ON THE THREB−CCMPARTMENT MODEI、 IN PHARMACOKINETI CS
FROu THE VIEWPOINT OF THE雌）ST−ONE．Pma妊汀ER HYPOTHESIS
Mbtosal）uro MASUYAMA （Rece ived August 28， 1987） Let O r古ノ be the concentration of a drug in blood．カ hours after its ad皿inistration・Then according to the thlree−compartment mode1， we．have 〔1） 0「tノ＝・1卿←λlt）チ・2卿「一λ2tノチ・3・UP「一λ3tノ・砲e「e・ゴ孤dλゴa「e c°nstants f°「ト1・2・3・F・㎝thi・w・ de「iv・adiff…nce
equation 『（2） oの醐一Short ・ 2hノ’子Qんατ柵一Rhcrt）一・・
hbeing a given constant， where we set （3〕 3㌍・‘OP（・・λlh）≠earp「一λ2hノ＋ ・upr一λ3砿 Qh 一・UPトイλ戸λ2川・・鋤一rλ2 ＋・3川・卿卜r恒λヱノhl， Rh＝earp ［一 rλヱ≠λ2＋λ3川・ λユ ≠ λ2≠λ3≠ λi is assumed・ The characteristic equation for this difference equation is given by〔4） z3−・〆・鰭一Rh・一・・
Let the parameters fbr the i−th sUbj ect be indexed by i． We may omit i and／or h， if there is no fear of・ confusion． N㎝，if the almost一㎝e parameter hypothesis is valid in this mode1， pOlnts（Shi． Qhi⊃ Rhi） are almost on one straight．1ine（5） 「Shi一万／・h ＝ 「Qhi一β∂／βバ玩一〇h・ ・
where Ah・Bh・σh・・h ・nd Bh ar・ c・n・t・nt・ind・p・nd・nt・f i・Th・liP・passeS th・・㎎h・fiX・d p・int「Ah・Bh・0∂・nd it・di・e・ti・n i・giv・n by「・h・βh・力・ Replacing h by 2h in the equation （5），we obtain （6） 「S2hi−A2hノ／・2h・＝rQ2hi 一 B2hノ／β2h ＝ R2hi 一（72h・Since there exist algebraic relations． ． ．
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M．MASUYAMA
（・） ・、h’．一・h2−2Qh． Q、h−eh2−2SA・h。…R、h
we ca皿d6rive the fbilowing parametric relations： 2＝R
h． （10） （11〕 曲ich shows that the point one pa「amete「Rhi・ On the other hand， let the characteristic equations of any two different subj ects （k／ and rゴノ be〔・・〕 93−・㎞み脇一㌔一・．rm−・・rゴノ．
舳おs㎝ing that騙≠％・we・bt・血’
（・3） ・h・2 一・hZ≠・一・，
which is the ・quati・n・f t・・．・・㎜・・…t・・H・・ceβゐ／・h ・ndヱ／・カare the s皿 amd the product of these two co㎜on roots respectively： Since the size of salgl）1e at hand ［1］ is too small to verify the various relations given above， we show only the linear relation 〔10） in Fig． 1． In this exa珂ple O（t／ denotes the urinary excretion rate， but not the concentration 加。s ． in blood． V包1ues at t＝6．5 are estlmated by the method of quadratic 血・・rP…ti・n，・・垣9・b・erv・ti・n・at・t−4．5．5．5、・・d 2h「s．・・i。 p。。b。b・y because of this that the fitting is not satisfactory．（・） ・2㌍・h2．β、h・ Bh2−2・h。
Ah ’α力（7h＝β〆・h・Bh 一β碗＝ヱ／・h・ A2h ’・2乃02バβ2〆・2h・B2h一β2hq2h ＝ヱ／・2h・ The vectorial relation ’ （9） ［Ah・ Bh・ Ch］一［β〆・h・ヱ／・h・o］・eh［・h・βh・ヱ］ tells u・th・t th・1ine（5〕i・麺・id・・t with th・fiX・d p・i・t rβh／・h・ヱ／・h・のand its di「ecti㎝i・para11・1 t・th・vect・r［・h・ Bh・ヱ］・ It follows from 〔5〕 and （8〕 that Sh＝・hRh≠βV・h… d Qh 一 BhRh ＋1／・h… ［Sh・Qh・ Rh］＝［触力・ユ／・h・o］’＋ Rh［・h・βh・ヱ］・ r5ハz∂θ｝zi， Rhi／ for the i−th sUbj ect is detemined byREFERENCE
［1］ Masuyama， M． G Ogata， H．〔1987）：Ashort note on the urinary excretion process， TRU Mathemαties， 23−2， 269−272．3 ． lt 3 2 1 0
−4 −3 −2 −1 0． 1％
Q五 1 0 −1 ● −2−4 −3 −2 −1 0 1㌦
Fig．1 The appendix was （；hecked by Dr． S． Kuriki， to whom the author is gratefuユ． DEPAR㎜T OF APPLIED MAT旺MAT工CS SCIENCE UNIVERSITY OF TOKYO276
M．MASUYAMA
鍵 The m−coMI）artment model under the one parameter hypothe『is． Let the difference equation for the m−compartment model be〔A・1） 0「t≠mhノーShlC「t・m一ヱh）・Sh2C「t・m−2hノー…
・r−・ノm−1・hrm．。Crt・hノ・（一・ノ㌦・r・）一・・ L where h is a given constant． Its characteristic equation is given by （・・2〕 aM 一・んノーヱ・5h、・M−2−・・『≠（一・ノm一ヱ％．、）・≠r−・ノ㌦一・・ぬe「etheゴーth「°°t is give晦％＝⑳一λゴんノ・We set Sh・＝ヱ・
Uhder the one−parameter hypothesis the point（A・3〕 「Shヱi・Sh2i・．…・，Sha） 「Z−1・2・…・・ゾ
for the i−th person is incident with a straight line Z， i．e． there are 2m pa「孤ete「s`and・」・which a「e independent°fいuch that
（A・4） 「5カビρ／・1＝「Sh2i 一 A2ノ／・2＝…＝「Sh rm．ヱ）i−Am．∂／・m．1 ＝％ガAm・「・m＝1ノ・ That is to say the line Z is incident with a fixed point （Aヱ3 423 … 」 Am） and i・para11・1 t・afix・d vect・r［・1・・2・…・・m］・ We may omit index， or indices， if there is no fear of misunderstanding． ’We set 囁 、（A・5） 輪R・εゴ＝・ノ≠F♂・ぬe「e㌃Aゴー・協f°「」＝ヱ・2・…・
m−13 and Rm＝ 0・ ． 『 Wg replq・・hi・〔A・1〕by・2h・・nd． f・・m n…n・par・・p・ter・Uith i・d・x 2疏11 be indexell by 2．． ・hen・・ince・・h・v・・2．ゴー玩2・・etti…−t2・…b・… （・・6） r・m−・！一ヱ・・㌶一2−…・r−・m・il） （・m ＋・、tM“1＋・…Smノ ー・M 一・、．、zm−1・・，．、zm−2−…・r−・ノm・、．m・…ce…n・ti……三。・坤・y・y…6・b…nre…i・…f・…ypes・
〔1） ・、バ・・一・・た々・」・、k．ゴ，m．2k、。。。、
（・・） ・、．，m．k戸・・一力陶・ 2、沸．」伽・2k・・
Ifノη is even， then these two equations coincide with each other， when m＝2k． However， if m is odd， the second equation succeeds the first one． R・p・ese・ting 52． k in tw・way・a・aqu・drati・f皿・ti・n・f R＝ Ri・i…〔・・7） ・，ズ・2〆・F2．k 〔・・t・th・…、．m−・。㌦・h・nce・R、．−R2）
一・・一・酢・」…ゴ〃・2、．♂…，k．」・・we obtain three sets of prametric relations． 〔・。〕 ・・一刀㌢・、、．」一・、．k・ 〔・b〕、Σ・一・画・！、k．」・・、k．一ゴ㌧・一・・an・
