Study on Infinite Pure Jump Levy Process under Fuzzy Environment in Asset Pricing
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Huiming ZHANG
2018 7
T h e s t o c ha s t i c p r o c e s s i s a n e s s e nt i a l p a r t o f m o d e r n p r o ba b i l i t y t heor y; i t h a s b e e n w i d e l y u s e d i n f i e l d s s u c h a s p h y s i c s , b i o l o g y, c h e m i s t r y, c o m p u t e r s c i e n c e , c o m m u n i c a t i o n e n g i n e e r i n g , m a n a g e m e n t e n g i n e e r i n g a n d o t h e r s c i e n t i f i c e n g i n e e r i n g f i e l d s . I t h a s p l a y e d a p i v o t a l r o l e i n d e s c r i b i n g r a n d o m p h e n o m e n a w i d e l y u s e d i n v a r i o u s s c i e n t i f i c a n d e n g i n e e r i n g f i e l d s . A m o n g t h o s e s t o c h a s t i c p r o c e s s e s , t h e L e v y p r o c e s s h a s b e e n w i d e l y a n d r a p i d l y e m p l o y e d i n r e c e n t y e a r s , w h i c h h a s v a r i o u s m a t h e m a t i c a l p r o p e r t i e s , s u c h a s i n d e p e n d e n t s t a t i o n a r y i n c r e m e n t s , s t o c h a s t i c c o n t i n u i t y, a n d t h e a b i l i t y t o f i t t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f l e p t o k u r t i c a n d f a t - t a i l e d d i s t r i b u t i o n s . T h e s e p r o p e r t i e s e n a b l e t o c h a r a c t e r i z e f l u c t u a t i o n s i n a s s e t p r i c e s . T h e r e f o r e , t h e L e v y p r o c e s s h a s a t t r a c t e d s p e c i a l a t t e n t i o n i n t h e f i e l d o f a s s e t p r i c i n g . F u r t h er m o r e , a s a n i m p o r t a n t p a r t o f a s s e t p r i c i n g , o p t i o n p r i c i n g i s a c o r e i s s u e i n a s s e t p r i c i n g r e s e a r c h . T h e L e v y p r o c e s s i n c l u d e s b o t h a f i n i t e j u m p p r o c e s s a n d a n i n f i n i t e p u r e -j u m p p r o c e s s . H o w e v e r, t h e f i n i t e j u m p p r o c e s s c o n s i d e r o n l y t h e f i n i t e b i g j u m p s i n m o d e l l i n g t h e a s s e t p r i c e f l u c t u a t i o n s , a n d i t c a n n o t c h a r a c t e r i z e s m a l l , h i g h - f r e q u e n c y j u m p s w e l l . T h e r e f o r e , a m o r e g e n e r a l j u m p p r o c e s s h a s b e e n d e v e l o p e d a s a n i n f i n i t e p u r e -j u m p p r o c e s s . T h e i n f i n i t e p u r e -j u m p p r o c e s s c a n b e c o n s i d e r e d a s u b s t i t u t e f o r t h e f i n i t e j u m p p r o c e s s , a s i t c a n b e t t e r c h a r a c t e r i z e t h e b i g j u m p s a n d h i g h f r e q u e n c y s m a l l j u m p s s i m u l t a n e o u s l y i n t h e a s s e t p r i c e f l u c t u a t i o n s , s u c h a s b i g g e r j u m p s t h a t r e p r e s e n t m a r k e t s h o c k s a n d h i g h - f r e q u e n c y s m a l l e r j u m p s t h a t r e p r e s e n t r e a l - t i m e t r a n s a c t i o n s . S i n c e t h e n , t h e i n f i n i t e p u r e - j u m p p r o c e s s h a s b e e n t h e l a t e s t r e s e a r c h f o c u s a n d h a s b e e n w i d e l y u s e d i n o p t i o n p r i c i n g .
O p t i o n s a r e g e n e r a l l y u s e d a s f i n a n c i a l d e r i v a t i v e s b a s e d o n s t o c k s , a n d p l a y a n i m p o r t a n t p a r t o f f i n a n c i a l a s s e t s . O p t i o n s g i v e t h e i r h o l d e r s t h e r i g h t t o b u y o r s e l l u n d e r l y i n g a s s e t s a t a n a g r e e d - u p o n p r i c e ( i . e . , t h e e x e r c i s e p r i c e ) . T h e y a l s o p r o v i d e g o o d r i s k m a n a g e m e n t a n d c r e a t e v a l u e i n i n v e s t m e n t t r a n s a c t i o n s . H o w e v e r, a f t e r s e v e r a l m a j o r f i n a n c i a l c r i s e s , e s t a b l i s h i n g a m o r e r e a s o n a b l e o p t i o n p r i c i n g m o d e l h a s b e c o m e a n i s s u e o f c o n c e r n f o r b o t h f i n a n c i a l i n s t i t u t i o n s a n d r e g u l a t o r s .
I t i s w o r t h m e n t i o n i n g t h a t t h e r e a l f i n a n c i a l m a r k e t e n v i r o n m e n t i s f u l l o f u n c e r t a i n t i e s t h a t a r e n o t a s i d e a l a s t h e a s s u m p t i o n s i n a t h e o r e t i c a l m o d e l . O n t h e o n e h a n d , u n d e r l y i n g a s s e t y i e l d s a r e n o t n o r m a l l y d i s t r i b u t e d b u t r a t h e r e x h i b i t s k e w e d a n d l e p t o k u r t i c f a t - t a i l e d c h a r a c t e r i s t i c s i n a d d i t i o n t o a s i g n i f i c a n t j u m p p h e n o m e n o n i n a s s e t p r i c e f l u c t u a t i o n s . T h e s e i s s u e s a r e w i d e l y r e c o g n i z e d i n a c a d e m i a . O n t h e o t h e r h a n d , t h e p a r a m e t e r s i n t h e m o d e l a r e t a k e n a s c r i s p v a l u e s , b u t d u e t o m a n y s u b j e c t i v e a n d o b j e c t i v e u n c e r t a i n t y f a c t o r s , s u c h a s i n f o r m a t i o n a s y m m e t r i c , i n d i v i d u a l j u d g e m e n t s , d i f f e r e n t r i s k p r e f e r e n c e s , a n d i n c o m p l e t e i n f o r m a t i o n i n t h e r e a l - l i f e f i n a n c i a l m a r k e t , t h e s e p a r a m e t e r s a r e o f t e n v a g u e a n d c a n n o t b e e x p r e s s e d u s i n g c r i s p v a l u e s ( i . e . , c o - e x i s t u n c e r t a i n t y o f r a n d o m n e s s a n d f u z z i n e s s s i m u l t a n e o u s l y ) . D u e t o t h e n o n - n o r m a l i t y o f r a n d o m v a r i a b l e s a n d t h e j u m p p h e n o m e n o n , t h e i n f i n i t e p u r e - j u m p L e v y p r o c e s s c a n b e t t e r c a p t u r e t h e l e p t o k u r t o s i s a n d f a t - t a i l e d c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e a s s e t y i e l d a n d t h e b i g j u m p s a n d h i g h - f r e q u e n c y s m a l l j u m p s i n a s s e t p r i c e f l u c t u a t i o n s . A t t h e s a m e t i m e , t h e f u z z y s e t t h e o r y i s a p o w e r f u l t o o l t o a d d r e s s u n c e r t a i n t y, a n d v a g u e n e s s o f s o c i a l e n v i r o n m e n t s ; t h u s , b y a p p l y i n g i t t o o p t i o n p r ic i n g m o d e ls w i t h a n i n f i n i t e p u r e -j u m p L e v y p r o c e s s, i t c a n b e a u s e f u l s u p p l e m e n t t o o p t i o n p r i c i n g t h e o r y.
T h e r e f o r e , t o p r i c e o p t i o n s m o r e r a t i o n a l l y, t h i s t h e s i s i n t r o d u c e s t h e f u z z y s e t t h e o r y a n d i n f i n i t e p u r e -j u m p L e v y p r o c e s s i n t o t h e o p t i o n p r i c i n g m o d e l o n t h e b a s i s o f p r e v i o u s s t u d i e s t o f u r t h e r e n h a n c e a n d e n r i c h o p t i o n p r i c i n g t h e o r y. I n a d d i t i o n , t h i s t h e s i s a l s o d i s c u s s e s t h e t h e o r e t i c a l a n d p r a c t i c a l v a l u e o f t h e
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p r o p o s e d m o d e l s t h r o u g h n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s a n d e m p i r i c a l a n a l y s e s . T h e o p t i o n s h a v e m a i n l y t w o s t y l e s t o e x e r c i s e: E u r o p e a n o p t i o n s ( t o b e e x e r c i s e d o n l y a t t h e e x p i r a t i o n d a t e ) a n d A m e r i c a n o pt i o n s ( t o b e e x e r c i s e d b e f o r e o r a t t h e e x p i r a t i o n d a t e ) . T h u s , t h e m a i n c o n t r i b u t i o n s o f t h i s t h e s i s , w h i c h a r e s h o w n i n C h a p t e r 4 a n d C h a p t e r 5 , a r e s u m m a r i z e d b a s e d o n t h e s e t w o a s p e c t s. T h i s t h e s i s c o n s i s t s o f 6 c h a p t e r s .
C h a p t e r 1 i n t r o d u c e s t h e r e s e a r c h b a c k g r o u n d , m o t i v a t i o n , o b j e c t i v e , r e s e a r c h p o s i t i o n , a n d s t r u c t u r e o f t h i s t h e s i s .
C h a p t e r 2 t h o r o u g h l y r e v i e w s t h e a v a i l a b l e l i t e r a t u r e t o e s t a b l i s h t h e p o s i t i o n i n g o f o u r s t u d y, e x a m i n e s r e s e a r c h o n t h e L e v y p r o c e s s a n d f u z z y s e t t h e o r y f o r o p t i o n p r i c i n g an d c o m b i n e s t h e L e v y p r o c e s s a n d f u z z y s e t t h e o r y. We s u m m a r i z e a n d d i s c u s s t h e s e s t r e a m s o f l i t e r a t u r e f r o m t h e t w o p e r s p e c t i v e s o f E u r o p e a n o p t i o n s a n d A m e r i c a n o p t i o n s .
C h a p t e r 3 p r o v i d e s n e c e s s a r y p r e l i m i n a r y d e f i n i t i o n s f o r t h i s t h e s i s , i n c l u d i n g t h e i n f i n i t e p u r e -j u m p L e v y p r o c e s s , t h e B l a c k - S c h o l e s ( B S ) m o d e l , c o m m o n f u z z y v a r i a b l e s , f u z z y r a n d o m v a r i a b l e , t h e e x t e ns i o n p r i n c i p l e a n d c r e d i b i l i t y m e a s u r e s .
I n C h a p t e r 4, f o r t h e E u r o p e a n o p t i o n p r i c i n g p r o b l e m, o n t h e b a s i s o f t h e B l a c k - S c h o l e s ( B S ) m o d e l , w e m a k e u s e o f t h e f u z z y s e t t h e o r y t o c o n s t r u c t a E u r o p e a n o p t i o n p r i c i n g m o d e l b a s e d o n t h e V G ( v a r i a n c e g a m m a ) p r o c e s s ( w h i c h i s o n e o f w i d e l y u s e d i n f i n i t e p u r e -j u m p L e v y p r o c e s s e s ) i n a f u z z y e n v i r o n m e n t , w i t h d r i f t , d i f f u s i o n , a n d j u m p p a r a m e t e r s a s t h e t r a p e z o i d a l f u z z y r a n d o m v a r i a b l e s .
N e x t , a M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n a l g o r i t h m i s u s e d t o c o n d u c t n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s , i n w h i c h t h e i n s t r u m e n t a l v a r i a b l e m e t h o d i s e m p l o y e d t o i m p r o v e t h e c o n v e r g e n c e s p e e d o f t h e M o n t e C a r l o a l g o r i t h m .
T h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n e x p e r i m e n t s , a n d t h e e m p i r i c a l a n a l y s i s w h i c h u s e s Te n c e n t H o l d i n g ( H K . 0 7 0 0 ) a n d i t s s t o c k o p t i o n s d a t a , a r e u s e d t o c o m p a r e t h e p r i c i n g r e s u l t s o f t h e B l a c k - S c h o l e s ( B S ) m o d e l i n a c r i s p e n v i r o n m e n t , t h e v a r i a n c e g a m m a ( V G ) p r o c e s s o p t i o n p r i c i n g m o d e l i n a c r i s p e n v i r o n m e n t , a n d t h e v a r i a n c e g a m m a ( V G ) p r o c e s s o p t i o n p r i c i n g m o d e l i n a f u z z y e n v i r o n m e n t .
T h e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h e f u z z y V G p r o c e s s o p t i o n p r i c i n g m o d e l i s m o r e r e a s o n a b l e ; t h e f u z z y i n t e r v a l c a n c o v e r t h e m a r k e t p r i c e s o f o p t i o n s a n d t h e p r i c e s t h a t o b t a i n e d b y t h e c r i s p V G p r o c e s s o p t i o n p r i c i n g m o d e l , m o r e o v e r, t h e e x p e c t a t i o n s u s i n g f u z z y p r i c i n g a r e c l o s e r t o t h e m a r k e t p r i c e s o f o p t i o n s t h a n t h e p r i c i n g r e s u l t s o b t a i n e d b y t h e c r i s p B S m o d e l , t h e r e s u l t s a r e m o r e c o n s i s t e n t w i t h t h e r e a l - l i f e m a r k e t .
A c c o r d i n g t o t h e e v a l u a t i o n b a s e d o n t h e m e a n a b s o l u t e p e r c e n t a g e e r r o r ( M A P E ) , t h e f u z z y V G p r o c e s s o p t i o n p r i c i n g m o d e l a c h i e v e d 9 6 . 6 8 % a c c u r a c y r a t e w h i c h i s a n i m p r o v e m e n t o f 1 . 3 3 % o v e r t h e c r i s p B S m o d e l . F u r t h e r m o r e , t h e v a r i a n c e o f t h e a c c u r a c y r a t e o f t h e p r o p o s e d f u z z y m o d e l i s 5 6 . 7 7 % o f t h a t o f t h e c r i s p B S m o d e l , i t i s l e s s t h a n t h e c r i s p B S m o d e l ; t h i s s h o w s t h a t t h e p r o p o s e d f u z z y m o d e l i s m o r e s t a b l e t h a n t h e c r i s p B S m o d e l i n t e r m s o f p r i c i n g a c c u r a c y r a t e . T h e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h e f u z z y V G p r o c e s s o p t i o n p r i c i n g m o d e l i s f e a s i b l e a n d i t s p r i c i n g r e s u l t s a r e m o r e a c c u r a t e a n d s t a b l e e v e n w h e n m a n y r e a l i t y u n c e r t a i n t y f a c t o r s a r e i n c l u d e d .
I n a d d i t i o n , t h e c o n v e r g e n c e e f f i c i e n c y o f M o n t e C a r l o a l g o r i t h m c a n b e i m p r o v e d b y 5 0 % v i a t h e i n s t r u m e n t a l v a r i a b l e m e t h o d .
I n C h a p t e r 5, w e f u r t h e r e x t e n d o u r r e s e a r c h o n t h e A m e r i c a n o p t i o n p r i c i n g p r o b l e m . C o m p a r e d w i t h t h e E u r o p e a n o p t i o n , t h e A m e r i c a n o p t i o n a l l o w s e a r l y e x e r c i s e , w h i c h c r e a t e s a n o p t i m a l s t o p p i n g p r o b l e m ; t h u s , t h e i s s u e b e c o m e s m u c h
3
m o r e c o m p l i c a t e d .
Ta ki n g i n t o a c c o u n t t h e t i m e - v a r y i n g , j u m p a n d l e v e r a g e e ff e c t ( i . e . a s y m m e t r i c v o l a t i l i t y ) c h a r a c t e r i s t i c s o f a s s e t p r i c e f l u c t u a t i o n s , w e f i r s t o b t a i n t h e a s s e t r e t u r n r a t e m o d e l t h r o u g h t h e G J R - G A R C H m o d e l ( G l o s t e n , J a g a n n a t h a n a n d R u n d l e - g e n e r a l i z e d a u t o r e g r e s s i v e c o n d i t i o n a l h e t e r o s k e d a s t i c i t y m o d e l ) a n d i n t r o d u c e t h e i n f i n i t e p u r e - j u m p L e v y p r o c e s s i n t o t h e a s s e t r e t u r n r a t e m o d e l t o i m p r o v e t h e m o d e l ’s a c c u r a c y.
T h e n , t o b e m o r e c o n s i s t e n t w i t h r e a l i t y a n d i n c l u d e m o r e u n c e r t a i n t y f a c t o r s , w e i n t e g r a t e t h e m o r e g e n e r a l i z e d p a r a b ol i c f u z z y v a r i a b l e ( w h i c h c a n c o v e r t h e t r i a n g l e a n d t r a p e z o i d f u z z y v a r i a bl e ) t o r e p r e s e n t a s s e t p r i c e v o l a t i l i t y ; m e a n w h i l e , a c c o r d i n g t o t h e A m e r i c a n o p t i o n p r i c i n g t h e o r y, w e d e r i v e t h e o p t i m a l e x e r c i s e b o u n d a r y, t h e c o n t i n u a t i o n h o l d i n g r e g i o n a n d t h e s t o p p i n g h o l d i n g r e g i o n f o r t h e f u z z y A m e r i c a n o p t i o n s . T h e o p t i m a l e x e r c i s e b o u n d a r y c a n p r o v i d e r e a s o n a b l e i n v e s t m e n t d e c i s i o n m a k i n g f o r t h e r i s k m a n a g e r s o r i n v e s t o r s .
N e x t , c o n s i d e r i n g m o r e g e n e r a l s i t u a t i o n s w i t h f u z z y v a r i a b l e s w i t h m i x e d d i s t r i b u t i o n s , w e a p p l y f u z z y s i m u l a t i o n t e c h n o l o g y t o t h e w i d e l y u s e d n u m e r i c a l a l g o r i t h m s ( t h e b i n o m i a l t r e e a l g o r i t h m a n d t h e l e a s t s q u a r e s M o n t e C a r l o a l g o r i t h m ) t o c r e a t e f u z z y p r i c i n g n u m e r i c a l a l g o r i t h m s , s u c h a s t h e f u z z y b i n o m i a l t r e e a l g o r i t h m a n d t h e f u z z y l e a s t s q u a r e s M o n t e C a r l o a l g o r i t h m. I n p a r t i c u l a r, w e a p p l y q u a s i - r a n d o m n u m b e r s t h a t a r e p r o d u c e d b y t h e S o b o l s e q u e n c e , a n d B r o w n i a n b r i d g e m e t h o d , t o i m p r o v e t h e c o n v e r g e n c e s p e e d o f t h e l e a s t s q u a r e s M o n t e C a r l o a l g o r i t h m .
F i n a l l y, b y u s i n g A me r i c a n o p t i o n s d a t a f r o m t h e S t a n d a r d & P o o r ’s 1 0 0 i n d e x , w e e m p i r i c a l l y t e s t o u r f u z z y p r i c i n g m o d e l a n d c o m p a r a t i v e l y a n a l y s e t h e p r i c i n g e f f e c t o f d i ff e r e n t w i d e l y u s e d i n f i n i t e p u r e -j u m p L e v y p r o c e s s e s ( t h e V G ( v a r i a n c e g a m m a p r o c e s s ) , N I G ( n o r m a l i n v e r s e G a u s s i a n p r o c e s s ) a n d C G M Y ( C a r r - G e m a n - M a d a n - Yo r p r o c e s s ) ) u n d e r f u z z y a n d c r i s p e n v i r o n m e n t s w i t h d i ff e r e n t f u z z y n u m e r i c a l a l g o r i t h m s t h a t a r e p r o p o s e d i n t h i s c h a p t e r.
T h e m a i n f i n d i n g s a r e a s f o l l o w s : u n d e r a f u z z y e n v i r o n m e n t , t h e r e s u l t s o f t h e o p t i o n p r i c i n g a r e m o r e a c c u r a t e t h a n t h e r e s u l t s u n d e r a c r i s p e n v i r o n m e n t ; t h e f u z z y l e a s t s q u a r e s M o n t e C a r l o a l g o r i t h m y i e l d s m o r e a c c u r a t e p r i c i n g t h a n t h e f u z z y b i n o m i a l t r e e a l g o r i t h m , a n d t h e p r i c i n g e f f e c t s v i a d i ff e r e n t i n f i n i t e p u r e -j u m p L e v y p r o c e s s e s i n d i c a t e t h a t t h e N I G a n d C G M Y m o d e l s a r e s u p e r i o r t o t h e V G m o d e l .
T h e f u z z y l e a s t s q u a r e s M o n t e C a r l o - N I G - G J R - G A R C H m o d e l h a s t h e b e s t p e r f o r m a n c e ; A c c o r d i n g t o t h e M A P E e v a l u a t i o n , t h e m o d e l a c h i e v e d 8 8 . 3 9 % a c c u r a c y r a t e w h i c h i s b e t t e r i m p r o v e m e n t b y 1 0 . 3 4 % t h a n t h e c r i s p l e a s t s q u a r e s M o n t e C a r l o - N I G - G J R - G A R C H m o d e l . F u r t h e r m o r e , t h e v a r i a n c e o f t h e a c c u r a c y r a t e o f t h e f u z z y l e a s t s q u a r e s M o n t e C a r l o - N I G - G J R - G A R C H m o d e l i s 2 2 . 9 1 % o f t h a t o f t h e c r i s p l e a s t s q u a r e s M o n t e C a r l o - N I G - G J R - G A R C H m o d e l , i t i s l e s s t h a n t h e c r i s p m o d e l ; t h i s s h o w s t h a t t h e p r o p o s e d f u z z y m o d e l i s m o r e s t a b l e t h a n t h e c r i s p m o d e l i n t e r m s o f p r i c i n g a c c u r a c y r a t e . T h e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h e p r o p o s e d f u z z y m o d e l i s e ff e c t i v e a n d i t s p r i c i n g r e s u l t s a r e m o r e a c c u r a t e a n d s t a b l e e v e n w i t h m a n y r e a l i t y u n c e r t a i n t y f a c t o r s i n c l u d e d.
I n a d d i t i o n , t h e c o n v e r g e n c e e ff i c i e n c y o f t h e l e a s t s q u a r e s M o n t e C a r l o a l g o r i t h m c a n b e i m p r o v e d b y 6 0 % v i a t h e S o b o l s e q u e n c e a n d B r o w n i a n b r i d g e m e t h o d.
F i n a l l y, C h a p t e r 6 s u m m a r i z e s t h e t h e s i s a n d d e s c r i b e s f u t u r e w o r k s .
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