２次元フーリエ変換
講義内容
空間周波数の概念
２次元フーリエ変換
代表的な２次元フーリエ変換対
２次元離散フーリエ変換
フーリエ変換と逆変換
u
v
F.T.
f
x
y
j
ux
vy
dxdy
v
u
F
(
,
)
(
,
)
exp{
2
(
)}
連続系
離散系
1 0 1 0}
/
)
(
2
exp{
)
,
(
1
)
,
(
N x N yN
vy
ux
j
y
x
f
N
v
u
F
x
y
)
,
(
x
y
f
)
,
( v
u
F
I. F.T.)
,
( v
u
F
ただし，ここで は絶対値を とって画像化
1 0 1 0}
/
)
(
2
exp{
)
,
(
1
)
,
(
N x N yN
vy
ux
j
v
u
F
N
y
x
f
順変換
逆変換
２次元フーリエ変換の具体的なイメージ
1 0 1 0}
/
)
(
2
exp{
)
,
(
1
)
,
(
N x N yN
vy
ux
j
y
x
f
N
v
u
F
}
/
)
(
2
exp{
j
ux
vy
N
)
,
(
x
y
f
対応する画素ごとに積をとって
最後に総和をとる．
はどんなパターンか？
それでは
exp{
j
2
(
ux
vy
)
/
N
}
離散系での説明２次元フーリエ変換の具体的なイメージ
)
(
2
sin
)
(
2
cos
)}
(
2
exp{
j
ux
vy
ux
vy
j
ux
vy
に注目して考える．
のうち，実部
cos
2
(
ux
vy
)
を与える．
この直線は
なる．
の直線は以下のように
1
2
cos
,...
,...,
2
,
1
,
0
n
n
vy
ux
x
y
u
/
1
v
/
1
v
/
2
v
/
3
『空間周波数』と呼ば
れる．
を与える．
は空間的な波の周波数
)
,
(
u
v
方向の周波数成分
方向の周波数成分
y
v
x
u
:
:
「間隔が大きい」
が小さい」
「
となる．
で
軸上に注目すると），
（すなわち
とおくと
において，
u
ux
u
u
x
ux
x
y
n
vy
ux
1
)
cos(
,...
/
2
,
/
1
,
0
...
2
,
1
,
0
0
,...
,...,
2
,
1
,
0
u
/
2
空間周波数の例
)
(
2
cos
ux
vy
,...
2
,
,
0
,...
2
,
1
,
0
0
/
D
y
x
D
D
x
vy
ux
x
y
例１）D
2
)
0
,
/
1
(
)
,
(
u
v
D
D
x
y
D
)
0
,
/
2
(
)
,
(
u
v
D
例２）,...
2
/
3
,
,
2
/
,
0
,...
2
,
1
,
0
0
/
2
x
D
y
x
D
D
D
vy
ux
D
2
演習
)
(
2
cos
ux
vy
x
y
u
v
D
/
1
D
A B 例題２ 下図のA,B,Cの位置に対応する空間周 波数のパターン（ｘｙ面での余弦波 のパターン）をスケッチしなさい． 例題１ 下の図に対応する余弦関数を式で書き なさい．ただし黒い線は１の値をもち， 余弦関数の最大値を描いているものと する． また，その空間周波数の位置をuv平面 上に図示しなさい．5
/
D
D
/
1
D
/
2
Cフーリエ変換演算のまとめ
One-comonent Imagex
y
u
v
x
y
0 1 2 3
0
1
2
3
u
v
x
y
x
y
x
y
1 0 1 0}
/
)
(
2
exp{
)
,
(
1
)
,
(
N i N jN
vy
ux
j
y
x
f
N
v
u
F
フーリエの合成のデモ
順次，高周波数成分を 追加していく． Manhattan distanceで Dm=3のスペクトルu
v
u
v
F.T.F
( v
u
,
)
フーリエの合成のデモ（つづき）
Dm=3まで Dm=10まで Dm=6まで u v u v u v u v２次元フーリエ変換
講義内容
空間周波数の概念
２次元フーリエ変換
代表的な２次元フーリエ変換対
２次元離散フーリエ変換
代表的な２次元フーリエ変換対(1)
1
)
,
(
)
,
(
)
,
(
x
y
x
y
F
u
v
f
x
u
)
,
(
)
,
(
x
y
x
y
f
1
)
,
(
u
v
F
０の関数．
で無限大になり，他で
0
,
0
:
)
,
(
x
y
x
y
２変数のデルタ関数：０の関数．
で無限大になり，他で
b
y
a
x
b
y
a
x
,
)
:
,
(
y
v
代表的な２次元フーリエ変換対(2)
)
(
sinc
)
(
sinc
)
,
(
)
(
rect
)
(
rect
)
,
(
x
y
x
y
F
u
v
u
v
f
x uy
v
x
u 0 u 0 u 0 0v
0v
v
y
u
/
1
2
/
u
v
/
1
v
/
2
v
/
3
v
/
4
)} , ( ) , ( { 2 1 ) , ( )] ( 2 cos[ ) , (x y u0x v0y F u v u u0 v v0 u u0 v v0 f 代表的な２次元フーリエ変換対(３)
2 2)
(
)
,
(
r
x
y
d
r
circ
y
x
f
u v J1: ベッセル関数 x yd
x
u
)]
(
exp[
]
exp[
)
,
(
2 2 2y
x
r
y
x
f
y
v
2 2 1 2,
)
(
)
,
(
u
v
d
d
J
d
v
u
F
)]
(
exp[
]
exp[
)
,
(
2 2 2v
u
v
u
F
Gauss関数２次元フーリエ変換の計算例
－矩形1－
)
(
sinc
)
(
sinc
)
,
(
)
(
rect
)
(
rect
)
,
(
F
u
v
au
bv
b
y
a
x
y
x
f
6
,
12
b
a
２次元フーリエ変換の計算例
－矩形1－
)
(
sinc
)
(
sinc
)
,
(
)
(
rect
)
(
rect
)
,
(
F
u
v
au
bv
b
y
a
x
y
x
f
24
,
6
b
a
24
,
6
b
a
64
,
6
b
a
64
,
6
b
a
２次元フーリエ変換の計算例
－円形1－
2 2)
(
)
,
(
r
x
y
d
r
circ
y
x
f
(
,
)
2 1(
)
,
u
2v
2d
d
J
d
v
u
F
２次元フーリエ変換
講義内容
空間周波数の概念
２次元フーリエ変換
代表的な２次元フーリエ変換対
２次元離散フーリエ変換
離散フーリエ変換の概念 －まずは１次元－
x
u
) 2 /( 1 d 1/d ) (u F0
)
(x
f
u
0
) / ( comb ) ( ) (x f x x d fs x
x
) / ( comb x dd
d
掛け算u
) ( comb ) ( ) (u F u du Fs 0
) ( comb du 元の連続信号 フーリエ変換対 サンプリン グの関数 離散信号 D D 1 周期Dの正弦波 （余弦波）の成分 Ｄの範囲に対して，基底関数を掛けてフーリエ成分を計算しているということは， 暗黙のうちに上記のような実空間信号の周期性を仮定していることになる．
1 0)
/
2
exp(
)
(
1
)
(
N xN
ux
j
x
f
N
u
F
一般に，赤枠のように，原点が中央になるよう に配列し直して表示する方がわかりやすい． x y u v u v ２次元フーリエ変換 および振幅（絶対値） の対数変換表示 2DＦＦＴの結果は図のように原 点を端として切り出されたスペク トルと解釈できる．
２次元離散フーリエ変換
２次元離散フーリエ変換のデータの並び
N-1 0 N-1 0 N/2 Nyquist freq. N/2 u v２次元フーリエ変換の計算例
－円形２－
)
2cos(2
)
(
)
,
(
2 1au
d
d
J
d
v
u
F
ベッセル関数にcos(2πau)を 掛けたもの．}
)
(
)
,
(
{
*
)
/
(
)
,
(
*
)
/
(
)
,
(
*
)
/
(
)
,
(
a,y
x
y
a
x
d
r
circ
y
a
x
d
r
circ
y
a
x
d
r
circ
y
x
f
x yd
d
a
a
x ya
a
＊ ＝画像のフィルタリング処理
講義内容
実空間フィルタリング 平滑化(LPF) エッジ強調(HPF) Laplacian of Gaussian(LOG)フィルタ(BPF) 周波数空間フィルタリング ＬＰＦ，ＨＰＦ，ＢＰＦ 周波数選択的フィルタ 線形シフトインバリアントシステムと劣化画像復元 線形システム 劣化画像の復元 ＭＡＴＬＡＢを用いたデモフーリエ面での処理
周波数成分に対する
自在な
フィルタリングが可能
LPF，BPF,HPF, 部分的なフィルタ
（特定周波数成分の除去，周期構造をもつノイズの除去）
Wiener フィルタ （周波数ごとのSN比を考慮した復元フィルタ）
処理の流れ
特徴
フーリエ変換
フーリエ
スペクトル
フィルタ
演算
処理画像
原画像
フーリエ逆変換
)
,
(
x
y
f
F
( v
u
,
)
)
,
(
)
,
(
)
,
(
v
u
H
v
u
F
v
u
G
)
,
(
x
y
g
例
コンボリューション定理
)
,
(
*
)
,
(
)
,
(
x
y
f
x
y
h
x
y
g
G
(
u
,
v
)
F
(
u
,
v
)
H
(
u
,
v
)
実空間
フーリエ空間
コンボリューション
積
)
,
(
x
y
f
)
,
(
x
y
h
)
,
(
x
y
g
)
,
(
)
,
(
)
,
(
x
y
f
x
y
h
x
y
g
G
(
u
,
v
)
F
(
u
,
v
)
*
H
(
u
,
v
)
積
コンボリューション
)
,
( v
u
F
)
,
( v
u
H
)
,
( v
u
G
処理の等価性
Fourier Transform pair
フーリエ
スペクトル
F(u,v)
フィルタ
H(u,v)
処理画像
g(x,y)
フィルタ
演算
G(u,v)
原画像
f(x,y)
コンボリュ
ーション核
h(x,y)
Fourier Transform pair
平滑化フィルタ
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
実空間でのフィルタ
（コンボリューション核）
空間周波数フィルタ
u
v
（フィルタ特性の絶対値をとって表示）0 10 20 30 40 50 60 70 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Width = 3 Width = 5 Width = 7
Frequency M odul at io n Averaging filter
平滑化フィルタの周波数特性
Low pass filter
Width=3 Width=5
Laplacianフィルタ
空間周波数フィルタ
u
v
0
a
0
a
4
a
0
a
0
実空間でのフィルタ
（コンボリューション核）
1
a
ラプラシアンフィルタの周波数特性
0 10 20 30 40 50 60 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 alpha = 1 alpha = 0.5 alpha = 0.25 Frequency M odul at io n Laplacian filterSobel フィルタ
空間周波数フィルタ
u
v
-1 0
1
-2 0
2
-1 0
1
実空間でのフィルタ
（コンボリューション核）
x
y
0 10 20 30 40 50 60 70 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
sigma = 1 sigma = 2 sigma = 3
Frequency M odul at io n
Laplacian of Gaussian filter
LOGフィルタの周波数特性
Band pass filter
空間周波数フィルタとコンボリューション核の例
空間周波数フィルタ
Sharp-cut LPF
フーリエ空間
コンボリューション核
実空間
周期性のあるノイズの低減
周波数空間の一部にノイ ズのパワーが集中してい るようなとき オリジナル画像 スペクトル画像 ノイズパターン 処理画像 Digital Image Processing, R. C. Gonzalez and R. E. Woodsから引用 ) , (x y f F( vu, ) )} , ( ) , ( { ) , (x y 1 H u v G u v p fˆ(x,y) g(x,y)w(x,y)p(x,y) 重みw(x,y)は(x,y)の近 傍で推定画像の分散が 最小になるように決定．画像のフィルタリング処理
講義内容
実空間フィルタリング 平滑化(LPF) エッジ強調(HPF) Laplacian of Gaussian(LOG)フィルタ(BPF) 周波数空間フィルタリング ＬＰＦ，ＨＰＦ，ＢＰＦ 周波数選択的フィルタ 線形シフトインバリアントシステムと劣化画像復元 線形システム 劣化画像の復元 ＭＡＴＬＡＢを用いたデモx x Linear, time- invariant system In Out ディラックのデルタ関数 ：インパルス関数 デルタ関数入力に対する応答： インパルス応答 x 入力信号 x 出力信号
x 0 0 出力信号は入力信号と インパルス応答との コンボリューションで 表される．線形時不変システム
また線形シフトインバリアントシステム)
(x
h
)
(x
)
(x
f
g
(x
)
x
)
(
*
)
(
)
(
)
(
)
(
x
f
x
h
d
f
x
h
x
g
シフトインバリアント：インパルス応答が，シフトによらないこと． x 0
)
(x
h
x 0)
(x
h
シフトインバリアントシステム
)
(
x
a
h
a
)
(
x
a
h
a
シフトインバリアント シフトバリアント ２次元（画像）の場合 インパルス応答＝点光源に対するレンズによる像（点像分布関数point spread functionとよぶ） レンズ 物体面 像面
f x y
( , )
( , )
x y
g x y
( , )
h x y
( , )
シフトインバリアント シフトバリアント レンズ 物体面 像面 PSFが場所によって 異なる場合線形システム：重ね合わせの原理が成り立つこと
)}
(
{
)}
(
{
)}
(
)
(
{
)
(
)}
(
{
)
(
)
(
)
(
2 2 1 1 2 2 1 1x
f
S
a
x
f
S
a
x
f
a
x
f
a
S
x
g
x
f
S
x
g
x
g
x
f
ことである．
以下の関係が成り立つ
あるとは，
このシステムが線形で
に定義する．
システムを以下のよう
を出力する
に対して，
入力
線形システム
x 入力信号)
(x
f
x 出力信号
x)
(x
g
(
)
(
)
(
2
)
)
(
x
f
0x
f
1x
d
f
2x
d
f
)
2
(
)}
2
(
{
)
(
)}
(
{
)
(
)}
(
{
2 2 1 1 0 0d
x
h
f
d
x
f
S
d
x
h
f
d
x
f
S
x
h
f
x
f
S
(
)
(
)
(
2
)
)
(
x
f
0h
x
f
1h
x
d
f
2h
x
d
g
入力関数： 出力関数： 0 … 0f
1f
f
2入力信号のスペクトル： 出力信号のスペクトル： ：伝達関数 Transfer function コンボリューション 掛け算
F u
( )
uH u
( )
uG u
( )
u 実空間 フーリエ空間G u
( )
H u F u
( ) ( )
H u
G u
F u
( )
( )
( )
output
Input
)
(
*
)
(
)
(
)
(
)
(
x
f
x
h
d
f
x
h
x
g
周波数空間で考える（１次元）
f
x
j
ux
dx
u
F
(
)
(
)
exp(
2
)
)
(
)
(
)
2
exp(
)
(
)
(
)
2
exp(
)
(
)
(
u
F
u
H
dx
ux
j
d
f
x
h
dx
ux
j
x
g
u
G
)
(x
h
x
x
x
)
(x
f
)
(x
g
インパル ス応答40 １．点光源に対するレンズによる像を考える レンズ 物体面 像面
f x y
( , )
( , )
x y
g x y
( , )
h x y
( , )
２．物体面に光強度分布がある場合を考える レンズ 物体面 像面f x y
( , )
無限に細かい点光源が それぞれ，h(x,y)の形で 像面に寄与するとみなせるh(x,y):Point Spread Function(PSF) インパルス応答＝点光源に対する像 =点像分布関数または点広がり関数
結像光学系（２次元の線形システム）
h
x
y
f
x
y
h
x
y
f
d
d
y
x
g
(
,
)
(
,
)
*
(
,
)
(
,
)
(
,
)
入力強度と点像分布関数との コンボリューション41
G u v
( , )
H u v F u v
( , ) ( , )
実空間での各関数の２次元フーリエ変換は以下で定義される． この式を使って，１次元の場合と同様，以下の関係が導かれる 実空間 フーリエ空間 コンボリューション 掛け算H(u,v): Optical Transfer Function (OTF) |H(u,v)|:Modulation Transfer Function(MTF)
フーリエ空間で考える（２次元）
dxdy
vy
ux
j
y
x
g
v
u
G
dxdy
vy
ux
j
y
x
h
v
u
H
dxdy
vy
ux
j
y
x
f
v
u
F
)]
(
2
exp[
)
,
(
)
,
(
)]
(
2
exp[
)
,
(
)
,
(
)]
(
2
exp[
)
,
(
)
,
(
d
d
f
y
x
h
y
x
f
y
x
h
y
x
g
)
,
(
)
,
(
)
,
(
*
)
,
(
)
,
(
42 幾何光学的な近似により レンズ 物体面 像面 x y PSF:h(x,y)
H
d
J
d
d
u
v
( )
(
)
,
2 12
2
2OTF:H(u,v) u v J1: ベッセル関数 フーリエ変換
劣化画像の例
－焦点はずれの場合－
2 2)
(
)
,
(
r
x
y
d
r
circ
y
x
h
43 OTF:H(u,v) u v
f x y
( , )
cos
2
(
u x
0
v y
0)
g x y
H
u x
v y
H
u x
v y
( , )
(
) cos
(
)
(
) cos
(
)
0 0 0 0 0 02
2
r r 位相の反転に注意！ 空間周波数ρ=ρ0の入力パターン 断面をみると
H( )
0 0 に対して，出力パターンは劣化画像の例
－焦点はずれの場合－（つづき）
44 撮影中のカメラのぶれによって，一方向に画像がぼける場合
劣化画像の例
－流れ劣化の場合－
レンズ 物体面 像面 x y PSF:h(x,y) フーリエ変換 撮影中の 一方向への動き 点がライン状にぼけるx
y
)
(
)
,
(
l
x
rect
y
x
h
OTF:H(u,v) u v)
(
sinc
)
,
(
u
v
lu
H
45 0
)
(u
H
u
流れ劣化のOTF
lu
lu
lu
v
u
H
sin
)
(
sinc
)
,
(
l
1
l
2
l
3
r r 位相の反転に注意！ に対して，出力パターンはx
u
02
cos
のパターン
空間周波数
u
u
0x
u
lu
x
u
lu
x
u
v
u
H
y
x
g
0 0 0 0 0 02
cos
|
)
(
sinc
|
2
cos
)
(
sinc
2
cos
)
,
(
)
,
(
流れ劣化の撮影実験
被写体
この被写体を、故意に左右に手ブレさせながら、
48 低コントラスト 位相反転 低コントラスト
