JAXA Repository AIREX: スカラー保存則の保存型差分近似の数値粘性とエントロピー条件適合性

(1)

宇宙航空研究開発機構研究開発報告

JAXA Research and Development Report

スカラー保存則の保存型差分近似の数値粘性と

エントロピー条件適合性

Entropy consistency of difference approximation of scalar conservation laws

相曽秀昭

Hideaki AISO

2017年3月

宇宙航空研究開発機構

Japan Aerospace Exploration Agency

(2)

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∗

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Entropy consistency of difference approximation of scalar conservation laws

by

Hideaki AISO

∗1

ABSTRACT

We are concerned with difference approximation of scalar conservation laws. The convergence of approxi-mate solution obtained by difference approximation is one of the main interests in the theory of difference approximation. We discuss the range of numerical viscosity coefficients that arrows the convergence to the

entropy solution in the case of 3-stencil diﬀerence scheme in conservation form. The main theorem is one of the most optimal results of this kind of discussion. The aim of report is to explain the main theorem and related things from the viewpoint of numerical computation.

Keywords: Scalar Conservation Law, Diﬀerence Approximation, Consistency, Numerical Viscosity, En-tropy Condition,

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doi: 10.20637/JAXA-RR-16-013/0001

*

平成28年12月7日受付（Received December 7, 2016）

*1

航空技術部門数値解析技術研究ユニット

（Numerical Simulation Research Unit/Aeronautical Tracking Technology Group）

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(3)

1

別の言い方をすればTaylor 展開による誤差評価が有効な部分

2

厳密には弱解に収束する収束部分列の存在

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(4)

2 εΧϥʔอଘଇͷղ

3

f(u) = u2 (u2

－ 1)のような厳密凸でないもの場合、線形退化した波である接触不連続(圧縮性Euler方程式の接触不

連続のようなものと考えてよい)が発生し、真性非線形な波ばかりではなくなるため議論が複雑になる。

4

実数直線上の点集合Aが集積しないとは、Aが集積点を有しないことだが、別の言い方では任意の有限区間[a, b]内の

Aの点の個数は有限、とも言える。

5

解の値をuを微小に変動させた場合にその変動が伝わる速さが特性速度である、という解釈もある。

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-ڃ(1֊ඍ෼f′_͕࿈ଓ₎_{Ͱݫີತɺଈͪ}_f′′ _> ₀_ΛԾఆ͢Δ3

ɻॳظ஋u0ʹ͍ͭͯ͸༗ք ͔ͭ༗քมಈ͕௨ৗͷԾఆͷҰͭͰ͋Δ͕ɺ͜͜Ͱ͸਺஋ܭࢉʹ޲͚ͯͷ४උͳͷͰ۠෼తʹ׈Β͔Ͱ͋Δ͜ͱ ΋Ծఆ͢Δɻଈͪɺu0͕׈Β͔Ͱͳ͍఺ͷू߹͸ूੵ͠ͳ͍఺ू߹4_·ͨɺղ

u= u(x, t)ʹ͍ͭͯ΋༗ք͔ͭ ༗քมಈͷൣғͰߟ͑Δ͜ͱͱ͢Δ͕ɺॳظ஋ͷԾఆ͔ΒtΛ೚ҙͷ࣌ࠁT Λݻఆͨ͠u(x, T)Λxͷؔ਺ͱݟ ၏ͨ͠৔߹ʹ͸۠෼త׈Β͔Ͱ͋Δͱͯ͠Α͍ɻ

ۭؒ1࣍ݩͷඇઢܗεΧϥʔอଘଇͷղͷڍಈɾੑ࣭ͷओͳ΋ͷͱͯ͠ɺಛੑۂઢɺ׈Β͔ͳॳظ஋Ͱͷղͷ ࿈ଓੑͷ૕ࣦɺऑղɺRankine-Hugoniotͷ৚݅ɺিܸ೾ɺ๲ு೾ɺΤϯτϩϐʔ৚݅ͱͦΕΛຬͨ͢ऑղʹͭ ͍ͯઆ໌͢Δɻ

ಛੑۂઢ(characteristic)͸x, t-൒ฏ໘{(x, t)| − ∞< x <∞,0≤t <∞}಺Ͱղu=u(x, t)͕׈Β͔ͳྖ ҬͰ

dx dt =f

′_{(u(x, t))} ₍₂₎

ਤ1: ಛੑۂઢ Λຬͨ͢ۂઢx=x(t)Ͱ͋Δɻ(ਤ1ࢀর)ಛੑۂઢ͸ແ਺ʹ͋Δɻ

·࣮ͨࡍʹ͸྆ଆʹແݶʹ৳ͼΔͱ͸ݶΒͣɺॳظ஋໰୊(1)Ͱ͸ ย୺·ͨ͸྆୺Λ༗͢Δɻ

ఆ ཧ1. ॳظ஋໰୊(1)ͷಛੑۂઢ͸ਅͬ௚͙Ͱ͋Δɻ

ূ໌ɿut+f(u)x= 0Ͱղu͕׈Β͔Ͱ͋Ε͹

ut+f′_(u)_·_ux_{= 0} ₍₃₎

ͳͷͰɺ͋Δಛੑۂઢx = x(t)্Ͱͷu = u(x, t)ͷ஋u(x(t), t) ͷมԽΛௐ΂ΔͨΊtͰඍ෼͢Ε͹

du(x(t), t)

dt =

∂u ∂x·

dx dt +

∂u

∂t =ux·f

′_{(u(x, t)) +}_ut_{= 0} ₍₄₎

ͱͳΔͷͰɺͦͷಛੑۂઢ্Ͱuͷ஋͸ෆมͰఆٛࣜ(2)΋dx

dt = (ఆ਺)ͱͳΔɻଈͪಛੑۂઢ͸ਅͬ௚͙(֤ ఺Ͱہॴతʹ͸௚ઢ)Ͱ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δɻ(ఆཧ1ͷূ໌ऴ)

ಛੑۂઢͷ܏͖Ͱ͋Δf′_(u)_{ͷ஋͸ಛੑ଎౓}_{(characteristic speed)}_{ͱ΋ݺ͹ΕΔɻղͷ஋͕}_u_{Ͱ͋Δ͍͏৘} ใ͕f′_(u)_{ͷ଎͞Ͱ఻ΘΔͱ͍͏Α͏ʹ΋ߟ͑ΒΕΔ͔ΒͰ͋Δ}5

ɻ

u͕ଳঢ়ྖҬ{(x, t)| − ∞< x <∞,0≤t < M}Ͱ׈Β͔Ͱ͋Ε͹ɺuͷॳظ஋͕༩͑ΒΕ͍ͯΔx্࣠શ ͯͷ఺(X,0)͔Βग़Δಛੑۂઢ

CX :x=f′(u0(X))·t+X,0≤t < M

͸Ͳͷ2ͭ΋ޓ͍ʹަΘΔ͜ͱ͸ͳ͍ɻٯʹ͜ͷΑ͏ͳແ਺ͷಛੑۂઢ͕Ͳͷ2ຊ΋ޓ͍ʹަΘΒͣʹଳঢ়ྖҬ {(x, t)| − ∞< x <∞,0≤t < M}Λ෴͍ਚ͘͢ͷͰ͋Ε͹ɺಛੑۂઢͷू·Γ{CX}−∞<X <∞Λ௨ͯ͡ղΛ ༩͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖ɺྖҬ಺ͷ೚ҙͷ఺(x, t)Ͱͷuͷ஋u(x, t)͸

u0(x−f′_{(u(x, t))}_·_t,_{0) =}_{u(x, t)} ₍₅₎

ͷΑ͏ͳݫີತͰͳ͍΋ͷ৔߹ɺઢܗୀԽͨ͠೾Ͱ͋Δ઀৮ෆ࿈ଓ ѹॖੑ ํఔࣜͷ઀৮ෆ࿈ଓͷΑ͏ͳ΋ͷ

ͱߟ͑ͯΑ͍ ͕ൃੜ͠ɺਅੑඇઢܗͳ೾͹͔ΓͰ͸ͳ͘ͳΔͨΊٞ࿦͕ෳࡶʹͳΔɻ

࣮਺௚ઢ্ͷ఺ू߹ ͕ूੵ͠ͳ͍ͱ͸ɺ ͕ूੵ఺Λ༗͠ͳ͍͜ͱ͕ͩɺผͷݴ͍ํͰ͸೚ҙͷ༗ݶ۠ؒ ಺ͷ ͷ఺ͷݸ਺͸

༗ݶɺͱ΋ݴ͑Δɻ

ղͷ஋Λ Λඍখʹมಈͤͨ͞৔߹ʹͦͷมಈ͕఻ΘΔ଎͕͞ಛੑ଎౓Ͱ͋Δɺͱ͍͏ղऍ΋͋Δɻ ͜͜Ͱ͸ɺ࣍ͷ ࣍ݩ্ۭؒͷඇઢܗεΧϥʔอଘଇͷॳظ஋໰୊Λѻ͏ɻ

ະ஌ؔ਺ ͸ۭؒͱ࣌ؒͷؔ਺Ͱ ͸ۭؒ࠲ඪɺ ͸࣌ࠁ ࣌ؒ࠲ඪ Ͱ͋Δɻ Λྲྀଋؔ਺ ͱݺͿɻඇઢܗ͕ҰൠతͰઢܗ͕ಛघͰ͋Δͱͯ͠ઢܗͷ৔߹ΛؚΉߟ͑ํ΋͋Δ͕ɺ͜͜Ͱ͸ ͸ ඇઢܗͱ͠ɺߋʹ ڃ ֊ඍ෼ ͕࿈ଓ Ͱݫີತɺଈͪ ΛԾఆ͢Δ ɻॳظ஋ ʹ͍ͭͯ͸༗ք ͔ͭ༗քมಈ͕௨ৗͷԾఆͷҰͭͰ͋Δ͕ɺ͜͜Ͱ͸਺஋ܭࢉʹ޲͚ͯͷ४උͳͷͰ۠෼తʹ׈Β͔Ͱ͋Δ͜ͱ ΋Ծఆ͢Δɻଈͪɺ ͕׈Β͔Ͱͳ͍఺ͷू߹͸ूੵ͠ͳ͍఺ू߹ ·ͨɺղ ʹ͍ͭͯ΋༗ք͔ͭ ༗քมಈͷൣғͰߟ͑Δ͜ͱͱ͢Δ͕ɺॳظ஋ͷԾఆ͔Β Λ೚ҙͷ࣌ࠁ Λݻఆͨ͠ Λ ͷؔ਺ͱݟ ၏ͨ͠৔߹ʹ͸۠෼త׈Β͔Ͱ͋Δͱͯ͠Α͍ɻ

ۭؒ ࣍ݩͷඇઢܗεΧϥʔอଘଇͷղͷڍಈɾੑ࣭ͷओͳ΋ͷͱͯ͠ɺಛੑۂઢɺ׈Β͔ͳॳظ஋Ͱͷղͷ ࿈ଓੑͷ૕ࣦɺऑղɺ ͷ৚݅ɺিܸ೾ɺ๲ு೾ɺΤϯτϩϐʔ৚݅ͱͦΕΛຬͨ͢ऑղʹͭ ͍ͯઆ໌͢Δɻ

ಛੑۂઢ ͸ ൒ฏ໘ ಺Ͱղ ͕׈Β͔ͳྖ

ҬͰ

ਤ ಛੑۂઢ Λຬͨ͢ۂઢ Ͱ͋Δɻ ਤ ࢀর ಛੑۂઢ͸ແ਺ʹ͋Δɻ

·࣮ͨࡍʹ͸྆ଆʹແݶʹ৳ͼΔͱ͸ݶΒͣɺॳظ஋໰୊ Ͱ͸ ย୺·ͨ͸྆୺Λ༗͢Δɻ

ఆ ཧ ॳظ஋໰୊ ͷಛੑۂઢ͸ਅͬ௚͙Ͱ͋Δɻ

ূ໌ɿ Ͱղ ͕׈Β͔Ͱ͋Ε͹

ͳͷͰɺ͋Δಛੑۂઢ ্Ͱͷ ͷ஋

ͷมԽΛௐ΂ΔͨΊ Ͱඍ෼͢Ε͹

ͱͳΔͷͰɺͦͷಛੑۂઢ্Ͱ ͷ஋͸ෆมͰఆٛࣜ ΋

dt ఆ਺ ͱͳΔɻଈͪಛੑۂઢ͸ਅͬ௚͙ ֤ ఺Ͱہॴతʹ͸௚ઢ)Ͱ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δɻ(ఆཧ1ͷূ໌ऴ)

ಛੑۂઢͷ܏͖Ͱ͋Δ ͷ஋͸ಛੑ଎౓ ͱ΋ݺ͹ΕΔɻղͷ஋͕ Ͱ͋Δ͍͏৘ ใ͕ ͷ଎͞Ͱ఻ΘΔͱ͍͏Α͏ʹ΋ߟ͑ΒΕΔ͔ΒͰ͋Δ ɻ

͕ଳঢ়ྖҬ Ͱ׈Β͔Ͱ͋Ε͹ɺ ͷॳظ஋͕༩͑ΒΕ͍ͯΔ ্࣠શ

ͯͷ఺ ͔Βग़Δಛੑۂઢ

͸Ͳͷ ͭ΋ޓ͍ʹަΘΔ͜ͱ͸ͳ͍ɻٯʹ͜ͷΑ͏ͳແ਺ͷಛੑۂઢ͕Ͳͷ ຊ΋ޓ͍ʹަΘΒͣʹଳঢ়ྖҬ Λ෴͍ਚ͘͢ͷͰ͋Ε͹ɺಛੑۂઢͷू·Γ Λ௨ͯ͡ղΛ ༩͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖ɺྖҬ಺ͷ೚ҙͷ఺ Ͱͷ ͷ஋ ͸

༗ݶɺͱ΋ݴ͑Δɻ

ҬͰ

ͱͳΔͷͰɺͦͷಛੑۂઢ্Ͱuͷ஋͸ෆมͰఆٛࣜ(2)΋dx

dt = (ఆ਺)ͱͳΔɻଈͪಛੑۂઢ͸ਅͬ௚͙(֤ ఺Ͱہॴతʹ͸௚ઢ Ͱ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δɻ ఆཧ ͷূ໌ऴ

༗ݶɺͱ΋ݴ͑Δɻ

ҬͰ

ͱͳΔͷͰɺͦͷಛੑۂઢ্Ͱ ͷ஋͸ෆมͰఆٛࣜ ΋ ఆ਺ ͱͳΔɻଈͪಛੑۂઢ͸ਅͬ௚͙ ֤ ఺Ͱہॴతʹ͸௚ઢ Ͱ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δɻ ఆཧ ͷূ໌ऴ

༗ݶɺͱ΋ݴ͑Δɻ

ղͷ஋Λ Λඍখʹมಈͤͨ͞৔߹ʹͦͷมಈ͕఻ΘΔ଎͕͞ಛੑ଎౓Ͱ͋Δɺͱ͍͏ղऍ΋͋Δɻ

͜͜Ͱ͸ɺ࣍ͷ ࣍ݩ্ۭؒͷඇઢܗεΧϥʔอଘଇͷॳظ஋໰୊Λѻ͏ɻ

ҬͰ

ͱͳΔͷͰɺͦͷಛੑۂઢ্Ͱ ͷ஋͸ෆมͰఆٛࣜ ΋ ఆ਺ ͱͳΔɻଈͪಛੑۂઢ͸ਅͬ௚͙ ֤ ఺Ͱہॴతʹ͸௚ઢ Ͱ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δɻ ఆཧ ͷূ໌ऴ

༗ݶɺͱ΋ݴ͑Δɻ

ղͷ஋Λ Λඍখʹมಈͤͨ͞৔߹ʹͦͷมಈ͕఻ΘΔ଎͕͞ಛੑ଎౓Ͱ͋Δɺͱ͍͏ղऍ΋͋Δɻ

(5)

ਤ ಛੑۂઢͷަࠩ ͳΔํఔࣜΛຬͨ͢஋Ͱ͋Δɻॳظؔ਺ ͕ ͷඇݮগ

ؔ਺Ͱ͋Δͱ͖ɺͦͯͦ͠ͷͱ͖ʹݶͬͯɺॳظ஋໰୊ ͸ภඍ෼ํఔࣜͷ௨ৗͷղ ऑղͱରൺ͠ڧղͱ͍͏ Λ༗͢ Δɻͦͷͱ͖ʹݶΒΕΔཧ༝͸ɺԼͷٞ࿦͕༩͍͑ͯΔɻ

ॳظ஋͕׈Β͔Ͱ͋ͬͯ΋ղ͕࿈ଓੑΛࣦ͏͜ͱ͸ɺ্ͷ ಛੑۂઢͷٞ࿦Λ΋͏গ͠ਐΊΕ͹എཧ๏͔Β༰қʹ෼͔

Δɻͭ·Γɺॳظؔ਺͕ඇݮগؔ਺Ͱͳ͚Ε͹ɺ ͭͷ࣮਺ Λ

ͱͳΔΑ͏ʹͱΕΔɻ શҬͰ׈Β͔ͳղ ͷଘࡏΛԾఆ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺ ͭͷಛੑۂઢ

͸ ͰަΘΔ ɻ ਤ ͔͠͠ɺ ্ͷ೚ҙͷ఺Ͱ ͷ஋͸ҰఆͰ Ͱ͋Γɺ ্Ͱ͸ Ͱ͋Δɻͭ·Γɺͦͷަ఺Ͱ͸ಉҰ఺ʹ͓͍ͯ ͕ ͭͷҟͳΔ஋ΛͱΔ͜ͱʹͳΓໃ६͕ੜ͡ Δɻ Αͬ ͯ શ Ҭ Ͱ ׈ Β ͔ ͳ ղ ͸ ଘ ࡏ ͠ ͳ ͍ɻ ্ ͷ ٞ ࿦ Λ · ͱ Ί Ε ͹

ఆ ཧ ॳظ஋໰୊ ͷॳظ஋ ͕׈Β͔Ͱ͔ͭ ʹ͍ͭͯඇݮগͰ͋Ε͹ɺ ͸

Ͱ׈Β͔ͳղΛ༗͢ΔɻͦΕҎ֎ͷ׈Β͔ͳॳظ஋ͷ৔߹͸ɺແݶେ·Ͱͷશ࣌ࠁʹ͓͚Δ׈Β͔ͳղ͸ ଘࡏ͠ಘͳ͍ɻ ਤ ༗ݶମੵͷڥք͕ෆ࿈ଓʹҰக͢Δ Α͏ͳ৔߹ ऑղ͸ղ͕׈Β͔͞΍࿈ଓੑΛࣦͬͨ৔߹ʹ΋ɺԿΒ͔ͷҙຯͰ ղΛߟ͑ΒΕΔΑ͏ʹఆٛ͞ΕΔɻେࡶ೺ͳݴ͍ํΛ͢Ε͹ɺʮੵ ෼ܗͰද͞ΕΔอଘଇݩདྷͷఆٛʹཱͪ໭ͬͯʯͱ͍͏͜ͱͳͷ ͕ͩɺอଘଇΛߟ͑Δࢼݧମੵͷڥք͕ղͷෆ࿈ଓʹҰக ͢Δ৔ ߹ ਤ ͳͲͦͷݴ͍ํͰ͸ࣗ໌ͱݴ͑ͳ͘ͳΔͷͰɺ࣍ͷݪཧʹ ैͬͯؔ਺͕ʮ ʯͱͳΔ͜ͱΛଊ͑௚͠ɺͦͷࣜΛ෦෼ੵ෼ެ ࣜͷܗࣜతద༻Ͱมܗͨ͠΋ͷͰ͋ΔɻมܗͰಘͨࣜ͸ɺ ʹෆ࿈ ଓ͕͋ͬͯ΋ੵ෼͑͞Ͱ͖Ε͹ղऍՄೳͳ΋ͷʹͳ͍ͬͯΔɻ

ݪཧ ͋ΔྖҬ Ͱ׈Β͔ͳ೚ҙͷؔ਺ ʹ͍ͭͯɺ

͕੒Γཱͯ͹ɺ ͱߟ͑Δɻ

·ͨɺ ͕ແݶྖҬͷ৔߹ɺ ͱ൑໌͢Δલ͸ ͷࠨลੵ ෼ͷଘࡏ͕อূͰ͖ͳ͍ͷͰɺ਺ֶతٞ࿦ͷٕज़తͳ΋ͷͱͯ͠

Λʮ͋Δ༗ݶྖҬ͕͋ͬͯͦͷதͰͷΈ Ͱͳ͍஋ΛͱΔ ͭ·ΓͦͷྖҬͷ֎Ͱ͸Ͳ͜Ͱ΋ ͱͳΔ ʯ΋ͷ ʹݶఆͯ͠΋໰୊ͳ͍ͷͰͦͷΑ͏ʹ͢Δ͜ͱ΋ଟ͍ɻͨͩ͠ɺ͜ͷ༗ݶྖҬ͸ ʹґଘͯ͠ͱΕ͹Α͍ ͭ· Γɺ༗ݶͰ͋Γ͑͢͞Ε͹ ͷ୆ʹԠ͍ͯ͘͡Βେ͖ͳ΋ͷΛͱͬͯ΋Α͍ ΋ͷͰ͋Δ͜ͱʹ஫ҙ͢Δɻ

ॳظ஋໰୊ ͷऑղͷఆٛ͸࣍ͷΑ͏ʹͳΔɻ

࣮ࡍɺަ఺ͷ ࠲ඪ͸ X2−X1

f′(u0(X1))−f′(u0(X2))Ͱ͋Δɻ ͔Β ͸૿Ճؔ਺Ͱ ͱͳΔ͜

ͱʹ΋஫ҙ͢Δɻ

΋͏গ͠ݫີͳݴ͍ํΛ͢Δͱɺʮࢼݧମੵͷڥքͱղ͕࿈ଓͰͳ͍৔ॴͱͷڞ௨෦෼͕҃Δۂઢ෼ʹͳΔʯͱ͍͏͜ͱʹͳΔɻ·ͨɺ ͷ৚݅Λߟྀ͢Ε͹ɺอଘݪཧΛߟ͑Δ༗ݶମੵͷڥք͕িܸ೾ͳͲͷෆ࿈ଓͱॏͳ͍ͬͯͯ΋໰୊͕ͳ͍͜ͱ͕෼͔ Δɻ

਺ֶతʹ͸ʮ ͸ίϯύΫτͳ୆Λ࣋ͭʯͱ͍͏ɻ୆ͱ͸͋Δؔ਺ʹ͍ͭͯͦͷ஋͕ Ͱͳ͍఺ͷू߹͔ͦͷดแ ͦͷू߹ΛؚΉ࠷খ ͷดू߹

ͦͷΑ͏ʹ͠ͳ͍ͱɺ ͕ແݶྖҬͷ৔߹ʹશҬͰʮ ʯͷ৚݅Λ༩͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖ͳ͘ͳΔ

6

実際、交点のt- 座標は　　　　　　である。f

00

> 0からf 0

は増加関数でf

0

(u0(X1)) ¡ f0

(u0(X2)) >0

となることにも注意する。 7

もう少し厳密な言い方をすると、「試験体積の境界と解が連続でない場所との共通部分が或る曲線分になる」というこ

とになる。また、Rankin-Hugoniotの条件を考慮すれば、保存原理を考える有限体積の境界が衝撃波などの不連続と重

なっていても問題がないことが分かる。)

8

数学的には「Áはコンパクトな台を持つ」という。台とはある関数についてその値が0でない点の集合かその閉包(そ

の集合を含む最小の閉集合)

9

そのようにしないと、Dが無限領域の場合に全域で「= 0」の条件を与えることができなくなる。

ਤ2: ಛੑۂઢͷަࠩ ͳΔํఔࣜΛຬͨ͢஋Ͱ͋Δɻॳظؔ਺u0(x)͕xͷඇݮগ

ؔ਺Ͱ͋Δͱ͖ɺͦͯͦ͠ͷͱ͖ʹݶͬͯɺॳظ஋໰୊(2) ͸ภඍ෼ํఔࣜͷ௨ৗͷղ(ऑղͱରൺ͠ڧղͱ͍͏)Λ༗͢ Δɻͦͷͱ͖ʹݶΒΕΔཧ༝͸ɺԼͷٞ࿦͕༩͍͑ͯΔɻ

Δɻͭ·Γɺॳظؔ਺͕ඇݮগؔ਺Ͱͳ͚Ε͹ɺ2ͭͷ࣮਺X1, X2Λ

X1< X2, u0(X1)> u0(X2) (6)

ͱͳΔΑ͏ʹͱΕΔɻt >0શҬͰ׈Β͔ͳղu=u(x, t)ͷଘࡏΛԾఆ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺ2ͭͷಛੑۂઢ

CX1:x=f

′_(u0(X1))_·_t₊_{X1, CX}

2:x=f

′_(u0(X2))_·_t₊_X2

͸t > 0ͰަΘΔ6

ɻ(ਤ2)͔͠͠ɺCX1্ͷ೚ҙͷ఺Ͱuͷ஋͸ҰఆͰu = u0(X1)Ͱ͋ΓɺCX2্Ͱ͸

u = u0(X2)Ͱ͋Δɻͭ·Γɺͦͷަ఺Ͱ͸ಉҰ఺ʹ͓͍ͯu͕2ͭͷҟͳΔ஋ΛͱΔ͜ͱʹͳΓໃ६͕ੜ͡

Δɻ Αͬ ͯt > 0શ Ҭ Ͱ ׈ Β ͔ ͳ ղ ͸ ଘ ࡏ ͠ ͳ ͍ɻ ্ ͷ ٞ ࿦ Λ · ͱ Ί Ε ͹

ఆ ཧ2. ॳظ஋໰୊(2)ͷॳظ஋u0(x)͕׈Β͔Ͱ͔ͭxʹ͍ͭͯඇݮগͰ͋Ε͹ɺ(2)͸−∞< x <∞,0≤

t <∞Ͱ׈Β͔ͳղΛ༗͢ΔɻͦΕҎ֎ͷ׈Β͔ͳॳظ஋ͷ৔߹͸ɺແݶେ·Ͱͷશ࣌ࠁʹ͓͚Δ׈Β͔ͳղ͸

ଘࡏ͠ಘͳ͍ɻ

ਤ3: ༗ݶମੵͷڥք͕ෆ࿈ଓʹҰக͢Δ Α͏ͳ৔߹

ऑղ͸ղ͕׈Β͔͞΍࿈ଓੑΛࣦͬͨ৔߹ʹ΋ɺԿΒ͔ͷҙຯͰ ղΛߟ͑ΒΕΔΑ͏ʹఆٛ͞ΕΔɻେࡶ೺ͳݴ͍ํΛ͢Ε͹ɺʮੵ ෼ܗͰද͞ΕΔอଘଇݩདྷͷఆٛʹཱͪ໭ͬͯʯͱ͍͏͜ͱͳͷ ͕ͩɺอଘଇΛߟ͑Δࢼݧମੵͷڥք͕ղͷෆ࿈ଓʹҰக7_͢Δ৔ ߹(ਤ3)ͳͲͦͷݴ͍ํͰ͸ࣗ໌ͱݴ͑ͳ͘ͳΔͷͰɺ࣍ͷݪཧʹ ैͬͯؔ਺͕ʮ= 0ʯͱͳΔ͜ͱΛଊ͑௚͠ɺͦͷࣜΛ෦෼ੵ෼ެ ࣜͷܗࣜతద༻Ͱมܗͨ͠΋ͷͰ͋ΔɻมܗͰಘͨࣜ͸ɺuʹෆ࿈ ଓ͕͋ͬͯ΋ੵ෼͑͞Ͱ͖Ε͹ղऍՄೳͳ΋ͷʹͳ͍ͬͯΔɻ

ݪཧ1. ͋ΔྖҬDͰ׈Β͔ͳ೚ҙͷؔ਺φʹ͍ͭͯɺ

∫

D

φ·f = 0 (7)

͕੒Γཱͯ͹ɺf = 0ͱߟ͑Δɻ

·ͨɺD͕ແݶྖҬͷ৔߹ɺf = 0ͱ൑໌͢Δલ͸(7)ͷࠨลੵ ෼ͷଘࡏ͕อূͰ͖ͳ͍ͷͰɺ਺ֶతٞ࿦ͷٕज़తͳ΋ͷͱͯ͠φ

Λʮ͋Δ༗ݶྖҬ͕͋ͬͯͦͷதͰͷΈ0Ͱͳ͍஋ΛͱΔ(ͭ·ΓͦͷྖҬͷ֎Ͱ͸Ͳ͜Ͱ΋0ͱͳΔ)8_ʯ΋ͷ ʹݶఆͯ͠΋໰୊ͳ͍ͷͰͦͷΑ͏ʹ͢Δ͜ͱ΋ଟ͍ɻͨͩ͠ɺ͜ͷ༗ݶྖҬ͸φʹґଘͯ͠ͱΕ͹Α͍(ͭ· Γɺ༗ݶͰ͋Γ͑͢͞Ε͹φͷ୆ʹԠ͍ͯ͘͡Βେ͖ͳ΋ͷΛͱͬͯ΋Α͍)9

΋ͷͰ͋Δ͜ͱʹ஫ҙ͢Δɻ

ॳظ஋໰୊(1)ͷऑղͷఆٛ͸࣍ͷΑ͏ʹͳΔɻ

࣮ࡍɺަ఺ͷ ࠲ඪ͸ Ͱ͋Δɻ ͔Β ͸૿Ճؔ਺Ͱ ͱͳΔ͜

ͱʹ΋஫ҙ͢Δɻ

ਤ ಛੑۂઢͷަࠩ ͸ภඍ෼ํఔࣜͷ௨ৗͷղ ऑղͱରൺ͠ڧղͱ͍͏ Λ༗͢

Δɻͦͷͱ͖ʹݶΒΕΔཧ༝͸ɺԼͷٞ࿦͕༩͍͑ͯΔɻ ॳظ஋͕׈Β͔Ͱ͋ͬͯ΋ղ͕࿈ଓੑΛࣦ͏͜ͱ͸ɺ্ͷ ಛੑۂઢͷٞ࿦Λ΋͏গ͠ਐΊΕ͹എཧ๏͔Β༰қʹ෼͔

Ͱ׈Β͔ͳղΛ༗͢ΔɻͦΕҎ֎ͷ׈Β͔ͳॳظ஋ͷ৔߹͸ɺແݶେ·Ͱͷશ࣌ࠁʹ͓͚Δ׈Β͔ͳղ͸ ଘࡏ͠ಘͳ͍ɻ

ਤ3: ༗ݶମੵͷڥք͕ෆ࿈ଓʹҰக͢Δ Α͏ͳ৔߹

ऑղ͸ղ͕׈Β͔͞΍࿈ଓੑΛࣦͬͨ৔߹ʹ΋ɺԿΒ͔ͷҙຯͰ ղΛߟ͑ΒΕΔΑ͏ʹఆٛ͞ΕΔɻେࡶ೺ͳݴ͍ํΛ͢Ε͹ɺʮੵ ෼ܗͰද͞ΕΔอଘଇݩདྷͷఆٛʹཱͪ໭ͬͯʯͱ͍͏͜ͱͳͷ ͕ͩɺอଘଇΛߟ͑Δࢼݧମੵͷڥք͕ղͷෆ࿈ଓʹҰக ͢Δ৔ ߹ ਤ ͳͲͦͷݴ͍ํͰ͸ࣗ໌ͱݴ͑ͳ͘ͳΔͷͰɺ࣍ͷݪཧʹ ैͬͯؔ਺͕ʮ ʯͱͳΔ͜ͱΛଊ͑௚͠ɺͦͷࣜΛ෦෼ੵ෼ެ ࣜͷܗࣜతద༻Ͱมܗͨ͠΋ͷͰ͋ΔɻมܗͰಘͨࣜ͸ɺ ʹෆ࿈ ଓ͕͋ͬͯ΋ੵ෼͑͞Ͱ͖Ε͹ղऍՄೳͳ΋ͷʹͳ͍ͬͯΔɻ

ͱʹ΋஫ҙ͢Δɻ

͸ ͰަΘΔ ɻ ਤ ͔͠͠ɺ ্ͷ೚ҙͷ఺Ͱ ͷ஋͸ҰఆͰ Ͱ͋Γɺ ্Ͱ͸ Ͱ͋Δɻͭ·Γɺͦͷަ఺Ͱ͸ಉҰ఺ʹ͓͍ͯ ͕ ͭͷҟͳΔ஋ΛͱΔ͜ͱʹͳΓໃ६͕ੜ͡ Δɻ Αͬ ͯt > શ Ҭ Ͱ ׈ Β ͔ ͳ ղ ͸ ଘ ࡏ ͠ ͳ ͍ɻ ্ ͷ ٞ ࿦ Λ · ͱ Ί Ε ͹

ͱʹ΋஫ҙ͢Δɻ

͸ ͰަΘΔ ɻ ਤ ͔͠͠ɺ ্ͷ೚ҙͷ఺Ͱ ͷ஋͸ҰఆͰ Ͱ͋Γɺ ্Ͱ͸ Ͱ͋Δɻͭ·Γɺͦͷަ఺Ͱ͸ಉҰ఺ʹ͓͍ͯ ͕ ͭͷҟͳΔ஋ΛͱΔ͜ͱʹͳΓໃ६͕ੜ͡ Δɻ Αͬ ͯt > શ Ҭ Ͱ ׈ Β ͔ ͳ ղ ͸ ଘ ࡏ ͠ ͳ ͍ɻ ্ ͷ ٞ ࿦ Λ · ͱ Ί Ε ͹

ͱʹ΋஫ҙ͢Δɻ

͸ ͰަΘΔ ɻ ਤ ͔͠͠ɺ ্ͷ೚ҙͷ఺Ͱ ͷ஋͸ҰఆͰ Ͱ͋Γɺ ্Ͱ͸ Ͱ͋Δɻͭ·Γɺͦͷަ఺Ͱ͸ಉҰ఺ʹ͓͍ͯ ͕ ͭͷҟͳΔ஋ΛͱΔ͜ͱʹͳΓໃ६͕ੜ͡ Δɻ Αͬ ͯ 0શ Ҭ Ͱ ׈ Β ͔ ͳ ղ ͸ ଘ ࡏ ͠ ͳ ͍ɻ ্ ͷ ٞ ࿦ Λ · ͱ Ί Ε ͹

ͱʹ΋஫ҙ͢Δɻ

全域で滑らかな解は存在しない。上の議論をまとめれば

宇宙航空研究開発機構研究開発報告　JAXA-RR-16-013

4

JAXA Repository AIREX: スカラー保存則の保存型差分近似の数値粘性とエントロピー条件適合性

宇宙航空研究開発機構研究開発報告

JAXA Research and Development Report

スカラー保存則の保存型差分近似の数値粘性と

エントロピー条件適合性

Entropy consistency of difference approximation of scalar conservation laws

相曽 秀昭

Hideaki AISO

2017年3月

宇宙航空研究開発機構

εΧϥʔอଘଇͷอଘܕࠩ෼ۙࣅͷ਺஋೪ੑͱΤϯτϩϐʔ৚݅

ద߹ੑ

∗

૬ી लত

Entropy consistency of difference approximation of scalar conservation laws

by

Hideaki AISO

ABSTRACT

֓ཁ

1

͸͡Ίʹ

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相曽秀昭