三次元時間領域境界要素法による剛基礎群の過渡応答解析

【論　 文

I

UDC ：624

．

131

．

55 ：624

．

042

．

7 ：624

．

04 日本建築 学会構造系論文報告集 第 393 号

・

昭和 63 年U 月

三

次 元

時

間 領

域境

界 要

素法

に

よ

る

剛

基礎 群

の

_過

渡応 答

_解

析

正 会 員 正 会 員

近 　 　江 　 　正 　 　徳

＊

登

　 　

坂

　 　

宣

　 　

好

＊ ＊ 　

1

．

は じめ に 　 境界要 素法を動 弾性 問題へ _{適 用す る}こと が

，

近年

，

頻 繁に行わ れて おりIL2 ）

_，

_特に

_，

_{動 的 相 互 作 用 問}

ee3L4

）_{や 不} 整形地 盤の散 乱問

ee5

）

・

6 ）_{へ の} 適用 が多い

。

た だ

，

境 界 要 素 法の_適用は

，

比 較 的 扱いやすい周 波 数 領 域に おける解 析か ら出 発し て お り

，

現 在で もこ の方 法が主 流になっ て い る。 そ れ に対し て

，

次の諸 点を考慮で き る時間 領域境 界 要素 法が最 近 注 目 を浴びて きて い る

。

たとえ ば

，

（1） 過渡応答を直接， そ して厳 密に把 握で きる こ と

，

（2 ） 非線形解析が可能で あ るこ と， （

3

）波動伝播問 題を物 理 現象とし て_把握で き る こと

，

（4 ＞数 値 計 算上

，

基 本 解の causality 　

property

_{（因 果 関 係 ） を利 用す る}こ と に よ り

，

影 響マ トリッ クス をバン ド

・

マ ト リックス に でき ること

，

な どで あ る。 こ の方 法に よ れ ば

，

時 間 依 存の基 本 解 を 用い ることに より

，

波 面 （ウェ ブ

・

フロ ン ト）の

進行に 応 じ て step

−by−

step に 応答 解 析が行え

，

直接

，

時 間 領 域 解 を得ること ができ る。 　時 間 領 域に おい て， 波 動 方 程 式に支 配さ れ る初 期 値

一

境界値問 題の解を積 分 方 程 式の_形で初めて提 示し たのは

KiTchhoff

であり

，

こ の積 分 方 程 式 を近 似 的に解 くこと は

，

た とえ ば音 響 学の分野 などで は古く か ら行わ れ てい た。 た だ

，

Navier の方 程 式に基づ く動 弾 性 問 題の積 分 方 程 式 を

，

直 接 時 間 領 域に お い て近 似 的に解くことは比 較 的新しい

。

_{時間領域境 界要素}法を動弾性問題へ 適 用_し た例と し て は

，

二次元面 外問 題へ の

Cole

　et　al

．

の研 究T ）

，

二 次 元 面 内 問 題へ の Niwa　et　al

．

の研 究s ）が最 初で あ ろ う

。

前 者で は， 比較 的簡単な例題 を 扱っ て お り， 離 散 化に おいて低次要素の_{使用 を}す す めて いる。後 者では

，

時 間

一

空 間 と もに

一

定 要 素 を 用い_， 速 度 項は後 退 差 分で 近 似し

，

三次 元の基 本 解 を用い て 二次 元 面 内 問 題 を 解い た

。

こ の 二 つ の論 文は_， その後の時間領 域 境 界 要 素 法の 発展を促す重要な出 発点 となっ た

。

その後，

Mansur

　et al

．

9Li°） は重み付き残 差 法 を用 いて積分方 程 式を導き

，

二次 元 問 題 へ _{適用 し た}

。

_福井は］1 ］

−

13，

，

解の 安 定 性 と 精 度を上 げる た め

，B 一

ス プライン関 数を導入 し た

。

ま た

，

＊ _{前 田建 設工業 （株 〕 電 算} セ ン タ

ー

躰 日本 大 学 　 教 授

・

工 博 　 〔昭和63年2月 星O日原 稿 受理）

Banerjee

　et　ai

．

14

・

］s〕は

，

三次 元 問 題に対 し

，

数値積 分 を精度良く実行し た。 さ ら に

，Antes

　et　al

．

1fiL17）_は

_，

_二 次元 問 題に対し

，

弾 性 体と流 体 との相 互 作 用問題 を初 め て時 間 領 域で扱っ た

。

ま た_， 二 次元 剛 基 礎_問題 に おいて

，

causality　_propertyの検討18｝_や

_，



Spyrakos

_{との加 振 問 題} の比較191な ども行っ た

。

こ れまで に述べ _{た諸研究は}

_，

_無 限 空間にお け る基本解を 用いて い る が

，

半 無 限 空 間にお け る基 本解を用い て_解析 し た研 究 も あり

，

たと え ば

，

Rice　et　al

．

2°1

・

211 は_， 二 _次元面外

，

面 内問 題に対し て

，

こ の基本 解を用いて解析を行っ た。 平 井 ZZ｝_は

_，

_{二次 元 面} 外問題にお け る半無 限 空 間の基 本 解 を用い て_， 不 整 形 地 盤の散 乱 問 題 を扱い_， Trifunacの_解23， と比較し た。 　

一

方， 動 的 問 題の最 も重要な分野の

一

つ で あ る基 礎

一

地 盤の動的相互作用 解 析に対 して も

，

その ほと ん ど は， 周 波 数 領 域で行わ れてお り， 時 間 領 域にお け る研 究は非 常に少ない

。一

般に動 的 椙互作用解 析は

，

堅固な岩盤中 に_設置さ れ る重要構造 物を対 象とする が， 将 来， より軟 弱な地 盤

・

岩 盤 中の構 造 物 まで含めて_検討す る場合に は

_，

過渡 応答が重要に な る場 合が あ る

。

時 間 領 域 境 界 要 素法を動 的相互 作 用 問 題へ _{初 め}て適 用し たの は

，Kara−

balis

　et　aL　Z4｝

一

26 ］であり， 三 次元基 礎の加振 問題 な ら び に 入射問 題を扱っ た が

，

定 式 化は前 述の

Niwa

らの それ に_類似し て お り

，一

層 簡 略 化 を行い_， その た め多少精 度 の点で問 題 を 残 して い る

。Spyrakos

　et　al

．

2T］

・

2s ） は同様 の手 法 を

，

二 次 元 基 礎の問題に適 用し た が

，

や は り同様 な問題 が残っ て いる。 　著 者 らは_， これ まで二次 元な らびに 三次元時 閥領域境 界 要 素 法 を 用い て

，

動的 相互作 用 問題 を検 討して き た29）

一

／13i 。 本 論は

，

これ まで の研 究 を 発 展 させ たもの で あ る が

，

特に

，

定 常 応 答の み ならず

，

時 間 領 域 解 法の特 徴である過 渡 応 答の挙 動につ い ても検 討してい る

。

本 論 の 目的は_， 時 間 領 域 境 界要素法 を 波 動伝 播問題の_有効な 解 法の

一

つ として とらえ

_，

三 次 元 動 的相互作用問 題へ の 適 用 性 を 追 求す ることにあ る

。

内 容と して は

，

まず基本 解な らびに積 分 方 程 式 を示 し

，

これ ら の性 質を論じ

，

離 散 化 を陰 的 解 法の形で示す。 次に数 値 計 算 例と して

，

ま ず

，

単 独 埋 込み 剛 棊 礎の加 振 問 題な らびに 入射 問 題に対 し

，

Dominguez の 解34 ）

・

35 ｝

，

および Karabalis ら の解 と

一



_{137 一}

の 比 較 を 行 う。 その際

，

Karabalisらの ス キ

ー

ム の 問 題 点 を指 摘し

，

時 間 領 域 境 界 要 素 法におい て

，

時 間 軸 方 向 の _{内挿 関}数の選 択， 時 間 間 隔の選 択， 過 去の挙 動の影 響 などが重 要な要 因であること を述べ _る 。 最後に， 本手法 を

，一

方が埋 込み剛基礎で

，

他 方が地表 面剛基 礎とい う 三次 元の複 数 剛 基 礎の加 振 問 題 なら びに入 射 問 題に適 用 し

，

定常応 答

，

過 渡 応 答の両 方の動 的 挙 動 を明らか に し， 時 間領域境 界 要素法 の有効性につ い ても述べ _る

。

　

2

．

解 析 方 法 　

2，1

　基本解と積 分 方 程 式 　等 方 均 質な弾 性 体の時

・

空 間

T

＋ ×

R

に おける動的挙 動は， 次の

Navier

の運 動 方 程 式に支 配 され る初 期 値

一

境界値問 題と して_扱うこと がで き る。

　　　

（λ十 μ）ワワ

・

_{μ 十 μ ワ}iu 十_pf

；

_ρ整 　　　 　　 　　　 　　（F

，

君｝ε

R

×

T ＋…………・

…

（1 ） 　初 期条件 ： 　　　聾（姦

，

0｝

＝

矍。（鍜）， 垂（孑

，

0）

・

＝

セ。（鐸｝　　　 9εR 　　　 　　 　　　 　　

…一 ・

・

・

・

……・

・

………・

…・

…

（2 ） 　境界条件 ：

　　　

u

｛

x・

　t）

冪

_ゆ

孟）

　

（

pu・

　t_）　cB ・×T ＋

．

一

一

_{（3 ＞} 　　　孟pm（pa，　

t

〕

＝

並鱒 （x，　

t

） 　　　 　　 　　　 　　　 　　 （莎，

t

）∈

B2

×

T

＋ た だ し

，

λ

，

μ は

Lam6

の定 数

，

ρは質量密 度で あ る

。

B

、，

B2

はそれぞれ変 位

，

表 面 力が与えられ る境 界 を表 し，

B

は全 境 界であり，　

B

　

＝B

，【

UB2

と なる

。

μ。

，

！。

，

　

Q

，

輪 は そ れ ぞ れ与え ら れ た初 期変 位

，

初期速度

，

変位

，

表 面 力である

。

な お_，

“

〜

”

はベ ク トルを

，

“・”

は時 間 に関す る微分を表し

，

本 論で は

，

添字の_繰り返 しにつ い て は総 和規 約が適用 され る。

　

今， 時 間

t＝

0， 点 X

＝y

におい て， 単 位ベ ク トル e の_{方 向}に_{， 次}の_{物 体力}が作用す る もの と す る。

　　　

Of

（辺

，

　t）

＝

δ〔t）δ（_妙

一

3

）

e・

…・

……・

・

・

……・

・

（4 ） ただ し

，

δ は

Dirac

の デル タ関 数である

。

こ の時

，

式 （1｝ の解は次 式で表さ れ る36｝

−

3Sl

_。

　　　Ui＝

UiJeJ

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（5 ） こ こ に

，

　　　

砺 （X

，t

；

y，0

）

　

　

　

　

一

纛

｛

畜

（

31

〜

7L

 

）

［

帥

一

舌

）

一

_・

（

　 　　

−

rt 　　　

C

，

）

］

・

子 ［

毒

・

（

崎

）

一

毒

・

（

卜

刮

・

艶

；・

（

t

一

翻

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



噛

9・

・

_（6） ただし，

U

“ は， 時 間 t

＝O，

点

y

におい て，　

j

方 向に式 （4）の 物 体 力が作 用 し た場合の

_，

時 間

t

， 点 paに お ける i方 向の変 位 成 分を表し て い る

。

こ こ に_， r

＝

lpa

−

ylで あ り

，

　

Ci，

　

Cz

は そ れぞれ

P

波

，

　

S

_波の伝 播 速 度で あ る。

H

は

Heaviside

の ステッ プ 関 数で あ る

。

こ の解は

，

一

₁₃₈

　

一

無 限領域にお け る Green 関 数であり， 対 応す る応 力

T

“ は

_，

次の応 カ

ー

変位 関 係か ら得ることが で き る37）

_。

　　　

コ「w （9

，

　

t

；

y

，O

）＝ ＝

T

‘」ket ＝ P （

ci− 2

　

C

茎）UnLmatf

　　　　

十ρ

Cl

（ug 」十Uv

，

i）

・

……・

…・

・

……・

・

…・

・

・

・

…

（

7

） したがっ て_， 表 面 力テ ン ソ ル は次 式とな る

。

　　　Timp

、、（X

，

　

t

；

y，

　

O

）＝ 　

T

“hnノ

・

・

……・

……・

…・

・

…

（

8

） こ こ に

，

4

は境界外向き を 正 と す る法線ベ ク トル であ る

。

　動 弾 性 問 題の積 分 方 程 式は_， Love3eeにより初めて導 出さ れ

，

その後，

Wheeler

　_et　al

，

36Y_{により厳 密に示 され} た。 これ は

，Betti

の相反定理 を動弾性問 題に拡張 し

，

基本解の_性質 を利 用 することにより得ること ができ る。 さ ら に

，

極 限移行の_操作を行い

，

物体力

，

初期値の_項を ゼロ _とおけば， 次の境 界積 分 方 程 式が得 られる 3Tl 。

　

　

　

… （

₃

_鳩

・｝−

fe

［梱 ・・〔・・

，

・・）

　　　　

− TtPtlt

＊ u‘（莎

，

　t）］〔

IB

（x ）

…

　

一

・

・

・

…

　

一・

■

一

…

　

一

（

9

） こ こ に

，C

‘，｛

y

）は滑ら か な境界

B

で は1／

2

　

a

，，と な り

，

記号＊ は convolution 　integral_を表して いる。 こ の積 分 方 程 式は ホイヘ ンス の原 理の数 学 的 表 現でもあるCO） 。 　外部領 域におい ては

，

この式が散 乱場 μ3勉

，t

）につ い て成り立つ の で

，

_u。Z μ

一

Ug を代入して書き直せぱ

，

次 式 を得る

。

　　　

c

・t（

y

）［Ul（

y，

　

t

）

−

u、・　｛

Y

，

　

t

）］

　

　

　　

一

_五

_臥 ・ ＊

M

翻

一

¢、。。、｛x，　

t

）］

　　　　　

−

71鰍 ＊［Uf （x

，

　

t

＞

−

ugi〔pa

，

　

t

）】

l

　

dB

（

x

〕 　 　 　 　

……一 ・

………・

……・

・

一 …

（10） こ こ に_{， μ，輪} は全体 場の_{境 界}量であり， Ue

、

孟阻 は 入 反射 場の境界量 で あ る。 この式が

，

本論文の数値計算に 用い る境 界 積 分 方 程 式で ある

。

　2

．

2　 基 本 解の性 質 と波 面につ いて 　次の諸 点は

，

数 値 計算 上考慮すべ _{き点であ る}

。

　 （1 ＞ 基 本 解には

，

次の 二つ の性 質 が あ る

。

　　　0 時 間 軸平行 移 動 則 （time　translation_）

　　　　Uu

　（

pa，

　

t

；

y ，0

）

　　　　　

＝Vw

（

g ，

　

置十 置聰；皇『

，

　

置1）

　

　

　

　

　if　

　

診1＞0 　　　 　　　 　　　 　

…・

………・

・

………

（li ） 　　　○因 果関係 （causality _）

　　　　

砺 （ぎ

，t

；_彰

，0

）；

O　　if　Cit

_〈r

………

（

12

＞ 前 者は， 線形問題の場合に 成 り 立つが

，

数 値 計 算上

，

作 成す るマ ト リッ クス の個 数を減ら すこと ができ る。 後 者 は

，一

つ の影 響マ ト リックスが バン ド

・

マ トリッ クスに な る

。

こ れ らの_性質を利用 す ることにより

，

計 算 容量 お よび_計算時間を大幅に_減ら すことが で き る。 　 （2） 波 面 （ウェ ブ

・

フ ロ ン ト）上で満た さ な け れば な ら ない い くつか の条 件が あ るSU＋

・

41L4 ！｝

_。

　図

一

1は_， 既に揺 動 中の領 域 （2）に新 しい波面

S

が伝 播す る状 態 を 示して いる。 す な わ ち

，

面

S

は領域

R

・

g

・・n

　

ifs

C

　

・・

g

　

・・

n

_・

2

_） 　 　 　 図

一

1　不 運 続 面の伝播 （1 ＞か ら領 域 （

2

）の方へ ， 面の外 向 き法 線ベ ク トル n に そ っ て_， 速度

C

で動 く もの と す る

。

この時

，

弾 性 体が破 壊しないかぎり，変 位は常に連 続であ り

，

し た がっ て

，

面

S

上で_次の連続条件が成り立つ

。

　　

［Ut］≡ _（u 【）2

−

（Ui），

；o ………一 ・

・

（13 ｝

　

添字 1

，

2は_， そ れ ぞ れ領 域 1

，

領 域 2の 側か ら波面

S

へ _{極 限を と}っ た時の変 数を示して おり， 記号 ［ ］は， 式 （13）の よ うに差 を表 す。 ま た

，

速度

，

ひずみ につ い て は

，S

上で必 ずし も連 続 条 件 を 満 足 する必 要はな く

，

次の 条 件 （

kinematical

　conditions _＞を満足し さ え す れ ばよい

。

　　　

［也‘］十

C

［Ui

，

j］nJ

＝0 …・………

（14 ） さ らに_， 応 力と速 度 も

，S

上で連続す る 必要は な く

、

次の_{条件 （}

dynamical

　conditions _）を満 足し さ えす れ ば よい。

　　　

［

tw

］nJ十 ρ

C

［血，］

＝

0

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t−・

・

一…

　

（

15

） 　

3．

離散化 表現 　間に対し

一

定要素を用い _{， 表面 力}は_{， 時}

・

空間と もに

一

　

定要素を用い て近 似 を行 う

。

前 節におい て

，

波 面 上で変 　位は常に連 続 条 件を満足 し な け ればな ら ない が _， 表面力 　は

，

必ずしも満 足す る必要が ない こと を述ぺ _た

。

_{し たが}っ

　

て_， 表 面 力 を

，

特に時 間に対して

一

定要素で近似す るこ 　と は適切だと思わ れ る

。

　 　まず

，

時間軸を

N

個に等分 割 し

，

時 間 間 隔

At

を 次 　の よ うに定 義す る

。

　　　

△

t＝

β

。

R

／

C

ゴ

……・

・

……・

………・

・

…

（16 ＞

　

こ こ に

，

_βは係 数で あ り

，R

は

，

各 要素の 内 接円の最 小 　半径 を 示 す。

Ci

は

P

波の伝 播 速 度であ る。 β≦1の場

　

合は

，

発 生し た散 乱 波 が 第

一

ス テップで隣 接 要 素まで伝 　播 するこ と が な く

，

陽 的 解法と な る。 この場合， 第

一

ス 　テップの影 響マ トリック スは対 角マ ト リックスに な り

，

　解 法と して連立方程 式 （あ るい は逆マ ト リッ ク ス） を解 　く 必 要がな く

，

定式 化が比較 的簡 単に な る。 β＞

1

の場

　

合は

，

第

一

ス テッ プで波 が 隣接 要 素まで伝 播し

，

陰 的 解 　法 とな る。 この場 合に は

，

第

一

ステ ッ プの影響マ ト リッ 　クス はバン ド

・

マ トリッ クス に な り

，

連立 方程式を解か 　ねばな らず

，

陽的解法に比べ て定 式 化が_多少複 雑に な る

。

　陰 解 法は

，

陽 解法に比べ _て

一

_{般に安 定解が得ら れ や す}い 1 と言われ て い るll）

。

時 間 領 域 境 界 要素法の場合

，

時間 間

i

隔

At

をあ ま り小さ く取っ て も不安 定に な る傾 向 が あ 　本 論で は

，

変位の離散化は

，

時間に対し線形 要 素， 空

i

る

。

以 下で は陰解法に よ り定式化を行う

。

　　　　　　　

一

…．

一

．

．

．

．

一

．

一

…．

．

一

．

・

…・

…・

・

…一

・

」



_{式 （9 ）の積 分 方 程 式は次の よ うに変 形でき る}

_。

　　

去

晦

・〉一

億

伽

・（X

，

・・

YT

・）

tl

・ 1（X

，

・・

一

・｝

−

Z

轟 ・ ・

y．

・）礁

h

）｝・・

瞬

）

・

・

………・

（17 ） 　こ こに

，tn−

、

＝

（n

− 1

）

At ，

　

tn・

t ・n

・

At

で あ る

。

ま た

，

実 際に は

，

空 間の積分領域

B

は

，

　causality 　propertyに よ り 時 聞の関 数とな る

。

し たがっ て_， 式 （17）を離 散 化 表 示 し て_， 変 形 すれ ば次 式の よ うに な る

。

　　

壱

卿

一

割ム

。 ε

_凝

’

_ω

蔀 ｝凡 捌

餅

ム

。 ε

 

・

’

_{ω B}

（r）

dB

（離

乱

ε

_紐

・

’

〔妙）

c

ω

dB

（

釧

　　　　　　　

一

嶺｛

f

。、。 ・押 （

x

）

D

（・）

［

士

（tn

・

F

・

− Gnt

］

dB

（

m

）＋

fa

． ・

lnn

（

x

）

D

（・

嘔

一

士

（t・

’

Fn

− G

∂

］

dB

ω

　　　　　　　

・

蔚

鮒 ’ （x）

オ

、

［

tn

・

E （・）

竜

・ （・）・ ・（・〉

］

疎 ）

　　　　　　　

＋

乱

・撫 ）

［

E

ω

一

毒

＠

E

（・）

一

舌

E

ω ＋

G

ω

）

］

dB

ω

　　　　　　　

＋

乱

・砦一 （x）

毒［

tn・

F

（r）

一

毳

F

（・）＋

H

（r）

］

dB

ω

　　　　　　　

＋

乱

・瞥 （_鐸）

［

F

（r）

一

毒（

tn

・

F

（r）

一

ま

F

（r）＋

H

ω

）

］

dB

・_（pa＞

｝

・

・

・

・

・

…一 ・

・

…・

…・

………一 ・

_（・

8

_） こ こ に_， 式 （18 ）の上 添 字は陦 間ス テップ を表して お り， 空 間の積 分 領 域

B

篤

。

…

は， 時 間に も依 存 し て お り， 次 式で 与え ら れ る

。

　 　 　

Bzac＝

IX

ε

B

　and 　

Cztn＿

1くr≦

C

】耐

　　　

B。 。

，

＝

IX

・B　and 　

C

・　t。

．

・＜ r≦

C

・t。

1

・

…一 …・

・

……・

一 ……『

・

・

・

………一 ……・

…一

……・

・

・

……・

一 一

一 一

（19＞

　　　Bne2＝

＝

IXeB

　and 　

C

，tn

＿

9〈r≦

C2t

冠

また

，

式 （18＞ 中の F。

，Gn

は

，

時 間に関す る積 分を解 析 的に実 行 する場 合に生 じ る係 数で

，

場 合 分 けされて

，

それ

ぞ れ次の よ うに_与えられる

。

　 （1＞

C2tn

≦

Citn．

i の場 合

　 　 　

0

　　　　　　0　　　　　　

if

　　　r／

C

，〈　tn

＿

I　or　　

t躍

く　T／

CI

　

　

　

　

　

　

麺

・ 隊 ・

　

去

［鵬 ＞s

− t

；

．

・］ ・

f

〃

q

・tn

−

1・ 〃

Ci

・

tn

　

　

　

F”

”

謳

一t

＃

．

，］

　　

Gn

＝

撫

一t

；

．

、］

　　

if

。／Ci・ tn

−

、〈 ・。〈，／

c2

”… ”

_〈2e）

　

　

　　

　

　

麺

一

_（・跚

　 　

査

［

t

；

一

（・／

C

，） ・ ｝

　

・

ftn

−

、＜r／

C

、＜tn・ 〃

C

， 　 （2 ）

Cltn．

i＜

C2tn

の場 合 　　　 　　　 　　　 　 0 　　　　　　0 　　　　　　　

if

　r／

C2

く tn

−

10r 　tn〈 7 ／

Cl

　

　

　　

　

　

去

［（rfC ・） i

− t

：

一

・］

　 　

去

［（r・

C

，） ・

一

・：

一

，］ ・

f

・・

C

，く

t。

．

、〈r／

Ct

・

tn

　

　

　

F”

＝

去

［・・

c

，） ・

一

（r／

c

，） ・ ］

G

・

＝

去

［（・・

C

，） ・

一

（r・

c

，） ・ ］

if

　

t

。

．

、〈，・

Ci

・r／

c

，・

t

。　

’

’

’

”…

 

　

　

　　

　

　

音

［

t

：

一

（r ・

C

，） ・ ］，

　 　

去

［

t

；

一

一

（r／

C

凋

　

・

ft

。

．

1＜ ・／C，〈 ・。〈 ．／

Ci

ま た_，

A

_（r_）

_，

　

B

_（r_）

……H

_（r_）な どは次 式で与 えら れ る

。

　

　

　

胴 一

毒 ナ

（

3rl　riC δ

iik

　7s　　　f

）

・ ・ 

諞

・

表

・

等

α・）

一

毒

・

毒

（

孥

一

等

）

　

　

　

・（・

燐 卜

・

争

（

・

写

作

幅 ＋ δ

穿

娠 η

形

　

　

　

E

（の一

表

卜

・

（

6

響

L δ轟 ＋δ・・

；

・＋

a

・・「t 　　　T　　 　 　 　 　　 　 　 　r

）

髫

一

婆

（

1

−

・

暮

i

）

｝

　nJ

　

　

　

・…一

岩

｛

・

（

・

学

一

齢

箏

＋°”h「t

）

−

rp

’k「’＋ ・

a

」k「t

｝

nj

　

_．

_．……．

_{一 ．．}

_…．

_{．＿ ．}

_，

（、，、

　

　

　

・… 一 、

i

（

一

_・

穿

；

_ま

配

_・

＆

1

一

γ

費

’

（

1

−

・

暮

）

舌｝

nf

　

　

　

・ω

誌

・

｛

・

黔

一

讐

幅

_・

i

：

i

｝

n」 式 （18 ）をマ トリック ス表 示すれ ば， 結局次 式 を得る

。

　

　

　去

｛・

n

一

か

・

rl

州

一

［

H ・

］・

luN

−

n・

・

1

−

［

sn

］

luN

−

nl ｝

・

……・

…・

一 …一 一 ……一 ………・

…・

…一一 一 …・

（

23

）

　

今

，

図

一2

のよ うな

，

単独の埋 込み剛基礎の場 合 を 考え る

。

剛 基 礎 部 分

，

地 表 面 部 分の各 境 界 を

，

それぞれ 添 字 e_，ノで示し_， 式 （23 ）を拡張し， 全体場と入反射場を用いて表せば次式と な る。 　 　 　 N　　　 N

　

　

　

　

一

_煮

［

G

窶

。

GZ

ノ の。 のノ

］

：

lill

：

：

：

舞

：

1

：

　

　

　

　

　

一

［

H

琶eH 馨ノ 碍 。

H

ノ

］

：

1

：

：

：

：

：

蕩

：

：

：

　 　 　

・・

／

　

＼

・・

　

　

　

　

　

一

［

s

窶es 饗！

s

多。

s

聾

］雛

：

1

_螺

一

・

・

……・

一

……一

_{・・4 ・ ・}

一

_{・ 埋込・黼 ・よ る散 乱場} 式 （23） あるいは式 （

24

）の_第

一

ス テッ プの影 響マ ト リッ クス ［

Gi

］

，

［H！］

，

［

Si

］ を作 成す る場 合

，

特異積分 を実行 する必 要 が ある

。

β≦

1

の場合は

，

極座標変換す れ ばよいがt β＞1の場 合は， 積分領 域を

，

自身の要 素 部分と隣接 要 素部分と の 二 つ に_分け， 前 者の領 域に つ い ては極 座 標 変 換し て解析 的に積分し， 後者の領域につ い ては

Gauss

の数 値 積 分 を行い_{， 両者}の_和を全領 域の積 分と して いる

。

第ニ ステッ プ以 降の マ トリックス作成時の積分は

，

Gauss

の数 値 積 分に よ り実行す る

。

　地表 面の_{境 界条件，} な らびに_{初 期条 件}は そ れぞれ次 式で与えられ る

。

　　　

ltn

．｝

＝

1t

，g ｝； ｝

0

｝

　

　

　　

　

（7L＝

1，

　

冊・

，

ハ_り

・

・

…

　

n・

・

・

…

　

rr・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　鹽

9・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

_（

25

_） 　　　

lu

塾

i

＝

lu2gl

＝ ｛0｝ 　　　 　　　 　　　 　　

・

・

・

…

　

『

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

r・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（26）

　　　

IuY

｝

＝

luJ

．

1

＝

lol

これ らの_条件を式 （

24

）に代入 し， 変形す れば， 次の 二つ の式に分 解で き る。 　 　 　 1

（

豸

［

1

］＋

_［

H

とe

］

）

1

・：

｝

＋

_［

H

_き、

｝

1

・

r

ト

［

Gl

，］

lt

：

1

−

iA9

｝ 鳳 ］

1

・：｝＋

（

吉

［

n

＋［H ｝．］

）

1

・

r

｝

一

［

G

｝

。

］

lt

：

1

−

IB

：

1

一 ・

………・

……一 ……・

…・

…一 …・

……一・

……・

_（27） こ こに

，

［∬］は単位マ トリックス であり

，

1

淵

，

IBSt

はそ れ ぞ れ次 式 とな る

。

　

　

　

　

　

　

Sl

・：・

1

−

［

GLe

］鬻 ・［

H5

・　

H5

・］

畿

　 　

iAgl

＝

　

　

　

　

　

　

Sl

・：・

1

−

［

G5e

］

1

・：

a

・［・

Le

・

L

・］

畿

　 　 　 N

−

1 　 　 　 N

−

1

　　　　　

−

［

SLe

　

St

、］ 秘

寛

．

厂

u

離

、 ＋

歯

1

［

G

：。］

lt

：

−

n＋一 _t：

_in

＋・ ｝ 　 　 　 Uノ 　 　 　

ー

u79 　 　 　 nz2 　 　 　 N

−

n＋1 　 　 　 N

−

n＋1 　 　 　 N

−

n 　 　 　 N

−

n

　

　

　

　

　

−

［雌 剛

謬

一

二

驍

一

一

_［

_s

_： es2 ・］

謬

：

瀞

if

　

N ＝

1

if

　

N

＞1

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一

_{（28 ）}

lBgl

＝

＝

壱

嵶

一

［翩 置_謝＋_{［砿 硼}

｝

1

・

SI

」

一

［

G

臙

田

HYe

翩

一

_［

_s

_｝ es ｝r］

一

_［H？ eH 野］ uε9u ！9 秘 eg 秘ノ9

一

9 配 θ 置 　 十 碓 劉

oG

・ Σ 観 十

　

9 　

一

σ 配 e バ ノ 　 　 　

一

一

　

　

押 ε 紺 ノ ％ 　 駕 　 　 η

｝

9 　 　

一

9 β e 揮 〜 秘 　 麗

一

　

_一

π

一

　 　

　

胃 e 冊 ∫ 艇 　 冠 ］ 　 ノ

π

∫

S

　 e

π

∫

S

［

　

9 押 e

π

「

μ ” ノ 賜 　 ％

一

　

一

十

一

拑 e 十

一

揮 ∫ 秘 　 賜 こ の

IAgl

_，　

IBgl

は_，　N ステップの入反射場と

，

（

N − 1

＞　

．

ス テップま で に生じ た変位

，

表面 力の影 響 項との重ね合

i

わ せであ り

，

既 知 量である

。

　　　　　　

i

　ま た

，

剛 基 礎 と 地 盤 との インタ

ー

フェ

ー

ス での変位

，

応 力の連 続条件は

，

そ れ ぞ れ次式で_与え ら れ る

。

　 　 　

lu

：｝＝ ［

A

｝_｛

u

雪 　 　 　　 　 　　 　 　 　

………一 …一 ・

一 ・

一 ・

…

（30 ）

　　　

1P

讐

＝

［

T

］

1t

窒｝ こ こ に_， マ ト リックス _［

A

_］

，

_［

T

_］は

，

基 礎 形 状， 要 素 分 割に よ り決ま る変換マ トリッ ク スであり，

IU

雪は剛 基礎 底 面 中心にお け る代 表 変 位

，

IPN

は剛 基 礎 底 面 中心に作 用する_{外 力}で あ る。 式 （

27

）

，

（

30

） を組み合 わせ るこ と に よ り

，

次式のマ トリックス表 示 式 を得る

。

「

｝

［

A

］＋［

HL

。］［

A

］ ［H＞e］［A ］ 酎   押 o 〜

ABP

0 田 嗣

一

［

GLe

］

｝

［

1

］＋［

H

）．］

一

［

G

＞。］ 　 　 0 　 　 　 ［T ］

］

σ ” ∫ 西 eU 彦

………・

・

・

・

………・

…………・

・

一

_（31） 加 振 問 題の場 合は

，

入反 射 場の項 を

，

luZ

。｝＝

lt

：gl・＝

IOI

，

鱒gト

10

｝， （n

＝

1，

…

，N ）と お き

，

入 射 問 題の場 合に は

，

1P

”

1

−

₁₀

_｝と お けばよい。 式 （31＞をstep

・

by

・

step に解 くことに よっ て全て の未 知量 を計 算す ること がで き る

。

基 礎が複 数の場合は， 上の諸式 を拡 張 し， 同 様の手 順で 実 行す れ ば よい。

4．

数値計 算 結 果

if

　N ； 1

if

　

N

＞1

・

一・

・

・

…



『

・

・

・

・

・

・

・

…

_（

₂₉

_）

　

地 盤

一

構 造 物の 動 的 応 答 解 析は

，

動的サブス ト ラ ク チャ

ー

法に よ り行わ れ るこ と が多いが

，

基礎

一

地 盤の動 的相互作用解析

，

な ら び に上 部 構 造の応 答 解 析の両 方 を 周 波 数 領 域で定 式 化し_，連続 条件に よ り両 方を結合さ せ， フ

ー

リェ 逆変 換に よ り時 刻歴応 答を求め る方 法が

一

般に 行わ れて い る

。

そ れに対して

，

本手法による時 間 領 域 勤 的相 互 作 用 解 析 と 上 部 構 造の時間領域応答解 析と を結合 す ることに よ り

，

直接時間 領域に おい て動 的 サ ブス トラ ク チャ

ー

法 を組立て ること がで き_， こ の場合に_本手法 を 適 用 することがで きる

。

　4

．

1 単 独 基 礎の比較 計算 　こ こで は

，

三次 元の単 独 埋 込み剛 基 礎 を対 象に， 加 振 問 題

，

入 射 問 題のそれぞ れにつ い て

，

本 手法の検証を主 に_行い_， 2

．

3の_{検討事 項}を付記 する。 　

4．1、1

　 加 振 問 題 　比較の た め の解 析モ デ ル な ら び に形状 を 図

一

3に示 す。 　

EIB

＝

2

／

3

図

一

3　 加 振問題の解 析モデル

・

₁₄₁

・

一．

　時 間 間 隔は _β

＝

1

，

す な わ ち

At ＝R

／

Ci

とし て設 定 す る

。

こ こ で は_{， 本手}法に よる_{定 常解，}

Dominguez

に ょ る周波数 領 域 解゜n） ，

KaTabalis

ら に よ る時 間 領 域 解 26，_の 三種 類の方 法に よ る解の比較を行 う

。

な お

，

こ こ で用い た物 理 定 数は次の と おり である

。

　　　μ

＝3．

40

×

10Slb

／

in2

　　　v （ボア ソ ン比）

＝

0

．

3 　 　 　

…・

………・

…

（32 ） 　　　ρ

＝

＝2．

82

×

10

−

‘

lb・

sec ：／

in4

ま た

，

剛 基 礎 底 面 中心に作 用させ る外 力 を 次の よ うに設 定する

。

Px

（

X

軸 方 向外力） 　

＝

Pz

（

Z

軸 方 向 外 力 ） 　；

200sin

（_a）

t

）（

hips

）　　　

if

　aoキ

O

M ，（

Y

軸 回りモ

ー

メ ン ト） 　＝ 200s   （ωε

X

此‘

p8 −

in）

Px＝Pz＝200

（

k

　

ips

） 　 　 　

if

　ao　

＝

O

Mr ＝

200（

hips・

in

｝

・

…………・

……・

・

…………・

・

_（

₃₃

_） こ こ に_， α。（

一

ω

BIC

，， ω 二円 振 動 数

B

：基礎半 幅 ）は， 無次元化振 動 数で ある

。

　図

一

4（a _）

一

_（c _）は

，

そ れ ぞ れ水平加 振， 鉛直加 振， 回 転 加 振に対 応 した定常応 答変位を示し てい る。 横軸に 無 次元化 振 動 数 α。を， 縦 軸に

Karabalis

ら と同 じ有次 元 化変 位を とっ てい る。 この結果か ら， 本手法に よる解 と

Dominguez

の解は

，

どの_{方 向}と も ほ ぼ

一

致 してい る が，

Karabalis

らの 解は， 前二 者の それ と多 少 差が生 じ ている。 こ の 理由と し て

，

次の点 が 考 えられ る

。

　（1）

Karabalis

ら は

，

時 間 間 隔

At

を次式に よ り設 　　　定し て い る。

　

　

　

At

一

と

〜

陣

・

…………・

………一 ・

（・・） 　 　　こ こに， α

・b

は そ れ ぞ れ最 小要 素の縦， 横の辺 　 　　の長さであ る。 こ の場 合

，

正 確には

，

第

一

ステッ 　 　　 プにおい て

，

わずかでは あ る が

，

散乱 波が隣りの 　 　　要素に到 達 し

，

第

一

ス テップの影 響マ トリッ クス 　 　　 ［

Gi

］が対 角マ ト リッ クスに な らず， 非 対角項に 　 　　も非ゼロ成 分が生じて く る。 し た がっ て

，

連 立方 　 　　程 式 を 解く必 要が あり

，

陰 解 法に な るが

，

Kara

−

　 　　

balis

ら は

，

近似 的に非対 角項を無視し

，

その成 　 　　分 を対角項に_含め

，

陽解法と し て簡略化し ている。 　 （2 ）

Karabalis

らは_{， 変 位}に_関し て_{， 時 間変}数に_対 　 　　し

一

定要素を用いて近似し て お り， 表面 力の基本 　 　　解に_含まれ る_速度項の影 響を無視し て い る。 　 （

3

）　過去の_挙動の_影響は， 地 表面部の応 答に は含 ま 　 　　れて いる が

，

剛基礎 自身の応答には含ま れて いな 　 　 　い

。

こ れ ら のうち

，

特に （

1

）につ いて は

，

第

1

ス テッ プの マ トリック ス の影 響 度が高い の で， 本 手 法の よ うに影 響 マ トリックス を正 確に評 価すべ き である。 （2）にっ い ては

，

変位の _時間変化 が 大きい場 合には

，

速 度項の影 響 は無 視で き な く な る。 　次に_，こ の例 題で応 答 値の経 時 変 化 を見ることにす る。 図

一5

は

，

a。＝＝1

．

5

の場 合につ いての変 位の経 時 変 化 を 示 して い る。 この場 合の外 力な ら び に応答変位は

，

そ れ ぞれ次 式で与え るものと する

。

　 　　

Px＝

Pz

＝

200　exp 　（

itot

）（

hips

）

　 　　　 　　 　　　 　　　 　　　 　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（35 ） 　 　　〃，＝ 200exp 伽 置）〔

k

　

ips・

in

）

　　　

IU

”

1

＝

　

IR

ε（uN｝｝ 2 十 

lm

（uNN2

・

t−…

_St・

t・

・

一■

・

・

…



（36） 以 下の解 析 例で は

，

全て_， 定 常 応 答， 過 渡 応 答 と もに， 5 　 　

　

03 　 　 3

（

下 O

尸

52X 　 匚

一

0 　 5 　

　

0 　

　

5 　 　 00 2 　 　 1 　 　 1 　 　 0 　 　 0

〕

× ⊃   コ ヨ 五 E く ？

．

o1 　51

．

00

．

5 　 　 　P翼｛t］

；

rOOsinwt 〔Lips，

』「

、 　 　

’

＼ 　 　 　

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國

＼

．

　 　 　 ＼

、

　 　

’

”

』

…

 ．

．

』

　　　＼

．

　 　 　 ＼ 丶

一一

Dortinguez

− ，

−

Korobohs

−

Present

　

M魯 ヒhoげ ゜ °

’

3 °

’

6 °

’

9t

’

21

’

5al

’

e 　 　 　 （a_{｝ 水平} リ

属

Cn

翼

10

°

．

｝ o

．

o 　 D　o 　 　 　 C

：

T／日 5

．

0　　 　　　10　D 　　 　　 15 　0　　　 　 2D

．

0 　 （a_） 水 平 5

　

　

　

03 　 　 3

〔

▼

₋

O

尸

52X 　 0 　 2 三

｝

5 　 　 0 　 　 5 　 　 DO 忌 　

　

　

− 　

　

　

0 　 　

　

0 N ⊃ Φ ℃ 畫 呈 く Pt（t ］

＝

200sindit　tk9ρs ｝ 　 　 　

、．

、．

・

「

．

’

．

幽

h．

L

　 　　 　 　　 　　 　 　　 　　 　 　 丶

．

　　°

，

■

L7

．

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

、

　 　

，

0　0

．

3　0

．

6　0

．

9　1

．

2　1

．

5　1

、

a 　 　 　 αb 　 　 　 ｛b） 鉛直 図

一

4　 定 常 応 答 値の比 較 く加 振問 題） ？　nT 　51 　0o

，

5o

．

o UzIhx10

’

41 （b） 鉛 直 20　0 5

　

　

　

03 　 　 3 ρ

₋

〇

一

5 　 　

　

0 　 　

　

5 2 　 　

　

2x ℃ 。 と

ζ

0 　 　 5 　 　 00 1 　 　

　

0 　 　

　

0 0 コ 3 五 巳 く

　　　　　　 齟

’

　 　 　 　

− rノ

齟

＿，

一齟

’■

My【亡，

＝

200Slnwt　匸

鬮

n

−

k卩ps｝ 302

．

5 ？01

．

5100so 　o

’

° °

’

3 °

’

6 °

’

921

’

5 α

1

・

5 　〔c ）　回転 （Y 軸 回り） 壷 y

嚠

・

eti

‘

1cr1

］

　 　 　 Cr1〆B O　O　 　 　 　 　s　O　 　 　 　 　lO

．

0　 　 　 　 　15

．

0　 　 　 　20

．

O 　 　 （c） 回転 （

Y

軸 回り） 図

一

5　応 答 変位の経 時 変 化 （単 独 基 礎：α 。

−

1

，

5）

一

₁₄₂

一

式 （

36

）に よ り計算す る もの と す る

。

こ の式は

，

各 時間 ご との応答振幅を表 しており， これに より過 渡 応 答 部 と 定 常応答 部とを区別で き

，

過渡応答の_{複 雑}な挙動 を把 握 する こ と がで き る。 こ の 図は

，

横 軸に 無 次 元 化 時 間

C27

ソ

B

を， 縦 軸に図

一

_{4同 様}

_，

_{有 次 元 化 変 位 を とっ で} い る

。

この 図 よ

rp

　

）

過渡 状 態_， 定 常 状 態の両 方 を見るこ とがで き

，

どの_{方 向}の応答とも

，

時間が

5．0

前後で_定常 状 態へ _{と移 行し}て いくのがわ か る

。

　

4，1．

2

　入射問 題 　 単 独 埋 込み 剛 基 礎に

，

平 面

SH

波が

，

入 射 角 度 θ＝ O

°

，45

°

で入射 し た場 合の定 常 応 答 値を

Dominguez

の解35） と比較す る

。

解析モ デ ル な らびに形 状 を 図

一6

に 示す

。

こ の_{場 合}も時間間 隔は β

；

1の_{場 合}を用い て い る。 なお， 用い た物 理 定 数は次の と おり である

。

　 　 　μ

篇

8

．

398XlO61b ／

ft2

　 　 　v

＝

1／3　　　　　　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

4−・

…

　（37 ） 　 　 　p

＝lo．

3681b・

sec2 _／ノが 　図

一

7は_， 水平， 回 転 変位の定常応答値で ある

。

横軸 に振 動 数 （

fe

＝C

，〆

4

　

E ，

　

E

：埋込 み長さ）を

，

縦 軸に， 自 由地 表 面 変 位で無 次 元 化 された変 位 を とっ て い る

。

こ の_{結 果}よ り， 本 手法に よ る解は， 入射 角 度に よ らず

Dominguez

の解と良く

一

致して いるの が分か る

。

　次に_， こ の モ デル につ い て_， 時 間 間 隔At を変 化さ せ た時の応 答 値の_変化 を調べ る

。

図

一8

は

，

振 動数が2f。 の場 合の応 答 値の 変化を示 して いる。 横 軸に パ ラ メ

ー

タ

ー

β（

＝At ・

C

，／

R

） を

，

縦 軸に Dominguez の 解によ り基準化さ れ た応 答 値 （1

，

0

が

Dominguez

の_{解 ）}を とっ てい る。 これ か ら

，

β＝ ユ

，

O〜2．0

の 間で妥 当な解が得ら れて いるよ うである

。

た だ し， こ の ことが

一

_{般 的に言え} るた めに は_， 多くの数 値 計 算を 必要と する

。

こ こ で は_，

一

_{例を示す に と ど め る} 。 　4

．

2　双設 基 礎の応 答 解 析 　 4

，

2

．

1 解析モ デル の_設定 　 本節で は

，

三次 元 双 設 剛 基 礎の加 振 問 題な ら びに入射 問題 を扱い_， 基 礎

一

地 盤の_相互作用の み ならず， 基 礎

一

_基 礎の_相互作用 （cross 　

interaction

_）の_{影 響}を検 討す る

。

こ の よ うな基礎は

，

た と えば

，

原子 炉建屋と タ

ー

ビン建 屋の基 礎の場 合などに相 当 する

。

双 設 基 礎の相 互 作 用 解 析は

，

近年

，

周波 数 領 域で は 比較 的 多く行わ れて い る が43 〕

−

41 ）

_，

_時 間 領域で は ほ と ん ど行わ れて い ない29］

・

32 ）

。

2W

／

W／Bニ5fs E／B

＝

2 図

一

6　入射 問 題の解析モ デル

1

剛／

IUyl

_甘 1

_，

0 0

．

8 O

．

6 O

．

₄ O

．

2 Q

、

0

Horizonta1

’

へ

　

h 　 　 込

　　　、

　　　 、

motion

＝

1

：

謝

恥 啣

：

1

：

職

・

黼

A へ

＿．

_tr

，

一

一

△  」

IB

／

IUyl

量 0

．

60

．

4 0

。

2 　 　 　

f。

Rocking

　motion 2tv 　 　 　 　

一

一

一

△

，

一

一

一

△ 　

，

卩

，

齋

，

−

tr 　 　 　

F

△r

，

　 　 　 　

，

−

4r

−−

0

．

0　 　 　

．

・

．

一

＿

一一一一一一一一一一一「

　 　 　 　f

。

　 　 　 2†

。

　 図

一

7　 定 常 応 答 値の比 較 （入射 問 題 ；SH 波 ）

IUylflUy

。［ 1

．

05 1

．

oo O

．

95

HOriZOntal

　mOtiOn

　　　　

0

一

_θ

＝

O

　　　　

o

−一一

一

一

_e

＝

45 　 　 　 　 　1

．

0　　　　　　2

．

0　　　　　　3

，

0

i

も

1

〆

1

屯。

l

　 　 Rocking 　motion 4

．

OcL △し ／R 1

．

OQ90

．

BO

．

70

．

60

．

5 　 　 　 1

．

0　　　　　　2

．

0　　　　　　3

．

0　　　　　　4

．

O 　 　 　 CI△t／R 図

一8

　 時 間 間 隔Atの変 化による応 答 値の精 度 変 化 Y ΦY 　 φ 唆 Φxx 　 z

−一

．

一

一

Φ z　 L

幽

一

　 　 　 X 　 　 　 u」 B 　 9 εレ BASE

−

1 BASE

−2

図

一

9 双設 基 礎の解 析モデル

一

₁₄₃

一

最近

，Wong

と

Luco

は_， 文 献48＞に おい て

，

二つ の 地表面基礎が接して い る場合， 水平インピ

ー

_ダンスが 無 限 大にな ること を示し， 基礎間距離に対応し た要 素 分 割 方 法 を提 案 し て い る

。

本論で は

，Wong

ら の提案を 基に し

，

ま た実 際の 二 つ の建 屋の配置状 況 を 考 慮して

，

図

一

9の よ うな解 析モ デル を考え る。

　

解 析モ デル は双 設 剛 基 礎と し_， 基 礎

一

1 （BASE

−1

） は埋 込み剛基 礎

，

基礎

一2

（

BASE −

2）は地 表 面 剛 基礎 とし_， モ デル形 状な ら びに物理定 数を次の よ うに設定す る

。

　 （形状 ） （物理定数） 基 礎 間 距 離

．L

＝

2．

4

　

B

埋 込 み 比 ：

EIB

＝

1．

2

基 礎 半 幅 ：

B ・・

40　m μ＝ 2

．

5×

lost

／m2 y

＝

1／

3p

＝ 025t

・

sect／m4

・

…・

・

…

_（

₃₈

_） な お

，

半無 限 地盤は等方 均質な弾性体と し

，

基礎は地 盤 と完 全に密 着 し， 無 質 量 と す る

。

計算に用いた時間 間隔

At

はβ＝・

1

の_場合であ る。 　4

．

2

．

2　 加 振 問 題

　

こ こでは_， 基 礎 間 距 離

一

定の条 件 下で の隣 接 基礎の_影 響を見る。 図

一10

に示す

4

ケ

ー

スにつ い て計 算を行い， 単 独 基 礎 との比 較 を行 う

。

作 用 外 力は次のとお りである

。

　　 　

Px

＝　

Pz

＝ 1000　exp _（

i

ωt）　（t） 　　 　　　 　　　 　　 　　　 　　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

39

） 　　 　

Mv

＝

IOOO　exp （

ia

，

t

）　（t

・

m） 　

CASE −

1（a _） ，　

CASE −

1（

b

）は双 設基 礎の 場合で

，

そ れ ぞ れ

BASE −1

の みに

，

　

BASE −2

の みに上記の外 力 が作 用 するもの とする

。

CASB2

，

　

CASE

−

3は

，

_それ_ぞ

♀

］

≦

虱

r

−

−

L

「

コ

ー

GASE

−

₁

_（a〕

τ

CASE −

2

CASE

−

1

（

b

） 一

CASE

−

3

図

一10

解 析ケ

ー

ス れ単独 埋 込み剛 基礎に

，

単 独地表面 剛基礎に上 記外力が 作 用す るものと する。 なお

，

前 述の よ うに

，

応 答 変 位は

，

式 （

36

）に よ り計算さ れ る

。

　 図

一

11（a _）

〜

_（c _）は

，

そ れ ぞ れ

Px，

　

Pz，

　

My

を_{作 用}さ せ た場 合の対 応 する方 向の変 位の定 常 応 答 値 を示 す

。

横 軸に無 次 元 化 振 動 数 α，（＝ ・　■

BIC

，）を

，

縦軸に有 次元 化 変位を とっ てい る

。

図 中，

CASE ・

1（a ），　

CASE −2

は BASE

−1

の

_，

　

CASE −1

（

b

）

，

　

CASE −3

は

BASE −2

の _変

位 を表して い る。 これ か ら

，BASE −2

の地表面変位の 方 がこう配が大 きく

，

振 動 数の影 響 を受 けやすい こと

，

単独基礎と双設 基礎とでは定常応答饐にそ れ ほどの_差が ない ことが分か る。 言いか え る と

，

双設基礎の場合の そ れ自 身の コ ンプライアンスと単 独 基 礎の コ ンブライア ン ス と で差が生じ な いこと に な る。　 　 　 　

．

　図

一

12 （a _）

〜

_（c _）は

，

双 設基礎の

BASE −

1の_変位に 着目 し たもの であり， それ ぞれ

Px

，　

Pz

，　

Mv

を 作 用 させ た場合の対応す る方向の変位の定常応 答 値 を示す

。

これ 52

置

α O25 ー 050O 平 水 伝 5 　 　 0 　 　 5 　 　 0 　 　 5 　 　 00 2 　 　

　

2 D 　 　

　

D

冖

？

2x

∈

暫

x ⊃

 

℃ ⊃ 醒 五 ∈ ＜

92

・

59 ×　2

・

051

．

5 き 1

．

。

詈

苴o

・

s 薯 　゜

・

名

・

° °

・

51

・

° 1

・

52

・

° 。

3

・

5 　 　 　 （a _{＞ 水 平} 　

F2

・

s 　

g

　x　2

・

O

　

S1

．

5

　S1

．

。

　詈

　

蓋゜

・

5 　芝

　　

0

・

巳

0

　

05

　

】

．

。

　

1

．

S

　

2

．

e

　

2

．

5 　 　 　 αfi 　 　 　 （b）鉛直 図

一11

　双 設 基 礎と単 独基礎の_{比較 〔定常解 ）} 52

〔

罰

_脚

O

_尸

02X 　 5 ∈

】

0500 昌 O N ⊃   ℃ 2

旧

五 E く

・

° °

・

5 ’

・

° 1

・

52

・

° 。

ξ

・

5 　 　 　 　 （b） 鉛 直 5

　

　

　 　

　

02 　

　

　

　

　

2

〔

°

匚

D O

「

x 　 5 　 　 　 0 　 　 　 5 　 　 　 00 　 　 　 　 　 　 　 　 　 0 　 　

　

　

0 コ o こ 詠 商 Dp2 五 ∈ く 5 　

　

　

　

0 　

　

　

　

5 2 　 　 　

　

2

〔

ロ

_ー

O

［

　 X η 0

」

VO

孟 　 5 　 0   P 畫 α ε く

，

O　　O　5　　　

、

D　　l　S　 　2

、

0　 　2　5 　 　 　 9

黌

　 〔c_{） 回転 （}Y_軸回り） ゜

’

1

・

呑

・

・

5 ・

・

・ … 2

・

・ 。

3

・

5 　 　 ｛c ｝　 回 転 （Y軸 回り） 図

一

12　双設 基 礎の BASE

−

1の応 答 変 位 〔定 常 解 ）

一一

₁₄₄

一