Hellinger-Reissnerの原理に基礎をおく直接剛性法による単独耐震壁の弾性解析法

【論　 文】 UDC ：624

．

042

．

7 ；69

．

022 日本 建築 学 会構 造 系 論 文 報 告集 第 390 号

・

昭和 63 年 8月

HellingerlReiss

_，

rier

の

_原

_理

に

基

_礎

を お く

直

接 剛性 法

に よ る

　　　　　　単

独

耐 震

壁

の

_弾性解

_析

_法

正 会 員 正 会 員 正 会 員 正 会 員

末

花

竹

白

岡

井

尾

浜

禎

正

勝

敏

佑

＊

実

＊ ＊

哉

＊紳

行

＊ ＊＊ ＊ 　

1

，

は じめに

　

付 帯ラ

ー

メ ンを有 する

_擘

の弾 性 解 析はこれ まで多くの 研 究 者が手がけ て き た問 題であるが

，

い ま だに信 頼の お ける簡 便 な

_解

析 法は見い だされ_ていなv_）

。

　 壁 を平 面 応 力 状 態の弾 性 体 とみなし て行っ た付 帯ラ

ー

メ ン を有する耐震壁の解 析 法に関 する研究と して は_， フ

ー

リェ 級数 を使用す る

一

層の単 独 耐

震

壁 （以 後_， 単独 耐 震 壁 とい うことにす る

。

）につ い て の坪 井の解 析 的 研 究， 12 坪 井の方 法 を 発 展させ るとともに運 層 耐 震 壁へ の 応 用 を 試み た富 井の解 析 的 研 究， の

秒

η 鋤 置 換 ト ラス法 を使 用し た単 独 耐 震 壁お よ び連 層 耐 震 壁につ い て の岩 下 の数 値 解 析 的研究， 1）

−

3｝ 変分原理を 使用 し， 柱お よびは り にっ いても壁と同様二_次元の_平面応 力問題と み な し て 変位法

，

応 力 法に よ る解析法の定 式化 を行っ た大 越の数 値 解 析法に関す る 研究5｝_等1ω_{が あ る が} ， フ

ー

リェ 級 数 を 使 用す る解 析 法 （以 後

，

フ

ー

リェ 級 数 解析 法とい うこと に す る。）におい て は

，

式の煩 雑さの問 題が あり

，

数値 解 析 的 解 析法におい ては

，

精 度を確 保す る た め に 必要と な る未 知パ ラ メ

ー

タの増 大に伴う経 済 性の 問題が あ る た め

，

これら の解析法をそ のま まの形で耐震 壁を有す る構 造 物の解 析に適用す るこ とに は 無 理 が あ る よ う に 思 わ れ る

．

　耐震 壁を有する_実際の_{構 造物}を解析す る た めには

，

従 来の解 析法に比べ て未 知パ ラメ

ー

タ の少ない よ り簡 便な 解 析 法が必 要に な る。

　

本 論 文は

，

壁

，

柱お よ び はりが平 面応力

_抹

態にあ る も の と_レて

，

応 力関数 を 用い た Hellinger

−

Reissnerの 原 理 に基 礎を お く直接剛 性 法に よ る解析法 （以後， 本解析法 とい うことにす る

。

）を提 案し， その概 要 を説明 する と と もに解 析 法の有 効 性を示すために行っ た単 独 耐 震 壁に 本 報 告の

一

部を

，

昭和 61 年 3月の 中 国 支 部 研 究 発表 会お よび同 年 8月の 日本 建築 学 会の大 会に_おい て報告し た

。

11 ） 　 　 寧 _{長 崎 大 学 　 教 授}

・

_{工 博} 　 ＊ ＊ _{広島大 学 　教 授}

・

_工博 　 ＊＃ 鈴木 自動車株式会社 　＊ ＊ ＃ _{長崎 大 学 　技 官} 　 　 　〔昭 和63年1月8日 原稿 受理1 つ いて の解析結果を報告す る も のであ る。 　本解析法で は

，

壁

，

柱お よびは り を そ れ ぞ れ

一

つ の要 素と み な し

，

各 要 素の応 力 は微小要 素の力の つ り合い _条 件式を満足 す る よ う に応力 関 数に よっ て表示さ れ

，

変位 は_{各要 素}の_境界におい て_{幾何学 的条件式}を満足す る適 合 変 位に よっ て表 示さ れてお り

，

各 要 素の応 力 と変位 は す べ て 同 種 類の基 底 関 数に よっ て近 似さ れて い る

。

し た がっ て

，

本 解 析 法に よっ て単独耐震 壁の解析を行う な ら ば

，

解析に使用 さ れ る 壁

，

柱お よびは り各 要素の剛 性マ トリッ クスの次 数が最小ボ テンシャルエ ネルギ

ー

の原 理 に基 礎を お く従 来の _解析法におい て_使用さ れ る剛 性マ ト リック ス の次 数に比べ て小さ く な る ば か りでな く

，

解 析 結 果の精 度 も向上すること が期待さ れ る。 ま た， 壁の応 力お よ び変 位の近 似に使 用さ れて い る基底 関 数が

，

柱お よ びは り の変 位お よ び

_庵

力の近 似に使 用さ れて いる基 底 関 数 と 同種 類の関 数で あること は

，

壁と柱お よ び は り の 接 合 面に おける連 続 条 件を満 足しや す くし て いる。 　 2

．

付帯ラ

ー

メ ン を有 する単 独 耐 震壁 の要 素 分割 　図

一

1は

，

柱とは り の接 合 部の重心の位 置につ り合い 条 件 式 （1）お よび （2 ）を満足 する 自己つ り合い状 態 にある力およびモ

ー

メ ン ト （以 後

，

自己つ _り合い力 とい うことに する。）が作 用 する単 独 耐 震 壁を示し た もので ある

。

　 　 　

、

丁 ＋

_・

†

_・

→

・

†

⊥

凵

■

　　　　　　　

Ψ

1  

_鬮

_匸

・

・

噛

　

 

　L

一  

鬮

1

色

　

  7

■

一 　

．

  』  

閲

1

：

H

‘

 

_岡

　

　

’

．

剛

’

　 　　　  　 　　　

隔

’

 

_繭

_層

v卩

　　　　　　　

四

ト

恥

　　

匹

・

← 　　　　　

“

邑

　　　　十 　　　　　

一

　　　　　→

山

十

囗

・

→

：

：：

_：

1

：

_：

： 図

一

1 柱と は りの接 合 部 に 自 己つ り 合い 状 態にある力およ び 　 　 　モ

ー

メン トが作 用する単 独 耐 震 壁

一 70 一

　 　 　

H

，十

H

，十

H3

十

H4

＝

0

　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　

…………一 ・

…・

一

（

1

） 　 　 　Vi十脇十 脇十

V

，

＝0

　　 　（H、十H2Xbo十

b2

＞

一

（H，十H‘

Xbo

十

b‘

） 　　 　 　

一

（V，十 V4）（αo十α1）十（

V2

十

V3

）｛αo 十a3） 　　 　 　十M，十

M

，十

Ms

十

M4 ＝0……・

・

・

・

・

……・

・

…・

（2） 　式 （1）は力のつ り_合い_条件式であ り

，

式 （2）は壁 の重 心に関 するモ

ー

メ ン トの つ り合い 条件式で ある

。

図

一

_{1に おける壁}

_，

_柱

_，

_{は りお よびは り と柱の接 合部}の 各 要 素に要 素 番 号O

〜

8を付し

，

各要素の重心の位 置 を原 点 とし局 所 座 標 系x；

，

yt （

i

＝ 0

−

4）を設定する

。

な お， 本 論 文で は柱と は りの接合部 （

i＝5〜8

）の剛性は高い もの と み な し

，

剛体と仮定す る。 し た がっ て

，

柱とは り の接 合 部 （

i＝

5

〜8

）に は局 所 座 標系Xt

、

　yt （

i

＝ 5

−

8 ） の設 定は行わ ない ことにす る

．

　図

一

1の ご と く壁

，

柱お よびは り各 要素の 水 平 方 向の 寸法を

2

α‘

，

鉛直方 向の寸 法を 2b‘と し， 厚さ を

t

‘ （

i

＝O− 4

）と す る。 （以 後， 水平方 向の寸法

2

α‘， 鉛直方 向の _寸法 2b，をそ れ ぞ れ幅 2α‘

，

高さ2b ‘とい うこと にする。） 　

3．

境界条件式お よび連続条件 式 　図

一 1

に示す柱と は りの接合部の重心の 位_置に自己つ り合い力が作 用す る単 独 耐 震 壁の_{解 析}を行う際に必要と な る境界条件式お よ び連続 条件式は次の と お りで あ る

。

　 3

−

1

．

力 学的境界条 件式 　 柱 （

i

＝

1

_＞の_{外 側 表 面}に お け る_{力 学 的 境 界 条 件 式}は

，

式 （

3

）の よ う に表さ れ る

。

　 　 　 σコe

、

lx

、

．

α1＝ 0 　 　 　 　

…一 ……・

……・

………一 一

（

3

） 　 　 　 τ”x1

；

ai

＝

0 　ほ かの柱 （

i＝

3）お よ び は り （

i＝

2

，

4 ）の外 側 表 面 にお ける力学的境界 条件式につ い て も式 （3 ）と同様な 表 示が可 能で あ る。 　

3−2．

剛 体変位お よ び剛 体 回 転を規 制 する た めの条 件 　 変位を決定す る た めに は剛 体と して の変位お よ び回 転 を規 制す る必 要が あ る が

，

本 報 告で は文 献7にならっ て 式 （

4

）お よ び式 （

5

）に示す条件を使 用す ることにす る。

　　　

u・

1

鋼

＝O

　 　 　

v・

1

騫：：

＝0… ””

（

4

） 　 　 　 ∂u。 　 　 　 ∂Vo

　　　　　　　

∂π。

1

蠍

鼎

₀

’

… ’

_（5）

　　　

∂_y。

1

職

＝

° ま た は 　式 （4 ）は剛 体とし て の変 位を規 制する ための_条件式 であり， 式 （5）は剛 体 として の回 転 を規 制する た めの 条 件 式である

。

　 3

−

3

．

連 続 条 件 式 　 壁

，

柱お よ び は り が平 面 応 力 状 態に あ るもの と す る と

，

壁 （

i＝0

）と柱 （

i＝1

）の接 合 面にお け る幾何学 的連続 条 件 式お よ び力学 的 連 続 条 件 式は_，式 （6）お よび式 （7） の ように表される。 　 　 　UOLXo

＝

OP； Ullxl

＝

−

_al 　 　 　

・

…

　

−t・

・

・

・

・

…

　

9・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

（6） 　 　 　Vosxe

＝

αo

；

Vl］X

、

＝

−

al 　 　 　ax_。1

＝

e

．

tht 。

＝

・

・OXII＝

、

一

．

qti 　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　

・

・

・

・

・

・

…

　

鹽

鹽

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

7

） 　 　 　τb胙 ”t。

＝

τ且1エ1

．

．

α1君L 　壁 （

i＝

0）と ほ か の柱 （

F3

）お よびは り （i

＝

2

，

4） の接 合 面に お け る幾 何学的 連 続 条 件 式および力 学 的 連 続 条 件 式につ い て も式 （

6

）お よび式 （7 ）と同 様な表 示 が 可 能である。 　柱お よ びは り の端 部と接合部 （

i

＝

5

）の接 合 面におけ る連続条 件 式は_， 接 合 部を剛体と仮定して い る ため幾 何 学的 境 界 条 件 式と して式 （

8a

）

，

式 （

8b

）の よ う に表さ れ る

。

∂uI ∂コ

a

）。

、

。

、1 ＝＝o ∂Vt

毎

1

鋤

．

の ； o 　 　 　 　 　∂u2 ∂ v_、

再

』

．

，、＋∂x、

1

． 、

．

、

，

；

_O （a _） （

b

）

………

_{（8 ）} 　式 （8a）は柱および は り の端 部に お け る材 軸に直 角 方 向の ひずみに関 する条 件 式であ り

，

式 （

8b

）は接合 部 を 剛体と仮 定し た ことによ る柱お よ び は りの端部断 面 の 直角 条 件 式である。 　ほ か の 接 合 部 （

i；

6

〜

8）と柱お よ び は り の端部の接 合 面に おける連 続 条 件 式につ い て も式 （8a ）

，

式 （

8b

） と 同 様な表 示 が 可 能である。 　3

−

4

．

外 力と内 力のつ り合い条 件 式 　本 報 告で は

，

壁

，

柱お よ びは りは平 面応力状態にあ る もの と仮 定し ている た め

，

図

一

2を参 照 すると

，

柱と は りの接 合 部

Ci

＝

5）の重 心の位 置に作 用 する外 力と柱お よび は りの端 部に生じ る応 力と のつ り合い条 件 式は

，

_式 （

9

）の よ うに表さ れ る

。

∫

騒

… ・t・

dy

・＋

∫

：

：

Tllyi

−

b

・

t

・

d

・・

− H

・

∫

：

：

Tii_{・ 、}

−

a

，

　

t・

dYz

＋

∫

i

：

c・・

，

1y

，

一

・

，

・t，・

d

・，一・

v

，

∫

：

嘱 1− ・麟 …

∫

験

一

・轟

一

∫

2

％ 一 言・x，

d

・，

− b

・

∫

：

：

tl・y，

一

・，　tld・， 　

＝

ル

fl・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…守

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

…

　

一・

・

一・

（9） 畿

乾

』

ユ

o

吐

圉

TW

簡 　

冥

　 　 払 　

_゜

圈

τ

酬 丁 唾 L

_ー

隔

亠 　 tJls

／

・

・

b

，

t

コ

　 上

〜

、

．

．

、

、

、

1

1

圍

ご ・・

l

　 L

‘

，

．

4L

儒

．

→ x

』

・

、

』

噛

　o

罵

幽

隅

國

・

　 　 　

゜

ylr

　

−．

hし

／

t

　　　 上

．

脳

．

図

_圜

　 　 」

圃

．

十

・

．

→ 図

一

2　柱と は りの接 合 部に作 用する外 力と内 力

　ほ か の接合部 （‘

＝6− 8

）の重心の位 置に作 用する外 力と柱お よ び は りの _{端 部}に生 じる応 力のつ り合い条 件 式 につ いて も式 （9 ＞と同 様な表 示が可 能で ある。 　

4．

応 力関数に よ る応 力の表 示 　 未知パ ラ メ

ー

タの数を少な く すると ともに解 析 結 果の 精度を確保 する ために

，

壁

，

柱およびはり各 要 素の応 力 を応力 関 数

F

， （Xt

，

　g∂ （‘

≡

0

〜

4〕（以 後

，

　

F

‘と書 くこと にする。）に よ っ て式 （10）の よ うに表すこ と にする

。

　 　 ∂eFi σ・・尸 毎 　　∂2Ft σ”

＝

∂。

1

　 　 　 ∂2凡 Tt

＝一

∂Xt ∂_yi

…・

…………・

…………・

……

_{（10 ）} 　こ こ に_， axt， σy ‘

．

お よび rtは要 素

i

に おけるXt軸 方 向

，

Yi軸 方 向の垂 直応 力度お よ び せ ん断 応 力 度である

。

　5

．

変 位の_近似 　単 独 耐 震 壁の壁， 柱お よ び は り の変位は各 要 素ご とに 多項 式で近 似す ることにす る が

，

各 要 素の変 位 を近 似す る ために_使用する_{基 底 関数}を選 定 する際に本 報 告で採 用 す る規 準は次の と お り である

。

　5

−

1

．

柱 およびは り 　柱お よ びは りの_変位は_{， 各材}と も， 材軸に直角方 向に は材 軸に直角 方 向の座標につ いての

1

次 式で近似し， 材 軸 方 向に は_， 材 軸 方 向の座 標につ いて

，

最 低 3次 式で近 似す る が

，

解析 結果の_{精 度}を さ らに_良く す る必要が あ る 場 合に は， 基底関数の項 数を増や す た め に材軸 方 向の座 標につ いて のみ5 乗

，

7 乗と累乗の _{最 高}値を そ れ ぞ れ 2 つ つ _増すこ と に す る。 　

5−2．

壁 　壁の_変位は

，

壁と柱お よ び は りの接合面に お け る変位 の_{連 続 条件}を考慮し て 壁の_{周 辺}にお け る変位が そ れ ぞ れ 柱お よびは りの内 側 表面に お け る材 軸方 向の_変位お よ び 材 軸に直 角 方 向の変 位 と

一

致す る よ うに

，

水平方 向の座 標お よ び鉛直方向の座標につ いてそれ ぞれ_{最低 3 次式}で 近 似す る が， 解析結果の精度 を確 保す る た め に基 底 関数 の項 数 を増す必 要 が ある場 合に は_， 柱お よ びは りの材 軸 方向の座標につ い ての_累乗に_合わ せ て

，

水平方向お よ び 鉛 直 方 向の座 標につ いて 5乗， 7乗と累 乗の最 高 値を そ れぞれ2つつ 増 すことに よっ て

，

基 底 関 数の項 数 を増す こ とにする

。

　 図

一

3は

，

壁

，

柱お よ び はり各 要 索の_{変 位}を近 似 する 際に使用 す る基 底 関 数の内

，

最低 次の_{関 数}を示 し た もの である

。

壁

，

柱お よ びは りの変 位は

，

これ らの基 底関 数 を 使 用す る多 項 式に よっ て近似さ れ るが

．

壁 と柱お よび は りの接 合面 に お け る変 位の連 続条件を考慮す る な ら ば

，

各 要素の変 位の 表 示に 含ま れ る未 定 係数は各 要 素の 周 辺に おける

一

般 化 変 位と関 係づ けて お く の が便 利であ

一

₇₂

一

　 　 　 1 　 　 X　 　Y 　 xl　KY　　Y2 X

｝

xZy X

　

Y

！

　Y

，

xコ_{T　 x}

：

_yS　xY3 　 ×3yZ 　xiva 　 　 x

ヨ

YS 　 　 （_{壁　 ｝} 　 1x 　　Yx 　Y 　 　Y 　 I　Y2　Yt 　 　 x 　Y

！

　 〔　 柱　 ） 　 　 　 l 　 　 x　 　Y 　 xl 　 x 　Yx3 　xtyx

ヨ

Y 〔　 は り　 ⊃ 図

一

3　壁

，

柱

．

は り の変位の近似に使 用さ れる基底 関 数

。

る

。

　壁

，

柱お よ びは りの周辺にお け る

一

般 化 変位の選定に はある程 度の 自 由 度 が あるが

，

本 論 文で は

，

一

般 化 変 位 と して各 要 素の四隅の点 （以 後， 隅角 点とい うこと に す る

。

）にお け る変 位お よび変 位の微分係 数よ り求め ら れ る

一

般 化 変 位 を使 用する ことにする

。

各 要 素の隅 角 点に お ける

一

般 化 変 位を未 知パ ラメ

ー

タに選定す る と

，

各 要 素の変位は式 （ll）の よ うに表さ れ る

。

　 　　Ut　

＝

＝

　ufmnf 　

YiC

　

9

_？it 　 　 　

……・

…・

………・

・

………

（11） 　 　　”‘

；

か鍮π∫致

8

寡 　こ こ に

，

／殊

，g

致 （i

＝

O

−

4）は ラグランジュ 型の関 数 で ある。 包翫， 鵡 。 は各 要素の隅角点にお け る微 分 係 数 と幅2α‘の 1／2また は高 さ2b‘の 1／

2

との積と して 式 （ユ2）およ び式 （13）に よって定義さ れ る各 要 素の 隅 角 点に お ける

一

般 化 変位で ある

。

κ儀

＝

1

−

4_）は壁

，

柱お よ び はり各 要 素の隅 角 点の番 号で あ り

，

各要素の右上の 隅 角点を 1とし て反 時 計回 りに番号 付 け を行うこ とにす る。 な お

，

式 （11）に は 瓦 m ， n につ い て の総 和 規 約 が使 用さ れて いるもの とす る

。

　 　　 1　　　　 ∂ m＋nUt u娜 ＝ α『δ野 ∂コじ野∂y

列

欟 晦 一 _・

r

_わ野

路識

1

毳

、_誰 磁

一

・

r

・

蓄

識

1

、，，，_、 u：

一一

・

7

う

嗤 識

1

渦 　 　 　 ∂配 ＋ η ”‘ v｝・ ・

唱

α欝 _翫

7

∂

副

欟 vl−

一

・野δ

嚇

識

_臨 ・ ・

1

−

一

・欝

繙

；

擬

_、，農 vtmn

−

・野

媛説

 

臓

………・

…・

…・

_{（12 ＞}

……・

…・

…・

…

_（13） こ こ に

，

m

，

　 n は Xi

，

　 _yiにつ いて の微分 回 数であ る が

，

m

＝

n

＝

Oは非 微 分 項を示す もの と す る

。

　

6．

応 力関 数の近 似 　単独耐震 壁の壁

，

柱 お よ びは りの応 力 関 数は変 位と同 様に各要素ご とに 多項 式で近 似するが， 各 要 素の応 力 関 数の 近似に_使用 する基 底関数を選 定す る際に本 論 文で採 用し た規 準は次の と おり である。 　6

−

1

．

柱お よ びは り 　柱およ びは り の応 力 関 数は_， 材 軸に直 角 方 向には材軸 に直 角 方 向の座 標につ い て の 3次 式で近 似し

，

材 軸方向 には

，

材 軸に 直 角 方 向の座 標につ い て の累乗 p （0≦ ρ ≦3 ）と材 軸 方 向の座 標につ い て の累 乗

q

の和

p

＋

q

が

6

以 下にな る よ う な関 数 を用い て近 似 する が

，

解 析 結 果 の精 度を確 保する ために基 底 関 数の項 数を増や す必 要が ある場 合に は_， 材 軸に直 角 方 向の座 標につ い て の累 乗の 最高値は その ま ま とし， 材 軸 方 向の座 標につい て のみ増 や し， 累乗の和p＋q の最 高 値が 8

，

10

，

と な る よ う に 累乗の最 高 値 を2つつ増すことに よっ て基 底 関 数の項 数 を 増し てい くことにする

。

　6

−

2

．

壁 　壁の応 力 関 数は_， 壁と柱お よびは り の接 合 面にお け る 力 学 的 連 続 条 件 を考 慮して

，

壁の周 辺における応 力の近 似に使用 され て い る基 底 関 数がそ れ ぞ れ柱お よ びは り の 内側表 面に おける応 力の近 似に使 用さ れて い る基 底 関 数 と

一

致す る よ うに_， 水 平 方 向の座 標につい て の累 乗 r （0 ≦ r ≦6）と鉛 直 方 向の座 標につ い て の累 乗 s の和 r ＋ 8 が 6以 下に な るような完 全6次の関 数を用い て近 似す るが， 解 析 結 果の精 度 を 確 保 するために基 底 関 数の項 数 を増す 必要が あ る場 合に は

，

柱お よびは り の材 軸 方向の 座 標につ い て の累 乗に合わ せ て鉛 直 方 向および水 平 方 向 の座 標につ い て の累 乗の和 r＋ s の最 高 値 を8

，

10と

2

つつ 増すこ と によっ て基 底 関 数の項 数 を増し て い く こと にする

。

　 図

一

4は

，

壁

，

柱お よ び はり各 要 素の応 力 関 数を 近似 する際に使 用する基 底 関 数の 内

，

最 低 次の関 数を示し た もの である

。

応 力 関 数は

、

これ等の基底関 数を使 用す る 　 　 　 1 　 　 　 X　　 Y 　 　 　 　 xZ　X　Y　　YZ 　 　 　 x

」

　x2Y 　　X　Y

霊

　Y

ヨ

　 　 x

貼

　x

｝

Y　xZY

ユ

　XY

訓

　Y

頃

　 x

・

x・Y 　冗

・

ゼ x2ゾ XY

辱

Y

’

x・ x

・

Y 　X

・

Y2　 x

｝

YS　XZY

』

XY

°

YS 　 　 1 　 　 X　 　Y 　 xp 　 X 　Y 　 　 Y

：

xヨxZY 　　X　YZ　Ys X

ヨ

Y　　X

！

YZ　KY

園

　YL 　 xiY2 　x

コ

Y

亊

　XY4 　Ys 　 　 X

ヨ

Y

ヨ

　XIY4 　 ×　1

’

s_Yb 〔　 壁 　 ） 　 　 　 1 　 　 　 x 　　Y 　 　 　 　 XZ　KY 　　Yl 　 　 　 x ヨX

」

Y　　xYn 　 vs

　 　 其

辱

xiY　 　KIY2　XYl 　 I5　掛Y　　X3YZ　X2Y

コ

Xe　XsY 　　X4Y2　1

ヨ

Y

ヨ

　 　 　 （　はり　1 　 　 　 〔　 柱 　1 図

一

4　壁

，

柱

，

は りの応 力関数の近似に使用 さ れ る 基底 関 数

。

多項式によっ て式 （14 ）の よ うに表さ れ る。

　　　F

‘

＝

asrsX ：Y『

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　一

一

（14 ） 　こ こに

，

αi，s （

i＝O〜

4）は未 定 係 数である

。

　r

，

　s は 座標Xi

，

　Utにつ い ての累乗で あ り各要 素ごとに定め ら れて い る が_， 式 （11）に おける_変位の場合と同様こ こ で もr

，

s につ いての総 和 規 約 が 使 用さ れ てい るもの とす る

。

　 本 報 告で使 用する応 力 関 数に対する選 定 規 準の設 定に 際して は_， 応 力 関 数か ら求め たひずみ に含 まれ て い る基 底 関 数と変 位か ら求め たひずみ に含ま れて いる基 底関数 との 間に_余り大き な違いが_存在 し な い よ うにとい うこ と が考 慮さ れ ている

。

式 （14 ）で表さ れ る応 力関数は適 合 条件式 を完 全には 満 足 してい ない が

，

本 論 文で提案す る 解析法が

Hellinger

−Reissner

の_原理に基礎を お く解 析 法 で あ る た め

，

応力関数を仮定す る に際し て適合 条件式は 特に考 慮 し ない ことにす る

。

　

7．

汎関数

　要素

i

（

i＝O〜4

）にっ い ての

Hellinger

−Reissner

の

原理に基 礎を お く 解 析法のた めの汎関数 は 式 （15 ）の よ うに_表され る

。

13｝

　

　

　

・

1

…＝

f

：

：

f

：

［

− Bl

（臨 一 晦

窪

1

・卿

噐

・ tt

（

∂u‘　 ∂ Vi ∂_yt十∂xi

）

］

t・

d

・・

dyt

Bl

（侮

・

％ 両 ）

−

₂

齢

（耐 ぱ ＋2 （1＋レ、）（τ

i

−

（rXl、a，、）｝ 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

一

…

　

tS

（15）

　こ こ に_， axt， σyt，　Tt（

i＝O〜

4）は壁， 柱お よ び は りの 任 意 点に おけ るXi軸

，

　yt軸 方 向の垂 直 応 力 度お よびせ ん断 応 力 度であ り

，

Ui

_，

　Vtは Xi

_，

駈 軸 方 向の変 位 成分で あ る

。t

‘，　

E ・

，，　Vt （

i＝O〜4

）は壁， 柱お よびは りの厚さ， ヤン グ係 数およ びボアソ ン比で あ る

。

式 （15 ）は壁

，

柱 およ びは りを対 象と し て各 要素ごとに応力 と変位の_{関 係} 式お よび隅角点に お け る等価な

一

般化力を求め ること を 目的と し た式であ る た め

，

同 式には境界 項は含ま れて い ない

。

　

8．

汎関数の変分 　式 （10 ）を式 （

15

）に _代入 し

，

各要素の _{応 力 関 数} F， および変 位 Ui

，

　Vt （

i

＝ 0

〜

4）_で変 分 す る と 式 （16_）

〜

式 （19 ）が得ら れ る

。

　 　 　fillRt＝ _δ”

．

，

，

十 δ

nme

十 δ

llR

；3

……・

………

　

……

　（16）

　

　

　

・f・…

−

f

：

：

f

：

［

一

萼

響

・

F

，・

謝 誓

£

・

　

　

　

　

篝

・

誓

畏

一

（

∂Ul　 ∂Vt ∂_yt＋石

贏

）

・∂

瓢

］

t・

d

・・

dyt

…

　

一

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

rr

・

（17 ）

　

　

　

・・

IRiZ

−

f

：

：

f

：

［

誹

畿

　

　

　

　

　

　

一

、

農

；

岳

・

器

］

t

，・・… ，

……・

・

…

…

8

・

　

　

　

a

・

1

・・3

一

燃

［

籌

・

篝

　

　

　

　

　

　

一

議

・

籌

蟷

…一 ・

…・

（・

9

）

　

式 （17 ）は

Fs

に関す る第

一

変 分で あり_， 式 （18）お よび式 （

19

）は変位 Ut

，

　Vt に関 する第

一

変 分である。 　式 （

17

）を積分す る と式 （20 ）が得ら れ る

。

　

　

　

・

URil

　

一

・

f

：

：

f

：

［

一

∂

罪

小

蝙

一

　

　

　

　

　

　

f

：

‘

［

Ui・

轟

一

Vt・

籌

］

 

_鵬 ・

　

　

　

　

　

　

f

：

：

［

’

　　∂2Fl 　　　　∂ZFi U・δ ∂

0

／

一

一

Vl∂X、∂y‘

］

ン

・・ 　 　 　

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

t−・

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（20） 　式 （

20

）に おい て δ

n

た‘、を零とする と

，

各 要 素ご とに 応力 関 数と変位の関 係 式が得ら れ るが

，

式 （20）に含ま れて いる変 位は すべ て各 要 素の周 辺にお ける変 位で あ る こと か ら

，

壁

，

柱および はり各 要 素の応 力 関 数はすべ て 各 要 素の周 辺におけ る変 位の み に よっ て表さ れ る こと が わ か る。 したがっ て

，

式 （12）お よ び式 （13＞よ り求め ら れ る壁

，

柱および は りの隅 角点における

一

般 化 変位の 内

，

応 力の算 定に必 要な応 力 関 数と変 位の関 係 式に含ま れる未 知パ ラ メ

ー

タは

，

非 微 分 項と座標 x、また は

yi

の みによ る微 分 係 数より求め ら れ る各 要 素の隅 角 点にお け る

一

般 化 変 位で あり

，

Xt と

_yi

に関する微 分 係 数より求 め られ る

一

般 化 変位は含まれない。 　

9．

壁， 柱および は りの剛 性マ トリックス 　 式 （20）に お け る δnR“ を零と し て求めた応 力 関数と 変 位の 関係 式を式 （18）お よ び式 （19）に代入 し_， 変 位 φ 近 似 式に含 まれ る未 定 係 数 を各 要 素の隅 角 点にお ける

一

_{般 化 変 位に変 換する と}

_，

_壁

_，

_{柱およ びは りの剛性マ ト} リッ ク スが得られる

。

　これらの剛 性マ ト リッ ク ス に関 する未 知パ ラメ

ー

タ は

，

前 述の ご と く各 要 素の座 標 Xi また は _ytの み に関 す る 微 分 係 数およ び非微 分項より求め ら れ る各 要 素の隅角 点に お け る

一

般 化変位であ る

。

　

10．

数 値 計 算 例 　 本 論 文で提 案する解 析 法が有 効である こと を 示 すため に_， 図

一

5に示す柱とは りの接 合 部の重心の位置に 自 己 つ り合い 力が作 用 する単 独 耐 震 壁の解 析 を行い

，

その結 果を富井 らによっ て求め ら れて い るフ

ー

リェ 級数解析 法 に よる結 果と比 較する

。

解 析の対 象と し て選ん だ単 独 耐 震 壁は文 献7 に お け る もの と同じ もの で あり

，

その_{寸 法} を表

一

1に示す

。

1

：

1

・

1

・ ，

’

tn

・

・

『

・

’

T

’

_：

_．

”

_b

’

_・

’

_・

_・

⊥ 図

一

5　縦 軸お よ び横軸に関して逆 対 称な外 力 を受ける単独 耐 震 　 　 　 壁 　 　 寸 法 記 号 偏 t _表示による寸 法 ¢ o LOOO　 ¢ bo 0

_．

5370　配 α b 　α3 0

．

1111　氏 b2

，

　b鉢 Oj111　 4 to LOOO　 t t2

．

　t恥 2

．

500　 t tbt3 3

_．

₃₃₃　 t h 1

．

296　 α 2a ：壁の幅 　 　t ：壁 の 厚 さ 　解 析は

，

縦軸お よび横軸に関して の_{単独 耐 震}壁の対 称 性お よび外 力の逆 対称 性を考 慮し て 全 体の

1

／4につ い て 行うこと に す る

。

　 　 　

．

　

10−1．

壁

，

柱お よびはり の変位 　 5

−

1お よび

5−

2に おい て説明 し た柱

，

は り お よ び 壁 に 対す る基 底 関数の 選定規準に従っ て座 標に関す る累 乗の 最 高 値 を11 と す る と

，

壁

，

柱お よびは りの _変位u、

，

Vt（i

＝

_O

〜

_{2）は式 （21 ）}

〜

_{式 （23 ）}の よ うに表さ れ る

。

　 　 　U。

＝

α 。。iY。＋αD2、詬雪。＋α。“xSy 。＋α 。6、xSy 。 　 　 　 　　＋α。s、xgy 。＋α 。、。1エ乙゜y。＋α 。。、yl＋α 。、編 蜴

　 　 　 　　＋ a“sx3y ま＋ aossπ

3Y

蠶＋a。s3x 撫ノ

i

＋α

。

iO3x 乙 ゜ yま 　 　 　 　　＋ a。。、

Y

盞＋α，t，x：

YS

＋ aD45xtyl ＋α。6、x：yl 　 　 　 　　＋ a。ssx ：Y：＋α el。sxS °郵＋α。。7蛎＋α。，，鯔蛎 　 　 　 　　＋α。”x3yg ＋α。e，　t：　yl＋α。、 ，コc3yl＋α。、。7 コcl “ y‘ 　 　 　 　 　＋ a。。eY3 ＋α。2，エ鰄 ＋ a。，、x：y言＋α。、、x：Yl

　 　 　 　　＋α 。seX：Y：＋α ，、。sxS°詬＋α。。”yl’＋α 。2且ixly 愚1

　 　 　 　 　＋α 04tl コC3yli ＋ aoeux 言yとi＋ aoeti　C3ySi

　 　 　 　 　十αOiO”xl

°

y乙i

　 　 　V。

＝

β。1。X。＋β。S。X3 ＋β。 、。X3 ＋β。，。X9 ＋β。p，鋪 　 　 　 　 　＋β。、、。xSt＋

fie

、tX。蛎＋β。S，X3Y ：＋β。StX3y9

一 74 一

　　　　　＋

flO7

，X；y言＋leD，t　t：　y：＋β。 ”2x 乙 ’ y言＋_β。“x。y3 　　　　　＋β，“x：y：＋β，、、X：yt＋β。，、π；Yl＋β。，、X：y： 　　　　　＋

fi

。，uxSiy ：＋β。16X。翻＋β。36Xまy9＋β。55コC言y9 　　　　　＋

fiDT6x

；Yき＋β。，eX 言y9＋β。、、sコcl’yま＋βeisx 。詬 　　　　　＋β。3sX呂Y 含＋β。5sX：Y3＋β。T8X：Y 含＋β。esX言y唇 　　　　　＋βousxS ’y3＋β。，，。x。齢 ゜ ＋_β。3、。x言yhe 　　　　　＋_β。

肌

。X：yl ° ＋_β。7且。X乙y昌 ゜ ＋_β』91。X言齢 D 　　　　　＋β。1、1。xllyS ° 　　　　　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

・

・

・

・

…

　（21 ） 　　　u

，

＝ α1

。

IY

，

＋αU

、

コc

、

y

、

＋ α

、

。 、盗＋α

、

、

3x

、

yl＋α1

。

5Yl 　　　　　＋α 且isx ，Y｛＋α1。，gl＋αll，コc、yl＋α、，、yr

　　　　　十 afleXIYI 十 aiOiiySi 十 allllXly ｝l

　　　Vl

＝

_β、。。＋βii。Xl ＋β1。2Yぞ＋βn2 コc、拓＋β、。4酬 　　　　　＋_β、14x 、蝦＋β1。6蝦＋β．6x ，　

y

：＋β、。8班 　　　　　＋_βU ，x，　y：＋β、。、eyl ° ＋_βnioxiy ｝ ° 　 　 　 　

・

…・

・

…・

・

………・

…・

・

………・

（22） 　　　U，

＝

α，。、＋α，。iY，＋α22。コC耋＋α22、X；

y

，＋α、、。コC量 　　　　　＋α 24、x畫y、＋α，6。x窪＋ a2Slxly ，＋α、8。雌 　　　　　＋α 28、諺ン，＋α 21。。x呈 ゜ ＋α，1。1コcl°y，

　　　V2

＝

β2ieX2 ＋β2 、、X2y2＋β2S。X埀＋β2SiX茎Yi＋β35。置

i

　　　　　＋_β，，、諺92＋β27。誘＋βsnx ：Y2＋β29。x窰

　　　　　＋_β2eiX 茎y2＋β2、、。xi1 ＋βani　c皇iyi

　　　　　　　1　　

…・

……・

………・

………・

…・

・

（

23

） 　こ こ に_，α。。1

−一

α。、。ll、　

B

。i。

一

一

B

・iuo ，　al・1

〜

α llll，β…　

〜

β・11・ ・ a2。。

一

α，1。1

，

　

fi21

。

〜

fitlll

は未 定 係 数であ り

，

式 （12）

，

（13） に よっ て定 義さ れ ている壁， 柱お よびは りの隅角 点にお ける

一

般 化 変 位 娠 。

，

v　mn に よっ て表さ れ るもの とす る

。

　10

−2．

壁， 柱お よ び は りの応力関 数 　

6−1

お よび

6−2

に おい て説明し た柱， は り お よび 壁に 対す る基底 関数の選定規準に_従っ て鉛直方 向お よび水平 方 向 座 標に_関す る累乗の_和 r＋s の_{最 高 値}を

．

13と する と

．

壁， 柱お よびは りの応 力 関 数は式 （

24

）

一

式 （26 ） のよ う に表さ れ る

。

　　

Fo

＝ _α011ユ；_{oYo 十α031ユ}｝ま_{創0 十}ao13_{」冫oy9 十α051ユ；}：Yo

　　　　十 α03aX3y ま十aOlsXoy盞十aonxgyO 十aOS3X潟y蕁

　　　　＋α。、sX3yl ＋ α。ITX 。Yl＋ α。，ix：y。＋α。7：π‘Yl

　　　　十 a，ssx3y ：十 α 03，x3y ：十 aOisXoY ：十 am ”x：

iyo 　　　　＋aeg，X：Y：＋α。，，Xgy ：＋α。、，譌9乙＋a。 ，、コじ編 　　　　＋α。111x 。yS1＋α。13、x乙 3y 。＋α。11、x5 ’ yま＋α，9，x3yl 　　　　＋α。” x乙y：＋α。sgx ：Y：＋α。Sl、x言yS ’ ＋α。11、x。Yゐ ’ 　 　 　

・

…

　

9・

凾

幽

9・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

』

・

曁

一‘

・

一・

（24） 　 　F，　

＝

＝

a川 XIYI 十a121xlYl十amxlyl 十α1。3Y ：

　 　 　 　 十a匸1sXly 妻十al23　t蓄y？十alssx｛y畳十alosy妻

　　　　十a”sxiy7 十ansXiY ？十ansx ；y ？十aiO，yT

　　　　＋a，”xly；＋α、，，　tiy；＋a、37xlyl ＋α、。，yl

　 　 　 　 十 angXtY ：十ai！gxiYl 十 aisgxly ：十ate”y：

t

　 　 　 　 十allllコCiy｛i十ati

”

x言y｝i

十al

。

i3y ： 3 　 　 　 　

・

・

・

…

　

−a・

・

…

　

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（25）

　　F

、＝　a、nxtY ：＋α、12x 、

Yl

＋α飢渦 詬＋α，，誠

　　　　

＋α、3、xly ，＋ α、、，x；

y

；＋αnixly 盞＋α，5。コじ塁

　　　　

＋ α、5読 9，＋α25、置躍＋α，，3 エ寢 ＋α27綴

　　　　

＋α27

、

xly 、＋砺 2コC：y；＋α 、，3皿鰯＋α，9。X： 　　　　＋砺 9、x；Y7＋α 29，エ短＋α、、，π擢＋α，u。xl

’

　　　　＋α，t，、コc5 置 y，＋α，、nx ｝ iyl ＋α213。x呈 3 　 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

r・

・

・

・

・

…

　（26）

　

こ こに

，

α・u

〜

aoll3， α 111

〜

a・。ls

，

αt、L

−

a、13e は未 定 係

数であ る。 　 10

−

3

．

解 析 結果

　

式 （

21

）

〜

式 （23 ）で表され る壁

，

柱お よ び は りの変 位お よび式 （24）

一

式 （26）で表さ れ る応力関数を 式 （17＞

〜

_{式 （}

₁₉

_）に代入 し

，

式 （3 ）で表さ れ る柱お よ びは り の_{外 側表 面}に おける力 学 的 境 界 条 件式 と， 式 （7）で表 さ れ る壁と柱， および壁と はり の接 合 面に お け る力 学 的 連 続 条件式の 内， 壁の隅 角点にお け る連続条件を付帯 条 件と して

，

_壁

，

_柱お よ びは り につ い て個々 に停留条件式 を使 用し て応 力関数 を 消去 し

，

未 定 係 数を各 要素の_隅角 点にお け る

一

般 化変 位で表せば

，

各 要素の剛性マ トリッ クスが得ら れ る

。

　

壁

，

柱お よびは りの剛 性マ トリックスが求ま れば， 単 1

．

414 ，

．

201 言 b

 

虎

　

0 蟹 　

．

₈₀60

．

6

譱



_廴

盟

＿

li

湘

鬢

箏　 　韆　　ξ彜　 雖　 　§；

ii

嶷

i

蘚

il

濤

覊

撚

畫喜、

＿薩

§_蝋 輦

。

俵

張

_蝿．

li

_、

臨

篝

、

：

：

：

訟

郵

邃

鷹

§

1

°

_瓢

， 霎

1

_蠶

譱

：

：

：

：

1

肇

謂郵 ：

ll

≡

、

∴

簿

蠶

　 n

．

肋

踵　 　1e

、

1011　 　EO

．

L跚

　 　　

聰

・

11S

コ



卩

，

四

輔

’



_．



’



_．



’

_o

_．

_ロ

’



_．



’

_里 0

．

Z 　　　　 O

．

4 　　　　 0

．

δ　　　　 O

．

8 　　　　 1

．

0 L

・

e

．

o

／

」

l

　　 F　

　

＝

匚

　

「

　

K　

嘱

，

　

隠

【

9幽

o

　　嘔

懽

　　　　　

H

．

　 　

SJ

・

ev

　

エ

　

ダ

鵬_呶

．

_噛　価 n 〕 岩・

．

・

’

1

・

．

・ 　



Q 　

啼

⊥ 　　　　　　　@1．11 ，　　t22 a

図

_{一fi 縦}軸および 横軸に関して 逆 対称な 外 力を受ける 単 独 耐 　　　壁の 壁の垂 直 応力tt_ax，　ay および 柱はりの曲

げ

モ メ 　 　 　ン

ト

Ma ，

<TAB><TAB><TAB>

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　　

　

　 　_．

「

〔 ：

嬲

　1_緇

1

‘：1灘 　

｛

』：嬲 <TAB><TAB><TAB><TAB><TAB><TAB><TAB>L

．

。

、

gH1

ひ

，

騰

一。 ， 9

；

1

同

、

．

昏

川

一

口

，L

祀

α

．

鯛

45　 　 　 0

．

95 卍3　

　

　

卩

、

川

卍 　 　

　

1

．

0

ﾊ

　

　

　L12B<TAB><TAB><TAB>

_．

自

、

1麗

1 ・0 ．

1岡

O〔

卩

．

周 I．O 、卍1 」

ト

<TAB><TAB>4142071

．

O

．

日

o

．

60

．

40

．

<TAB>L6

巳

』1． 08b3<TAB>L 們Ol 　　 　

ロ

．

1

川

1

的

　

貿

1．

　

　

10

　

卩

<TAB>1

幽

礑

〜

01

−

1Z1

』

<TAB>1

層

1P

ヒ5　　　 ．

．

．

<TAB><TAB><TAB><TAB><TAB>

　

　

　

　　旨1． 劇一

11

．

・

g

叫

掣

．

1ヨ

3：

　

　

　

「

1

．

1

鰤

　

一

　

一

　

．

一

齢

　　

@

　 　唱

<TAB><TAB>b

_の

_圏

_．

．17 lp ﾃ<TAB>　ill ．

_】

109 1LIO 「5<TAB>q． 991

団

1

嚠

1 ．膃

』

1

邪

11

．

鐸

 

r〜

<TAB><TAB>

「

　

，

●

位　【 D

匡

．

<TAB>i

⊂

幽

．

1D9

卍

｝

1

．

1

ヲ

鮎

1

」

、

』η

1．

己

」

舶

9<TAB> Il

，

ﾑ

コ

　

1

．

2

閏

A<TAB>L

．

　

’

1 ．

刷

D置

暈

界

<TAB>

」

、

 1L

囲

翫

脚

<TAB>

」

、

b11

．

伽

3<TAB><TAB>

・

口

』

．

‘

〜

・

16 o

．

司

，

r15

o

｝

r

：

自 9

恥

1

・

．

ロ

．

1

嘶

．

自 1

仭

71 ．

u．

腸

501

麟

1

・

．

O

、

凵

u，

〕

．

ロ瀞

7

聊

1

・o． opo

レ

・

囗

．

口

図

，

<TAB><TAB>

　

　

　

　

卩

1ｲ 一

　

1

囑

．

　

1 劃311

　

ヨ

　

1．

三

<TAB><TAB>P

_．

_1．

 

調

<TAB>

［

1

，

芒

DI

，

」

　

Z17

　

　

　

　

．

．

<TAB><TAB>　 F

［

o

、

581 ロ

．

a1

叫

o

_師

₁₃

．

国

．

臼

5

@慣

厚

<TAB><TAB><TAB><TAB><TAB><TAB><TAB>1 ．

叫

η

1

．

凹

ｷ

丁

一

Lｿ

鰤

η

9<TAB><TAB><TAB><TAB>1

1 、 ．2511 ．3

卍

5． 　@　

  A _ヨ

旬<TAB>1 ．

q

〕

1

．

：

臼

4<TAB>

．

脚_．

召

囲

1 ．

己

記鵬 　

r

邑r<TAB>

o<TAB><TAB><TAB><TAB>

一

缶

a2

　

D4

　

0・

5

　

。

・

8

　

1

・

01

”，

1222<TAB><TAB>

彑

醒

尸

義

3n

し」

1

る

7

．．

1

圏邑薗 卿 師唖【 よ ●

61

　

Ut

「 耳 マ ， ：　L開 ．

1

図 一7　縦 軸 お よ び 横 軸 に関

し

逆 対 称 な

外

141411071

．

o08o

．

6 畚・・

1

一 N

匹

卩

石

口

3

卩

亟

翆

＝

：

ゴ6

冖

罰

驚 3

日

富

詔

署 3

鬯

需

霜

噛

ビ

o 蒹 已 塁

く

’

lo

_ロ

辱

_刀

m

_祕

團 h

ー

怖

『

．

．

川

湘

％

1

匚

卩

、

．

：

『

討

10 2

衵

．

　

ー

［

口

．

．

4

｝

10 1

弔

団

一

「

0

団

．

．

0 川 OP

冊

L

一

」

o

．

叫

oo

’

　

，

　

　

：

【

「

に

mδ

馬

IF

膕

0

　

7

　

　

．

，

‘

■

皀

騨

賃

凶

」

‘

b

随

．

：

自

．

ロ匸

。

、

）

　　→　

　

x 　 O　 　 　 　O

．

2　 　 　 　04　 　 　 　0

．

6　 　 　 　0

．

B　 　 　 　10　 　1

．

11「　 　1222

　　　ao

図

一

8　縦 軸お よ び横軸に_関し て逆対称な外 力 を受 ける単 独 耐震 　 　 　壁の柱およびはりの軸 力Na

，

　Nb 14t412 °7 「

．

o0

、

旧 oGko

．

q200 缶 04e60

．

B 　　　　　　l

．

0　 1111 　t211 　　 ° °

’

51

』

°

・

÷

・

図

一

9_縦軸お よ び横軸に_関し て逆対称な外力を受 ける単 独耐 震 　 　 　壁の壁と柱お よ びはりの接 合 面にお け る単位長 さ当た り 　 　 　 の 垂 直 力 独 耐 震 壁 を解 析する ことに よっ て壁

，

柱およびは りの応 力 関 数の計 算に必要な各要素の _{隅 角}点におけ る

一

般 化 変 位が求まり_， 式 （10 ）を用い て各 要 素の応 力 を算 定す る こ と がで きる

。

図

一6L9

は

，

本解 析 法に よる応 力の解 析 結 果と文 献7に示さ れてい るフ

ー

リェ 級 数 解 析 法によ る結 果 を示し た もの である

。

　 図

一

6

−

8は

，

それぞ れ壁の垂 直 応 力 度と柱お よ びは り の曲げモ

ー

メ ン ト

，

壁の せ ん断 応 力 度と柱お よ びは り のせ ん断 力

，

および柱およびは りの軸 力 を示し たもの で あ る が

，

これ らの図より壁の隅 角 点 近 傍の垂 直応 力 度 を の ぞ い て両 解 析 法の結 果は よく

．

一

致し て い る ことが わ か る。 　 図

一

9は

、

壁

，

柱およびは りの接 合 面にお ける単 位 長 さ 当た りの 垂直力 を示し た もので ある。 実 線は本 解析 法 に よる_結果であ り

，一

点鎖 線お よ び点 線は そ れぞれフ

ー

リエ 級 数 解 析 法に よ る壁

，

お よ び柱と は りの_{単 位 長}さ当 た り の 力を示し た もの である が_， 図 よ り， 本 解 析 法に よ る結 果は接 合 面に お け る力学 的 連 続 条 件を満足し てい る こ と が わ か る。 図

一

ユ0 （a）

，

10 （

b

）は壁の隅 角 点に お ける変 位

U

。

，

V。の収 束 状 況 を示 し た もの で あ る

。

変位 につ い ての_解析 結_果を縦 軸に とり

，

解 析に必要な壁の変 位お よ び応 力関数を 近似するた めに_{使 用}す る基 底 関 数の 座 標 x。

，

y。につ い て の 累 乗の最 高 値の 組を横 軸にとっ

一 76 一

・

一

響τ

。

OA6 o

．

44 o

．

42OAO 03s 慶 位 関 畝 o o　 　 O　 　O　 　 O 庵力閲敏 衷

恥

バ

， メ

ー

タ

リ

ロ

1

：

111

：

1

：

：

：

謂 ：

1

：

二

；

：

1

：

毅 鷲

留

F

自



’

15

．

巳，　⊂7

、

　7，　‘9

、

91　〔11

．

圏1｝　匸1］

．

13コ　τr

，

s， POF

：

ζ81 　〔121　【161　 〔10 ，　i241 胃：

1

；

；

：

：

；

1

：

畿黷器

図

一

10　 〈a）縦 軸お よび横 軸に関 し て 逆 対 称 な 外 力 を 受 け る 単 　 　 　 独耐 震 壁の壁の隅 角 点における変位 U。の収 束 状 況 ・

告。

1

．

94 1

．

92 1

．

90 1

、

B8 1

．

B6 o O_{o　　o　　o} 繍

li

応 力 関 改　 F， 薫剛

厂

、

，　 　

卩

o

メ

ー

タ

の

盈

1

二

1

：：

蠶増

Ij

瀦

1

諏

1

：

瀦

1

｛5

，

5〕　〔7

，

7〕　〔9

．

　9，　Ctl

．

：1，　t1S

、

13〕　C

「

．

3，

　　 ヒ

IS 〕　 　 11！ ，　 　〔161 　 　120，　　12‘1

　　　　　　霄

：

；

：

；：

：

：

1

：

；

綴蠶麗畧

図

一

10　（b＞ 縦 軸およ び横 軸に関し て逆 対 称な外 力を受け る単 　 　 　 独 耐震壁の壁の隅 角点に お け る変 位 V。の収 束 状 況 てある。 これ らの図よ り， 壁の隅角 点に お け る変 位 成 分

Ue，

　V 。の収 束が早い ことが わ か る

。

　図

一

ユ1は_， 壁の 重心にお け る せ ん断 応 力 度 τ。の収 束 状 況 を示し たものである

。

図 よ り， 収 束の程 度に差が認 め ら れ るもの の壁の隅 角 点にお け る変位と似た よ うな収 束状況 を示し て い る こ と が わ か る

。

　本数値 解 析 例におい て使 用さ れ て い る未 知パ _ラメ

ー

タ は

_，

壁の隅角点に お け る水 平 方 向の変 位 成 分と鉛 直 方 向 の変 位 成分

，

これ らの変位成 分の _{水 平 方 向}座標

，

また は 鉛 直 方 向 座 標に よる微分係 数より求め ら れる

一

般 化 変 位

，

および柱の外 側 隅 角 点にお け る鉛 直 方 向の変位 成 分 とは りの外側 隅角 点に お ける水 平 方 向の変 位 成分で あ り

，

そ の数は図

一

10および図

一

ll に示 す とお り である。 未知パ ラメ

ー

タの _数につ い て文 献7の フ

ー

リェ 級 数 解と の直 接の対 比は難しい が， 著 し く少ない もの となっ て い

日

■

ご

無

ロ

バ

5 　 　

』

o

．

r

：

〔al　 　 ［

蟹

丁1　 11

臼

l　 　 lro】　 　

［

24］

メ

ー

タ

の

醸

　　　　　　

胃：騎 ：

自

1

：

；

綴雛 匿

図

一

11 縦 軸およ び横 軸に関して逆対称な 外 力 を受ける単 独 耐 　 　　 　震 壁の壁の重心にお け る せ ん断 応 力 度T。の収 束 状況 る。 な お

，

数 値計算 結 果は

，

長 崎 大 学 情 報 処 理セ ンタ

ー

の電 子計算機 （FACOM 　M

−

360）を_{使 用}して求め た

。

　

11．

む す び 　 解析 的解析法の_{信 頼 性}と変位型有 限 要 素 法に よ る数 値 解析 的方 法の_簡便さ を備え た

，

耐震壁を有す る構 造 物の 解 析 法 を 開 発 す る た め に

，

単独耐 震壁 を対 象と し た

Hellinger

・

_Reissner

の_原理 に基 礎を お く解 析 法の提 案を 行い

，

解 析 法の概 要を説明す る と と も に

，

その有 効 性を 示 す た めに柱 と は りの _{接 合 部}の重 心の位 置に 自己つ り合 い状態に ある_力を受け る単 独 耐 震 壁の_{数 値 解 析}を行っ て み た結 果

，

次のよ う な結論を得た

。

　 1

．

本 解析 法は

，

本 来

，

壁

，

柱お よ び はりをそれぞ れ

一

っ の_要素と する

Hellinger

−Reissner

の _{原 理}に基 礎を お く有 限 要素法で あ る が

，

応 力の_表示に 応力 関 数を使 用し たこと に よ り

，

最 終 的に は_， 各 要素の隅 角 点にお ける

一

般 化 変位を未 知パ ラ メ

ー

タとする精 度の よい直 接 剛 性 法 とな り

，

計 算 上の処 理 も非 常に簡 単になっ た

。

　2

．

　 本解析 法は

，

直接剛性 法に よる解 析 法で ある が

，

未 知パ _ラメ

ー

タを要 素の応 力と隅 角 点の変 位 を求める た めの もの に限 定して い る の で

，

単 独 耐 震 壁の解 析に使 用 され る剛 性マ トリック ス の次 数は

，

従 来の変 位 型 有 限 要 素 法に お い て使 用さ れ る剛 性マ ト リッ ク ス の次 数に比べ て か な り小さ く なっ ている

。

し た がっ て

，

本 解 析 法 を使 用 す れば数値解析 的 解 析 法の難 点で あ る未 知パ ラメ

ー

タ の_増大に_伴う経 済 性の_問題 を相 当程 度 解 決する こと がで き る

。

　 3

．

　多 項 式 を使 用する本 解 析 法は

，

フ

ー

リェ 級 数解析 法に よ る結 果と 同 程度の _精度 を有し

，

壁 と 柱 お よ びは り の接 合 面にお け る単位長 さ当た りの垂直力の_分布の_不

一

致も起こ ら ない。 参考 文 献 1_＞岩 下 恒 雄 ；置 換 トラス法 に よ る耐震 壁の研究 （第1報 ）（計 　 　算 精 度お よび3層独 立 耐震壁につ い て｝

，

日本 建 築 学 会 論 　 　文報告 集 第105号

，

pp

．

14

−

19

，

昭 和35年11月。 2｝ 岩 下 恒 雄 ；水 平荷 重を受け る無開口独 立耐震壁の変 形に 　 　つ いて （置換トラス によ る耐 震 壁の研 究 第2報 〉

，

日本建 　 　築学 会 論 文 報 告 集 第 130号

，

pp

．

1

−

7

，

昭和 41年12月

。

3） 岩 下 恒 雄 ：水 平 荷重 を受け る 3層 無 開 口 独立 耐震壁の応 　 　力 分 布につ いて （置換 トラス法による耐 震 壁の研 究 第3 　　報

1

，

日本 建 築 学 会 論 文 報 告 集 第132号

，

pp　25

−

31

，

昭和 　 　42年2月

。

4）Masahide 　Tomii ：General　Analysis　of　Elasticity　of

　 　Shear　WaLls　by　Airy

’

s　Stress　Function

−

Part　l

−

Elements

　 　not　Satisfied　Qnly 　with　Serial　Stless　Function

−

Trans

．

　of

　 　A

．

1

．

J，

　No

．

154

．

　_pp

．

25

−

32

，

　Dec

．

1968

，

．

5） Masahide　Tomii_；General　Analysis　of 　Elasticity　 of

　 　Shear　Wails　by　Airy

’

s　Stress　Function

−

Part　

ll−

Selection

　 　of　Algebraic　 Stress　 Functien　Which 　 is　 Necessary

　 　Togetherwith SerialFunction

・

Trans

．

ofA

．

1

．

J．

　 　No

．

155

，

　pp

．

23

−

32

_，



_Jan，

1969

6） 大 越 俊 男：変 分 法による平 面 応 力で の耐震壁の解析 （1） 　 　

一

基 本 問 題

一

日本建築 学会論文報告集

，

第222号

，

pp

．

1

−

7， 　 　昭和49年8月

。

7_＞ Masahide　Tomii　and　HisahilQ　Hiraishi：ElasticAnalysis

　 　of　Framed 　Shear　Walls　by　considering 　Shearing　De

−

　 　formation　of 　the　Beams　and 　Columns　of　Their　Boundary

　 　Frames　Part

一

皿

・

Numerical　Examples

−

Trans

．

　of　A

．

1．

J

．

　 　No

，

275

_，

　pp

，

45

−

53

，

　

Jan．

1979

．

） 8 ） 9 10） 11＞ 12） 13） 14）

Masahide 　Tomii

，

　Nerimi　Sato　and　Masafumi　Inoue：

Elastic　Analysis　Qf　TwQ

・

Stoly　or　Two

−

bay　Duplex

Franmed　Shear　Walls　Subjected　to　Antisymmetrical

Loads　with 　Respect　to　the　Axes　of 　the　Intermediate

Members　of 　Their　Fiames

，

　Trans

．

　of　A

．

LJ．

　No

，

297

．

pp

．

35

−

48

，

　Nov

．

1980

．

Masahide 　Tomii

，

　Mas 洫 mi 　Inoue　and 　Kosuke　Kuriyama ：Elastic　Analysis　of　Two

−

story　or　Two

・

bay　Dtiplex

Framed　Shear　Walls　Subjected　To　Symmetrical　Leads with　Respect　to　the　Axes　of 　the　lntermediate　Members　ef

Their　Frames

，

　 Trans

．

　of　A

．

1

．

J．

　No

．

299

．

　 pp

．

69

−

82

．

Jan．

　1981

．

藤 谷 義 信

，

末 岡 禎 佑

，

花井正実 ；_{変位関 数 定 義 域}の拡 張 によ る有限要 素モ デル

，

日本 建 築 学 会 論 文 報 告 集

，

第 322号

，

pp

．

20

−

26

，

昭 和57年 12月

。

末岡禎佑

，

花井正実

，

白 浜 敏 行 ：Hellinger

．

Resissnerの 原理に基 礎 をお く単 独 耐 震 壁の弾 性 解 析 法

，

日本 建 築 学 会 大 会 学 術 講 演 概 要集B 構 造

1，

pp

．

153

−

154

，

昭 和61年

。

坪 井 善 勝 ：建築 学大 系 9

−

1建 築 弾 塑 性 学

，

彰国社

_，

pp

．

21

−

50

，

　19720 鷲 津 久

一

郎：弾 性 学の変分 原 理概 論

，

コ ンピュ

ー

タに よ る構 造工学 講座 丑

一

3

−

A

_，

培風館

，

pp

．

6

−

13

_，

　lg72

。

Kyuichiro　Washizu：Variational　Methods　in　Elasticity

SYNOPSIS

UDC :624. 042. 7: 69. 022

A

NEWDIRECTSTIFFNESS

METHOD

FOR

FRAMED

SHEAR

WALLSANALYZING

by Dr.TEISUKE SUEOKA, PrQf.ef NagasakiUniv., Dr.

MASAMI HANAI, Prof.of

Hi[oshima

Univ.,KATSUYA

TAKEO, Suzuki Motor Co., Ltd., and _TOSHIYUKI

SHIRAHAMA,

Technical

Official

of NagasakiUniv.,

Members of A.I,

J.

A

new

dirct

stiffness method

based

ofi

Hellinger-Reissner's

Principle

for

analyzing

framed

shear walls is

prop-osed,

In

this _{method, a} framed shear wall'is subdivided intothe elemets of the shear wall,

bams

and columns, and

thenthe

Airy's

Stress

function

is

introduced

to express the stress

fields

in

theelements.

After

deriving

the

functional

of theelemets

from

the HellingeT-Reissner's

Principle,

the stress _parametersare eliminated

by

_using the _stationary conditions of the

functional,

so the number of unknown

displacement

para-meter

becomes

small compared totheordinary

direct

stiffness method.