Restoration and extrapolation of band-limited signals

PAPER

Restoration and extrapolation of band-limited signals

Framework for Visualization of Invisible Strategic Logic

K. Takahashi T. Matsuzaki G. Hirano T. Kaida M. Fujio S. Kanemitsu')

概 要:[17],[6]で は,帯 域 制 限信 号復 元 を シ ャ ノ ン の サ ン プ リン グ 定 理 に基 づ い て議 論 した が,そ の 成 り立 っ 所 以 ま で は 述 べ な か っ た 。 本 論 文 で は,殆 ど至 る とこ ろ フ ー リエ 逆 変 換 を 与 え る強 力 な カ ー ル ソ ンの 基 本 定 理 か ら始 め, す べ て の値 で の 逆 変 換 を 主 張 す るペ イ リー 一ウ ィー ナ ー 定 理 に 至 る。 ペ イ リー 一ウ ィー ナ ー 定 理 は,関 数 論 的 な意 味 合 い の も の で あ り,整 関数 一 す な わ ち全 平 面 で正 則 な 関 数一 の 制 限 で あ る 関数 に 対 して フ ー リエ 逆 変 換 が す べ て の 点 で な りた っ こ と を主 張 す る。 信 号 復 元 にお い て は,殆 どの信 号 が 指数 関 数 で あ る こ とに鑑 み て こ の制 限 は妥 当 の よ うに思 わ れ る 。 さ らに ベ ル ン シ ュ タ イ ン多 項 式,ベ ル ン シ ュ タイ ン 基 本 関数 の初 歩 も述 べ る。 本 論 文 は,最 後 に 述 べ る1 nterdisciplinary seminars 'work-out ^{iで あ る 。}

Abstract : In our previous reports [17], [6], we discussed restoration of band-limited signals by the Shannon sampling theorem without resorting to the underlying principle. In this paper, we shall discuss Carlson's theorem giving rise to the Fourier inversion a.e. and the Paley-Wiener theorem giving rise to the inversion for all values of the variable. The latter theorem is of rather function-theoretic type and holds true for the L2-restriction of an integral function, i.e. a function which is analytic over the whole plane. This restriction looks rather natural in signal restoration since most of the signals are assumed to be an exponential function. We also discuss some elements of the Bernstein polynomials and Bernstein basic functions. This paper is a work-out of the interdisciplinary seminars whose record is stated at the end.

キ ー ワ ー ド=信 号 復 元,カ ー ル ソ ン の 定 理,ペ イ リー 一ウ ィ ー ナ ー 定 理,ベ ル ン シ ュ タ イ ン 多 項 式,サ ン プ リ ン グ 定 理 Keywords : Restoration of signals, Carlson's theorem, Paley-Wiener theorem, Bernstein polynomials, Sampling theorem

1. Introduction

In this paper we study the restoration and extrapolation of band-limited signals, where band-limitedness is to be introduced below. Sure enough that a signal being a wave, Fourier analysis is to come into play. Fourier transform is one of very few transforms that have inversions. Thus, it can be expected to play a central role. However, in most cases, they are defined by the integrals in the Lebesgue sense and the results hold true for a.a. values of the variable.

In the first place, we study the restoration and extrapolation of band-limited signal functions according to [5], [15], [20], etc. The main part is played by the Shannon sampling theorem, which has been slightly touched in [17, Theorem 9.1] and more fully discussed in [6, Example 12]. Secondlywe study the same problem using the Bernstein polynomials, cf. §3.

We make a review on the notion of Fourier transforms (stated in part in [17, p.68], [6, pp.11-12]).

Let LP (D) denote the (Banach) space of all p-th power integrable functions (in the Lebesgue sense), where D indicates the real line R or an interval I C IR with p-norm

1 fIf(t)IP 11/p

(1.1)IIfI Ip=( 2dt)

and IIfII. = limI If I Ip = sup I f (t) I. For any function f E L1, we defme its Fourier transform

F (co) = f (co)

= 1f°°

(1.2)21[f (t)e-i~tdt

= lim1f

it'f (t)e-`~'t dt

T-,00Znsr

1)近 畿大学産業理工学部 情報学科 教授

time domain -, frequency domain.

If f E LZ, the limit in (1.2) is to be understood in the L2-

norm sense.

The underlying principle that supports both approaches by the sampling and Bernstein polynomials is the Paley-Wiener theorem which reads

Theorem 1.1. An integral L2 function f = At) of exponential type <_ A, A > 0 is of the form

(1.3) f (t) =1J _AF (w)e it dw,

where F = F (co) is the Fourier transform ((1.2)) of f and lies in L2.

For more details on the Paley-Wiener theorem, cf. §2.

The following theorem is fundamental in harmonic analysis.

Theorem 1.2. (Carlson's theorem) Let f E LP (R) for some p E (1, 00) have the Fourier transform F(co) _ f (co). Then the Fourier inversion formula holds true:

1 r°°

1(w)e`t4' dw

2rc_~

(1.4)1 = lirnF

f

(w)ettwdu) T—cowI5r

= f (t)

for almost every (a.e) t E I I.

I.e. frequency domain -- time domain.

Here a. e. (or often a. a = almost all) equality means equality that holds true except for a point set whose Lebesgue measure is 0. We note that this notion is [email protected]

di丘'erent 丘0血 a daily‑1ife 血tetptetation of a.e. E.g.釦 equaliw is tme except for the set of a11 ra廿onals, i.e.

except for a11 nulnbers that are used daily. with 血is 如derstanding, we come to know the limita廿on of 血e eX廿apolation etc.

The disctete analogue ofTheorem 12 teads

1五eorem l.3.(DiscTete catlson'S 血eore皿)ιet f he Periodic qf'perl'od 2π aπd f E ιP(R) jbr so"1e p E_^ (1,伽) withFOUπ'ercoCがicieπts f(π). rheπ the Fourier e叉Pansion holdS 11'ue

a.5)

jbra.e. t E R.

N0訊lif血eSⅡPport(血e domainwhere F(ω)=の Ofthe Foude工廿釦Sf0血 iscon仏inedin {一πΩ,πΩ],血en f E ιP issajdtobeband・Ⅱnlitedwi血highest丑equency πΩ,i.e.血eN8het丘equencyisC互Oppedoff Theorem 12 ((1.4)) then asseπS 小at

PO,

Si宮"al f(り is hαπd・h'抗ited, i.e. its Fourier かαπ遅f0加 f(S) iszerojbr lS1 之 T > 0, theπ f isgiveh 6y

.117‑120]

holds tme f0文 a.a. values of t

On 血e othet h如d,115,(2)] assertS 血e 廿Uth of(1.6)

fot each t E R on acc0山t ofTheoNm l.1. h view of

tMS, sple廿St6Sser containS 血e validity of (1.6) for a11

ValueS 血 the de丘11ition ofhand・1血itedness.

We may " prove" a.6) by the f0110W血g le1皿na 工emma l.1.([6,工e血m 42D rhe eναIuaガ0πψ the Dirichleh'πtegralreads

(1.1の

f(り=んSj(フ(tーテη))

Where

^

a.1D

一^

is the Nyquistsample,

Siη 2πtx t一伽πχ

一^

Provided that φ is c011h'π記Ous atthe ohgh H側ガル'cproqf'ψ'(1.6). subS廿ω廿ng (12) fot F(ω) the le丘 of(1.6), we obta血

(1.12)

is the sinⅡS cardinalisjiιπCh'0π

1.e., f is U111'q1ιeb, dete肌iπed hy itS ν411ιes 6α"1PleSノαt a seq1ιe11Ce qf'eq記i・dおtαπt poiπts, hy 所e Nyquistrate ‑ apaπ

Proofs are given on [17, P.7U and {6, P.12]. Here we give a third he11ristic proof.

ProqlrQflheore"1 1.4.牙'e vieWイ1.1ωαS a d留Crele

C0πνoluti0π

σ* si)(t)

ん*f(゛).

・告

Si(り= sinc (リ

,

(1.8)

On ch如ging 血e order ofhltegation, which is not asSⅡred to hold,血Us the ptoof is heuristic. The i血er i11tegTalis

2Siれ(t一τ)πΩ

Hence by the change ofvariable t 一τ= U,

t一τ

We conclude that

(1.13)

Σ"̲ f(;・)"←('・;司 Σ二̲"f('・;・)・(ヰリ・

Then not血g that si x = 0,χ= kπ, k = 0, si o = 1, We conclude thatthe last expression 血 a.13)is = f(り.

Definition l. Give" twojiι11Ch'0πS f, g, the iπte8ralne町) theS記抗ノ Qf' f(t)g(χ一り oveythewholed0抗αiπ qf' t is Ca11ed their c0πh'πUous nesp dicrιtω Conv01Ⅱ廿on 4πd deπotedhy σ* g)(%).Ξ.g. if' D =(α,b), we de11πe

a.9)

‑LにF(ω)eitωdω

I m 2SiππUΩ

=‑1 f(t‑U)^ du,

2π̲. U Which is (1.6) in view ofl"en血a l.1

We note the appeatance of the S血Us cardinalis 員】nC廿on si(t)血 a.12)below.

The sampling theorem a11Uded to above which is 6mdanlenta1 血 Signa1 廿釦Smission, cf. papoulis [10, PP.55‑52],[20, PP.117‑120], reads

Ih印rem l.4.(S血P1血g 血eorem, shalmon 1949)グthe

0n (1.14)

q *gx%)=ι f(t)g(χ一 t) dt,

b

Σf(れ)g(χ一π).

σ*g)(%) グD (一伽,m),

Ω

(1.15)

χ= 0

q*gxx)

=0

V'the h1πits exist.0:/6, DC五πih'oh 5/jbr a c0πガJIUOUS

C0πν0IU訂'0π

Remark l.1.(i) 1π(1.13), use iS 抗αde ψ the C0抗"1Utαだνe1γ f * g = g *f , which iS πot a pri0π 8記αra"teed, so lhattheproQfiS πot ri80rous as itstαπds (iり rhe πotah'0π issli宮htb,diが'ereπt. T iπ 110,PP.50‑52/,

W iπμ51,α"d Ω iπ PO,PP.117‑12ω

=α

σ* g)(χ)

11

^

f (t)g(%‑ t) dt,

^^

れ=一伽

f (れ)g(χ一π)

[10, .50‑52]

T

[15]

T =πW = 2πΩ.

W

)π,π一π

(Tj

"Σ

覆,

j

云 )()(Af =

?

Af N_ηπ1伽1"Σ︑︑︑

伽

薪

1iN1 t

Ωπ t

Ω

1 1

薪

近畿大学産業理工学部かやのもり 20(2014)

In scientific disciP1血es, there 笹e some empirical threshold π記"1hers which ate used 0丑en Mth 即eat ef丘Ciency, a1壮10ugh 血e reason why such 廿lresholds appe賀 is not 血eoretica11y cleat.

1玉e f0110W血8 theorem ([20, Theotem 52, PP.119・

120D explains why血esamP1血grate皿aybetaken aS 山e 10 訟mples percycle ofthe hi曹hestfreqⅡency Iheorem l.5.侭.eal wotld sampling 血eotem) 1f 所e jiιhctioJl f(t) iS α1抗Ost hαπd・1i机ited with 6αJld・1eπgth

2ΩαπdalmostⅡme‑11m鮠ed with ガ"1e h'形it 2×1

0・恂 j 川'K・,ι川'K'・

theπ f(り Cα門みe recovered to aπy desired acC1ιracy ,0"1 its Sα1?1Pled ναIues at Uπび01711沙一spaced iπtι1ναIS

1厶tl く‑ apart.

a.17)

WbeN A > o and F E ι2(‑A,A). onecan showthat f

iS 釦血tega1 員lnC廿on, i.e. a 61nction wMch is b010molphic over血e whole complex z・plane.1tsatiS丘es the gtoMh condidon

Where

f(リ

12

a.18)

f (π△t)

Remark 1ユ. aπ eχα"1Ple qfa jiιhCガ0h which is hoth

a1挽Ost みaπd‑1i抗ited 4πd α1抗Ost ガ抗e・1i抗ited is the

Gα1ιSsiαπjiι11Cガ0π or its several一ναrl'4hles versi0π

f(t)= e‑゜t',α> 0.

(1.19)

rhis is a deπSiか jiιhch'0π@f the H01ファ1α1 イGα1ιSSI'απノ distrihU訂'0παS we11 αS απα1抗Ost uhl'que eχα"1Ple qfa rapidb, decreasiπgル11Ch0π.1t appears iπ 01ιr 挽odU1αr re1αh'0π the01), as the iπかiπSicjiιπCti0π to the cele6rated Rie版απ11 Zetαゾ記Jlch'0π

rhuS 抗απy research jieldS 4re iπterre1αted iπα hiddeπ Way through the Gα詳Ssiaπ diS11'ibuti0π

SiπCe the eユア0πeπガαljiι11Cti0π抗αy he 所Ought qfas a degeπeratedjb力πげthe召esseljhπCガ0πS,0πe抗αythiπk Qfageπerah乞αti0πげthepreseπtedideas with theBessel jiι11Ch'0π iπStead

Remark 13.1'heorel,11.4 haS απ iπtereS訂'πgh太toly aS 太 deschhed iπ 115/.牙'eshα11State so"1e highh宮hts hガリ1y It 1υas stated ih hiS 1949 Paper l、13/, which had 6eeh Suh抗itted i" 1940,απd he 1ぞル1red to it as a reSⅡ耻 of Comm0Ⅱ knowledge a,1d r4erred to M,quist α11d 牙硯itt4ker l、2U.1t is ther昆f0形 S01πeh柳es Cα11ed 所e Shαπ"oh.牙'hittαえer 所e01'e形 1、11/.1πΠ碕itmker theseries a.1の太 kπOWπαS cardiπ41Series.

(2.2)

1

IR.(t)1<くε, M△%>X,△%<^.ε" 10Ω'

Siπ(2π5Ω(t 一れ厶t)) 2π5Ω(t 一πムリ

If(Z)1Sマ云1 1F(ω)1e、 dω

Ulhete we

血tegalby (2.3)

+ R'(り,

訊ltite z =χ+ iy. Hence den0血g 血e last C, we obta血

If(Z)1 S ceA詫1.

An血te寧址丘lnC廿on f 血atsa廿S丘escon山廿on (23) is said to be of e叉PonenⅡaltype (ot of otder l a l' Hadmnatd). Thus we have

Proposi廿on 2.1.五νel), f Qfthejb1711(2.D おαπ iπtegal jiιπCガ011 Which Sαガ邑fles (23)α11d whose reS1ア1'Cガ0π is iπ

ι2 イるy theP1α"chere1所eore形ノ

Therematkable 征leorem ofpaley・wienet(Theorem 1.1) asseds that 血e converse also holds, which we state

血 amoN detailed f0τ皿

Theorem 2.1.(The paley一叉刃iener theorem) Suppose A απd c are p0肌h e c0πStαπts, that f iS απ iⅡtegral function of e叉PonenⅡaltype, i.e. sah工IS,iπg (23)jbr 411 ναIues qf' Z,απd that

(2円

2. paley‑wiener theorem

In tbiS 鵠C"on we asse血ble basics of 血e paley・wiener theotemaccordingto Rud血[12]. There are two classes of 6mctions analyzed and whatis relevant to us iS 血e one Silnilarto (13). There ate some booband papers telated t0 血iS 血eoNm (cf. e.g.[16, PP3840D.

1乃eπ所ere aistS 4π F E ι2(‑m,m) such 所αt

1 1f(Z呼く伽.

^{一^}

f(Z)=マ巨秀j F(ω)e dω

(2.5)

/br aⅡναIues qf' Z

3. Bernstein polynomials and basic

Bernstein functions

(2.リ

3.1 Time‑1imited polynomialextrapola廿on

If f is an analytiC 員lnction, then 血e partial sums of its TayloT sedeS 血血e domain D of an址yticiw are 血e Sequence ofpolyn0血alS 仏at converge to f,如ifotmly On any compact subset of D . The problem of extrapola廿on relies on the 註)tegrality of the 員111Cdon f, WMch we so suppose 血 What f0ⅡOWS. Then 血e above Statement becomes valid by chang血g D 血to c. The may 611d other polyⅡ0血al P0血t is that ^We

approX血auonsto f as we11. we adoptthe atgument of [5] US血g血e Be血Ste血Polyn0血als. Foragenetaltheoty OfBemsteinpolyn0血als, we refetto [9].

Let be a b知d、1i血ted si即al obseNed on 血e 血teNal [0,1]. Then as wi血山e sa血P1血g 血eorem, we may use 小e 7η+ 1 equa11y spaced samP1血gs of [0,1]

to conSⅡ'uctasequenceofpolyn0血alsofde寧ee S 7π加 the f0110W血g

Iheorem 3.1.ιet f he απ iπte宮raljhπCガ0παπd let gm(り d飢ote the time・1im赴ed si留nals deガ11edhy f(Z)

ω)(

j

A

五

<一

"Σ︑︑︑ ω^ω)(F

j

¹

辰

(3.D

k=0

χ[一挽,机]=χ[一机ノ"](リ

Where iπdicates the

CharacterisliC ノカπCh0π qf the iπterνα1 [一↑π,?π], which ehtails the ガ抗e・h1πited11ess qf the 肌宮παl g仇(り.1heπ g机(t) cohverges to f 0π R απd the c0πνergeπCe is Uπif'or1π 0"α11y co"1Pact set

Furthe加ore,所ejiιπCh0加 g机(t)

*Σ,(ー)暗①"、,^^①,

,π

(32) G机1(ω)

三鴫)Σ芋IWど戸゛゛「

Caπ heusedaSαπαPproxi抗αh0π tolheFouriertr4"遅f0加 qfthe hαπd・1i挽ited 醜宮"al f = f(り.0' f is iπι1, theπ G?π,フ(ω) C0πνerges Uπぴ'01711b,to f

Hete BP(t) are 血e Bernstein basis "1ⅡCU0ⅡS

β・D 暗(幻・()"ヤーわ"、"

the addends forthe BerⅡSteiⅡ PolyⅡomial

and wdt血g η for π一k, By factot血g ^Out

廿a郡f0血(3.9)血to

(3.4)ア,(χ)= CIBP(χ).

k=0

Thespecialcase of cl = f (π) isusua11yusedwMchwe

State

.,",0・Σバ・)醗①

_k=0

(3.5)

=Σf(1×1)t、(1‑ t)"・、.

(3.1の

This abeady giveS 壮le basis for a11 Subsequent C011Sideta廿on.1.e. we put

fk(χ,り= f(%,1一χ,り.

n伽by (3.1の,

九(%,t):=Σ BP (χ)ニ・=・・エーe(1一幻t.

(3.11)

π

%t)ι

ι!'

Wi血 CP =(D,(3.5')tea心

nerefore, what is given is for (註'山Icateの mon0血als tathet than fot b血0血als. Fotmulas (2.4),(2.5),(2.6) are 註ivialvadations of(23):

(2.4)

π=0

Fot a ptoofofTheorem 3.1,血e f0ⅡOwing theotem

OfK釦壮Ovichis used.

Theorem 3.2.0' f iS απ iπtegaljiιπCガ0π,所eh

Ⅱm 万机σ(t),り= f(リ (3.6) _"τ→伽

jbr α11reα1 να1記es qf' t απd the c0πνer宮eπCe iS 記πグ0r抗 0πα11y c0111Pactiπterνα1 [‑R,R] jbra"t R > 0

We

k=0

k=ι

WMcbam0如tsto (2.5)

ん(χ,りe*'

3.2 Bernste血 basis funcaons

In this section, we study the Bemste血 basiS 員mC廿ons (33), WMch are the addends for 血e Bemstein P01抑omials(3.4)with cp beingconst釦ts. TheseC釦be Used fot the signal eX廿apolation. cf.[5]

Ih (3.フ), it is to be 如detstood that 血e b血0加al

Coe伍Cients (π) are o fbt k>π, and a jbrti0π

BI(χ)= o for k >η, which is very 負'equently used t11toughout.

We considet the generat血g 丘lnction of a sli窟htly more genetalnatute

and

1π=0

(xt)k

=^e,

(2.6)

fk(χ,りe‑t

TheotemS 2 and 3 血[14] canbe如i丘ed as

Iheorem 3.3.

(%t)k

=^e一χ

ん(χ,りe伊一1)t

(TheoremS 2,3)

Which 訂Ξχα".ple 2 [5].

Theotem 4 i11 [14] is just the cauchy product.

1卜eoTem 5 in [14] shouldtead Theorem3.4.

(3.9)

f(・,.,り・()0"."、"ー.

れ=k

(TheoremS 5)

^

Proqi:

π=k

Clfk(χ,リ

k=0

^ ^

.・め・Σ4Σ尻⑦π

k=0 π=k 伽れ

・ΣΣ4卵功一・

れ=o k=0

^^

Σ0加,0・・゛、ホフΣ7・・'

ΣC)醗①・C)・'・

k=0

^

13

土b

竿

.Σ

k

"Σ

2

k0一剛 k一一

等

t

近畿大学産業理工学部かやのもり 20(2014)

(3.5)

(χι)ι t机

Expanding 血e le丑・hand side as ・マrΣ累=0「・ and rewd血g it aS Σ胃=。((Dχι)「・ on wd血g 1π+ι=π

血d compar血g the coe伍Cients, we conclude (C0訂ected)

Theorem5

伽れ

*ΣΣ4醗⑳h・

れ=o k=0

Note tbat many of 仏e tesults (TheoremS 12,13 血 [14D are trivialconsequences ofthe we11・known relation

(3.12)

(1)(1)・ C)(,1二')・

Indeed,血 the case oflheoNmS 12,13,

π一k

The 23rd by ptofessor Mitsubiko Fujio (K血ki University)1n廿oduC廿on to ma血ematicalm0中h010部 J如.26, wed.,18:20‑19:20,2013, hn. B03 =ne 85th Mat、. sci. C0110q.

The 24血 by professor s. K如enlitsu Descattes' dteatn: cattesi釦 Ptoducts Dec.15 Wed.,16:30‑18:00, 20B, Rm.1201

14

Σ(.ン畷ω

π一k

・ΣC)・,CI'>ヤ・が・村

C)がΣC、"ンや・が・"・,

^j=0

(3.13)

=%k(Z + 1 一χ)"‑k,

Whichgives TheotemS12, B.

[U E.0. Bdgh釦1, The fast Fourier 住血Sfotm, ptentice・

HaⅡ, New Jersey 1974.

[2] K. chahaborw, S. K如e加tsua11dH. Tsukada, vistas Ofspecia1且lnC杜onS Ⅱ, WOTld sci, New Jersey一工ondon・

S血gapore etc.2009.

B] 1". carlson, on convergence a11d g0訊忙h of partial S血S ofFoudersedes, Acta Ma壮1.116 (1966), B5‑157.

[4] W. J. Donoghue h., DistriみUガ0πS απd Fourier かaπ↓for"1S, Acade血C ptess,NewYotk・工ondon,1969 [5] ch. R. Giardi11a, Ba11d・1註血ted signaleX住叩olationby truncated Bemstein p01抑0加als, J. Ma杜1. Anal. APPI.

104 (1984).264‑273.

[6] G. H丘ano, K. TakahasM, T. Kaida, S. Ka11e加tsu and T. MatS叱aM,1"e即tm)adon of 血e use of f如Cy tools, Kay如0血0丘 16 (2012),8‑14

17] R. H如t, on 壮le convergence of F011rier sedes, Orthog0πα14PaπSI'0πS απd tha'r c0πh'πUOUS απα10宮Ues Proc. C0弓1:,Ξdwardsvi11e,Ⅲ, catbondale 111., SOU血em

11血ois univ. ptesS 1968.235‑255.

[8] S. Ka11e血tsu and H. Tsukada, vistas of special 6mC壮ons,wotldsci,NewJersey・1,ondon・S血gaporeetc.

2007

[9] G. G.工otentz, Bemste血 P01沌0血als, Amer. Ma血.

SOC., ptovidenceR.1.,2012.

[1田 A. papoulis, The Foutierintegalandits applica廿0加, MC.aw、HiⅡ,1962

[1U D.ι. Rude血an and w. Bialek, seeing beyond 血e Nyquistli血t,

n2] W. Rudin, Real and compleX 血alysis, MacGta訊1・

Hi11, New Yotk etc.1986.

[13] CI. sh帥non, comn1血ica廿on 血血e ptesence of noise, proc.凪E 37 (1949),10‑21.

[14] Y. simsek, F血Ctional equationS 丑'om 8eneradng 6mcuons: a novelapproachto deriV血g idendⅡes fot 山e Bemstei11basiS 員lnC廿ons, prepr血t.

[15] W. sple廿St6Sser, some aspects ofthe reconS壮'UC廿on Ofsalnpled signa1 負lnC廿ons,126‑142.

[16] T, Takada,血廿oduC廿on t0 血e 血e0四 of schW地 diS廿ibU廿on, Nibon・hyoton・sha, Toky01985.

[1刀 K. Tak血asM, G. H丘ano, T. Kaida, S. K如e血tsu, H. Tsukada 釦d T. Matsuzaki, Record ofthe second 釦d the third 血terdisciplinary seD血ars, Kayan0血od 14 (2011),64‑72.

[18] K. Tak血ashi, G. H廿ano, T. Kaida, S. K釦e血tsu

and T. Matsuzaki on 1血eat recuttences and 血e註

applica廿ons, Kay釦omo" 15 @0ID, B・20.

[19] K. Takahashi, G. H丘血0, T. Kaida, S. Kanemitsu and T. MatsuzaM, The co01'n Tacky al‑KhW巨rizmi, Kayanomod 17 (2012),17‑22.

[20] H. J. weaver, Applications of disctete and Con血UOUS Fourier 廿釦Sfotms, wiley, New York etc.

1983

[2U E. T. W11i廿aker, on 壮le 61nctions wbich ate represented by the exP釦Sions of血e intelpola廿ontheoty, Proc. Royalsoc. E血burgb 35 (1915),181‑194.

Record of杜le conducted sen血ats

The 15th sem. was org如ized on J如.27,17:20・

18:30,1'og House Mth liale result

The 16小 by profヒSsot s. Kane血tsu: what ate you to le血1血 the 如iv.to compete 血e world?

Oct.27血, sat.11:00‑11:302012 Rm. B05

The 17th by ptofessor Yong sun, ASS. prof. at KIT:

How are you to go onto make your careetS11CcesS611?

Oct.27血, sat.11:00‑12:30 at 工0宮 House

The 18血 by professor Tatsuro Miyasato, ex・

PNsidentofKIT: whatshouldbe 血ehighereduca廿on i11 JaP如如dwhatyou ateto leam intheU11iv?

Oct.27血, sat.14:00‑15:30 kn. B05

The 19血byprofessorwh血el,i(pe血 State) Novel applica廿ons ofnumbe1血eoly

NOV.28, wed. B:20‑14:50 Rnl.1210

The 20血 by professor v. Kovalev (MGU) aみ iπitio modelin今 of physico‑che血Cal ptocesseS 血d 血atedals Prope此ies, Dec.19, wed.13:20‑14:50, kn.1210

The 21Stby professor s. Kane加tsu some 出reshold

numbers in sci. and tech11. a11d discussion on 員lrther

Seminars, Apt.24, wed.2013, kn. B03

The 22nd by 入h. G.1Shida (KyushU 血St. TeC1血.) Proposal of a me出od fot identi丘Ca廿on of neNork Systems uS血g m鯉・plus algebta, May.29, wed.,18:20・

19:20,20B, Rln.1303

References

)χf

)

れk

(

k

写

te