微小平板から球 ( その 球に平行な小さな平板 ( 平板は球の中心を通る平面上にあるものとする から球を見込む形態係数 平板と球は距離 ( 平板と球の中心間距離 離れているもの /R = (arctan - p º p =のとき =.9 ( =/R; =sqrt(^-; =/pi*(at

放射熱伝達における形態係数

面の配置

解析解

_{Matlabコード例}

H

R

球に正対する小さな平板

から球を見込む形態係

数。平板と球は距離

H(平

板と球の中心間距離

_)離

れているものとする。

ここで

h≡H/R

とする。

2

12

1

h

F

=

例

)

h=2のとき F12=1/4

h=H/R;

F12=1/h^2;

%

for i=1:11;

h(i)=1+(i-1)*0.1;

F12(i)=1/h(i)^2;

end;

plot(h,F12),grid on,...

xlabel('h=H/R'),ylabel('F12')

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 h=H/R F 1 2

微小平板から球

(その1)

放射熱伝達における形態係数

面の配置

解析解

_{Matlabコード例}

H

R

球に平行な小さな平板

(平板は球の中心を通る

平面上にあるものとする

)

から球を見込む形態係

数。平板と球は距離

H(平

板と球の中心間距離

_)離

れているものとする。

ここで

h≡H/R

とする。

)

1

(arctan

1

2

12

h

x

x

F

=

-p

例

)

h=2のとき F12=0.029

h=H/R;

x=sqrt(h^2-1);

F12=1/pi*(atan(1/x)-x/h^2);

%

for i=1:101;

h(i)=1+(i-1)*0.01;

x(i)=sqrt(h(i)^2-1);

F12(i)=1/pi*(atan(1/x(i))-x(i)/h(i)^2);

end;

plot(h,F12),grid on,...

xlabel('h=H/R'),ylabel('F12')

1

2

-º h

x

)

1

2

2

2

1

(

F

_{12 h®1}

®

-

h

-p

ここで

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 h=H/R F 1 2

微小平板から球

(その2)

放射熱伝達における形態係数

面の配置

解析解

_{Matlabコード例}

H

R

β

球に対して角度

_βで傾い

て向き合っている小さな

平板から球を見込む形

態係数。平板と球は距離

H(平板と球の中心間距

離

_{)離れているものとする。}

ここで

h≡H/R

とする。

2 12

cos

h

F

=

b

例

)

h=2、β=π/4のとき

F12=0.177

2 2

₁

_/

_tan

_,

_y

₁

_x

h

x

º

-

b

º

-ここで

)

/

1

arcsin(

2

/

-

h

<

p

b

即ち

hcosβ>1のとき

そうでない場合、

)

cos

arctan(

1

)

tan

arccos

(

cos

2 2 12

b

p

b

p

p

b

x

y

xy

x

h

F

+

-=

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 h=H/R F 1 2 β=0(正対) 30° 60° 90°

clear all;format long

beta=[0 pi/6 pi/3 pi/2];

for i=1:4; for j=1:100;

h(i,j)=1.000001+(j-1)*0.01;

if beta(i)-pi/2+asin(1/h(i,j)) < 0;

F12(i,j)=cos(beta(i))/h(i,j)^2;

else

x(i,j)=sqrt(h(i,j)^2-1)/tan(beta(i));

y(i,j)=sqrt(1-x(i,j)^2);

F12(i,j)=cos(beta(i))/pi/h(i,j)/h(i,j)*(pi-acos(x(i,j))-x(i,j)*y(i,j)*(tan(beta(i)))^2)+...

1/pi*atan(y(i,j)/x(i,j)*cos(beta(i)));

end;

end;end

plot(h(1,:),F12(1,:),h(2,:),F12(2,:),h(3,:),F1

2(3,:),h(4,:),F12(4,:)),grid on,...

xlabel('h=H/R'),ylabel('F12'),

legend('β=0(正対)','30°','60°','90°')

微小平板から球

(その3)

放射熱伝達における形態係数

面の配置

解析解

_{Matlabコード例}

H

R

₂

球に正対する半径

_R

₁

の

円板から半径

_R

₂

の球を

見込む形態係数。円板と

球は距離

_H(H>R

₁

、平板と

球の中心間距離

)離れて

いるものとする。

ここで

h≡H/R1、 r

₂

≡

R

₂

/R

₁

とする。

)

1

1

1

1

(

2

2

2

2

12

h

r

F

+

-=

例

)

h=r

₂

=1のとき

F12=0.586

h=H/R1;

r2=R2/R1;

F12=2*r2^2*(1-1/sqrt(1+1/h^2));

clear all;format long

r2=[0.5 1 2];

for i=1:3;

for j=1:50;

h(i,j)=j*0.1;

F12(i,j)=2*r2(i)^2*(1-1/sqrt(1+1/h(i,j)^2));

if h(i,j) < r2(i); F12(i,j)=NaN;end

end;

end;

plot(h(1,:),F12(1,:),h(2,:),F12(2,:),h(3,:),

F12(3,:)),grid on,...

xlabel('h=H/R1' ),ylabel('F12')

legend('r2=R2/R1=0.5' ,'r2=R2/R1=1','r2

=R2/R1=2')

R

₁

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 h=H/R1 F 12 r2=R2/R1=0.5 r2=R2/R1=1 r2=R2/R1=2

円板から球

放射熱伝達における形態係数

面の配置

解析解

_{Matlabコード例}

H

R

₁

半径

_{R1の球から、球に正}

対する半径

_R

₂

の円板を

見込む形態係数。円板と

球は距離

_H(H>R

₁

、平板と

球の中心間距離

)離れて

いるものとする。

ここで

h≡H/R

₂

とする。

)

1

1

1

1

(

2

1

2

12

h

F

+

-=

例

)

R

₂

=H、R

₁

≦

Hのとき

F12=0.146

h=H/R2;

F12=1/2* (1-1/sqrt(1+1/h^2));

clear all

format long

for j=1:200;

h(j)=j*0.01;

F12(j)=1/2*(1-1/sqrt(1+1/h(j)^2));

end;

plot(h,F12),grid on,ylim([0,1]),...

xlabel('h=H/R' ),ylabel('F12')

R

₂

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 h=H/R F 1 2

球から円板

放射熱伝達における形態係数

面の配置

解析解

_{Matlabコード例}

平行平板(正方形)

H

L

L

互いに平行な一辺の長

さ

_{Lの正方形平板間の形}

態係数。板間は距離

H離

れているものとする。

ここで

w≡L/H

とする。

)

4

2

1

(ln

1

2

4

2

12

wy

w

x

w

F

+

+

=

p

とする。

例

₎

L=Hのとき F12=0.19982

2

1 w

x

º

+

w

x

w

x

y

º

arctan

-

arctan

ここで

x=sqrt(1+w^2);

y=x*atan(w/x)-atan(w);

F12=1/pi/w^2*(log(x^4/(1+2*w^2))+4

*w*y);

clear all

format long

for j=1:100;

w(j)=j*0.1;

x(j)=sqrt(1+w(j)^2);

y(j)=x(j)*atan(w(j)/x(j))-atan(w(j));

F12(j)=1/pi/w(j)^2*(log(x(j)^4/(1+2*w

(j)^2))+4*w(j)*y(j));

end;

plot(w,F12),grid on,ylim([0,1]),...

xlabel('w=L/H' ),ylabel('F12')

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 w=L/H F 12

放射熱伝達における形態係数

面の配置

解析解

_{Matlabコード例}

平行平板(長方形)

H

W1

W2

互いに平行な等しい長方

形

_{(辺の長さW1及びW2)}

平板間の形態係数。板

間は距離

_{H離れているも}

のとする。

ここで

x≡W

₁

/H、 y≡W

₂

/H

とする。

)}

arctan

arctan

(

2

)

arctan

arctan

(

2

1

{ln

1

1

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

12

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

xy

F

-+

-+

-+

=

p

とする。

例

₎

x=y=1のとき

F12=0.19982

2

1

1

x

x

º

+

2

1

1

y

y

º

+

ここで

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x=W1/H F 1 2 y=0.1 0.5 1 2 10 99999 x1=sqrt(1+x^2); y1=sqrt(1+y^2); F12=1/pi/x/y*(log(x1^2*y1^2/(x1^2+y1^2- 1))+2*x*(y1*atan(x/y1)-atan(x))+2*y*(x1*atan(y/x1)-atan(y))) clear all ;format long

y=[0.1 0.5 1 2 10 99999]; for i=1:6; for j=1:50;x(i,j)=j*0.1; x1(i,j)=sqrt(1+x(i,j)^2); y1(i,j)=sqrt(1+y(i)^2); F12(i,j)=1/pi/x(i,j)/y(i)*(log(x1(i,j)^2*y1(i,j)^2/(x1( i,j)^2+y1(i,j)^2-1))+... 2*x(i,j)*(y1(i,j)*atan(x(i,j)/y1(i,j))- atan(x(i,j)))+2*y(i)*(x1(i,j)*atan(y(i)/x1(i,j))-atan(y(i))));end;end plot(x(1,:),F12(1,:),x(2,:),F12(2,:),x(3,:),F12(3,:), x(4,:),F12(4,:),x(5,:),F12(5,:),x(6,:),F12(6,:)),grid on,ylim([0,1]),... xlabel('x=W1/H' ),ylabel('F12'), legend('y=0.1','0.5','1','2','10','99999')

放射熱伝達における形態係数

面の配置

解析解

_{Matlabコード例}

平行平板(同サイズの円板)

R

R

互いに平行な等しい円板

(半径R)間の形態係数。

板間は距離

H離れている

ものとする。

ここで

r≡R/H

とする。

2

2

12

2

1

4

1

1

r

r

F

=

+

-

+

例

₎

r=1のとき F12=0.382

r=R/H; F12=1+(1-sqrt(4*r^2+1))/2/r^2; clear all format long for i=1:50; r(i)=i*0.1; %r=R/H; F12(i)=1+(1-sqrt(4*r(i)^2+1))/2/r(i)^2; end; plot(r,F12),grid on,ylim([0,1]),... xlabel('r=R/H' ),ylabel('F12')

H

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 r=R/H F 12

放射熱伝達における形態係数

面の配置

解析解

_{Matlabコード例}

平行平板(異なるサイズの円板)

R

₂

R

₁

半径

_{R1の円板から、互い}

に平行な半径

_R2の円板

までの形態係数。板間は

距離

_{H離れているものと}

する。

ここで

r

₁

≡

_R

₁

_/H、r

₂

_=R

₂

_/H

とする。

2

12

y

x

F

=

-例

)

r

₁

=r

₂

=1のとき

F12=0.382

x=1+1/r1^2+r2^2/r1^2; y=sqrt(x^2-4*r2^2/r1^2); F12=(x-y)/2; clear all format long ratio=[4 2 1 0.5 0.25]; r1=1; for i=1:50; r2(i)=i*0.1; for j=1:5; r1(j)=ratio(j)*r2(i); x(i,j)=1+1/r1(j)^2+r2(i)^2/r1(j)^2; y(i,j)=sqrt(x(i,j)^2-4*r2(i)^2/r1(j)^2); F12(i,j)=(x(i,j)-y(i,j))/2; end end; plot(r2,F12(:,1),r2,F12(:,2),r2,F12(:,3),r2,F12(:, 4),r2,F12(:,5)),grid on,ylim([0,1]),... xlabel('r2=R2/H' ),ylabel('F12') legend('r1/r2=4','r1/r2=2','r1/r2=1','r1/r2=1/2','r1/ r2=1/4','Location','East')

H

2

1

2

2

2

1

1

1

r

r

r

x

=

+

+

2

1

2

2

2

₄

r

r

x

y

=

-ここで

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 r2=R2/H F 12 r1/r2=4 r1/r2=2 r1/r2=1 r1/r2=1/2 r1/r2=1/4

放射熱伝達における形態係数

面の配置

解析解

_{Matlabコード例}

互いに垂直な平板間の形態係数(その1)

H

W

一辺の長さが

_Wの正方

形平板から、その端部に

垂直に立っている高さ

H

の垂直平板を見込む形

態係数。

ここで

h≡H/W

とする。

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

-+

=

2 2 1 1 12

ln

4

1

arctan

1

arctan

1

4

1

h

h

h

h

h

h

F

p

例

₎

h→∞のときF12→1/4、

h=1のとき F12=0.200、

h=1/2のときF12=0.146

h1=sqrt(1+h^2); h2=h1^4/h^2/(2+h^2); F12=1/4+1/pi*(h*atan(1/h)-h1*atan(1/h1)-h^2/4*log(h2)) clear all format long for i=1:20; h(i)=i*0.1; h1(i)=sqrt(1+h(i)^2); h2(i)=h1(i)^4/h(i)^2/(2+h(i)^2); F12(i)=1/4+1/pi*(h(i)*atan(1/h(i))-h1(i)*atan(1/h1(i))-h(i)^2/4*log(h2(i))); end; plot(h,F12),...

xlabel('h=H/W' ),ylabel('F12'),grid on,ylim([0,1])

W

2

1

1 h

h

=

+

)

2

(

2

2

4

1

2

h

h

h

h

+

=

ここで

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 h=H/W F 1 2

放射熱伝達における形態係数

面の配置

解析解

_{Matlabコード例}

互いに垂直な平板間の形態係数(その2)

H

L

辺の長さが

_{WxLの長方形}

平板から、その端部

_(L辺)

に垂直に立っている高さ

Hの垂直平板を見込む形

態係数。

ここで

h≡H/L、 w≡

W

/L

とする。

)}

ln(

4

1

)

1

arctan(

)

1

arctan(

)

1

arctan(

{

1

2 2 2 2 2 2 12 h w

_c

ab

w

h

w

h

w

w

h

h

w

F

+

+

+

-+

=

p

例

₎

h=w=1のとき

F12=0.2002

a=(1+h^2)*(1+w^2)/(1+h^2+w^2); b=w^2*(1+h^2+w^2)/(1+w^2)/(h^2+w^2); c=h^2*(1+h^2+w^2)/(1+h^2)/(h^2+w^2); F12=1/pi/w*(h*atan(1/h)+w*atan(1/w)... -sqrt(h^2+w^2)*atan(1/sqrt(h^2+w^2))... +1/4*log(a*b^(w^2)*c^(h^2)))

clear all;format long;w=[0.1 0.5 1 2 10]; for i=1:5;for j=1:100;h(j)=j*0.01; a(i,j)=(1+h(j)^2)*(1+w(i)^2)/(1+h(j)^2+w(i)^2); b(i,j)=w(i)^2*(1+h(j)^2+w(i)^2)/(1+w(i)^2)/(h(j)^2+ w(i)^2); c(i,j)=h(j)^2*(1+h(j)^2+w(i)^2)/(1+h(j)^2)/(h(j)^2+w (i)^2); F12(i,j)=1/pi/w(i)*(h(j)*atan(1/h(j))+w(i)*atan(1/w(i )) -sqrt(h(j)^2+w(i)^2)*atan(1/sqrt(h(j)^2+w(i)^2))... +1/4*log(a(i,j)*b(i,j)^(w(i)^2)*c(i,j)^(h(j)^2))); end;end; plot(h,F12(1,:),h,F12(2,:),h,F12(3,:),h,F12(4,:),h,F 12(5,:)),...

xlabel('h=H/L' ),ylabel('F12'),grid on,ylim([0,1]) legend('w=0.1','w=0.5','w=1','w=2','w=10')

W

2

2

2

2

1

)

1

)(

1

(

w

h

w

h

a

+

+

+

+

=

ここで

)

)(

1

(

)

1

(

2

2

2

2

2

2

w

h

w

w

h

w

b

+

+

+

+

=

)

)(

1

(

)

1

(

2

2

2

2

2

2

w

h

h

w

h

h

c

+

+

+

+

=

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 h=H/L F 1 2 w=0.1 w=0.5 w=1 w=2 w=10