mbb mb9 xb Fig. 1 Soil-Structure Interaction System.

【土 木 学 会 論 文 集 第374号/1-6 1986年10月 】

部 分 モ ー ドの総 合 法 に よ る地 盤 一

基 礎 一

上 部 構 造 物 系 の

三 次 元地 震応 答 解析 †

MODAL SYNTHESIS METHOD FOR THREE-D SEISMIC

SOIL-FOUNDATION-SUPERSTRUCTURE INTERACTION

竹 宮 宏 和*・ 魚 谷 広 太 郎**・ 福 井

智***

By Hirokazu TAKEMIYA, Kohtaro UOTANI and Satour FUKUI

In this paper the authors developed a new subsystem modes synthesis method as one of the dynamic substructure methods for the analysis of soil-foundation-superstructure for seismic motions. This method has an advantage over the impedance method in that each subsystem (namely, the soil-foundation system and the superstructure) is characterized by the respective vibration modes of appropriately fixed or free interface conditions and the release modes. The accuracy is investigated from the comparison with the impedance method analysis by taking a blast furnacee structure on a grouped piles foundation as an example. A remarkable reduction of computing time is observed for the response analy-sis of the integrated soil-foundation-superstructure system.

Keywords: dynamic soil-foundation-superstructure interaction, component modes esis, earthquake response, blast furnace

1. ま え が き 地 震 時 に お け る構 造 物 の 挙 動 は, 構 造 物 自 身 の振 動 特 性 の み で な く, そ れ が立 地 す る周 辺 地 盤 内 の地 震 波 の伝 播 に伴 う振 動 性 状 と密 接 な関 係 に あ る. 特 に, 最 近 の構 造 物 は長 大 化 ・大 型 化 して, 基 礎 構 造 が そ れ な りの規 模 を有 して き て お り, い わ ゆ る地 盤 と構 造 物 の動 的 相 互 作 用 は, 構 造 物 の耐 震 設 計 に考 慮 し な けれ ば な らな い重 要 な フ ァク タ ー と な っ て い る. 地 盤 と 構 造 物 の 動 的 相 互 作 用(Soil-Structure In-teraction, SSI)の 解 析 法 で は, 現 在, 地 盤 イ ン ピ ー ダ ン ス 法(lmpedance Method)が 主 流 を な し て い る が1), 同 手 法 は, 地 盤 の 複 素 剛性(イ ン ピー ダ ンス)を 評 価 し て構 造 物 の 基 礎 に配 置 し, これ と構 造 物 との 慣 性 連 成 振 動 解 析 を行 う もの で あ る. そ の 際, 地 盤 イ ン ピー ダ ンス が 一 般 に振 動 数 へ の 強 い依 存 性 を示 す こ とか ら, 応 答 解 析 法 に は フー リエ 変換 法 を用 い た時 刻 歴 応 答 解析 法 が 採 用 され る. しか し, 構 造 物 の 自 由度 が 大 きい と, 振 動 数 応 答 を求 め る た め の複 素 マ トリ ック ス の逆 マ トリ ッ クス 演 算 に か な りの時 間 を費 や す こ と に な る. 対 処 策 と して, 著 者 らの 開 発 した 耐 震 解 析 シ ス テ ムSUBSSIP-2 D2), SUBSSIP-A 3 D3)∼11)では, 上 部 構 造 物 に部 分 モ ー ド法 を導 入 した動 的 サ ブ ス トラ ク チ ャ法 を採 っ て い る. そ し て 応 答 解 析 の た め の 自由 度 の 縮 小 を合 理 的 に 図 っ て い る. しか し, 地 盤 と基 礎 の キ ネ マ チ ック な相 互作 用 を経 た基 礎 に 関 す る地 盤 イ ンピ ー ダ ンス お よ び有 効 地 震 入 力 動 を評 価 す る際 に, 地 盤 の有 限 要 素 領 域 に対 して部 分 消 去 法 を各 振 動 数 ご と に繰 り返 す た め, こ の演 算 過 程 に か な りの計 算 時 間 が 費 や され る こ と に な る. 本 研 究 で は, 地 盤 と構 造 物 の 相 互 作 用 系 に各 部 分 系 の 固有 モ ー ドの総 合 法12),13)(以 下, 部 分 モ ー ド法, Component Mode Method CMM)の 概 念 を適 用 して, 上 の欠 点 の 克 服 を 目指 した. そ の た め 全 体 系 を地 盤 一基 礎 系 と, 上 部 構 造 物 に一 時 的 にサ ブス トラ クチ ャ化 し, それ らの イ ン タ ー フ ェ イ ス にお い て, 前 者 で は 自由 境 界 に基 づ く固 有 モ ー ド展 開 を, 一 方, 後 者 で は拘 束 境 界 に 基 づ く固 有 モ ー ド 展 開 を採 用 して い る. そ して 上 下 部 構 造 系 の 固 有 モ ー ド の 総 合 に よ り全 体 系 の 支 配 方 程 式 を確 立 して い る. よ っ て 応 答 計 算 の 自 由 度 は, この 場 合, 両 部 分 系 の 固 有 モ ー ド数 の 総 和 とな る. な お, 著 者 ら は, 以 上 の 基 本 的概 念 を他 の 動 的 解析 問題 で す で に応 用 して きた14). 今 回 は, 上記 の 解析 法 を擬 似 三 次 元 耐 震 解析 シス テム SUBSSIP-A 3 Dに 追 加 導 入 し て, そ の 解 析 精 度 お よ † 本 内 容 は, 部 分 的 に文 献5), 7)お よ び土 木 学 会 全 国 大 会 年 次 学 術 講 演 会(1984, 1985)で 発 表 して い る. *正 会 員 工 博 岡 山大 学 教 授 工 学 部 土 木 工学 科 (〒700 岡山市津島中3-1-1) ** 正 会員 工 修 三井 造 船(株)プ ラ ン ト事 業 本 部 *** 正 会員 工修 大成 建 設(株)

び 効 率 の検 討 を イ ン ピ ー ダ ン ス法 との 比 較 にお いて 調 べ た の で, こ こ に報 告 す る. 2. 地 盤 と 基 礎 と 上 部 構 造 物 の 連 成 振 動 地 盤 と構 造 物 の 動 的 相 互 作 用 を有 限 要 素 法 で 定 式 化 す る に あ た り, 解 析 対 象 領 域 の 各 構 成 部 分 を明 示 す る添 字 を, Fig. 1の よ う に付 す. こ こ で, 8は 構 造 物 の 節 点, fは 基 礎 の節 点, bは 地 盤 と基 礎 の イ ン ター フ ェ イス 節 点 で, fの 一 部 と な っ て い る. 9は 地盤 内 節 点, た だ し 基 盤 面 の 節 点7は 除 く. 基 盤 面 入 力 に よる表 層 地 盤 の運 動 方 程 式 は, 基 礎 部 と の イ ン ター フ ェ イス も含 め て一 般 に mbb mb9 xb

+i

CbbCb9 xb mgbm99 xs CgbC99

x9)

κbbkb9 xb

Lgbkgg.

κg Pb mbT xg Cbr x7 jbγ

Pb1

mgf cgr j97 xr

(1)

そ して, 構 造 物 の そ れ は mssms. r xz

+1

CssCs1 xs mssmss xf CJsC. ft xf ks ksff xs 0 κf8 kff xs Py

(2)

式(1)と 式(2)を, イ ン ター フ ェ イ ス節 点 で の変 位 の 適 合 性 お よ び力 の つ り合 い を考慮 して加 え る と, 地 盤 一構 造 物 系(全 体 系)の 運 動 方 程式 が得 られ る. 1essmss

x31

mfs(mss+mbb)mb9

xf jgbmgg _I x9 + CcomPlete xs

+i

Kcomplete xs xf

xg1

xf xg

ollolloito

0-mfr xr-Cff xr-kfr xr Pgmg γeg γkgr xr

(3)

ただ し, 上式 では基盤面 での諸量 を右辺の外力項 に含 め

た. しか し, 同入 力 面 上 での 既 知量 は, 一 般 に加 速 度 成 分 の み と い う場 合 が多 いの で, 式(1)を 加速 度 入 力 に よ る運 動 方程 式 に書 き改 め る. その た め, 対 象系 の運 動 方 程 式 の 解 を, 基 盤 面 の強 制 変 位 に よ る準 静 的 な 応答 と, 慣 性 力 に よる 動 的 な応 答 の和 と と らえ る. つ ま り,

xs sx xsx1

xJ={xf}-}-{xs}

Xg xh

llx9

(4)

前 者 は, 式(3)の 静 的 縮 合 か ら

xs 18 kss ksf

of

{κf}=Ljf(f2+bb)Hf

x1

Lkgb kgg

xg7 =βcompleatexr

₍₅₎

と求 め られ, 式(4)を 式(3)に 代 入 す る と動 的 応 答 は次 式 の 解 とな る. Mcomplete

1xs

+i

Completep1 xs

{xf}

Jfi xg x9

+i

Kcompletete xs xf x9 Mcomplete βcomp1ete+ 0 mfγ1 mgr Xf Ccompiete βcoPlete+1

ioi

CJr Cgr xT

(s)

こ こ で, 質 量, 減 衰, お よび 剛性 マ トリ ック ス の 内容 は 式(3)の もの で, 全 体 解析 法 は, 式(6)を 直接 に解 くこ と で あ る. しか し, 地盤 部 分 の 自 由度 は相 当 の数 の う え, 構 造 物 の 自由 度 が さ らに加 わ る た め, 全 体 解 析 法 は得 策 と は いえ な い. そ して長 大 ・大 型 構 造 物 を対 象 と す る と, も はや 現在 の 大 型 コ ン ピュ ー タを も っ て して も 演 算 時 間, コス ト面 か ら大 き な制 約 が か か る。 こ の よ う な状 況 下 に 対処 す べ く開発 さ れ た手 法 が動 的 サ ブ ス トラ クチ ャ法 で あ る. 動 的サ ブ ス トラ ク チ ャ法 の 内 に も, 大 別 して, 2種 の ア プ ロ ー チ が あ る. 1つ は, 下 部 構 造 系(地 盤 あ る い は地 盤 基 礎 系)の イ ン ピ ー ダ ンス関 数 を, 上 部 構造 物 との イ ンタ ー フ ェ イ ス に 関 して ま ず評 価 し, 有 効 地震 入 力 動 の もと で 同 イ ン ピー ダ ン ス と上 部 構 造 物 の 慣性 連 成振 動 を解 く. こ の場 合 に も, 地 盤 と基 礎 の 一 体 系 あ る い は そ れ らの サ ブ ス トラ ク チ ャ化 で接 触 面 モ デ ル 法 あ る い は 接 触 体 モ デ ル 法 の バ リエ ー シ ョンが 採 れ る1). い ま, 1つ の解 析 手 法 と して, 式(6)の 解 法 に各 部 分 系 モ ー ドの 総 合 法12),13)を適 用 す る こ とが 考 え られ る. Fig. 1 Soil-Structure Interaction System.

部分 モー ドの総 合法による地盤 一基礎一上部構 造物系の三次元地震応答解析 533 つ ま り, 全 体 系 を 地 盤 一基 礎 系 と 上 部 構 造 物 系 と にサ ブ ス トラ クチ ャ化 し, 前 者 の イ ン ター フ ェ イ ス を 自 由境 界 と した固 有 モ ー ド法 と後 者 の そ れ を拘 束 境 界 と した 固有 モ ー ド法 を 採 っ て, そ れ ぞ れ の動 的 自 由 度 の 縮 小 化 を モ ー ド座 標 系 で行 い, 選 出 され た両 系 の 固 有 モ ー ド間 の 連 成 振 動 解 析 を実 施 す るの で あ る. し たが っ て, 後 者 の 解 析 法 は, Ritz法 の 一 種 と み な す こ とが で き る. そ の 定 式 化 の 概 念 を 地 盤 イ ン ピー ダ ン ス 法1)と の 対 比 で Fig. 2に 示 して お く. 3. 部 分 系 モ ー ドの 総 合 法 に よ る 解 析(部 分 モ ー ド法) [地盤 一基 礎 系] 式(1)の 解 を, 上 部 構 造 物 が 無 い, つ ま り外 力Pf =0の と き の基 盤 面 入 力 に よ る応 答 と, 上 部 構 造 物 と の 連 成 振 動 で生 じる応 答 に分 解 して考 え る. 前 者 に お い て は, 準 静 的 な応 答 と慣 性 力 に よ る動 的 応 答 が あ る. よ っ て

lXf, subIX)11xllx}1

κgxgf xgf xf1)

(7)

準静的 な応答 は, 多点入力系 としての定式化か ら,

Fxf

xfg}

=βsubx1

(8)

た だ し βsub肋は下 部構 造 系 の 変位 影 響 マ トリ ック ス で βsub= kff kfg kfr kgg khh kgr kf7 kgr

(9)

動的応答 は, 次式の解で与え られる.

MsUb xfg + C8sub xfg + Ksub

Fxf f xFxj 9 xfgFx9 xF9 0 P9 Msub βsub+ mJr mgr xT c8sub βsub+ Cfr

cgr1

xr

(10)

あ る い は hdhdh d

MSUbxSub+Csubx sub+KSUbx sub

Fcchx r-Gcmxr+Pa

(10)

こ こに, 質 量, 減 衰, お よ び剛 性 マ トリ ッ クスMsub, Csub, Msubは, 式(1)よ り明 らか で あ る. 外 力Pg は, 側 方 仮 想 境 界 上 に エ ネ ル ギ ー伝 達 境 界15)ある い は粘 性 境 界 要 素16)を配 置 す る こ と に よ っ て 現 わ れ る地 盤 振 動 に よ る作 用 力 で あ る. 一 方, 上 部 構 造 物 との慣 性 力 に よ る応 答 は, 次 式 で 支 配 され る. Msub Ef1 xf xg1

1+

Csub xf1

xg1

+ Mstn 1x fl xg1 Pf,sub 0 + 0 PR

(11)

こ こで 外 力項 の第2項 は, 基 礎 か らの放 射 波 に よ る作 用 力 で あ り, 側 方 境 界 要 素 マ トリ ッ ク スRよ り地 盤 節 点 gに 対 応 す る よ うに拡 大 して PR=一Rxg1 (12) と表 わ さ れ る. さて, 運 動 方 程 式(10)お よ び(11)を 解 く に あ た っ て, 対 象 領 域 の固 有 モ ー ド分 解 を実 施 す る. そ の と き の 変 位 の 固有 モ ー ド展 開 は, 式(10)の 応 答 に対 して は Fx f xg1 7F subQsub-φf 9 r4 sub

(13)

ま た, 式(11)の 応 答 に対 して は

Fig, 2 Substructuring for Soil-Structure Interaction System. (a) Complete System (b) Subsystem I

(Superstructure) (c) Subsystem II _{(Soil-Foundation)}

Due to External Forces (Inertial)

Due to Prescribed Base Motion

ixf

xq

=Φsubqsuyt

₍₁₄₎

と な る. こ こ で 固 有 モ ー ドマ トリ ック ス Φsubは, モ ー ド座 標 上 で

Φtsub Msub Φsub=Isub

(15.a)

subCsubsub-Csub

(15.b)

Φ§suin KsubΦsub=wsub1

(15.c)

た だ し, 減 衰 マ トリ ック スCsubは, 一 般 に は対 角 マ ト リ ッ クス に な らな い. 式(13), (14)を そ れ ぞ れ運 動 方 程 式(10), (11)に 代 入 し, さ らに 前 か ら Φsub肋の 転 置 を乗 じて, 式(15)を 考 慮 す る と

Isub qusb+Csub qusb +ωiqsubf

=-φ ζUbF2sub-subb+φ ζsubPg

₍₁₆₎

お よ び ISsub+Csub+ωisub=Φsubtn+ΦgtsubPr

(17)

が 得 られ る. こ こでbsy, gsubは そ れ ぞ れb, g節 点 に 対 応 した Φsubの成 分 を意 味 す る. [上部 構 造 物] つ ぎ に, 上 部 構 造 物 の運 動 方程 式 は, 下 部 構 造 系 と の イ ン ター フ ェ イス節 点 も含 め て式(2)で 与 え られ る. 上 部 構 造 物 は, 通 常, 軽 減衰 系 で あ る こ と が 多 く, そ の 応 答 性 状 に は完 全 固定 支持 状 態 で の 固有 モ ー ドが保 存 さ れ る傾 向 が強 い. これ を考 慮 して, 上 部 構 造 系 の応 答 を, 上 記 の拘 束 モ ー ド応 答 と基 礎 の応 答 自 由度 に伴 う準 静 的 応 答 の和 と して と らえ る. よっ て, 式(2)の 変 位 応 答 は xs xf, Sup (j/Q. f=Sup/"Sup 01 σ8 Js,fub

(18)

と 表 わ され る. こ こ に, Φsubは固 有 モ ー ドを定 義 し て お り, 式(2)の 質 量, 減衰, お よ び剛 性 マ トリ ック ス

Msubp, Csup, Ksupに関 しての正規 直交性

Φ ζsuρm88φ8uρ=Isup

(19.a)

Φ ζsuρcssΦsup=2ξ1ωzJ8uρ

(19.b)

Φ ζsuρkss8φuρ=ωiauρ

(19.c)

を満 た す も の とす る. た だ し ω1はl次 の 固有 振 動 数, 6は 同 モ ー ド減 衰 定 数 で あ る. 一 方, Buρ は変 位 影 響 マ トリ ック ス を定 義 し, 式(2)の 静 的 縮 合 か ら β8uρ=-k-ss Ksf (20) [上下 部 構 造 連 成 系] 上 部 構 造 物 と下 部 構 造 系 と の 連 成 振 動 を 図 る に 際 し て, 両 部 分 系 の イ ン タ ー フ ェ イ ス節 点 にお け る変 位 の 適 合 性 な ら び に断 面 力 の つ り合 い を採 る. これ ら は, そ れ ぞれ 次 式 で 与 え られ る. η8uρ=η=κf (21) Frsup+Pfsub=0 22 式(21)は, 式(7), (13), (14)を 考 慮 す る と Φsub(qsfub+σsub)+βsubXr=κf…

(23)

と な る. よ っ て, 式(7), (18)を 併 せ て l s, xt x Φ%ρ β, uρsun 0Φ8sun α8sotmvρ 9sub+9qsun + β3uρβfsub βssub x

(24)

と得 られ る. これ は地 盤 一構 造 物 系 の 運 動 方 程 式 が, 地 盤 一基 礎 系 の 固 有 モ ー ド応 答 と上 部 構 造 物 の 固有 モ ー ド 応 答 お よ びそ れ ぞ れ の境 界 節 点 の強 制 変 位 に対 す る変位 影 響 関 数 で も って 表 わ さ れ た こ と を 意 味 して い る. 式 (24)の 変位 変換 式 を全 体 系 の運 動 方 程 式(3)に 代入 し, 前 か ら同式 の第1変 換 マ トリ ック スの 転 置 を乗 じる と, そ の結 果 MpP Mpb qsub cpp Vpb qsubp

MBp Mbb Qsub Cbp Cabb qSUBLCBpCBB

+i

KPP kPB Qsub κBp 98ρ1

9sub1

1nP FmB 9FX fssub Fcp

Mcb1

EFxfsub 8b

Fk1

Flb}

sub Fxfsub8 + 0 φsubP

(25)

こ こ に

MPP- Isup

MPB=MBP= SUp

(m8fl+

m81) sub

MBB= Ysub sub mss Ns1p+mfs lsup+Nsup ms1

iCf+mff

_sub+Isub

CPP

- Zl Wl sup

TT

q

JC

PB- CBP

sup CssNsup Sub

eBB=Φbβ ζuρc88β, Φ ζ%b+φ ζ%b CJfCf9 C9. fC99 sub 2

KPP- NL1l sup

KPB=Kup=O

KBB- sub kfsPsup+kff)

sub+ Ili11J Sub

FmP

-

sup (m+

sfm

S5f5U5)

FmB- sub (Nsubmsf+/rsupmsSNsup+ mfsfSUP+ mff)

FOP-FPC-supCssPsup

jsu

_bPsupCssPsup

Fkp= 0

=sk+kFJgB

ub

(fffsPsup)

4. SUBSSIP-A 3 Dへ の イ ン プ リ メ ン テ ー ン ヨ ノ 前 節 で述 べ た部 分 モ ー ド法 に よる定 式 化 を, 第1著 者 ら の 開 発 に よ る 地 盤 一構 造 物 系 の 耐 震 解 析 シ ス テ ム SUBSSIP-A 3 Dに バ ー ジ ョ ン ・ア ツ プ の 形 で イ ン フ.

部分モー ドの総合法による地盤 一基礎一上部構造物系の三次元地震応答解析 535 リ メ ン トし た. SUBSSIP-A3Dは, 動 的 サ ブ ス トラ ク チ ャ法 を根 幹 と した擬 似 三 次元 有 限要 素 解 析 プ ロ グ ラ ム で あ る. そ の定 式化 につ い て の詳 細 は, 文 献3), 5), 7), 10), 11)に譲 り, こ こ で は, そ の 概 略 を 述 べ る に と ど め る. ま ず, 基 礎 と そ の周 辺 の 地 盤 を軸 対 称 モ デ ル 化 して, 応 答 を周 方 向 に フ ー リエ 級 数 展 開 して い る. この 下 部 構 造 領 域 を有 限要 素 法 か ら解 析 す る に際 して, 仮 想 有 限 境 界 と して, 地 盤 の側 方 半 無 限 遠 へ の 広 が りを考 慮 で き る た め の エ ネ ル ギ ー 伝 達 境 界 要 素15)ある い は そ の近 似 解 を 与 え る粘 性 境 界 要 素16)を導 入 して い る. 下 方 境 界 は, 剛 基 盤 面 あ る い は近 似 的 に半 無 限 基 盤 面 を仮 定 す る こと が で き る. そ して, 同 プ ロ グ ラ ム が扱 え る基 礎 形 式 は 剛 体 基 礎, 弾 性 基 礎, お よ び群 杭 基 礎 等 と 多彩 で あ る. 上 部 構 造 物 の解 析 は, 一 般 の 三 次 元 マ トリ ック ス解 析 か ら実 施 す る. な お上 下 部 構 造 系 の 連 成 振 動 を 直交 座 標 系 で 図 る た め, 下 部 構 造 系 の運 動 方 程 式 を 円筒 座 標 か ら これ に 変 換 して合 わ せ て い る. 地 震 波 は, 本 質 的 に は, 三 次 元 地 盤 の媒 体 内 の伝 播 仮 定 の う え に定 義 さ れ る も の で あ る が, 本 研 究 で は, 入 力 基 盤 面 上 で任 意 方 向か らの入 射 す る地 震 波 を 直交3成 分 に分 解 し, そ れ ぞ れ に対 す る応 答 を評 価 して線 形 重 ね 合 わ せ則 を適 用 して い る. つ ま り, まず 直交3方 向 の 入 力 に対 す る伝 達 関数 H(ω)= Hx(ω)Hxy(ω)Hxyω)1 Mx(ω)Hyuy(ω)ω) Mz(ω)(ω)」Hzzω)

(26)

を 求 め, こ れ に 選 定 した 地 震 波 の フー リエ 変 換F(ω) を乗 じて振 動 数 応 答 を求 め る. px(ω)1 Mxx(ω)Hxy(ω)Hxzω) R(ω)1 x(ω)1 Mxu(ω)Myy(ω)Hyz(ω) Fy(ω)

x: ω)

Ixc(ω)Jcu(ω)1Jzz(ω) Fz(ω)

(27)

この振 動 数応 答 を, さ らに逆 フ ー リエ変 換 して 時 刻 歴応 答 とす る. 5. 例 題 解 析 解析 対 象 構 造 物 と して, Fig. 3に 示 す 群 杭 基 礎 上 の大 型 高 炉2), 3)を取り上 げ た. そ の 立 地 地 盤 の物 性 な ら び に 杭 の 諸 元 をTables1, 2に そ れ ぞ れ 載 せ て お く. 地 盤 一 基 礎 系 の 解析 モ デ ル, ま た上 部 構 造 物 の そ れ をFig. 4に 示 す. ま ず, 下 部 構 造 系 の み を固 有 振 動 モ ー ド分 解 した と き の結 果, 低 次 の 固 有 振 動 数 につ いて はTable3に, ま た 基 盤 面 入 力 の 際 の 寄 与 率 の 高 い モ ー ド形 状 に つ い て は Fig. 5に 示 す. 後 者 よ り, n=0の 並 進 に 関 して 対 称, 回転 に関 して逆 対 称 の フ ー リエ 展 開 項 の 採 用 に よ り2次 モ ー ドに鉛 直 並 進, 5, 6次 モ ー ドに 半 径 方 向 へ の膨 張 収 縮 が 現 わ れ て い る(Fig. 5(a)). n=0の 並 進 に 関 し て逆 対 称, 回 転 に関 して 対 称 の フ ー リエ 展 開 項 の 採 用 で は1, 2次 に ね じれ が 現 わ れ て い る(Fig. 5(b)). そ し Fig. 3 Blast Furnace Structure

on Grouped Pile Foundation.

(a)Superstructure (GeneralView)

Fig. 4 FEM Model for Analysis. (b) Soil-Foundation System

Side View for n=2 Fourier Harmonic,

Concentric Pile Arrangement

(Plan View)

Table 1 Soil Properties.

てn=1の 並 進 に 関 して 対 称, 回転 に 関 し て逆 対 称 の フー リエ 展 開項 の 採 用 で は1, 2次 に 並 進 モ ー ドが現 わ れ て い る(Fig. 5(c)). こ れ. らの 下 部 構 造 系 の 固 有 モ ー ドと上 部構 造 物 の三 次 元 固有 モ ー ドを総 合 して 全 体 系 の 動 特 性, 応 答特 性 を把 握 す る. そ の際, 使 用 す る各 部 分 系 の 固 有 モ ー ドの選 択 は, 以 前 の下 部 構 造 系 の イ ン ピー ダ ン ス 法 か ら得 られ た 対 象 系 の振 動 数 応 答 関 数5),7)を参 考 に して, 下 部構 造 系 につ い て は そ れ ぞ れ の フ ー リエ 展 開 項 に お い て 最 初 の10モ ー ドを, 上 部 構 造 物 にお い て は最 初 の20モ ー ドを採 用 した. よっ て 動 的 解 析 の た め の 自 由 度 数 は都 合60と な る. 前 者 の モ ー ド採 用 次 数 か ら, 応 答 に 支 配 的 な4Hz以 下 の 振 動 数 領 域 は カバ ー さ Table 3 Natural Frequencies (Hz).

*: Pick up Modes NF. Natural Frequency(RR) CR.: Contribution Rio(R) for Base Input

Fig. 5 Modes Shapes of Soil-Foundation System. (a) n=0; Symmetric Translation, Antisymmetric Rotation

(b) n=0; Antisymmetric Translation, Symmetric Rotation (c) n=1; Symmetric Transiation, Antisymmetric Rotation

Fig, 6 Modes Shapes of Superstructure Affected by SSI. 1 ST MODE El CEHFREOUEHCY 0. 425 HZ 2 ND MODE El GENFREOUENCY 0. 433 HZ 3 RD MODE EIGENFREOUEHCY 0. 611 HZ 4 TM MODE El CEHFREOUENCY 0. 795 HZ 5 TH MODE El 0ENFREOUENCY 1. 010 HZ 6 TM MODE El GENFREOUEHCY 1. 045 HZ

部分モー ドの総合法による地盤 一基礎一上部構造物系の三次元地震応答解析 537 れ る. 以 上 の よ うに して総 合 され た全 体 系 は, 古 典 的 な意 味 で は 固有 モ ー ド分 解 で き な いが, 地 盤 との 連 成 に お け る 上 部 構 造 物 の 動 特 性 を 視 覚 的 に把 握 す る と い う こ と か ら, 固有 モ ー ド間 の連 成 効 果 を無 視 して 求 め た全 体 系 の 固有 モ ー ド形 状 をFig. 6に 示 す. 同 図 よ り, 全 体 系 の1 次, 2次 モ ー ドに そ れ ぞ れy方 向, x方 向 の 並 進 が現 わ れ, これ は地 盤 並 進 モ ー ドに大 き く支 配 され て上 部 構 造 物 は剛 体 的 に変 位 して い るの み で あ る. そ して 全 体 系 の 3次 モ ー ドに 上 部 構 造 物 の ね じれ モ ー ドが, 4次 モ ー ド にy方 向 の 曲 げ の1次 モ ー ドが, 5次 モ ー ドに下 部 構 造 系 の鉛 直1次 モ ー ドが, そ して6次 モ ー ドに上 部 構 造 物 のx方 向 の 曲 げ1次 モ ー ドが現 わ れ て い る. 次 に, 地 盤 との 連 成 を厳 密 に と らえ る ため, 基 盤 入 力 に対 す る振 動 数 応 答(伝 達 関 数)を 式(25)か ら求 め た. Rg. 7は, 対 象 構 造 物 の代 表 的 な 箇 所 につ い て の伝 達 関 数 で あ る. こ れ らの 応 答 性 状 か ら, 対 象 構 造 物 はx方 向 とy方 向 の 特 性 が か な り異 な り, ま た 入 力 方 向 に 対 して, そ れ に 直角 の方 向の 応 答 が少 な か らず 引 き起 こさ れ る と い う こと は, 前 図Fig. 6の 固有 モ ー ド図 と も併 せ て, 当 該 構 造 物 の三 次 元 応 答 解 析 が重 要 で あ る こ と を意 味 して い る. Fig. 7に は, 全 体 系 を 固 有 モ ー ド解 析 した 結 果(Complete Mode Separation(CMS))も 併 せ て 描 いて あ るが, 各 固 有 モ ー ド間 の 連成 効 果 が 強 い ため そ Fig. 7 Frequency Transmitting Functions (Transmitting Side Soil Boundary).

(a) X- Directional Input (b) y. Directional Input X-RESPONSE IMPEDANCE METHOD --COMPONENT MODE METHOD i -- COMPLETE MODE SEPARATION Y-RESPONSE IMPEDANCE METHOD -- COMPONENT MODE METI100 -- COMPLETE MODE SEPARATION IMPEDANCE METHOD -- COMPONENT MODE METHOD COMPLETE MODE SEPARATION X-RESPONSE Y-RESPONSE IMPEDANCE METHOD --- COMPONENT MODE METHOD COMPLETE MODE SEPARATION i IMPEDANCE METHOD -- COMPONENT MODE METHOD -- COMPLETE MODE SEPARATION X-RESPONSE Y-RESPONSE IMPEDANCE METHOD - COMPONENT MODE METHOD

i

COMPLETE

SEPARATION

MODE

- IMPEDANCE METHOD --- COMPONENT MODE METHOD COMPLETE MODE SEPARATION X-RESPONSE Y-RESPONSE IMPEDANCE METHOD -- COMPONENT MODE METHOD COMPLETE MOI)E SEPARATION

の 応 答 評 価 の精 度 は よ くな い.

本 論 文 で示 した部 分 モ ー ドの総 合 法 と従 来 の イ ン ピ ー ダ ン ス法 に よ る地 震 応 答 解 析 結 果 の比 較 をす る. 使 用 し た基 盤 面 入 力波 は, 解 析 対 象 構 造 物 の近 傍 で観 測 した川 奈 崎 沖 地 震(1978. 6)記 録 で, 最 大 加 速 度 は, 水 平x 方 向 に16gal, y方 向 に20gal, そ して鉛 直2方 向 に6 galで あ る. Fig. 8は, そ の と き の 時 刻 歴 応 答 の 計 算 値 の うち か ら代 表 的 な 場所 に つ い て 示 した もの で あ る. 両 応 答 を 比較 して, 周 期 的 に は 解析 法 の差 は み られ な い が, 各 ピー ク値 に お い て わ ず か の差 が み られ る. しか し, お お む ね 良好 な一 致 が 得 られ て い る. 計算 値 と観 測 値 と の 比 較 に つ い て は文 献4), 6), 8), 9)に お い て 示 し た. こ こ で は紙 面 の都 合上 省 く. 最後 に, 側 方 仮 想 境 界 の モ デ ル 化, 対 象 系 の解 析 手 法 の 観 点 か ら応 答 計 算 時 間 の 比 較 をTable4に 掲 げ て お く. 固有 値 解 析, 連 立 方 程式 解 法 の サ ブ ル ー チ ン に も よ る が, 本 論 文 で示 した部 分 モ ー ド法 は所 要CPUタ イム を短 縮 す る こ とが わ か る. 6. む す び) 本 研 究 で は, 著者 らは, 地 盤 と の動 的 相 互 作 用 に よる 構 造 物 の 地 震応 答解 析 に対 す る新 た な定 式 化 を部 分 モ ー ドの 総 合 法 か ら示 す と と もに, こ れ ま で開 発 して きて い る 地 盤 一基 礎 一上 部 構 造 物 系 の 耐 震 解 析 シ ス テ ム SUBSSIP-A3Dに イ ン プ リ メ ン トし た。 今 回, 採 用 し た解 析 法 は, 全 体 系 を地 盤 一基 礎 系 と上 部 構 造 物 に サ ブ ス トラク チ ャ化 し, 両 者 の イ ン タ ー フ ェ イ ス にお い て 前 者 で は 自 由境 界 下 の 固有 モ ー ド解 析 を, 一 方, 後 者 で は拘 束 境 界下 の 固有 モ ー ド解 析 を採 って い る. そ して各 部 分 の 固有 モ ー ドを工 学 的 な判 断 の も と に選 定 して抽 出 し, 連 成 系 を形 成 す る た め に それ ら を再 び総 合 して い る. 前 論 文6)で提 示 した イ ン ピー ダ ンス 法 は, 全 体 系 の 内 に お い て下 部 構 造 系 の 効 果 を物 理 的 に把 握 す る の に適 し Fig. 8 Acceleration Response Time Histories (Transmitting Side Soil Boundary).

(a) Furnace(Top) (b) Top Structure (Top)

IMPEDANCE METHOD-COMPONENT MODE METHOD

Table 4 CPU TIME Comparison.

注: 岡山大学総合情報処理センターACOS1000を 使用

部分モ ー ドの総合法 による地盤一基礎一上部構造物系 の三 次元地震応 答解析 539 て お り, 一 方, 今 回 の 部分 系 モ ー ドの総 合 法 は, 応 答 を 下 部構 造 系, 連成 系 と段 階 的 に評 価 で き る利 点 が あ る. 両 者 の 解 析 手 法 の特 徴 をTable5に ま と め て お くが, い ず れ の手 法 を 採 用 す る か の 決 め手 は, 上 記 の 内 容 に よ る と同 時 にCPUタ イ ム の 観 点 か ら も制 約 さ れ る. そ して イ ン ピー ダ ンス 法 の場 合 の下 部 構 造 イ ン ピー ダ ンス を評 価 す る た め の縮 合操 作 に要 す る 時 間 と, 部 分 モ ー ド法 の 下 部構 造 系 の 固 有 モ ー ド解 析 に 費 や す 時 間 との 間 の トレ イ ドオ フ にな る. な お, 本 研 究 の 遂 行 に 際 して, 日本 鋼 管(株)中 央 技 術 研 究 所 小 島 修 氏 か ら資 料 提 供 等 の協 力 を得 た こ と に 対 して感 謝 の 意 を表 す る. 参 考 文 献 1) 竹 宮: 地 盤 一基 礎 一上 部 構 造 物 系 の 地 震 応 答 解 析 一動 的 サ ブ ・ス ト ラ ク チ ャ ー 法 の 適 用, 土 と 基 礎, 29-9, pp. 27 ∼34, 1981. 9.

2) Takemiya, H. and Shimada, T.: Seismic Analysis of Multi-Span Continuous Girder Bridge with Emphasis on Soil-Foundation-Superstructure Interaction, Proc, of JSCE, Structural Eng. /Earthq. Eng., Vol. 1, No. 2, pp. 77-85, 0ct., 1984.

3) 竹 宮 ・正 木 ・小 島 ・二 宮: 動 的 サ ブ ス トラ ク チ ャ 法 に よ る 地 盤 一基 礎 一上 部 構 造 物 系 の 擬 似3次 元 地 震 応 答 解 析, 日 本 鋼 構 造 協 会, 第17回 マ ト リ ッ ク ス 解 析 法 に 関 す る シ

ン ポ ジ ウ ム 論 文 集, pp. 311∼316, 1983. 7.

4) Takemiya, H., Kojima, 0. and Ninomiya, A.: Seismic Analysis and Design of Huge Blast Furnaces, Procs.

8WCEE, San Francisco, Vol. 5, pp. 311-318, 1984. 5) Takemiya, H, and Uotani, K.: Pseudo-three

sional Seismic Analysis of ture System, Procs. of 5 th Eng. Mech. Div. ty Cof. ASCE, Larami, pp. 352-355, 1984. 8. 6) 竹 宮 ・魚 谷 ・福 井: 部 分 モ ー ド法 に よ る 地 盤 一基 礎 一上 部

構 造 物 系 の 擬 似3次 元 地 震 応 答 解 析, 第39回 土 木 学 会 年

次 学 術 講 演 会 講 演 概 要 集1-494, 1984.

7) Takemiya, H. and Uotani, K.: Pseudo。three sional Seismic Analysis of

ture System, Procs. Int. Conf. Num. Meth. nics, Nagoya, April, 1985.

8) Takemiya, H., Kojima, 0. and Ninomiya, A.: Seismic Analysis and Design of Huge Blast Furnaces, Procs, of

the 4 th Int. Conf, on Structural Safety and Reliability, pp. 1321-329, Kobe, 1985.

9) 竹 宮 ・福 井: 地 盤 一基 礎 一上 部 構 造 物 系 の3次 元 地 震 応 答 解 析 シ ス テ ムSUBSSIP-A 3 Dの 拡 張, 第40回 土 木 学 会 年 次 学 術 講 演 会 講 演 概 要 集1-389, 1985.

10) Takemiya, H.: Three-Dimensional Seismic Analysis for Soil-Foundation-Superstructure Based on Dynamic Substructure Method, Structural Eng. /Earthq. Eng., Proc. of JSCE, Vo1. 2, No. 1, pp. 163-173, April,

1985.

11) Takemiya, H.: Ring-Pile Analysis for A Grouped Pile Foundation Subjected to Base Motion, Structural g. JEarthq. Eng., Proc. of JSCE, Vol. 3, No. 1, pp. 195s-202s, April, 1986.

12) Kukreti, A. R. and Feng, C. C.: Dynamic ing for Alternative Subsystems, J. Eng. Mech. Div., ASCE, Vol. 104, No. EM 5, pp. 1113-1129, 0ct.,

1978.

13) Craig, R. R., Jr.:Structural Dynamics, An tion to Computer Methods, John Wiley & Sons, Chap. 19, 1981.

14) 竹 宮 ・魚 谷: 局 所 的 非 線 形 性 を 有 す る 多 径 間 連 続 高 架 橋 の 地 震 応 答 解 析, 土 木 学 会 論 文 報 告 集, 第338号, pp. 29-38, 1983. 10.

15) Kausel, E., Roesset, J. M. and Waas, G.: Dynamic Analysis of Footings on Layered Media, J. Eng. Mech. Div., ASCE, Vo1. 101, Nol. EM 5, pp. 679-693, 1975. 16) Lysmer, J. and Kuhlemeyer, R. L.: Finite Dynamic

Model for Infinite Media, J. Eng. Mech. Div., ASCE, Vol. 95, No. EM 4, pp. 859-877, 1969.