
π2 π4
1
2 sin 2θ
21 + cos 2θ
2 dθ
= 8 √ 2 3
π2 π4
1 − cos 4θ
2 (1 + cos 2θ) dθ
— 2 — c
早稲田数学フォーラム= 4 √ 2 3
π2 π4
1 + cos 2θ − cos 4θ − cos 6θ + cos 2θ 2
dθ
= 4 √ 2 3
θ + 1
4 sin 2θ − 1
4 sin 4θ − 1
12 sin 6θ
π2 π4
= 4 √ 2 3
π 2 − π
4 − 1 4 sin π
2 − 0 + 1 12 sin 3
2 π
= 4 √ 2 3
π 4 − 1
4 − 1 12
=
√ 2 (3π − 4)
9 (
答)
(
別法)
S(a) = 4 √ 2
3 (2 − a) √ a √
2 − a = 4 √ 2
3 (2 − a)
2a − a
22a − a
2= 2 − 2a = 2(1 − a)
に着目できれば，求める立体の体積V
はV =
21
S(a) da
=
21
4 √ 2 3
√ 2a − a
2+ (1 − a) √
2a − a
2da
= 4 √ 2 3
21
1 −(a − 1)
2da + 2 √ 2 3
21
2a − a
212(2a − a
2da
= 4 √ 2 3
π
4 + 2 √ 2 3
2 3
2a − a
232 21
