f (x) x y f(x+dx) f(x) Df 関数 接線 x Dx x 1 x x y f f x (1) x x 0 f (x + x) f (x) f (2) f (x + x) f (x) + f = f (x) + f x (3) x f

電磁気学に関係した数学のメモ

大豆生田利章

2018

年

3

月

28

日

1

微分

1.1

1

変数関数（常微分）

図1のように1変数関数f (x) のxにおける接線を考える． f(x) x Df Dx x y _関数 接線 f(x+Dx) 図1 微分 x座標が ∆xだけ変化したとき，接線のy座標が ∆f だけ変化するとすると，接線の傾きは ∆f ∆x (1) である．∆xが非常に小さいときは，関数の値と接線の値の差も小さいので， f (x + ∆x)− f (x) ≒ ∆f (2) となり，以下の近似式が成立する． f (x + ∆x)≒ f (x) + ∆f = f (x) +∆f ∆x∆x (3) ∆xを0に近づけた極限では ∆f ∆x = lim∆x→0 f (x + ∆x)− f (x) ∆x = df dx (4) となる．このように，極限を考えることを前提として，∆f，∆xを用いずに最初からdf，dxと書くことが多 い．例えば，式(3)の代わりに以下のようにあらわす．（1次のテーラー展開） f (x + dx)= f (x) +df dxdx (5)

f がxの関数としてf (x)と表せ，xがtの関数としてx(t) と表せるとき， ∆f = df dx∆x (6) ∆x= dx dt∆t (7) であるので， ∆f = df dx∆x= df dx dx dt∆t (8) より， df dt = lim∆x→0 ∆f ∆t = df dx dx dt (9)

1.2

多変数関数（偏微分）

変数がx，y である関数f (x, y) を考える．このとき，座標(x, y)における接平面を考える．xが∆xだけ 変化し，y が∆y だけ変化したときの接平面の値の変化量∆f は ∆f =∂f ∂x∆x + ∂f ∂y∆y (10) となる．∆xまたは ∆y が0になる極限を考えると， ∂f ∂x = lim∆x→0 ∆f ∆x   ∆y=0 (11) ∂f ∂y = lim∆y→0 ∆f ∆y   ∆x=0 (12) (13) となる．変化させない変数を明示するときは添字を用いて ( ∂f ∂x ) y , ( ∂f ∂y ) x (14) のようにあらわす．テーラー展開は f (x + dx, y + dy)≒ f (x, y) +∂f ∂xdx + ∂f ∂ydy (15) となる． 関数f が変数x，y の関数としてf (x, y) と表せ，xとy が変数u，v の関数としてx(u, v)，y(u, v)と表 せるとき， ∆x=∂x ∂u∆u + ∂x ∂v∆v (16) ∆y= ∂y ∂u∆u + ∂y ∂v∆v (17) であるので，式(15)に代入して ∆f = ( ∂f ∂x ∂x ∂u+ ∂f ∂y ∂y ∂u ) ∆u + ( ∂f ∂x ∂x ∂v + ∂f ∂y ∂y ∂v ) ∆v (18)

となる．これより， ∂f ∂u = ∂f ∂x ∂x ∂u+ ∂f ∂y ∂y ∂u (19) ∂f ∂v = ∂f ∂x ∂x ∂v + ∂f ∂y ∂y ∂v (20) となる．

1.3

陰関数

x，y，zを変数とする関数F が以下の形であらわされるとする．ここで，C は定数である． F (x, y, z)= C (21) ここで，x，y，z がそれぞれ∆x，∆y ∆z だけ微小変化したとすると，F (x, y, z) は定数なので変化量は0で あることから， ∆F =∂F ∂x∆x + ∂F ∂y∆y + ∂F ∂z∆z= 0 (22) となる．これより， ( ∂z ∂x ) y = ∆z ∆x   ∆y=0= − ∂F/∂x ∂F/∂z (23) となる．同様にして， ( ∂x ∂y ) z = −∂F/∂y ∂F/∂x (24) ( ∂y ∂z ) x = −∂F/∂z ∂F/∂y (25) これらを掛け合わせると， ( ∂z ∂x ) y ( ∂x ∂y ) z ( ∂y ∂z ) x = −1 (26) となる．式(22)は以下のように書ける． ∂F ∂xdx + ∂F ∂ydy + ∂F ∂zdz= 0 (27)

2

積分

以下に，電磁気学の計算に出てくる積分を示す．

2.1

不定積分

積分定数は省略する．

(1) u= x2_{+ a}2_{と置換する．（a > 0）} ∫ x ( x2_{+ a}2)3/2dx= ∫ u−3/2 2 du= −u −1/2_{= −√} 1 x2_{+ a}2 (28) (2) u=√ax + bと置換する． ∫ 1 √ ax + bdx= ∫ 1 u 2u a du= 2u a = 2√ax + b a (29) ∫ x √ ax + bdx= ∫ u2− b au 2u a du= 2 a3 [ u3 3 − bu ] =2 (ax− 2b) √ ax + b 3a2 (30) ∫ 1 (ax + b)3/2 dx= ∫ 1 u3 2u a du= − 2 au = − 2 a√ax + b (31) ∫ x (ax + b)3/2 dx= ∫ u2_{− b} au3 2u a du= 2 a2 [ u + b u ] = 2 (ax + 2b) a2√_{ax + b} (32) (3) 部分積分を用いる．（a > 0） ∫ log(x2+ a2) dx= x log(x2+ a2)− ∫ 2x2 x2_{+ a}2dx = x log(x2_{+ a}2₎₋ ∫ ₂(_x2_{+ a}2_{− a}2) x2_{+ a}2 dx = x log(x2_{+ a}2_{)− 2} ∫ dx + 2 ∫ a2 x2_{+ a}2 dx = x log(x2_{+ a}2_{)− 2x + 2 tan}−1x a (33)

2.2

定積分

a > 0とする． (1) x= a tan θと置換する． ∫ ∞ −∞ 1 ( x2_{+ a}2)3/2 dx= ∫ π/2 −π/2 cos3θ a3 · a cos2_θdθ= 1 a2 [ sin θ ]π/2 −π/2= 2 a2 (34) (2) x= r cos θ, y = r sin θと置換する．（極座標に変換する．） ∫ ∞ −∞ ∫ ∞ −∞ x ( x2_{+ y}2_{+ z}2)3/2 dxdy= ∫ ∞ 0 ∫ 2π 0 r sin θ ( r2_{+ z}2)3/2 r dθdr = ∫ _∞ 0 r2 ( r2_{+ z}2)3/2 [ cos θ ]2π 0 dr= 0 (35) (3) x= a tan θと置換する． ∫ ∞ −∞ 1 x2_{+ a}2 dx= ∫ π/2 −π/2 cos2θ a2 · a cos2_θdθ= 1 a [ θ ]π/2 −π/2= π a (36)

3

座標変換

3.1

座標系

3.1.1 2次元極座標 図2を参照にすると，以下に示す2次元デカルト座標（2次元直角座標）(x, y)と2次元極座標(r, θ)の関 係が得られる． x= r cos θ (37) y= r sin θ (38) q r x y 0 図2 2次元デカルト座標と2次元極座標 3.1.2 円柱座標 円柱座標は，xy平面内は2次元極座標で，z方向はz座標で位置を表す．これより，3次元デカルト座標 （3次元直角座標）(x, y, z) と円柱座標（円筒座標，柱面座標）(r, θ, z)の関係は以下の通りになる． x= r cos θ (39) y= r sin θ (40) z= z (41) 3.1.3 3次元極座標 3次元極座標は，原点からの距離r，z軸からの角度θ，xy平面内の角度φで位置を表す．と3次元極座標 （球座標，球面座標）(r, θ, φ)で表される位置は図 3のようにして得られる．まず，原点からz軸方向へr移 動する．次に，xz平面内でy軸を中心に角度θ 回転させる．最後に，xy平面内でz軸を中心に角度φ回転 させる． 以上の結果，以下に示す3次元デカルト座標 (x, y, z)と3次元極座標（球座標，球面座標）(r, θ, φ)の関 係を得る． x= r sin θ cos φ (42) y= r sin θ sin φ (43) z= r cos θ (44)

x z x z q x f y rsinq r r 0 0 rsinq 0 rcosq rsinqcosf rsinqsinf 図3 3次元極座標

3.2

基本ベクトル間の変換

3.2.1 2次元極座標 図4を参照して，2次元デカルト座標の基本ベクトル (⃗ex, ⃗ey)と2次元極座標の基本ベクトル(⃗er, ⃗eθ)の関 係を導くと以下のようになる．

⃗er= cos θ⃗ex+ sin θ⃗ey (45)

⃗eθ= − sin θ⃗ex+ cos θ⃗ey (46)

x y q q q r e_r e_q 図4 基本ベクトルの変換（2次元極座標） これを⃗exと⃗eyについて解くと，

⃗e_x= cos θ⃗e_r− sin θ⃗e_θ (47)

⃗

ey = sin θ⃗er+ cos θ⃗eθ (48)

ベクトル⃗r= (x, y)に対して

x⃗ex+ y⃗ey = x (cos θ⃗er− sin θ⃗eθ) + y (cos θ⃗er+ sin θ⃗eθ)

=(r cos2θ⃗er− r cos θ sin θ⃗eθ

)

+(r sin2θ⃗er+ r sin θ cos θ⃗eθ

) = r⃗er (49) より極座標では⃗r= (r, 0)となる． 3.2.2 円柱座標 円柱座標ではxy平面内は2次元極座標，z方向はそのままであるので以下のようになる．  ⃗e⃗er_θ ⃗ez   = 

_{− sin θ cos θ 0}cos θ sin θ 0

0 0 1    ⃗e⃗ex_y ⃗ ez   (50)

 ⃗⃗eexy ⃗ez   = 

_{− sin θ cos θ 0}cos θ sin θ 0

0 0 1   −1 ⃗e⃗erθ ⃗ ez   = 

cos θsin θ − sin θ 0cos θ 0

0 0 1    ⃗e⃗erθ ⃗ ez   (51) 3.2.3 3次元極座標  ⃗⃗eerθ ⃗eφ   = 

sin θ cos φcos θ cos φ cos θ sin φsin θ sin φ − sin θcos θ − sin φ cos φ 0    ⃗e⃗exy ⃗ez   (52)  ⃗⃗eexy ⃗ez   = 

cos θ cos φsin θ cos φ cos θ sin φsin θ sin φ − sin θcos θ − sin φ cos φ 0   −1 ⃗e⃗erθ ⃗ eφ   (53) = 

sin θ cos φsin θ sin φ cos θ cos φcos θ sin φ − sin φcos φ cos θ − sin θ 0    ⃗⃗eerθ ⃗eφ   (54)

3.3

積分の座標変換

3.3.1 2重積分 2次元デカルト座標に関する積分を2次元極座標に関する積分に変換すると以下のようになる． " S f (x, y) dxdy= " S f (r, θ) r drdθ (55) 特にf がrだけの関数のときは， ∫ 2π 0 ∫ f (r) r drdθ= ∫ f (r) 2πr dr (56) となる．この式中の2πr dr は半径がrからr + dr の間の面積になる． 3.3.2 3重積分 3次元デカルト座標に関する積分を円柱座標および3次元極座標に関する積分に変換すると以下のように なる． $ V f (x, y, z) dxdydz= $ V f (r, θ, z) rdrdθdx = $ V f (r, θ, φ) r2sin θdrdθdφ (57) 特に3次元極座標において f がrだけの関数のときは ∫ 2π 0 ∫ π 0 ∫ f (r) r2sin θ drdθdφ= ∫ f (r) 4πr2dr (58) となる．この式中の4πr2dr は半径がrからr + dr の間の体積になる．

4

ベクトルの内積と外積

4.1

内積

ベクトル⃗aと ベクトル⃗bの内積（スカラー積）と呼ばれる演算を以下の式で定義する．ここで，θ は⃗aと

⃗bの間の角度である．

⃗a·⃗b = |⃗a|⃗b cos θ (59)

定義より

⃗a·⃗b = ⃗b · ⃗a (60)

となる．また，基本ベクトルの間の内積は以下のようになる．

⃗

ex· ⃗ex= ⃗ey· ⃗ey= ⃗ez· ⃗ez= 1 (61)

⃗ex· ⃗ey = ⃗ex· ⃗ez= ⃗ey· ⃗ez= 0 (62)

以下のように2つのベクトル⃗aと⃗bの成分を決めると， ⃗a= a_x⃗e_x+ a_y⃗e_y+ a_z⃗e_z (63) ⃗b = bx⃗ex+ by⃗ey+ az⃗ez (64) この2つのベクトルの内積は， ⃗a·⃗b =(ax⃗ex+ ay⃗ey+ az⃗ez ) ·(bx⃗ex+ by⃗ey+ az⃗ez ) = axbx+ ayby+ azbz (65) となる．これは，余弦定理 |⃗a|2 +⃗b 2

− 2 |⃗a|⃗b cos θ =⃗b − ⃗a2 (66)

を用いても示すことができる．

円柱座標における基本ベクトル間の内積は以下の通りになる．

⃗er· ⃗er= ⃗eθ· ⃗eθ= ⃗ez· ⃗ez= 1 (67)

⃗er· ⃗eθ = ⃗er· ⃗ez= ⃗eθ· ⃗ez = 0 (68)

極座標における基本ベクトル間の内積は以下の通りになる．

⃗

e_r· ⃗e_r= ⃗e_θ· ⃗e_θ= ⃗e_ϕ· ⃗e_φ= 1 (69) ⃗

er· ⃗eθ= ⃗er· ⃗eφ= ⃗eθ· ⃗eφ= 0 (70)

4.2

外積

以下のように，基本ベクトルの間に外積と呼ばれる演算_×を定義する．外積では交換則は成立しない． ⃗ex× ⃗ey = − ( ⃗ey× ⃗ex ) = ⃗ez (71) ⃗ ey× ⃗ez= − ( ⃗ez× ⃗ey ) = ⃗ex (72)

⃗ez× ⃗ex= − (⃗ex× ⃗ez)= ⃗ey (73)

成分表示で外積を求めると， ⃗a×⃗b = − ( ⃗b × ⃗a) = (aybz− azby)⃗ex+ (azbx− axbz)⃗ey+ (axby− aybx)⃗ez (75) これは行列式の形であらわすことができ， ⃗a×⃗b =    ⃗ ex ⃗ey ⃗ez ax ay az bx by bz    (76) となる． 図5のようにxy平面内の2点A とBおよび，平行四辺形OACB を考える．ここで，直線 OAと点B の間の距離hは， |a_√ybx− axby| a2 x+ a2y (77) であるので，平行四辺形OACBの面積 S は S= |OA| h = |aybx− axby| = ( ⃗a×⃗b ) z   (78) となり，⃗aと⃗bの外積のz成分であらわされる． x y (0, 0) q (ax, ay) (b_x, b_y) O A B C h 図5 外積の幾何学的意味 一方で， h= OB sin θ (79) であるので，  (⃗a×⃗b ) z   = |⃗a|⃗b |sin θ| (80) である．ベクトル⃗aからベクトル⃗bに右ねじを回転させたときの向きを正に取ると約束すると，sin θの絶対 値を取ることができ， ( ⃗a×⃗b ) z = |⃗a|  ⃗b sin θ (81) となる．

4.2.1 円柱座標 円柱座標における基本ベクトル間の外積は以下の通り． ⃗er× ⃗eθ= ⃗ez (82) ⃗ eθ× ⃗ez= ⃗er (83) ⃗ez× ⃗er= ⃗eθ (84)

⃗er× ⃗er= ⃗eθ× ⃗eθ= ⃗ez× ⃗ez= 0 (85)

4.2.2 3次元極座標

3次元極座標における基本ベクトル間の外積は以下の通り．

⃗er× ⃗eθ= ⃗eφ (86)

⃗eθ× ⃗eφ= ⃗er (87)

⃗eφ× ⃗er= ⃗eθ (88)

⃗er× ⃗er= ⃗eθ× ⃗eθ= ⃗eφ× ⃗eφ= 0 (89)

5

面積ベクトル

図6のように面積S の平面があるときに，大きさが S で向きが平面に垂直なベクトル_S⃗ _{を考える．これ} を面積ベクトルと呼ぶ．面積ベクトルは面積S と面に垂直な単位ベクトル（法線ベクトル）⃗nを用いて， ⃗ S= S ⃗n (90) とかける．また，ベクトル⃗aとベクトル⃗bを2辺とする三角形の面積ベクトル_S⃗ _{は外積を用いて} ⃗ S=1 2 ( ⃗a×⃗b ) (91) となる． S S a b 面積S 面積S 図6 面積ベクトル 四面体OABCの面ABCの面積ベクトルは −→ AB×−→AC= 1 2 ( ⃗b − ⃗a)× (⃗c − ⃗a) = 1 2⃗b × ⃗c + 1 2⃗c× ⃗a + 1 2⃗a×⃗b (92)

であり，面OAB，面OBC，面OCAの各面積ベクトルの和になっている． 面積ベクトル_S⃗ _{を以下のように各方向の成分に分ける．}

⃗

O A B C 図7 四面体の面積ベクトル このとき各方向の成分，Syz，SzyおよびSxy をそれぞれ，yz平面，zy平面およびxy平面への正射影と呼 ぶ．面積ベクトル_S⃗ _{と基本ベクトル⃗e} z の内積を求めると， ⃗ S· ⃗ez= Sxy= S cos θz (94) となる．ここで，θz は法線ベクトル⃗nと基本ベクトル⃗ez の間の角度である．他の方向も同様に考えて， ⃗

S= S cos θx⃗ex+ S cos θy⃗ey+ S cos θz⃗ez (95)

となる．

6

線素ベクトルと面素ベクトル

6.1

2

次元の場合

6.1.1 2次元デカルト座標 図8に示す平面上の微小区間を考える．座標 (x, y)から座標 (x + ∆x, y + ∆y) まで移動したとする．この ときの移動方向を表すベクトル∆⃗sは ∆⃗s= ∆x⃗ex+ ∆y ⃗ey (96) となる．この式を変形すると， ∆⃗s ∆x = ⃗ex+ ∆y ∆x⃗ey (97) であり，∆x→ 0の極限を取ると， d⃗s dx = lim∆x→0 ( ⃗ex+ ∆y ∆x⃗ey ) = ⃗ex+ dy dx⃗ey (98) となる．最後に極限を取ることを前提として，最初から∆の代わりにdを用いて表すと，式(96)を d⃗s= dx⃗ex+ dy ⃗ey (99) とかく．このベクトルd⃗sを線素ベクトルと呼ぶ．このとき，移動距離 dsは線素（線元素）と呼ばれ， (ds)2= |d⃗s|2 = (dx)2+ (dy)2 (100) となる．また，dxとdyで囲まれた微小区間の面積dS は面積素（面素，面積元素）と呼ばれ， dS= dxdy (101) となる．

rdq dr dx dy 図8 2次元デカルト座標と2次元極座標 6.1.2 2次元極座標 2次元極座標では微小移動の線素ベクトルd⃗sと線素ds は，図8に示すように， d⃗s= dr ⃗er+ rdθ ⃗eθ (102) ds2= dr2+ (rdθ)2 (103) となり，面積素は dS = rdrdθ (104) となる．

6.2

3

次元の場合

6.2.1 3次元デカルト座標 空間において，(x, y, z) から(x + dx, y + dy, z + dz)への微小な移動に対する線素ベクトル d⃗sと線素ds は d⃗s= dx⃗ex+ dy ⃗ey+ dz ⃗ez (105) (ds)2= (dx)2+ (dy)2+ (dz)2 (106) である． xy平面内での微小区間の面積は面積ベクトルで考えると，

dx ⃗ex× dy ⃗ey = dxdy ⃗ez (107)

となる．yz平面，zx平面に対しても同様に考えると，以下のベクトルd ⃗S が求まる．これを面素ベクトル （面積素ベクトル，ベクトル面積素）と呼ぶ．

d ⃗S= dydz ⃗ex+ dzdx ⃗ey+ dxdy ⃗ez (108)

面素dS は面素ベクトルの大きさであり (dS)2= (dydz)2+ (dzdz)2+ (dxdy)2 (109) となる．z がx，y の関数であるときは， d ⃗S = ( ∂z ∂x⃗ex+ ∂z ∂y⃗ey+ ⃗ez ) dxdy (110) (dS)2 = (( ∂z ∂x )2 + ( ∂z ∂y )2 + 1 ) (dxdy)2 (111)

と変形できる． 微小区間の体積（体積素，体積元素）dvは以下のようになる．体積素はスカラーであり，ベクトルではない． dv= dxdydz (112) 6.2.2 円柱座標 円柱座標における線素ベクトル，線素，面素ベクトル，面素，体積素は以下のようになる． d⃗s= dr ⃗er+ rdθ ⃗eθ+ z ⃗ez (113) ds2= dr2+ (rdθ)2+ dz2 (114) d ⃗S = r dθdz ⃗er+ drdz ⃗eθ+ rdrdθ⃗ez (115) (dS)2= (r dθdz)2+ (drdz)2+ (r drdθ)2 (116) dv= rdrdθdz (117) 6.2.3 球座標 球座標における線素ベクトル，線素，面素ベクトル，面素，体積素は以下のようになる． d⃗s= dr ⃗er+ rdθ ⃗eθ+ r sin θdφ ⃗eφ (118) ds2= dr2+ (rdθ)2+ (r sin θdφ)2 (119) d ⃗S= r2sin θ dθdφ ⃗er+ r sin θ drdφ ⃗eθ+ rdrdθ ⃗eφ (120) dv= r2sin θdrdθdφ (121)

7

線積分と面積分

7.1

ベクトルの微積分

ベクトル_A⃗ _{のデカルト座標の各成分が変数 tの関数であるとき，すなわち} ⃗ A= Ax(t) ⃗ex+ Ay(t) ⃗ey+ Az(t) ⃗ez (122) と表されるとき，微分と積分を以下のように定義する． d ⃗A dt = dAx(t) dt ⃗ex+ dAy(t) dt ⃗ey+ dAz(t) dt ⃗ez (123) ∫ ⃗ A dt= ∫ Ax(t) dt ⃗ex+ ∫ Ay(t) dt ⃗ey+ ∫ Az(t) dt ⃗ez (124)

すなわち，ベクトルの各成分ごとに微分・積分を行う．デカルト座標でない場合は基本ベクトルが位置により 異なるので，基本ベクトルに関しても微分・積分が必要になる．たとえば，円柱座標では

⃗er= cos θ⃗ex+ sin θ⃗ey (125)

⃗e_θ= − sin θ⃗ex+ cos θ⃗ey (126)

であるので， ∫ 2π 0 ⃗ erdθ= ∫ 2π 0 cos θ dθ ⃗ex+ ∫ 2π 0 sin θ dθ ⃗ey = 0 (127) ∫ 2π 0 ⃗ eθdθ= − ∫ 2π 0 sin θ dθ ⃗ex+ ∫ 2π 0 cos θ dθ ⃗ey = 0 (128) である．基本ベクトルの微分に関しては第8.1節で示す．

7.2

線積分

経路C が変数 sを用いて (x(s), y(s), z(s)) と表されるとき，以下の式で表される積分を，スカラー関数 f (x, y, z) の経路C に沿った線積分という． ∫ C f (x, y, z) ds= ∫ C f (x(s), y(s), z(s))√dx2_{+ dy}2_{+ dz}2 = ∫ C f (x(s), y(s), z(s)) √( dx ds )2 + ( dy ds )2 + ( dz ds )2 ds (129) 同様に，以下の式で表される積分をベクトル関数_A⃗_{の線積分という．} ∫ C ⃗ A· d⃗s = ∫ C ( Axdx + Aydy + Azdz ) = ∫ C Axdx + ∫ C Aydy + ∫ C Azdz (130)

7.3

面積分

以下の積分をスカラー関数f の面積分という．ただし，Sxy は曲面S のxy平面への射影である． ∫ S f (x, y, z) dS= ∫ S f (x, y, z)√(dxdy)2_{+ (dydz)}2_{+ (dzdx)}2 = ∫ Sxy f (x, y, z) √ 1 + ( ∂z ∂x )2 + ( ∂z ∂y )2 dxdy (131) 同様に，以下の式で表される積分をベクトル関数_A⃗ _{の面積分という．} ∫ S ⃗ A· d⃗S = ∫ S ( Axdydz + Aydzdx + Azdxdy ) = ∫ Syz Axdydz + ∫ Szx Aydzdx + ∫ Sxy Azdxdy (132)

8

ベクトルの微分

8.1

基本ベクトルの微分

デカルト座標以外の座標系では基本ベクトルが位置により異なるため，基本ベクトルの微分が必要になる．

8.1.1 円柱座標 ∂ ∂r  ⃗e⃗erθ ⃗ ez   =  00 00 00 0 0 0    ⃗⃗eexy ⃗ ez   =  00 0   (133) ∂ ∂θ  ⃗⃗eerθ ⃗ez   = 

_{− cos θ − sin θ 0}− sin θ cos θ 0

0 0 0    ⃗⃗eexy ⃗ez   =  _−⃗e⃗eθ_r 0   (134) ∂ ∂z  ⃗⃗eeθr ⃗ ez   =  00 00 00 0 0 0    ⃗e⃗exy ⃗ ez   =  00 0   (135) 8.1.2 3次元極座標 ∂ ∂r  ⃗e⃗erθ ⃗ eφ   =  00 00 00 0 0 0    ⃗⃗eexy ⃗ez   =  00 0   (136) ∂ ∂θ  ⃗e⃗erθ ⃗ e_φ   = 

_{− sin θ cos φ − sin θ sin φ − cos θ}cos θ cos φ cos θ sin φ − sin θ

0 0 0    ⃗e⃗exy ⃗ e_z   =  _−⃗e⃗eθ_r 0   (137) ∂ ∂φ  ⃗⃗eerθ ⃗eφ   = 

_{− cos θ sin φ cos θ cos φ 0}− sin θ sin φ sin θ cos φ 0 − cos φ − sin φ 0    ⃗e⃗exy ⃗ ez   =   cos θ⃗sin θ⃗eeφφ

− sin θ⃗er− cos θ⃗eθ

  (138)

8.2

勾配（

grad

）

3次元空間のスカラー関数f の微小変化は式(10)を拡張して ∆f = ∂f ∂x∆x + ∂f ∂y∆y + ∂f ∂z∆z (139) で与えられる。x方向へのみ微小変化したときのf の変化を (∆f )_x とする。これは 式(139)において∆y と ∆zを0とすることで得られ、 (∆f )_x=∂f ∂x∆x (140) となる。同様にしてy 方向にのみ微小変化したときのf の変化 (∆f )_y と、z方向にのみ微小変化したときの f の変化 (∆f )_z は (∆f )_y= ∂f ∂x∆y (141) (∆f )_z= ∂f ∂y∆z (142)

座標表示 ∇f = ( ∂f ∂x, ∂f ∂y, ∂f ∂z ) （デカルト座標） (143) = ( ∂f ∂r, 1 r ∂f ∂θ, ∂f ∂z ) （円柱座標） (144) = ( ∂f ∂r, 1 r ∂f ∂θ, 1 r sin θ ∂f ∂φ ) （極座標） (145) ベクトル表示 ∇f = ⃗ex ∂f ∂x + ⃗ey ∂f ∂y + ⃗ez ∂f ∂z (146) = ⃗er ∂f ∂r + ⃗eθ 1 r ∂f ∂θ + ⃗ez ∂f ∂z (147) = ⃗er ∂f ∂r + ⃗eθ 1 r ∂f ∂θ + ⃗eφ 1 r sin θ ∂f ∂φ (148)

8.3

発散（

div

）

デカルト座標以外では基本ベクトルの微分が必要になる． 8.3.1 デカルト座標 ∇ · ⃗A= ( ⃗ex ∂ ∂x+ ⃗ey ∂ ∂y + ⃗ez ∂ ∂z ) ·(Ax⃗ex+ Ay⃗ey+ Az⃗ez ) = ∂Ax ∂x + ∂Ay ∂y + ∂Az ∂z (149) 8.3.2 円柱座標 ∇ · A = ( ⃗ er ∂ ∂r + ⃗eθ 1 r ∂ ∂θ+ ⃗ez ∂ ∂z ) · (Ar⃗er+ Aθ⃗eθ+ Az⃗ez) = ⃗er ∂Ar ∂r ⃗er+ ⃗eθ 1 r ∂Aθ ∂θ ⃗eθ+ ⃗eθ 1 rAr ∂⃗er ∂θ + ⃗eθ 1 rAθ ∂⃗eθ ∂θ + ⃗ez ∂Az ∂z ⃗ez = ⃗er ∂Ar ∂r ⃗er+ ⃗eθ 1 r ∂Aθ ∂θ ⃗eθ+ ⃗eθ 1 rAr⃗eθ− ⃗eθ 1 rAθ⃗er+ ⃗ez ∂Az ∂z ⃗ez =∂Ar ∂r + 1 r ∂Aθ ∂θ + 1 rAr+ ∂Az ∂z = 1 r ∂ (rAr) ∂r + 1 r ∂Aθ ∂θ + ∂Az ∂z (150)

8.3.3 極座標 ∇ · A = ( ⃗er ∂ ∂r + ⃗eθ 1 r ∂ ∂θ + ⃗eφ 1 r sin θ ∂ ∂φ ) ·(Ar⃗er+ Aθ⃗eθ+ Aφ⃗eφ ) = ⃗er ∂Ar ∂r ⃗er+ ⃗eθ 1 r ( ∂A_θ ∂θ ⃗eθ+ Ar ∂⃗er ∂θ ) + ⃗eφ 1 r sin θ ( ∂Aφ ∂φ ⃗eφ+ Aθ ∂⃗eθ ∂φ + Ar ∂⃗er ∂φ ) = ⃗er ∂Ar ∂r ⃗er+ ⃗eθ 1 r ( ∂Aθ ∂θ ⃗eθ+ Ar⃗eθ ) + ⃗eφ 1 r sin θ ( ∂Aφ ∂φ ⃗eφ+ Arsin θ⃗eφ+ Aθcos θ⃗eφ ) = ∂Ar ∂r + 1 r ∂Aθ ∂θ + 1 rAr+ 1 r sin θ ∂A_φ ∂φ + 1 rAr+ cos θ r sin θAθ = 1 r2 ∂(r2Ar ) ∂r + 1 r sin θ ∂ (sin θAθ) ∂θ + 1 r sin θ ∂Aφ ∂φ (151)

8.4

回転（

rot

）

デカルト座標以外では基本ベクトルの微分が必要になる． 8.4.1 デカルト座標 ∇ × ⃗A= ( ⃗ ex ∂ ∂x+ ⃗ey ∂ ∂y + ⃗ez ∂ ∂z ) ×(Ax⃗ex+ Ay⃗ey+ Az⃗ez ) = ⃗ex ∂Ay ∂x × ⃗ey+ ⃗ex ∂Az ∂x × ⃗ez+ ⃗ey ∂Ax ∂y × ⃗ex+ ⃗ey ∂Az ∂y × ⃗ez + ⃗ez ∂Ax ∂z × ⃗ex+ ⃗ez ∂Ay ∂z × ⃗ey = ( ∂Az ∂y − ∂Ay ∂z ) ⃗ex+ ( ∂Ax ∂z − ∂Az ∂x ) ⃗ey+ ( ∂Ay ∂x − ∂Ax ∂y ) ⃗ ez =    ⃗ ex ⃗ey ⃗ez ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z Ax Ay Az    (152)

8.4.2 円柱座標 ∇ × ⃗A= ( ⃗ er ∂ ∂r + ⃗eθ 1 r ∂ ∂θ+ ⃗ez ∂ ∂z ) × (Ar⃗er+ Aθ⃗eθ+ Az⃗ez) = ⃗er ∂Aθ ∂r × ⃗eθ+ ⃗er ∂Az ∂r × ⃗ez+ ⃗eθ 1 r ∂Ar ∂θ × ⃗er+ ⃗eθ 1 r ∂Az ∂θ × ⃗ez + ⃗eθ Ar r × ∂⃗er ∂θ + ⃗eθ Aθ r × ∂⃗eθ ∂θ + ⃗ez ∂Ar ∂z × ⃗er+ ⃗ez ∂Aθ ∂z × ⃗eθ = ⃗er ∂Aθ ∂r × ⃗eθ+ ⃗er ∂Az ∂r ⃗ez+ ⃗eθ 1 r ∂Ar ∂θ × ⃗er+ ⃗eθ 1 r ∂Az ∂θ × ⃗ez + ⃗eθ Ar r × ⃗eθ+ ⃗eθ Aθ r × (−⃗er) + ⃗ez ∂Ar ∂z × ⃗er+ ⃗ez ∂Aθ ∂z × ⃗eθ = ( 1 r ∂Az ∂θ − ∂A_θ ∂z ) (⃗eθ× ⃗ez) + ( ∂Ar ∂z − ∂Az ∂r ) (⃗ez× ⃗er) + ( ∂A_θ ∂r + A_θ r − 1 r ∂Ar ∂θ ) (⃗er× ⃗eθ) = ( 1 r ∂Az ∂θ − ∂Aθ ∂z ) ⃗er+ ( ∂Ar ∂z − ∂Az ∂r ) ⃗eθ + ( ∂Aθ ∂r + Aθ r − 1 r ∂Ar ∂θ ) ⃗ ez = ( 1 r ∂Az ∂θ − ∂Aθ ∂z ) ⃗er+ ( ∂Ar ∂z − ∂Az ∂r ) ⃗eθ + ( 1 r ∂ (rAθ) ∂r − 1 r ∂Ar ∂θ ) ⃗ez (153)

8.4.3 極座標 ∇ × ⃗A= ( ⃗ er ∂ ∂r + ⃗eθ 1 r ∂ ∂θ+ ⃗eφ 1 r sin θ ∂ ∂φ ) ×(Ar⃗er+ Aθ⃗eθ+ Aφ⃗eφ ) = ⃗er ∂Aφ ∂r × ⃗eφ+ ⃗er ∂Aθ ∂r × ⃗eθ + ⃗eθ 1 r ∂Ar ∂θ × ⃗er+ ⃗eθ 1 r ∂Aφ ∂θ × ⃗eφ + ⃗eθ Ar r × ∂⃗er ∂θ + ⃗eθ Aθ r × ∂⃗eθ ∂θ + ⃗eθ Aφ r × ∂⃗eφ ∂θ + ⃗eφ 1 r sin θ ∂Ar ∂φ × ⃗er+ ⃗eφ 1 r sin θ ∂Aθ ∂φ × ⃗eθ + ⃗eφ Ar r sin θ× ∂⃗er ∂φ + ⃗eφ Aθ r sin θ× ∂⃗eθ ∂φ + ⃗eφ Aφ r sin θ× ∂⃗eφ ∂φ = ⃗er ∂Aφ ∂r × ⃗eφ+ ⃗er ∂A_θ ∂r × ⃗eθ + ⃗e_θ1 r ∂Ar ∂θ × ⃗er+ ⃗eθ 1 r ∂Aφ ∂θ × ⃗eφ + ⃗eθ Ar r × ⃗eθ+ ⃗eθ Aθ r × (−⃗er) + ⃗eθ Aφ r × 0 + ⃗eφ 1 r sin θ ∂Ar ∂φ × ⃗er+ ⃗eφ 1 r sin θ ∂Aθ ∂φ × ⃗eθ + ⃗eφ Ar

r sin θ× sin θ⃗eφ+ ⃗eφ Aθ

r sin θ× cos θ⃗eφ + ⃗eφ

Aφ

r sin θ× (− sin θ⃗er− cos θ⃗eθ) = ( − 1 r sin θ ∂Aθ ∂φ + cos θAφ r sin θ + 1 r ∂Aφ ∂θ ) ( ⃗ eθ× ⃗eφ ) + ( −∂Aφ ∂r + 1 r sin θ ∂A_r ∂φ − Aφ r ) ( ⃗eφ× ⃗er ) + ( ∂A_θ ∂r − 1 r ∂Ar ∂θ + A_θ r ) (⃗er× ⃗eθ) = 1 r sin θ ( ∂(sin θAφ ) ∂θ − ∂Aθ ∂φ ) ⃗ er +1 r ( 1 sin θ ∂A_r ∂φ − ∂(rAφ ) ∂r ) ⃗ eθ+ 1 r ( ∂ (rAθ) ∂r − ∂A_r ∂θ ) ⃗ eφ (154)

8.5

ラプラシアン

ラプラシアンは以下の式で定義する． ∇2_{ϕ= ∇ · (∇ϕ) （スカラー関数のラプラシアン） (155)}

8.5.1 デカルト座標 スカラー関数ϕのラプラシアンの具体的な表記は以下のようになる． ∇2_{ϕ= ∇ · (∇ϕ) =} ( ⃗ ex ∂ ∂x+ ⃗ey ∂ ∂y+ ⃗ez ∂ ∂z ) · ( ⃗ ex ∂ϕ ∂x+ ⃗ey ∂ϕ ∂y + ⃗ez ∂ϕ ∂z ) =∂2ϕ ∂x2 + ∂2_ϕ ∂y2 + ∂2_ϕ ∂z2 (157) ベクトル関数_A⃗ _{のラプラシアンの具体的な表記は以下のようになる．} ∇2_{A⃗ = ∇}(_{∇ · ⃗A})_{− ∇ ×}(_{∇ × ⃗A}) = ∇ ( ∂Ax ∂x + ∂Ay ∂y + ∂Az ∂z ) − ∇ × ( ⃗ex ( ∂Az ∂y − ∂Ay ∂z ) + ⃗ey ( ∂Ax ∂z − ∂Az ∂x ) + ⃗ez ( ∂Ay ∂x − ∂Ax ∂y )) = ⃗ex ( ∂2Ax ∂x2 + ∂2Ay ∂x∂y + ∂2Az ∂x∂z ) + ⃗ey ( ∂2Ax ∂y∂x + ∂2Ay ∂y2 + ∂2Az ∂y∂z ) + ⃗ez ( ∂2Ax ∂z∂x+ ∂2Ay ∂z∂y + ∂2Az ∂z2 ) − ⃗ex ( ∂ ∂y ( ∂Ay ∂x − ∂Ax ∂y ) − ∂ ∂z ( ∂Ax ∂z − ∂Az ∂x )) − ⃗ey ( ∂ ∂z ( ∂A_z ∂y − ∂Ay ∂z ) − ∂ ∂x ( ∂Ay ∂x − ∂A_x ∂y )) − ⃗ez ( ∂ ∂x ( ∂Ax ∂z − ∂Az ∂x ) − ∂ ∂y ( ∂Az ∂y − ∂Ay ∂z )) = ⃗ex ( ∂2_A x ∂x2 + ∂2_A x ∂y2 + ∂2_A x ∂z2 ) + ⃗ey ( ∂2Ay ∂x2 + ∂2Ay ∂y2 + ∂2Ay ∂z2 ) + ⃗ez ( ∂2_A z ∂x2 + ∂2_A z ∂y2 + ∂2_A z ∂z2 ) = ( ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 + ∂2 ∂z2 ) ( ⃗ exAx+ ⃗eyAy+ ⃗ezAz ) =∂2A⃗ ∂x2 + ∂2A⃗ ∂y2 + ∂2A⃗ ∂z2 (158) 以上の結果から，デカルト座標では形式的に ∇2₌ ( ⃗ex ∂ ∂x + ⃗ey ∂ ∂y + ⃗ez ∂ ∂z ) · ( ⃗ ex ∂ ∂x+ ⃗ey ∂ ∂y+ ⃗ez ∂ ∂z ) = ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 + ∂2 ∂z2 (159) としてよい．以下に示すように，他の座標系ではこの関係は成立しない． 8.5.2 円柱座標 スカラー関数ϕのラプラシアンの具体的な表記は以下のようになる． ∇2_ϕ= ( ⃗e_r ∂ ∂r + ⃗eθ 1 r ∂ ∂θ + ⃗ez ∂ ∂z ) · ( ⃗ e_r∂ϕ ∂r + ⃗eθ 1 r ∂ϕ ∂θ + ⃗ez ∂ϕ ∂z ) = ∂2ϕ ∂r2 + 1 r ( ∂ϕ ∂r + 1 r ∂2ϕ ∂θ2 ) +∂ 2_ϕ ∂z2 = ∂2ϕ ∂r2 + 1 r ∂ϕ ∂r + 1 r2 ∂2ϕ ∂θ2 + ∂2ϕ ∂z2 = 1 r ∂ ∂r ( r∂ϕ ∂r ) + 1 r2 ∂2ϕ ∂θ2 + ∂2ϕ ∂z2 (160)

ベクトル関数_A⃗ _{のラプラシアンは} ∇(∇ · ⃗A ) = ( ⃗er ∂ ∂r + ⃗eθ 1 r ∂ ∂θ + ⃗ez ∂ ∂z ) ( 1 r ∂ (rAr) ∂r + 1 r ∂Aθ ∂θ + ∂Az ∂z ) = ⃗er ( −Ar r2 + 1 r ∂Ar ∂r + ∂2Ar ∂r2 − 1 r2 ∂Aθ ∂θ + 1 r ∂2Aθ ∂r∂θ + ∂2Az ∂r∂z ) + ⃗eθ ( 1 r2 ∂A_r ∂θ + 1 r ∂2_A r ∂θ∂r + 1 r2 ∂2_A θ ∂θ2 + 1 r ∂2_A z ∂θ∂z ) + ⃗ez ( 1 r ∂Ar ∂z + ∂2_A r ∂z∂r + 1 r ∂2_A θ ∂z∂θ + ∂2_A z ∂z2 ) (161) および ∇ ×(∇ × ⃗A ) = ⃗er ( 1 r ∂ ∂θ ( 1 r ∂ (rAθ) ∂r − 1 r ∂Ar ∂θ ) − ∂ ∂z ( ∂Ar ∂z − ∂Az ∂r )) + ⃗eθ ( ∂ ∂z ( 1 r ∂Az ∂θ − ∂Aθ ∂z ) − ∂ ∂r ( 1 r ∂ (rAθ) ∂r − 1 r ∂Ar ∂θ )) + ⃗ez ( 1 r ∂ ∂r ( r∂Ar ∂z − r ∂Az ∂r ) −1 r ∂ ∂θ ( 1 r ∂Az ∂θ − ∂Aθ ∂z )) = ⃗er ( 1 r2 ∂Aθ ∂θ + 1 r ∂2Ar ∂θ∂r − 1 r2 ∂2Ar ∂θ2 − ∂2Ar ∂z2 + ∂2Az ∂z∂r ) + ⃗e_θ ( 1 r ∂2_A z ∂z∂θ − ∂2_A θ ∂z2 + A_θ r2 − 1 r ∂A_θ ∂θ − ∂2_A θ ∂r2 − 1 r2 ∂Ar ∂θ + 1 r ∂2_A r ∂r∂θ ) + ⃗ez ( 1 r ∂Ar ∂z + ∂2Ar ∂r∂z − 1 r ∂Az ∂r − ∂2Az ∂r2 − 1 r2 ∂2Az ∂2_θ + 1 r ∂2Aθ ∂θ∂z ) (162) より，以下のように計算される． ∇2_{A⃗ = ∇}(_{∇ · ⃗A})_{− ∇ ×}(_{∇ × ⃗A}) = ⃗er ( 1 r ∂ ∂r ( r∂Ar ∂r ) + 1 r2 ∂2Ar ∂θ2 + ∂2Ar ∂z2 − Ar r2 − 2 r2 ∂Aθ ∂θ ) + ⃗eθ ( 1 r ∂ ∂r ( r∂Aθ ∂r ) + 1 r2 ∂2Aθ ∂θ2 + ∂2Aθ ∂z2 + 2 r2 ∂Ar ∂θ − Aθ r2 ) + ⃗ez ( 1 r ∂ ∂r ( r∂Az ∂r ) + 1 r2 ∂2_A z ∂θ2 + ∂2_A z ∂z2 ) (163) 8.5.3 極座標 スカラー関数ϕのラプラシアンの具体的な表記は以下のようになる． ∇2_ϕ= ( ⃗ er ∂ ∂r + ⃗eθ 1 r ∂ ∂θ+ ⃗eφ 1 r sin θ ∂ ∂φ ) · ( ⃗ er ∂ϕ ∂r + ⃗eθ 1 r ∂ϕ ∂θ + ⃗eφ 1 r sin θ ∂ϕ ∂φ ) = ∂2ϕ ∂r + 1 r ( ∂ϕ ∂r + 1 r ∂2ϕ ∂θ2 ) + 1 r sin θ ( sin θ∂ϕ ∂r + cos θ r ∂ϕ ∂θ + 1 r sin θ ∂2ϕ ∂φ2 ) = ∂2ϕ ∂r2 + 2 r ∂ϕ ∂r + 1 r2 ∂2ϕ ∂θ2 + cos θ r2_{sin θ} ∂ϕ ∂θ + 1 r2_sin2_θ ∂2ϕ ∂φ2 = 1 r2 ∂ ∂r ( r2∂ϕ ∂r2 ) + 1 r2_{sin θ} ∂ ∂θ ( sin θ∂ϕ ∂θ ) + 1 r2_sin2_θ ∂2_ϕ ∂φ2 (164)

ベクトル関数_A⃗ _{のラプラシアンは計算が面倒であるので，まず∇}(_{∇ · ⃗A})_{の各成分を求める。} ( ∇(∇ · ⃗A )) r= ∂ ∂r [ 1 r2 ∂(r2Ar ) ∂r + 1 r sin θ ∂ (sin θAθ) ∂θ + 1 r sin θ ∂Aφ ∂φ ] = ∂ ∂r [ 2 rAr+ ∂Ar ∂r + cos θ r sin θAθ+ 1 r ∂A_θ ∂θ + 1 r sin θ ∂Aφ ∂φ ] = − 2 r2Ar+ 2 r ∂Ar ∂r + ∂2_A r ∂r2 − cos θ r2_{sin θ}Aθ+ cos θ r sin θ ∂Aθ ∂r − 1 r2 ∂Aθ ∂θ + 1 r ∂2_A θ ∂r∂θ − 1 r2_{sin θ} ∂Aφ ∂φ + 1 r sin θ ∂2Aφ ∂r∂φ = − 2 r2Ar+ 1 r2 ∂ ∂r ( r2∂Ar ∂r ) − 1 r2_{sin θ} ∂ ∂θ(sin θAθ) + cos θ r sin θ ∂Aθ ∂r + 1 r ∂2Aθ ∂r∂θ − 1 r2_{sin θ} ∂Aφ ∂φ + 1 r sin θ ∂2_A φ ∂r∂φ (165) ( ∇(∇ · ⃗A )) θ= 1 r ∂ ∂θ [ 1 r2 ∂(r2_A r ) ∂r + 1 r sin θ ∂ (sin θAθ) ∂θ + 1 r sin θ ∂Aφ ∂φ ] =1 r ∂ ∂θ [ 2 rAr+ ∂Ar ∂r + cos θ r sin θAθ+ 1 r ∂Aθ ∂θ + 1 r sin θ ∂Aφ ∂φ ] = 2 r2 ∂Ar ∂θ + 1 r ∂2_A r ∂θ∂r − 1 r2_sin2_θAθ+ cos θ r2_{sin θ} ∂Aθ ∂θ + 1 r2 ∂2_A θ ∂θ2 − cos θ r2_sin2_θ ∂Aφ ∂φ + 1 r2_{sin θ} ∂2Aφ ∂θ∂φ = 2 r2 ∂Ar ∂θ + 1 r ∂2Ar ∂θ∂r − 1 r2_sin2_θAθ+ 1 r2_{sin θ} ∂ ∂θ ( sin θ∂Aθ ∂θ ) − cos θ r2_sin2_θ ∂Aφ ∂φ + 1 r2_{sin θ} ∂2_A φ ∂θ∂φ (166) ( ∇(∇ · ⃗A )) φ= 1 r sin θ ∂ ∂φ [ 1 r2 ∂(r2Ar ) ∂r + 1 r sin θ ∂ (sin θAθ) ∂θ + 1 r sin θ ∂Aφ ∂φ ] = 1 r sin θ ∂ ∂φ [ 2 rAr+ ∂Ar ∂r + cos θ r sin θAθ+ 1 r ∂A_θ ∂θ + 1 r sin θ ∂Aφ ∂φ ] = 2 r2_{sin θ} ∂Ar ∂φ + 1 r sin θ ∂2_A r ∂φ∂r + cos θ r2_sin2_θ ∂Aθ ∂φ + 1 r2_{sin θ} ∂2_A θ ∂φ∂θ + 1 r2_sin2_θ ∂2Aφ ∂φ2 (167)

次に、_{∇ ×}(_{∇ × ⃗}A ) の各成分を求める。 ( ∇ ×(∇ × ⃗A )) r = 1 r sin θ [ ∂ ∂θ ( sin θ1 r ( ∂ (rAθ) ∂r − ∂Ar ∂θ )) − ∂ ∂φ ( 1 r ( 1 sin θ ∂Ar ∂φ − ∂(rAφ ) ∂r ))] = 1 r sin θ [ cos θ r Aθ+ sin θ r ∂Aθ ∂θ + cos θ ∂Aθ ∂r + sin θ ∂2Aθ ∂θ∂r − cos θ r ∂Ar ∂θ − sin θ r ∂2Ar ∂θ2 − 1 r sin θ ∂2Ar ∂φ2 + 1 r ∂Aφ ∂φ + ∂2Aφ ∂φ∂r ] = cos θ r2_{sin θ}Aθ+ 1 r2 ∂Aθ ∂θ + cos θ r sin θ ∂Aθ ∂r + 1 r ∂2Aθ ∂θ∂r − cos θ r2_{sin θ} ∂Ar ∂θ − 1 r2 ∂2Ar ∂θ2 − 1 r2_sin2_θ ∂2Ar ∂φ2 + 1 r2_{sin θ} ∂Aφ ∂φ + 1 r sin θ ∂2_A φ ∂φ∂r = 1 r2_{sin θ} ∂ ∂θ(sin θAθ) + cos θ r sin θ ∂Aθ ∂r + 1 r ∂2_A θ ∂θ∂r − 1 r2_{sin θ} ∂ ∂θ ( sin θ∂Ar ∂θ ) − 1 r2_sin2_θ ∂2_A r ∂φ2 + 1 r2_{sin θ} ∂Aφ ∂φ + 1 r sin θ ∂2Aφ ∂φ∂r (168) ( ∇ ×(∇ × ⃗A )) θ = 1 r [ 1 sin θ ∂ ∂φ ( 1 r sin θ ( ∂(sin θAφ ) ∂θ − ∂A_θ ∂φ )) − ∂ ∂r ( r1 r ( ∂ (rAθ) ∂r − ∂Ar ∂θ ))] = 1 r [ cos θ r sin2θ ∂Aφ ∂φ + 1 r sin θ ∂2Aφ ∂φ∂θ − 1 r sin2θ ∂2Aθ ∂φ2 − 2 ∂Aθ ∂r − r ∂2Aθ ∂r2 + ∂2Ar ∂r∂θ ] = cos θ r2_sin2_θ ∂Aφ ∂φ + 1 r2_{sin θ} ∂2_A φ ∂φ∂θ − 1 r2_sin2_θ ∂2Aθ ∂φ2 − 2 r ∂Aθ ∂r − ∂2Aθ ∂r2 + 1 r ∂2Ar ∂r∂θ = cos θ r2_sin2_θ ∂Aφ ∂φ + 1 r2_{sin θ} ∂2_A φ ∂φ∂θ − 1 r2_sin2_θ ∂2_A θ ∂φ2 − 1 r2 ∂ ∂r ( r2∂Aθ ∂r ) +1 r ∂2_A r ∂r∂θ (169) ( ∇ ×(∇ × ⃗A )) φ =1 r [ ∂ ∂r ( r1 r ( 1 sin θ ∂Ar ∂φ − ∂(rAφ ) ∂r )) − ∂ ∂θ ( 1 r sin θ ( ∂(sin θAφ ) ∂θ − ∂Aθ ∂φ ))] =1 r [ 1 sin θ ∂2Ar ∂r∂φ− 2 ∂Aφ ∂r − r ∂2Aφ ∂r2 + 1 r sin2θAφ− cos θ r sin θ ∂Aφ ∂θ − 1 r ∂2Aφ ∂θ2 + 1 r sin θ ∂2Aθ ∂θ∂φ ] = 1 r sin θ ∂2Ar ∂r∂φ − 2 r ∂Aφ ∂r − ∂2Aφ ∂r2 + 1 r2_sin2_θAφ− cos θ r2_{sin θ} ∂Aφ ∂θ − 1 r2 ∂2Aφ ∂θ2 + 1 r2_{sin θ} ∂2Aθ ∂θ∂φ = 1 r sin θ ∂2Ar ∂r∂φ − 1 r2 ∂ ∂r ( r2∂Aφ ∂r ) + 1 r2_sin2_θAφ− 1 r2_{sin θ} ∂ ∂θ ( sin θ∂Aφ ∂θ ) + 1 r2_{sin θ} ∂2Aθ ∂θ∂φ (170)

以上の計算結果より，ラプラシアンの各成分は以下のように求められる。 ( ∇2_A⃗) r= ( ∇(∇ · ⃗A ) − ∇ ×(∇ × ⃗A )) r= ( ∇(∇ · ⃗A )) r− ( ∇ ×(∇ × ⃗A )) r = [ −2 r2Ar+ 1 r2 ∂ ∂r ( r2∂Ar ∂r ) − 1 r2_{sin θ} ∂ ∂θ(sin θAθ) + cos θ r sin θ ∂Aθ ∂r + 1 r ∂2Aθ ∂r∂θ − 1 r2_{sin θ} ∂Aφ ∂φ + 1 r sin θ ∂2Aφ ∂r∂φ ] − [ 1 r2_{sin θ} ∂ ∂θ(sin θAθ) + cos θ r sin θ ∂Aθ ∂r + 1 r ∂2Aθ ∂θ∂r − 1 r2_{sin θ} ∂ ∂θ ( sin θ∂Ar ∂θ ) − 1 r2_sin2_θ ∂2Ar ∂φ2 + 1 r2_{sin θ} ∂Aφ ∂φ + 1 r sin θ ∂2_A φ ∂φ∂r ] = 1 r2 ∂ ∂r ( r2∂Ar ∂r ) + 1 r2_{sin θ} ∂ ∂θ ( sin θ∂Ar ∂θ ) + 1 r2_sin2_θ ∂2_A r ∂φ2 − 2Ar r2 − 2 r2_{sin θ} ∂ ∂θ(sin θAθ)− 2 r2_{sin θ} ∂Aφ ∂φ (171) ( ∇2_A⃗) θ= ( ∇(∇ · ⃗A ) − ∇ ×(∇ × ⃗A )) θ= ( ∇(∇ · ⃗A )) θ− ( ∇ ×(∇ × ⃗A )) θ = [ 2 r2 ∂Ar ∂θ + 1 r ∂2Ar ∂θ∂r − 1 r2_sin2_θAθ+ 1 r2_{sin θ} ∂ ∂θ ( sin θ∂Aθ ∂θ ) − cos θ r2_sin2_θ ∂Aφ ∂φ + 1 r2_{sin θ} ∂2Aφ ∂θ∂φ ] − [ cos θ r2_sin2_θ ∂Aφ ∂φ + 1 r2_{sin θ} ∂2Aφ ∂φ∂θ − 1 r2_sin2_θ ∂2Aθ ∂φ2 − 1 r2 ∂ ∂r ( r2∂Aθ ∂r ) +1 r ∂2Ar ∂r∂θ ] = 1 r2 ∂ ∂r ( r2∂Aθ ∂r ) + 1 r2_{sin θ} ∂ ∂θ ( sin θ∂Aθ ∂θ ) + 1 r2_sin2_θ ∂2_A θ ∂φ2 + 2 r2 ∂A_r ∂θ − 1 r2_sin2_θAθ− 2 cos θ r2_sin2_θ ∂Aφ ∂φ (172) ( ∇2_A⃗) φ= ( ∇(∇ · ⃗A ) − ∇ ×(∇ × ⃗A )) φ = ( ∇(∇ · ⃗A )) φ− ( ∇ ×(∇ × ⃗A )) φ = [ 2 r2_{sin θ} ∂Ar ∂φ + 1 r sin θ ∂2_A r ∂φ∂r + cos θ r2_sin2_θ ∂A_θ ∂φ + 1 r2_{sin θ} ∂2_A θ ∂φ∂θ+ 1 r2_sin2_θ ∂2_A φ ∂φ2 ] − [ 1 r sin θ ∂2Ar ∂r∂φ − 1 r2 ∂ ∂r ( r2∂Aφ ∂r ) + 1 r2_sin2_θAφ− 1 r2_{sin θ} ∂ ∂θ ( sin θ∂Aφ ∂θ ) + 1 r2_{sin θ} ∂2Aθ ∂θ∂φ ] = 1 r2 ∂ ∂r ( r2∂Aφ ∂r ) + 1 r2_{sin θ} ∂ ∂θ ( sin θ∂Aφ ∂θ ) + 1 r2_sin2_θ ∂2Aφ ∂φ2 + 2 r2_{sin θ} ∂Ar ∂φ + cos θ r2_sin2_θ ∂Aθ ∂φ − 1 r2_sin2_θAφ (173)

8.6

いくつかの公式

以下の公式は座標系によらずに成立する． rot grad ϕ= 0 (174) div rot ⃗A= 0 (175) 証明は省略するが，その代わりに具体的な計算を以下に示す．たとえば，デカルト座標では以下のようになる．

rot grad ϕ= rot ( ∂ϕ ∂x⃗ex+ ∂ϕ ∂y⃗ey+ ∂ϕ ∂z⃗ez ) = ( ∂ ∂y ∂ϕ ∂z − ∂ ∂z ∂ϕ ∂y ) ⃗ ex+ ( ∂ ∂z ∂ϕ ∂x − ∂ ∂x ∂ϕ ∂z ) ⃗ ey+ ( ∂ ∂x ∂ϕ ∂y − ∂ ∂y ∂ϕ ∂x ) ⃗ez = 0 (176)

div rot ⃗A= div [( ∂Az ∂y − ∂Ay ∂z ) ⃗ex+ ( ∂Ax ∂z − ∂Az ∂x ) ⃗ ey+ ( ∂Ay ∂x − ∂Ay ∂x ) ⃗ez ] = ∂ ∂x ( ∂Az ∂y − ∂Ay ∂z ) + ∂ ∂y ( ∂Ax ∂z − ∂Az ∂x ) + ∂ ∂z ( ∂Ay ∂x − ∂Ay ∂x ) = 0 (177) 極座標では以下のようになる．

rot grad ϕ= rot [ ⃗ er ∂ϕ ∂r + ⃗eθ 1 r ∂ϕ ∂θ + ⃗eφ 1 r sin θ ∂ϕ ∂φ ] = 1 r sin θ [ ∂ ∂θ ( sin θ 1 r sin θ ∂ϕ ∂φ ) − ∂ ∂φ ( 1 r ∂ϕ ∂θ )] ⃗er +1 r [ 1 sin θ ∂ ∂φ ∂ϕ ∂r − ∂ ∂r ( r 1 sin θ ∂ϕ ∂φ )] ⃗ eθ +1 r [ ∂ ∂r ( r1 r ∂ϕ ∂θ ) − ∂ ∂θ ∂ϕ ∂r ] ⃗ eφ = 0 (178) div rot ⃗A = div [ 1 r sin θ ( ∂(sin θAφ ) ∂θ − ∂A_θ ∂φ ) ⃗er+ 1 r ( 1 sin θ ∂Ar ∂φ − ∂(rAφ ) ∂r ) ⃗e_θ+1 r ( ∂ (rAθ) ∂r − ∂Ar ∂θ ) ⃗eφ ] = 1 r2 ∂ ∂r [ r2 1 r sin θ ( ∂(sin θAφ ) ∂θ − ∂Aθ ∂φ )] + 1 r sin θ ∂ ∂θ [ sin θ1 r ( 1 sin θ ∂Ar ∂φ − ∂(rAφ ) ∂r )] + 1 r sin θ ∂ ∂φ [ 1 r ( ∂ (rAθ) ∂r − ∂Ar ∂θ )] = 1 r2_{sin θ} ∂ ∂r [ r (

cos θAφ+ sin θ

∂Aφ ∂θ − ∂Aθ ∂φ )] + 1 r2_{sin θ} ∂ ∂θ [ ∂Ar

∂φ − sin θAφ− r sin θ ∂Aφ ∂r ] + 1 r2_{sin θ} ∂ ∂φ [ Aθ+ r ∂Aθ ∂r − ∂Ar ∂θ ] = 1 r2_{sin θ} [

cos θAφ+ sin θ

∂Aφ ∂θ − ∂Aθ ∂φ + r cos θ ∂Aφ ∂r + r sin θ ∂2Aφ ∂r∂θ − r ∂2Aθ ∂r∂φ ] + 1 r2_{sin θ} [ ∂2Ar

∂θ∂φ− cos θAφ− sin θ ∂Aφ ∂θ − r cos θ ∂Aφ ∂r − r sin θ ∂2Aφ ∂θ∂r ] + 1 r2_{sin θ} [ ∂A_θ ∂φ + r ∂2_A θ ∂φ∂r − ∂2_A r ∂φ∂θ ] = cos θ r2_{sin θ}Aφ+ 1 r2 ∂Aφ ∂θ − 1 r2_{sin θ} ∂Aθ ∂φ + cos θ r sin θ ∂Aφ ∂r + 1 r ∂2_A φ ∂r∂θ − 1 r sin θ ∂2_A θ ∂r∂φ + 1 r2_{sin θ} ∂2Ar ∂θ∂φ− cos θ r2_{sin θ}Aφ− 1 r2 ∂Aφ ∂θ − cos θ r sin θ ∂Aφ ∂r − 1 r ∂2Aφ ∂θ∂r + 1 r2_{sin θ} ∂Aθ ∂φ + 1 r sin θ ∂2Aθ ∂φ∂r − 1 r2_{sin θ} ∂2Ar ∂φ∂θ = 0 (179)