化学反応を伴う温度成層乱流場の数値シミュレーション (乱流による輸送,拡散,混合の数理)

化学反応を伴う温度成層乱流場の数値シミュレーション

京都大学大学院工学研究科機械工学専攻 大西 領 (Ryo Onishi), 小森 悟 (Satoru Komori) *

電力中央研究所 道岡武信 (Takenobu Michioka) *2

*l_Department

_{of Mechanical}

_{Engineering, Kyoto University}

*2

_Central

_Research

_Institute

_of

_Electric

_{Power Industry}

1

緒言

乱流場で乱流混合の影響を受けながら化学反応が進行する現象は, $\mathrm{N}\mathrm{O}\mathrm{x}$

.

$\mathrm{S}\mathrm{O}\mathrm{x}$などの反応性汚 染物質が大気中を乱流拡散する場合のような環境中の流れや, 燃焼・反応器のような工業装置内 の流れの中に数多く見られる. このような反応乱流場での混合反応過程の解明や反応の進行状況 を数値計算により精度良く予測することは工学的に非常に重要である. 近年, スーパーコンピューターの発達によりナビエ. ストークス方程式や物質の拡散方程式を 乱流モデルを用いずに直接差分化して解く直接数値計算 (DNS) が盛んに行われているが,

_DNS

を適用できる流れ場はレイノルズ数やシュミット数の低い流れ場に限定されている. これに対し,

LES(Large Eddy Simulation) はレイノルズ数やシュミット数の高い流れ場までをも計算できる

ため, 有効な計算手法と考えられている. しかし,

LES

ではフィルター幅より小さなスケール (subgrid-scale:SGS) に対して適切なモデルを用いなければならないという問題点がある

.

SGS

レ イノルズ応力や

SGS

乱流物質流束に関しては多くの研究者によりいろいろなモデルが提案されて

いるが, 反応乱流場で問題となるフィルターを施した反応項に対する

SGS

反応モデルは数少ない. しかも既存の

SGS

反応モデルは

SGS

での物質の混合状態を正しく評価できるとは言えず. 小ス ケールでの物質の混合状態を考慮しなければならない適度に速い反応や液相乱流場中での反応に 適用することはできない. 従って, フィルターを施した反応項に対して

SGS

での物質の混合状態 までをも考慮に入れた適切な

SGS

反応モデルを考案することが望まれている. また,

LES

のような応用性の高いツールは複雑な流れ場に対する適用性も求められる. そのた め, 流れ場を複雑なものにする代表的な要因の一つである浮力の影響を正確に評価できる

LES

の 開発も望まれている. そこで, 本研究では

SGS

での物質の混合状態までをも考慮することにより, 反応を伴う液相乱 流場に対しても適用可能な

SGS

反応モデルを開発することを第一の目的とした. さらに開発され たモデルを組み込んだ

LES

を温度成層乱流中の化学反応に対しても適用し, その適用性について 検討することを目的とした.

2Large-Eddy Simulation(LES)

のための

SGS

反応モデル

化学反応を伴う乱流場を支配する方程式は連続の式,

Navier-Stokes

方程式およひ物質の拡散方 程式である. これらの式にフィルタ操作を施すことにより $\mathrm{G}\mathrm{S}$成分に対する

LES

での支配方程式 を得ることができる. $\frac{\partial\overline{U_{1}}}{\partial x_{1}}.\cdot=0$ (1) 数理解析研究所講究録 1339 巻 2003 年 74-82

74

75

$\frac{\partial\overline{U_{\dot{l}}}}{\partial t}+\overline{U_{j}}\frac{\partial\overline{U_{i}}}{\partial x_{\mathrm{j}}}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial\overline{P}}{\partial x_{\dot{\iota}}}+\nu\frac{\partial^{2}\overline{U_{i}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}-\frac{\partial\tau_{ij}}{\partial x_{j}}-\beta g_{\dot{*}}(\overline{T}-T_{\epsilon})$ (2)

$\frac{\partial\overline{\Gamma_{i}}}{\partial t}+\overline{U_{j}}\frac{\partial\overline{\Gamma_{i}}}{\partial x_{j}}=\frac{\nu}{Sc}\frac{\partial^{2}\overline{\Gamma_{i}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}-i^{j}\partial q+\overline{\omega}\partial x_{j}$ (3)

ここでーはフィルタ操作を施された量であることを表しており,

$\tau_{\dot{l}j}$およひ$q_{\dot{l}j}$ はフイルタ操作 によって現れる

SGS

レイノルズ応力,

_SGS

乱流物質フラックスである. これらの項に対しては

Smagorinsky

モデルや

Dyanamic

SGS

モデルなどのモデルが提案されている. 一方, 次式で表さ れるフィルタを施した反応項に対しても

SGS

モデルが必要であるにも関わらず, これまで適度に 速い反応や液相にも適用できる適切な

SGS

反応モデルは提案されていなかった. $\overline{\omega}=k_{\mathrm{r}}\overline{\Gamma_{A}\Gamma_{B}}$ $=k_{r}(\overline{\overline{\Gamma_{A}\Gamma_{B}}}+\overline{\gamma_{\acute{A}}\overline{\Gamma_{B}}}+\overline{\overline{\Gamma_{A}}\gamma_{\acute{B}}}+\overline{\dagger_{A}\sqrt B})$ (4)

2.1

適度に速い反応に対する

SGS

反応モデル

適度に速い反応とは, 化学反応の時間スケール$\tau_{\mathrm{c}}$ と乱流拡散の時間スケール$\tau_{t}$ とが同程度であ る反応のことである. プリミティブなモデルは式 (4) の右辺第二項以降を無視してしまう. しか し, このモデルは

SGS

の濃度変動を無視, つまり

SGS

では完全混合状態にあると仮定している ことになり, 特に液相のように濃度場の最小スケールが小さい流れには到底適用できない. そこ で, 本研究では

SGS

での物質の混合状態を考慮するため無次元化された反応項$\overline{\omega}$ を次のように定 義した. $Da \overline{\Gamma_{A}^{*}\Gamma_{B}^{*}}=Da\int_{0}^{1}P(\Gamma_{A}^{*})<\Gamma_{A}^{*}\Gamma_{B}^{*}|\Gamma_{A}^{\mathrm{B}}>d\Gamma_{A}^{*}$ (5) ここで各成分の濃度は初期濃度で無次元化されており

(

例えば$\Gamma_{A}^{*}=\Gamma_{A}/\Gamma_{A}0$), * は無次元化さ れた濃度であることを表している. この式において$P(\Gamma_{A}^{*})$は

SGS

での物質

A

の濃度$\Gamma_{A}^{*}$ の確率

密度関数であり, $<\Gamma_{A}^{*}\Gamma_{B}^{*}|\Gamma_{A}^{*}>$は物質

A

の濃度$\Gamma_{A}^{*}$に対する

SGS

での$\Gamma_{A}^{*}\Gamma_{B}^{*}$の条件付き期待値

である. これらの二つの関数に対して適切なモデルを与えることにより, 反応項$Da\overline{\Gamma_{A}^{*}\Gamma_{B}^{*}}$を計算

することが可能である. $P(\Gamma_{A}^{*})$ に対しては G廿$\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{j}\mathrm{i}^{[3]}$ が提案した$\beta$

-PDF

モデルがある. $\cdot$

$P( \Gamma_{A}^{*})=\frac{\Gamma_{A}^{*a-1}(1-\Gamma_{A}^{*})^{b-1}}{B(a,b)}$ (6)

ここで,

$a= \overline{\Gamma_{A}^{*}}(\frac{\overline\Gamma_{A}^{*}(1-\overline{\Gamma_{A}^{*}})}{\overline{\gamma_{A}’\mathrm{s}^{2}}}-1)$ $b=(a/\neg\Gamma_{A}^{*}-a$

$B(a,b)= \int_{0}^{1}\Gamma_{A}^{\mathrm{r}a-1}(1-\Gamma_{A}^{*})^{b-1}d\Gamma_{A}^{*}$

である. また, $\overline{\gamma_{A}^{l_{*}F}}$

は無次元化された

SGS

での反応物質

A

の濃度分散. $B(a, b)$ はベータ関数で

ある.

しかし, この$\beta$

-PDF

モデルは,

LES

では直接計算することができない

SGS

での$\Gamma_{A}^{*}$の分散$\overline{\gamma_{A}^{*2}}$

を必要とする. そこで,

_LES

での計算格子幅

(

フィルタ幅$\overline{\Delta}$

) より大きなフイルタ幅$\tilde{\Delta}(=2E)$ _を

もつテストフィルタを施すことによりその領域内の$\mathrm{F}\ovalbox{\tt\small REJECT}$の分散$\gamma$

?

を求め, 次式に示すように

SGS

での $\mathrm{r}\ovalbox{\tt\small REJECT}$の分散$\gamma$

?

と $\gamma$

?

との間に一定の相関関係が存在すると仮定した.

$\overline{\gamma_{A}^{*2}}\approx c_{f}\gamma_{A}^{\mathrm{s}2}-$ (7)

ここで, $cf$ま相関係数であり,

Sc

数に依存すると考えられる. 気相乱流場において

Cook&

$\mathrm{R}\mathrm{i}1\mathrm{e}\mathrm{y}^{[1]}$

はこの$\mathrm{c}_{f}$ 1 こ対して

1.0

を用いたが, 液相乱流場における $cf$ の値は提案されていなかった. そこ

で, $8\pi\cross 8\pi \mathrm{X}8\pi \mathrm{m}\mathrm{m}$

の小さな計算領域における液相定常等方性乱流場に対して

DNS

を実行し,

液相乱流場(Sc$=600$) における $cf$の最適値を求めた [6].

図

1

に

SGS

での濃度とテストフィルタ内での分散との結合確率密度の等高線分布を示す

.

図中

の実線は最小二乗法によって求められた直線であり, $cf=5.0$ の場合に相当する. よって, 液相

のような高

Sc

数流れにおいては$c_{f}=5.0$が最適値であることがわかる.

(a) (b)

Fig.

1:

Joint probability density functions of the filtered and test-filtered

mean

squared

con-centration

fluctuations of

species $\mathrm{A}:(\mathrm{a})$ in anon-reacting flow; (b)

in

areacting

flow with

a

moderately

fast reaction.

以上により, 既存のモデルを改良することによって, 気相およひ液相乱流場の両方において適 用できる $P(\Gamma_{A}^{*})$ に対するモデルを提案できた. 反応項 $Da\overline{\Gamma_{A}^{*}\Gamma_{B}}$ を計算するためには, さらに, $<\Gamma_{A}^{*}.\Gamma_{B}^{*}|\Gamma_{A}^{*}>$ に対する適切なモデルを考案しなければならない

.

そこで,$\cdot$ 気相格子乱流場に対して

DNS

を行い, 得られた $<\Gamma_{A}^{*}\Gamma_{B}^{*}|\Gamma_{A}^{*}>$ に関するデータを元に 次に示すモデルを考案した [6]. (8) $< \Gamma_{A}^{*}\Gamma_{B}^{*}|\Gamma_{A}^{*}>=\alpha\{-\beta(\Gamma_{A}^{*}-\frac{1-\overline{\Gamma_{P}^{*}}}{2})^{2}+\frac{1}{4}(1-\ovalbox{\tt\small REJECT}_{P}^{*2}\}$ (10) $\alpha=\alpha_{1}\cdot\alpha_{2}$ (9) $\alpha_{1}=\{-(-1.0)^{16}+1.0-(^{\frac{\overline\Gamma_{A}^{*}}{\Gamma_{B}^{*}}}-1.0)^{16}+1.0(\leq\overline{\Gamma_{B}^{*}})(^{\frac{\overline\Gamma_{A}^{*}}{\Gamma_{B}^{l}}}\leq ff_{A}^{-})$ $\alpha_{2}=\frac{0.25(1.0-\neg\Gamma_{P}^{*2}-\mathit{0}_{\alpha}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\gamma_{P}^{l_{*}}}}{0.25(1.0-\neg\Gamma_{P}^{*2}}$

(11)

76

$\beta=\{1-\overline{\Gamma_{P}^{*}}\cdot[\Gamma_{A}^{*}+\frac{1+\overline{\Gamma_{P}^{*}}}{2}]\}^{2}$ (12)

$[]$

:

ガウス記号

以上に示す式 (6)および式(8)$\sim(12)$ を用いて, $\overline{\Gamma_{A}^{*}},$ $\overline{\Gamma_{B}^{*}},$ $\overline{\Gamma_{P}^{\mathrm{r}}},$

$\overline{\gamma_{P}^{r_{*}}}F$を入力することにより, 式(8) からく $\Gamma_{A}^{*}\Gamma_{B}^{*}|\Gamma_{A}^{l}>$ の値を計算することが可能となる. 以上のように, 木

SGS

反応モデルは

SGS

での混合状態を考慮するので気相乱流場だけでなく

液相乱流場における適度に速い反応に対しても適切なモデルであると考えられる

.

2.2

瞬間反応に対する

SGS

反応モデル

瞬間反応とは, 化学反応の時間スケール$\tau_{\mathrm{c}}$が乱流拡散の時間スケール$\tau_{t}$ に比べ非常に小さい反 応のことである. 瞬間反応の場合,

_LES

での時間刻み $\Delta t$を $\tau_{\mathrm{c}}$ より十分小さく設定しなければな らない. しかしながら,

現在のスーパコンビュータを用いてもこのような小さな時間刻みを設定

することはできないため, 物質の拡散方程式

(

式 (3)) をそのまま解くことは困難である. そこで, $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{k}\ \mathrm{R}\mathrm{i}1\mathrm{e}\mathrm{y}^{[1]}$ が提案した保存スカラ _$Z$を導入した. 保存スカラ $Z$ は化学反応が起こっても不 変な量であり, 二次の不可逆反応$(\mathrm{A}+\mathrm{B}arrow \mathrm{P})$の場合には次式のように表せる

.

$Z=\Gamma_{A}-\Gamma_{B}$ (13) さらに, $Z$ を正規化した変数$\Gamma_{A}$ を次式のように定義する. $\zeta=\frac{Z-Z_{B0}}{Z_{A0}-Z_{B0}}$ $(0\leq\zeta\leq 1)$ (14) ここで, $Z_{A0}$およひ$Z_{B0}$ はそれぞれ計算領域入口断面または初期条件での値であり, 反応物質

A

のみが存在する所では $Z_{A0}=\Gamma_{A0}$, 反応物質$\mathrm{B}$ のみが存在する所では$Z_{B0}=-\Gamma_{B0}$ となる.

$\zeta$ の拡散方程式にフイルタ操作を施したものは, 式(3) に右いて反応項

$\overline{\omega}$ を除いた次式となる.

$\frac{\partial\overline{\zeta}}{\partial t}+\frac{\partial\overline{U_{j}}\overline{\zeta}}{\partial x_{j}}=D\frac{\partial^{2}\overline{\zeta}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}-\frac{\partial q_{j}}{\partial x_{j}}$

(15)

SGS

での$\zeta$ の混合状態を考慮するため,

SGS

での確率密度関数 $P(\zeta)$ を用いた

SGS

モデルが

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{k}\ \mathrm{R}11\mathrm{e}\mathrm{y}^{[1]}$ により提案された.

$\overline{\Gamma_{\dot{*}}}=\int_{0}^{1}\mathrm{r}_{:}(\zeta)P(\zeta)d\zeta$ (16)

$P(\zeta)$ に対しては

21ffl

と同様に, G 石$\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{j}\mathrm{i}^{[3]}$

が提案した$\beta$

-PDF

モデルを適用した. ここでも

LES

では直接計算できない

SGS

での $\zeta$の分散$\overline{\zeta^{\rho}}$を入力しなければならないので,

2.1

節と同様

に, 以下のモデルを使用した.

$\overline{\zeta}^{\hslash}$

$\approx$ $d_{f}\overline{\zeta^{\Omega}}$ (17)

$c_{f}’$ $=$

LO

(for

gas

turbulenoe)

$=$

5.0

(ffir

liquid

turbulence)

以上のように, 木

SGS

反応モデルは

SGS

での混合状態を考慮するので気相乱流場だけでなく

液相乱流場における瞬間反応に対しても適切なモデルであると考えられる

.

3

化学反応を伴う温度成層乱流場の

LES

31

中立温度成層の場合

(

温度成層が存在しない場合

)

温度成層が存在しない液相格子乱流場に対して

LES

と室内実験との比較を行った [6]. 主流方

向断面平均流速$U_{av\mathrm{e}}$ を.$0.25\mathrm{m}/\mathrm{s}$に設定し, テストセクション入口部に乱流格子を設置した. テス

トセクション入口までは上下層の流体はスプリッタプレートによって完全に分離された. 適度に

速い反応を伴う場合の反応系には水酸化ナトリウム (NaOH

:

物質A) と\yen酸メチル (HCOOCHs

:

物質

B)(

ともに初期濃度

100

$\mathrm{m}\mathrm{o}1/\mathrm{m}^{3}$) のけん化反応 $\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{O}\mathrm{H}+\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{C}\mathrm{H}_{3}arrow \mathrm{C}\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}\mathrm{H}+\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{N}\mathrm{a}$ (18) を想定した. この場合の反応速度定数は$k_{r}\approx 0.02\mathrm{m}’/(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{s})$ である. 瞬間反応を伴う場合の反応系には酢酸 ($\mathrm{C}\mathrm{H}_{3}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}$

:

物質A) と水酸化アンモニウム ($\mathrm{N}\mathrm{H}_{4}\mathrm{O}\mathrm{H}$

:

物質B)(ともに初期濃度

10

$\mathrm{m}\mathrm{o}1/\mathrm{m}^{3}$) の中和反応 $\mathrm{C}\mathrm{H}_{3}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}+\mathrm{N}\mathrm{H}_{4}\mathrm{O}\mathrm{H}arrow \mathrm{C}\mathrm{H}_{3}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{N}\mathrm{H}_{3}+\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}$ (19) を想定した. この場合の反応速度定数は$k_{\mathrm{r}}\approx 10^{8}\mathrm{m}^{3}/(\mathrm{m}\mathrm{o}1\mathrm{s})$である.

311

数値計算手法 計算領域の概略図を図

2

に示す. 座標系を主流方向に$x$, 鉛直方向に $y$, スパン方向に $z$ とし,

原点

_$(x=y=z=0)$

を乱流格子面の中心とした. 計算領域を実次元で

520

$\mathrm{X}80\cross 80\mathrm{m}\mathrm{m}$の直

方体とし, 格子点数を

280

$\mathrm{x}80\mathrm{x}80$ とした. 乱流格子(格子間隔$M=0.02\mathrm{m}$) _{は計算領域入口}

から下流方向に$0.02\mathrm{m}$ の位置に設置された.

式(2), (3)およひ(15) 中に表れる$\tau_{\dot{l}j},$ $q_{1j}.,$ $q_{j}$ に対しては

Dynamic

SGS

モデルを用いた. ま

た, 適度に速い反応の場合に対しては

21

節で示した本

SGS

反応モデルを, 瞬間反応の場合に対

しては

₂₂

節で示した本

SGS

反応モデルをそれぞれ用いて化学物質の濃度を求めた.

Fig.

2:

The computational

domain for

grid-generated turbulence.

312

結果と考察

図

3

に生成物質$\mathrm{P}$の時間平均濃度の主流方向分布を示す. プロットが実験結果を表しており, 曲

線が

LES

の結果を表している. ただし, 図$3(\mathrm{a})$ は

SGS

での混合状態を考慮しないプリミティブ

なモデルを用いた結果であり, 図$3(\mathrm{b})$ は本

SGS

反応モデルを用いた結果である. なお, 時間平均

化した生成物質$\mathrm{P}$ の濃度く_{$\Gamma_{P}>$} は物質

A

の初期濃度 $\Gamma_{A0}$ で無次元化されている. 図 $3(\mathrm{a})$ では

LES

の結果は適度に速い反応の場合も瞬間反応の場合も実験値より大きな値となっている. それ に対して図$3(\mathrm{b})$ では

LES

の結果は実験値とよく一致している. これは,

SGS

での混合状態を考 慮しない, つまり,

SGS

での濃度むらを無視すると生成物濃度を過剰に評価してしまうことを表 しており, 本

SGS

反応モデルを用いて

SGS

での混合状態を考慮することによって初めて, 液相 乱流場における適度に速い反応および瞬間反応を正しく予測できることがわかる. (a) (b)

Fig.

3: Streamwise distributions

of the

mean

concentration

of

species

P. Symbols denote the

measurements and the lines

are

the

LES

predictions

by

(a)

the present

SGS model

with

$cf=d_{f}$

$=1.0$

and

(b)

the

present

SGS

model

with

$c_{f}=d_{f}=5.0:\mathrm{O},$ $-$,

arapid

reaction; $\square$ ,–,

a

moderately fast reaction.

3.2

安定およひ不安定温度成層が存在する場合

安定およひ不安定温度成層が存在する液相混合層に対して

LES

と室内実験との比較を行った [7].

上層の初期流速を$0.165\mathrm{m}/\mathrm{s}$, 下層の初期流速を$0.085\mathrm{m}/\mathrm{s}$ とし, 断面平均流速$0.125\mathrm{m}/\mathrm{s}$, 流速差

$0.08\mathrm{m}/\mathrm{s}$の混合層を形成させた. 安定温度成層が存在する場合は上層を T 層よりも

1OK

高く設定 し, 不安定温度成層が存在する場合は逆に上層を下層よりも

1OK

低く設定することにより温度成 層を形成させた. 反応系としては酢酸($\mathrm{C}\mathrm{H}_{3}\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{H}$

:

物質A) と水歎化アンモニウム ($\mathrm{N}\mathrm{H}_{4}\mathrm{O}\mathrm{H}$

:

物質

B)(

ともに初 期濃度

₁₀

$\mathrm{m}\mathrm{o}1/\mathrm{m}^{3}$) の中和反応 (瞬間反応) を用いた.

321

数値計算手法 計算領域の概略図を図

4

に示す. 主流方向を$x$, 鉛直方向を$y$, スパン方向を$z$ として, 流入部 には長さ $40\mathrm{m}\mathrm{m}$ のスプリッタプレートを設置した. スプリッタプレートによって上下層は完全に 分離され, 上下層流体が混合を開始するスプリッタプレート先端に座標原点をとった. 中立の場合およひ安定温度成層が存在する場合の計算領域の大きさを

480

$\mathrm{X}80\mathrm{x}80\mathrm{m}\mathrm{m}$とし, 格子点数を

360

$\mathrm{X}60\cross 60$とした.

不安定温度成層が存在する場合は中立の場合に比べ混合領域が

79

鉛直方向に拡大するので$y$方向の計算領域を大きくとり計算領域の大きさを$480\cross 106\mathrm{X}80\mathrm{m}\mathrm{m}$

とし, 格子数を

360

$\mathrm{x}80\cross 60$ とした.

温度成層が存在する乱流場を計算するためには式 (1), (3)およひ(15) に加えて, 熱の拡散方程

式も計算する必要がある. フィルタ操作を施した熱の拡散方程式は以下のようになる.

$\frac{\partial F}{\partial t}+\overline{U_{j}}f\frac{fi}{\partial x_{j}}=\frac{\nu}{Pr}\frac{\partial^{2}F}{\partial x_{j}\partial x_{j}}-\frac{\partial h_{j}}{\partial x_{j}}$ (20)

$h_{j}$ はフィルタ操作によって現れる

SGS

乱流熱フラックスである. $\tau_{\dot{\mathrm{t}}j},$ $q_{j}$ と同様に, この項に 対しても

Dynamic

SGS

モデルを用いた. このDynamicSGS. モデルでは通常,

shear

によるエネルギー生成が散逸と釣り合うと仮定する ことによって,

_SGS

レイノルズ応力を次式のようにモデル化する. $\tau_{\dot{l}\mathrm{j}}-\frac{1}{3}\delta_{1j}.\tau_{kk}=-2C\overline{\Delta}^{2}|\mathrm{F}|\Gamma_{1j}.$

.

(21) ただし. $T_{1j}.=(^{\theta}ai_{eg}^{\overline{U}}+\neq_{x}^{\partial\overline{U}}‘)/2$ である. しかし, 温度成層が存在する乱流場においては浮力が

SGS

の流れに影響を及ぼす可能性がある

.

特に液相は$\mathrm{P}\mathrm{r}$ 数が約

5

と比較的大きいため, 温度場の最小スケールが比較的小さ$\text{く}$, 浮力が

SGS

の流れに影響を及ぼす可能性が高いと考えられる. Wong&Lilly 15] は浮力による

SGS

のエネル ギ–生成を考慮に入れ,

shear

によるエネルギ–生成と浮力によるエネルギー生成$(G_{kSGS})$が散 逸と釣り合うと仮定することにより

SGS

の流れ場に対する浮力効果を考慮した. $\tau_{j}\dot{.}$ – $\frac{1}{3}\delta_{1j}.\tau_{kk}=-2\nu_{SGS}\mathcal{T}_{\dot{l}\mathrm{j}}$ $=$ $-2C \overline{\Delta}^{2}(1+\frac{g_{1}\beta}{Pr_{SGS}|\partial|^{2}}.\frac{\partial\overline{T}}{\partial x_{\dot{*}}})^{\mathrm{t}}|\mathrm{B}|\overline{S_{\dot{t}j}}$

.

(22)

本研究では式(21) を用いて

LES

を実行した場合と式(22) を用いて実行した場合の結果を比較す ることにより, 浮力が

SGS

の流れに及ぼす影響についても調べた.

Fig.

4: The computational domain for athermally stratified mixing layer.

3.2.2

結果と考察

図

5

に速度混合層厚さおよひ濃度混合層厚さの主流方向分布をそれぞれ示す. ただし, 速度混

合層厚さを $(<U>-U\iota)/\Delta U=0.1$ となる $y$座標を$y_{u1},$ $(<U>-U_{l})/\Delta U=0.9$ となる$y$座標

を九 2

として, 次式のように定義した.

$\delta_{u}=|y_{u1}-y_{u2}|/0.8$ (23)

また, 濃度混合層厚さを化学反応を伴わない場合の物質

A

の時間平均濃度がく $C_{A}^{*}>/C_{A0}=$

$0.1$ となる$y$座標を$ye1,$ $<C_{A}^{*}>/C_{A0}=0.9$となる$y$座標を$y\mathrm{c}2$ として, 次式のように定義した.

$\delta_{\mathrm{C}}=|y_{\mathrm{c}1}-y_{c2}|/0.8$ (24)

図5(a) の温度成層が存在しない中立の場合に注目すると $0.15\mathrm{m}\leq x\leq 0.40\mathrm{m}$の範囲で

LES

およひ実験ともに速度混合層厚さが直線的に増加することがわかる

.

その直線の傾き而$u/dx$ は

0076

であり, この値は

Mehta&Westpha1[4]

によって提案された式に対して本実験での速度比 $(r=U\iota/U_{h})$ を代入することによって得られる値

0073

と良好に一致する. また, 安定およひ不安 定温度成層が存在する場合に関して,

SGS

への浮力効果を考慮した場合

(

式 (22)) と考慮しなかっ た場合(式 (21))の

LES

の結果に差異は見られず, ともに実験値によく一致している. このことは 本

LES

が乱流混合に及ぼす温度成層の効果を精度良く予測できることだけでな$\text{く}$,

SGS

への浮力 効果を考慮する必要がないことも示している. よって, 以Tでは式(21) を用いて計算した場合に 関して検討を行う. 化学反応に及ぼす温度成層の効果を本

LES

が正しく評価できるかどうかを調べるために, 反応 生成物濃度を鉛直方向に積分した値(反応生成物量$M$) _を調べた. その主流方向変化を図

6

に示す.

なお, 縦軸は$x=0.20\mathrm{m}$の断面における反応生成物量(LES の結果は$M_{LBS}$, 実験結果は$M_{EXP}$)

でそれぞれ割ることによって無次元化された各$x$断面での生成物量を示している. 図より, 木

LES

は反応生成物量の増加率や温度成層による変化を正しく予測できることがわかる.

$x[\mathrm{m}]$ $x[\mathrm{m}]$

(a) (b)

Fig.

5: Streamwise

distributions of the mixing

layer

width

(a)

in

the velocity

field

and

(b)

in

the

concentration field. Symbols denote

the measurements,

the thick

lines

are

the

LES

predictions

based

on

the

equation (21)

and

the thin lines

are

the

LES

predictions

based on

the

equation

(22): $\bullet,$ $-,\mathrm{i}\mathrm{n}$neutral

stratffication;

$\Delta,$ $—,-\cdot--,\mathrm{i}\mathrm{n}$

unstable

stratification; $\mathrm{O},$

$\cdots\cdot,$$-,\mathrm{i}\mathrm{n}$

stable

stratification.

$\overline{\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{s}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}}$

\S

$\mathrm{s}^{\mathrm{B}}$

$\tilde{@}$

$x[\mathrm{m}]$

Fig.

6:

Streamwise

distributions of the amount of

chemical

product. Symbols

ae

in Fig.

5.

4

結言

本研究では

SGS

での混合状態を考慮した

SGS

反応モデルを提案した. さらにそれを用いた

LES

を化学反応を伴う種々の乱流場に適用した結果, 以下の結果が得られた. (1)本研究で開発した

SGS

反応モデルを用いた

LES

は気相のみならず液相乱流場における混合 反応現象を定性的にも定量的にも正しく予測できる. (2) 本

LES

は, 温度成層した液相乱流場での混合反応現象をも予測できる. なお,

_SGS

の流れ 場への浮力効果の影響は非常に小さく, 無視できる.

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