入力加速度波形の初期位相特性が履歴型非線形系の非対称応答に及ぼす影響

1

論　 　文

1

UDC ：550

，

344 日本 建築 学 会 構 造 系 論 文 報告 集 第 388 号

・

昭 和 63 年 6 月

入 力 加

速度波

形

の

_{初期 位相特性}

が

_履

歴 型 非 線 形

系

の

　　　　　　

非 対 称

応 答

に

_及

ぼ す

影 響

正 会 員

木

　 村

　

正

　彦

＊ 　

1

．

は じめに 　建 築 構 造 物の確率的地震 応答 解析に関す る研 究の多く は_， 構 造 物の動 特 性が応 答の_方向と大き さに_関して_対称 で あ り

，

入力加速度波形振 幅の大き さ お よび正 負 方 向 性 に関す る確率 特性が 時 間 軸に関して対 称な性 質 を持つ 場 合 を想 定 してい る。 当然の こ とな が ら， そ の よ うな場 合 に は構造物の確率的応 答値も対称に な る

。

入 力 波 形に対 し

，

振幅の大き さ や正負方 向性の対 称 性 を仮 定 すること は

，

地 震の発生場 所や地

盤

構 造などの地 震環境を規定す る確 率 場 を

，

建 設 地点に関し て対称と す ること に対 応す る

。一

方

，

地 震 学や 地球物理学等の_{進 展}によ り

，

徐々に 地 震 環 境の大 域 的な構 造が明ら かに さ れつ つ あ り， 建 設 地点の地 震 環境を規 定す る確率場の構 造は

一

般に対 称で は ないと考え るのが自然になっ ている

。

し たがっ て

，

建 築構造物の確率的地 震 応 答 解 析に お い て も

，

そ の確 率 場 の非 対 称 構 造に起 因して生 ずると考えられ る入 力 振幅波 形の非 対 称 性 を考 慮 し た解 析を行う 必要が あ る。 　時 間 領 域に お い てこ の入 力 振 幅 波 形の非 対 称 性 を考慮 す ることは

，

周 波 数 領 域におい てはフ

ー

リエ位 相の_初期 位 相 を問 題にすること に対応す る。 こ のこと は

，

周 波 数 軸の_制限帯域におい て

一

定 値の フ

ー

リエ_{振 幅}と直 線状の フ

ー・

リエ 位相を有す る フィ ル タ

ー

の時 間 領 域に おける解 析的表現を利用して， フ

ー

リエ位 相の初 期 位 相が原 時 間 関 数の波 形 形状を規定し て お り， その最大 値， 最 小 値に 無 視で き ない影 響を与え ることを示し た研 究 （木 村D， 木 村2りに より明ら か に さ れ てい る

。

　フ

ー

リエ_{位 相}の_{初期位相 （}以 下， 単に初 期 位 相とい う 場 合 が あ る）と構 造 物の動 的 応 答の 関係 を扱っ た研 究に 和泉ほ か3｝， 和 泉ほか 4，_がある 。 和泉ほ か 3｝_は

_，

_{モ ンテ カ} ル ロ シ ミュ レ

ー

シ ョ ン に よ り 1質点バ イ リニア系の 確 率 的 応 答 を求 め

，

入 力 加 速 度 波 形の_{初期 位相}の_相違が系の 応 答に大 きな ば らつ き を生じ さ せ ることを報 告 して い る

。

また_， 和 泉ほかd）_は

_，

_{確定 波 入 力}の も と で， 入力 波 形の初 期 位 相が応 答ス ペ ク トル に及ぼ す影響 を 調べ て お り， 入 力 波 形の フ

ー

_リエ 振 幅ス ペク トル が同

一

でもフ

ー

リエ 位相の初 期 位 相の 違い に よ り

，

系の_{周波 数特}性に ． _{小 山工 業 高 等 専 門 学 校　助 手}

・

_工博 　〔昭 和6Z年IO月31日原橋 受 理 ） よっ ては応 答ス ペ ク トル値に無 視で き ない _{程 度}の_{影 響}が 及ぶこと を示す計 算 結 果を報告して い る。 入力波形の フ

ー

リエ_位相特性と構造物の_{応 答特性}との_関係を扱っ た 研究に 石井ほ かS〕 がある が， こ の研 究で は フ

ー

リエ 位 相 差 分 分 布の差 分 方 向へ の広 がりに着 目してい る

。

フ

ー

リ エ _位相の_{初 期位相}が_構造物の動 的 応 答に どの_程度の影 響 を与え る かにつ い て検 討 を行っ ている研 究は， 上 記の和 泉ほ かS〕

，

和 泉ほ か4， に見 ら れ る程 度で ほとんど 行 わ れ てい ない _。 　 実際の地 震 動波形の初期位相分布は， 震源に お け る岩 石の_{破 壊}過程や伝播 経路の か く乱によ り周波 数軸方 向に おい て も ランダムな ゆ ら ぎ を有し てい る と考え ら れ， こ の ゆ ら ぎ がどの_{程 度}の もので あ るの か， さ ら に は構造 物 の確 率 的 地 震 応 答 解 析において初 期 位 相の確 率 分 布 をい か に与え る の が合 理 的である の か につ い て は

，

地 震 発 生 の メカニ _ズムや伝 播 経 路 等に関 連 する地 震 動の理 論 的

，

実 証 的 研 究の今 後の発 展に依 拠 する ところ が大きい。 し か し な が ら

，

地 震 環境を 規 定 す る 確 率 場の _非対 称 性 に起 因す る 入力振幅波形の_非対称性が予 見さ れ る な らば

，

こ の非対称 性と構造 物の動的応 答特性と の関係に対す る検 討を行っ て お くこ と が 工学 的 視 点か ら要 請さ れ る。 そ し て

，

こ の検 討におい て は

，

構 造 物モ デル と して

，

塑 性流 れの ある履 歴 型の非 線 形 系が特に注 目さ れる

。

それ は

，

こ の_種の_系の地 震 応 答に お い て は片 揺れ振 動 が生 起 する 場合が あり， こ の現 象 が入力 振 幅 波 形の非 対 称 性 と関 係 している ことが強く推 察 される か らである

。

　 以上の点を考 慮し

，

本 論 文で は

，

応 答の方 向と大き さ に関 して対 称な動 特 性 を有 する構 造 物モ デル と して塑性 流れ の あ る履歴型非線形系を採用し

，

この系が フ

ー

リエ 位 相の初 期 位 相にあ る 特 性 を 持つ加 速 度 波 形 を受 ける場 合の_{確 率的}応 答 を求め， 特に応 答の最大 値， 最 小 値に着 目 し た考察を通し て

_，

入力 加 速 度 波 形の初 期 位相特 性が 履 歴 型 非線形系の非 対 称 応答に及 ぼ す 影 響 を 明 らか にす ること を目的と す る

。

な お， 線形系の応 答に対 して入力 加 速度 波形の初期位 相が 及ぽ す影 響につ い ても考 察 す る。 　

2、

解 析モデル 　応 答の方 向と大き さ に関して対 称な動特性を有す る

，

一

₂₈

一

ωn

＝

2

』

π

h

＝

O

．

02

Q

0 ． 1

α三

K1

！

K2

＝

O ．2

．

0

．

3

「

3e2tan

・

_θ、 ＝

K1

1

；

臨

tan

θゴ＝

K2

9

．

1

：

81

Fig

．

1　Bilinear　system

X 塑 性 流れ のある履 歴 型 非 線 形 系とし て は

，

バ _イ

・

_リニ ア型 の復 元 力 特 性を持つ 1自 由 度系を採 用する

。

こ の系の線 形 時 非 減 衰 固 有 周 波 数は1Hz

，

減 衰 定 数は O

．

02

，

降 伏 変 位は 1

』

と す

、

る。 第 1第 2分 岐 剛 性 比a は

，0，0．

1，

o

．

2の 3つ の場 合 を対 象と する _（Fig

．

1参 照 ）。 　 解くべ _{き微 分 方 程 式}は_， 初 期 条 件 （2）式の もとで の （1 ）式で あるが

，

入 力で ある加 速 度 波 形

f

（

t

）は

，

確 率過 程 と み な すの が合理的である の で

，

（1）式は状 態 変数が確率変 数と な る確率 微分方 程 式で あ る

。

　　 　

t

｝＋2んω訪＋

Q

（x

，d7

）

＝一

ノ（孟｝

層

_………・

_・

（1） 　　 　x（0）＝

0，

　£_（

O

_）ニ

0・

・

…・

…・

・

…・

………

（2） こ こ に

h ＝0．

02

， ω。

＝2

π で，

Q

（x，　

th

）はバ イ リニ ア型 の履 歴 を 示す非 線 形 項

圏

（降 伏 変 位は 1

，

第 1第2分 岐 剛 性比 α は

，

0

，

0

．

1

，

0

．

2の いずれ か ）で ある

。

履 歴 型の 非 線 形 項 を有す る確 率 微 分 方 程 式 （1）式の解 法 を

，

こ こ で は モンテ カルロ 法に より行 うe モ ンテ カルロ法 の サ ンプル数は 300 とし

，

_直接積分法は線形 加 速度法 を用い

，

時 間 刻み の ス テップは10

．

01秒とする。 　入 力 加 速 度 波 形

f

（t）の作成は木村2，_に従い

_，

_{周波 数軸} 上の制 限 帯 域におい て

一

定値の フ

ー

リエ振 幅と直線 状の フ

ー

リエ 位 相 を有す るフ ィ ル タ

ー

F。（ω）の確 率 的 重ね合

」

_{わ せに よ り その周 波 数 特 性 F（ω）を規 定 する} 。 そ して

，

その

F

_（ω）を構 成す る

Fe

（ω〉に対 応する閉 形 式の時 間 関 数ゐ  を 時間 領域に おい て重ね合 わせ る こ とに より ∫｛

t

）を 作 成す る

。

周 波 数 領 域の 制 限 帯 域 ［ω。

一

ω，

，

ω。＋ω」に おい て

，一

定 値の フ

ー

リエ 振 幅 A

，

フ

ー

リエ 位 相の

一

定 な傾 きt。r

，

フ

ー

リエ位 相の初 期位相 φ。か ら 構 成さ れ る

F

。（ω）に対 応す る時間 関数

f

。（

’

t

）は （

3

）式 とな る _（

Papoulis，

　

A ．

6_り

。

な お，　th は制 限 帯 域の中 心 周 波 数

，

ω， （＞

0

）は帯域の半バン ド幅である

。

　　 　ゐω

＝2Air’

t（

t−

　

t

。 。）

一

’_sin 　

1

ω、（

t−

　

t

。。）｝ 　　 　 　 　　

・

cos （tO。　t

−

ip

。

−

a）。　

t

。

。

）

…・

…・

・

…・

…・

_（3） （3＞式の表 現は

，

Fe（ω）を 規 定 する パ ラ メ

’

一

タ が原 時 間 関 数

fe

（t）に対して持つ 意 味が明 確で あ ること か ら

，

入 力波形の_{初期位 相}分布と構造 物の_{非対称応答 特性}との 関 係 を 明 らかに しよ うとする本 論 文の 目的にとっ て好 都 合であ る。 入力 加 速 度 波 形

f

（t）は

，

仮 定さ れ た

F

。（ω） の 分布に従い

，

こ の ゐω を重ね合わせ る ことに より作 成 される （（4）式 ）。 　 　 　 K

　　　

∫（t｝

＝

Σ ‘ノ

1

（t｝

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

r・

・

…

　

（4 ） 　 　 　 ‘

＝

1 た だし

，

（4＞ 式 右 辺の 下 指標

i

は

，

f

（t）を構成す る

f

。（　t）に付け ら れた番 号であ るb 　以 下に本 論 文で使 用 する 入力 加 速 度 波 形

f

（t）に仮定 され た確 率 特 性 を示 す

．

　 　　ωo

＝90Ru ・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…一

．

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

5

） 　 　　Ω。

＝20

π

・

…・

……

∵

・

………・

…・

……鹽

………

（

6

） 　 　　ω。

！

O

．

4　n

………一 …一 …・

……・

・

（

7

）

　　　

A

・＝

Dpm

………・

………

（8） 　 　

・

B

＝

1V

（m ，σ

f

）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…甲

・

・

・

…

　

…・

・

…

　

一

（9） 　 　 　

D ＝

60

・

・

・

・

・

・

……・

…・

・

……・

…………・

・

………

（10）

　　　

m

＝

（

V2

−

Es

）

〒

置_expl

−

_o

．

₅ （血o

−

E） 2 ／stl

−・

・

…

（11 ） 　 　 　σ

；

m ／5

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t・

…

　（12）

　　　

E ≡

π

……・

……・

…・

…

∴

…一 …

∴

……・

……

（13 ） 　 　　s　＝2π

・

・

・

・

・

・

・

・

…

∵

・

…−

J

…−

t

・

・

−

t

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…一・

（14 ）

t

。

．

〔繭 ）； 八

r

（40

，

1＞　（0〈ω o〈4π）

N

（30

，

1）　（4π≦ωoく8π） ハ厂（25，1）　（8π≦ωo〈12π）

・

・

……

（15）

N

（

20

，　

1

）（

12、

π≦ω。＜16π｝

・

N

（15

，

1｝　（16π≦ωoく20π） こ こに

，R

。 は区 間 （

O，1

）の

一

様分布で あ り，

N

（m

，

σ

．

り は_， 平 均値 m ， 分散 σ 2 の正 規分布で あるe 変 数の上に つ いてい る

一

は周 波 数 軸 方 向の分 布であること を示 す。

D

は_， A の大き さを 指 定 する パ ラ メ

ー

タである。 ま た， （4）式 右 辺に おける波の_{重ね 合}わ せ数 K は

，

2bo と し た

。

こ れ らの仮 定は_， フ

ー

リエ _{振 幅}ス ペ クトル につ いて は

，

スペ ク トル値の 2乗が

，

周 波 数 軸 方 向におい て両側 打ち切りの正 規 分 布 型 形 状を なす 関 数 値を空 間 平 均値と し て持ち；その空 間 方 向の確率分 布が正 規 分 布で あるこ とを意 味してい る

。

また， フ

ー

_{リエ位 相スペ ク トル につ} い て は

，tgr

を波形 の非 定 常周 波 数 特 性が15

，

20

，

25

，

30，40

秒を基点と し て時間の進行とと も

「

に低 周 波 数へ _移 行す る よ うに設 定 してい る

。

そ して

，

各 Fe（ω）ご との初 期 位 相 軌は

，

互い に独 立な

一

様 分 布 を空 間 方 向に仮定 し た場 合 と φ。

＝

0

，

0

．

25π なる確 定 値と し た場 合の

3

つ のケ

ー

スを考え た。 す な わ ち

，

』

初 期 位 相 め 分布が異な る 3 種類の

_入

_力波形群を採用 し た

。

　な お

，F

。（ω）は 岫 を中心周 波 数と す る帯域 幅が 2ω。 のバ ン ドパ スフィ ル タ

ー

で あ る か ら， （

5

＞式 を経由し て発 生さ せ ら れ る ω 。の値に対応し て

Fe

（ω）が 重な り合

一

₂₉

一

う帯域 が

一

般 に 存 在 し

，

これ ら は （0

，9

。）の周 波数 軸 上に

一

_様に_分布し てい る。

Fe

（ω）が重な り合う帯域を適 度に存 在させ ることは_， 同

一

の周波 数 成分 を持っ た波が ある時間差 をもっ て生じるよ う な 過 程 を 模擬す るこ とに 対 応する

。

こ の重 複する帯 域に お ける フ

ー

リエ 振 幅 α（ω｝， フ

ー

_リエ 位 相 β（ω）お よ びフ

ー

リエ 位 相の 傾 き 置承ω｝も解 析 的に表 現で き

，

以 下の ごとく示すこと がで き る （木 村7 ））

。

　 　 　 N　 　 　 　N 　 　 　Fs （ω）

＝

Σ_」F_』（_ω）

ニ

Σ_jAsexp （

− iidis

（ω）＞ 　 　 　 J

＝

1　 　 　 　J

弓

1 　 　 　 　　

＝

a（ω）exp 〔

一

 （ω））

……・

…・

・

・

………・

（16） 　 　 　丿φ試ω｝

＝

Jφ。。＋，ε9癌ω

一

_ω。 。＋ω。。）

・

…………・

（17 ） 　 　 　α（ω）

＝

b2

（ω）＋

d2

（ω）

・

……・

………・

……一 ・

（18 ） 　 　 β（ω〉

＝

＝

　tan

一

亘_（

d

_（ω）／

b

（ω））

………・

…・

……・

・

…

（19） 　 　 　 α（ω）

・

b

（ω）＋ c〔ω）

・

d

（ω） 　 　 　嗣 ω）諠 _〔調（_ω）_／

d

_ω

＝

　 　 　

b

： （ω）＋

dZ

（ω） 　 　 　 　　 　 　　 　

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

（20） 　 　 　α（ω）＝＝_{Σ し}

As’

_Jtgrs

’

COS 　

G

_φε（ω｝）｝

・

………・

…

（21） 　 　 　 J

＝

1 　 　 　

b

〔ω）

＝

Σ

1

_丿

48’

cos 　

G

_φ8（tO））卜

’

”…………・

・

…

（22） 　 　 　 J

＝

1

　 　 　c（ω〕

＝

Σ

LAe

・

」tgrs

・

sin （」

iPs

（ω））｝

………一

・

一

…

（23 ＞

　 　 　 ’

＝

1 　 　 　

d

（ω）

＝

Σ

1

，

As ・

sinG φs（ω｝）｝

・

…・

…………・

…・

（

24

） 　 　 　 J

；

1 （16 ）

〜

（24）式に お け下 指

Sk

　s は

，

_重なり_合う周波数帯 域を 対 象に し て い る こと を表 して い るQ ［ω。e

一

ω，e

，

tO。s十ω cs］が重なり合 う周 波 数帯域で あ る。 ま た，　JAs ， iils（ω）は

，

それぞれiF8 （ω〉の フ

ー

リエ 振 幅

，

フ

ー

リエ 位 相を表 し

，

iφ。8

，

」

tg，

s は 」φs（ω）を構 成する初 期 位 相と位 相の傾き で あ る

。

N

は， 重な り合う

Fe

（ω〉の数である。 な お

，

こ の帯 域に お ける

tgKtO

）は

，

周 波 数 軸 方 向に対 し て 周期 的な性 状 を示す

。

　

f

（

t

）の _有意な継続 時 間は，

tgr

とω。 の分 布が主に関 係す るが

，

これ らのパ ラメ

ー

タに仮 定 され た値 を考 慮し て

，

こ こ で は

60

秒を

f

（

t

）の継 続 時 間 とした

。

　

3．

応答計算結果お よび考察 　応 答 量と しては

，

相 対変位の_最大値

_，

_最小 値の期 待 値 E ［Xm。x］，　

E

［Xmtn］お よ び相 対速度の最大値

，

最小 値の 期 待 値

E

［

thm

。x］

，

　

E

［

thmbn

］に 注 目 す る

。

　

E

［

・

］は， 空 間 平 均を表す演算子であ る

。

また， 応 答の対 称 性の程 度 を 示 すパ ラメ

ー

タ rx

，

　_rt をこ れ らの量 を 用い て以 下の ご と く定 義する。 　 　 　7x

＝

9L／9s

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

（

z5

） 　 　 　9、

＝

minllE ［Xmax ］

1

，

IE

［Xm 、。］

1

ト

・・

…・

…・

・

…・

（26）

　　　9

，＝ ＝maxl

）

E

［x。 。

il1

，

IE

［x。、。］

ll

− ・

…・

……

（27 ）

　　　

γi

＝

93／9a

’

・

・

一・

・

H・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t・

・

・

・

…

　

t・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（28 ） 　 　 　9s

＝

mi皿

llE

膨  x］

1

，

IE

［

drmin

］

ll

・

・

……・

……

（

29

）

　　　9

‘

＝

max

爿E

膨  x］

1

，

lE

［Xmin］

1

卜

……・

……

（

30

）

一

₃₀

一

7x

，

　rthは 0以 上1以 下の値 をと り

，

1に近い ほど応 答の 対 称 性が高く_， 0に近いほ ど応 答の対 称 性が低い こと を 意 味 する

．

　また

，

応答の変動幅の程度を示すた めの パ ラ メ

ー

タ μx

，

燈 を下 式に定 義す る。

　　　

μx

＝

IE

［Xmax ］

1

十

lE

［Xmin］卜

……・

…・

………

（

31

）

　　　

μ 毒

＝

lE

［

thm

、、X］

i

＋

lE

［

thmbn

｝

1

……・

・

…tt幽

・

……

（

32

） 　 初 期 位 相が異 な る 3 種類 の 入 力 波 群 に 対 す る

E

［Xma）c］

，

　

E

［Xmi。］

，

7x

，

絢 の 計 算 結 果 を

Table

　

1

に

，

同

様に E ［thmax］

，

　E ［

thmhn

］

，

_γi

，

燈 の 計 算 結 果を

Table

　2に 示す

。

E ［Xrm 、］，　E ［Xm、n］，μx につ い て は_， 系の降 伏 変 位 が 1である た めに_， その値は塑 性 率 表 現と なっ て い る。

Table

　3に は

，

入力 加 速 度 波 形

f

（t）に関し

，

そ の最 大 値

，

最 小 値の期 待 値

E

［

f

（t）mmc ］

，

　

E

_［

f

_（t_{）mm ］}お よ び_PtA ”

，

　TAe を示 す。 μnt）

，

γA，）は。 （

31

）式， （

25

）

一

（

27

）式に おい て x を／（t）に変え た もの であ る

。

これ らの結果 か ら以 下 の_{事 項}を読み 取 るこ と がで き る

。

　

・

初 期 位 相 φ。を

一

様 分 布と し た場 合には

，

相 対 変 位 応 答は高い対 称 性を示し

，

系の非 線 形 性の程 度が低い ほ ど （α の値が大きい ほど）

，

より高い対 称 性を示す。 　

。

初 期 位 相 φ。を 確 定 値 と した場 合に は

，

相 対変位応 答の対 称 性は崩れ

，

_φ。 に よ り規 定され る入 力 波 形の非 対称 性の _程度よ り もさ らに拡 大 化さ れ た非 対 称 性を示 す

。

特に φ。

＝0

の場 合に は顕 著な非 対 称 性 を示す

。

　。_{相 対}速_度応答の場合に は

，

初期位相 φ 。に よ る応 答 の_{非対称 性}へ の_影響は_{相 対変位}応答ほ ど著し くは_現れ な い

。

ただし， 傾 向 として は変 位 応 答の場 合 と 同 様の傾 向 を示す

。

　

・

初 期 位 相 φ。に よ る応 答の変 動 幅へ の影 響は

，

相対 変 位 応 答につ い て は

，

系の非 線 形 性の程 度が高い （α の 値が小さい_）場合には無視で き ない

。

_相対速度応 答の変 動 幅につ い ては

，

初 期位 相に よ る 影 響 を ほ と ん ど受け な い。 　上記の事項か ら

，

バ _イリニ ア系の よ う な塑性流れのあ る履 歴 型 非 線 形 系の確 率 的応答におい ては

，

入 力 加速 度 波 形の初 期 位 相 分 布が相 対 変 位 応 答の分 布に大き な影 響 力 を持っ てい る ことがわ か る

。

すな わ ち

，

入 力 加 速 度波 形の_{初 期位相}が固 定さ れて い る場 合に は_， そ の初 期 位 相 値に よっ て規 定され る非 対 称な性 質がより拡 大 化さ れて 相 対 変 位 応 答の分 布に現れ る

。

そ れ は

，

φ

・

＝

o

，

0

．

25π の と きに相 対 変 位 応 答の対 称 性の程 度を 示 す た が

，

対 応 す る入 力加速度波 形の _γ瑞 の値を 下 回っ てい ることか ら わ か る （

Table

　l_，　

Table

　3参 照 ）

。

また

，

初 期 位 相の分 布を

一

様 乱 数で与え る ことが バ イリニ ア系の相 対 変 位 応 答の対 称 性 を 保 持 するの に大 き な 役 割 を演 じて い ること もわか る

。

要 する に

，

初 期 位 相の確 率 分 布が

一

様 分 布の よ うに対 称で ある場 合

，

相 対 変 位 応 答が正の側に か た よ る確率と負の側に か た よ る確 率 が 同 等である た めに全 体

Table　l　 Resultsof 　 Monte

Carlo

simulation 　（relative 　 　 　 　displacement） φo

・

Unifor旧 φ

。

・

0 φ。

・

0

．

25 貫 E［x

・

腿

コ 2

．

581

．

28L80 E［x

謄

m

】

一

2

．

82

一

6

．

12

一

4

．

97 α

＝

o μ

轟

5

．

40 ア

．

406

．

77 γ

昆

O

．

915O

．

209O

．

362 匸［x

闢昌

】 2

。

451

．

381

．

82 E［X

・

i

．

］

一

2

．

58

一

4

．

18

一

3

．

72 α

＝

0

．

1 μ

属

　「

5♂035

．

565

．

54 γ

＾

O二 950O

．

330o

．

4eg E［x

隣

腿

｝ 2

．

481

．

531

．

88 E［x

■

inl

一

2

．

54

一

3

．

60

一

3

．

31 α

＝

o

．

2 μ

員

5

．

025

．

135

．

19 γ

貰

0

．

976O

。

425O

．

568 と して の対 称 性が保 持さ れ てい るので あ り， 応 答の か た よ りの_程度は_{初 期位相}に よ り強く規定され て い る

。

こ の こ_とは

，

建築構造 物の確率的 地 震 応 答 解 析におい て

，

入 力 波 形の初 期位 相 特性 を考 慮し た 解析が 必要であ ること を強く示 唆して いる。 す な わ ち， 構 造物系の確 率的応 答 を表現す る変量 を

，

モンテ カルロ法の よ う な数 値 実 験に よ ら ず

，

近 似 解 析 的 な方 法によ り表現 し よ う と する な ら ば

，一

般にそ れ らの変 量は入力波 形の位 相 特 性の分 布を 規定す る パ ラメ

ー

タを 含む ように表 現 されるべ _きで ある こと を示して い る

。

ま た

，

初 期 位 相の影 響が相 対 速度応 答の非 対 称 性に対し て は相 対 変 位 応 答ほどな い の は

，

相 対 変 位 応 答の時 間 平 均 成 分が時 間微 分によ り失わ れ る こ とによる

。

　 　 　

』

t 　な お_， 現 実の地震 動 波 形は

，

震源 か ら地表地 盤 まで伝 播 する間に伝 播 媒 体の物 性や構 造の ラ ンダム性に依存す る複 雑な変 換 過 程 を受ける と考え られ

，

波 形の初 期 位 相 分布が そ ろっ て い るよ うな可能性は低い と思わ れ る。 し か し な が ら， 現 実の地 震 動 波 形の性 状を理 解す る 上で

，

初 期 位相分 布がそ ろっ て い る よ う な波形につ _いての検討 は

，

1つ の参 照 系とし て の意 義が あ る と考え ら れ る

。

　4．1

質 点 線 形 系の応 答へ _{の初 期位相}の影響 　こ こ で は

，

入力 加 速 度 波 形の 初 期 位 相が 1質 点 線 形 系 の応答に及ぼ す 影 響 に関す る基 礎 的 検 討を行う

。

前 節に おいて， 入力加速度波 形の初期位 相特 性 が 塑 性 流れ のあ る履歴 型 非 線 形 系の確 率 的 応 答に_おい て

，

応 答の非 対 称 性に大き く 関与してい る

_．

こと が示され たが

_，

こ の初 期 位 相特性が線形 応 答の非 対 称 性に関してどの よ うな影 響 力 を持っ て い るのかを調べ て お くことは， 初 期 位 相 特 性 を よ り よ く_理解 す る うえ で  基 礎 的 事 項と考え る か ら で あ る。 ま た

，

非線形性の小さ な応答を等価線形 的に扱う場 合にも

，．

こ の検 討は有効であ る。 　 1質 点 線 形 系が 入力 加速度ど して _（

3

）式の

fe

（

t

）を

Table　2　Results　of　

Monte

　Carlo　simulation _（r巳且ative 　velocity ）

φ

。

・

Unifor● φ

。

己

o φo

・

o

。

25π

　■

E［x。 脳 」 10

．

038

。

689

．

06 α iOE ［文

囗

i

．

1

一

10

。

14

一

11

．

29

一

10

．

88 μ 諏 20

．

1ア 19

．

9719

。

94 γ 曲 O

．

989Q

．

7690

．

833 E【ま

輔風

］ 10

．

5ア 9

．

759

．

72 E〔文

一

i

．

】

一

10

．

62

　　

一

11　F 05

一

10

．

98 α

二

〇

．

1 μ直 21

．

19

・

20

。

8020

。

70 γ 直 O

．

9950

．

8820

．

885 E【文

旧

6

隔

】

　　　

L11

．

　1410

．

5310

．

38

．

α

＝

o

。

2E ［★

隅

」

．

1

一

1葉

。

09

一

11

．

2ア 二11

．

30 口螽 22

．

2321

．

8021

．

68 γ 曼 0

．

996O

．

934O

．

919

Table　

3

ProbabMstic characteristics of　input　acceleration

　 　 　 　waves _ノ（のused 　in　Monte　Carlo　slTnulation φ。

・

Uniforn Φ♂

0

Φo

・0。

25

π E［f（t）

＿

143

．

6552

．2049

ゲ 09 ［【f（t）

蹲

i

。

】

一

42

．

55

一

30

．

68

一

34

．

91 Ufl し ， 86

．

2082

．

8884

。

00 γqt ） O

．

9750

．

588O

．

711 受け る場 合につ い て調べ る こ と にする

。

こ の時の運 動 方 程 式は下 式 とな る

。

　　 　袤｝十2hgth 十9’ Xife （t）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

…

　（33）

．

こ こ に_， Ω は系の 非 減 衰 固 有 角 周 波 数

，h

は減 衰 定 数 である。 （33）式 における相 対変位 応

as

’

x（t）の最大値が

f

。

（　t）の初 期 位 相 φ。の変 化に対して どの程度の増 減を示 すか を考 察す る

。

こ れ は

，

初 期 位相が 1質点線形系の_最 大 応 答 値に及ぼす 影 響を調べ ること は

，

応答の非対称性 を 調べ る ことに対 応する か らで ある

。

x（t）を求め る計 算は_， 運 動 方 程 式 （33 ）式の周 波 数 領 域にお け る表 現 式 （

34

）

〜

（38 ）

式

に基づ き

FFT

に よ り行 う。 　　 　X（ω）

＝

P（ωc

，

ω o）A　

IO

岡

1

−

ieXpI

−

_i （

X

ω）

1

　 　 　 　

・

・

・

…

　

9・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一’

t

…



．

…

_（34_）

　　　B

〔ω）

＝

（Ωi

一

ω2｝2十（

2hgtO

）！

…・

・

…・

…・

・

……・

（

35

）

．

　　 　C〔ω）〒 φ。＋ t。 ，（ω

一

ω 。＋ω，）

−

D （ω）

…………

（36）

　　 　

D

（ω）＝ tan

−

】

1

− 2

　

hgtO

／（

92−

co1）

1

・

・

…………

（37う

　　 　　　 　　　 　

1

（

一

劬

一

ω，≦ω≦

一

ω。＋ω σ， 　　 　

P

（ω。

．

ω。）

＝

　 　 ω 一 ω。≦ω≦ pm ＋ω。）

…

（38＞ 　 　 　

．

0

（elsewhere ） た だ し，

X

〔ω）はx（

t

）の フ

ー

_リエ _{変換であり （（}39_{）式 ）}

，

‘

鬲π

であ る

。

細 〒

∫：

・ω exp （

一

纛

）

d

・

・

一

：

…一 一

（・

9

） 　Ω

＝

＝

2π

，h ＝

O

．

　

02

_で

，

　

fe

（　

t

）を規 定する パ ラメ7 タ が A

＝

1000， ωo

＝

2

・

π， ωc謡 0

．

4π_い tgr

＝

20_，　

fti

〔孟）の継 続

一 31 一

2

．

罵 創 E

〔

_一

）

ア レ亅S

＝

2PAIxl　 HS

；

0

．

02 　 　 　 0

．

　 　 　　

O

　 　 　 寵

2

買 　 　 　 φo

Fig

．

2

　エ｛の眦 ofSDOF 　system 　b ∫』｛のversus φo（9

・

＝

2π

，

九

＝

　 　 　α02

，

A

＝

1000

，

嫡

＝

2π

，

ω

。

＝

0

．

4π

，

置

。

．

＝20） 瓦

嘔

∈

（

ご X LNS ：2PAI 緊L　　HS

；

O

．

且 　 　 　 o

，

　 　 　 　

0

　 　 　 皿　 　 　

2n

　 　 　 　φ。

Fig

．

3　x｛の晒

、

　Qf　SDOF 　system 　toゐ  versus φ

。

（9＝ 2π

，

九＝ 　 　 　0

．

1

，

A

＝

1000

，

伽

＝

2π

，

ω。

＝

0

．

4π

，

診， ，

＝

20＞ 2

．

置

。

、

ε

区 NS

；

2PAIxl 　 HS

＝

0

．

02 。 畧 コ

）

X 　 　 0

．

　　 　 　

o

　 　 　 凪　 　 　

2n

　 　 　 　φ。

Fig

_．

₄x（t）max　o正SDOF 　system 　to_{ゐ 〔の}versus _φ。（9

＝

2π

，

ん

＝

　　　Flg

．

5

　 　 　0

．

02

，

A

＝

1　OOO

，

妨

蕭

2π

，

ω。

＝

0

．

6π

，

　 t。．

＝

2Q） 1

．

NS

＝

2PAIxl　　 HS

＝

0

．

】 0

．

　

o

　　　　　　　

窺



2

買 　 　 　 φ。

x（の

皿

xof 　SDOF 　system 　to_{ゐ （の}versus _{φo （}Ω

二

2π

，

ん

＝

0

．

1

，

A

＝

1000

，

鋤

＝

2π

，

ω。

置

π

，

　 t。，

＝

20） 時 間が40

．

96秒であ る と き

，

x〈t）の最大 値x〔

t

）max が初 期 位 相 φ。 に よっ て どの よ う な変化を す る か を示し たの が

，

Fig

．

2

で ある。　x（

t

）  x は φ。の変化に対しほ ぼ平坦 な性 状を示 して お り

，

ほ と ん ど変 化は見 ら れ ない

。

Fig．

3に は

，

　h

＝

O

．

1で ほかの パ ラ メ

ー

タ は

Fig．

2

の場 合 と 同

一

である場 合の結 果 を示す。 減衰定 数が増加して い るの で x〈

t

）．w。，の レベ ル は半 減して い る が

，

　 x（t＞me． は ほ ぼ平坦 で あ る

。

ところで_，

f

。

〈t）の パ ワ

ー

は 2A ’ ω c に 比例す る が

，Fig．

4にtU。

＝

　

O、

6

π で ほ かの パ ラメ

ー

タ は

Fig．2

の場 合と同

一

で ある場 合の結 果 を 示す

。

　

f

。（　

t

） の パ ワ

ー

の増 加に従い _，

Fig，

2に比べ て x（

t

）max の レベ ル は上がっ て い る。 そ し て

，

x（の  の g5。に対する変 化 の程 度も わずか な が ら増 加して いる。 Fig

．

5に は ん

＝

0．

1

，

ω c

；

π で

，

や はりほ かの パ ラメ

ー

タ は

Fig．

2の場 合と同

一

で あ る場 合の_{結 果}を示す。 Fig

．

2

の 場 合よ り

f

。（

t

）のパ ワ

ー

は増加 し てい る が

，

系の減衰 定数が大き く なっ て い るの で

，

x（t）MNC の レ ベ ル は

Fig．

2に比べ 下 がっ てい る。 し か し な が ら

，

x｛tLn。x は φ。に対 し大き な 変 化を示して い る。 Fig

．

5におい て x（t）ma）、の変 動が大 きく なっ て い る の は

，

fe

（　t_）の パ ワ

ー

の 増 加に よる もの で は な く， フ

ー

_{リエ振 幅スペ クトルの周} 波 数軸方向へ の 広が りの_程度 を支配す るパ ラ メ

ー

タで あ る ω cが大き く なっ た た めに ∫粛）の時間軸 方 向へ の広が りの程 度が せ ばめ ら れ

，

そ の結果， φ。に よ る

f

。（　

t

）の値へ の影 響が大 き く なっ た た めであると考え ら れ る

。

　これ らの_結果か ら， 入力加速度波 形の初 期位相が 1質 点線形系の_相対変位応 答の_最大 値， す な わち応 答の非 対 称性に及ぼ す影 響の程 度は

，

位 相の傾 きがそろって いる よ う な帯域が固有周波数付近に あ る場 合には_， その_帯域 幅に依 存 し

，

幅が大きいほ ど大き く影 響し， 幅が小さい 場 合に は ほとんど影 響し な い こと が わ か る。 　

5．

結 　論 　本 論 文は

，

入 力 加速度波 形の初期位 相特性が履歴 型 非 線 形系の非対称応答に_及ぼ す影 響 を 明ら かにす ること を 目的と し て， 対称な動 特 性と塑 性 流れ のある履 歴 型 非 線 形 系 を有す る 1質 点バ _{イ リ}ニ _ア系が

，

フ

ー

リエ_{位 相}の_初 期 位 相にある特 性 を持つ _{加 速 度 波 形}を_{受 け}る_{場 合}の確率 的 応 答を求め_， 応 答の非 対 称 性の_{程 度}を初 期 位 相との関 係で考 察した もの であ る。 応 答値と し て は

，

相 対変位応 答および相 対 速 度 応 答の最 大 値

，

最 小値に着 目し ている

。

その_{結 果，} 塑 性 流れのあ る履 歴 型 非線 形 系に関して以 下 の_事項が明ら かにさ れ た

。

　

1 ） 入 力 加 速 度 波 形の初 期 位 相の値により相対変位応 答に顕著な非 対称 性が生 じ ることが ある

。

　2） 入 力 加 速 度波形の初期位相が

一

様分布に なっ てい ること が相対変位応答の_対称性を保持す るの に大き な役

一

₃₂

一

割を演じてい る。 　

3

） 応 答の非 対 称 性に関して

，

相対 速度応 答は相対変 位応答ほど入力加速度波形の_{初期位 相}分布の_{影 響}は受け ない。 　な お

，

1質点線 形系につ い て調べ _{た結 果} ， 相 対変位応 答の非 対 称 性に対す る初期 位相の影 響の程度は

，

位相の 傾き が そ ろっ て いる ような帯域が固有周波数付近にあ る 場 合に は， その帯域の幅に依存し， 幅が大きいほ ど大き く影 響し

，

幅 が 小さい場 合には ほ とんど影 響し ない こ と も判明し た

。

　

本論文で明ら_かに さ れ た上記の事 項は， 建 築 構 造 物の 確率的地 震 応 答解析に_{お い}て_， 入力 波 形の フ

ー

リエ _{位 相} 特 性を考 慮し た解析が必 要である こと を強く示唆し てい

、

る。 今 後は

，

入力の確率特性を規定す る情報 が 周 波 数 領 域におい て フ

ー

リエ_振幅お よびフ

ー

リエ _位相 特 性 とし て 与えられ_た場 合に

，

その_{情 報}か ら構 造 物の_{確 率的}応答値 を求め る研 究の推 進が期待さ れ る

。

　 謝 　辞 　 本研 究を進め るに_当た り， 御指導， 御助言 を賜りまし た東北大 学 の 和 泉 正 哲博士，清 水 建 設の勝 倉　裕博 士 （当 時 東北 大 学）に深く感 謝の意 を表 し ます

。

　な お， 本論文に おける数 値 計 算は東 京 大 学 大 型 計 算 機 セ ン タ

ー

の S810 とM680 ／682H を使用し て行い まし た

。

参考 文 献 1） 木村正彦：模 擬 地 震動作成にお け る波形制御につ い て

，

　　日本 建 築学会 構 造 系 論 文 報 告 集

，

第 367号

，

pp

．

₃₀

−

36_， 　 　 昭 和61年9月 2） 木 村正彦：模 擬地震動 波 形のフ

ー

リエ 位椙特 性 に 関 す る 　 　基 礎 的 研 究

，

日本 建 築 学 会 構 造 系論 文 報 告集

，

第375号

，

　 　pp

．

10

−

17

，

昭 和62年5月 3） 和泉正哲

，

勝 倉　裕

，

李　再 明； ラ ンダム波の位相 特性 　 　 とランダム応 答 特 性

。

日本 建 築 学 会 大 会 学術 講 演 梗 概 集

，

　 　B

，

構造 1

，

pp

．

711

−

712

，

昭和61 年8月 4） 和泉正 哲

，

勝 倉　裕

，

大野　晋

，

桜田浩 樹 ：地 震動の位 　 　相特 性 （その1：1質 点 振 動モデル に対する地 震 動の位 相 　　特 性 ）

，

日 本 建 築 学会東北支 部研 究報告集

，

第49号

，

　 　pp

．

319

−

324

，

昭 和62年3月 5）石井 　透

，

神田　順

，

岩 崎良二 ：狭帯域位相 特性を 考 慮 　　し た建 築 設 計用模 擬 地

．

震 動 作 成 手 法

，

日本 建 築 学 会 構 造 　 　 系 論 文 報 告 集

，

第379 号

，

pp

．

49

−

57

_，

昭 和62年 9月 6）　Papoulis

，

　A

．

，

　The　Fourier　Integlal　and 　Its　Applica

．

　L　tions，　McGiaw

・

Hill，　pp

．

120

−

124

，

　pp

．

97

−

98

，

1962 7） 木 村 正 彦：地 震 動 波 形 を模 擬 するあ る種の_{時 間 関数}の_群

　 　遅 延時閥スペク トル特 性

，

昭和62年 度日本 建 築 学 会 関東

　　支 部 研 究 報告集

，

構造 系

，

pp

，

221

−

224

，

昭和62年 7月

SYNOPSIS

UDC:55e.344

INFLUENCE

OF

INITIAL

PHASE

DISTRIBUTION

OF

INPUT

ACCELERATION

WAVE

ON

ASYMMETRIC

RESPONSE

OF

HYSTERETIC

NONLINEAR

SYSTEMS

by

Dr.MASAHIKO KIMURA, ResearchAssociateef Oyama

NationalColtege of Technology,Member of A.I.J.

The aim of this _paper

is

toinvestigatethe influenceof the

initial

phase

clistribution

of the

input

acceleration wave on theasymmetrie response of hystereticnonlinear systems.

In

order toattain the aim, stochastic responses of

SDOF

bilinear

hysteretic

systems subjected tesome

kinds

of simulated acceleration waves, which

have

speci-fied

initial_phase

distributions,

were calculated.

Through

theexamination of the response characteristics with respect tomaximurn and minimum values of the relativg

displacement

and velocity, the

following

conclusions were obtained

in

connection with

hysteretic

non-linearsystems with _plastic

flow.

1)

Remarkable

asymmetry of the relative

displacement

respense occures according to the initial

phase

tribution of the

input

acceleration wave.

2)

Uniform

distribution

of the initial_phase of the

input

acceleration wave _playesan

important

role to

tainsymmetry of the relative

di$placement

response.

3)

Relative

velocity response

is

not affected

by

the

initial

_phase of the

input

acceleration wave so much as

therelative

di$placernent

response.

Effect

of the initial_phase

distributin

of the

input

acceleration wave on the

linear

system response was also

in-vestigated.

When

a

frequency

band,

in

which _phase

inclination

is

almost constant, exists near the natural

fre-quency of the systern, the degree of the effect

depends

on the

frequency

band

width.

In

the case thatsuch

fre-quency

band

spreads widely, initialphase

has

a

great

influence

on the relative

displacement

response of the

linear

system,

The conclusions obtained inthis_paperindicatethe necessity of the

incorporation

of the parametersprescribing

Fourier

_phase spectrum of the inputseismic wave

into

stochastic response analyses of structures.