論 文
ポイント・マッチング法を用いた弾性接触
混合境界値問題
―二次元問題―
澤俊行
柳沢秀樹
（昭和55年9月1日受理）Mixed Boundary Value Problem of Elastic Contact
Using the Point-matching Method
-Two-dimensional
Problem-ToshiyukiSAWA HidekiYANAGISAWA AbStract This study presents an analytical investigation of a finite plate on a rigid foundation under axisymmetric loading． This problem is important in designing of machine elem− ents． The two dimensional theory of elasticity and the point・matching method are used to analyse the interface stress distribution and the deformation． Numerical solutions are obtained for the various ratio of the height to the length of the finite plate， and the corresponding interface stress distributions and deformations of the loading surface are plotted． The following results are obtained； 1） The way to find the stress distribution and deformation of the finite plate is shown when a part of the interface is separated． 2） The stress distributions and the deformations for various cases are obtained．1．緒
言 弾性体と弾性体が接触する際の応力分布および変形 状態に関する，いわゆる弾性接触問題は，機械構造物 の設計に際して重要な問題である。このために古くは Hertz 1）の研究に始まり，今までに多くの研究がなさ れてきた。特に最近の解析法と電子計算機の発展に伴 なって，半無限体への剛体ポンチの圧入問題などを混 合境界値問題として取り扱う方法2）−4）および有限要 素法による研究5）がいくつかなされ，それなりの成 果を挙げている。しかし，これらの多くは実際の構造 計算をするには扱う領域が無限体であり，その上計算 が複雑であり，数値的に用いるにはあまり実用的でな いという欠点がある。 そこで本研究は実用上重要であるがその解析が複雑 である混合境界値問題のうちで，特に有限帯板が剛体 床上に置かれた際の混合境界値問題に関して接合面の 応力分布および端面の変形状態を二次元弾性論とポイ ント・マッチング法を併用する方法を用いて検討する。 すなわち，剛体床上におかれた有限帯板の接合面の 分離した部分での応力が零という条件と，帯板が床上 に接触している部分の変位が零という混合境界条件に 関しては，これらの帯板の接合面の点を選ぶポイン ト・マッチング法を適用し，他の境界条件においては 二次元弾性論により条件を満たす方法を用いている。 以上の方法を用いて，いくつかの場合に数値的に接 触応力および変形状態を明らかにしている。2．理論解析
図一1に示されるような有限長帯板が剛体床上に置かy 21 2冗2 π1 P P べ ． ＼∼ 2α 図一1剛体床上におかれた有限長帯板 （a≧1clで分離している場合） Fi9．1 Afinite plate on a rigid f皿ndation （The case where the interface is separated in the region a≧la 1） れて端面に荷重が作用している場合を考える。この際 剛体床上におかれた帯板の接合面は一a≦X≦aで分 離している。ここでエ方向，or方向の応力をそれぞ れa・・，ay，せん断応力をτxy， X方向， y方向の変位 をそれぞれu，vとする6）。 境界条件は次式で表わされる。 x＝±1：τXY＝0 ツ＝ん ツ＝0 ax＝0 ：τxy ・＝ O σy＝P（x、≦｜当≦Xx） ：τxy＝O v＝o（a≦［xl≦1） ay＝0（o≦1x｜≦の （1） 以上の境界条件を持つ応力系を解析するために Airyの応力関数xを用いる。このとき各応力，各変 位は次式で与えられる。 ∂2X σx＝ ∂y2 ∂2X
吻「万ガ
∂2Z τxy＝一 ∂x∂ツ 2G・・＝一農＋2Gv＝」旦＋
∂ツ ここで 1 ∂ψ劃
（2） 1十レ 1 1十v ∂x （3） ’…X−・・轟一・・X・・7・一∂9；・＋壼 また，G：横弾大係数，レ：ボアソン比を表わす。 式（1）の境界条件をフーリエ級数で表わすと次式 （1）’となる。 x＝±1：τ。，y・＝O ax＝Oy＝h：鋤＝0
吻一÷（x・−x・） ＋亙「霊｛・i・（昏・） 一・i・（s7ピ Xl l）｝…（一㌢） （Xl≦lxl≦X2） ツ＝0：τXY＝O v＝0（a≦xl≦の ay＝0（0≦lx［≦a） そこでXを式（4）のように置く。 （1）’ なお，Ao， An， Bs， An， Bs（n， s＝ 1，2，3……）は境界条件より決定 される未知係数である。 ・rξ1α召紘〔｛a・・1…h（a・・1） 十sinh（αnの｝cosh（αn x） 一αnsinh（αn l）xsinh（αn x）〕cos（αn Or） ＋菖念〔｛Z・ h…h（Z・ h） 十sinh（λs h）｝cosh（Zs Pt） 一λ、sinh（λsA）ツsinh（λs y）〕cos（Zs x） ＋誉α㍍〔｛an’1…h（a・’ 1） 十sinh（antの｝cosh（αnt x） 一αnt sinh（αntのxsinh（αnt x）〕sin（an’ツ） ＋曇1λ缶〔｛A・’ h・i・h（λ・’ h） 十cosh（λst h）｝sinh（λs’ツ） 一一一 a，’cosh（λst h）ツcosh（Z，t Pt）〕cos（λ，’x）＋⊥A。x・ （4）
2 ここで Zs一乎・z・’一一EITL−・α・＝」仁・α・’−2殻1π An＝cosh（αnのsinh（αn l）十an l， 2s＝cosh（λs h）sinh（λs h）十λs h An’＝cosh（αn’1）sinh（αntの十αn’1， 2st＝sinh（λst h）cosh（λs’h）一λ3’h 式（4）を式（2）へ代入して各応力を求めると以下の 式となる。 …一一 ﾈ1妥〔｛a・1…h（a・・1） 十sinh（αnの｝cosh（αn x） 一一αnsinh（αnl）xsinh（αnx）〕cos（αηツ）昭和55年12月 山梨大学工学部研究報告 第31号 ＋謡〔｛a・・h…h（λ・・h） −sinh（Zs h）｝cosh（Zsツ） 一一λssinh（λs h）ツsinh（Zsツ）〕cos（Zs x） 三ξ1念〔｛・n・ 1…h（ ’の 十sinh（αn’の｝cosh（αn’x） 一αn’sinh（αn’のxsinh（αn’a）〕sin（αntor） ＋茎1芸，〔｛・・’・h・i・h（Z・’h） −cosh（λs’h）｝sinh（Zs’ツ） −Zs’cosh（スs’h）ツcosh（Zs’ツ）〕cos（lst t） （5） 内一蕊〔｛α・1…h（a・・1） −sinh（αnの｝cosh（anの 一αnsinh（απのxsinh（αn x）〕cos（αn∠ソ）
一濫〔｛Z・ h…h⑭
十sinh（ls h）｝cosh（λsツ） 一λssinh（λs h）ツsinh（λsツ）〕cos（λ， x） ＋記1〔｛α・’1…h（a・・ 1） −sinh（an’．1）｝cosh（αnt x） 一・αTb’sinh（αn’のxsinh（αnt x）〕sin（αη’ツ） 一語〔｛a・’h・i・h（λ・’ん） 十cosh（λs’h）｝sinh（Zsノツ） 一λs’cosh（λs’h）ツcosh（λ，tツ）〕cos（λs’x） ＋Ao （6） ・炉816元〔α・・1…h（α・1）・i・h（α・X） 一αnsinh（αnのxcosh（（x，’L x）〕sin（απツ） ＋蕊〔Z・ん…h（Z・・h）・i・h（λ・ツ） 一一 Z8 sinh（λs h）ツcosh（Zsツ）〕 sin（λs x） 一誉一念〔αn’1…h（α・・ 1）・i・h（α・’∋ 一α・㌶sinh（αzノのxcosh（αn’x）〕cos（απ’ツ） ＋ヨ芸掘・i・h（醐…h・（・Z’・ツ） 一λs’cosh（Z8t h）ツsinh（λ，’ツ）〕sin（λs’x） （7） 式（7）により式（1）’のτxy＝0が満足される。ま た，X＝±1， Pt＝hにおける各応力は次式となる。 oo ＿ a・1・一±L ＝＝ −2］AnC・S（α。ッ） Xsl＿ ＋蕊（一・）・〔｛Z・h…h（Z・・h） −sinh（ls h）｝cosh（λs∠y） −Zs sinh（Zs h）ツsinh（Zsツ）〕 ニ ーΣAn sin（απ’ツ） n＝1＝＝ ＋妻1；i，（一・）・〔｛λs’h・i・h（Z・’・h） −cosh（λs「h）｝sinh（λsl y） 一λst cosh（λst h）ツcosh（λ，’ツ） （8） 一二濫（一・）Tb〔｛α・・1…h（α・・1） −sinh（αnの｝cosh（αn x） 一αnsinh（αnのxsinh（αnx）〕 一Σ Bs COS（λ、め s＝1＝ ＋妻、劣（一・）・〔｛α・・ 1…h（α・’・1） −sinh（αntの｝cosh（αnt x） 一απ’sinh（αn’のxsinh（αn’x）〕 OO ニニニ ーΣ］Bs COS（IS「X）十Ao （9） s＝1 そこでフーリエ展開を用いると式（10），（11）が成り 立つ。 五・＋iiZ’（一・）…一議篭〃i，）、一 ×sinh2（λs h）＝0 ／ ニZn＋蕊’（一・）s＋嚇舞）2−
×cosh2（lst h）＝0請（一・）s＋n−−Z（捲㌻
×sinh2（αnの十Bs ＋誉1念一（一・）・＋・蒜鵠丁 ×sinh2（αnt l）十Bs＝−as ここで ・・− 猿O｛・i・（テヱ・）一・i・（91X｛−Xl）｝ またor ・・ O：ay ＝・Oより次式が成り立つ。 ex⊃ 一 力司 An 一αnsinh（αnのxsinh（αnx）〕一謡〔λ・・h…h⑭
十sinh（Zs h）〕cos（λs x）十Ao＝0 （10） （11） ΣAn〔｛a。1。。、h（α，の一，i。h（αの｝。。，h（α。づ （12）次に接合面の変位の条件を満たすために変位を求め る。∂2ψ／∂エ∂Pt＝・ax＋ayを満たす任意の調和関数ψを 求めると次式となる。 ・一一ｭ1絵・i・h（a・・1）・i・h（α・・x）・i・（砺ツ） 一誉、蕊・i・h（Z・ h）・i・h（λ・ツ）・i・（Z・ x） ＋誉蕊。・i・h（a・’1）・i・h（a・’x）…（晦） 一妻1蒜…h（Z・’・h）…h（Zs’ツ）・i・・（Z・’x） 十Ao XPt （13） 式（4），（13）より変位vは次のようになる。 2Gγ一_、一☆〔｛｝1号si・h（a・ 1） ＋a・1…h（c…1）｝…h（α・・x） 一一a・・i・h（・nl）x・i・h（αn X）〕・i・（α・ツ） −81☆〔｛吉・i・h（Z・ h） ＋Z・h…h（Z・・h）｝・i・h（Z・・y） 一λ・si・h（・・ h）・・1…h（・・ツ）〕…（λ・・x）
盲1α先♂〔｛≡i皿h（an’の
＋α・1・1…h（αn’1）｝…h（an・x） 一αn’・i・h（α・’1）x・i・h（（x・’ n）〕…（αn・O・）一曇1㌃〔｛1吉…h⑭
＋λ・・ h・i・h（Z・’・h）｝…h（・・’ ・i） 一λst…h（Z・’・h）ツ・i・h（λ・1・y）〕…（λ・’・・）＋吉⑩ （・4）
境界条件と比較して，y＝0の時v＝0だから ￡1▲，〔a・t…h（a・・’ 1）x・i・h（a・’ x） 一｛葺：・i・h（afnr 1） ＋a・t 1…h（a・’・1）｝…h（α・・ x）〕 一妻、蒜〔、「吉…h（Z・・ h） ＋As’ h・i・h（Z・’h）〕…（Z・’∋一・（・5）y＝oのときのay＝o（o≦1⇒≦a）およびv＝o
（a≦園≦のを満足させるために，or ＝O上のN個の 点ri（i＝1，2，3，一・・，1V）を選ぶ。ただし，0＜ Xl，……， Xj，……，：m＜a， a＜tm＋1，……， XiC，……， CN＜1である。これらの点を式（12）あるいは式（15） に代入することにより式（12），（15）より2V個の式が 成り立つ。 すなわち 妻1÷〔｛a・1…h（￠・1） −sinh（αnの｝cosh（αnエ∫） 一αnsinh（αnのxゴsinh（αn㌶じゴ）〕 一菖爵〔Z・ h…h（Z・ h） 十sillh（λs h）〕cos（λ8エ∫）十Ao＝0 （16） 妻、α告。，〔a・t・i・h（a・’ 1）x…i・h（ ’鋤） y−1一｛ sinh（αn’の 1十〃 ＋α・・1…h（c… 1）｝…h（aTb’x・・） 一ξ1λ缶，〔i…。c・・h（Z・・ h） ＋A・’・h・i・h（λ・’h）〕…（λ・’蹴）一・ （17） 以上式（10），（11），（16），（17）を連立させ，未定係 数互η，Bs， An， Bsが決定される。これらを用いて各 応力，変位が求められる。 次に図一2に示すような剛体床上におかれた帯板の接 合面がa≦1xlで分離している場合について考える。 境界条件は次式で表わされる。 y 21 2ズ2 P ｝ y ー一 2α ∼ ’ 〉∬ 図一2 剛体床上におかれた有限長帯板 （a≦［当で分離している場合） Fi9．2 Afinite plate on a rigid foundation （The case where the interface is separated in the region a≦1エD昭和55年12月 山梨大学工学部研究報告 第31号 x＝±1：τxy＝0 σx＝0 ツ＝h：τxy＝0 吻＝P（o≦lx］≦x2） ツ＝0 ：τxy＝O v＝0（0≦国≦a） 砺＝0（α≦国≦の （18） この場合にも図一1の場合と同様の手法で計算が行 える。すなわちPt＝0上のN個の点Xi （i＝1，2， 3，……，N）を選び連立方程式を解くことにより未 定係数が決定される。 3．数値計算および考察 まずor ＝O上の点Viの数が結果に及ぼす影響を調 べるために，a＝0．2， h＝O．5，1＝1．0とし点の数を 20，30，40として図1の場合について接合面の応力分 布および上端面の変形状態を計算し図一3，4に示す。 この結果より点の数にほとんどよらずに解は収束して いることがわかったので，以下の計算では40点として 行った。また，点は接合面が分離している所としてい ない所の境界付近で密に取り，それより遠くなるにし たがって疎とした。さらに原点付近では密となるよう にした。 次に図一1の例でa＝＝O．1，0．2，0．4，h＝0．3，0．5， 0・7とした場合の結果を図一5，6，7，8，9，10に示 す。 接合面の応力分布に関しては，h／1が大きくなるに つれて一様分布に近づく傾向がある。h／1＝0．3の場 合では応力集中がかなり大きく凹形の分布を示してい る。またa＝0．1の場合，接合面の内側で応力ay／P が正となっている。このことより荷重が作用した状態 で接合面の内側の部分が分離していると推定される。 変形状態に関しては，h／1が大きくなるにつれて変位 0 0．1 0．2 0．3 0．4 0．5 0．6 0．7 0．8 0．9 1．0 一〇．1 一〇．2 ミ ざ 一〇．3 一〇．4 一〇．5 h／1＝0．7 0．5 0．3 一〇．6 図一5 接合面の応力分布（a＝0．1の場合） Fig．5 Stress distribution on the interface （a＝0．1） 0 0．1 0．2 0．3 0．4 0．5 0．6 0．7 0．8 0．9 1．0 一〇．1 一〇．2 ミ 8−O．3 一一Z．4 0．1 0．2 0．3 0．4 0．5 0．6 0．7 0．8 0．9 1．0 一」V＝20 −−m＝30 ＿一．m＝40 一〇．5 図一3 接合面の応力分布 Fig．3 Stress distribution on the interface ×10−5 ミ 心 一1．5 0．1 0．2 一／V＝20 −−m＝30 −一一m＝40 0．5
図一4変形状態
Fig．4 state of deformation 一〇ユ 一〇．2 ミ ご一〇．3 一〇．4 一〇．5 ん〃＝0．7 0．5 0．3 一〇．6 図一6接合面の応力分布（a＝o．2の場合） Fig．6 Stress distribution on the interface （a＝0．2） 一〇．1 0 0．1 0．2 0．3 0．4 0．5 0．6 0．7 0．8 0．9 1．0 一〇．2 ミ ご一〇．3 一〇．4 一〇．5 一〇．6 図一7接合面の応力分布（a＝0．4の場合） Fig．7 stress distribution on the interface （a＝O．4）0 0．1 0．2 0．3 0．4 0．5 0．6 0．7 0．8 0．9 1．0 ×10−5 ミ 一〇．5 一1．0 一1．5 h／1＝O．3 0．5 0．7 図一8 変形状態（a・＝o．1の場合） Fig．8 state of deformation（a＝o．1） ×10一一5 ミ lP 一〇．5 0．1 0．2 0．3 0．4 0．5 0．6 0．7 0．8 0．9 1．O 一1．0 一1．5 h／1＝O．3 0．5 0．7 図一9 変形状態（a・＝O．2の場合） Fig． g State of deformation（a＝0．2） ×IO一s ミ 鞠 一〇．5 0．1 0．2 0．3 0．4 0．5 0．6 0．7 0．8 0．9 1．0 一1．0 一1．5 h／1 ＝O．3 0．5 0．7 図一10 変形状態（a＝o．4の場合） Fig．10 state of deformation （a＝o．4） が増大する傾向にある。aの値が大きくなるにつれて 外側の変位は大きくなる。また内側の変位は小さくな りV／Pが正になる部分が生じる。 図2の例の場合の数値計算においては，1＝1．0， h＝0．5とし，a＝O．7，0．8，0．9，エ2＝O．1，0．2と して行った。図一11，12，13，14，にその結果を示す。 応力分布に関してはエ＝O付近で応力は最大で，x 一〇．1 一〇．2 一〇．3 ミ ざ一〇．4 一〇．5 一〇．6 0．1 0．2 0．3 0．4 0．5 0．6 0．7 0．8 0．9 1．0 κ2＝0．1 0．2
「旦
一〇．7 図一11接合面の応力分布（a＝0．7の場合） 正「ig．11 Stress distribution on the interface （a＝0．7） 一〇．1 一〇．2 ミーo・3 合 一〇．4 一〇．5 一〇．6 0．2 0．3 0．4 0．5 κ2 ＝・O．1 0．2 0．7 0．8 0．9 1．0肥
一〇．7 図一12 接合面の応力分布（a ＝O．8の場合） Fig．12 stress distribution on the interface （a＝0．8） 一〇．1 一〇．2 ミーo・3 ざ 一〇．4 一〇．5 一〇．6 0．1 0．2 0．3 0．4 0．5 0．6 0．7 0．8 0．9 1．0 x2＝0．1 ＼O．2 一〇．7 図一13 接合面の応力分布（a ＝o．9の場合） ］Fig．13 stress distril）ution on the interface （a＝0．9） 0 0．1 0．2 0．3 0．4 0．5 0．6 0．7 0．8 0．9 1．0 ×10皿5 一〇．5 ミ＿1．o 心 一1．5 ・κ2＝0．1 0．2 一2．0 図一14 変形状態（a＝o．7の場合） Fig．14 State of deformation（a＝O．7）昭和55年12月 山梨大学工学部研究報告 第31号 の値が増すにつれて徐々に減少し接合面の離れている 所で零となる。aの値が0．7，0．8，0．9と変わっても x・＝O付近の応力の大きさはあまり変わらない。変形 状態に関してはaの値が0．7，0．8，0．9と変わっても x＝0付近の変位の大きさはあまり変わらなかった。 また接合面の離れている所あたりから変位V／Pは正 方向に変わる。
