金融オプション(その3)

金 融 オ プ シ.ヨ ン(そ

の3『)

栗 林 訓.

Financial Options (3)

Satoshi Kuribayashi

Summary

Financial options are said to be rather complicated instruments. This would imply that they have higher

added values compared with other investment vehicles. In fact, option

s are the most fundamental tool and

others can be created by combining options. In this sense, options are the basis of R & D for the financial

industry and investors.

Subsequent to Financial Options,

(1) and (2), Part IV of this article covers new financial products created

by options and Part V reviews option evaluation.

パ ー トIV...オプ シ ョ ン に よ る 金 融 新 商 品 の 創 出 32.オ プ シ ョ ン に よ る 負 債 め 評 価 オ プ シ ヨ≧ を理 解 す るた め に・_、・ .まず 派 生 的 証券(deriv飢ivesecurities)とい う極 念 を 明確 に し て お く 必 要 が あ る 。 派 生 的 証 券 とは 、 そ の 価 値 が よ り基 本 的 な 他 の 変 数 に依 存 す る よ う な 証 券 の こ と を 指 す 。 た とえ ば、 株 式 オ プ シ ョン の 価 値 は 、、原 資 産 で あ る株 式 の 価 値 、 す な わ ち株 価 とい う変 数 に依 存 す る 。 派 生 的証 券 は 「条 件 付 き請 求 権 」(c・ntingentclaims)とも呼 ば れ る 。 派 生 的 証 券 の 種 類 は 様 々 で あ る 。 オ プ シ ョ ン を は じめ と して 、先 渡 しお よび 先 物 取 引 、 ス ワ ジ プが 代 表 的 で あ る 。 転 換 社 債 や ワ ラ ン ト債 、 変 動 金 利 関 連 の キ ャ ップ や カ ラー も派 生 的 商 品 で あ る ・ さ ら に・ 最 近 で は 自 己奪 本 や 負 債 の 発 行 に も多 様 な 派 生 的 証 券 が 組 み 込 まれ て い る 。 この 分 野 の 技 術 革 新 は め ざ ま し く、 ま さ に 金 融 商 品 の 開 発 に は 無 限 の 可 能 性 が あ る とい わ れ る 所 以 で あ る 。 派 生 的 証 券 ρ な か で も・ オ プ シ ヨ ン は最 も基 本 的 な もの とい え る ・ .そ こ で オ プ シ ヨ ン を俥 つ て 他 の 証 券 を評 価 して み る こ と に し よ う。 ま・ず 傘 業 の 発 行 す る負 債(た と え ば 普 通 社 債)を 考 ネ る 。 こ の 企 業 の バ ラ ンス ・シ ご トを単 純 化 して 、 下 図 で あ っ た と レ よ う。Lは 企 業 が 肇 行 した総 負 債 の額 面 価 値 とす る 。 す べ て ⑳ 負 債 は 同 じ時 点 で 満 期 に な る と仮 定 す る ・、Aは 負 債 満 期 時 点 に お け る資 産 価 値 で あ う ・ 簿 価 で は な く時 価 で あ る こ と に注 意 しよ う。

バ ス ン ス ・シ ー ト A (総資 産) L (負債) E (自 己資 本) す る と、 負 債 満 期 時 点 にお け る 負 債 の 価 値 は、 も し総 資 産 の価 値 が 負 債 の価 値 よ り も大 きけ れ ば 、 当 然Lと な る。 も し資 産 価 値 が 負 債 価 値 よ り も小 さ け れ ば 、負 債 の 価 値 はAと な る 。 こ れ は 、 企 業 の 負 債 の保 有 者 は 自 己資 本Eの 保 有 者 、 す な わ ち株 主 よ り も優 先 順 位 が 高 い か らで あ る 。 似 上 を式 で表 わ す と、 は っ き りす る。 す な わ ち if、A>L,then負 債 価 値=L ifA<L,then負 債 価 値=A

つ ま り、AがLよ り も大 き け れ ば 負 債 価 値 はL、AがLよ り も小 さ け れ ば 負 債 価 値 はAと い う こ とで あ る か ら、 結 局 企 業 の 負 債 価 値 はAとLー の 小 さい 方 の値 とい う こ と に な る 。 こ れ を式 で 表 わ せ ば 企 業 の負 債 価 値=min(L,A) minは 「括 弧 の 中 の最 小 値 を 選 ぶ 」 とい う記 号 で あ る。 次 に、maxと い う記 号 を導 入 しよ う。 こ れ は 「括 弧 の 中 の最 大 値 を選 ぶ」 とい う記 号 で あ る 。す る と、 上 の式 は 以 下 の よ う に書 け る: 企 業 の負 債 価 値=L-max(0,L-A) 読 者 は 、min(L,A)=L-max(0,L-A)の 証 明 をみ ず か ら確 か め て い た だ き た い6か つ 、 L-max(0,L-A)の ペ イ オ フ ・ダ イ ア グ ラ ム を描 い て い た だ きた い 。 max(0,L-A)は 、 行 使 価 格Lの プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン の 価 値 に ほ か な ら な い 。 す な わ ち 、 一max(0,L-A)は プ ッ トの 売 りで あ る。 以 上 を 要 約 す る と、 企 業 の 債 権 者 の ポ ー トフ ォ リオ は 、① 債 務 不 履 行 の な い安 全 な負 債 と② プ ッ ト ・オ プ シ ョ ンの シ ョー ト ・ポ ジ シ ョ ン とい う こ と に な る。 こ の プ ッ ト ・オ プ シ ョ ンめ 買 い 手 (ロ シ グ)は 株 主 で あ って 、 株 主 は企 業 の資 産 を負 債 価 値(額 面)で 債 権 者 に売 る とい う権 利 を得 て い る の で あ る 。 次 回 は 、企 業 の 自己 資 本 や よ り複 雑 な 新 商 品 を オ プ シ ョンで 評 価 す る こ とに し よ う。 33.オ プ シ ョ ン に よ る 自 己 資 本 の 評 価 前 回 は 、 企 業 の債 権 者(銀 行 や社 債 保 有 者)の ポ ー トフ ォ リオ が プ ッ ト ・オ プ シ ョ ンの シ ョー .ト・ポ ジ シ ョ ンで あ る こ と を説 明 した 。 転 換 社 債 や ワ ラ ン ト債(新 株 引 受 権 つ き債 券)が コ ー ル ・オ プ シ ョン で あ る こ と はみ や す い 。 今 回 は 、 企 業 の 資 金 調 達 手 段 の柱 で あ る 自 己資 本 を オ プ シ ョ ンで 評 価 して み よ う。 Aを 負 債 満 期 時 にお け る企 業 の 総 資産 価 値 、Lを 負 債 の 額 面 価 値 、Eを 自 己資 本 の 価 値 とす る 。 負 債 満 期 時 にお い て 、 も しAがLよ り も小 さ け れ ば 、 自 己 資 本 の価 値 は ゼ ロで あ る。 も しAがL よ り も大 き けれ ば 、 自己 資 本 の価 値 はA-Lに な る。 こ の 関 係 を式 で 表 わ せ ば ifA〈L,thenE=O ifA>L,thenE=A-L

ゆ え に 負 債 満 期 時 に お け る 自 己 資 本 の 価 値 は E=max(0,A-L) と 書 く こ と が で き る 。 こ れ は コ ー ル ・オ プ シ ョ ン に ほ か な ら な い 。 す な わ ち 、 自 己 資 本 の 所 有 者 で あ る株 主 の ポ ー トフ ォ リ オ は 、 行 使 価 格 がL(負 債 の 額 面 価 値)、 行 使 日 が 負 債 満 期 日 の コ ー ル ・オ プ シ ョ ン の ロ ン グ ・ポ ジ シ ョ ン で あ る 。 つ ぎ に 金 融 新 商 品 を オ プ シ ョ ン で 分 析 し て み よ う 。 ま ず 輸 出 入 企 業 が 多 用 す る レ ン ジ 先 渡 し契 約(RangeForwardContract)か ら は じ め る 。 こ れ は 弾 力 的 な 派 生 的 証 券 の 典 型 的 な も の で あ る 。 例 と し て 、 現 在 、 あ る 日 本 企 業 が90日 後 に 米 ド ル を 必 要 と し て い る と し よ う 。 こ の 企 業 は 、 現 在 の90日 物 先 渡 し為 替 レ ー トで90日 後 の ドル 支 払 い を 固 定 す る こ と が で き る 。 伝 統 的 な 方 法 で あ る 。 レ ン ジ 先 渡 し 契 約 は こ れ に 対 し て 代 替 的 な 手 段 を 提 供 す る 。 た と え ば 、1ド ル 当 た り140円 か ら160円 の 範 囲(レ ン ジ)で 先 渡 し 契 約 が 設 定 さ れ る 。 満 期(90日 後)に ス ポ ッ ト ・レ ー ト が140 円 未 満 で あ れ ば 、 企 業 は1ド ル 当 た り140円 を 支 払 う 。140円 と160円 の 間 で あ れ ば 、 企 業 は ス ポ ッ ト ・レ ー トを 支 払 う 。160円 を 上 回 れ ば 、 企 業 は160円 を 支 払 う 。 こ の 例 を 一 般 化 し て 、 満 期 に お け る 企 業 の ペ イ オ フ を 以 下 の よ う に 書 く こ と が で き る 。 満 期 の ス ポ ッ ト ・ レ ー ト をST、 レ シ ジ の 下 限 をX1、 上 限 をX2と す る 。 ①ifST<Xl,支 払 い レ ー ト=x1 ②ifX1≦S。 ≦X2,支 払 い レ ー ト=ST ③ifST>X2,支 払 い レ ー ト=X2 こ の レ ン ジ 先 渡 し 契 約 は2種 類 の オ プ シ ョ ン を 使 っ て 作 る こ と が で き る 。 す な わ ち 、 行 使 価 格 X1の プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン の シ ョ ー ト(売 り)と 行 使 価 格X2の コ ー ル ・オ プ シ ョ ン の ロ ン グ(買 い)で あ る 。 こ の オ プ シ ョ シ ・ポ ー ト フ ォ リ オ の ペ イ オ フ を 下 表 に 示 す 。 通 貨 の コ ス ト プ ッ トの 期 末価 値 コー ル の 期 末 価 値 ネ ッ ト コ ス ト ①ifST<X1 ②ifX1≦ST≦x2 ③ifST>X2 一ST -ST -ST 一(X1」ST) 0 0 0 0 ST-X2 一Xl -ST -X2 こ れ で レ ン ジ先 渡 し契 約 は オ プ シ ョン で 評 価 され る こ とが 分 か っ た 。 な お 通 常 の レ ン ジ先 渡 し 契 約 は 、 コ ー ル の期 初 価 値=プ ッ トの 期 初 価 値 とす る こ とが 多 い 。 つ ま り、 この 場 合 レ ン ジ 先 渡 し契 約 の セ ッ トア ッ プ ・コ ス トはゼ ロ で あ る。 ま たX1=X2=F(先 渡 し価 格)と す れ ば 、伝 統 的 な為 替 の先 渡 し契 約 に な る 。 こ の よ う に オ プ シ ョン に よ っ て金 融 新 商 品 の分 析 が 可 能 な の で あ る 。 次 回 は よ り複 雑 な商 品 を 取 り上 げ る。

34.為 替 レ ー ト と オ プ シ ョ ン(1) 前 回 は 輸 出 入 企 業 が 利 用 す る レ ン ジ 先 渡 し 契 約 を オ プ シ ョ ン で 評 価 し た が 、 今 回 は 為 替 レ ー ト を か ら め た 債 券 投 資 を 分 析 す る こ と に し よ う 。 1985年 に ア メ リ カ の マ ネ ー ・セ ン タ ー ・バ ン ク で あ る バ ン カ ー ズ ・ ト ラ ス トは 、ICONと 呼 ば れ る 新 商 品 を 開 発 し た 。ICONは"lndexCurrencyOptionNote"の 略 で あ る 。 強 い て 訳 せ ば ∼ 「為 替 に 連 動 す る オ プ シ ョ ン つ き 債 券 」 と い う こ と に な る 。 こ れ は 、 買 い 手 が 満 期 に 受 け 取 る 金 額 が 為 替 レ ー ト と と も に 変 化 す る 中 期 債 券(ノ ー ト)で あ る 。ICONの 満 期 に 為 替 レ ー ト'があ る 水 準 を 越 え る と、 債 券 保 有 者 は 債 券 の 額 面 を 受 け 取 る 。 為 替 レ ー トが こ の 水 準 を 下 回 る 場 合 に は 、 債 券 保 有 者 は 額 面 金 額 未 満 し か 受 け 取 れ な い 。 バ ン カ ー ズ ・ トラ ス ト の 第1号ICONは 、 日本 長 期 信 用 銀 行 向 け め も の で あ っ た 。 今 回 は こ の 商 品 を 具 体 的 に 検 討 す る こ と に し よ う 。 こ のICONの 満 期 はi995年 で あ る 。 円 ドル の ス ポ ッ ト ・ レ ー トSが 満 期 に1ド ル 当 り169円 を 越 え て い る と(円 安 で あ る と)、 債 券 保 有 者 は1000ド ル(す な わ ち 債 券 の 額 面)を 受 け 取 る 。169 円 を 下 回 っ て い る と 、 債 券 保 有 者 の 受 け 取 り額 は(額 面 か ら)以 下 の 分 だ け 減 額 さ れ る(ド ル ・ ベ ー ス で あ る こ と に 注 意): max[0,1000(169/S-1)] 為 替 レ ー トが1ド ル 当 り84.5円 以 下 に な る と(円 高 に な る と)、 こ のICONの 価 値 は ゼ ロ に な る (Why?)。 以 上 で は 受 け 取 り を ド ル 建 て で 考 え た が 、 こ の 商 品 の 買 い 手 が 日 本 め 機 関 投 資 家 で 受 け 取 りが 円 建 て で あ る と し よ う6Sを 満 期 に お け る 円 ド ル の ス ポ ッ ト ・レ ー ト で あ る と す れ ば 、 こ の 機 関 投 資 家 の 満 期 に お け る ペ イ オ フ は 以 下 の よ う に 書 く こ と が で き る 『: ①jfS>169,、 へ.イオフニS×1000 ②if84.5<S≦169,へ.イ オフ=S[1000-max(・)] ③ifS≦845,へ.イ オフ〒0 ② の ペ イ オ フ の 中 のmax(・)=max[0,1000(169/S-1)]で あ る か ら、 式 を展 開 し て ペ イ オ フ=S×1000-max[0,1・000(169-S)]と な る 。 ペ イ オ フ は す べ て 円 建 て で あ る 。 日 本 の 機 関 投 資 家 の 円 建 て の ペ イ オ フ(受 け 取 り 額)は 、1ド ル169円 を 越 え て 円 安 に な れ ば な る ほ ど 大 き く な る 。 す な わ ち 、 債 券 の 額 面1000ド ル に 為 替 レ ー ト を 乗 じ た も の で あ る 。 円 が 高 く な る と 、max(・)の 分 だ け 減 少 し て く る 。 さ ら に 円 高 が 進 み 、1995年 に 円 ドル ・レ ー トが84.5円 を越 え る と 、 債 券 の 価 値 は ゼ ロ に な る 。 さ て こ の よ う な ペ イ オ フ を オ プ シ ョ ン だ け で 作 り 出 す の は 難 し い 。1000ド ル と い う 債 券 の 額 面 価 値 が 介 在 し て い る か ら で あ る 。 そ こ で 、 債 券 と オ プ シ ョ ン の ポ ー トフ ォ リ オ を 考 え て み る 。 具 体 的 に は 、 債 券 の ロ ン グ ・ポ ジ シ ョ ン 、 行 使 価 格169円/ド ル の プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン の シ ョ ー ト ・ポ ジ シ ョ ン 、 そ し て 行 使 価 格 84.5円/ド ル の コ ー ル ・オ プ シ ョ ン の ロ ン グ ・ポ ジ シ ョ ン の ポ ー ト フ ォ リ オ で あ る 。 た だ し、 プ ッ トの シ ョ ー トは1000単 位 、 コ ー ル の ロ ン グ は2000単 位 で あ る 。 下 表 は こ の ポ ー ト フ ォ リ オ の 期 末(1995年)に お け る ペ イ オ フ を 計 算 す る た め の 準 備 作 業 で あ る 。

債 券 の ロ ン グ 期 末 に お け る 円 ド ルルート(1単 位) プ ッ トの シ ョ ー ト ・ く100σ 単 位) 行 使 価 格169 コLル の ロ ン グ (2000単 位) 行 使 価 格84.5 ①ifS>169 ②if84.5<S≦169 ③ifS≦84.5 1000S・ 1000S 1000S 0 -1000(169-S) 一1000(169-S) 0 0 2000(84.5-S) 次 回 は、 こ の 表 を完 成 してICONを 評 価 す る。 35.為 替 レ ー ト と オ プ シ ョ ン(2) 今 回 は 円 建 てICONの ペ イ オ フ 表 を 完 成 さ せ る 。 こ の 商 品 に 投 資 し た 機 関 投 資 家 の 満 期 に お け る 円 建 て の ペ イ オ フ は 以 下 の と お り で あ っ た_。S は 満 期 に お け る 円 ドル の ス ポ ッ ト ・ レ ー ト、で あ る ρ ①ifS>169,ペ イオフニS×1000 ②if845 _{.<S≦169,ペ イオフニS[1000-max(・)]} ③ifS≦84.5,ペ イオフ=0 ②gペ イ オ フ の 中 のmax(・)=max[0,1000(169/S-1)]で あ る'か ら 、 式 を 展 開 し て ペ イ オ フ=S×1000-max[0,1000(169 _{、一S)]=S×1000-1000×} (169-S)と な る 。 前 回 で は 、 こ の ペ イ オ フ を 再 現(replicate)す る た め に 、 債 券 の ロ ン グ ・ポ ジ シ ョ ン 、 行 使 価 格 169円/ド ル の プ ッ ト ・オ プ シ ョ 「ン の シ ョ ー ト ・ポ ジ シ ョ ン 、 そ し て 行 使 価 格84.5円/ド ル の コ ー ル ・オ プ シ ョ ン の ロ ン グ ・ポ ジ シ ョ ン の ポ ー トフ ォ リ オ を 作 っ た 。 た だ し、 プ ッ トの シ ョ ー トは 1000単 位 、 コ 、 レの ロ ン グ は2000単 位 で あ るb 前 回 の 表 の 最 終 欄 に 、 こ の ポ ー ト フ ォ リ オ の ペ イ オ フ 、 す な わ ち 期 末 価 値 を 書 き込 ん で 表 が 完 成 さ れ る 。 債 券 の ロング(1単 位)、 フ.ットの ショート(1000 期 末 に お け る 円 ド ル・レート 単 位)、 コールの ロング(2000単 位)か ら 成 る ポ ー トフ ォ リ オ の期 末価 値(=ペ イ オ フ)

①

if S>169 S×1000

②

if 84. 5<S≦169 S×1000-1000×(169-S)

③

if S≦84.5 0 以 上 でICONは 、 債 券 の ロ ン グ 、 プ ッ トの シ ョ ー ト、 コ ー ル の 卩 ン グ と い う ポ ー ドフ ォ リ オ. で 作 ら れ る こ と が 分 か っ た 。

さ て こ こ ま で は 円 建 て の 投 資 家 の 場 合 で あ っ た が 、ICONの 応 用 と し て ド ル 建 て の 投 資 家 (た と え ば 、 ア メ リ カ 国 内 の 機 関 投 資 家1に つ い て よ り 一 般 的 に 考 え て み よ う 。 こ の ケ ー ス で は 、 円 ドル ・ レ ー トで は な く 、 ドル ・円 レ ー トが 基 準 に な る 。 満 期 に お け る ド ル ・円 レ ー トをSTと す る 。 満 期 の ス ポ ッ ト ・レ ー トがXを 下 回 る と 、 ア メ リ カ の 投 資 家 は1000(ド ル)を 受 け 取 る 。 条 件 はST<Xで あ る が 、 前 の(日 本 の 機 関 投 資 家 の)場 合 で 考 え て み る と 、ST=1/S、X=1/ 169で あ る 。 す な わ ち 、 ア メ リ カ の 投 資 家 の 条 件ST<Xは 日本 の 投 資 家 の 条 件S>169に 対 応 す る 。 同 様 に 、 ス ポ ッ ト ・レ ー トSTがX以 上 でX+1000/α 以 下 の 場 合 に は 、1000一 α (ST-X)を 受 け 取 る 。STがX+1000/α を 上 回 る と 、 受 け 取 り額 は ゼ ロ で あ る 。 α は 定 数 で 、 日 本 の 投 資 家 の 場 合 に は α=169000で あ っ た 。 ア メ リ カ の 投 資 家 の ペ イ オ フ を ま と め る と、 次 の よ う に な る: ①ifST〈X,ペ イ オ フ=1000 ②ifX+1000/α ≧ST≧X,ペ イ オ フ=1000一 α(ST-X) ③ifST>X+1000/α,ペ イ オ フ=0 こ の ドル 建 てICONと 同 じペ イ オ フ は 、 社 債1単 位 の ロ ン グ ・ポ ジ シ ョ ン 、 行 使 価 格Xの 通 貨 コ ー ル ・オ プ シ ョ ン α単 位 の シ ョ ー ト ・ポ ジ シ ョ ン 、 行 使 価 格X十1000/α の 通 貨 コ ー ル ・オ プ シ ョ ン の ロ ン グ ・ポ ジ シ ョ ン と い う ポ ー ト フ ォ リ オ で 作 り 出 す こ と が で き る 。 読 者 は こ れ を 是 非 確 か め て い た だ き た い 。 36.オ プ シ ョ ン と 債 券 第32回 で 、企 業 の 負 債 は プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン とみ な さ れ る こ と を指 摘 した 。 今 回 は 様 々 な種 類 の 債 券 を取 り上 げ る。、 い ま企 業 の 唯 一 の負 債 が 社 債 で あ る と し よ う。 社 債 は 金 利 と企 業 価 値 の 双 方 に依 存 す る 派 生 的 証 券 と考 え られ る。 社 債 満 期 の ペ イ オ フ はmin(L,A)と 表 わ す こ とが で き る(第32回 参 照)。 こ こでLは 満 期 の 債 券 の額 面 価 値 、Aは 企 業 の 社 債 満 期 時 の資 産価 値 で あ る。 と こ ろで min(L,A)=L-max(0,L-A) で あ る か ら 、債 券 保 有 者 は行 使 価 格L(一 定)の プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン を企 業 の所 有 者(株 主)に 売 り出 した こ と を意 味 す る。 つ ぎ に転 換 社 債 を考 え て み よ う。 転 換 社 債 は投 資 家 の 裁 量 に よ り、 そ の 存 続 期 間 中 の あ る 時 点 で 企 業 の 株 式(も し くは他 の証 券)の 一 定 数 と交 換 す る こ との で き る債 券 で あ る 。 単 純 化 の た め に 、 交 換 は満 期 に お い て の み な され 、 債 務 不 履 行 の 可 能 性 は な い も の と し よ う 。 つ ま り、 こ の企 業 の社 債 は リス ク ・フ リー(無 リス ク)債 券 で あ る。 満 期 にお け る 債 券 の価 値 は max(L,αST) と表 され る。Lは 債 券 の額 面価 値 、STは 債 券 が 転 換 さ れ る証 券(株 式)の 満 期 に お け る価 格 、 α は転 換 比 率(す な わ ち各 債 券 で得 られ る株 式 数)で あ る 。 とこ ろ で max(L,αST)=L十 αmax(0,ST-L/α) と変 形 で き る(Why?)。 上 式 の 右 辺 第1項 のLは 債 務 不 履 行 の な い 無 リス ク債 券 で あ り、 第2項 は行 使 価 格L/α(一 定)、 満 期 が 無 リス ク債 と同 じ ヨ ー ロ ピ ア ン ・コ ー ル ・オ プ シ ョン の α分 で あ る 。 ゆ え に、 転 換 社 債 は無 リス ク債 と コー ル の 組 み 合 わ せ で あ る こ とが 分 か っ た 。

最 近 で は 、 コ ー ル とプ ッ トの 特 徴 を もつ 債 券 も登 場 して い る。 コ ー ル 可 能 債 券(callablebond)に は 、 将 来 の あ る 時 点 に お い て 、 あ らか じめ 決 め られ た価 格 で 発 行 企 業 が 債 券 を買 い 戻 せ る と い う条 項 が つ い て い る 。 こ の よ うな債 券 の 保 有 者 は 、 コ ー ル ・オ プ シ ョ ン を発 行 体 に売 っ そ い る こ と に な る 。 コー ル ・オ プ シ ョン の価 値 は 金 利 に 反 映 さ れ 、 コ ー ル の 特 徴 を もつ債 券 は コ ー ル の ない 債 券 よ り も高 い 金 利 を与 え る。 プ ッ ト可 能 債 券(pu1加bleb・nd)は 、 債 券 保 有 者 が将 来 の あ る 時 点 にお い て あ ら か じめ 決 め られ た価 格 で早 期 償 還 が で き る とい う条 項 が つ い て い る債 券 で.ある 。 こ の よ う な債 券 の保 有 者 は 、 債 券 自体 と と も に債 券 の プ ッ ト ・オ プ シ ョン を買 っ て い る こ とに な る。 プ ッ ト ・オ プ シ ョン の価 値 は 金 利 に 反 映 さ れ 、 プ ッ ト条 項 を もつ債 券 は プ ッ ト条 項 の な い債 券 よ り も低 い 金 利 を保 有 者 に与 え る 。 そ の 他 に も、 ア メ リ カ な どで は 固定 金 利 預 金 の 早 期 償 還 とい う特 典 の つ い て い る商 品 が あ るが 、 こ れ もプ ッ ト債 券 の特 徴 に類 似 して い る。 ま た 銀 行 や 他 の 金 融 機 関 が 設 定 して い る抵 当 証 券 も オ プ シ ョ ン と して捉 え る こ とが で き る 。 た と え ば 、 あ る金 融 機 関 が5年 物 抵 当 金 利 と して 年12%を つ け 、 こ の 金 利 が2ヵ 月 間 有 効 で あ る と い う場 合 を考 え て み よ う 。 こ め 抵 当証 券 を買 っ た投 資 家 は 実 際 上 、12%ク ー ポ ン付 きの 債 券 を、 次 の2ヵ 月 以 内 に い つ で も額 面 で 金 融 機 関 に売 る権 利 を得 た こ と に な る 。 す な わ ち 、投 資 家 は プ ッ ト ・オ プ シ ョン を金 融 機 関 か ら買 っ た とい う こ と と 同 じで あ る。 と こ ろ で 、 金 利 の規 制 緩 和 が 進 む と、 金 利 変 動 が 高 くな る 。 固定 金 利 商 品 は問 題 な い が 、 変 動 金 利 商 品 の リス ク は ます ます 上 昇 して くる 。 こ の よ うな 状 況 に対 処 す る 手 段 と して 、 金 利 キ ャ ッ プ、 金 利 フ ロ ア 、金 利 カ ラ ー な どの 商 品 に対 す る ニ ー ズ が 高 ま っ て きた 。 次 回 は、 この よ う な変 動 金 利 商 品 の リス ク に 対 す る防 衛 と して 人 気 の あ る金 利 キ ャ ッ プ を 、 オ プ シ ョ ン の 文脈 で 分 析 し て み よ う。 37.金 利 キ ャ ッ プ(1) 前 回 取 り上 げ た コ ー ラ ブ ル ・ボ ン ドや プ ッ タ ブ ル ・ボ ン ド、 債 券 オ プ シ ョ ン 、 債 券 先 物 な ど は 金 利 派 生 的 証 券(interest-ratederivativesecurities)と 呼 ば れ る 。 金 利 が そ の 商 品 の 価 値 を 決 定 す る 重 要 な 要 因 に な っ て い る か ら で あ る 。 今 回 は 最 近 ポ ピ ュ ラ ー に な っ て き た 金 利 キ ャ ッ プ を み る こ と に し よ う 。 金 利 キ ャ ッ プ は 、 変 動 金 利 に 適 用 さ れ る 金 利 に 制 限 を つ け る 派 生 的 証 券 で あ る 。 基 本 的 な 金 利 キ ャ ッ プ と し て は 瞬 間 金 利 キ ャ ッ プ(instantaneousinterest-ratecap)が あ る 。 こ の 商 品 の 特 徴 は 、 ロ ー ン に 課 さ れ る 金 利 が い か な る 時 点 に お い て も 、 そ の 時 の 市 場 金 利 水 準 と キ ャ ッ プ 金 利 の 低 い 方 に な る こ と を 保 証 す る と こ ろ に あ る 。 市 場 金 利 は 通 常 、LIBOR(Londoninter-bankof飴redrate) の よ う な も の が 使 わ れ る 。 例 と し て 、 元 本 額Lの ロ ー ン 金 利 が3ヵ 月 毎 に3ヵ 月LIBORに 設 定 さ れ 、 銀 行 が 年 率8%の 金 利 キ ャ ッ プ を 与 え た と し よ う 。 金 利 は 四 半 期 複 利 で 、 各 四 半 期 末 に 支 払 わ れ る とす る 。 キ ャ ッ プ の 契 約 を履 行 す る た め に 、 銀 行 は 各 四 半 期 末 に 以 下 の 額 を 借 り 手 に 支 払 わ な け れ ば な ら な い: 0.25L×max(R-0.08,0) Rは 期 初 の3ヵ 月LIBOR金 利 で あ る 。max(R-0.08,0)と い う 表 現 は 、Rの コ ー ル ・オ プ シ ョ ン か ら の ペ イ オ フ そ の も の で あ る(コ ー ル ・オ プ シ ョ ン の 行 使 価 格 に 相 当 す る も の

は キ ャ ッ プ 金 利 で 、 こ の 例 で は8%)。 従 っ て キ ャ ッ プ は 、 ペ イ オ フ が3ヵ 月 遅 れ で 生 じ るRの コ ー ル ・オ プ シ ョ ン の ポ ー トフ ォ リ オ(ジ リ ー ズ 物)と 考 え る こ と が で き る_。 こ こ で 上 の 例 を 一 般 化 し て み よ う 。 キ ャ ッ プ 金 利 がRxで 、 金 利 の 支 払 い がt,2t,…,nt時 点 で な さ れ る と す れ ば 、 キ ャ ッ プ の 売 り手(金 融 機 関)はkt時 点 で 以 下 の 支 払 い を 要 求 さ れ る ・: tL×max(Rト1-Rx,0).(#1) R卜1は(k-1)t時 点 のLIBOR金 利 で あ る 。 (#1)は 、(k-1)t時 点 で 以 下 の 支 払 い 額 に 近 似 的 に 等 し く な る: tL/(i十R*t)max(Rkl-Rx,0)・ ・ 『(#2)』 R*は(k-1)t時 点 とkt時 点 の 間 の 金 利 推 計 値 で あ る 。(#1)と(#2)が 近 似 的 に 等 し い こ と は 以 下 の 図 か ら 説 明 で き る: R*は 現 時 点 で は確 定 で き な い金 利[こ れ は(k-1)・t時 点 とkt時 点 の 間 に適 用 さ れ る 先 渡 し金 利=forwardrateと 考 え て も よい]で あ る 。 い ま 、何 らか の方 法 でR*が 近似 的 に推 計 さ れ た とす れ ば、kt時 点 で(#1)の 価 値 が あ る もの をR*tと い う レー トで 還 元 す れ ば 、(k-1) t時 点 にお け る価 値 が 得 ら れ る 。 ゆ え に、(#2)は 近 似 的 に(#1)に 等 しい 。 以 上 の 分 析 か ら、(瞬 間)金 利 キ ャ ップ は 近 似 的 に、90日 金 利 ヨー ロ ピ ア ン ・コー ル ・オ プ シ ョ ンの シ リ ーズ か ら成 る ポ ー トフ ォ リ オ と考 え られ る 。注 意 す べ き は、 ペ イ オ フが90日 後 で は な く、 満 期 に 生 じ る とい う尸点 で あ る 。 こ の ポ ー トフ ォ リ オ を 構 成 す る各 オ プ シ ョ ンの 元 本 はt工/ (1十R*t)で あ る 。 次 回 は よ り厳 密 な分 析 を試 み 、 加 えて 別 の種 類 の 金 利 キ ャ ッ プ を検 討 す る。 38、 金 利 キ ャ ッ プ(2) 前 回 の 瞬 間 金 利 キ ャ ッ プ に お い て 、 キ ャ ッ プ の 売 り 手(銀 行)はkt時 点 で 以 下 の 額 の 支 払 い を 要 求 さ れ る:・ tL×max(Rk-1-R、,0)』(#1) R、 は キ ャ ッ プ 金 利 、R篤1は(k亠1)t時 点 のLIBOR金 利 、Lは 元 本 で あ る 。 前 回 は 近 似 的 な 解 を 求 め た が 、 今 回 は 厳 密 な ア プ ロ ー チ を し よ う 。 (#1)の 厳 密 な ペ イ オ フ は 、Rk正 の レ ー トで(k-1)t時 点 に 還 元 さ れ な け れ ば な ら な い 。 す な わ ち 、(#1)は 次 の よ う に 変 形 さ れ る: tL×max(Rk1-R、,0)/(1十tR妬1) =max[tL(Rk _{-1-R、)/'(1十tRk-1),0]} =max[L-L(1十R _{、∂/(1十tRk.1),0](#3)}

カ ッ コ内 のL(1+R、t)/(1+tRト1)は 、kt時 点 にL(ユ+R、t)を ペ イ オ フ す る割 引 債 の(k-1)時 点 にお け る価 値 と考 え られ る。 ゆ え に(#3)の 表現 は、 額 面 価 填 がL _{.(1千R琴t)で 満 期 がktで あ る よ う な割 引 債 の プ ッ} ト ・オ プ シ ョ ン か らの ペ イ オ フ で}こ の オ プ シ ョン の満 期 は(k-1)t、 行 使 価 格 はLで あ る こ と を示 して い る 。 従 っ て 、 瞬 間金 利 キ ャ ップ は 、 割 引 債 の ヨ ー ロ ピ ア ン ・プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン の ポ ー トフ ォ リ オ で あ る 。 と こ ろ で 、 ロ ー ンの キ ャ ッ プ と ロ ー ン 自体 が 同 一 の金 融 樣 関 に よ っ て 提 供 さ れ る な ら ば 、 キ ャ ッ プ の基 礎 とな る オ プ シ ョ ンの コ ス トは、 課 され る金 利 に組 み 込 ま れ る こ とが 多 い 。 キ ャ ッ プ と ロ ー ンが 異 な る金 融 機 関 に よっ て 提 供 さ れ る時 、 キ ャップの事前 支払い を要 求 され る場合 があ る。 も う ひ とつ の キ ャ ップ と して 平 均 金 利 キ ャ ッ プ(averageinterest-ratecap)が あ る が 、 これ は瞬 間 金 利 キ ャ ッ プ と は異 な る 機 能 を もつ 。 こ の キ ャ ッ プ は 、 ロ ー ン期 間 中 に 支 払 わ れ る平 均 金 利 (未払 い残 高 の加 重 平 均)が キ ャ ッ プ金 利 を上 回 ら な い こ と を保 証 す る 。 キ ャ ップ 金 利 を上 回 る期 間 は 、 キ ャ ップ金 利 を下 回 る期 間 に よ っ て相 殺 さ れ る 。 市 場 金 利 が キ ャ ッ プ金 利 を上 回 る と、 借 り.手の 支 払 う金 利 は 、 そ の 時 点 ま で に支 払 わ れ た平 均 金 利 が キ ャ ッ プ水 準 に等 し くな る ま で 、 市 場 金 利 に 等 し くされ る 。 そ の 時 点 で借 り手 の 金 利 は キ ャ ッ プ水 準 に ま で侭 下 す る 。 傘 利 が 下 落 す る につ れ て 、 借 り手 の 支 払 う金 利 は 、 そ の 時 点 ま で の 平 均 市 場 金 利 が キ ャ ップ を下 回 る まで 、 キ ャ ッ プ水 準 の ま まで あ る 』 そ の 時 点 で借 り手 の 金 利 は ぐ の 時 の市 場 金 利 に まで 侭 下 す る・ 金 融 機 関 が 平 均 金 利 キ ャ ッ プ を提 供 す る 時 、 そ の支 払 い額 は 常 に 、、類 似 の 瞬 間金 利 キ ャ ラプ を 提 供 す る 時 の 支 払 い 額 以 下 で あ る か ら、 平 均 金 利 キ ャ ッ プ の プ レ ミ'アム も し くは手 数料 は 瞬澗 金 利 キ ャ ップ よ り も低 い 。 平 均 金 利 キ ャ ップ で は、 借 り手 の金 利 が 市 場 金 利 を超 過 す る ζ とが あ る 。 第3の タ イ プ の キ ャ ップ で あ る混 合 キ ャ ップ(hy頃d,cap)は 、 こ の可 能性 を排 除 す る 。 この よ うな タイ プの 契 約 で は 、 借 り手 の 金 利 は 常 に 、 市 場 傘 利 と キ ャ ッ プ 金 利 を越 え な い 平 均L _{、IBOR金 利 の 無 い 方 に設 定 さ} れ る 。 金 利 フ ロ ア(interest-ratefloor)と 金 利 カ ラ ー(interest.ratecollar、 こ れ は フ ロ ア ・シ ー リ ン グ (floor・ceiling)契約 と も呼 ば れ る)も キ ャ ッ プ と同 じよ う に定 義 さ れ る 。 フ ロ ア は 課 され る金 利 の 下 限 を 設 定 し、 カ ラ ー は課 さ れ る 金 利 の 上 限(シ ー リ ング)と 下 限 の 双 方 を特 定 す る もの で あ る 。 以 上 の よ う に、 キ ャ ッ プ、 フ ロ ア 、 カ ラ ー な どの 金 利 派 生 的 商 品 は オ プ シ ョ ンの 文 脈 で 分 析 、 評 価 す る こ とが で き る 。 金 融 新 商 品 の 開 発 に は オ プ シ ョ ンの 考 え 方 が 不 可 欠 とい わ れ る所 以 で あ る。 39.オ プ シ ョ ン と株 価 指 数(1) 最 も新 しい 金 融 商 品 の ひ とつ に ブル ・ベ アCDが あ るρ 銀 行 の 提 供 す る革 新 的 な 商 品 で あ る が 、 これ も オ プ シ ョン の枠 組 み で 評 価 、 分 析 す る こ とが で き る。 まず 今 回 は ブ 丿ヒCD(bullCD)を _{み る こ と に し よ う。 ζ の 商 品 は そ の 名 の通 り、市場(た とえば} 株 式 市 場)の 強 気 相 場 に 連 動 す る もの で あ る。 通 常 のCD(cer面cateofdeposit)は 固 定 金 利 を支 払 うが 、 ブルCDは _{預 金 者 に対 し.てS&P500の よ} うな 市 場 指 数 の 収 益 率 の 一 定 上 昇 分 を 支 払 う とい う商 品 で あ る。 同 時 に 、 株 式 市 場 が 下 落 して も 最 低 の 収 益 率 を保 証 す る 。 た とえ ば 、 市 場 指 数 上 昇 分 の75%を 預 金 者 に提 供 す るが 、 市 場 が 下 落

し た 場 合 に は 預 金 者 は 決 して 損 失 を 被 ら な い 。 こ の 種 の 契 約 は 明 ら か に オ プ シ ョ ン で あ る 。・市 場 が 上 昇 し た な ら ば 、 預 金 者 は パ ー テ ィ シ ペ イ シ ョ ン 率(participationrate)も し く は 乗 数(multiplier)と 呼 ば れ る 数 値 に 従 っ て 、 利 益 を 得 る 。 上 の 場 合 で は 乗 数 は75%で あ る 。 市 場 が 下 落 し て も、預 金 者 は 損 失 に 対 し て 保 険 を つ け て い る こ と に な る 。 ブ ル C D の 収益 率 傾 き ニ0.75 株式市 場の収益率 ブ ルCDの 売 り手 で あ る 銀 行 は 、 実 際 に は コー ル ・オ プ シ ョン を預 金 者 に発 行 して い る こ と に な る 。 ゆ え に、 銀 行 は こ の コ ー ル の シ ョー ト(売 り)ポ ジ シ ョン に対 して 、 オ プ シ ョ ン市 場 で 指 数 の コ ー ル を買 っ て ヘ ッ ジす る こ とが で きる 。 上 図 は預 金 者 に対 す る銀 行 の 債 務(obligation)を 示 して い る 。 直 線 の傾 きが 乗 数 に相 当 す る 。 こ こで 銀 行 に と って い ち ば ん 問題 と な る の は 、 乗 数 の 値 を ど の よ う に設 定 す る か とい う こ とで あ る 。 これ は ブ ルCDを オ プ シ ョン の観 点 か らみ る と、 分 か りや す い 。 ① 預 金 者 が オ プ シ ョ ン に払 う価 格 は、 通 常 のCDに 付 く金 利 で あ る。 預 金 者 は リス ク ・フ リー (た とえ ば短 期 国 債)の 収 益rfへ の 請 求 権 を 下 取 り して 、 株 式 市 場 の パ フ ォ ー マ ンス に依 存 す る 収 益 を買 う。 逆 に 銀 行 は 、 通 常 のCDに 支 払 わ れ る金 利 を使 っ て債 務 の資 金 を調 達 して い る こ と に な る 。 ② この オ プ シ ョ ン は ア ッ ト ・ザ ・マ ネ ー で あ る。 す な わ ち 、 オ プ シ ョ ンの 行 使 価 格 は株 価 指 数 の現 在 値 に等 しい 。 指 数 が 契 約 開始 時 の水 準 を上 回 れ ば、 この オ プ シ ョ ン は即 座 に イ ン ・ザ ・マ ネ ー に な る。 ③ この オ プ シ ョ ン を投 資 金 額1単 位 当 りで 分 析 す る こ とが で きる 。 た と え ば 、 ブ ルCDに 投 資 さ れ る$1当 りrfド ル が 、 預 金 者 に と っ て の オ プ シ ョ ンの コス トで あ る。 投 資 金 額$1当 りの オ プ シ ョ ンの 市 場 価 格 はC/Soで あ る。 こ こ で 、ア ッ ト ・ザ ・マ ネ ーの オ プ シ ョンの コス トはCで 、 こ の オ プ シ ョ ンは現 在S。 とい う水 準 に あ る 市 場 指 数 の1単 位 に つ い て 発 行 され る。 以 上 の 分 析 か ら、 銀 行 の提 供 す る ブ ルCDめ 乗 数 を決 定 す る こ とが で き る。 まず 、 銀 行 は預 金 者 か ら$1に つ きrfド ル の投 資 金 額 の 支 払 い を受 け取 る 。 銀 行 が 市 場 指 数 の$1の コ ー ル ・オ プ シ ョ ン を購 入 す る コス トはC/Soで あ る 。 上 の 例 で は 、 た と え ばrfがC/Soの75%で あ れ ば 、 銀 行 は$1の 投 資 で0.75の コ ー ル ・オ プ シ ョン を買 う こ と が で きる 。 従 って 、 乗 数 は0.75で あ る 。 よ り一 般 的 に は、 ブ ルCDの 乗 数 はrfをC/Soで 除 して 求 め られ る 。 例 と して 、 年 率 のrfが6%、6ヵ 月 満 期 の 市 場 指 数 オ プ シ ョ ンの ア ッ ト ・ザ ・マ ネ ー が$10で あ る と しよ う。 指 数 の 現 在 値 は$250で あ る。 オ プ シ ョン の コス トは$10/$250=$0。04(市 場 価 値 の$1当 り)で あ り、CDの 金 利 は6ヵ 月 当 りで3%、 す な わ ち$1当 り$0.03が 投 資 され る 。 ゆ

え に 、 乗 数 は0.03/0.04=0。75で あ る 。 次 回 は ブ ルCDの 変 型 を概 観 し 、 そ の あ と で 実 際 の 商 品 の 善 し悪 し を オ プ シ ョ ン か ら 評 価 す る 。 40.オ プ シ ョ ン と 株 価 指 数(2) 前 回 の ブ ルCDに は い くつ か の 変 型 が あ る 。 た と え ば 、 投 資 家 が 小 さ な 値 の 乗 数 を 希 望 す れ ば 、 最 悪 で も'、ゼ ロ で は な く プ ラ ス の リ タ ー ン を 保 証 す る ブ ルCDを 購 入 す る こ と が で き る 。 こ の 場 合 オ プ シ ョ ン は 、 投 資 金 額$1当 り(rf-rmi、)で 預 金 者 に よ っ て 購 入 さ れ る 。rmi.は 保 証 さ れ る 最 低 の リ タ ー ン で あ る 。 購 入 価 格 は 低 く な る か ら 、 購 入 で き る オ プ シ ョ ン の 数 は 少 な く な る 。 ゆ え に 乗 数 は 小 さ く な る 。 も う ひ と つ の 変 型 は ベ アCDで あ る 。 こ れ は 市 場 指 数 の 下 落 の あ る 割 合 を投 資 家 に 払 う も の で あ る 。 す な わ ち 、 ベ アCDは プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン に な る 。 こ こ で 読 者 に ベ アCDの 問 題 を 出 し て お こ う 。 通 常 のCDレ ー トが 年8%、 ア ッ ト ・ザ ・マ ネ ー の6ヵ 月 指 数 プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン が$15と す る 。 市 場 指 数 は250で あ る 。 最 低 の 保 障 リ タ ー ン が ゼ ロ で 、6ヵ 月 後 の 指 数 下 落 の 一 定 割 合 を支 払 う ベ アCDの 乗 数 の 値 を 求 め よ(答 は2/3)。 さ て 以 下 で は 実 際 の ブ ルCD商 品 を オ プ シ ョ ン で 評 価 し て み よ う 。 1987年 に ロ イ ヤ ル ・ ト ラ ス ト ・オ ブ ・カ ナ ダ は 次 の リ タ ー ン を 投 資 家 に 提 供 す る 商 品 を 販 売 し た: max(0,0.4R) こ の 商 品 は6ヵ 月 物 で 、Rは ト ロ ン ト35種 指 数 の6ヵ 月 の リ タ ー ン で あ る 。 リ ス ク ・ブ リ ニ の 金 利 を 年8%、 ト ロ ン ト指 数 の 配 当 利 回 り を 年3%、 ボ ラ テ ィ リ テ ィ ー を 年 25%と す る 。 Sを 指 数 の 現 在 値 、6ヵ 月 後 の 指 数 の 値 をSTと す る 。 投 資 額 をAと す れ ば 、6ヵ 月 後 に 得 ら れ る リ タ ー ン は 、R=(ST-S)/Sか ら次 の よ う に 書 く こ と が で き る: A・max[(0,0.4(ST-S)/S] =(0 _{.4A/S)max(0,STrS)} こ れ は 指 数 の ヨ ー ロ ピ ア ン ・コ ー ル ・オ プ シ ョ ン(ア ッ ト ・ザ ・マ ネ ー)の0.4A/S相 当 分 に ほ か な ら な い 。 こ の オ プ シ ョ ン を ブ ラ ッ ク ・シ ョ ー ル ズ ・モ デ ル(以 下 で はB・Sと 略 記)で 評 価 す る こ と が で き る(B・Sに つ い て は 次 回 以 降 で 詳 説 す る)。 '配 当 利 回 りqを 支 払 う 指 数 オ プ シ ョ ン のB・S評 価 式 は: Se刈(T-t)N(d1)一Xeぜ 「℃N(d2) rは リ ス ク ・ フ リ ー の 金 利 、(T-t)は オ プ シ ョ ン の 満 期 、Xは 行 使 価 格(こ の 例 で はX=S) で あ る 。 ま たN(・)は 累 積 正 規 分 布 を 表 わ す 。dlとd2は 以 下 の よ う に 定 義 さ れ る: d1=ln(S/X)十(r-q十 σ2/2)(T-t)]/σ π 〒=「7 d2==dl一 σ酒 一 lnは 自 然 対 数 、 σは 指 数 の ボ ラ テ ィ リ テ ィ ー で あ る 。 上 記 のB・S式 に0.4A/Sを 乗 じ 、r=.08、 σ=.25、T-t=.5、 層q=.03 を 代 入 す る と: dlr2298⇒N(dl)=.5909 d2=.0530⇒N(d2)=.5212

す な わ ち 、 ロ イ ヤ ル ・ ト ラ ス トの 提 供 す る ヨ ー ロ ピ ア ン ・コ ー ル ・オ プ シ ョ ン の 価 値 は 0.4A[eモ03)(5)×.5909二eイ 腮x・5)×.5212] =0 _.0325A こ れ は ロ イ ヤ ル ・ トラ ス ト商 品 の ペ イ オ フ の 現 在 価 値 で あ る 。 投 資 家 が こ の 商 品 を 買 う と す れ ば 、 現 在 時 点 で0.0325Aを 払 わ な く て 済 む 。 つ ま り投 資 家 は 投 資 額0.9675A(=A-0.0325A)で6ヵ 月 後 にAを 受 け 取 る 。 こ こ か ら 、 こ の 投 資 の 年 換 算 の 連 続 複 利 に よ る リ タ ー ン(こ の 説 明 は 後 述)は6 _{.6%と な る} 。-結 論 す れ ば 、 こ の 商 品 の リ タ ー ン は リ ス ク ・フ リ ー め 金 利8%よ り も低 い か ら 、 投 資 家 に と っ て は 魅 力 的 と は い え な い 。 以 上 の よ う に 、 新 し い 金 融 商 品 で あ る ブ ル ・ベ アCDの 厳 密 な 投 資 価 値 は 、 オ プ シ ョ ン に よ っ て 評 価 で き る の で あ る 。 Partv.オ プ シ ョ ン の ・評価 41.オ プ シ ョ ン の 再 現 に よ る 方 法 前 回＼ ブ ルCDを 厳 密 に評 価 す る際 に ブ ラ ッ ク ・シ ョー ル ズ ・モ デ ル(B・Sモ デ ル)を 利 用 した 。 こ の よ う な 金 融 新 商 品 の 評 価 の み な らず 、 機 関 投 資 家 の 代 表 的 な ヘ ッ ジ手 法 で あ る デ ル タ ・ヘ ッ ジ ン グ の構 築 や ポ ー トフ ォ リオ ・イ ン シ ュ ア ラ ンス の 設 計 に お い て も、B・Sモ デ ル は 必 要 不 可 欠 で あ る 。 そ こで 今 回 か らB・Sモ デ ル を理 解 す る た め に 、・オ プ シ ョン の理 論 的 な 評 価 方 法 を取 り上 げ る。 で き る だ け 数 学 の 使 用 は 避 け る が 、 オ リ ジ ナ ル なB・Sモ デ ル は難 解 な(確 率)微 分 方 程 式 の解 と して 得 られ た もの ぞ あ る。 若 干 の 数 式 の 使 用 は我 慢 して い た だ きた い 。 まず 、 株 式 投 資 と借 り入 れ に よっ て オ プ シ ョ ン と 同 等 の ペ イ オ フ を作 り出 し、 オ プ シ ョン を評 価 す る こ とか ら始 め よ う。 これ は実 はB・Sの 用 い た"ト リ ッ ク"で あ る 。 簡 単 な数 値 例 で 説 明 す る と分 か りや す い 。X社 の株 式 を行 使 価 格$160で 買 う1年 物 の コ ー ル ・ オ プ シ ョシ を評 価 す る こ とを考 え よ う 。 単 純 化 の た め に 、1年 後 のX社 の 株 価 は現 在 の$140か ら $110に 下 落 す る か 、$210に 上 昇 す る か の い ず れ か で あ る とす る 。 ま た1年 物 の 金 利 は10%で 乱 X社 は無 配 とす る。 株 価 が$110に 下 落 す る と、 オ プ シ ョ ン は無 価 値 で あ る 。 しか し$210に 上 昇 す れ ば、 オ プ シ ョ ン の価 値 は$50(=210、60)に な る・。 ゆ え に オ プ シ ョ ン の1年 後 の ペ イ オ フ は 下 表 の よ う に書 くこ とが で き る: 株 価=$110 株 価=$.210 1コ ー ル ・オ プ シ ョ ン $0 _$50 こ の ペ イ オ フ と、1株 を買 い 、 同 時 に$100を 銀 行 か ら借 り入 れ た 場 合 の ペ イ オ フ を比 較 して み よ う。 後 者 の1年 後 の ペ イ オ フ は次 の よ う に な る: 一52一

株 価=$110 株 価 士$210 1株 銀 行 借 り入 れ の 返 済+利 子 1年 後 の ペ イ オ フ $110 一$110 $210 一$110 $0

$100

す な わ ち 、 借 り入 れ と株 式 を購 入 した場 合 の1年 後 の ペ イ オ フ は、2コ ー ル ・オ プ シ ョン の ペ イ オ フ と等 しい 。 両 者 の1年 後 の ペ イ オ フが 等 しい か ら、 現 在 時 点 に お け る両 者 の価 値 も等 し くな け れ ば な ら な い: 2コ ー ル の 価 値=株 式 の価 値 一$100の 銀 行 ロ ー ン =$140一$100=$40 従 って:'ノ 1コ ー ル の 価 値=$20 こ れ で コ ー ル ・オ プ シ ョン を 評 価 す る こ とが で きた。 この 例 で は 、 コ ー ル ・オ プ シ ョ ンか ら の ペ イ オ フ を正 確 に再 現 す る た め に 、借 り入 れ と株 式 の 購 入 を して い る。1コ ー ル を再 現 す る た め に必 要 と さ れ る株 式 の数 は ヘ ッ ジ比 率 、 も し くは オ プ シ ョ ン ・デ ル タ と呼 ば れ 、 実 務 で も幅 広 く利 用 され る基 本 的 な概 念 で あ る 。 オ プ シ ョ ン につ い て の ヘ ッ ジ に 関 して は、 後 で詳 し く解 説 す る。 上 の例 で は、2コ ー ル を再 現 す る た め に1株 を必 要 と し た か ら、 オ プ シ ゴン ・デ ル タ は1/2で あ る。 例 で は 非 常 に 単 純 な ケ ー ス を考 え た が 、 しか しそ の 含 意 は大 切 で あ る 。 オ プ シ ョ ン とい う派 生 的 商 品 は 、 株 式 と借 り入 れ とい う原 商 品 の 組 み 合 せ で 評 価 で き る。 換 言 す れ ば 、 こ の よ う な 原 商 品 に よ っ て オ プ シ ョン投 資 を"再 現"(replicate)す る こ とが 可 能 な の で あ る。 こ の 点 は特 に重 要 で あ る 。 あ る 資 産 の オ プ シ ョン の 売 り買 い が で き な い場 合 に も、 再 現 戦 略 に よ っ て"自 家 製"の オ プ シ ョン を作 り出 す こ とが で き るの で あ る 。 後 述 す るが 、 実 際 の ポ ー トフ ォ リオ`・イ ン シ ュ ア ラ ン ス で は 、 こ の 自家 製 の オ プ シ ョン を(先 物 と安 全 資 産 に よ っ て)作 り出 す と こ ろが ポ イ ン トで あ る 。 42.リ ス ク 中 立 に よ る 方 法 前 回 、X社 の コー ル ・オ プ シ ョン の価 格 が$20と 求 め ら れ た が 、 そ の 理 由 を 考 え て み よ う。 も しオ プ シ ョン の 価 格 が$20よ り も高 け れ ば 、投 資 家 はX社 の1株 を 買 い 、2コ ー ル を売 り、$100 を借 り入 れ て 、確 実 に利 益 を上 げ る こ とが で き る。 逆 に、 オ プ シ ョ ン の価 格 が$20よ りも低 けれ ば 、株 式 を売 り、2コ ー ル を買 い 、 残 り を貸 し付 け て 、 や は り確 実 に利 益 を上 げ る こ とが で きる 。 こ の よ う な投 資 行 動 を 「裁 定 」(arbitrage)と呼 ぶ 。 実 際 の オ プ シ ョンが 理 論 価 格 の$20よ り も高 け れ ば 、投 資 家 の 売 りが 増 加 し、 結 局 厂需 要 と供 給 の法 則 」 に よ っ て 、 オ プ シ ョン の価 格 は下 落 す るで あ ろ う。 同様 に、 理 論 価 格 よ り も低 け れ ば 、 い ず れ オ プ シ ョ ンの 価 格 は上 昇 す る で あ ろ う。 つ ま り、 ど ち らの 場 合 で も、 投 資 家 の裁 定 行 動 に よ っ て オ プ シ ョ ンの 価 格 は理 論 価 格 に落 ち着 くの で あ る 。 市 場 に裁 定 機 会 が 存 在 す れ ば 、 誰 で もそ れ を利 用 し よ う とす るで あ ろ う。 なぜ な らば 、 リス ク な しで 確 実 に利 益 を上 げ ら れ る か らで あ る。 この 事 実 は 、 オ プ シ ョン の 評 価 に 際 して非 常 に重 要

な意 義 を も っ て くる。 す な わ ち 、 オ プ シ ョ ンの 価 格 は$20で な け れ ば な ら な い し、 も しそ うで な け れ ば裁 定 が 働 くか ら、 リ ス ク に対 す る投 資 家 の 姿 勢 、 対 処 方 法 は オ プ シ ョン の 価 値 決 定 に は 無 関 係 な の で あ る 。 投 資 家 が リス ク を嫌 悪 し よ うが 、 リス ク に無 関心 で あ ろ うが 、 オ プ シ ョ ンの 価 格 に は影 響 を与 え な い 。 どち らの 投 資 家 で あ ろ う と も、 オ プ シ ョ ンの価 格 は 同 じな の で あ る 。 以 上 の 議 論 か ら、X社 の オ プ シ ョン価 値 を代 替 的 な 方 法 で 求 め る こ とが で き る 。 具 体 的 に は 、 まず 、 す べ て の投 資 家 が リス ク に無 関 心 で あ る よ う な世 界(リ ス ク 中 立 の 世 界 と呼 ぶ)を 想 定 し、 この 仮 想 的 な世 界 で オ プ シ ョ ンの 期 待 将 来 価 値 を計 算 す る 。 そ して オ プ シ ョン の 現 在 価 値 は 、 期 待 将 来 価 値 を金 利 で 還 元 して得 られ る 。 こ の代 替 的 な 方 法 で 文社 の オ プ シ ョン価 値 を 計 算 して み よ う。 投 資 家 が リス ク に無 関 心 で あ れ ば 、 リス ク の あ る 株 式 に対 して プ レ ミ ア ム を要 求 しな い か ら、 株 式 の 期 待 収 益 は金 利 に等 しい は ず で あ る: X社 株 の期 待 収益=年 率10%(=金 利) X社 の 株 式 は50%上 昇 して$210に な る か 、21.5%下 落 して$110に な る か で あ っ た 。 ゆ え に仮 想 的 な リス ク 中立 世 界 にお い て 、 以 下 の よ う に株 価 上 昇 の 確 率(P)を 計 算 す る こ とが で き る(X 社 は 無 配 で あ る こ と に注 意): X社 株 の期 待 収益=P×50+(1-P)×(一21.5)=10% す な わ ち 、 株 価 上 昇 の確 率Pは44%、 下 落 す る確 率 は56%(=1-44%)で あ る。 株 価 が 上 昇 す れ ばX社 の1年 後 の オ プ シ ョ ン価 値 は$50、 下 落 す れ ば 無 価 値 で あ る 。 従 っ て 、 コ ー ル ・オ プ シ ョ ンの1年 後 の期 待 値 は: P×50十(1-P)×0=.44×50十.56×0 =$22 ゆ え に 、噛コ 「 ル の現 在 値 は こ の1年 後 の期 待 値 を金 利 で 割 り引 い て: 期 待 値/(1十 金 利)=22/1.10 =$20 こ れ は 前 回 に求 め た コー ル ・オ プ シ ョンの 価 格 と厳 密 に一 致 して い る。 こ こ で オ プ シ ョ ン評 価 の代 替 的 な2方 法 を要 約 して お こ う。 ① オ プ シ ョ ンの再 現 に よ る 方 法:オ プ シ ョン投 資 を再 現 す る株 式 と貸 し付 け の 組 み合 わせ を作 る。 双 方 の将 来 ペ イ オ フ は等 しい か ら、現 在 の 価 値 も等 し くな け れ ば な らな い 。 ② リス ク中 立 に よ る 方 法:投 資 家 は リ ス ク に無 関 心(中 立).で あ る よ う な世 界 を想 定 す る 。 こ の 世 界 で は 株 式 の 期 待 収 益 は金 利 に等 し・くな る。 リス ク 中 立 世 界 にお け る オ プ シ ョ ンの 期 待 将 来 価 値 を計 算 し、 そ れ を利 子 率 で 還 元 して オ プ シ ョ ンの現 在 価 値 を求 め る。 投 資 家 は すべ て リ ス ク 中立 で あ る と して オ プ シ ョ ンの 価 値 を評 価 す る方 法 は、1976年 に コ ック =ス(Jo㎞Cox)と ロス(StephenRoss)に よ って 示 唆 され た 。 オ プ シ ョン の評 価 を単 純 化 で き るの で 、 幅 広 く用 い られ る よ う に な っ た 。 注 意 す べ き は、 仮 想 的 な リス ク 中 立 世 界 で 求 め ら れ た オ プ シ ョ ン 価 格 は 、 投 資 家 が す べ て リス ク 回避 で あ る よ う な世 界 で も当 て は ま る とい う点 で あ る 。 オ プ シ ョ ン を評 価 す る 際 に は、 投 資 家 の リ ス ク に対 す る選 好 を考 慮 す る 必 要 は な い の で あ る。 43.ブ ラ ッ ク ・シ ョ ー ル ズ ・モ デ ル 1973年 に ブ ラ ッ ク と シ ョ ー ル ズ(以 下B・S)は 無 配 株 の ヨ ー ロ ピ ア ン ・コ ー ル ・オ プ シ ョ ン の 理 論 価 格Cを 次 の 式 で 与 え た:

C=SN(d1)一Xe一 疑T」oN(d2) Sは 現 在 の株 価 、rは リス ク ・フ リ ー の金 利 、(T-t)は オ プ シ ョン の満 期 、Xは 行 使 価 格 で あ る。 ま たN(・)は 累 積 正 規 分 布 を表 わ す 。d1とd2は 以 下 の よ う に定 義 され る: d1=[ln(S/X)十(r十 σ2/2)(T-t)]/σ π 「=「「 d2=dl一 σπ==一 モー lnは 自然 対 数 、 σは 株 価 の ボ ラ テ ィ リ テ ィ ー で あ る。 断 る ま で もな く、eは 自然 対 数 の 底 で 2.71828で あ る 。 B・S式 導 出 の 細 か い 点 は 後 に触 れ る と して 、 い くつ か の 基 本 的 な特 徴 を まず ま とめ て お こ う。 株 式 の期 待 収 益 率 は 式 の右 辺 に表 れ て い な い か ら、 オ プ シ ョン の価 値 に は 直 接 的 に は影 響 しな い 。 あ る意 味 で は 、 期 待 収 益 率 の 情 報 は す で に株 価 に含 ま れ て い る とい え る 。 次 にN(d)と い う項 が あ る。 直 観 的 に は(厳 密 で は な い)以 下 の よ う に説 明 す る こ とが で き る 。 B・S式 のN(d1)とN(d2)が と も に1に 近 い と しよ う。 これ は オ プ シ ョンが 行 使 さ れ る 確 率 が 高 い こ と を意 味 す る 。 この 時 、 オ プ シ ョ ンの価 値 はS-Xゼ ㈹ に等 し くな る σ これ は現 在 の株 価 か ら行 使 価 格 の 現 在 価 値 を引 い た もの で 、 オ プ シ ョ ンの 調 整 され た 本 質 的価 値 と呼 ば れ る 。 換 言 す れ ば 、 行 使 が 確 実 で あ る場 合 、 買 い 手 は 現 在 価 値Sに 対 す る 請 求 権 を もつ と同 時 に 、 行 使 価 格 の 現 在 価 値 に対 して債 務(obligation)を負 っ て い る こ と に な る。 B・S式 のN(d)が 両 方 と もに ゼ ロ に 近 い場 合 、 オ プ シ ョンが 行 使 さ れ る確 率 は ほ とん ど ゼ ロ で 、 式 か ら コ ー ル は 無 価 値 で あ る こ と に な る 。N(d)が ゼ ロ と1の 中 間 にあ る 場 合 、 コー ル の 価 値 は イ ン ・ザ ・マ ネ ー で 終 了 す る確 率 を調 整 した コー ル の 潜 在 的 な ペ イ オ フ の現 在 価 値 に な る 。 株 価 が 上 昇 す る とd1とd2は 増 大 す る 。 行 使 価 格 に比 べ て 株 価 が 高 け れ ば 高 い ほ ど、 将 来 行 使 され る確 率 は 高 くな る。 上 記 のB・S式(無 配 株 の ヨー ロ ピ ア ン ・コー ル)か ら、 オ プ シ ョン の 価 値 は 、 現 在 の株 価 、 行 使 価 格 、 満 期 、 ボ ラ テ ィ リテ ィ ー 、 リ ス ク ・フ リ ー 金 利 の 関 数 に な っ て い る 。 こ れ らの 変 数 (パ ラ メ ー タ ー と呼 ぶ)の オ プ シ ョ ン価 格 に与 え る影 響 を ま とめ てお こ う。 ① 現 在 の株 価:こ の効 果 は 明 らか で あ る。 コ ー ル ・オ プ シ ョ ンの 価 値 は 、 株 価 の 上 昇 と と も に高 くな る。 ② 行 使 価 格:行 使 価 格 が 下 が れ ば 、 コー ル の 価 値 は上 が る 。 な ぜ な らば 、 買 い 手 に と って オ プ シ ョ ンの 行 使 で利 益 を上 げ る幅 が 大 き くな る か らで あ る。 ③ 満 期:一 般 的 に は 、 満 期 が 長 い オ プ シ ョ ン の価 値 は 、 満 期 の 短 い オ プ シ ョン の価 値 よ り も高 い 。 これ は満 期 が 長 い ほ ど、 ボ ラ テ ィ リ テ ィー(不 確 実 性)が 高 くな る傾 向 に あ るか らで あ る。 ④ ボ ラ テ ィ リテ ィ ー:ボ ラ テ ィ リ テ ィー が 上 昇 す る と、株 価 は 乱 高 下 す る。 株 式 の保 有 者 に と っ て は こ れ ら は互 い に 相 殺 し合 う。 しか しコ ー ル の 保 有 者 に と って は そ うで は ない 。 コー ル の保 有 者 は 株 価 上 昇 か ら の 利 益 を 享 受 す る が 、 株 価 が 下 落 して も下 落 リス ク は 限 定 され る 。 と う い う の は オ プ シ ョン の 価 値 は ゼ ロ 以 下 に は な り得 な い か らで あ る 。 す な わ ち ボ ラ テ ィ リ テ ィー が 上 昇 す る と、 コー ル の 価 値 は 高 くな る。 オ プ シ ョ ン価 格 に最 も大 きな 影 響 を 与 え る の は ボ ラテ ィ リテ ィ ー で あ り、 これ を利用す るのが ボラテ ィリテ ィー ・トレーデ ィングで ある。 ⑤ リ ス ク ・フ リ ー の 金 利:オ プ シ ョ ン を評 価 す る 際 に は リ ス ク中 立 の 世 界 を想 定 す る こ とが で き る 。 リス ク ・フ リ ー 金 利 が上 昇 す る と株 価 の 増 加 率 は 上 昇 す る が 、 将 来 キ ャ ッ シ ュ ・フ ロ ー の 現

在 価 値 は減 少 す る 。 前 者 は コ ー ル の価 格 を上 昇 させ る が 、 後 者 は コー ル の価 格 を下 落 させ る 。 一 般 的 に前 者 の 効 果 は 後 者 を上 回 る か ら、'コー ル の 価 格 は リス ク ・フ リ ー金 利 の 上 昇 につ れ て高 く な る 。 44.オ プ シ ョ ン 価 格 の 簡 便 計 算 法 ブ ラ ッ ク ・シ ョー ル ズ 式 に よ る オ プ シ ョ ン価 格 を 導 く前 に 、 オ プ シ ョ ン価 格 と ヘ ッ ジ 比 率 の 簡 便 な 計 算 方 法 を説 明 し て お こ う 。 こ れ は あ ら か じめ 用 意 さ れ た 表 を 活 用 す る 。 こ の よ う な 表 は 証 券 会 社 な ど の オ プ シ ョ ン ・プ ロ ー カ ー が 提 供 し て い る_。 下 表 を 利 用 す る た め に 以 下 の4ス テ ッ プ を 踏 襲 す る: ① ス テ ッ プ1:株 価 め 比 率 的 変 化 の 標 準 偏 差 に オ プ シ ョ ン満 期 の 平 方 根 を 乗 じ る 。 こ れ は 下 表 の 列 (縦)に 示 さ れ て い る 。 た と え ばX社 の 株 価 の 標 準 偏 差 が40%で あ れ ば 、4年 満 期 の オ プ シ ョ ン に つ い て は 標;準偏 差 ×〉'一溝 期 ≡=.40× ∼厂4)=.80 と 計 算 さ れ る6 ② ス テ ッ プ2:オ プ シ ョ ン 行 使 価 格 の 現 在 価 値 に 対 す る 株 価 の 比 率 を 計 算 す る 。X社 の 現 在 の 株 価 が140、 行 使 価 格 が160、 金 利 が12.47%と す れ ば 株 価 ÷ 行 使 価 格 の 現 在 価 値=140÷160/(1.1247)4=1.4 と な る 。 こ れ は 表1の 行(横)に 示 さ れ て い る 。 ③ ス テ ッ プ3:こ こ で 表1を 利 用 す る 。 ス テ ッ プ1の 値r80と ス テ ッ プ2の 値=1.4か ら 、X社 の4 年 物 コ ー ル ・オ プ シ ョ ン の 価 格 は 株 価 の43.1%、 す な わ ち60.34(=140×.431)と 求 め ら れ る 。 同 一 満 期 の プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン の 価 格 は プ ッ ト ・コ ー ル ・パ リ テ ィ ー(後 述).か ら計 算 さ れ る 。 す な わ ち 、 プ ッ ト価 格=コ ー ル 価 格+行 使 価 格 の 現 在 価 値 一 株 価 か ら 、 フ.ッ トは20,34と な る 。. ④ ス テ ッ プ4:表2を 利 用 して オ プ シ ョ ン ・デ ル タ(ヘ ッ ジ 比 率)を 求 め る 。 ス テ ッ プ1と ス テ ッ フ.2の 値 か ら 、X社 の デ ル タ は.794で あ る 。 こ れ は 、 ス テ ッ プ3で 求 め ら れ た60.34の コ ー ル ・オ プ シ ョ ン を 買 う代 り に 、 株 式 の.794分 を111.16(=140×.794)で 買 い 、 そ の 差 額50.82(=111.16-60.34)は 借 り入 れ で 調 達 す れ ば よ い こ と を 意 味 し て い る 。 注 意 す べ き は 、.時間 の 経 過 と と も に 株 価 は 変 化 し 、 そ の 結 果 、 オ プ シ ョ ン の デ ル タ も変 化 す る と い う 点 で あ る 。 し た が っ て 、 借 り 入 れ に よ る 株 式 の ポ ジ シ ョ.ンは 時 間 の 経 過 と と も に 調 整 し な け れ ば な ら な い 。 こ れ は ダ イ ナ ミ ッ ク ・ ヘ ッ ジ ン グ と 呼 ば れ る 方 法 で あ る が 、 オ プ シ ョ ン の ヘ ッ ジ ン グ で は 最 も ポ ピ ュ ラ ー な も の で あ る 。 詳 細 に つ い て は 、 後 で 取 り上 げ るb プ ッ ト の オ プ シ ョ ン ・デ ル タ を 求 め る に は 、 単 に コ ー ル の オ プ シ ョ ン ・デ ル タ(表2)か ら1を 差 し引 け ば よ い: プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン ・デ ル タ=コ ー ル ・オ プ シ ョ ン ・デ ル タ ■1 = .794-1=一.206 す な わ ち 、20.34でX社 の プ ッ ト を 買 う 代 り に 、 株 式 の.206分 を 売 り 、 手 元 に あ る 現 金(= 20.34+.206×140)で 安 全 資 産(TB)に 投 資 す れ ば よ い 。

表1コ ー ル価 格(株 価 の%表 示) ス テ ッ プ2 1.351.401.45150 ス テ ツ プ 1 .70 .75 .80 .85 .95 41.843.144.445.6 表2コ ー ル の ヘ ッジ比 率(株 価 の%表 示) ス テ ッ フ。2 1.351.401.451.50 ス テ ツ フ。 1 .70 .75 .80 .85 .95 78.179.480.681.8、 45.連 続 複 利 い ま ま で に も プ ッ ト 、・コ ー ル ・パ リ テ ィ ー の 関 係 を 何 回 か 利 用 し た 。 次 回 は こ の 関 係 式 を 導 く が 、 そ の 前 に オ プ シ ョ ン や よ り複 雑 な 派 生 的 証 券 の 評 価 で 頻 繁 か つ 広 範 囲 に 使 わ れ る 「連 続 複 利 」 (continuouslycompoundingrate)を 説 明 し て お こ う 。 初 期 投 資 額Aが 年 率Rでn年 間 運 用 さ れ る と し よ う 。Rが 年1回 の 複 利 で あ れ ば 、 投 資 額Aの n年 後 の 期 末 価 値 は A'(1十R)n』 で あ り 、 年 当 りm回 の 複 利 な ら ば 、 投 資 の 期 末 価 値 は A(1十R/m)㎜ と な る 。 た と え ば 、 半 年 複 利 な ら ばn=10年 の 場 合 、m=2、mn=20;四 半 期 複 利 な ら ば 、 m=4、mn=40;月 次 複 利 な ら ば 、m=12、mn=120;週 複 利 な ら ば 、m=52、m n=520;等 々 で あ る 。 年 当 り複 利 の 回 数mが 増 大 す る に つ れ て 、 複 利 の 総 数mnも 増 加 す る 。m→ 。。と い う極 限 で は Rは 連 続 複 利 に な り 、(1'+R/m)㎜ 、は 以 下 の よ う に 書 く こ と が で き る: lim(1十R/m)㎜ m'→ob と こ ろ で lim(1十1/m)m=e m→oo で あ る か ら 、 血/R=uと 置 い て 、1+R/m=1+1/uか ら 1im(1十R/m)㎜ 〒lim{(1十1/u)u}㎞ m→oo ==eRn と な る。 す な わ ち、 連 続 複 利 に よ る投 資 額Aの 期 末 価 値 は Ae㎞ .であ る(e≒2.71828)。 実 務 的 に は 、』連 続 複 利 は 日々 の複 利 に相 当す る と考 え れ ば よ い 。 あ る投 資 額 の期 末 価 値 をn年 に わ た り連 続 複 利 の 率Rで 計 算 す る に は 、 この 投 資 額 にeや を乗 ず れ ば よ い し、 期 末 価 値 を連 続 複 利 の率Rで 現 在 価 値 に還 元 す る に は、e抽 を乗 ず る 。 て Rを 連 続 複 利 の 金 利 、Qを そ れ と 同 等 な 年m回 の(離 散 的 な)複 利 とす れ ば 、 次 式 が 成 立 す る:

Ae㎞=A(1+Q/m)㎜ す な わ ち eR=(1+Q/m)m こ れ は R=mlog(1+Q/m) Q=m(e跏 一1) を 意 味 す る 。logは 自 然 対 数 で あ る 。 上 の2式 は 、 複 利 の 回 数 が 年m回 の 金 利 を 連 続 複 利 の 金 利 に 変 換 し た り、 そ の 逆 の 変 換 に 利 用 さ れ る 。 例1:年 率10%、 半 年 複 利 の 金 利 を 考 え る 。 連 続 複 利 で は 2109(1十 〇.1/2)=0.09758 す な わ ち 、 年 率9.758%で あ る 。 例2:銀 行 ロ ー ン の 連 続 複 利 の 金 利 が 年 率8%で 、 実 際 の 金 利 は 四 半 期 毎 に 支 払 わ れ る と し よ う。 四 半 期 毎 の 複 利 で 同 等 の 金 利 は 4(eα02-1)=0.808 す な わ ち 、 年 率8.08%で あ る 。 こ れ は 、$1000の ロ ー ン に つ い て 、 毎 四 半 期$20.2 0(=$1000×0.0808÷4)の 支 払 い が 必 要 と さ れ る こ と を 意 味 し て い る 。 今 後 も 連 続 複 利 は し ば し ば 出 て く る か ら 、 し っ か り理 解 し て お か な け れ ば な ら な い 。 46.プ ッ ト ・コ ー ル ・パ リ テ ィ ー い ま ま で に も プ ッ ト ・コ ー ル ・パ リ テ ィ ー は 何 凰 か 出 て き た 。 こ れ は プ ッ ト と コ ー ル の 理 論 的 な 関 係 を示 す 式 で あ る 。 プ ッ ト ・コ ー ル ・パ リ テ ィ ー を 使 う と 、 一 定 の 行 使 価 格 と満 期 日 の(ヨ ー ロ ピ ア ン)プ ッ ト ・ オ プ シ ョ ン の 価 値 は 、 同 一 の 行 使 価 格 と 満 期 日 の(ヨ ー ロ ピ ア ン)コ ー ル ・オ プ シ ョ ン か ら演 繹 さ れ る 。 逆 に 、 プ ッ トの 価 値 か ら コ ー ル の 価 値 を 求 め る こ と も で き る 。 ま た ポ ー ト フ ォ リ オ ・イ ン シ ュ ア ラ ン ス を 構 築 す る 際 に も 利 用 さ れ る 。 さ て コ ー ル と プ ッ ト の 関 係 を 見 る た め に 、 以 下 の よ う な2種 類 の ポ ー ト フ ォ リ オ を 考 え よ う (い ず れ の オ プ シ ョ ン も 無 配 とす る): ポ ー トフ ォ リ オA=1コ ー ル ・オ プ シ ョ ン+T時 点 でXと い う価 値 を も つ 割 引 債 ポ ー ト フ ォ リ オB=1プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン+1株 オ プ シ ョ ン の 満 期 をT、 行 使 価 格 を&満 期 に お け る 株 価 をSTと す れ ば 、T時 点 に お け る ポ ー ト フ ォ リ オAの 価 値 は1コ ー ル ・オ プ シ ョ ン と 割 引 債 の 合 計 で あ る: max(,0,ST-X)十X=max(X,ST) 同 様 に 、 ポ ー ト フ ォ リ オBの 丁 時 点 に お け る 価 値 は1プ ッ ト ・オ フ.シ ョ ン と株 価 の 合 計 で あ る: max(X-ST,0)十ST=max(X,ST) す な わ ち 、 ポ ー トフ ォ リ オAもBもT時 点 に お い ・て 同 一 の 価 値 、max(X,ST)を も つ こ と が 分 か っ た 。 次 に 、 無 配 株 の コ ー ル ・オ プ シ ョ ン は 決 し て 満 期 前 に は 行 使 さ れ な い こ と を 示 そ う 。 新 し い ポ ー ト フ ォ リ オCを 考 え る: ポ ー ト フ ォ リ オC:1株

t時 点(t<T)に お け る 株 価 をSと す れ ば 、 ポ ー ト フ ォ リ オCのt時 点 の 価 値 はSで あ る 。 一 方 、t時 点 で コ ー ル ・オ プ シ ョ ン が 行 使 さ れ る と 、 ポ ー ト フ ォ リ オAの 価 値 は コ ー ル の 価 値(= S-X)と 割 引 債 の 価 値[=Xe一 「(T't)]の合 計 に な る 。 ゆ え に 、 リ ス ク ・フ リ ー の 金 利rが フ.ラ ス で あ る と す れ ば 、t時 点 のAの 価 値 はCよ り も小 さ い: ポ ー ト フ ォ リ オA=S-X十Xe寮t)<ポ ー ト フ ォ リ オC=S と こ ろ で オ プ シ ョ ン が 満 期Tま で 保 有 さ れ る と 、 ポ ー ト フ ォ リ オAの 価 値 はmax(X,ST)で あ っ た 。 ポ ー ト フ ォ リ オCの 価 値 はSTで あ る 。ST<Xと な る チ ャ ン ス は 常 に あ る か ら、T時 点 で はAの 価 値 はC以 上 で あ る: ポ ー トフ ォ リ オA≧ ポ ー ト フ ォ リ オC 以 上 か ら 次 の こ と が い え る 。 オ プ シ ョ ン が 満 期 前 に 行 使 さ れ る と 、 ポ ー ト フ ォ リ オAの 価 値 は ポ ー ト フ ォ リ オCよ り も 低 く、 ま た オ プ シ ョ ン の 保 有 者 が 行 使 を 満 期 ま で 延 ば す と 、』Aの 価 値 は 少 な く と もCと 同 等 で あ る 。 こ こ か ら 無 配 株 の コ ー ル ・オ プ シ ョ ン は 満 期 前 に は 行 使 さ れ な い と 結 論 で き る 。 し た が っ て 、 無 配 株 の ア メ リ カ ン ・コ ー ル は 同 一 株 式 の 対 応 す る ヨ ー ロ ピ ア ン ・ コ ー ル と 同 価 値 で あ る_。 た だ し 、 有 配 株 や プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン の 場 合 に は 、 満 期 前 の 行 使 が 最 適 に な る こ と も あ る 点 を 注 意 し て お こ う 。 ま た 無 配 株 の コ ー ル を 保 有 す る 投 資 家 が 将 来 、 株 価 が 下 落 す る と感 じ た ら 、 満 期 前 に 行 使 す る の で は な く 、 オ プ シ ョ ン を売 る べ き で あ る 。 さ て コ ー ル の 満 期 前 行 使 は な い こ と が 分 か っ た の で 、 ポ ー ト フ ォ リ オAとBに 戻 っ て 考 え る 。 AとBは 満 期 時 点Tで そ の 価 値 は 等 し い か ら 、 そ れ 以 前 の 時 点tで も等 し く な らな け れ ば な ら な い 。t時 点 の コ ー'ル価 値 をc(小 文 字)と す れ ば 、 ポ ー ト フ ォ リ オAの 価 値 はc+Xeイ(鋤 で あ る 。 t時 点 の プ ッ ト価 値 をp(小 文 字)と す れ ば 、 ポ ー ト フ ォ リ オBの 価 値 はp+Sで あ る 。 ゆ え に 次 式 が 成 立 す る: c十Xe畷 ㍗t)=P十S 換 言 す れ ば 、 コ ー ル 価 値 に 行 使 価 格 の 現 在 価 値 を 加 え た も の は 、 プ ッ ト価 値 と 株 価 を 加 え た も の に 等 し い 。 こ れ を プ ッ ト ・コ ー ル ・パ リ テ ィ ー と 呼 ぶ 。 問 題:行 使 価 格 が20、5ヵ 月 満 期 の 無 配 株 コ ー ル の 価 格 が1.5で あ る と す る 。 現 在 の 株 価 を19、 リ ス ク ・フ リ ー の 金 利 を 年10%と し て 、 同 一 の 行 使 価 格 と 満 期 の ヨ ー ロ ピ ア ン ・プ ッ トの 価 格 を 求 め よ 。(答:プ ッ ト ・・コ ー ル ・パ リ テ ィ ー か ら プ ッ トの 価 格 は1.68で あ る)。