微積分
I (2018
年度後期)
中間試験類題
(理工学部共通)
1
x
αの微分・接線
1. 次の関数を微分せよ. (1) 2x4− x2+ 3 + 1 x (2) x + 1 x (3) x2 2 + 1 2x2 (4) x √ x (5) 2x2√x (6) x 2 √ x (7) √ 3x (8) √ x 2 2. a, b > 0 とする. y = x2− b の x = a での接線が x 軸と交わる点を求めよ. 3. y = x2 の x = a̸= 0 での接線が x 軸と交わる点を求めよ. 4. y = 1 x の x = a > 0 での接線と x, y 軸とでつくる 3 角形の面積を求めよ. 5. y = x3− x の接線が傾き 1 となる接点の x 座標を求めよ. 6. y = 3x− x3 の接線が傾き 1 となる接点の x 座標を求めよ. 7. y = x2 の傾き正の接線で x 軸の正の方向とのなす角が π 4 であるものを求めよ. 8. y = x2上の点 P(a, a2) (a > 0) における接線と法線 (接線に直交する直線) が y 軸と交わる点をそれぞれ Q, R とする. このとき次の問に答えよ. (1) a→ +0 のとき, R が近づく点の座標を求めよ. (2) 三角形 PQR の面積を S とするとき, lim a→+0 S a を求めよ.2
関数,
合成関数の微分法
1. 次の関数の導関数を求めよ. (1)(2x + 3)10 (2)(1− x)20 (3)(x2+ 1)5 (4)(1− x3)6 2. 次の関数の導関数を求めよ. (1)x− 1 x + 1 (2) x2− 1 x2+ 1 (3) ax + b cx + d (4) x x2+ 1 3. 次の関数の導関数を f, f′ を用いて表せ. (1)f (x2) (2)f (2x + 1) (3)f (√x) (4)xf (x2) 4. 数直線上を運動する点 P の時刻 t における位置が x(t) =−t3+ 24t であるとする. このとき (1) P が向きを変える時刻 T (> 0) を求めよ. (2) P は t = 0 で原点を出発するが, 再び原点に戻ってくるまでに動いた距離を求めよ. 5. 球の体積が毎秒 a [m3] の割合で増加しているとき, 半径が b [m] (b > 0) となった瞬間の，球の表面積の増 加速度を求めよ. 6. 球の表面積が毎秒 a [m2] の割合で増加しているとき, 半径が b [m] (b > 0) となった瞬間の，球の体積の増 加速度を求めよ. 7. 水平な水面上 10m の高さの垂直な面の崖の上から舟までの距離が 50m である. 綱を舟に結びつけこれを弛 まないように毎秒 1m の速さで手繰るとき, 引き始めてから 10 秒後の舟の速さを求めよ. 8. n を自然数とする. 次の極限で定義された f (x) を求め, その不連続点を調べよ. (1)f (x) = lim n→∞ x2n+1 x2n+ 1 (2)f (x) = x limn→∞ xn− 1 xn+ 2 (3)f (x) = limn→∞ x2n+1+ x2 x2n+ 2 (4)f (x) = lim n→∞ {1 + sin(πx)}n− 1 {1 + sin(πx)}n+ 1 9. 関数 f (x) = ax1 1+a1x (x̸= 0) 0 (x = 0) (a > 1) は x = 0 で連続かどうか調べよ.3
指数関数・対数関数
1. 次の導関数を計算せよ.
(1)(e2x− e−3x)′ (2)(e−x2)′ (3)(x2e−x)′ (4){log(x2+ 1)}′ (5){log(2x + 1)}′ (6){log(5x)}′
(7){log(x +√x2+ 3)}′ (8){103x}′ (9) { log ( 1 √ x2+ 1 )}′ 2. y = e2xの接線で原点 (0, 0) を通るものを求めよ. 3. y = exe の接線で原点 (0, 0) を通るものを求めよ. 4. y = log x の接線で原点 (0, 0) を通るものを求めよ. 5. y = log(2x− 1) の接線で ( 1 2, 0 ) を通るものが, y 軸を切る点の座標を求めよ. 6. x, y > 0 とする. log ( y x+ √ 1 + y 2 x2 ) = x を満たす y を x を用いて表せ. 7. f (x) は x{ ̸= 0 のある点でゼロにならない微分可能な関数で, f′(x) = 3xf (x) を満たすとする. このとき e−ax2f (x) }′ = 0 となるように定数 a の値を定めよ. 8. y = xeαx, z = eβxが全ての x について y′−√2y = z, z′−√2z = 0 を満たすように定数 α, β の値を定めよ.
4
三角関数
1. y = cos2(πx) の周期を求め, そのグラフを書け. 2. y = sin2 (π 2x ) の周期を求め, そのグラフを書け. 3. y =| sin(3x)| の周期を求め, そのグラフを書け. 4. y = cos (x 3 ) の周期を求め, そのグラフを書け. 5. 曲線 y = cos(2x) の x = π 3 における接線の式を求めよ. 6. 曲線 y = sin(2x) の x = π 6 における接線の式を求めよ. 7. 曲線 y = cos2(πx) の x = 1 4 における接線の式を求めよ.8. 次の関数の導関数を求めよ. (1)x sin(2x) (2)e−xcos(3x) (3) sin2x (4) cos2(2x) (5) sinnx
9. y = A cos(2x), z = B sin(2x) が y′= z, z′=−5y + 6 cos(2x) を満たすように定数 A, B の値を定めよ. 10. A を定数とし, y = Ax cos(2x), z = y′ とおく. z′=−4y + 6 sin 2x が成り立つように定数 A の値を定めよ. 11. y(x) = A cos(2x) + B sin(2x) が y(0) = 1, y′(0) = 2 を満たすように定数 A, B の値を定めよ.
12. y = A sin(3x) + B cos(3x) が y′+ 12y = 51 cos(3x) を満たすように定数 A, B の値を定めよ.
13. y = A sin(3x) + B cos(3x) + Ce−12x が y′+ 12y = 51 cos(3x), y(0) = 10 を満たすように定数 A, B, C の値 を定めよ.
5
逆三角関数
1. 次の関数 f (x) の逆関数 f−1(x) を求めよ. (1) f (x) = 1 3x− 4 (2) f (x) = (x− 3) 2(x≦ 3) (3) f (x) = e−x− 5 (4) f (x) = sin x (−π 2 ≦ x ≦ π 2) (5) f (x) = cos x (0≦ x ≦ π) (6) f (x) = tan x (− π 2 < x < π 2) 2. 次の値を求めよ. (1) sin−1 ( 1 2 ) (2) sin−1 (√ 3 2 )(3) sin−11 (4) cos−10 (5) cos−1 ( 1 2 ) (6) cos−1(−1) (7) tan−10 (8) tan−11 (9) tan−1 ( 1 √ 3 ) (10) tan−1(√3) 3. 次の値を求めよ.
(1) tan−11 + sin−11 + cos−10 (2) tan−1 ( −1 √ 3 ) + sin−1 ( −1 2 ) + cos−1 ( −1 2 ) (3) tan−1 ( tan ( 3π 4 )) + sin−1 ( sin ( 3π 4 )) (4) sin−1 ( cos ( 2π 3 )) + cos−1 ( sin ( 2π 3 ))
4. 次の値を求めよ. (1) sin−1x + cos−1x (2) tan−1 1 2+ tan −11 3 5. 次の関数を微分せよ. (1) sin−1(2x) (2) sin−1 (x 2 ) (3) cos−1(3x) (4) cos−1 (x 3 ) (5) tan−1(2x) (6) tan−1 (x 2 ) (7) sin−1 ( x √ 2 ) (8) tan−1 ( x √ 3 ) 6. 次の関数を微分せよ. ただし (4)∼(6) では x2の係数は 1 または−1 となるようにせよ.
(1) sin−1(5x) (2) cos−1(5x) (3) tan−1(5x) (4) sin−1 (x 5 ) (5) cos−1 (x 5 ) (6) tan−1 (x 5 ) 7. α = tan−1(2−√3), β = tan−1(2 +√3) のとき tan(β− α) 及び β − α の値を求めよ.
8. 次の方程式を解け。 (1) sin−1x = cos−12
3 (2) sin
−1x = cos−11 3 9. 次のグラフを描け。 (1) y = sin(sin−1x) (2) y = sin−1(sin x) 10. 曲線 y =√3 sin−1(2x) の x = 1 4 における接線の式を求めよ. 11. 曲線 y = tan−1 ( x √ 3 ) の x =√3 における接線の式を求めよ. 12. f (x) = tan−1x + tan−1 ( 1 x ) に対して, (1) f (1) を求めよ. (2) f (−1) を求めよ. (3) f′(x) を求めよ. (4) f (x) を求めよ. 13. 次の問に答えよ. (1) x > 0, p > 0, f (x) = 1 3x 3とする. p = f′(x) から決まる x を x(p) と書く. このとき p の関数 g(p) = x(p)p− f(x(p)) を求めよ. (2) (1) で得られた g(p) に対して, x = g′(p) から決まる p を p(x) と書く. このとき x の関数 F (x) = xp(x)− g(p(x)) を求めよ. 14. 次の問に答えよ. (1) x > 0, p > 0, f (x) = e2xとする. p = f′(x) から決まる x を x(p) と書く. このとき p の関数 g(p) = x(p)p− f(x(p)) を求めよ. (2) (1) で得られた g(p) に対して, x = g′(p) から決まる p を p(x) と書く. このとき x の関数 F (x) = xp(x)− g(p(x)) を求めよ.
微積分
I (2018
年度後期)
中間試験予想問題
(理工学部共通)
解答解説
1
x
αの微分・接線
[1]. ((1)(2)(3) は答えのみ) (1) 8x3− 2x − 1 x2 (2) 1− 1 x2 (3) x− 1 x3 (4) ( x√x)′ = ( x1+1/2 )′ = 3 2x 1/2= 3 2 √ x (5) (2x2√x)′= ( 2x2+1/2 )′ = 2×5 2x 3/2= 5x√x (6) ( x2 √ x )′ = ( x2−1/2 )′ =3 2x 1/2=3 2 √ x (7) (√3x )′ =(√3x1/2 )′ =√3×1 2x −1/2= √ 3 2√x (8) (√ x 2 )′ = ( 1 √ 2x 1/2 )′ =√1 2× 1 2x −1/2= √ 2 4√x[2] f (x) = x2 − b に対して f′(x) = 2x より、f′(a) = 2a である。従って接線は y = f′(a)(x− a) + f(a) = 2a(x− a) + (a2− b) = 2ax − a2− b である。方程式 2ax − a2− b = 0 を解いて x = a
2+ b 2a より点 ( a2+ b 2a , 0 ) で x 軸と交わる。 [3] [2] の b = 0 の場合にあたるので点 (a 2, 0 ) で x 軸と交わる。 [4] f (x) = 1 x に対して f ′(x) = −1 x2 より、f ′(a) = −1 a2 である。従って接線は y = f ′(a) (x− a) + f (a) = −1 a2 (x− a) + 1 a = −x + 2a a2 である。方程式−x + 2a を解いて x = 2a より点 (2a, 0) で x 軸と交わる。y 軸との交 点は (0, f (0)) = ( 0,2 a ) である。従って三角形の面積は S = 1 2× 2a × 2 a = 2 である。 [5] f (x) = x3− x に対して f′(x) = 3x2− 1 である。接点の x 座標を t とすると、x = t での接線の傾きは f′(t) = 3t2− 1 = 1 である。これより t = ± √ 2 3 を得る。 [6] f (x) = 3x− x3に対して f′(x) = 3− 3x2である。接点の x 座標を t とすると、x = t での接線の傾きは f′(a) = 3− 3t2= 1 である。これより t =± √ 2 3 を得る。 [7] f (x) = x2に対して f′(x) = 2x である。接点の x 座標を t とすると、x = t での接線の傾きは f′(t) = 2t = tanπ 4 = 1 なので t = 1 2 である。従って接線は y = f ′ ( 1 2 ) ( x−1 2 ) + f ( 1 2 ) = ( x−1 2 ) +1 4 = x− 1 4 である。 [8] f (x) = x2に対して f′(x) = 2x である。x = a での接線の方程式は y = f′(a) (x− a)+f (a) = 2a (x − a)+a2= 2ax− a2である。従ってその y 切片は Q(0,−a2)である。 x = a での法線は、x = a での接線に直交するのでその傾きは −1 (接線の傾き) = −1 f′(a) である。従って x = a で の法線の方程式は y = −1 f′(a)(x− a) + f (a) = −1 2a (x− a) + a 2 = −x + a + 2a3 2a である。従ってその y 切片は R ( 0,1 + 2a 2 2 ) である。 (1) 従って lim a→+0 1 + 2a2 2 = 1 2 より点 R は ( 0,1 2 ) に近づく。 (2) 線分 QR の長さは 1 + 2a 2 2 − ( −a2) =1 + 4a 2 2 なので三角形 PQR の面積は S = 1 2×a× 1 + 4a2 2 = a(1 + 4a2) 4 である。従って lim a→+0 S a = lima→0 1 + 4a2 4 = 1 4 である。
2
関数
,
合成関数の微分法
[1] (1) f (x) = 2x + 3、g(x) = x10とすると h(x) = (2x + 3)10= g(f (x)) である。f′(x) = 2、g′(x) = 10x9より h′(x) = g′(f (x))× f′(x) = 10(2x + 3)9× 2 = 20(2x + 3)9 (2) f (x) = 1− x、g(x) = x20とすると h(x) = (1− x)20 = g(f (x)) である。f′(x) = −1、g′(x) = 20x19より h′(x) = g′(f (x))× f′(x) = 20(1− x)19× (−1) = −20(1 − x)19(= 20(x− 1)19) (3) f (x) = x2+ 1、g(x) = x5とすると h(x) = (x2+ 1)5 = g(f (x)) である。f′(x) = 2x、g′(x) = 5x4より h′(x) = g′(f (x))× f′(x) = 5(x2+ 1)4× 2x = 10x(x2+ 1)4 (4) f (x) = 1− x3、g(x) = x6とすると h(x) = (1− x3)6 = g(f (x)) である。f′(x) = −3x2、g′(x) = 6x5よりh′(x) = g′(f (x))× f′(x) = 6(1− x3)5× (−3x2) =−18x2(1− x3)5(= 18x2(x3− 1)5) [2] (1) ( x− 1 x + 1 )′ =(x− 1) ′× (x + 1) − (x − 1) × (x + 1)′ (x + 1)2 = (x + 1)− (x − 1) (x + 1)2 = 2 (x + 1)2 (2) ( x2− 1 x2+ 1 )′ = (x 2− 1)′× (x2+ 1)− (x2− 1) × (x2+ 1)′ (x2+ 1)2 = 2x(x2+ 1)− 2x(x2− 1) (x2+ 1)2 = 4x (x2+ 1)2 (3) ( ax + b cx + d )′ =(ax + b) ′× (cx + d) − (ax + b) × (cx + d)′ (cx + d)2 = a(cx + d)− c(ax + b) (cx + d)2 = ad− bc (cx + d)2 (4) ( x x2+ 1 )′ = (x) ′× (x2+ 1)− x × (x2+ 1)′ (x2+ 1)2 = (x2+ 1)− x × 2x (x2+ 1)2 = 1− x2 (x2+ 1)2 [3] (1)(f (x2))′= f′(x2)× (x2)′= 2xf′(x2) (2) (f (2x + 1))′= f′(2x + 1)× (2x + 1)′ = 2f′(2x + 1) (3) (f (√x))′= f′(√x)× (√x)′=f ′(√x) 2√x (4) (xf (x2))′= (x)′f (x2) + x{f(x2)}′ = f (x2) + x{f′(x2)× (x2)′} = f(x2) + 2x2f′(x2) [4] (1) x(t) =−t3+ 24t とすると、x′(t) =−3t2+ 24 である。向きを変えるのは x′(T ) = 0(T > 0) のときなので T = 2√2 である。 (2) x(0) = 0 から x ( 2√2 ) =−16√2 + 48√2 = 32√2 を往復するので 2 倍して 2× x(2√2) = 64√2 [5] 時刻 t での球の半径を r とすると, 体積 V は V = 4 3πr 3である. dV dt = a であるから, a = dV dt = dV dr dr dt = 4πr2dr dt ∴ dr dt = a 4πr2 である. よって r = b のときは, dr dt = a 4πb2. そして表面積は S = 4πr 2 から, dS dt = dS dr dr dt = 8πr· a 4πr2 = 2a r となり, r = b のとき球の表面積の増加速度は dS dt = 2a b [m 2/s]. [6] 時刻 t での球の半径を r とすると, 表面積 S は S = 4πr2、体積 V は V = 4 3πr 3である. dS dt = dS dr dr dt = 8πrdr dt = a であるから, dr dt = a 8πr である. よって r = b のときは, dr dt = a 8πb. そして体積 V は V = 4 3πr 3から, dV dt = dV dr dr dt = 4πr 2× a 8πr = ar 2 となり, r = b のとき球の体積の増加速度は dV dt = ab 2 [m 3/s]. x(t) [m] 10[m] (50-t)[m] [7] [7] t 秒後の舟の位置を図のように x(t)[m] とする。t 秒後の綱の長さ は (50 − t)[m] なので三平方の定理より x(t) = √(50− t)2− 102 = √ t2− 100t + 2400 である。従って v(t) = x′(t) = (t 2− 100t + 2400)′ 2√t2− 100t + 2400 = t− 50 √ t2− 100t + 2400より、求める速さは|v(10)| = 10− 50 √ 1500 = 4√15 15 [m/s] である。 [8] (1) f (±1) = lim n→+∞ (±1)2n× (±1) (±1)2n+ 1 =n→+∞lim ±1 1 + 1 =± 1 2 である (複号同順)。 |x| < 1 のとき lim n→+∞x 2n = 0 なので、f (x) = lim n→+∞{x 2n+1 | {z } →0 ÷( x2n |{z} →0 +1)} = 0 である。 |x| > 1 のとき lim n→+∞x 2n = +∞, lim n→+∞x −2n= 0 なので分母分子を x2nで割って、 f (x) = lim n→+∞ x2n+1 x2n+ 1 =n→+∞lim {x ÷ (1 + x −2n | {z } →0 )} = x である。 従って f (x) = 0 (|x| < 1) ±1 2 (x =±1) x (|x| > 1) (複号同順) より不連続点は x =±1 である。 (2) f (−1) = lim n→+∞(−1) (−1)n− 1 (−1)n+ 2 は収束しないので f (−1) は定義出来ない。 f (1) = lim n→+∞1× 1n− 1 1n+ 2 =n→+∞lim 1× 1− 1 1 + 2 = 0 である。 |x| < 1 のとき lim n→+∞x n = 0 なので、f (x) = x lim n→+∞{( x n |{z} →0 −1) ÷ ( xn |{z} →0 +2)} = −x 2 である。 |x| > 1 のとき lim n→+∞x n = +∞, lim n→+∞x −n= 0 なので分母分子を xnで割って、 f (x) = x lim n→+∞ xn− 1 xn+ 2 = x limn→+∞{(1 − x|{z}−n →0 )÷ (1 + 2x| {z }−n →0 )} = x である。
従って f (x) = −x 2 (|x| < 1) 0 (x = 1) 定義されない (x =−1) x (|x| > 1) より不連続点は x = 1 である。 (3) f (±1) = lim n→+∞ (±1)2n× (±1) + (−1)2 (±1)2n+ 2 =n→+∞lim (±1) + 1 3 である (複号同順)。 |x| < 1 のとき lim n→+∞x n = 0 なので、f (x) = lim n→+∞{(x 2n+1 | {z } →0 +x2)÷ ( x|{z}2n →0 +2)} = x 2 2 である。 |x| > 1 のとき lim n→+∞x n = +∞, lim n→+∞x −n= 0 なので分母分子を x2nで割って、 f (x) = lim n→+∞ x2n+1+ x2 x2n+ 2 =n→+∞lim {(x + x 2−2n | {z } →0 )÷ (1 + 2x| {z }−2n →0 )} = x である。 従って f (x) = x2 2 (|x| < 1) 2 3 (x = 1) 0 (x =−1) x (|x| > 1) より不連続点は x =±1 である。 (4) 1 + sin(πx) = 1 のとき、x = 2m, 2m + 1(m は自然数) である。f (m) = lim n→+∞ 1n− 1 1n+ 1 =n→+∞lim 1− 1 1 + 1 = 0 0≦ 1 + sin(πx) < 1 のとき、(1 + 2m) < x < 2(m + 1)(m は整数) である。このとき lim n→+∞{1 + sin(πx)} n= 0 な ので、f (x) = lim n→+∞{({1 + sin(πn)} n | {z } →0 −1) ÷ ({1 + sin(πn)}n | {z } →0 +1)} = −1 1 < 1 + sin(πx) ≦ 2 のとき、2m < x < (2m + 1)(m は整数) である。このとき lim n→+∞{1 + sin(πx)} n = +∞, lim n→+∞{1 + sin(πx)} −n= 0 なので分母分子を{1 + sin(πx)}nで割って、 f (x) = lim n→+∞{(1 − {1 + sin(πn)} −n | {z } →0 )÷ (1 + {1 + sin(πn)}−n | {z } →0 )} = 1 である。 従って f (x) = 1 (2m < x < 2m + 1) 0 (x = 2m, 2m + 1) −1 (2m + 1 < x < 2m + 2) (m は整数) より不連続点は x = l(l は整数) である。 [9]. x→ +0 のとき a > 1 より f(x) = a 1 x 1 + a1x = 1 a−1x + 1 → 1 a−∞+ 1 = 1. である。 x→ −0 のとき a > 1 より f(x) = a 1 x 1 + ax1 → a−∞ 1 + a−∞ = 0. である。 よってグラフは x = 0 で左からはつながっているが, 右からはつながっていないので連続ではない.
3
指数関数・対数関数
[1] (1)(e2x− e−3x)′ = e2x× (2x)′− e−3x× (−3x)′= 2e2x+ 3e−3x (2) ( e−x2 )′ = e−x2×(−x2)′ =−2xe−x2 (3) (x2e−x)′ =(x2)′× e−x+ x2×(e−x)′= 2xe−x+ x2e−x× (−x)′ = x(2− x)e−x (4) {log(x2+ 1)}′ =(x 2+ 1)′ x2+ 1 = 2x x2+ 1 (5){log(2x + 1)}′= (2x + 1)′ 2x + 1 = 2 2x + 1 (6){log(5x)} ′=(5x)′ 5x = 1 x (7) { log(x +√x2+ 3) }′ = (x + √ x2+ 3)′ x +√x2+ 3 = 1 + (x2+3)′ 2√x2+3 x +√x2+ 3 = (√x2+ 3 + x)/√x2+ 3 x +√x2+ 3 = 1 √ x2+ 3(8) f (x) = (103x) = (elog 10)3x= e3x log 10に対して、f′(x) = e3x log 10× (3x log 10)′ = 3 log 10× 103x (9) { log ( 1 √ x2+ 1 )}′ = { −1 2 log ( x2+ 1)} ′ (4) = −1 2 × (x2+ 1)′ x2+ 1 = −x x2+ 1 [2][3] f (x) = eaxに対して (a ̸= 0)f′(x) = aeaxである。接点の座標を (t, f (t)) とすると接線の方程式は y = f′(t)(x− t) + f(t) = aeat(x− t) + eat= eat(ax− at + 1) である。これが原点を通るので x = y = 0 を代入して eat(−at + 1) = 0 を t について解いて t = 1 aである。従って接線の方程式は y = aex である。([2] は a = 2 なので
y = 2ex、[3] は a = 1 eなので y = x) [4] f (x) = log x とすると f′(x) = 1 x より点 (t, f (t)) での接線は y = f ′(t)(x− t) + f(t) = 1 t(x− t) + log t = 1 tx + (−1 + log t) である。これが原点を通るので x = y = 0 を代入して −1 + log t = 0 である。従って t = e であ り接線は y = x e [5] f (x) = log(2x− 1) とすると f′(x) = (2x− 1) ′ 2x− 1 = 2 2x− 1 より点 (t, f (t)) での接線は y = f ′(t)(x− t) + f(t) = 2 2t− 1(x− t) + log(2t − 1) である。これが点 ( 1 2, 0 ) を通るので x = 1 2, y = 0 を代入して 2 2t− 1 × 1− 2t 2 + log(2t− 1) = 0 である。従って 2t − 1 = e であり接線は y =2 e ( x−e + 1 2 ) + 1 = 4x− 2(e + 1) + 2e 2e = 4x− 2 2e である。従ってこの接線の y 切片は ( 0,−1 e ) である。 [6] elog ( y x+ √ 1+y2 x2 ) = y x+ √ 1 + y 2 x2 = e xを x について解けばよい。ex−y x ≧ 0 のとき、 √ 1 + y 2 x2 = e x−y xの 両辺を 2 乗して 1 + y 2 x2 = e 2x−2ye x x + y2 x2より 2yex x = e 2x− 1、即ち y = x(e x− e−x) 2 である。このとき確かに ex−y x = e x−e x− e−x 2 = ex+ e−x 2 > 0 を満たしている。
[7]{e−ax2f (x)}′ = (e−ax2)′×f(x)+e−ax2× f′(x) | {z }
=3xf (x)
= e−ax2×(−ax2)′f (x)+3xe−ax2f (x) = xe−ax2f (x)(−2a+3)
より a = 3
2 である。
[8] y′ = (x)′eαx+ x(eαx)′= eαx(1 + αx)、z′= βeβxである。まず z′−√2z = (β−√2)eβx= 0 より β =√2 で ある。y′−√2y = (1 + (α− 2)x)eαx= e√2xの両辺を e√2xで割って (1 + (α− 2)x)e(α−2)x= 1 が恒等的に成立す
るので α =√2 である。
4
三角関数
[1] f (x) = cos2(πx) = 1 + cos (2πx) 2 は f (x + 1) = 1 + cos (2πx + 2π) 2 = f (x) を満たす。f (x) は 0 < x < 1 2 で 単調減少、1 2 < x < 1 で単調増加するので 1 より小さい周期は有り得ない。従って f (x) の周期は 1 である。y 軸 との交点は (0, f (0)) =(0, cos20)= (0, 1) である。x 軸との交点については方程式 f (x) = cos2(πx) = 0 を解い て πx = 1 + 2n 2 π より ( 1 2+ n, 0 ) である (n は整数)。 [2] f (x) = sin2 (πx 2 ) =1− cos (πx) 2 は f (x + 2) = 1− cos (πx + 2π) 2 = f (x) を満たす。f (x) は 0 < x < 1 で単 調増加、1 < x < 2 で単調減少するので 2 より小さい周期は有り得ない。従って f (x) の周期は 2 である。y 軸との 交点は (0, f (0)) = (0, sin20)= (0, 0) であり原点を通る。x 軸との交点については方程式 f (x) = sin2 (πx 2 ) = 0 を解いてπx 2 = nπ より (2n, 0) である (n は整数)。 [3] f (x) =|sin (3x)| は f ( x + π 3 ) =|sin (3x + π)| = |− sin (3x)| = f(x) を満たす。f(x) は 0 < x < π 6 で単調増 加、π 6 < x < π 3 で単調減少するので π 3 より小さい周期は有り得ない。従って f (x) の周期は π 3 である。y 軸との 交点は (0, f (0)) = (0,| sin 0|) = (0, 0) であり原点を通る。x 軸との交点については方程式 f(x) = |sin (3x)| = 0 を 解いて 3x = nπ より(nπ 3 , 0 ) である (n は整数)。 [4] f (x) = cos (x 3 ) は f (x + 3π) = cos(x 3 + π ) = − cos(x 3 ) = f(x) を満たす。f(x) は 0 < x <3π 2 で単調 減少、3π 2 < x < 3π で単調増加するので 3π より小さい周期は有り得ない。従って f (x) の周期は 3π である。y 軸 との交点は (0, f (0)) = (0,| cos 0|) = (0, 1) である。x 軸との交点については方程式 f(x) = cos(x 3 ) = 0 を解い て x 3 = 1 + 2n 2 π より ( 3(1 + 2n)π 2 , 0 ) である (n は整数)。[5] f (x) = cos 2x に対して f′(x) = −2 sin 2x より、f′ (π 3 ) = −2 sin2π 3 = − √ 3 である。従って接線は y = f′ (π 3 ) ( x−π 3 ) + f (π 3 ) =−√3 ( x−π 3 ) −1 2 =− √ 3x +2 √ 3π− 3 6 [6] f (x) = sin 2x に対して f′(x) = 2 cos 2x より、f′ (π 6 ) = 2 cosπ 3 = 1 である。従って接線は y = f ′(π 6 ) ( x−π 6 ) + f (π 6 ) = ( x−π 6 ) + √ 3 2 = x + −π + 3√3 6 [7] f (x) = cos2(πx) = 1 + cos(2πx) 2 に対して f ′(x) =−π sin(2πx) より、f′ ( 1 4 ) =−π sinπ 2 =−π である。従っ て接線は y = f′ ( 1 4 ) ( x−1 4 ) + f ( 1 4 ) =−π ( x−1 4 ) +1 2 =−πx + π + 2 4 [8] (1) (x sin(2x))′= (x)′× sin 2x + x × (sin 2x)′= sin 2x + 2x cos 2x
(2) (e−xcos(3x))′ =(e−x)′× cos 3x + e−x× (cos 3x)′ =−e−x(cos 3x + 3 sin 3x)
(3)(5) n = 0 のとき(sin0x)′= (1)′ = 0 である。n̸= 0 のとき (n は任意の実数で整数とは限らない。n が整数で ないときは sin x > 0 等、適宜定義域を限定){sinnx}′ = n sinn−1x× (sin x)′ = n sinn−1x cos x であり、これは
n = 0 でも成立する。(3) は n = 2 の場合なので{sin2x}′= 2 sin x cos x(= sin 2x)。 (4) (cos22x)′ = 2 cos 2x× (cos 2x)′ = 2 cos 2x× (−2 sin 2x) = −4 sin 2x cos 2x = −2 sin 4x
[9] y′ = −2A sin 2x = B sin 2x より B = −2A である。z′ + 5y = 2B cos 2x + 5A cos 2x = 6 cos 2x より 2B + 5A = 2(−2A) + 5A = A = 6 なので (A, B) = (6, −12) である。
[10] 積の微分公式より次式を得る。
y′ = = (Ax)′cos 2x + Ax(cos 2x)′ = A cos 2x− 2Ax sin 2x
z′+ 4y = A(cos 2x)′− {(2Ax)′sin 2x + 2Ax(sin 2x)′} + 4Ax cos 3x = −4A sin 2x = 6 sin 2x ⇒ A = −3 2
[11] y′(x) =−2A sin 2x + 2B cos 2x である。y(0) = A cos 0 + B sin 0 = A = 1、y′(0) =−2A sin 0 + 2B cos 0 = 2B = 2 より (A, B) = (1, 1) である。
[12] y′(x) = 3A cos 3x− 3B sin 3x である。y′ + 12y = (3A cos 3x− 3B sin 3x) + 12(A sin 3x + B cos 3x) = (3A+12B) cos 3x+(−3B+12A) sin 3x = 51 cos 3x より連立方程式 3A+12B = 51, −3B+12A = 3(−B+4A) = 0 を解けばよい。3(A + 4B) = 3(A + 4× 4A) = 51A = 51 より (A, B) = (1, 4) である。
[13] y′(x) = 3A cos 3x−3B sin 3x−12Ce−12xである。y′+12y = (3A cos 3x−3B sin 3x−12Ce−12x)+12(A sin 3x+
B cos 3x + Ce−12x) = (3A + 12B) cos 3x + (−3B +12A) sin 3x = 51 cos 3x より連立方程式 3A+12B = 51, −3B + 12A = 3(−B + 4A) = 0 を解けばよい。3(A + 4B) = 3(A + 4 × 4A) = 51A = 51 より (A, B) = (1, 4) である。
y(0) = sin 0 + 4 cos 0 + Ce0= 10 より C = 6 なので (A, B, C) = (1, 4, 6) である。
5
逆三角関数
[1]. ((4)(5)(6) は答えのみ) (1) y = x− 12 3 は全実数 x で単調増加する。x と y を入れ替えて x = y− 12 3 より、 y = f−1(x) = 3x + 12 である。 (2) y = (x− 3) は x ≦ 3 で単調減少する。x と y を入れ替えて x = (y − 3)2(y− 3 ≦ 0 より、y − 3 = −√x、即ち y = f−1(x) = 3−√x である。(3) y = e−x− 5 は全実数 x で単調減少する。x と y を入れ替えて x = e−y − 5 より、−y = log(x + 5)、即ち
y = f−1(x) =− log(x + 5) である。
[2]. (答えのみ) (1)π 6 (2) π 3 (3) π 2 (4) π 2 (5) π 3 (6)π (7)0 (8) π 4 (9) π 6 (10) π 3 [3] (1) tan| {z }−11 =π/4 + sin| {z }−11 =π/2 + cos| {z }−10 =π/2 =5π 4 (2) tan −1(√−1 3 ) | {z } =−π/6 + sin−1 ( −1 2 ) | {z } =−π/6 + cos−1 ( −1 2 ) | {z } =2π/3 = π 3 (3) tan−1 ( tan ( 3π 4 )) + sin−1 ( sin ( 3π 4 )) = tan−1(−1) | {z } =−π/4 + sin−1 (√ 2 2 ) | {z } =π/4 = 0 (4) sin−1 ( cos ( 2π 3 )) + cos−1 ( sin ( 2π 3 )) = sin−1 ( −1 2 ) | {z } =−π/6 + cos−1 (√ 3 2 ) | {z } =π/6 = 0 [4] (1) f (x) = sin−1x + cos−1x とすると定義域は−1 ≦ x ≦ 1 である。f′(x) = √ 1 1− x2 + −1 √ 1− x2 = 0 よりこ れは一定である。従って f (x) = f (0) = sin−10 + cos−10 = 0 +π 2 = π 2 である。 (別解) sin−1x = a とすると −π 2 < a < π 2、x = sin a = cos (π 2 − a ) 、0 < π 2 − a < π である。従って f (x) = sin−1x + cos−1x = a + (π 2 − a ) = π 2 で一定である。 (2) a = tan−1 1 2、b = tan −1 1 3 とすると、0 < a < π 4, 0 < b < π 4 より 0 < a + b < π 2 である。従って tan a = 1 2, tan b = 1 3より tan(a + b) = tan a + tan b 1− tan a tan b = 1/2 + 1/3 1− 1/(2 × 3) = 1 より tan −11 2+ tan −1 1 3 = a + b = π 4 [5] (1){sin−1(2x)}′ = (2x) ′ √ 1− 4x2 = 2 √ 1− 4x2 (2) { sin−1 (x 2 )}′ = (x/2) ′ √ 1−x42 =1 2 √ 4 4− x2 = 1 √ 4− x2 (3) {cos−1(3x)}′ = −(3x) ′ √ 1− 9x2 = −3 √ 1− 9x2 (4) { cos−1 (x 3 )}′ = −(x/3) ′ √ 1−x2 3 = −1 3 √ 9 9− x2 = −1 √ 9− x2 (5) {tan−1(2x)}′= (2x) ′ 1 + 4x2 = 2 1 + 4x2 (6) { tan−1 (x 2 )}′ = (x/2) ′ 1 +x42 = 2 4 + x2 (7) { sin−1 ( x √ 2 )}′ = (x/ √ 2)′ √ 1−x22 = √1 2 √ 2 2− x2 = 1 √ 2− x2 (8) { tan−1 ( x √ 3 )}′ = (x/ √ 3)′ 1 +x32 = √ 3 3 + x2 [6] (1){sin−1(5x)}′ = (5x) ′ √ 1− 25x2 = 5 √ 1− 25x2 (2) { cos−1(5x)}′= −(5x) ′ √ 1− 25x2 = −5 √ 1− 25x2 (3) {tan−1(5x)}′= (5x) ′ 1 + 25x2 = 5 1 + 25x2 (4) { sin−1 (x 5 )}′ = (x/5) ′ √ 1−x252 = 1 5 √ 25 25− x2 = 1 √ 25− x2 (5) { cos−1 (x 5 )}′ = −(x/5) ′ √ 1−x2 5 =−1 5 √ 25 25− x2 = −1 √ 25− x2 (6) { tan−1 (x 5 )}′ = (x/5) ′ 1 +x52 = 5 25 + x2 [7] 0 < tan α = 2−√3 < 1 = tanπ 4, 1 = tan π 4 < tan β = 2 + √ 3 より 0 < α < π 4 (即ち− π 4 <−α < 0)、 π 4 < β < π 2 である。従って π 4 + ( −π 4 ) = 0 < β− α < π 2 + 0 = π 2 である。加法定理より次式を得る。 tan(β− α) = tan β− tan α
1 + tan β tan α = (2 +√3)− (2 −√3) 1 + (2 +√3)(2−√3) = 2√3 2 = √ 3 従って 0 < β− α < π 2 より β− α = π 3 である。
[8] sin−1x = cos−1p = a とすると (0 < p < 1)、cos a = p, sin a = x である。p = cos a > 0 より 0 < a < π
2 な ので、sin a > 0, cos a > 0 である。従って x = sin a = √1− cos2a =√1− p2である。((1) は p = 2
3 なので x = √ 5 3 、(2) は p = 1 3 なので x = 2√2 3 )
[9] (1) f (x) = sin(sin−1x) の定義域は−1 ≦ x ≦ 1 である。このとき a = sin−1x とすると x = sin a なので f (x) = sin(sin−1x) = sin a = x(但し−1 ≦ x ≦ 1) である。x, y 軸との交点は原点のみである。
(2) f (x) = sin−1(sin x) の定義域は実数全体である。f (x+π) = sin−1(sin(x+π)) = sin−1(− sin x) = − sin−1(sin x) =
f (x) = sin−1(sin x) = sin−1a = x である。π 2 ≦ x ≦ 3π 2 では f (x) = −f( x − π| {z } −π 2≦x−π≦ π 2 ) = −(x − π) = π − x である。従って y = sin−1(sin x) = x (−π 2 ≦ x ≦ π 2) π− x (π 2 ≦ x ≦ 3π 2 ) 及び f (x + 2π) = f (x) を満たす。y 軸との交点は (0, f (0)) = (0, sin−1(sin 0)) = (0, sin−10) = (0, 0) で原点を通り、x 軸との交点は (nπ, 0) (n は整数) である。
[10] f (x) =√3 sin−12x に対して f′(x) ={√3 sin−1(2x) }′ = √ 3(2x)′ √ 1− 4x2 = 2√3 √ 1− 4x2より、f ′(1 4 ) = 2 √ 3 √ 1− 1/4 = 2√3÷ √ 3 2 = 4 である。従って接線は y = f ′ ( 1 4 ) ( x−1 4 ) + f ( 1 4 ) = 4 ( x−1 4 ) +√3×π 6 = 4x + √ 3π− 6 6 [11] f (x) = tan−1 ( x √ 3 ) に対して f′(x) = { tan−1 ( x √ 3 )}′ = (x/ √ 3)′ 1 + x32 = √ 3 3 + x2 より、f ′(√3)= √ 3 6 であ る。従って接線は y = f′(√3 ) ( x−√3 ) + f(√3 ) = √ 3 6 ( x−√3 ) + tan−11 = √ 3 6 x + π− 2 4 [12] (1) f (1) = tan−11 + tan−11 = π 2 (2) f (−1) = tan −1(−1) + tan−1(−1) = −π 2 (3) ( tan−1 1 x )′ = (1/x) ′ 1 +x12 = − 1 x2 1 + x12 = −1 x2+ 1 より、f ′(x) =(tan−1x)′ | {z } =1/(1+x2) + ( tan−1 1 x )′ | {z } =−1/(1+x2) = 0 (4) (3) より f (x) は定数関数である。定義域は x ̸= 0 以外の実数全体で、x = 0 で不連続である。従って f (x) = f (−1) =−π2 (x < 0) f (1) = π2 (x > 0) (別解) (4) tan−1x = a ( −π 2 < a < π 2 ) とすると x = tan a、1 x = cos a sin a = sin(π2 − a) cos(π2 − a) = tan (π 2 − a ) である。 x < 0、即ち−π 2 < a < 0 のとき、 π 2 < π 2−a < π、 −π 2 < (π 2 − a − π ) < 0 なので、f (x) = a + ( −π 2 − a ) = −π 2 x > 0、即ち 0 < a < π 2 のとき、0 < π 2 − a < π 2 なので、f (x) = a + (π 2 − a ) = π 2 これより (1) f (1) = π 2、(2) f (−1) = −π 2 、(3) f ′(x) = 0 [13] (1) p = f′(x) = x2で x, p > 0 なので、x(p) = p1/2である。 従って g(p) = x(p)× p − f(x(p)) = p1/2× p − 1 3(p 1/2)3 指数法則= p1/2+1−1 3p (1/2)×3= 2 3p 3/2である。 (2) g′(p) = 2 3 × 3 2p 1/2= p1/2より x, p > 0 から p(x) = x2である。 従って F (x) = x× x2−2 3(x 2)3/2 指数法則= x1+2−2 3x 2×(3/2)= 1 3x 3 [14] (1) p = f′(x) = 2e2xで x, p > 0 なので、e2x=p 2 から x(p) = 1 2log p 2 である。 従って、g(p) = x(p)× p − f(x(p)) =p 2log p 2− e 2×(1/2) log(p/2)= p 2log p 2 − p 2 = p 2 ( logp 2− 1 ) (2) g′(p) = (p 2 )′ ×(logp 2 − 1 ) + (p 2 ) ×(logp 2 − 1 )′ =1 2 ( logp 2− 1 ) +p 2 × (2p)′ 2p = 1 2log p 2 である。x, p > 0 から 2x = logp 2 であり、e 2x = elog(p/2)= p 2 なので p(x) = 2e 2xである。 従って F (x) = x× 2e2x− g(2e2x) = 2xe2x− { 2e2x 2 ( log2e 2x 2 | {z } =2x −1 )} = 2xe2x− e2x(2x− 1) = e2x
