SGC
ライブラリ
- 70
重点解説
基礎微分幾何
曲面，多様体，テンソル，微分形式，リーマン幾何
塩谷 隆 著
サイエンス社
まえがき
本書は，初学者向けの微分幾何学の入門書である．学部2, 3年生ぐらいから大学院レベルの専門 的な微分幾何の基礎を，広い範囲に渡って横断的に学べるように解説した本である．内容としては， 曲面，多様体，テンソル，微分形式，リーマン幾何となり，普通なら2∼3冊分の本の内容だが，著 者が（独断と偏見により）とくに重要と思う項目に絞って解説した．本書を読むために必要な基礎 知識としては，微分積分と線形代数（集合と写像の基礎事項，-δ論法，ベクトル空間を含む）に通 じていれば十分である．位相空間論を知っていればなおよいが，必ずしも知らなくとも読めるよう に配慮した．この意味で，数学科以外の理工系の方々にも受け入れやすいと思う．定義や概念など は，初学者に分かりやすいよう，できるだけ図形的もしくは直観的な定義を採用し，その定義・概 念の意味の説明を心掛けた．また途中から読んでも読めるように，前に学んだ定理や補題を使う場 合は，できるだけ引用を明示した．証明はあまり行間を飛ばさず丁寧に書いたつもりである．他の 本にはあまり見られない本書の特色を以下に挙げる． ・多様体については，位相空間論を使った定義と使わない定義を両方述べ，位相空間論を知らなく とも読めるように配慮した． ・テンソルとテンソル場について，現代的な方法で丁寧な解説を試みた． ・微分形式の直観的な意味を説明した． ・曲面論とリーマン幾何がつながるよう解説した． 本書は章ごとにある程度独立しているので，部分的に読むことも可能と思う．たとえば，多様体 の必要最低限のことを勉強したい場合は，2.1∼2.8節のみ読めばよい．テンソルと微分形式を勉強 したい場合は，それに加えて第3章を読めばよく，2.9∼2.13節は必要に応じて後から補う程度で 大丈夫かと思う．第4章を読むには，第2章と第3章は全部必要で，第1章も読まれることを勧め る．ただし，位相空間論に通じた読者は，2.1節と2.10∼2.12節は読む必要はない． また，本書では必要最低限の事項のみに止めて，比較的高度なところまでの解説を試みたので，決 して包括的な本ではないことをお断りしておく．もし読者が微分幾何学の研究者を目指すなら，本 書を学んだ後，ぜひ他の本も読まれることを勧める．本書を読んだ後に読む本として，巻末の参考 文献表の[8]∼[14]などが適当と思う．また，本書が難しいと思われる読者は，微分積分や線形代数 （ここでは[1],[2]を挙げておくが，もう少しやさしい本でもよい）を勉強されると共に，文献[4]∼[7] が訳に立つと思う．とくに本書の第2章以降を勉強されたい場合は，文献[4]の第1章を習得され てから本書に取り掛かるとよい． 本書を書くにあたって，筑波大学の永野幸一氏，および東北大学学生の北別府悠君と小澤龍ノ助 君には，未完成の原稿を丹念に読んでもらい，本書の完成に大いに貢献してくれた．ここに深く感 謝する．また，「数理科学」編集部の平勢耕介氏には，〆切を延ばしてもらったり，予定したページ 数を越えてしまったりと，色々ご苦労をおかけした．ここに感謝の意を表する． 2009年8月 塩谷 隆目 次
第1章 曲 面 1 1.1 平面曲線 . . . . 1 1.2 正則曲面 . . . . 4 1.3 第1基本量. . . . 8 1.4 第2基本量. . . . 9 1.5 主曲率，平均曲率，ガウス曲率 . . . . 12 1.6 第1変分公式と測地線. . . . 16 1.7 平行移動と共変微分 . . . . 18 1.8 面 積 . . . . 21 1.9 曲面の一般化と大域的理論 . . . . 23 第2章 微分可能多様体 27 2.1 Rnの位相 . . . . 27 2.2 座標をもつ空間 . . . . 35 2.3 微分可能多様体の定義 . . . . 37 2.4 接空間と曲線の速度ベクトル . . . . 44 2.5 ベクトル場とリー括弧積. . . . 52 2.6 写像の微分 . . . . 56 2.7 部分多様体 . . . . 61 2.8 微分同相変換と商多様体. . . . 66 2.9 接 束 . . . . 73 2.10 ハウスドルフ性. . . . 75 2.11 多様体の位相 . . . . 77 2.12 コンパクト性 . . . . 82 2.13 多様体の位相と微分構造についてのお話 . . . . 84 第3章 テンソル場と微分形式 86 3.1 双対ベクトル空間 . . . . 86 3.2 1次微分形式と線積分 . . . . 90 3.3 テンソルとテンソル場 . . . . 93 3.4 交代形式の基礎と図形的な意味 . . . . 98 3.5 1次形式の外積. . . 102 3.6 交代形式の外積 . . . 1043.7 微分形式とその積分 . . . 107 3.8 外微分 . . . 115 3.9 ストークスの定理 . . . 120 第4章 リーマン多様体 125 4.1 リーマン計量. . . 125 4.2 曲線の長さとリーマン距離 . . . 133 4.3 レビ・チビタ接続 . . . 139 4.4 曲線に沿う共変微分と平行移動 . . . 143 4.5 写像に沿う共変微分 . . . 146 4.6 第1変分公式と測地線. . . 149 4.7 曲率テンソル. . . 154 4.8 断面曲率とリッチ曲率 . . . 160 4.9 指数写像 . . . 163 4.10 完備性 . . . 170 4.11 ヤコビ場 . . . 174 4.12 第2変分公式とボンネ・マイヤースの定理 . . . 177 4.13 ヘッシアン，ラプラシアン，発散定理. . . 180 第5章 補 足 185 5.1 集合と写像 . . . 185 5.2 ユークリッド空間 . . . 188 5.3 ベクトル空間. . . 189 5.4 多変数の微分積分 . . . 196 5.5 常微分方程式. . . 197 参考文献 199 索 引 200 iii
第
1
章
曲 面
1.1
平面曲線
I を実数直線Rの区間とする．すなわちIは( a, b ), ( a, b ], [ a, b ), [ a, b ] (−∞ ≤ a < b ≤ +∞) のいずれかである．写像c : I → R2を平面R2上の曲
線(curve)，または平面曲線(plane curve)と呼ぶ．以下，曲線c : I→ R2は常
に何回でも微分できる，つまりC∞であると仮定する．ここで，Iが開区間で ない場合にc : I→ R2がC∞とは，Iを含む開区間I˜とC∞曲線˜c : ˜I→ R2
が存在して，˜c|I = cであることを意味する．
曲線c : I → R2のt ∈ I における微分c(t)をcの接ベクトル(tangent
vector)または速度ベクトル(velocity vector)と呼ぶ．c(t) = (x(t), y(t))とお けば，c(t) = (x(t), y(t))である．また， c(t) = lim h→0 c(t + h)− c(t) h であることから，c(t)をc(t)を始点とするベクトルと見ることにより，c(t) はc(t)でcに接しているベクトルであることが分かる（図1.1を見よ）．c(t) はc(t)の動く方向を表し，その長さc(t)はc(t)の動く速さに一致している． （第1章∼第3章では，Rnのベクトルの長さをvで表すものとする．） 図1.1
第
2
章
微分可能多様体
2.1
R
nの位相
この章では，Rnの開集合，閉集合，点列の収束，写像の連続性，コンパクト 性，同相，微分同相について解説する．これらのことに既に通じている読者は 読み飛ばして構わない． · をRn上のユークリッドノルムとする（定義5.2.3を見よ）．1点x∈ Rn と実数r > 0に対して， B(x, r) :={ y ∈ Rn| x − y < r }, ¯ B(x, r) :={ y ∈ Rn| x − y ≤ r }と定義し，B(x, r)を開球体(open ball)，B(x, r)¯ を閉球体(closed ball)と呼ぶ． xをB(x, r)（またはB(x, r)¯ ）の中心(center)，rをB(x, r)（またはB(x, r)¯ ） の半径(radius)という． A⊂ Rnを部分集合とする． 定義2.1.1（内点，境界点） 点x∈ RnがAの内点(interior point)である とは，あるr > 0が存在してB(x, r)⊂ Aであるときをいう．Aの内点全体の 集合をA◦で表し，Aの内部(interior) または開核と呼ぶ．1点x∈ RnがA の境界点(boundary point)であるとは，どんなr > 0に対してもB(x, r)は AとAc:= X\ Aの両方と交わるときをいう（図2.1を見よ）．Aの境界点全 体の集合を∂Aで表し，Aの境界(boundary)と呼ぶ． Aの内点はAの点である．どんなAの点もAの内点か境界点であるが，境 界点はAの点とは限らない．つまり，A◦⊂ A ⊂ A◦∪ ∂Aが成り立つ．また， Aの内点は境界点ではないので，A◦∩ ∂A = ∅である．Aの境界点はAcの境 界点なので，∂(Ac) = ∂Aが成り立つ． 定義2.1.2（開集合，閉集合） Aの点がすべて内点であるとき，つまりA◦= A
第
3
章
テンソル場と微分形式
3.1
双対ベクトル空間
V をn次元実ベクトル空間とする．
定義3.1.1（双対ベクトル空間） 線形関数ω : V → R全体の空間をV∗とお き，V の双対（ベクトル）空間(dual (vector) space)と呼ぶ．V∗の元を1次 形式(1-form)または余ベクトル(covector)と呼ぶ． V∗の和とスカラー倍を以下のように定義すると，V∗は実ベクトル空間とな る．ω, ω1, ω2∈ V∗, a∈ R, v ∈ V に対して， (ω1+ ω2)(v) := ω1(v) + ω2(v), (aω)(v) := a ω(v). たとえば，数ベクトル空間Rn上のベクトルv∈ Rnに対して，v方向の成分 を対応させる関数v∗(u) :=u, v (u ∈ Rn)は1次形式である．ここで，·, · はRn上の標準内積である． より一般に，V が内積·, · をもつベクトル空間ならば，v ∈ V に対して v∗(u) :=u, v (u ∈ V )と定義すれば，v∗∈ V∗となる．逆に，任意のω∈ V∗ に対して，あるω∗∈ Vが定まってω(u) =ω∗, u (u ∈ V )が成り立つことを示 そう．実際，V の正規直交基底e1, e2, . . . , enをとり，ω∗ :=ni=1ω(ei)eiとおけ ばよい．任意のu =ni=1uiei∈ Vに対して，ω(u) = n i=1uiω(ei) =ω∗, u ． 任意のv∈ V に対して(v∗)∗= vかつ，写像V v → v∗ ∈ V∗は線形同型写 像である（演習問題とする）．とくに双対空間V∗はV に線形同型となる． （内積の定まっていない）一般のベクトル空間V に対しては，v∈ V に対し てv∗∈ V∗は定義されないので，注意が必要である． 定義3.1.2（双対基底） V をn次元として，e1, e2, . . . , enをV の基底とす る．ei ∈ V∗ (i = 1, 2, . . . , n) を，任意のベクトルv = n i=1viei ∈ V に対
第
4
章
リーマン多様体
4.1
リーマン計量
定義 4.1.1（リーマン計量，リーマン多様体） M を微分可能多様体でハウ スドルフと仮定する．M の各点pに対して，接空間TpM 上の（正値）内積 ·, · pが定まっているとき，写像M p → ·, · pをリーマン計量(Riemannian metric)と呼ぶ．リーマン計量は(0, 2)型テンソル場である．Mとリーマン計 量·, · p (p∈ M)の組をリーマン多様体(Riemannian manifold)と呼ぶ．し ばしばMをリーマン多様体と呼ぶが，そのときはリーマン計量·, · pが備わっ ているものとする．以降，·, · pのpを略して·, · と書くことにする． R3の曲面Mの1点における2つの接ベクトルの標準内積はリーマン計量と なり，曲面M はリーマン多様体となる（詳しくは後の「B.リーマン部分多様 体」を見よ）． Rn上の標準内積を·, · Rnと書くことにする．Rnの接空間TpRn (p∈ Rn) はRnに同一視されるので，標準内積·, · RnからRn上のリーマン計量が定ま るが，これをユークリッド計量(Euclidean metric)と呼び，標準内積と同じ記 号·, · Rnで表す．とくに断らない限り，Rnはユークリッド計量が備わってい るリーマン多様体とみなす． 以下，Mをn次元リーマン多様体，·, · をM のリーマン計量とする．リー マン計量から接ベクトルの長さや角度を測ることができる． 定義 4.1.2（接ベクトルの長さ，角度） 接ベクトルv ∈ TpM に対して， v := v, v 1/2をvの長さ(length)という．v, w∈ T pM (v, w= o)に対し て，v, w = v · w cos θで定まるθ∈ [ 0, π ]をvとwの間の角度(angle) という． リーマン計量をテンソル場として見てみよう．つまり， gp(v, w) :=v, w (v, w ∈ TpM, p∈ M)第
5
章
補 足
この章では，本書で必要となる基礎事項をまとめておく．5.1
集合と写像
以下，Xを集合とし，全体集合とみなす．Ac := X\ Aを部分集合A⊂ X の補集合とする． 命題5.1.1 X の部分集合A, Bに対して以下が成り立つ． (Ac)c= A, (A∪ B)c= Ac∩ Bc, (A∩ B)c= Ac∪ Bc. 定義5.1.2（集合族） Λを集合として，各λ∈ Λに対してXの部分集合Aλ が定まっているとき，Aλ (λ∈ Λ)の集まりを{Aλ}λ∈Λと表し，X の部分集 合族または単に集合族と呼ぶ．集合族{Aλ}λ∈Λに対して， % λ∈Λ Aλ:={ x ∈ X |あるλ∈ Λが存在して，x∈ Aλ}, 8 λ∈Λ Aλ:={ x ∈ X |任意のλ∈ Λに対して，x∈ Aλ} と定義する． 命題5.1.3 集合族{Aλ}λ∈Λに対して，以下が成り立つ． % λ∈Λ Aλ c = 8 λ∈Λ Acλ, 8 λ∈Λ Aλ c = % λ∈Λ Acλ. 定義5.1.4（写像，定義域，値域） 集合Xの各元xに対応して，集合Y の元 f (x)がある規則によりただ1つ定められているとき，その対応させる操作を写 像(map)と呼び，f : X→ Y または単にfと表す．Xをfの定義域(domain)， Y をfの値域(target)と呼ぶ．値域がRである写像f : X→ Rのことを関数 (function)と呼ぶ．参考文献
[1] 齋藤 正彦，線型代数入門，基礎数学1，東京大学出版会． [2] 杉浦 光夫，解析入門 I, II，基礎数学2, 3，東京大学出版会． [3] 高橋陽一郎，微分方程式入門，基礎数学6，東京大学出版会． [4] 松坂和夫，集合・位相入門，岩波書店． [5] 中内伸光，じっくり学ぶ曲線と曲面—微分幾何学初歩，共立出版． [6] 小林昭七，曲線と曲面の微分幾何，裳華房． [7] 松本幸夫，多様体の基礎，基礎数学5，東京大学出版会． [8] I.M.シンガー・J.A.ソープ，トポロジーと幾何学入門，培風館． [9] 松島与三，多様体入門，数学選書 5，裳華房． [10] 酒井隆，リーマン幾何学，数学選書11，裳華房． [11] 加須栄篤，リーマン幾何学，数学レクチャーノート 基礎偏2，培風館． [12] R.ボット，L.W.トゥー，微分形式と代数トポロジー ，シュプリンガー・フェアラーク東京． [13] J.ミルナー，モース理論，吉岡書店．[14] S. Helgason, Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Graduate Studies in Mathematics 34, American Mathematical Society.
索
引
ア
異種球面 85 位相空間 78 一次結合 190 一次独立 190 オイラー数 24カ
開球体 27 開近傍 31, 78 開集合 27, 77, 189 開集合系の公理 78 外積 99, 102, 104 回転トーラス 5 解の爆発 198 開被覆 32, 82 外微分 117 外微分作用素 117 開部分多様体 81 ガウス曲率 13 ガウスの驚異の定理 21 ガウスの補題 165 ガウス・ボンネの定理 24 角度 125 完全微分形式 119 完備 170, 172 幾何化予想 84 基底 190 軌道 68 逆写像定理 64 球面 5, 65 境界 27, 78 境界点 27, 78 共変微分 19, 140 共役点 176 行列式 191 極限 30, 75 局所最短 168 局所座標 23, 39 局所等長写像 127 曲線 1 曲線に沿う共変微分 18, 143 曲線に沿う接ベクトル場 16 曲線に沿うベクトル場 143 曲線の曲率 4 極大座標近傍系 43 極大測地線 152 曲面 5 曲面片 5 曲率テンソル 156 距離の公理 134 区分的に滑らかな正則曲線 133 グラム・シュミットの正規直交化法 195 クリストッフェル記号 20, 141 クロネッカーのデルタ 87, 194 形式 98 計量ベクトル空間 194 交換子 55 交代形式 98 交代双線形形式 194 勾配ベクトル場 56, 181 コーシー列 170 互換 191 弧長 2, 133 弧長パラメータ 3 固有値 192, 193 固有ベクトル 192 コンパクト 24, 32, 82サ
最短線 134 座標 5, 35 座標曲線 6, 46 座標近傍 39, 42 座標近傍系 37 座標近傍に従属したリーマン計量 126 座標写像 35, 39 座標変換 25, 36, 39 座標をもつ空間 35 三角不等式 134 次元 39, 190 指数形式 176 指数写像 163 実射影空間 72 射影 74, 187 射影空間 72 写像に沿う共変微分 147 写像に沿うベクトル場 147 収束 30, 75 主曲率 13 種数nの閉曲面 24 主方向 13 商集合 187 商多様体 68 常微分方程式 198 真性不連続 67 数ベクトル 190 数ベクトル空間 190 スカラー曲率 162 ストークスの定理 121 正規座標 169 正規直交基底 194 星状領域 163 正則曲線 2 正則曲面 6 正則値 64 正則点 64 成分 190 積多様体 42 接空間 46 接束 73 接続係数 20, 141 接バンドル 73 接平面 7 接ベクトル 1, 7, 46 接ベクトル場 19, 52 線形空間 189 線形写像 192 線形常微分方程式 198 線形同型 192 線形部分空間 191 線積分 92 双曲平面 153 双線形形式 194 双対基底 86 双対空間 86 測地線 16, 150 測地線の方程式 18, 150 測地的完備 170 速度ベクトル 1, 48 外向き単位法ベクトル場 182タ
台 112, 122 第1基本形式 8 第1基本量 8 第1変分公式 16, 149 第2基本形式 11 第2基本量 11 第2変分公式 178 大円 153 対称双線形形式 194 体積 132 体積要素 130 多重線形写像 93 単位球面 40 単位球面の標準計量 128 単位法ベクトル 3, 10 断面曲率 160 置換 191 置換の符号 191 重複度 192 直径 179 直交行列 195 直交変換 196 直交補空間 191 テイラー展開 197 適合する座標近傍 42 201テンソル 93 テンソル積 95 テンソルの係数 94 テンソルの成分 94 テンソル場 97 転置行列 195 点列コンパクト 32 同相 33 同相写像 79 同値関係 187 等長写像 127 等長同型 127 等長変換 127 等長変換群 129 同値類 187 トーラス 42 特性方程式 192 ド・ラム コホモロジー 119 トレース 162, 191
ナ
内核 27, 78 内積 194 内積空間 194 内積をもつベクトル空間 194 内点 27, 78 内部 27, 78 長さ 2, 125, 188 ナッシュの埋め込み定理 128 滑らかな境界をもつ領域 120 ねじれ積 129 ノルム 194ハ
ハイネ・ボレルの定理 32 ハウスドルフ 75 発散 181 発散定理 182 パラコンパクト 65 パラメータの取り替え 2 パラメータの変換 2 引き戻し 98 左手系 9 被覆 32 微分 196 微分可能多様体 37 微分形式 107 微分形式の積分 107, 113 微分構造 43 微分写像 58 微分同相 34, 60 微分同相変換群 67 表現行列 193, 195 標準基底 190 標準座標 39 標準内積 188 部分多様体 61 部分ベクトル空間 191 閉球体 27 閉曲面の分類 24 平均曲率 13 平行 145 平行移動 145 平行ベクトル場 18, 145 閉集合 27, 79 閉微分形式 119 閉包 79 平面曲線 1 ベクトル空間 189 ベクトル積 10 ベクトル場 52 ヘッシアン 181 変換行列 87 変分 16, 149 変分ベクトル場 16 ポアンカレ予想 84 ホイットニーの埋め込み定理 65 包含写像 63 法曲率 12 方向微分 18, 52 ホップ・リノウの定理 170 ボンネ・マイヤースの定理 179マ
右手系 9 向き 9, 109, 112 向き付け可能 111 向き付けられた微分可能多様体 112 メビウスの帯 73 面積 22 202 索 引面積要素 22
ヤ
ヤコビ行列 196 ヤコビ場 174 ヤコビ方程式 174 有界 32, 33, 170 ユークリッド距離 189 ユークリッド計量 125 ユークリッド内積 188 ユークリッドノルム 188 誘導計量 128 余接空間 90 余接ベクトル 90 余ベクトル 86ラ
ライプニッツルール 4 ラプラシアン 181 ラプラス作用素 181 リー括弧積 55 リーマン距離 134 リーマン距離球体 137 リーマン計量 8, 125 リーマン商多様体 130 リーマン多様体 125 リーマン直積 129 リーマン部分多様体 128 立体射影 40 リッチ曲率 162 リッチ曲率テンソル 162 立方座標近傍 122 臨界値 64 臨界点 64 レビ・チビタ接続 140 連結 81 連結成分 81 連続 31, 32, 79ワ
ワープ積 129欧字
[·, ·]（リー括弧積） 55 ∼ =（微分同相） 34 ∼ −（同相，線形同型） 33, 192 ·, ·（内積，リーマン計量） 125, 194 ·, ·Rn（ユークリッド内積・計量） 125, 188 cω（線積分） 92 Dω（微分形式の積分） 107, 113 ∇（共変微分，レビ・チビタ接続） 19, 140, 142 ∇cX（曲線cに沿う共変微分） 18, 143 ∇ξ vX（写像に沿う共変微分） 147 · （ノルム，長さ） 1, 125 · Rn（ユークリッドノルム） 188 ⊗（テンソル積） 95 ∧（外積） 99, 102, 104 ∧k(M ) (微分形式の集合) 107 ∧p(V∗) (交代形式の集合) 98 1次形式 86 1次微分形式 90 1の分割 112 ¯ A（閉包） 27, 79 A◦（内部，開核） 27, 78 area(·) (面積) 22 B(p, r) (リーマン距離球体) 137 B(x, r)（開球体） 27 ¯ B(x, r)（閉球体） 27 ∂A（境界） 27, 78 ∂Dの向き付け 121 ∂i, ∂x∂i（座標曲線の速度ベクトル） 6, 47, 48, 53 C∞曲線 45 C∞写像 56 C∞変換群 67 C∞リーマン多様体 127 D, Dp（指数写像exp, exppの定義域） 163 d(p, q) (リーマン距離) 134 d area（面積要素） 22 Δf（ラプラシアン） 181 δij, δij（クロネッカーのデルタ） 87, 194 det(·) (行列式) 191, 193 df（ヤコビ行列，微分写像） 58, 196 dim（次元） 39, 190 div X（発散） 181 dω（外微分） 117 ds2（第1基本形式，リーマン計量） 8, 126 d vol（体積要素） 130 ei（Rnの標準基底） 9, 49, 190 exp, expp（指数写像） 163 f∗T , f∗ω（引き戻し） 98 203Γk ij（クリストッフェル記号） 20, 141 gij, g（第1基本量，リーマン計量） 8, 126 grad f（勾配ベクトル場） 56, 181 H（平均曲率） 13 Hess f（ヘッシアン） 181 hij（第2基本量） 11 I（第1基本形式） 8 II（第2基本形式） 11 K, Kσ（ガウス曲率，断面曲率） 13, 160 κ1, κ2（主曲率） 13 L(c) (弧長) 2, 133 M×fN（ワープ積） 129 M/Γ（商多様体） 68 Pc(t)(平行移動) 145 p次形式 98 R(u, v)w (曲率テンソル) 156 R3の曲面 23 R3の閉曲面 24 Ric（リッチ曲率テンソル） 162 RPn（射影空間） 72 Scal（スカラー曲率） 162 sgn(σ) (置換の符号) 191 Sn(r), Sn(球面) 5, 40, 65 supp（台） 112, 122 tA（転置行列） 195 T M（接束） 73 Tn（トーラス） 42 TpS（接平面） 7 TpM（接空間） 46 Tp∗M（余接空間） 90 tr(·) (トレース) 191, 193 Ts t(V ) ((s, t)型テンソル全体の集合) 93 vf（方向微分） 18, 52 vol(·) (体積) 132 V∗（双対ベクトル空間） 86 204 索 引
著 者 略 歴
塩
しお谷
や たかし隆
1963年 東京都生まれ 1991年 九州大学大学院理学研究科 数学専攻 博士後期課程修了 博士（理学） 同 年 日本学術振興会 特別研究員（PD） 九州大学理学部数学科 助手 1994年 九州大学大学院数理学研究科 助教授 2000年 東北大学大学院理学研究科 助教授 2005年 東北大学大学院理学研究科 教授 現在に至る 専門 微分幾何学，Metric geometry 主要著書The Geometry of Total Curvature on Complete Open Surfaces
（K. Shiohama, M. Tanaka との共著, Cambridge University Press, 2003） Metric Measure Geometry（European Mathematical Society, 2016）
臨時別冊・数理科学SGCライブラリ- 70
