Non-Gaussian Non-White入力を受ける線形システムの不規則応答解析

(1)

Architectural Institute of Japan

ArchitecturalInstitute of Japan

S'-t'S:.,,N,2,,,.,,,,,.,,

leT",T.'.Zi,:,`i,S.igU.Cft"A'?}f",d.F,o,",?tr,"c.//g:R,:Fir,e,e,riEg

spt,?,mif#mfix,de,szff:st"-=,f

STOCHASTIC

RESPONSE

ANALYSIS

OF

LINEAR

SYSTEM

'

SUBJECTED

TO

NON--GAUSSIAN

NON-WHITE

NOISES

by

MASANORI

IZUMI*,

LI

ZAIMING**,

HIROSHI

KATUKURA***,

MASAHIKO

KIMURA*'"'

and

KOHE

KISHIMOTO'"g

Members

of

A.

I.

J.

1. Introduction

The

stochastic

response

analysis

of structural models

has

been

widely

studied

and

has

attracted more and more

concerns

among researchers

and

engineers,

It

can

be

stated

that

most of

the

imposed

excitation

noises

for

the

analysis

have,

up

till

now,

been

assumed

to

be

Gaussian

white

CGW

for

short)

processes

or

filtered

GW

ones which,

in

fact,

are essentially

processes

dealing

with

GW

excitation.

To

the

subject

of

dynamic

systems under

GW

or

fiitered

GW

noise

excitation,

there

is

a

large

body

of analytical

approaches

availabie.

Fer

ageneral

review,

refer

to

Reference

1. In

_particular,

the

approachZ)3)

based

on

the

Ito's

equation

appears

to

be

effective

tQ

evaluate

the

higher

(than

second) moment responses of a nonlinear system under

GW

or

filtered

GW

noises.

One

reason

for

the

Gaussian

assumption

is

the

fact

that

a

Gaussian

random

_process

can

be

completely

defined

by

its

rneari value and variance,

However,

in

many

types

of

_practical

situations,

there

exist

non-Gaussian

(NG>

excitation

noises

and

the

effect of

the

non-normality can

not

be

considered

to

be

negligible.

As

amatter of

fact,

recent studies of

first

_passage

_{probabilities4}}

and of

fatigue

damage

ac¢umulation5}

have

shown

that

these

_quantities

can

be

significantly

affected

by

the

non-normality

of

the

random

_process

being

studied.

Such

non-normality

is,

particularly,

likely

to

occur

in

a

dynamic

system

having

large

nen-linearity6i.

More

recently,

Lutes,

L.D,

et al.')

have

investigated

the

non-normality of

the

response of a

linear

system

subjected

to

NG

white excitation noises

through

directly

extending

the

conventional

analysis

of

the

2nd

moment response

to

the

calculation

of

the

4th

moment response.

On

the

other

hand,

the

white assumption

is

mainly

dile

to

the

fact

that

the

response of a

linear

system subjected

to

white noises or

filtered

white noises can

be

considered as a multi-dimensional

Markov

process.

This

facilitates

the

response

analysis

of

the

system

_greatly.

However,

the

white

processes

are not

physically

encountered

in

any engineering

_practice.

Indeed,

many

actual excitation noises can

be

modelled

neither

as

the

white

_precesses

nor as

the

filtered

white

_processes.

FoT

the

above reasons,

the

authors

have

recently studied

the

stochastic response of a

linear

single-degree-of-freedom

_(SDOF)

system subjected

to

non-Gaussian non-white

{NGNW)

noises

in

ReferencesS)9).

This

_papeT

is

･t

specifically

intended

to

pTesent

and complete

the

_previous

workS)9} on

this

subject.

We

wM

develop

a

distinguishing

approach

to

the

analysis

by

introducing

the

multi-dimensional

stochastic

equation

and

by

characterizing

the

$tochastic response

in

terms

of cumulant

(corretation)

functions

instead

of

the

conventional

moment

funetions,

This

enables

us

conveniently

to

construct

the

differential

equations

for

the

cumutant

responses and

therefore

to

study

the

effect of

both

the

non-normality and

the

non-whiteness

of

the

excitation

upon

the

stochastic response.

'

2. Excitation

Process

2.1 Normality

and

Whiteness

A

random

_process

g<

t)

can

be

completely

described

by

its

cumulant

functions

k.(

t,,

-･････,

t.)e.

In

terms

of

le.<

ti,

･･-･･･,

_t.),,

_the

normality and whiteness

of

theprocess

g(

t)

can

be

defined

as

follows.

By

_.normality

we mean

that

the

*

_Professor

_of

_Architecture

Dep.,

Engin.

Factilty,

Tohoku

Univ.,

Sendai,

Japan,

Dr.

#

_Graduate

_Student

of

ATchitectuTe

Dep.,

Engin.

Faculty,

Tohoku

Uniy.,

Sendai

#*

_Ohsaki

_Research

Institute,

Shimizu

Constfuction

Co.

Ltd,

Dr.

of

Engin.

#i'

_Associate

_Researcher

_of

Architeeture

Dep.,

Engin,

Faculty,

Tehoku

Univ.,

Sendat,

{Manuseript

receiyed

Ap[il

10,

1988)

of

Engin.

Japan,

Dr,

of

Engin.

(2)

--NII-Electronic Library Service

process

_e(t)

satisfies

hs(th""",

ts)e=O

S=3,

4,'"

-H'"HH'-HH"""(l

>

Inversely

the

non-normality

describes

that

_e(t)

has

cumulant

functions

which

do

not

satisfy

the

above

condi-tion,

l.e,

.

ks(t""-'.

ts)e40

s=3,

4"''

'''''''H'''"'-''''''(2)

On

the

other

hand,

by

whiteRess we mean

that

g(t)

is

delta･

correlated,

i,e.

ks(ti,--･･,

t.)t=K.(tt)ea(ti-tt)D(t:-t3)･-cr(ti-t.)

s==2,3,･･-

････--････････････････(3)

Otherwise

if

ks<ti"-''',ts)eiKs(ti)ea(ti-te)O(t]-t3)'''a(tt-ts)

then

e(t)

is

said

to

be

NW,

in

other

words,

to

have

IR

terms

of

the

normality and whiteness, structural models can

be

classified

into

:

1)

Gaussian

White

noise

(GW)

3)

Non･Gaussian

2)

Gaussian

Non-White

noise

(GNW)

₄₎

NonGaussian

as

shown

in

Fig,1,

2.2 Replacement

of a

NW

noise

by

a white

_process

For

a

NW

noise

e(t),

the

correlation

time

T,..

can

be

defined

Tber=21JCcoTid".L'T'dh'""'Xts-'hs(t,"""',ts)edts.i

(q

==

t2L

tl,''-''',

_Tls.}==

ts-

tl>

where

K. is

called

the

intensity

functions

and

_given

by

Ks"f:'""'f:Ks(t,,"'"',ts)edTi--""'dTle-i'''''''"''""''''''

When

a

linear

system

is

subjected

to

the

NW

noise

e(

_t)

which can

stochastic response

can

not

be

regarded

rigorously

as

theory

can

which are considerably

_greater

than

_k..

the

stochastic response

the

same

intensity

functions.

As

aconsequence, approximately

by

awhite

_process

e*

following

cumulant

functions

_:

h.(ti,･･････,t.)e=Ksa(ti)

The

concept

of

the

replacement

technique

is

illustrated

in

Fig.2.

a)G

e-[iEi]

to

NW

9-[l!!g]

[i[iN!l]

di

-raW

twe

Fig.

1

noise classification

s=2.3,･-

-･---･･---･----･(4)

non-whiteness.

the

excitation noises

that

can exist

in

the

stochastic response analyses of

White

noise

Non-White(NGW)

noise

(NGNW)

as

sl2･･････-･･･-･･････--････-･･･-･･-･･･--････････--{5)

･----･---･･---･---･･-･----･-(6)

not

be･described

by

a

filtered

white noise,

the

a

Markov

_process

and

therefore

the

mest

_powerful

Markov

not

be

applied

directly

to

the

stochastic

response analysis of

the

system.

HQwever,

for

the

time

intervals

becomes

a

multi-dimensional

Markov

_process

asymptoticallyiO)

and

then

we

can

show

that

the

NW

excitation

e(

t)

essentially acts as a white

_process

e'(

t)

having

we

_propose

herein

_that

_the

NW

excitation

neise

e(t>

be

replaced

(

t)

which

has

the

same

intensity

functions

as

e{

t)

and which,

therefore,

has

the

･-S(Tb.i)･----･----ny---･･---･･---･--(7)

(a)

Fig.2

cencept of replacement of a T

NW

(b}

noise

by

a white

_process

:/

'

(3)

-82-Architectural Institute of Japan

ArchitecturalInstitute ofJapan

As

will

be

shown

in

section

4,

the

replacement

technique

_produces

a very satisfactory

approximation

to

the

response

when

the

correlation

time

_lt,.

of

the

excitation noise

is

small

(much

smaller

than

_1).

Fdr

a

_practical

noise whose correlation

time

Tz..

is

large

(larger

than

1),

it

is

necessary

to

adopt a

_proper

linear

fitter

to

$imulate

it

Although

the

excitation noise

fof

the

chosen

filter

is,

by

and

large,

non-white, we understand

from

the

knowledge

behind

the

replacement

technique

that

it

can

be

expressed

_properly

by

a white noise.

Above

all,

the

concept of

the

replacement

technique

is

of

_great

interest

in

the

sense

that

it

makes

the

application

of

the

Markov

theory

pQssible,

3. Stochastic

Response

In

this

_paper,

the

stochastic iesponse

is

characterized

by

the

cumulant

functiQns.

For

simplicity,

our

main attention

is

_paid

to

the

_2nd

and

4th

cumulant

functiens.

One

should notice

that

all

the

odd-order

cumulant

functions

are equal

to

O

since

the

symmetry

of

the

excitation

is

taken

into

account

herein.

3.1 deTivation

of

the

differential

equations

for

cumulant

response

Without

loss

of

_generality,

consideT a

linear

SDOF

system

having

dirnensionless

equation of motion

x+2hth+x=e(t)･-･----"---･---･･･--･--･---･-･-･---<s)

where

the

overdot means

the

differentiation

with respect

to

time,

h

is

the

damping

ratio

;

and

e(

t)

is

a stationary

NGNW

_process

with

hi

(ti)e=

le3(th

ts,

t3)e=O

""'""'h'"""H''-"''"M'H"'""""''-'H'HH'H'HH---･-･-･･---･-(9a)

ib!(ti,t2)t=R(t]-t2}=R(Ti)--H''-'""'"''""'"'H'''-'v'"''"'"'-･---･-･-･--･--･･---(9b)

k,(tb

t!,

t3,

tOt=

Q(rh

Th

ft)''････''''''''････-････････-･･････-･･-･･-･････-･-･･･････････-･･･････････t･･･････････････-･-･･(gc)

(Tl

=

tl-

t2,

_lt

:=:

tl-

t:,

_n=

tl-

ta)

Applying

the

replacement

technique

described

in

section

2.2,

we can obtain a corresponding white noise

e*{t)

having

R<ri)==Refi(TO'""'"'-""'-'"'--H'"'"-""""--"""-""-""-HHH'H'H'H''H'HH'HH'H'"'""HH'H(10a)

Q(rh

T2,

lt)=

Qocr<Ti)D(lt)O(k)'''''''''''････--･--･--･-･･-･････-･･-･･･････････-･･-･･-･･-･････-･･･････--･-･･--･--･--･-･･-

(lo

b)

where

Ra'=JC:R(TOd:t''''''''-"H'''''--'--''''''''''････-･･････････････････････t･･t････････-･････-･･･････････-･･･････････････････-(loc)

'

Qo=.L:f:.L:Q(q,h,k)dTidT2dts''''''''''''''''''-''-''-'''''''''-'''''''''''"''･･･-･+･--･･----･･-･-･･････････-･(lod)

By

introducing

the

state variable vector

Y

with

_y,=x

and

_y,=th,

(

8 >

can

be

rewritten

into

:

dyt

=y,-･--･--･-･-･･t--･----･-･---･-･-･-･---･-･---･-･･--･-･-･-･(11a)

dt

dyt

umdmt

=g'(t)ne2hyt-yi･----･-･･----･-･---･-･---･･--･-･-･･-･-･-･---･

<n

b)

As

a

result,

since

g'(

t)

is

a white excitation

the

vector

Y

becomes

a

two-dimensional

Markov

_process,

Here

we

introduce

the

two-dimensional

stochastic

(kinetic>

equation

for

Y,

which

describes

ddt

a)

(y,,

yn== -t9.,

aay,

[Kt

{y;,

y:)

a,

(yi,

y2)]

+'ia,;,

_oy?Sy,

[Kw

(yi,

ya)

w(y,,

y,)]

-g,,tl..

oy,aay3,ey.

[Kwit(yh

yz)

a,

(yh

_y,)]

････----･･･--･--･-･･-･････････････-･････････-･･･-･･･････s･････-･･{i2)

+ilttsjS.i!i

'ay,oy95y,ay,

[Ktm

(yi,

yD

tu

(yi,

_y2)]

i-

･･･

where

K.(y)..iim<(Yt-YIS->--･･-･･･-･･･-･･･-･-･･･---･･-･･--･--･----･-･･-･･-･･･-･･-･---･-･･･････････-･･-･･･････････････-･･-･a3)

r-o T

In

the

above

expression,

to(y,,y,)

is

the

joint-probability

density

function

of

_y,

and

_y,

and

<

>

denotes

expectation.

The

stochastic

equation

{12)

can

be

deduced

similarly as

in

one-dimensional stochastic equation which

has

been

described

in

ReferenceiO).

After

substituting

(11)

into

{12),

it

can

be

shown

that

(4)

-83-NII-Electronic Library Service

itt

Q,

Oe'ytu;

-fliR,lae:yco;

+

_aay,

_l(2hy,+y,)

_di-

_aay,

_{y,w)=

aaWt

-･･･-･･･････････-･･･････････････-･･･-･･････････-････-a4)

By

introducing

the

characteristic

function

ip

(s,,

s,;t)

and expressing

(l4)

in

the

domain

of

the

characteristic

function

_i

.we

can obtain

Li,t

Q,st

g`,

¢

;

+}

R,s;

gLip:

+2hs,

,O,ip,

+s,

,a,ip,

-s,

,e,di,

+

e,e,

-=o-･---･-･･-･･-･--･････---･---･(is)

Expanding

the

characteristic

functioR

di(s,,

s,;t)

in

(15>

in

terms

of

the

cumulant

function$

as

follows:

ip

{sr,

s!

;

t)

:=

_exp

[i,

gl

.il.l!,hs(ta,

'")

sa"']

''''"--'"'"'"""''"''''-'h''h'-'''"v--''''"-'･--･'･'(l6)

leads

to

the

identical

equations

about

s,,

si,

s,s,,

s;,

･･･.

By

setting

the

coefficients of

the

identical

equations

to

zero, we

can

obtain

finally

the

following

differential

equations

for

cumulant

responses

k,(yl)==2ic2(yiy!)･･････-･･････････････････････-･･････････-･･････-････-･･･････t･･･t････････t･････････-･････････-･･･-･････(17a)

k,(y:)=R,-4hh,(y;)-2k,(y,y,)･･･････････-･--･･-･･-････-･･･-･･･-･-･･･-･･･････-･･--････････-･･･--･-･････-･･･--･･･07b)

k!(yiy2)=2hh:{yiyt)ffk2(y:}+hz(yl)･-･r･-･-･･････-･･･････････････････････-････････-･･･--･･･････-･････-･･･-････--･･･(17c)

k4(y:)=4le4(y\y2)-"m"-H'H'H"-･---･-･--･-･---･･-･---･･-･-･-･--･---･--･･(lsa)

h(y?,y,)=3h,(y:y:)-2hh,{yly,}-ic,(y:)-･-･･･-･･･････-････-･･････････････････････････-･･････････････-･-････････-･････(lsb)

k4(yly:)ny2k,(yiy:)-4hhe(yiy:)-2k,(ygyD･-･-･･････････････････-････････････-･･･････････････････････････････････(18c)

k,(y,y;)==k,(y;)-3h,{yiy:)-6hh,(y,y:)････････････････････････････････････････････････････-･･･--････-････････････････(lsd)

k4(y;)=Q,-8hk4(yD-4h`(yiy;)･･･-･･････-･･････････-･････････L･･･････-･････ny････-････-･･-･･･-･････-････-･･･-･t･･(lse)

We

may note

that

the

differential

equations

for

the

'2nd

cumulant

responses

(17)

are

exactly

the

same

with

the

so-called

Lyapunov

equation"}

and

that

the

nen-norrnality

of

the

excitation

in

a

linear

system

causes

enly

the

4th

cumulant responses and exerts no

influence

upon

the

2nd

cumulant

fufiction

responses.

Moreover,

we should

mention

here

that

the

introduction

of

the

characteristics

function

to

the

Fokker-Planck

equation

has

found

wide applicationi2)i3Ji`i

to

the

calculation

of

the

2nd

moment

responses

of

various nonlinear systems subjected

to

GW

or

filtered

GW

noises.

For

a

nonstationary

NGNW

noise excitation which can not

be

expressed as a

filtered

white noise either,

the

cumulant

functions

can

be

expressed

by

h!(ti,tz)e"I(ti)R(TO''''"''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''H''''''''"''H''H"''H''H''''''''''''''''''･--･････(l9a)

k4(ti,

t2,

t3,

tD"=B(ti)Q{rt,

T2,

ts)''''''''''･･･････････････-････････-･･-･･-･････････････････-･････-･･･-･･-･･･････

(19b)

In

this

case, we can show sirnilarly

that

the

differential

equations

for

cumuiant

responses

(17)

and

<18)

still

hold

except

that

R,

and

Q,

are replaced

by

I(t,)Ro

and

B(t,)Q,,

respectively.

3.2 curnulant

evaluation

of

the

_products

of

the

response and excitation

The

proper

values of

the

cumulant of

the

_products

of

the

response andi excitation,

i.e.

h:<yie),h2(yte>,k4

(yTyYe')

and

h,<yle*)

are

not

ebvious

from

the

definition,

However,

we can

determine

them

as

follows.

From

the

differential

equations

(11),

we

have

immediateiy

that

dt

L2YiY2

"'""'""'H"'"H'H"H'"hHh'"'----･--･-･--･---･---･--･---･--･---･-･

(2oa)

-

.

-

dy,y,

==:yie'+2hyiy2-yl+y:･･････････-････-･･-･--･･････-･･･--･-･-･･･････--･･-･･･-････-･-･-････---･-････-･･(2oc)

dt

ddYtt

=4yfy,

---･--･･---･--･---"--･----"･･--:･---"H--Ht"-･--･---

(21

a}

-

ddYt;

=4y:e'-8hy;-4y;yi -･---･･----･--･-･-･･･---･･---･----･---･･---･--･･--･---･

(21

e)

These

equations can

be

used

te

derive

the

differential

equations

for

cumulant

responses

by

taking

the

cttmttlant

operation,

that

is

:

,

k(yl)==2k2(yiy2)･･--･･-････-･･･････-･･････-･-･･･････････-･･･････-･･-････-･･･-･･･-･-･･･････-･･･････-･････････---･･･････(22a)

i

E

-

84

NII-Electronic Mbrary /

i

(5)

Architectural Institute of Japan

ArchitecturalInstitute of Japan

h!(yiy2)=h2(y,e')+2hk2{y,yi)-k2(yf)+kt(y:)･･･････････-･････････････････････････････-･････i･･･････････････-･･･(22c)

h4(yD=4h,(y?y2)･･････････････････-･･---･････････････-･･･････-･････-････-･･-･･-･･･････････････････-･･････････････-･-･･･････(23a)

-

k4(y:>=4h4{yge')-8hk4<yl)-4h,(yiy;)-･--･-･･--･--･-･---･--･-･････････-･････-･････-･･-･･･････････-･･-･-･････････････(23e)

Therefore,

comparing

{22)

and

(23)

with

(17)

and

(18)

leads

to

kt(y,e'>=O･---･---･---･-･---･-･-･---･--･-･----･･---･-･-･-･-･-･--(24a)

hz(y!e')=S

Ro

or

=}I{tO

Ro

fornonstationary

6(

t)･･･････-･･････････････････････-･･････････････････-･･････････

(24

b)

h,{y?yrg')=O

(n+m==3,

n)1)･---･･･---･-･--･----･-･--･-･･---･---･-･････-(24c)

h,

(y;e')=tt

Qo

or=

li-B(t,)

Q,

for

nonstationary

e(

t)

･････････････････････････････････････････････････････････-･･

{24

d)

3.3

numerical

illustration

of

the

stochastic

response

In

order

to

investigate

the

non-normality of

the

stochastic responses,

some

examples

have

been

studied

and

the

results

are

illustrated

in

Figs.

3-5

and

Figs.

7-9

for

stationary and nonstationary excitation noises,

Here

T

is

the

dimensionless

time

normalized with

the

natural

_period

2rr

of

the

system.

The

and

the

imposed

intensity

envelepe

function

B(t)

are

_given

in

Table

1

and

Fig.6.

From

the

above

numerical examples, we can obtain

the

following

iesults

in

summary.

When

a

linear

system

is

subjected

to

a

NGNW

noise

excitation

1)

the

smaller

damping

ratio

and

the

larger

intensity

Q,

result

in

the

_greater

non-normality of

the

system.

2)

the

4th

cumulant responses

k,(x`)

and

k,(thO

are,

in

_general,

much

greater

than

k,(x3th)

and

h,{dr'x)

which

in

fact

can

be

considered

to

be

negligible

in

cemparison with

h,<x'}

and

k,(th").

4. Application

aRd

Accuracy

4,1

for

NW

excitation

Consider

excitation noise

e(t)

having

k2(tb

t:}e=exp

(-al

ti-t!F)=exp

(-aerl)

(T=

ti-

t!)-･---･-･･---･---･･･-･--･--･-･-･-

(25

a)

and

therefore

_poweT

spectral

density

Se{w)

==

if:exp

(-aITI)exp

(-

itor)

d:=r.i+qth,)

.

''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''

₍₂₅

b>

When

the

linear

system

(8)

is

subjected

to

the

above noise,

the

exact stationary response of mean squared

'

3

1

2

1 o

T

o

T

O

2

4

6

8

10 O

2

4

6

8

10 Fig.3(a)

cumulant Tesponse

for

case

1 Fig.3(b).

cumulant response

lor

case

1 S

2 4321oO

2

4

6

8 ]O

Fig,4(a)

cumulant response

for

case

Z

T

1 o0

2

4 Fig.4(b)

curnutant

T

6

8

10

response

for

case

2

(6)

---NII-Electronic Library Service

displacement

,-1

ax'2rr

On

the

otherf can cobe

foundi5i

to

be

St(w)dtu=1a'<at+1ffht)

2

1 o

3

2 l

o

5

4

3

2 l

o

.(to:.1)t+4h2tui

hand,

through

applying2ha

the(1+a')'+4(1-h')h'

_present

theory,

ai

0

2 Fig.

5(a)

2

1 o

4cumurant

6response

for8

:O

case

₃

T

D

2Fig.6

4Intensity

6

8 Envelope

B(t)

0

2 Fig.7(a)

4cumulant

6response

for8case

4 to

10

0

2 Fig.8(a)

acumulant

6

8

response

for

case

5IO

T

･･･-･･--･･-･-･･--･-･･････-････････--･･･････････････-･･(26)

can

be

obtained approximately

as

r

o0

2 Fig.5(b)

Tab.le

1 4cumulant

for

parameters

8case

310 Case

h

QeB(t)T

Case1e.o2e.61

t12x

Case2e.o21.01

t12n

Case3O.051.01

t12x'

Case4O.02O.6Fig.6t12x

Case5,O.021.0Fig6t/2w

Case6O.051.0Fig6t12x

1 o

2

1 o

0

2

4 Fig.7(b)

cumlllant

6response

8fot

case

410

0

2

4 Fig.8(b)

cumulant

6response

for8case

5IO

T

l'

(7)

Architectural Institute of Japan

ArchitecturalInstitute ofJapan

2

1

1 o

T

o

T

O

2

4

6

8

10 O

2

4

6 B

10 Fig.9Ca)

cumulant response

fo[

case

6 Fig.9(b)

cumulant iesponse

for

case

6

,,-

1

axff2h."H"-H"-"-""""-HHHHHH"H"HH''""--'"""""'"""'"'--"H''"'"'"'"'m""'"""-'"'(27) where

R,=.L:h,<T)tdT=2res,(o)=g･･-･･･････････････-･････････-･･-･･････････t･････t-････････････-･･････････････-･･･････-･････････(2s)

has

been

utilized.

The

error

committed

in

applying

the

_present

theory

can

be

rneasured with

.ai =a

+a.t2Sg"tl//

li-hil)

h2

=i

f!.2

''''''''''''-''"''''"'''''''''-''"'''''''''''''''''''''''''''"'''''''"'''''''"'''''''(29}

As

a result,

the

analytical resutt

is

very satisfactory

if

th..

is

small,

as

shown

in

Fig.10.

4,2

for

NG

white excitation

Consider

a

NG

white excitation

e(t)

having

ki(ti,t!)e=Reti(Ti)''''''''''''''--'--'H''''''''''''''''''''-''-"'''''"''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''-''-''''-'(30a)

h,(t,,

t,,

t,)t=Qocr

(q)i(h)a{k)･･･-･････-･･････････････-････-･････-･-･-･･････････-････-･････････ny･･････････････

(3o

b>

When

the

linear

system

(

8 )

is

excited

by

this

noise,

the

stationary

cumulant

responses can

be

solved

by

setting

the

right

hand

sicles of

(17)

and

(18)

equal

to

_O

and

found

to

be,

e.g.

Ro

"","."".--"-."."",,-,."",,"",,""･v-･-･--･-･--･-･---･-･-･-･-･-･-･-･--(31a)

k,(Yf)==

4h

k`

(Yt)=

_32h

iltt

_{3hi}""''"'H'"'H''HH"'""---･---･---･-･-･･･････---･･---}

(31

b)

Then

the

coefficient

of excess of

the

response can

be

obtained as

h4(yO

3hQo

r==hi(y:)==2(1+3h2)R:"""'H"'"-'-""""H'"HH'H'HH"'"'''"H---"･-･-･･---･･-･---･-･-(32)

which

is

in

accord

with

that

given

in

Reference').

5. Conclusion

In

this

paper,

we

have

_presented

an approach

to

the

stochastic response analysis of a

linear

system

subjected

to

a non-Gaussian and

non-white

noise.

The

stochastic response

has

been

characterized

by

cumulant

functions

instead

of

the

conventional moment

functions.

This

approach

has

provided

a

way

to

study

the

effect of

both

the

non･normality

and

the

non-whiteness of

the

excitation noises upon

the

stochastic

response,

as2 rcot

o'.2

5

2

4

3

1

2 1'

O

aO a

O2468

10 O2468

10

2

Fig.10(a)

correlation time tbor

Fig.10(b)

eiror measured with a,i,

aJ

(8)

-87-NII-Electronic Library Service

In

section

2,

the

excitation noises

have

been

categorized

in

terms

of

normality

and

whiteness andi

then

in

order

to

apply

the

Markov

theory,

a

technique

to

replace

a

NW

excitation noise

by

a white

_process

has

been

described

as

well.

In

section

3,

we

have

derived

the

differential

equations

for

cumulant

function

responses

through

introducing

the

_{multi-dimensional} _stochastic

equatien

and

furthermore

have

_presentecl

_the

cumulant

evaluation

of

the

_products

of

the

resiponse

and excitation.

In

addition,

the

following

re$uits

have

been

deduced

in

coFclusion.

1)

From

the

differential

equations

for

cumulant respon$es

(17)

and

(18)

we

can

see

clearly

that

the

non-normalily of

the

excittition' exerts no

influence

upon

the

2nd

cumulant

responses.

2>

Some

numericai

illustrations

_performed

in

_this

study

(Figs.3-5

and

Figs.

7-9)

show

that

the

_4th

cumulant

responses

h,<x3th)

and

h,(diSx)

can

be

considiered

to

be

negligible

in

comparison with

h,(x')

and

h,{th').

In

section

4,

the

_present

approach

has

been

applied

both

to

a

NW

noise

and

to

a

NG

noise.

The

results

have

been

investigated

and

compared

to

other studies,

As

aresult,

it

has

been

shown

that

if

the

excitation

has

srnall correlation

time

Tb.,

the

_present

approach

_yields

very

satisfactory

resttlts.

Finally,

we

may

notice

that

this

approach can

be

simply extended

_to

a

linear

system

under

filteredi

excitation

'

nolses

References

O

Lin,

Y. }S,,

et al., "Method

of

Stochastic

Structural

Dynarnics",

Structural

Safety,

Vel.3,

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Z)

Suzuki,

Y.

and

Minai,

R.,

"A

_Methed

of

Seismic

Response

Analysis

of

HysteTetic

structures

Based

on

Stochastie

Differential

Equations",

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8th

WCEE,

San

Franeisce,

1984,

Voi.

rv,

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3)

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Y.,

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Based

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Stechastic

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Vol.

llo,

No.

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11,

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6)

Soda,

S,

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"Study

on

Non-Gaussian

Behaviours

of

Dynamic

Re$ponse

of

Nen-Linear

System",

Trans.

of

A.I.J.,

No.

_312,

Feb.,

1982,

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(in

Japane$e)

7)

Lutes,

L.

D.

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Stochastic

Response

ef

Linear

Systems",

J.

of

EngineeTing

Mechanics,

ASCE,

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I12;

No,EMZ,

Feb.,

1986,

pp.127-141.

8)

Izumi,

M. &

Li

Zaiming,

etal., "Study

of

the

Stochastic

Response

of

Linear

System

Subjected

te

Non-Gaussian

Non･White

Excitation

Noises,

part

1

1 Derivation

ef

Differential

Equation

fer

Cumulant

Responses

Based

on

the

Stochastic

Egvatien",

Trans.

of

Toheku

Branch,

A,I.J,

Ne.51,

June,

1988.

{in

Japanese)

9)

Izumi,

M. &

Li

Zaiming,

etal.

,

"Study

of

the

Stochastic

Response

of

Linear

System

Subjected

to

Nen-Gaussian

Non･White

Excitation

Noises,

part

2 :

Applications

of

the

Present

TheoTy",

TTans,

of

Toheku

Branch,

A.I.J,

No,

51,

June,

1988.

(in

Japanese)

'

10)

Stratonovich,

R,L,,

Topics

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Theory

of

Random

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Science

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Inc

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12)

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System

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EIasto-Ptastic

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(in

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Single-Degree-of-Freedom

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Subjected

to

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(in

Japanese)

14}

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Hysteretic

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A. I.J.

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No.

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1978,

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Is)

Papoulis,

_A.,

_Probability,

_Random

_Variables,

and

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Processes,

2nd

Edition,

McGraw-Hill.

1984.

/

(9)

-Architectural Institute of Japan

Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

【

論　文】

UDC

：624

．

042 ．

7 ；624

．

e4

日本建築学会構造系論文報告集第

393

号

・

昭和 63 年

11

月

Non

−

_Gaussian

_Non

−

_White

_入

_力

_を

_受

_{ける}

線

形シ

ス

テ

ム

の

不

規則応答解析（

梗概）

正会員正会員正会

員

正会員正会員

和

李

勝

木

岸

泉

倉

村

本

正

再

正

光

哲

＊

明

＊＊

裕

＊＊＊

彦

＊＊＊＊

平

＊＊＊＊＊

　

1．

序

　

構造物

モデルの

不規則応答解析

は

，

幅広く研究

さ

れ

，

研究者

や工

学者

の

高

い

関

心

を

ひいている

。

これまでは

，

通

常

，入

力

として

Gaussian

White

（

以下

GW

と

略す

る

｝

過程

あるいは

，filtered

GW

_{過程（}

これは

本質的

に

GW

入力を扱

っている

問

題

で

あ

る

）

が

仮定

されている_。これらの入

力

に

対

しては

，

数多

くの

解析的

研

究

が

存

在

する

（

一

般的

なレビュ

ー

は

文献

1 ）を参照

されたい

）

。

　

Gaussian

仮定を

用

いる

一

っの

理

由

は，　

Gaussian

過程

がその

_{平均値}

と

分

散

により

完

全

に

記述

されることに

あ

る。しか

し

，

多く

の

実際

問

題

において，入

力

外

乱

は

Non ・

Gaussian

_（

_{以下}

NG

と

略

する

）

であり

，

その

NG

性

の

影響

を

無視す

る

事

はで

き

ない

。

実

際

，

最

近

の

研

究

に

よ

れ

ば

，

初通過確率

41およ

び

疲労破壊

5〕において

，

確率

過

程

の

NG

_性

が

大

きく

影響

することが

示

されている

。

この

よう

な

NG

性

は_，

特

に

非線形

性

の

大

きな

振動

システムにおいて

生

じやすいものである6）。さらに

，

ごく

最

近

，

Lutes

_，

L

．

D

．

_ら

7 〕は_，　

NG

　white

_{入力を受}

_{ける}

_線

_形

システム

を対象

とし，

通常

の

2 次

モ

ー

_メ _ン _ト

_{応答}

_に

関

する

方法を

直

接

4 次

モ

ー

メント

応答

の

計

_算

に

拡張

することにより

，

不

規

則

応

答

の

NG

性を検討し

ている。

　

一

方

，

white

_{仮定を用}

いる

主

な

理由

は_，　white あるいは

filtered

　white 入

力

を

受

ける

線

形

システムの

_{応答}

は

多

次

元

マルコフ

過程

と

見

なせることによる

。

このことはその

応答解析

に

大

きな

便

宜を与

えている。しかしながら， white

_{過程}

_は，

工学問題

においては

実在

せ

ず

，

多

くの

実

現象

における入

力

は

_，GW

または

filtered

GW

過

程

にモデル

化

することができない。

　

以上

のような理

由

から

著者

らは

，

文献

s／

’

9」_で

_Non

・

Gaussian

Non −

white

_{入力を受}

_ける

線形

1 自由度系

にお

ける

不

規則

応

答解析

について

研

究

を行

ってきた

。

本論文

は_，

NG

，

NW

を

主題

にこれまでの

研究

をまとめて

_報告

する

も

ので

あ

る

。

本

研究

では，

多次元

stochastic 　equa

・

tiQn

を

導

入し

，

不規則応答

を

通常

のモ

ー

メント

関数

のかわりに_，

キ

ュムラント

関

数

（

相関関数）

で

評価

するこ

と

に

特徴

が

あ

る

。

キ

ュムラント

応答

に

関

する

微分方程式

を

導

くことに

よ

り

，

入力

の

NG

性あ

るいは

NW

性

の

_不

規則応答

に

及

ぼ

す影響を調

べ _る_こ _{とが}_で_{きる}

。

　

2．

入

力過程

　

2．1Normality

と

Whiteness

　

一

つの

確

率

過

程

ξ（

t

）

はキュムラント

関数

ks

（ti

，

…

…，

t

。

）

e に

よ

り

完全

に

記述

で

き

る

。

その

キ

ュムラント

関

数

h

。

（

tb ……，

ts

＞

_e

を用

いて

，

　normality とwhiteness を

定義

することができる

（（

1 ）

一

（

4 ）式｝

。

この

nor

・

mality

_と

whiteness に

よ

り

，

構造物

の

不規則応

答解

析

において

存

在

し

得

る人

力

外

乱を

次

のように

分類

できる

（

図

ユ

）

D12qO4 　＊ _{東北大学　教授}

・

_工博

　

＊＊ _{東北大} 学

　

大学院生

・

工修　＊＊＊清水建設　大崎研究室

・

工博＊＊＊＊東北大学　助手

・

工博

＊

_{東北大} 学　大学院生　　｛昭和

63

年

4

月

IG

日原槁受理｝　

2 ，

2 NW

入

力 ξ

（t）

に

対

して

，

（5 ）

式

の

よう

に

相関時間

τc。。

を定義す

るこ

とが

できる

。

ここに κ。は，

（

6 ）式

により

与

えられる

強

さ

関数

で

あ

る

。

　

このような入

力を受

ける

線

形

系

に

対

しては

，

その

_不

_規

則応答

はマルコ _フ

_過

_程

_{とは}

_見

_{なせな}_い_の_で

，

_{マル} コフ

理

論を適

用することはできない

。

しかしながら

，

入

力

の

相

関時聞 Z

。

より十分大きい時

間間隔

における

不規則

応

答

は，マルコフ過

程

に近づく 1°1 。その

時

は

，

入

力 ξ（

t

）

を

同じ

強

さ

関数

を

有

するwhite

_{過程}

に

見

な

す

ことができる

。

そこで，ここでは

NW

入力

ξ（

t

）

を

同

じ

強

さ

関

数

を有

する white 過程に

置換

することにする。その white

Gaussian

White

入

力（

GW

）

Gaussian

Non ・

White

入

力

（

GNW

）

Non ・

Gaussian

White

入

_{力（}

NGW

_）

Non

・

Gaussian

Non −White

入

力

（

NGNW

）

NW

人

力

の white

_過程

へ _の

_置

換

(10)

NII-Electronic Library Service

過程におけるキュムラント

関数

は_，

_{（7 ）}

式

により

与

えられる。

4 節

で

述

べ _{るよう}に

_，

この

_置

_換

法

は

，

相間時間

z。。．の

小さ

い

入力外乱

に

対

しては

，

応答

の

_{近似}

は

非

常

に

_満

_足

のいく

も

の

と

なっている

。一

方

， τ。。r の

大

きい

場合

については

，

適

切

な

線

形

フィルタ

を

採

用

する必

要

がある

。

この

置

換法

は_，マルコフ

理論

の

適

用

を

可能

とする

点

において工

学

的

に

極

めて

有

効

であるといえる

。

　

3 ．

不規則応答評価

　本論文

では

，

不規則応答をキ

ュムラン

ト関数

に

よ

り

評

価す

る。

簡単

のた

め

に

2 次

と

4 次

の

キ

ュムラント

関

数

に

注目

する

。

な

お

，

入力

の

対称性を考

えているので

，

奇数

次

の

_キ

ュムラントは

全

て

零

になる。

3 ．

1 キ

ュムラン

ト

応答

関数

に

関

する

微

分

方程式

の

誘導

　

（9 ）

式

に

示

す

性質を持

っ

定

常

な

NGNW

過程

ξ（t）

を

受

け

る

線形

1 自由度系

を

考

える。この

無次

元運

動

方

程

式

は

，

（8 ）

式

に

よ

り

表

される。ここに

，h

は

減衰定数

である_。

　

この

NGNW

過程

に

2．

2 節

で

述

べた

置

換法を適用

すれば_，

同

じ

強

さ

関数（

10 ）式

を

有

するwhite 過

程

が

得

られる。

次

に，

状

態

ベク

ト

ル

Y

（

y

，

＝

x

，翫

＝

竕

を導入する

ことにより

，

運

動方

程

式（

8 ）

を

（

11 ）式

に

置

き

換

えるこ

とが

で

きる

。

従

って，

状態

ベ

クト

ル

Y

は，

2 次元

マルコフ

過程

になる。

　

ここで_，

“

二

次元

stochastic 　equation

”

_（

12 _）式

を

導

入する

。

（

12 ）

式

に

運動方程式（

11 ）を代入す

るこ

と

に

よ

り

，

（

14 ）式

が

得

られる。さらに

，

特性

関数 φ

（

s

、

，

s

，；

t

）

を

導入する

こ

と

に

よ

って，

（14）

式を（

15 ）

式

の

よう

に

特

性関数

の

_領域

で

_表現

するこ

とが

できる

。

そして，

特性関

数 φ（

s

、

，

s21t

）を（

16 ）

式

の

よう

に

キ

ュムラント

関数

を用

いて

展開す

るこ

と

に

よ

って

，

81 ，

82 ，

sl

，

SIS

：

，

sl

_，

……

に関する

恒等式を得

る

。

その

係数を零

に

置

くことにより

，

（

17 ）

，

（

18 ）式

のようにキュムラント

応

答

関

数

に

関

する

微分方程式を導

くことができる

。

　

この

キ

ュムラント

応答

に

関

す

る微

分方

程

式

（

17 ）

と

（18

）

に

基

づき

，

以

下

の

事項

を

指摘

。

つ

ま

り

，

2 次キ

ュムラント

応答

に

関

する

微分方程式（

17 ）

は

通常

の

共分散

マ

トリ

クス

応答

に

関す

る

Lyapunov

方程式

1］）_と

一

_{致する}

_。

_さ

_ら_に

_{入力外乱}

_の

_NG

_性

_は

_{線形}

_シ_ス

_テ

_{ムに}

対

して

2 次

キ

ュムラント

応

答

に

_何

も影響を及

ぼさ

ず

，

4 次

のキュムラント

応答

にその

影響が現

われる

。

　

次

に

，

非定

常

NGNW

入力 ξ（

t

）

について

考

える

。

この

_時

の入

力

の

_相

_{関関数}

は，

（

19a ＞

と

（

lgb

）式

で

与

えられる

。

この

_時

は，

キ

ュムラン

ト

に

関

する

微分方程式

は，

（

17 ）

と（

18 ）式

において

Ro

_，　

Q

。

を

それぞれ

1 （

ti

）

Ro

，

B

（

t

，

）

Q

。により

置

き

換

えればよい

。

　

3．

2 　

入

力応答積

の

キ

ュムラン

ト評価

　

入

力応答積

の

キ

ュムラント

，

つまり

he

（

y

，

ξ

＊

）

，

h

_，

一

₉₀

一

（

y

，

ξ

’

）

，h4

（醒

翻

ξ

奉

〉

および

k

，

（

yi

ξ

＊

）

は

直

接

定義

から

求め

ることはできない。しかし

，

これ

ら

は

次

の

よう

に

決

定

するこ

と

ができる

。

運動方程式（

11 ）

から

，

ただちに

（

20 ｝

，

（

21 ）式

を

得

ることができる_。そこで_，これらの

式

に

関

して

キ

ュムラントを

取

ることにより

，

〔

22 ）

，

（

23 ）

式

のように

キ

ュムラン

ト応答

関

数

に

_関

する

微分方程式

が

導

かれる。

従

って

，

これらは

（

17 ）

，

（

ユ

8 ）式

と

比

較

するこ

と

により

（

24 ）

式

の

よう

に

_決定

できる

。

　

3．3

　数値解析例

　

システムの

不規則応

答

の

NG

性

を

調

べるため

，

いくつかの

_計算

を

行

った

。

定常

および

非定常

入

力

に

対

する

結

果

は

図

3〜5

および

図

7〜9

に

示

されている。ここで

，T

はシステムの

固

有

周期

2

π で

基

準

化

した

無次元

の

時間

である。なお

，

用

いたパラメ

ー

タ，

強

さ

関

数

は，

表

1

お

よ

び

図

6

に

_示

されている。

　

以上

の

_{計算例}

から

次

の

事項が分か

った

。

つ

まり

，

NGNW

入

力

を

受

ける

線形

システムでは

，

1 ）減衰係数

は

小

さい

程

，

または

強

さ

関数

Q

。が

大

きい

程

，

システムの

応答

に

大きな非正規性

が

生じ

る

。

2 ）

4

次キュムラント

応

答

h4

（

dr4

）

と

h、

（

τ

う

は

一

般的

に

大き

い

。

そ

れ

ら

に

比較し

て

，

た

‘

（

ゴ

鋤

と

h

‘

（

ガ

卯

）

は

無

視

できる

程小

さい

。

　

4 ．

解析例および精

度

の

検討

　

4．1NW

入

力

の

場合

　

ここで

，

（

25a

＞

式のような

相

関関

数を

有

する入

力 ξ（

t

）

について

考

える。

ξ

（

t

）を受け

る

線形

システム

（

8 ）

に

関

して

，

定

常自乗平

均

変

位応答

は_，

相

関

理

ca15

）_に _{よる}

_厳

密解

が

（

26 ＞式

に

より

与

え

ら

れる。

一

方

，

本解析

理

論

を

適用

する

と

，

近似的

に

（

27 ）式を得

る

。

したがって

，

本

解

析理

論

を

適

用

する

際

，

NW

入

力

をwhite

過

程

により

置

換す

ることに

よ

り

生

じる

誤差

は

，

（

29 ）

式

のように

評価

。

　

その

結

果

，

図

10

に

示

されているように，入

力

の

相関

時間

τ。。。が

小

さけれ

ば

，

本

理

論

の

精度

は

十

分

満

足

できる

も

ので

あ

ることが

分

かる

。

　

4．

2NG

　white 入

力

の

場

合

2 次

および

4 次

キュムラント

関数

が

，

それぞれ

（

30a

）

と

（

30b

）式

により

与

えられる

NG

　white

_{過程}

を

考

える

。

この

入力を受け

る

線形

系（

8 ）

の

定常応答

は

，

本

理

論

を

適用

することに

よ

り_，

〔

31a

）

と

（

31b

｝式

のように

求

ま

る

。

したがって

，

尖

り

係数を（

32 ＞式

の

よう

に

求め

るこ

と

がで

き

る

。

これは

，

文献

7 ）

で

求

められた

値

と

一

致

する

。

　

5．

結　び

　

本論文

は

，

non

−Gaussian

　nen

−

white 入

力

を

受

ける

線

形

システムの

不規則応答解析法

を

取

り

扱

っている。

本

方

法

の

特徴

は

，

そ

の

不規則応答を通常

のモ

ー

メント

関

数

の

かわりにキュムラント

関数

で

評価

することにある。この