Keiji Matsumoto (Hokkaido Univ.) Jan. 08, ,

超幾何関数の変換公式と平均反復

Keiji Matsumoto (Hokkaido Univ.)

Jan. 08, 2009

計算による数理科学の展開 2009, _{神戸大学 理学部}

1. _{算術幾何平均}

a > b > 0 _{に対して数列} {a_n},{b_n} を下記のように定める。

(a₀, b₀) = (a, b), (a_n+1, b_n+1) = (a_n + b_n 2 ,√

a_nb_n).

数列 {a_n},{b_n} ^{はともに 収束 し、} lim

n→∞a_n = lim

n→∞b_{n となる。この共通} 極限を a _と b _{の算術幾何平均 といい、}M(a, b) _で表す。

Theorem 1 (C.F. Gauss 1799_年) Maple _{による検証} M(a, b) = a

F(¹₂, ¹₂,1; 1 − (^b

a)²), ここで F(α, β, γ;z) _は Gauss _{の超幾何関数}

F(α, β, γ; z) =

X∞ n=0

(α)_n(β)_n (γ)_n(1)_nzⁿ,

|z| < 1, (α)_n = ^Γ(α+n)

Γ(α) , γ 6= 0,−1,−2, . . . _である。

2. _平均反復

正数全体のなす乗法群を R^×₊ ^と記す。

下記の条件をみたす (R^×₊^{)k 上の関数 m}0 を k_{項平均 とよぶ。}

(1) m_{0 は連続}

(2) min(x) ≤ m₀(x) ≤ max(x),

min(x) < max(x) ⇒ min(x) < m₀(x) < max(x) (3) m₀(t · x) = t · m₀(x) for ^∀t ∈ R^×₊

ここで x = (x₁, . . . , x_k) _は (R^×₊^{)k の元とする。}

k_個の k_項平均 m₁, . . . , m_{k に対して、写像} m _{を下記で定める。}

m : (R^×₊^)k 3 x 7→ m(x) = (m₁(x), . . . , m_k(x)) ∈ (R^×₊^)k.

a ∈ (R^×₊^{)k に対して k重数列}{a[n]}_n∈N = {(a[n]₁, . . . , a[n]_k)}_n∈N ^を 写像 m _の n _{回合成による} a _の像 a[n] = mⁿ(a) (n ∈ N^{) で定める。}

Theorem 2 (_存在定理) k_重数列 {a[n]}_n∈N ^{は 収束し、}k_個の数列 {a[n]₁}, . . . , {a[n]_k} ^{は 共通の極限 をもつ。この 共通極限} m^∞_∗ (a) _は、(R^×₊^{)k 上} の関数みなすと k_{項平均である。}

Theorem 3 (_不変原理) _共通極限 m^∞_{∗ は、}

µ(m(x)) = µ(x), µ(t, . . . , t) = t for ^∀t ∈ R^×₊ をみたす 連続関数 µ として特徴付けられる。

Proof. _{上記の性質をみたす}k_項平均 µ _{に対して、}

µ(a) = µ(m(a)) = µ(m²(a)) = · · · = µ(mⁿ(a)) (n → ∞)

→ µ(m^∞(a)) = µ(m^∞_∗ (a), . . . , m^∞_∗ (a)) = m^∞_∗ (a). ¤

Remark 1 _各 m_i が平均でなくても、共通極限 m^∞_{∗ が存在していれば、}

不変原理は適応可能。

Example 1 _{３つの３項平均} m₁, m₂, m_{3 を以下で与える。}

m₁(x₁, x₂, x₃) = x₁ + x₂ + x₃

3 ,

m₂(x₁, x₂, x₃) = x₂x₃ + x₁x₃ + x₁x₂ x₁ + x₂ + x₃ , m₃(x₁, x₂, x₃) = 3x₁x₂x₃

x₂x₃ + x₁x₃ + x₁x₂. 写像 m _を x 7→ (m₁(x), m₂(x), m₃(x)) _{で定める。}

積 m₁(x)m₂(x)m₃(x) _は x₁ + x₂ + x₃

3 · x₂x₃ + x₁x₃ + x₁x₂

x₁ + x₂ + x₃ · 3x₁x₂x₃

x₂x₃ + x₁x₃ + x₁x₂ = x₁x₂x₃ であり、x₁x₂x_{3 は写像} m _{の引き戻しで不変 である。}

条件 µ(t, t, t) = t _{を考慮すると、}

m^∞_∗ (x₁, x₂, x₃) = √³

x₁x₂x₃ である。

3. Gauss 算術幾何平均定理の証明

Fact 1 ( Gauss _{２次変換公式}) (1 + z)^2αF(α, α − β + 1

2, β + 1

2; z²) = F(α, β,2β; 4z

(1 + z)²), ここで z _は 0 _{の近くの点で、}z = 0 _での (1 + z)^2α _の値は 1 _である。

Proof of Theorem 1. Fact 1 _に ^b

a = ^1−z

1+z, α = β = ¹_{2 を代入すると、}

(a + b)/2 F(¹₂, ¹₂,1; 1 − (²

√ab a+b )²)

= a

F(¹₂, ¹₂,1; 1 − (^b

a)²) となる。この式は a/F(¹₂, ¹₂,1; 1−(^b

a)²) _{は、算術平均} m_{1 と幾何平均} m₂ で定まる写像 m = (m₁, m₂) の引き戻しで不変であることを意味する。

また、 ^a

F(¹₂,¹₂,1;1−(_a^b)²) は b = a _{のとき 分母が１となり} a _{となる ので、こ} の関数は不変原理より算術幾何平均 M(a, b) _{と一致する。}

4. Goursat’s formulas _{から得られる平均反復}

「超幾何関数のGauss ２次変換公式」と「不変原理」から算術幾何平均の 超幾何関数による表示が得られた。

別の超幾何関数の変換公式から同様の結果が得られることが期待される。1881

年に Goursat は下記の論文で超幾何関数の変換公式を多数与えた。

[G] E.M. Goursat, Sur l’´Equation Diff´erentielle Lin´eaire qui Ad- met pour Int´egrale la S´erie Hyperg´eom´etrique, Ann. Sci.

l’Ecole Normale Sup. (2) 10 (1881), 3–142. pdf file

p.117–121 _{にある２次変換公式と}p.127–140 にある３次変換公式を用い て類似定理が得られた。２次変換公式から得られた結果は Carlson _により 既に文献 [C] _{で研究されている。}

我々の結果を超幾何関数のパラメーター (α, β, γ) _{に対して定まるデータ}

( 1

|1 − γ|, 1

|γ − α − β|, 1

|α − β|

)

で分類する。F(¹₂, ¹₂,1, z) に対しては、このデータは{∞,∞,∞} ^となって いる。

以下の表内では a, b _は b/a _が十分 1 _{に近くなる正数で、}m₁, m_{2 を２項平} 均とし、m = (m₁, m₂) _で定め mⁿ(a, b) _{で得られる２重数列} {(a_n, b_n)} の共通極限 m^∞_∗ (a, b) を超幾何関数で表示する。

type (M) _は {a_n},{b_n} が単調であること、つまり

b_n ≤ b_n+1 ≤ a_n+1 ≤ a_n or b_n ≥ b_n+1 ≥ a_n+1 ≥ a_n; を意味し、type (A) は上記数列が交代であること、つまり

b₀ ≤ a₁ ≤ b₂ ≤ · · · ≤ b_2n ≤ a_2n+1 ≤ b_2n+1 ≤ a_2n ≤ · · · ≤ a₂ ≤ b₁ ≤ a₀. を意味する。

２次変換公式から得られる極限公式のリスト

{2,2,∞}

No. m₁(a, b) m₂(a, b) type m^∞_∗ (a, b)

Q(1) √

ab

√b(√

a+√ b)

2 (M) a/F ^³1,1, ³₂; 1−_a^b´ Q(2)

√a(√

a+√ b) 2

√ab (M) a/F ^³1, ¹₂, ³₂; 1−_a^b´ Q(3)

r

a(a+b) 2

a+b

2 (M) a/F

µ1

2, ¹₂, ³₂; 1−^³_a^b´2¶ Q(4) ⁴

r 2ab

a+ba²b ⁴

qa+b

2 ab² (M) a/F

µ1

2, ¹₂, ¹₂; 1−^³_a^b´2¶

1

2 = √ ab Q(5) ^2ab

a+b

a+b

2 (M) a/F ^³1₂,1,1; 1−_a^b´ = √ ab

{2,4,4}

No. m₁(a, b) m₂(a, b) type m^∞_∗ (a, b) Q(6)

√b(√

a+√ b) 2

√ab (A) a/F ^³1, ³₄, ⁵₄; 1−_a^b´

Q(7) √

ab

√a(√

a+√ b)

2 (A) a/F ^³1, ¹₂, ⁵₄; 1−_a^b´ Q(8)

r

b(a+b) 2

a+b

2 (A) a/F

µ1

4, ³₄, ⁵₄; 1−^³_a^b´2¶2 Q(9) ^a+b₂

r

a(a+b)

2 (A) a/F

µ1

4, ¹₂, ⁵₄; 1−^³_a^b´2¶2 Q(10) ⁴

r 2ab

a+bab^{2 4}

qa+b

2 a²b (A) a/F

µ1

4, ³₄, ³₄; 1−^³_a^b´2¶ = √ ab Q(11) ⁴

qa+b

2 ab^{2 4}

r 2ab

a+ba²b (A) a/F

µ1

2, ³₄, ³₄; 1−^³_a^b´2¶

1

2 = √ ab

３次変換公式から得られる極限公式のリスト

以下で論文 [G] にある３次変換公式から得られる極限公式を与える。ここで 現れるすべての超幾何関数のパラメーターは

( 1

|1 − γ|, 1

|γ − α − β|, 1

|α − β|

)

= {2,3,6} をみたしている。

b/a _が 1 _{に十分近くなる正数} a, b _に対して(ξ₁, ξ₂) _{は算術平均をとると} a になり、幾何平均をとるとb になる複素数とする、つまり

ξ₁ + ξ₂

2 = a,

q

ξ₁ξ₂ = b, {ξ₁, ξ₂} = {a ± ^qa² − b²}, であり、３乗根の枝は−^π₆ < arg(ξ

1 3

i ) < ^π₆ (i = 1,2) _{により定める。}

X₁ = ξ

1 3

1 + ξ

1 3

2

2 , X₂ =

vu utξ

2 3

1 + ξ

1 3

1ξ

1 3

2 + ξ

2 3

2

3 , X₃ =

r

ξ

2 3

1 − ξ

1 3

1ξ

1 3

2 + ξ

2 3

2, とする。

(η₁, η₂) _{を算術平均をとると} b になり、幾何平均をとるとa _{になる複素数} とする、つまり

√η₁η₂ = a, η₁ + η₂

2 = b, {η₁, η₂} = {b ± ^qb² − a²}, で定め、

Y₁ = η

1 3

1 + η

1 3

2

2 , Y₂ =

vu utη

2 3

1 + η

1 3

1η

1 3

2 + η

2 3

2

3 , Y₃ =

r

η

2 3

1 − η

1 3

1η

1 3

2 + η

2 3

2, とおく、ただし、３乗根の枝は

−π

6 < arg(η

1 3

i ) < π

6, (i = 1,2), η

1 3

1η

1 3

2 = a²³ ∈ R^×₊ で定める。

No. m₁(a, b) m₂(a, b) type m^∞_∗ (a, b) C(1) b²³X₁ b²³X₂ (A) a/F

µ1

2,1, ⁷₆; 1 − ^³_a^b´2¶ C(2) X₁X₂² X₂³ (A) a/F

µ1

6, ²₃, ⁷₆; 1 − ^³_a^b´2¶3 C(3) X₁X₂² X₂²X₃ (A) a/F

µ1

2, ²₃, ³₂; 1 − ^³_a^b´2¶ C(4) b¹³X₁X₂ b¹³X₂X₃ (A) a/F

µ5

6,1, ³₂; 1 − ^³_a^b´2¶

1 2

C(5) b²³X₁ b²³X₃ (A) a/F

µ1

3, ¹₂, ¹₂; 1 − ^³_a^b´2¶ = √³ ab²

No. m₁(a, b) m₂(a, b) type m^∞_∗ (a, b) C(6) a²³Y₂ a²³Y₁ (A) a/F

µ1

6, ¹₂, ⁷₆; 1 − ^³_a^b´2¶ C(7) Y₂³ Y₁Y₂² (A) a/

·b aF

µ2

3,1, ⁷₆; 1 − ^³_a^b´2¶¸3 C(8) Y₂²Y₃ Y₁Y₂² (A) a/F

µ1

2, ⁵₆, ³₂; 1 − ^³_a^b´2¶ C(9) a¹³Y₂Y₃ a¹³Y₁Y₂ (A) a/F

µ2

3,1, ³₂; 1 − ^³_a^b´2¶

1 2

C(10) a²³Y₃ a²³Y₁ (A) a/F

µ1

6, ¹₂, ¹₂; 1 − ^³_a^b´2¶ = √³ a²b

5. Borwein _{兄弟の結果}

Borwein _{兄弟の論文} [BB1] にある結果を紹介する。

Theorem 4 F(1

3, 2

3,1; 1 − x³) = 3

1 + 2xF(1 3, 2

3,1; ( 1 − x

1 + 2x)³), F(1

4, 3

4,1; 1 − x²) = 2

√1 + 3xF(1 4, 3

4,1; ( 1 − x

1 + 3x)²).

Theorem 5

m₁(a, b) m₂(a, b) m^∞_∗ (a, b)

a+2b 3

3

r

b(^a2+ab+b₃ ²) a/F

µ1

3, ²₃, 1; 1 − ^³_a^b´3¶

a+3b 4

q

b(^a+b₂ ) a/F

µ1

4, ³₄,1; 1 − ^³_a^b´2¶2

6. Lauricella _{の多変数超幾何関数} F_D

Lauricella _の k-変数超幾何関数 F_D は以下のように定義される

F_D(α, β, γ; z) =

X∞ n₁,...,n_k≥0

(α,^Pk_j=1n_j) ^Qk_j=1(β_j, n_j) (γ,^Pk_j=1n_j) ^Qk_j=1(1, n_j)

Yk j=1

z_j^nj,

ここで z = (z₁, . . . , z_k) _は |z_j| < 1 (j = 1, . . . , k) _{をみたし、}β = (β₁, . . . , β_k), γ 6= 0,−1,−2, . . . _とする。

k = 1 _のとき F_D(α, β, γ;z) _は Gauss _{の超幾何関数}F(α, β, γ; z) _となる。

k = 2 _の場合は Appell により研究されていて、F₁(α, β₁, β₂, γ; z₁, z₂) _で 表される。

この関数は以下の積分表示をもつ。

F_D(α, β, γ; z) = Γ(γ)

Γ(α)Γ(γ − α)

Z ₁

0 t^α(1 − t)^γ−α

Ym j=1

(1 − z_jt)^−βj dt

t(1 − t).

Fact 2 F_D(α, β, γ; z) _{は 積分可能条件}dΩ_fˆ(z) = Ω_fˆ(z) ∧ Ω_fˆ(z) _{付 の} 微分方程式系

dfˆ= Ω_fˆ(z) ˆf , Ω_fˆ(z) = ^X

1≤i<j≤k+2

A_ijd log(z_i − z_j),

をみたす、ここでfˆ= ^t(f₀, f₁, . . . , f_k), f₀ = F_D(α, β, γ; z), f_i = z_i^∂f_∂z⁰

i

(1 ≤ i ≤ k), z_k+1 = 0, z_k+2 = 1, (k + 1) × (k + 1)-_行列 A_{ij は以下} で与える。

A_ij =









0-th i-th j-th 0-th

i-th −β_j β_i

j-th β_j −β_i









(1 ≤ i < j ≤ k),

A_i,k+1 =

















0-th i-th

0-th 1

−β1

O ... O

−β_i−1

i-th 1−γ+

jP6=i 1≤j≤k

β_j

−β_i+1

O ... O

−β_k

















(1 ≤ i ≤ k),

A_i,k+2 =









0-th i-th

0-th

O O

i-th −αβ_i −β_i · · · −β_i γ−α−β_i−1 −β_i · · · −β_i

O O







 (1 ≤ i ≤ k).

7. F_{D の変換公式}

Theorem 6 2_変数 F_D に対して、以下が成立する

µ1 + z₁ + z₂ 3

¶p

F_D(p

3, p + 1

6 , p + 1

6 , p + 1

2 ; 1 − z₁³,1 − z₂³)

= F_D(p

3, p + 1

6 , p + 1

6 , p + 5

6 ;z₁⁰ , z₂⁰ ),

ここで z = (z₁, z₂) _は (1,1) _{の近傍の元で、}(^1+z₃^1+z2)^p _は (1,1) _にお いて値 1 _{をとるとし}

z₁⁰ = (1 + ωz₁ + ω²z₂

1 + z₁ + z₂ )³, z₂⁰ = (1 + ω²z₁ + ωz₂ 1 + z₁ + z₂ )³, とする、また ω = ⁻¹⁺

√−3

2 である。

この公式で p = 1 _{の場合は、小池健二氏}(_{山梨大教育})_{と志賀弘典氏}(_千葉 大理) _{により発見された。}

Theorem 7 2_変数 F_D に対して、以下が成立する (z₁z₂)

1−p 2

µz₁ + z₂ 2

¶p

F_D

µ3 + p

4 , 1 + p

4 , 1 + p

4 , 3 + 3p

4 ; 1 − z₁²,1 − z₂²

¶

= F_D

Ã

p, 1 + p

4 , 1 + p

4 , 3 + 3p

4 ; 1 − z₁(1 + z₂)

z₁ + z₂ ,1 − z₂(1 + z₁) z₁ + z₂

!

, ここで z = (z₁, z₂) _は (1,1) _{の近傍の元で、}(z₁z₂)

1−p

2 と ^³z1+z₂ ^2´p は (1,1) _{においてともに値} 1 _をとる。

Theorem 8 3_変数 F_D に対して、以下が成立する

µ1+z₁+z₂+z₃ 4

¶₂^p

F_D(p

4, p+2

12 , p+2

12 , p+2

12 , p+2

3 ; 1−z₁²,1−z₂²,1−z₃²)

= F_D(p

4, p + 2

12 , p + 2

12 , p + 2

12 , p + 5

6 ;z₁⁰ , z₂⁰ , z₃⁰ ), ここで (z₁, z₂, z₃) _は (1,1,1) _{の近傍の元で、}(^1+z1+z₄ ^2+z3)^p/2 _は(1,1,1) において 値 1 _{をとるとし、}

z₁⁰ = ( 1 − z₁ − z₂ + z₃

1 + z₁ + z₂ + z₃)² = 1 − 4(1 + z₃)(z₁ + z₂) (1 + z₁ + z₂ + z₃)², z₂⁰ = ( 1 − z₁ + z₂ − z₃

1 + z₁ + z₂ + z₃)² = 1 − 4(1 + z₂)(z₁ + z₃) (1 + z₁ + z₂ + z₃)², z₃⁰ = ( 1 + z₁ − z₂ − z₃

1 + z₁ + z₂ + z₃)² = 1 − 4(1 + z₁)(z₂ + z₃) (1 + z₁ + z₂ + z₃)² とする。

Theorems 6,7,8 は、微分方程式を計算することで証明できる。

8. 多項平均反復の共通極限

m₁, m₂, m₃ を以下で定め、m = (m₁, m₂, m₃) _とする。

m₁(x₁, x₂, x₃) = x₁ + x₂ + x₃

3 ,

m₂(x₁, x₂, x₃) = ³

q

m₁(x₁, x₂, x₃)³ − `₂(x₁, x₂, x₃)³, m₃(x₁, x₂, x₃) = ³

q

m₁(x₁, x₂, x₃)³ − `₃(x₁, x₂, x₃)³,

ここで `<sub>2</sub>(x) = <sup>x1+ωx</sup><sub>3</sub><sup>2+ω2x3</sup>, `₃(x) = ^x1+ω2x₃^2+ωx3 _とする。a > b >

c > 0 _{に対して、３重数列} (a_n, b_n, c_n) _を mⁿ(a, b, c) _{で定める。}

Theorem 9 (Koike-Shiga) _３重数列 {a_n},{b_n},{c_n} ^{は収束し、共} 通極限m^∞_∗ (a, b, c) _{をもつ。それは２変数} F_D で下記のように表示できる。

m^∞_∗ (a, b, c) = a F_D(¹₃, ¹₃, ¹₃,1; 1 − (^b

a)³,1 − (^c

a)³).

３種類の３項平均 m₁, m₂, m_{3 を以下のように定め、}m = (m₁, m₂, m₃) とする。

m₁(x₁, x₂, x₃) =

√x₁(√x₂+√x₃)

2 ,

m₂(x₁, x₂, x₃) =

√x₂(√x₃+√x₁)

2 ,

m₃(x₁, x₂, x₃) =

√x₃(√x₁+√x₂)

2 .

a > b > c > 0 _{に対して、３重数列} (a_n, b_n, c_n) _を mⁿ(a, b, c) _{で定める。}

Theorem 10 _３重数列 {a_n},{b_n},{c_n} ^{は収束し、共通極限}m^∞_∗ (a, b, c) をもつ。それは２変数 F_D で下記のように表示できる。

m^∞_∗ (a, b, c) = a

F_D(1, ¹₂, ¹₂, ³₂; 1 − _a^b,1 − _a^c). Maple _{による検証}

４種の４項平均 m₁, . . . , m_{4 を以下で定め、}m = (m₁, . . . , m₄) _とする。

m₁(x) = x₁ + x₂ + x₃ + x₄

4 , m₂(x) =

q

(x₁ + x₄)(x₂ + x₃)

2 ,

m₃(x) =

q

(x₁ + x₃)(x₂ + x₄)

2 , m₄(x) =

q

(x₁ + x₂)(x₃ + x₄)

2 .

a > b > c > d > 0 _{に対して、４重数列} (a_n, b_n, c_n, d_n) _をmⁿ(a, b, c, d) で定める。

Theorem 11 _４重数列 {a_n},{b_n},{c_n},{d_n} は収束し、それらは共通 極限m^∞_∗ (a, b, c, d) をもつ。それは３変数 F_D で下記のように表示できる。

m^∞_∗ (a, b, c, d) = a F_D(¹₄, ¹₄, ¹₄, ¹₄,1; 1 − (^b

a)²,1 − (^c

a)²,1 − (^d

a)²)². Maple _{による検証}

Remark 2 1876_年に C.W. Borchardt は下記の４種平均で得られる４ 重数列を考察している。

m₁(x) = x₁ + x₂ + x₃ + x₄

4 , m₂(x) =

√x₁x₄ + √x₂x₃

2 ,

m₃(x) =

√x₁x₃ + √x₂x₄

2 , m₄(x) =

√x₁x₂ + √x₃x₄

2 .

これらの平均はテータ関数の公式から自然と導かれるものである。

References

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