1．は じ め に 音声の音響モデルは，声道，声帯，放射系，および収 録時の環境雑音（ノイズ）などを主な分析対象としてい る。これらの音響モデルは，微分方程式，または差分方 程式を用いて表すことが多い［板倉 84］。本稿は，これ らの微分方程式に係わる確率過程および確率微分方程式 研究の調査報告である。調査の焦点は幾何学に限定し た。ここで幾何学とは多様体上の微分幾何学を指す。 1990年あたりまでの結果に限定する。この調査の目的の ひとつは，この確率論に基づく幾何学とモース理論を 使った筆者の接近方法［白 95，白 96］との，関係の明 確化にある。
1828年，Philosophical Magazine Vol. 4 において大英博 物館の植物主任 R. Brown は花粉の微粒子の不規則な運 動について報告した［米沢 86］。ジグザグな軌跡を持つ このブラウン運動は，20 世紀の確率論の性格を特徴づけ ることになる。その性格とは，「滑らかではない動きに 対する確率の合理化」を計ることである。本稿ではブラ ウン運動の確率モデルをめぐる研究の流れをたどり，そ の幾何学的側面の整理を試みる。そこでは幾何学の基礎 づけに大偏差理論［数特 95，中川 95，DS89, Buc90］が 重要な役割を果たすことを見る。すなわち，通常の幾何 学で基本的な位相（確率解析のあつかう幾何学では，通 常の位相が意味をもたない）の代役を果たす「容量」の 基礎づけに大偏差理論が用いられる（3 章参照）。 大偏差理論は，その骨子において，微積分演算におけ るひとつの近似評価法（漸近展開：ラプラスの方法）と みなすことができ，そのことから「滑らかではない動き に対する確率の合理化」と密接な関係を持つ。歴史的に は，微積分演算での「部分積分」がこの合理化のための ひとつの道具として使われた。これらの問題のうち滑ら かではない関数に対する確率（測度）の合理化は，1923 年にウィナー測度の導入 [Wie23] によってなされ，ブラウ ン運動の変動が（連続だが）有界ではないことを取り込 む形での合理化は，1942 年に確率積分の導入［伊 42］ により達成され，確率を考え得るが連続ではない関数の 合理化は 1976 年「部分積分に基づく微分（ある種の超 関数論）」の導入 [Mal76] によってなされた（本稿 2 章参 照）。ラプラスの方法はある種の「部分積分」の近似計 算のために考え出された。大偏差がラプラスの方法から 脱皮して「理論」とみなされるようになったのは，縮約 原理（本稿 1.6.2 参照）に依るところが大きい。縮約原 理によって，確率過程の径路 Xt（関数空間：無限次元） で成り立つ大偏差の性質から，軌跡の端点 XtT（T 固 定）に関する確率分布（有限次元での）の性質（その漸 近形）を導くことができる。換言すれば，有限次元のみ の漸近展開ではラプラスの方法で間に合うが，無限次元 では状況は単純ではない（［楠 93b］p. 293，本稿 1.7 節， 2章参照）。 1.1 音声スペクトルの幾何学的側面 音声のスペクトルは，定常（確率）過程のパワースペ クトルとして扱われることが多い［板倉 84］。中でも有 理スペクトル（例えば AR, ARMA など）の幾何学的性質 の検討は幾つか試みられている［甘長，小原 93］。これ らの検討はその基礎を情報幾何学においている。情報幾
大域確率変分法と容量
白 木 善 尚 *
Global Geometry of Stochastic Differential Equations Based on Malliavin Calculus and Capacity
Yoshinao SHIRAKI*We investigate some geometrical strucutures of stochastic processes through large deviation theory. Some applica-tions, such as Wiener functional space, nonlinear filtering theory and Malliavin calculus, are also examined.
INSTITUTE OF TECHNOLOGY Vol. 40, No. 1, 2006
*情報工学科 教授
何学が指す「幾何学」は古典的なリーマン幾何学であ る。そこでは接続や曲率を中心とした「空間の曲がり具 合い」を表す概念が，幾何構造を調べるための主要な道 具となっている。情報幾何学が微分幾何学のこれらの道 具立てと相性が良いのは，確率分布を仲介として，情報 理論で重要なフィッシャー情報量（計量）[Fis25] と幾何 構造を定めるリーマン計量が直接結びついているためで ある。言い換えれば，既存の情報幾何学の問題点のひと つは，それの扱っている対象が確率分布のパラメータの 作る空間，つまり有限次元の空間に限定されている点に ある。 一方，確率過程や確率分布の作る空間自身は，一般に 関数空間すなわち無限次元になる。既存の情報幾何学で はこれらの無限次元空間をその直接の対象とすることは できない。その理由はフィッシャー計量が無限次元空間 での計量とはなり得ないためである。例えば，確率密度 関数全体が作る無限次元統計多様体を扱った上林の報告 を見てみよう［上林 94］。上林は，確率密度にある条件 （その導関数が自乗可積分で絶対連続な正の確率密度） をつけ加えたたものの作る空間を考察し，情報幾何学で の既存の知見と整合する幾つかの結果を得ている。しか し，これらの結果は一次元の区間 I[0, 1] 上の確率密度 の族についてのものであり，これをそのまま多次元に拡 張することはできない。その困難の所在は，上林自身も 指摘しているように（［上林 94］p. 212）定義域がコンパ クトではない「確率密度関数の無限遠での挙動」にあ る。この「確率密度関数の無限遠での挙動」は，後述す る大偏差理論における直接の考察対象である。 他方，確率解析においては微分作用素のスペクトルが 多く扱われている［小 91］。これは，定常過程の場合と 同様，スペクトルと確率過程自身とが完全に対応してい るためである。本稿では，確率解析における確率過程自 体の幾何学的側面のみに焦点を当てる。そのようにする ことで，情報幾何学などの接近方法の位置づけがむしろ 明確になると思われるからである。確率解析で多く扱わ れる確率過程（例えば拡散過程）は現象的に把握しやす い対象であるためでもある。 1.2 非線型フィルターと摂動法（漸近展開） 確率論の工学的応用のひとつにフィルターがある。 フィルター，特に非線型フィルターで扱う対象は，過去 から現在までの観測値が与えられた時の，現在の状態の 推定，つまり条件付き期待値である［國田 76］。カルマ ンが開発した線形フィルターの効率的な逐次推定は，非 線型フィルターへの拡張が試みられ，その基礎方程式は Kushnerの方程式と呼ばれる形に定式化されている [Kush 64]。しかし，この方程式の最適推定値を得るためには， 無限個の方程式を解くという困難がある。この困難の打 開のため，モデルに小さなパラメータを導入して漸近展 開 で 近 似 す る （ 特 異 ） 摂 動 法 が 多 く 利 用 さ れ て い る [BS82]。大偏差理論は，この特異摂動法の理論的基礎 づけを果たす［西土 96］。フィルターは時間パラメータ をもつ確率モデル，とくに確率微分方程式での結果の応 用として貴重な役割を持つ（本稿 1.7 節参照）。 1.3 確率過程の幾何と漸近展開（大偏差） 確率過程論はブラウン運動を基礎とした物理現象の解 析 方 法 で ， そ の 起 源 は 1900 年 の L. Bachelier の 論 文 [Bache]によるものとされている。Bachelier の推論は必ず しも厳密なものではないが，確率積分やマルチンゲール など，今日の確率解析で基本的な道具だての数学的基礎 づけを最初に与えたものとみることができる（［楠 91］ p. 6）。P. Levy は Bachelier の論文の最初の部分を見て残 りを無視したが，その後 A. Kolmogorov の仕事 [Kol31] を 見てその重要性に気付いた [Lev70]。この解析の数学的正 当化を困難にしてきた主要因は，ブラウン運動が Dirac のデルタ関数と同様の問題すなわち「滑らかではない， あるいは連続ではない対象の数学的合理化問題」を持っ ていることによる。この問題をかかえた確率過程と，滑 らかさと連続性を出発点としたリーマン幾何などの幾何 学的なものの見方の間には，長らく大きな隔たりがあっ た。この隔たりを埋める役目を，後に大偏差理論 (Large Deviation theory: LD)が果たすことになる。これは Malli-avinの確率的変分法 [Mal76] を，Wiener 空間上の Sobolev 空間の枠組みで簡潔に定式化し直した上で，Bismut のア イデア [Bis84]（大偏差と Malliavin の手法との合体）を整 理し直した渡辺信三の枠組み［渡 87］によるところが大 きい。渡辺はこの枠組みを用いて，Wiener 空間上の汎関 数の漸近展開の理論を構築した（2 章参照：［楠 89］p. 154，［池 90］，［渡 90］p. 99）。大偏差理論 (LD) はラプラ スの方法と呼ばれる，積分における漸近展開をその原型 としている（［小重福］p. 364）。 1.4 ラプラスの方法：積分と寄与の集中化 階乗 n !の計算式として良く知られているガンマ関 数 G (n1) の近似を例にして，ラプラスの方法の適用例 をみる。ラプラスはスターリンの公式： G (n1)n! √2p nn1/2enの証明でこのラプラスの方法を用いている （［大河 76］p. 21，［ラプラス］p. 115）。この公式は，n が
大きいときに有用である。ラプラスは，下のように G 関数の積分表示を求め，問題を g(x)の x→∞ のときの漸 近評価に帰着させている。 (1) (2) h(u)ulog u (3) ラプラスの方法の要点は下の 3 点にある（［楠 93b］p. 293）。近年，確率解析や径路積分の理論 [FH65] では，法 則を記述する特徴量を道の空間上で（一般化された意味 での）積分表示を行い，被積分核の特性を利用し漸近評 価する方法がしばしば用いられるが，その考え方の 1 つ の流れはこの結果から出発している（［池 92］）。これは 鞍点法（［江沢］p. 59）の典型例でもある。すなわち解 析関数の積分路を適切に変形することで，その寄与を集 中化し，望ましいかたち（被積分関数の指数の停留点： 導関数0 の点を通過するよう）にし，その停留点の実 部最大化問題として，積分をある近傍に局所化して漸近 表現を得る。この際，積分路の変形には分布関数の絶対 連続性（汎関数表現）を利用し，最大化問題の際に Le-gendre変換の考え方（共役空間への問題の言い換え：接 触変換（[KKK80] p. 227）の特殊例）を利用する（［小 95］，［アーノルド］p. 56）。Legendre 変換は変分法にお いて基本的で，それにより Lagrange の 2 階微分方程式 は，（重要な）対称性をもつ 1 階の方程式系： Hamilton 方程式系（正準方程式系）に移る。 1. 式 (2) の被積分関数の最小点 x0をみつける。 2. 被積分関数が下に凸の滑らかな関数かどうか調べ る（x0でのヘシアン H を調べる：簡単のため H0 とする）。 3. 被積分関数に含まれるパラメータ（上の例では x） の値が大きいときの積分区間の積分値への寄与の 集中化：被積分関数を最小点 x0の近傍と外側にわ け，外側は適当に評価して無視できることを示し， 近傍では 2 次関数の摂動とみなして処理する。 上の例では，まず一般に区間 [a, b] が 0 を含むか否かに よって，任意の正の整数 k に対し次式が成立する。 このことは，被積分関数 exp(xu2)の積分は x が非常に 大きいと，u0 の近くだけで数値が決まること（すなわ ち 3.）から示される。 次に，h(u)を下に凸で ua に最小値をもつ十分に滑か らな関数とする。このとき
上の場合 h(u)ulog u, j(u)1/u とおけば，h(u)で h(u)
1/u20 だから下に凸で，u1 で最小値 1 をもつ（すなわ ち 2.）。よって xn1 とおいてスターリンの公式を得る。 1.5 分布へのラプラスの方法の適用：大偏差 このラプラスの方法を，確率変数（のラプラス変換の 対 数 ） に 対 し て 適 用 し て 得 ら れ た も の が 大 偏 差 理 論 (LD) である。LD の発想の原点は，めったに起こらな い現象（平均的なふるまいから大きくずれた現象）にも 目をつぶらずに，できるだけ正確に考えていく点にある。 つまり LD は分布関数（確率密度）の「すそ野」に焦点 をあてる。そして，確率分布の「すそ野の大きさ（確 率）」の評価（近似）にラプラスの方法を用いる。 他方，LD は確率論においては，大数の法則，中心極 限定理，に次ぐ第 3 の基本的なものの見方である。いま， 同一の確率分布 P（平均は m）に従う独立な n 個の確率 変数列 X (i) の試行平均を S (n):SX(i)/n とする。 • 大数の法則：試行列の平均 S(n) の挙動 • 中心極限定理： S (n) の確率分布の平均 m からの 「小さな」ずれについての法則 • 大偏差理論 (LD)： S(n) の確率分布の平均 m からの 「大きな」ずれについての法則 つまり，大数の法則が「試行平均 S (n)」の「確率分布の 平均 m への収束」を問題とするのに対し，LD では，m から大きくはずれた試行平均 S (n) の「収束の速度」を問 題としている。しかし数学としての基盤の確立が遅れた G( )x exp( x x) O ( ) x o x x j 2π 12 1 1 exp( ( )) ( ) ( ) ( ) xh a x a h a O x o x j 2 1 1 1 π ϕ a a xh u u du δ δ ϕ
∫
exp( ( )) ( ) a b k k xu du x o x a b o x a b∫
exp( ) ( ) , ( ) , 2 0 0 π g( ) :x exp( xh u( )) , u du 0 ∞∫
G( ) :x exp(t t)xdtxx ( ) ,x 0 1 ∞∫
gため（1974 年からの Donsker と Varadhan による [DV74]– [DV83]）か，あまり知られていない。LD をおおまかに式 で書く（c0 定数）。 P{| S (n)c|e}K(e, c, n) exp(nR(e, c)) (4) ここで は n が大きいときの主な寄与項を表し，K は exp項に比較してゆるやかに変化する関数，R は正の値 をとる関数とする（レート関数と呼ばれる）。上の式は， 平均からの大きなずれの収束の速さが，レート関数 R に 支配されることを表す。レート関数 R は確率変数 S (n) の キュムラント母関数の Legendre 変換として求まる。これ を示すには，確率分布関数に対してラプラスの方法を適 用すればよい。確率変数 X をラプラス変換したキュムラ ント母関数を q(l):log E (exp(lX ))logexp (lX ), l は実 数，とおく。ここで E ( · )と· は期待値を表す。ここで 定義した q(l) はすべての確率分布 P に関していつも収束 するわけではない。ここでは，どんな実数 l に対しても q(l) が収束するような分布 P だけを考える。このように， ある条件を満たす確率分布のみを考察対象とする発想は， その後の大偏差原理への発想につながる。すなわち，あ る条件を満たす確率分布（測度）を考え，その測度は 「大偏差原理」を満たす，とするのである（1.6 節参照）。 この q(l) はλに関して下に凸の滑らかな関数になる。こ の性質はラプラスの方法の要点 2.を満たすので，確率分 布のすそ野の評価にラプラスの方法が適用できる（［小 95］p. 5）。レート関数はキュムラント母関数 q(l) のル ジャンドル変換として求まる： R(X ):supl(lX–q(l))。LD 導出の手順（有限次元版）をまとめておく。 1. S (n)の確率に対するチェビシェフ不等式の適用 2. 目的のパラメータを平均にするような絶対連続な 分布への変換 3. 母関数の Legendre 変換によるレート関数の算出 1.6 大偏差理論から大偏差原理へ この節と次節は LD の非線型フィルターへの応用を解 説した［西土 96］による。式 (4) は「同一分布に従う独 立な確率変数の部分列」S (n) に対して成り立つ（クラー メルの定理 [Cra]）。この定理の主張を確率分布の満たす べき性質として抽象化する。いま，ある空間 X で定義さ れた確率分布 Peが e→0 とともに，ある点 x 0X に集中 する分布に収束していくとする。集合 AX が x0を含ま ない場合，e→0 のとき Pe(A)は 0 に近づく。その近づき 方は，多くの場合指数関数的である。式 (4) では e1/n と見ればよい。 1.6.1 確率分布の満たすべき性質：大偏差原理 Donskerと Varadhan はこのような指数関数的に 0 に近 づく性質をもつ確率分布の族を，有限次元の Rn だけで はなく，無限次元の関数空間上でも統一的に扱える形に 定式化した ([DV74])。この結果は M. Kac の問いかけ「微 分方程式を介さずに直接「確率論的に」ある等式を示せ [Kac50]」への回答になっている。その等式とは，微分作 用素（シュレジンガー作用素：ラプラシアン 発散する 関数）の最小固有値が Wiener 汎関数の期待値の対数極 限に等しいというものである。もし，上記問いに答えら れれば，汎関数化が促進（Wiener 汎関数にまで）され る。何故なら，道の空間上の確率測度の性質を使って， この等式が示されれば，通常の「積分表現された汎関 数」よりもはるかに一般的な関数に対して成り立つこと がわかるからである。このことは，物事を「変分問題」 として捉えることの重要性を示唆する。すなわち，ある 数学的，または物理的な重要な量を，ある空間上に定義 された汎関数の上限や下限（または，極値をとるもの） として理解する考え方である（［数特 95］p. 28 千代延）。 そこでの確率分布 Peの性質は，式 (4) の形の指数関数的 に 0 に近づく形の一般的な表現になっている。 大偏差原理： X を可分，完備，距離づけ可能な空間 とし，Peを X 上の確率測度とする。ある汎関数（レー ト関数）R ( · ) が存在し，次の性質を満たすとき，Peは レート関数 R ( · ) の大偏差原理に従うという。 1. R ( · )は下半連続，かつ任意の tX に対し {xX; R(x)t} はコンパクト。 2. 任意の閉集合 CX と任意の開集合 GX に対し， 1.6.2 大偏差の性質の非線型変換： LD の縮約原理 大偏差理論の中でもっとも有用な定理は，確率測度の 変換に関する次の定理である。これは縮約原理と呼ばれ る。この原理は，2 つの確率変数 X と Y が互いに連続写 像で結び付けられていれば，片方で成り立つ大偏差原理 がもう一方でも成り立つことを意味する。これは，写像 が連続ならば非線型のときも成り立つ。 縮約原理（定理）： Peをレート関数 R ( · ) の大偏差原理 を満たす確率測度の族とする。Y を別の可分，完備，距 離づけ可能な空間とし，p を X から Y への連続写像とす る。そのとき Y 上の測度 QePep1はレート関数 ψ π ( ) inf ( ) : ( ) y R x x x y
lim sup ( ) inf ( ) , lim inf ( ) inf ( ) .
ε ε ε ε ε ε →0 P Cx C∈R x →0 P G x G∈ R x
の大偏差原理を満たす。 1.7 確率微分方程式に対する LD ：変分原理 縮約原理を用いると，例えば関数空間上で導かれた大 偏差原理から，有限次元空間での確率分布の漸近形を導 くことができる。確率微分方程式の場合にその例を見よ う。e は小さいパラメータ，XteRnは状態変数，BtRn はブラウン運動，b, s は滑らかな関数とする。 dXteb(Xte)dt√es(Xte)dBt (5) 今，T0 を任意に一つ固定し，W を区間 [0, T] から Rn への連続関数の空間とする。 上式 (5) の解を Xe{X te; 0tT}と表すと，Xeは W に値をとる確率変数と見なせ る。任意の元 x:{xt; 0tT}W に対し汎関数を次式で 定義する。 (6) 被積分関数 L は確率微分方程式 (5) 対応して， (7) a(x):s(x)s (x) (8) と定義する。xtが絶対連続でないか，あるいは上の積分 が発散する場合には R(x)∞ とおく。次の定理が成り立 つ。 Wentzel Freidlin の定理：確率微分方程式 (5) の解 Xte の確率測度を Peとすると，Peは上で定義したレート関 数 R ( · ) の大偏差原理を満たす。 この定理は確率過程の径路 Xe{X te; 0tT}に関する ものである。これに上の縮約原理を適用する。そうする と，径路の端点 XTeに関しての R n 上での確率分布の漸近 形が導かれる。そのために XW, YRn, p (x)x Tとすれ ば良い。このとき，Rn 上でのレート関数は (9) となる。ここでは，y を x とともに端点の時間 T の関数 とみて y(T, x) と書いている。R(x) から y(T, x) を具体的 に求めるには変分問題を解くことになる。これは古典力 学において，径路の汎関数として定義された作用から， 時間の座標の関数としての作用を求める手順と全く同じ である。作用汎関数に対応するものが R(x) であり，位置 と座標の関数として作用するのが y(T, x)である。式 (5) の 解の分布の漸近形を求めるのに，ハミルトン – ヤコビの 方程式を解くこと（1 階の偏微分方程式である）になる。 これはもとの方程式 (5) から直接解の分布を近似なしに求 めること（2 階の偏微分方程式： Fokker-Planck 方程式） よりも容易である。 2．確 率 解 析 この章では，確率解析研究の主な流れ（以下の 5 点） のうち 1. 3. 4.に絞って確率解析の要点をおおまかに述べ る（［楠 91，池 92，小重福］）。これらは多様体上の解析 （微分幾何学）を理解する上で必要なものと考えられる。 1. ウィナー測度の導入：ブラウン運動の多項式展開 による近似：可算無限個の独立変数を持つ非線型 汎 関 数 を ブ ラ ウ ン 運 動 の 定 め る 確 率 で 調 べ た (N. Wiener)。 2. 確率積分への 2 つのアプローチ：確率面積： Bache-lierのアイデアのスケーリングの修正 (P. Levy)，拡 散過程（刻々と独立なノイズが加わり連続的に変 化していく確率過程で，ブラウン運動とは違って， そのノイズの分布は現在位置に依存してもよいと するもの）の（分布）の平均量の満たすべき性質 の検討：それらの性質を用いた拡散方程式（2 階 の放物型微分方程式）の導出 (A. Kolmogorov)。 3. 確率積分，確率微分方程式の数学的概念の確立： ノイズを係数とする常微分方程式（伊藤 清)。 4. 確率変分および付随する確率的微分に関する部分 積分公式の確立：無限次元微分幾何学の導入：確 率分布の「滑らかさ」および「非退化」の概念の 導入 (P. Malliavin)。 5. Wiener-Riemann多様体上の de-Rham 理論の創始： 超曲面の局所化理論（楠岡成雄）。 2.1 ウィナーの出発点 ウィナーはノイズ x(t) と調べたいブラウン運動 B(t) と の関係を考える際，次の 3 点を出発点とした。 1. ノイズ x(t) そのものの定義はしない。 2. ブラウン運動は独立なノイズ x(t) の積分によって与 えられる（仮定）。 3. ブラウン運動の分布はガウス分布（正規分布）で ある（仮定）。 2.1.1 ウィナー空間とウィナー測度 r次元ユークリッド空間 Rr上の道の空間 W0(R r){w; t[0, ∞) Rr, 連続，w(0)0} の上にウィナー測度 P を与えたもの (W0(R r), P ) を r 次元 ψ ( , ) : inf ( ) , T x R x x xT x ∈Ω L x x( , ˙) :t ( ˙x b x a( )) ( )( ˙x x b x( )) 1 2 1 R x L x x dt T t ( ) : ( , ˙) 0
∫
ウィナー空間と呼ぶ。ウィナー空間 W0(R r) の上のルベー グ測度 dw を考えると，ウィナー測度 P(dw) とはおおよそ 次のようなものである。微分学ではまず関数を局所的に 直線で近似し接線を考える。しかし，確率過程で考えて いるランダムな関数の場合，平均値のまわりのゆらぎは 無限小ではガウス確率変数である。そこで，正規分布を 初期分布にもつブラウン運動のモデルを，ランダムな関 数に対する「接線的役割」として採用する。すなわち， 直感的に式で書くとウィナー測度 P(dw) とはつぎのよう になる。 (10) このような測度（確率）P(dw)の一意性は明らかだが，存 在を示すのは容易ではない。この存在を初めて数学的に 厳密に示したウィナーにちなみ，この測度はウィナー測 度と呼ばれ，初期分布をウィナー測度（確率分布）にも つ確率過程をウィナー過程（ブラウン運動のモデル化） という。この測度は連続関数の空間上の測度として構成 できる。 2.1.2 無限個の独立変数による多項式展開：ウィ ナー汎関数 ウィナーは，ブラウン運動 B(t)，ノイズ x(t)，調べたい 確率過程 Y(t) の 3 者について次のように考えた。NL( · ) は 非線型変換関数。 ウィナーの多項式展開：ブラウン運動 B(t)（またはノ イズ x）が非線型変換（NL (B(t))または NL (x(t))）されて 作られる確率過程 Y(t) を調べることとは，可算無限個の 独立変数（ ノイズ x(t) のフーリエ係数）を持つ非線型 汎関数についてブラウン運動の定める確率（ウィナー測 度）で調べることに相当する。 2.1.3 「ウィナー測度の写像」による「他の測度」 ウィナーの多項式展開の目論みは，そのままではうま くいかなかったが，測度を前面に出して標語的にまとめ ておくと有意義である。実際，この考えかたは，その後 の Malliavin 解析，渡辺信三の理論においても基本的な 指針となった（2.3.2 参照）。 ウィナー測度と他の測度との関係を調べる際の指針： 「ウィナー測度 P をウィナー空間上のひとつの典型的な 測度とみるだけではなく，他のウィナー空間上の測度 Pu はある連続関数の作る空間ウィナー空間上における，「そ れぞれの写像（NL ：ウィナー汎関数）によるウィナー 測度の像：例えば PuNL(P)」として解析を進める（［池 90］p. 162）。」 2.2 微分方程式と伊藤解析：確率拡張 伊藤清は，ブラウン運動自体は最初から与えられてい るものとして扱い，確率積分の形で，Levy や Bachelier など先人達の直感を「微積分の公式」の中にとりこん だ。Levy らはノイズから出発してブラウン運動を含むす べてのものを定義しようとしたため，ノイズの定義でつ まづいた。伊藤の発想の特質は，無限分解可能分布の族 を時間的に一様な加法過程（X(tk)X(tk1)が互いに独立 であるものを加法過程とよび，その増分 X(t)X(s), ts の 確率分布が ts のみに依存するもの。）の増分 X(t)X(s) の分布として捉え，その特性関数の標準形に応じた加法 過程の道の分解を考察した点にある。これが，一般の加 法過程を，より基本的な加法過程であるブラウン運動と ポアソン過程の重ね合わせの二つの部分の和に表現する 結果へとつながった（［池 92］p. 122）。 さらに，伊藤は「微分」を用いて，過去とは独立なノ イズが加わっていく拡散過程 X(t) はブラウン運動 B(t) の 微分 dB(t) を用いて確率微分方程式 dX(t)b(X(t))dts(X(t))dB(t) (11) で記述されることを合理化した。ブラウン運動の微分 dB は次の性質を満たすとする。 (12) 上式の第一式はブラウン運動が有界変動ではないという 性質を示す。 2.2.1 テイラー展開と伊藤の公式 伊藤の結果を直感的に説明する。伊藤解析の要点は， 次の伊藤の「ウィナー測度に基づく解析における微積分 の代数公式」にある。 dBk(t)dBl(t)d kldt, dB k(t)dt0, (dt)20 (13) ここで dklはクロネッカー記号である。この公式を使う と，ブラウン運動の微分公式が得られる。通常の微積分 学では df (t)f (t)dt だが，これはテイラー展開 (14) f t dt( ) f t( ) f t dt( ) 1f t dt( )( ) f( )( )t dt 2 1 6 2 3 L 0 0 2 t t dB dB t
∫
| |∞,∫
( ) P dw d dtw t dt dw ( ) :( ) exp1 ( ) 2 0 2 ∞∫
正規化定数において (dt)n0, n 2 とおけば得られる。同様に考えて ブラウン運動 B(t) に関して に伊藤の公式 (13) を使うと となる。 2.2.2 ヒルベルト空間の確率拡張と骨格 Malliavin解析に関しその要点を述べる準備として，渡 辺信三［渡 87，渡 90］に従って伊藤の結果を整理して おく。特に，ウィナー空間内で頻繁に使われる確率拡張 の視点から述べる。基本となるのは「空間の拡張」とい う数学的合理化の方法である。この考え方は，おおよそ 次のようなものである。ある概念 a を空間 H に対して定 義したいとき，定義することが不可能（H には a は存在 しない）あるいは困難であることが判明したとする。し かし空間 H というものは捨てたくない。そこで，H を膨 らませた空間 BH を考え，この B に対して a を定義し よう，というものである。このような膨らませ（拡張） はいつもうまくいくわけではないが，うまくいく場合を 数学では「自然な拡張ができる」「a が意味をもつ世界に 拡張する」という言い方をする。確率論では，このよう な拡張を確率拡張とよび，その拡張のもとになるものを 骨格（拡張された空間 B に対し a の構造を決定すること から）と呼ぶ。 2.2.3 確率拡張と骨格：ウィナー空間に対するもの ウィナー空間の上で，個々の道 wW0(R r) はランダム 化されてウィナー過程の見本関数（と呼ぶ）になる。r 次元ウィナー空間 (W0(R r), P ) は，ヒルベルト空間を （H 上にヒルベルトノルム || · ||2 Hを与える）としたときの H標準測度 P を W0(Rr)上で実現したものである。この P，すなわち r– 次元標準ウィナー測度がフレッチェ空間 W0(R r) 上で実現できることを示したのが N. Wiener であっ た（2.1.1 参照）。このウィナー空間においては，それに 付随するヒルベルト空間 H の上で定義された関数やその 上の演算が W0(Rr)上への P– 可測関数や，その上の演算 に自然に拡張できる場合があり，このような拡張を確率 拡張と呼んでいる。いまの場合，ヒルベルト空間 H に対 するウィナー測度 P (H )は P (H )0 となってしまうため， 空間 H 上で定義された関数はウィナー汎関数積分の直接 の考察対象とはならない。しかしこれを P 測度 1 の道の 上，すなわちウィナー汎関数積分が意味をもつ世界に拡 張するのが，確率拡張である。ここでも，ヒルベルト空 間 H 上の確率拡張のもとになった関数は，拡張の骨格と 呼ばれている。2.2 節の伊藤の確率微分方程式の理論は， このような確率拡張のひとつの場合，しかも最も重要な 場合，と考えることができる。 このヒルベルト空間 H は Cameron-Martin 空間とも呼ば れる。Malliavin 解析で基礎となる事実は次の定理である ([Bas 95] p. 58)。すなわち，基本的なウィナー空間での測 度の「微分」を考える際に必要な指針（2.3.2 参照）とな る。 定理(Cameron-Martin)： uW0(R d )に対して写像 Su: W0(Rd)→W0(Rd)を Suw :wu（シフト演算）で定義する と像測度 Pu:P °Su1が P に対して絶対連続（定義は ［ヌブ］p. 117）となるための必要十分条件は uH とな ることである。 2.2.4 確率拡張:多様体上のベクトル場，常微分方程 式から多様体上の確率微分方程式への確率 拡張 多様体 M を考え，V0, V1, · · ·, Vrを M 上の完備なベクト ル場とする。hH に対し M 上の常微分方程式 (15) が定義される。このとき Xx,wは常微分方程式 (15) を確率 拡張した確率微分方程式 (16) X(0)x (17) の解によって定まる。 2.2.5 確率拡張の例：多様体上のブラウン運動 リーマン多様体 M の次元を d とする。まず，微分幾 何学の展開の方法によって Rd 上の滑らかな道を多様体 dX t V X t dw t V X t dt r ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) α α α o 0 1
∑
dX t dt V X t dh dt t V X t r ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) α α α 1 0∑
w dw dt t dt H | | | | ( ) ∞ ∞∫
2 0 2 H: w W|(Rr),t w t( ) は絶対連続で ∈ → 0 d f B t( ( ( ))) f B t dB t( ( )) ( )1 f B t dt( ( )) 2 f B t dB t( ( )) ( )1 f B t dB t( ( ))( ( )) f( ( ))(B t dB t( )) 2 1 6 2 3L f B t dt( ( ))f B t( ( ))に写す（撮す）ことができる。簡単な 2 次元球面 MS2 の場合でいえば，平面 R2上の曲線をインキで画いてそ の球面 M を滑らぬように転がすときに， インキの痕 （跡）が球面に画く曲線である。このようにして Rdの道 hHW0(R d) から多様体上の道 Wx(M )への写像 f が得ら れる。 この写像 fHの確率拡張として， ウィナー空間 (W0(R d ), P)から Wx(M )に値をとるウィナー写像 fWienerが定 まる。このウィナー写像 fWienerによる，d 次元ウィナー 測度 Pd の像（像測度と呼ぶ）Pd Wienerが M 上のブラウン 運動を与える。より正確に述べておく。微分幾何におけ る展開は M 上正規直交枠バンドル O(M ) 上の常微分方程 式によって実現される。 そのため， この確率拡張は O(M )上の確率微分方程式によって与えられる（前節参 照）。つまり，Wr(O(M ))に値をもつウィナー写像 Rr,w: wW 0(R d)→Rr,wW r(O(M )) が得られる。この Wr(O(M ))に値をもつウィナー写像 R r,w は確率動標構と呼ばれている。これは多様体の問題に ウィナー汎関数積分を応用する際の基礎概念である。こ の概念は，1962 年の伊藤による確率平行移動のアイデア に始まっている。この例のようにウィナー空間上で重要 なウィナー汎関数やウィナー写像が伊藤解析によって与 えられる。このことが汎関数積分のうちで，ウィナー汎 関数積分をとりわけ重要なものにしている大きな理由の 一つである。 2.3 確率変分： Malliavin 解析：位相の放棄 確率微分方程式 (11) の枠組みの上に「変分学」を構築 する際の困難は，方程式 (11) の解 Xt,xがウィナー空間 W 0r の一様収束の位相に関しては連続ではない（［池 90］p. 163）ことである。つまり，ウィナー汎関数の興味ある 多くの場合，特に伊藤解析を通して得られるウィナー汎 関数の重要な場合は，古典的な変分学やバナッハ空間あ るいはフレッチェ空間におけるフレッチェ解析の対象に はならない。 2.3.1 背景：微分の意味の修正 Hを内積が定義できる空間（有限次元でも無限次元で もよい）とし，a として，H 上の測度μを考える。空間 Hが有限次元の場合例えばリーマン多様体では，その リーマン計量 g（内積）から「自然に」測度 m を与える ことができる。しかし，H の次元が無限大（例えば一般 のヒルベルト空間）の場合，すなわち dim H∞ のとき 事情は一変する。つまり，H の内積から「自然な」測度 を構成することはできない。換言すれば，内積を重視す れば測度を考えることを放棄しなければならない。 従来，非線型関数解析においては，内積やノルムを重 視し，微分を定義するにはフレッチェ微分のようにその ノルムに基づいて定義していた。この状況では，微分可 能な関数は連続でなければならない。ところが確率論に おいては，可測だが連続ではない関数の大事な例が多数 あらわれる。このため，ほとんどの確率論研究者はその ような関数の「微分」といったものを考えるのはあきら めていた。 この困難（変分学が構成できない）に対し，Malliavin は微分（ 変分）の意味をウィナー測度に関連させて修 正した意味で考えれば，この種のウィナー汎関数は十分 微分可能であり，多くの場合 C∞級であるという事実を 見いだした。Malliavin はこの微分の概念を，ウィナー空 間上の Ornstein-Uhlenbeck 過程（無限次元の拡散過程で ある）に関する確率解析を用いて定義したが，その後の 研究によって，丁度有限次元の場合のソボレフの意味の 弱微分，あるいはシュワルツの超関数微分 [Schw61] に対 応する概念と同等であることがわかった。 2.3.2 ウィナー空間 W0(Rr)に与えられているもの ウィナー空間 W0(R r )（以後 W と書く）の上に与えら れているものを整理する。 1. ヒルベルト空間 HW，その内積 ||w||H，ウィナー 測度 P。 2. w, uW に対するシフト演算 (wu) に対して，そ のシフトされた測度 Puが意味をもつ（P に対し絶 対 連 続 な 測 度 と な る ） の は ， す な わ ち W 内 の wW での「微分」が意味をもつのは，そのシフ トが H 方向のものに限られる： hH に対する方 向微分 Dhが定義できる： ここで F は W 上の多項式（正確には実ヒルベルト空間 Eに値を値をもつウィナー汎関数）である。ここで注意 すべきことは，2.でのシフトされた測度 Pu を考察する際 に，2.1.3 の指針と，2.2.3 の Cameron-Martin の定理が用い られていることである。これら 1. 2. を使ってソボレフ 空間を以下のように構成する。Malliavin 解析は，このよ うに構成されるソボレフ空間上の解析学を指す。 2.3.3 ウィナー空間 W0(Rr) 上のソボレフ空間 ここではソボレフ空間を構成するための大まかな道筋 だけを述べる。まず，E は可分な実ヒルベルト空間を表 し E 値の Lp空間をつぎのように定義する。 D Fh :lim ( (F w h)F w( )) / ε→0 ε ε
これを精密化するかたちでソボレフ空間を構成する。上 記の F 全体が作る空間を(E ) と書く。まず (E ) 上の線 形作用素で LF(E ) 満たすものが定まる（Ornstein Uh-lenbeck作用素という）。
LF (w)D*(DF)(w)
作用素 L の別の表現を考える。2(E )の直交分解n(E )
（ウィナーの homegeneous chaos による）から，(E ) から (E ) へ の 作 用 素 Tj
Í
njnJn（ Jnは 正 射 影 作 用 素 2(E )→n(E )）が定まるが，実は次式が成り立つ： LTj. このこと（正射影であること）から，Tjを(IL) s, sR と表す。このとき，P. A. Meyer の結果などを用いて， (E ) 上のノルム族 ||·||p,sを次のように定める。 ||F ||p,s:||((IL)s/2F ||p. (18) このノルムは，単調性，両立性，双対性，ノルムの同値 性，などの性質をもつ。このとき，E 値ウィナー汎関数 のなすソボレフ空間p s (E )は下のように定義される。 p s(E ):{T ; ||T|| p,s∞}, (19) ||T ||p,s:sup {T(G); G(E ), ||G||q,s1}. (20) ここで (E)は (E ) の代数的な双対空間である： (E):{T; (E)→R, 線形}. 標語的に言えば，ソボレフ空間p s(E ) は(E ) をノルム || · ||p,sで完備化した Banach 空間と考えてよい。 2.3.4 内積，測度，微分作用素：超関数とソボレフ 空間 有限次元空間 Rn 上のソボレフ空間（超関数論を展開 するための空間（[Roe88] p. 38，［島倉 78］p. 222）は， ユークリッド距離（内積）とルベーグ測度を基礎とした 空間で，その微分作用素はラプラス作用素 D である。こ のとき，ソボレフ空間は Wp s:(ID)s/2Lp(Rn ; R, dx)で定 義される (p (1, ∞), sR)。Lp(Rn ; R, dx)とその双対空間の 同一視が行われていることに注意する（Riesz の定理 [Bas95] p. 238による）。有限次元空間 Rn の上で，Malli-avin解析を考えるときは，その基礎となるのは，ユーク リッド距離とガウス測度 g (dx):2pn/2exp (|x|2 /2)dxであ る。微分作用素は Ornstein-Uhlenbeck 作用素 LDx で， 対応するソボレフ空間はps:(IL)s/2Lp(Rn; R, dg) で定 義される。無限次元空間上ではルベーグ測度を考えるの は困難なのに対し，ガウス測度は容易に（ウィナー測度 になる）考えることができる。 この無限次元空間での解析では，超関数（d 関数）的 なあつかいを可能にする次の拡張定理が基本である［渡 87］p. 7 (Th.2.1)，［渡 90］p. 104，［楠 89］p. 155)。 基本定理 (Malliavin-Watanabe)：自然な写像の連続 線形写像への拡張，特にデルタ関数が定義される。 2.3.5 熱方程式と基本解の漸近挙動： LD の利用 Euclid空間上でのベクトルに対する熱方程式 (15) が， いかに確率微分方程式 (16) の「解」を用いて表される か？という基本的な問題を考える。 基本的な方針は，(16) の基本解 ([KKK] p. 153, [Roe88] p. 65)が「デルタ関数の積分」を用いて表されること（これ を保障するのが基本定理），である。その道筋は次のよ うなものである。まず，ウィナー測度のもとでの w(t)は tについて滑らかでないことに注意する。従って，その ままの形で，基本解の t→0 における漸近挙動を考えるの は効率が悪い。そこで，ウィナー測度のスケール不変性 を利用して，e1w(e2)のウィナー測度のもとでの確率分 布を考える。さらに，この変換のあと Mallianin-Watanabe の基本定理が適用可能な形にするために（定理の仮定を 満たすための十分条件）は，Rn1上のベクトル場の族の 生成する Lie 環が退化していないことであることがわか る（分布が退化しないための条件）。そこでのポイント は，d(Xee( 1, x, w)x)をいかにうまく（分布が退化しない ように）変形するかにある（以降［楠 89］参照）。 2.3.6 確率変分とウィナー汎関数積分の極限：大偏差 一方，無限次元空間の積分論は確率過程論と結び付い て発展してきた。無限次元空間（関数空間）での微分学 は古典的には，オイラー，ラグランジェ，ハミルトンー ヤコビ等の「変分学」であった。変分学で取り扱う汎関 数は通常滑らかな関数の上で定義されており，ウィナー 汎関数に関連していえば，その「骨格」となるべき空間 H上の関数が変分学の（適用）対象となる。そしてこの H上の関数の変分学とウィナー汎関数積分とはパラメー タに関する極限状態においてつながってくる。この極限 で，大きな偏差 (LD) の理論における基本原理が登場する （［渡 90］p. 101）。 p p p E p W E F W E P F F w P dw ( ) : ; → , ,|| || | ( )| ( )∞ ∫
可測3．確率解析と容量，位相 この章は［楠 90，楠 91b］による。ウィナー空間の部 分多様体を考える。確率微分方程式を多様体の上で解く ことにより，多様体上の道の空間あるいはループの空間 と対応づけることが可能になるという観点，が以下での 基本的考え方である。 3.1 基礎的概念（容量）と消滅定理 先に述べたように，ウィナー空間上の Malliavin 解析で は通常の「位相」は使えない。従って，そこに微分幾何 学を展開するためには位相に準じた概念の導入が必要に なる。それが容量 (capacity) と呼ばれる概念である。抽象 ウィナー空間を (m, H, B ) とする。容量 Cs,pの例をあげる。 GB 開集合に対して Cs,p(G ):inf {||u|| p s p(R); up s(R), ma.e.z} (21) A(B)に対して
Cs,p(A):inf{Cs,p(G ); GB, AB} (22)
さらに C∞を (23) で定義する。このように定義された容量 Cs,pは位相に準じ た性質をもっている（満たすべき性質は［楠 91b］p. 25）。 今，ヒルベルト空間 H を次のように定義する。 このヒルベルト空間 H はウィナー測度に対して特別な意 味をもっており，これを接空間と考えて，微分幾何学を 構築可能である。容量の他の基礎的概念には，1 の分解， support定理，微分形式，外微分，引き戻し，非線型変 換，写像の滑らかさ，などがあり，随所に確率拡張が使 われる。その結果，ポアンカレ型のド・ラームコホモロ ジー消滅定理などが示された（［小重福］p. 362）。 3.2 確率解析と Morse 理論との関係 前に述べたように，多様体の上の道が作る無限次元空 間にはルベーグ測度は存在しない。これに対応するため のひとつの解決策は，測度を捨ててしまうことである。 Palais-Smaleの Morse 理論などの非線型関数解析はこの 立場に立っている［浦川］。あくまで，測度を捨てずに 無限次元解析を構築しようとする立場に，構成的場の理 論（［深谷 95］p. 265 参照）と確率解析（Malliavin 解析） がある（［楠 93b］p. 289）。 謝辞 御自身の貴重な論文と資料をお送り下さり，確 率解析の丁寧な解説をして下さった東京大学教授の楠岡 成雄氏，この楠岡氏の解説に出向かれ御自身のノートの コピーを下さった NTT CS 基礎研究所の今井潤氏，著者 の疑問点（Riemann 多様体上のブラウン運動の直感的理 解の方法）に明快な説明を下さった京都大学名誉教授の 渡辺信三氏，大偏差理論について種々御教示下さった長 岡技科大学助教授の中川健治氏，本稿の執筆に際しご支 援頂いた早稲田大学教授の誉田雅彰氏に感謝いたしま す。 参 考 文 献 ［甘長］甘利俊一，長岡浩司，情報幾何の方法，岩波講 座応用数学，岩波書店，1993. 11 ［アーノルド］V. I. アーノルド，古典力学の数学的方法， 岩波書店，1980
[Bache] L. Bachelier, Theorie de la speculation, Ann. Sci. École Norm. Sup., (3), 17, pp. 21–86, 1900
[Bas95] R. F. Bass, Probabilistic techniques in analysis, Springer, 1995
[Bis84] J-M. Bismut, Large deviations and the Malliavin Calcu-lus, Birkhäuser, Basel, 1984
[BS82] B. Z. Bobrovsky and Z. Schuss, A singular perturba-tion method for the computaperturba-tion of the mean first pas-sage time in a nonlinear filtering, SIAM J. Appl. Math. 42, pp. 174–187, 1982.02
[Buc90] J. A. Bucklew, Large deviation techniques in decision, simulation, and estimation, Wiley, 1990
[Coh] L. Cohen, Time-frequency analysis, Prentice Hall, 1995 [Cra] H. Cramér, Sur un nouveau théorème-limite de la théorie
des probabilitiés, Scientifiques et Industrielles 736, pp. 5– 23, 1938
[DV74] M. Donsker and S. R. S. Varadhan, Asymptotic evalua-tion of certain Wiener integrals for large time, Proc. of Inter. Conf. on Functional Integration and Its Applica-tions e.d. A. M. Arthurs, pp. 15–33, 1974
[DV75] M. Donsker and S. R. S. Varadhan, Asymptotic evalua-tion of certain Markov process for large time, I, Comm. Pure Appl. Math. 28, pp. 1–47, 1975
[DV83] M. Donsker and S. R. S. Varadhan, Asymptotic evalua-tion of certain Markov process for large time, IV, Comm. Pure Appl. Math. 36, pp. 183–212, 1983
d dt h t( ) dt ∞ . ∞
∫
0 2 H: h W R( d); ( ) h t は について絶対連続で ∈ 0 t C A Cn n A A B n ∞ ∞ ∈∑
( ) : ,( ) , ( ) . 2[Doob] J. L. Doob, Stochastic processes, Wiley, 1952
[DS89] J. D. Deushel and D. W. Stroock, Large deviations, Vol. 137, Academic press, 1989
［江沢］江沢 洋，漸近解析，岩波講座 応用数学，岩 波書店，1995. 04
[FH65] R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Quantum mechanics and path integrals, Mc-Graw-Hill, 1965
[Fis25] R. A. Fisher, Theory of statitical estimation, Proc. Camb. Phil. Soc. 22, pp. 700–725, 1925
［藤清］藤越康祝，清水良一，ある種の確率分布の漸近 展開とその誤差限界，数学，岩波書店，1988.07 ［深谷 95］深谷賢治，ゲージ理論とトポロジー，シュプ リンガー東京，1995 ［池 90］池田信行，確率解析とその応用—渡辺信三氏の 業績—，数学，岩波書店， 1990 ［池 92］池田信行， 確率過程論の誕生，現代数学のあゆ み 4，日本評論社，1992 ［板倉 84］板倉文忠，音声の線形予測符号化の研究事始 めの記憶をたどって，談話会資料，日本電信電話公 社 武 蔵 野 電 気 通 信 研 究 所 基 礎 部 第 四 研 究 室 ， 1984.03.18 ［伊 42］伊藤 清，Markov 過程を定める方程式，全国紙 上数学談話会誌，1942 ［伊 91］伊藤 清，確率論，岩波書店，1991 ［伊甘 88］伊藤尚史，甘利俊一，情報源の幾何学，第 11 回情報理論とその応用シンポジウム予稿集，pp. 57– 60, 1988
[Kac50] M. Kac, On some connections between probability theory and differential (and) integral equations, in Pro-ceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathe-matical Statistics and Probability, Univ. of California Press, Berkeley, pp. 189–215, 1950 ［上林 94］上林 達，無限次元統計多様体，日本応用数 理学会論文誌，Vol. 4, No. 3, pp. 211–228, 1994 [KKK80] 柏原正樹，河合隆裕，木村達雄，代数解析学の 基礎，紀伊國屋書店，1980 ［川端 96］川端 豪，BPD（二項事後分布）Back-off 法 における継承係数の決定法，音声研究会資料，信学 技法 SP96–63, 1996.11
[Kol31] A. Kolmogorov, Über die analytischen Methoden in der Wahescheinlichkeitsrechnung, Math. Annalen 104, pp. 415–458, 1931 ［小 91］小谷眞一，確率論とスペクトル，数理科学（特 集「確率的自然像」），サイエンス社，1991.10 ［小 95］小谷眞一，大偏差原理とはなにか，数理科学 （特集「大偏差原理とその応用」），サイエンス社， 1995.02 ［小重福］小谷眞一，重川一郎，福島正俊，楠岡成雄氏 の業績紹介，数学，pp. 359–366，岩波書店，1993.10 [Kush64] H. J. Kushner, On the dynamical equations of condi-tional probability density functions, with applications to optimal stochastic control theory, J. of Math. Anal. Appl. 8, pp. 332–334, 1964
［楠 84］楠岡成雄，Malliavin calculus とその応用，数学， 36, pp. 97–109, 1984
［楠 89］楠岡成雄，Malliavin calculus とその応用，数学， 41, pp. 154–165, 1989
［ 楠 90］ S. Kusuoka, De Rham cohomology of Wiener-Rie-mannian manifolds, Proc. ICM 90., pp. 1075–1082, 1990 ［楠 91］楠岡成雄，確率解析—その思想的発展—，確率 的自然像，数理科学，サイエンス社，1991.10 ［楠 91b］楠岡成雄，Wiener-Riemann 多様体の de Rham コホモロジー，研究集会資料，1991 ［楠 93a］楠岡成雄，確率論をめぐって—無限次元世界へ の ア プ ロ ー チ —， 数 学 セ ミ ナ ー ， 日 本 評 論 社 ， 1993.08 ［楠 93b］楠岡成雄，無限次元解析としての確率解析， 数学，pp. 289–298，岩波書店，1993.10
[KS84] S. Kusuoka and D. Stroock, The partial Malliavin cal-culus and its appllication to non-linear filtering, Stochas-tics, 12, pp. 83–142, 1984
[KT91] S. Kusuoka and Y. Tamura, Precise estimate for large deviation of Donsker-Varadhan type, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA, Math., 38, pp. 533–565, 1991
［國田 76］國田 寛，確率過程の推定，産業図書，1976 ［ラプラス］P. S. Laplace，確率論（確率の解析的理論），
共立出版，1986
[Lev37] P. Levy, Théorie de làddition des variables aléatores, Gauthier-Villars, 1937
[Lev70] P. Levy，一確率論研究者の回想，岩波書店，1970 [Mal76] P. Malliavin, Stochastic calculus of variations and hy-poelliptic operators, In Proc. of the Conf. on Stochastic diffetential operations of Kyoto (1976), ed. K. Ito, pp. 195–263, Tokyo: Kinokuniya and New York: Wiley, 1978 ［中川 95］中川健治，インポータンスサンプリングシミュ
レーション法における Twisted Markov Chain につい て，第 18 回情報理論とその応用シンポジウム予稿 集, C-5-3, pp. 489–492, 1995.10 ［西土 96］西口憲一，土屋和夫，大偏差理論と非線型 フィルタ，システム／制御／情報，Vol. 40, No. 4, pp. 162–168, 1996 ［ヌブ］J. Neveu，確率論，共立出版，1974 ［小原 93］小原敦美，線形状態フィードバックシステム の幾何学的構造，計測と制御，Vol. 32, No. 6, 1993.06 ［大河 76］大久保謙二郎，河野實彦，漸近展開，教育出 版，1976
[Roe88] J. Roe, Elliptic operators, topology and asymptotic methods, Longman, 1988
[Sav54] L. J. Savage, The foundations of statistics, Wiley, 1954 [Schw61] L. Schwartz, 物理数学の方法, 岩波書店，1966 ［島倉 78］島倉紀夫，楕円型偏微分作用素，紀伊國屋書
店，1978
［白 95］Y. Shiraki, Homotopy equivalent spectral transfor-mation and Morse theory, IEICE Trans. Fund. vol.-E78-A, No. 9, pp. 1186–1191, 1995
ン不変量，第 19 回情報理論とその応用シンポジウ ム予稿集，pp. 29–32, 1996.12
［杉田 88］H. Sugita, Positive generalized Wiener functions and potential theory over abstrac Wiener space, Osaka J. Math., 25, pp. 665–695, 1988 ［数特 95］数理科学，特集：大偏差原理とその応用，サ イエンス社，1995.02 ［鈴木 89］鈴木雪夫，ベイズ統計の考え方，ベイズ統計 学とその応用，東京大学出版会，1989 ［浦川］浦川 肇，変分法と調和写像，裳華房，1990
[Wald47] A. Wald, Sequential Analysis, Wiley, 1947 ［渡 75］渡辺信三，確率微分方程式，産業図書，1975 ［渡 87］S. Watanabe, Analysis of Wiener functionals
(Malli-avin calculus) and its applications to heat kernels, Ann. Prob. 15, pp. 1–39, 1987
［渡 90］渡辺信三，確率解析とその応用，数学，42.2， 岩波書店，1990
[Wie23] N. Wiener, Differential spaces, J. Math. Phys. 2, pp. 131–174, 1923
