CALCULUS II
鈴木 寛 (Hiroshi SUZUKI∗ ) 国際基督教大学理学科数学教室 平成 16 年 2 月 12 日1
多変数関数の微分
独立変数が、２個以上の関数の微分を考える。簡単のため、２変数の場合に話しを限るこ とも多いが、その殆どが、３変数以上の場合に拡張出来る。 1.1 極限と連続性 定義 1.1 f(x, y) を 点A(a, b)に近い点では、いつも定義された関数とする。 1.点 P (x, y) が、点 A(a, b)と一致することなく点 A(a, b) に近づくとする。このとき、 その近づき方によらず、関数 f (x, y)が ある一つの値cに近づく時、f (x, y) には、点 A(a, b)において、極限が存在して、その極限値は、cであるという。または、関数f (x, y) は、cに収束するとも言う。このとき、f (x, y)→ c (x → a, y → b) または、次のよう に書く。 limx→a, y→bf (x, y) =(x,y)lim→(a,b)f (x, y) = limP→Af (x, y) = c.
2.関数 f (x, y)が、次の条件を満たすとき、点A(a, b)で連続であると言う。
(a) f(a, b)が定義されている。
(b) lim(x,y)→(a,b)f (x, y) が存在する。 (c) lim(x,y)→(a,b)f (x, y) = f (a, b)。
注 1.極限の定義では、関数が、その点と一致する事は、除いている。特に、その点で、関数 が、定義されているかどうかは、問わない。 2.点の近づき方によって、近づく値が違うときは、極限は存在しない。 例1.1 1.関数f (x, y) を次のように定義する。 f (x, y) = ! xy x2+y2 (x, y) "= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) ∗E-mail:hsuzuki@icu.ac.jp
この関数は、x-軸上でも、y-軸上でも、値が、0であるが、y = mx の直線上で、xが、 0に近づくと、 lim x→0f (x, mx) = limx→0 mx2 x2+ m2x2 = m 1 + m2 != f(0, 0). 例えば、m = 0 すなわち x 軸上で、(0, 0) に近づくときの極限値は、0で、それは、 m = 1 すなわち y = xの直線上で、(0, 0)に近づくときの極限値1/2 と異なるから、 個の関数は、点 (0, 0)で極限値を持たない。特に、連続でもない。 1.2 偏微分 多変数関数の微分を考える。まず、簡単に考えられるのは、一つの変数のみ、変数と見て、 他のものは、定数と見て、一変数の関数として、微分することである。 定義 1.2 1. lim h→0 f (p + h, q)− f(p, q) h , あるいは hlim→0 f (p, q + h)− f(p, q) h が存在すると き、関数f (x, y)は、点(p, q)において、xに関して偏微分可能、あるいは、y に関し て偏微分(partial derivative)可能と言い、それぞれ、以下のように書く。 ∂f ∂x(p, q) = fx(p, q) = Dxf (p, q), ∂f ∂y(p, q) = fy(p, q) = Dyf (p, q) 2.関数f (x, y) が各点で偏微分可能であるとき、各点での偏微分を対応させる関数を偏導 関数といい以下の様に書く。 ∂f ∂x= fx= Dxf, ∂f ∂y = fy= Dyf 偏導関数fxを求めるには、単にf (x, y) のy を定数と思ってxに関して、微分すればよ い。y に関する偏導関数についても同じ。 例1.2 1. f(x, y) = x2y + ex とすると、f x= 2xy + ex、fy= x2。 1.3 全微分 関数の極限のところでも見たように、一変数関数から、多変数関数に変わっても考え方 は、余り変わらない。しかし、点の近づき方に様々な方向が可能であることから、複雑な面 が現れる。その意味でも、多変数関数の動向を調べるため、偏微分（一つを残して、すべて の変数を定数と見て微分をすること）では、不十分であることは明らかである。 定義 1.3 1.点(p, q)の近傍で定義されている２変数関数f (x, y) に対して、定数a, bが 存在して"(x, y) = f (x, y)− f(p.q) − a(x − p) − b(y − q)が lim (x,y)→(p,q) "(x, y) ! (x − p)2+ (y − q)2 = 0 を満たすとき、f (x, y) は、点(p, q)で全微分可能と言う。(a, b)を点(p, q)における微 分係数という。
2. z − f(p, q) = a(x − p) + b(y − q)のグラフを、点(p, q, f(p, q))における 接平面という。 3.関数 f (x, y)が各点で全微分可能であるとき、 df =∂f ∂xdx + ∂f ∂ydy をf (x, y)の全微分と言う。 命題 1.1 (1) f(x, y) が、点(p, q)で全微分可能ならば、偏微分可能で、微分係数は、 (a, b) = (∂f ∂x(p, q), ∂f ∂x(p, q)). (2) 逆に、点 (p, q)の近くで、f (x, y) が偏微分可能でかつその偏導関数が、連続ならば、 f (x, y) は、点(p, q)で全微分可能である。特に、f (x, y)は、点 (p, q)で連続である。 証明 証明略。 1.4 ベクトル表示 多変数関数の場合、ベクトル表示を用いることにより、変数の数に無関係な表示を得るこ ともできる。点、変数をベクトル表示し、 P = p1 p2 ... pn , X = x1 x2 ... xn とする。関数も f (X)の様に表す。 関数f (X)が、点P で連続であるとは、次が成立することである。 lim X→Pf (X) = f (P ). 関数f (X)が、点P で（全）微分可能であるとは、ある、ベクトル A = (a1, . . . , an)が 存在して、以下を満たすことである。 lim X→P "(X) "X − P " = 0, ただし"(X) = f (X)− f(P ) − A · (X − P ). 接平面の方程式は、以下のようになる。 z− f(P ) = (gradf)(P ) · (X − P ), ただしgradf(P ) = (∂f ∂x1(P ), . . . , ∂f ∂xn(P )). このように、一変数の場合と、殆ど同じように記述することが出来る。その意味でも、全 微分といわず、微分と呼んだ方が自然かも知れない。
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合成関数の微分と高階導関数
2.1 合成関数の微分 命題 2.1 関数 f (x, y)が全微分可能で、さらに、x、y がt の関数となっている場合を考え る。x = x(t)、y = y(t)それぞれが、tに関して、微分可能ならば、f (x(t), y(t))は、t に関 して、微分可能で、次の式が成り立つ。 df dt = ∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt. 証明 各点t = pに対して、 x(t) = x(p) + x!(p)(t − p) + "(t) y(t) = y(p) + y!(p)(t − p) + "!(t) と置くと、x(t)、y(t)はともに、tに関して、微分可能だから、t→ pのとき、 "(t) (t − p)→ 0, "!(t) (t − p)→ 0 である。ここで、 f (x(t), y(t))− f(x(p), y(p)) = ∂f ∂x(x(p), y(p))(x(t) − x(p)) + ∂f∂y(x(p), y(p))(y(t) − y(p)) + "(x(t), y(t))
とすると、f (x, y) が全微分可能であることより、(x(t), y(t)) → (x(p), y(p))のとき "(x(t), y(t)) ! (x(t) − x(p))2+ (y(t) − y(p))2 → 0 従って、 f (x(t), y(t))− f(x(p), y(p)) t− p = ∂f ∂x(x(p), y(p))(x !(p) + "(t) t− p) + ∂f ∂y(x(p), y(p))(y !(p) + "!(t) t− p) + "(x(t), y(t)) t− p ここで、最後の項は、 lim t→p "(x(t), y(t)) |t − p| = lim t→p "(x(t), y(t)) ! (x(t) − x(p))2+ (y(t) − y(p))2 " (x!(p) + "(t) t− p) 2+ (y!(p) + "!(t) t− p) 2 = 0 これより、 df dt(x(p), y(p)) = ∂f ∂x(x(p), y(p))x !(p) +∂f ∂y(x(p), y(p))y !(p) を得る。
定理 2.2 関数 f (x, y) が全微分可能で、x = x(u, v)、y = y(u, v) が u, v で偏微分可能な らば、 ∂f ∂u = ∂f ∂x ∂x ∂u+ ∂f ∂y ∂y ∂u, ∂f ∂v = ∂f ∂x ∂x ∂v + ∂f ∂y ∂y ∂v. 証明 v を固定すれば、x、y、f すべて、uの関数と見ることが出来るから、それぞれの、 uに関する微分を、偏微分に置き換えれば、結果は、命題2.1から得られる。 上の結果は、重要なので、一般の多変数関数の場合にも、結果だけ述べる。 定理 2.3 関数 f (x1, . . . , xn) が全微分可能で、xi= x(u1, . . . , um) (i = 1, . . . , n) が 各 uj (j = 1, . . . , m)で偏微分可能ならば、 ∂f ∂uj =!n i=1 ∂f ∂xi ∂xi ∂uj . これらの結果を、ベクトルと行列で書くこともできる。 (∂f ∂u1 , . . . , ∂f ∂um) = ( ∂f ∂x1 , . . . , ∂f ∂xn) ∂x1 ∂u1 . . . ∂x1 ∂um . . . . ∂xn ∂u1 . . . ∂xn ∂um この最後の行列をヤコビ行列と言い、∂(x1, . . . , xn) ∂(u1, . . . , um) とも書く。また、 grad(f) = (∂f ∂x1 , . . . , ∂f ∂xn) を勾配(gradient)と言う。 例2.1 1. f(x, y) = x8+ x5y9、x(t) = 3t2− 4t、y(t) = 5t− 4。F (t) = f (x(t), y(t)) の t = 1 における微分係数を考える。x(1) =−1、y(1) = 1だから、 df dt = ∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt = (8x7+ 5x4y9)(6t − 4) + 9x5y8 · 5 = (−8 + 5) · 2 − 45 = −51
2. f(x, y) =(x2+ y2、x(u, v) = 2u + 3v、y(u, v) = uv。(u, v) = (−1, 1)でのu, v に関
する勾配を考える。 (√1 2,− 1 √ 2) ) 2 3 1 −1 * = (√1 2, 2 √ 2) 3. z = f(x, y), x = ρ cos θ, y = ρ sin θ の時、
(∂z ∂x) 2+ (∂z ∂y) 2= (∂z ∂ρ) 2+ 1 ρ2( ∂z ∂θ) 2. まず、それぞれの偏微分を求めると、 ∂z ∂ρ = ∂z ∂x ∂x ∂ρ+ ∂z ∂y ∂y ∂ρ = ∂z ∂xcos θ + ∂z ∂ysin θ ∂z ∂θ = ∂z ∂x ∂x ∂θ + ∂z ∂y ∂y ∂θ = ∂z ∂x(−ρ sin θ) + ∂z ∂yρ cos θ
従って、次を得る。 (∂z ∂ρ) 2+ 1 ρ2( ∂z ∂θ) 2 = (∂z ∂xcos θ + ∂z ∂ysin θ) 2+ 1 ρ2( ∂z ∂x(−ρ sin θ) + ∂z ∂yρ cos θ) 2 = (∂z ∂x) 2+ (∂z ∂y) 2. 2.2 高階導関数 f (x, y)の偏導関数が、また偏微分可能なときは、その偏導関数が考えられる。これを続 けていけば、高階偏導関数が得られる。これらを、次のように書く。 ∂ ∂y( ∂ ∂xf ) = ∂2f ∂y∂x= fx,y, ∂ ∂x( ∂ ∂xf ) = ∂2f ∂x2 = fx,x. 高階導関数について次の定理は、基本的である。 定理 2.4 [Schwartz] 点(p, q) の近傍で、fx, fy, fxy が存在し、fxy が連続ならば、fyx も 存在し、fx,y(p, q) = fy,x(p, q)。 例2.2 f(x, y) = log!x2+ y2 とすると、 "f =∂ 2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 = 0
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平均値の定理と、微分の応用
3.1 平均値の定理 命題 3.1 関数 f (x, y) が偏微分可能ならば、 f (a + h, b + k) = f (a, b) + hfx(a + hθ, b + kθ) + kfy(a + hθ, b + kθ) を満たす、0 < θ < 1 がある。 証明 a, b, h, kを定数として、F (t) = f (a + ht, b + kt)と置く。一変数の場合の平均値の定 理より、 F (1)− F (0) = F!(θ) となる、0 < θ < 1がある。また、x = x(t) = a + ht、y = y(t) = b + ktと置くと、 dF (t) dt = ∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt = hfx(a + ht, b + kt) + kfy(a + ht, b + kt) 従って、f (x, y)が偏微分可能ならば、F (1)− F (0)の式から、 f (a + h, b + k)− f(a, b) = hfx(a + hθ, b + kθ) + kfy(a + hθ, b + kθ).上の平均値の定理の証明において、一変数のテーラーの定理を適用すると、２変数関数の テーラーの定理を得る。 命題 3.2 関数 f (x, y) がn 階まで、連続な偏微導関数を持ち、n + 1階の偏微導関数を持 てば、 f (a + h, b + k) = f (a, b) + (h ∂ ∂x+ k ∂ ∂y)f(a, b) + · · · + 1 n!(h ∂ ∂x+ k ∂ ∂y) nf (a, b) + R n Rn= (n + 1)!1 (h ∂ ∂x+ k ∂ ∂y) n+1f (a + θh, b + θk) を満たす、0 < θ < 1 がある。 3.2 陰関数 y = f (x) の様に、x の値に、y の値を対応させる具体的な表式が示されているとき、 y は x の陽関数(explicit function) といい、F (x, y) = 0 の様に関係式としてだけである 時は、y は、x の陰関数(implicit function) であるという。多変数の場合にも、例えば、 F (x1, . . . , xn, z) = 0 である時、z は、x1, . . . , xn の陰関数である。 F (x1, . . . , xn, y) = 0 の時は、もし、y = f (x1, . . . , xn)と書けるならば、両辺を x1 で偏 微分する。すると、x2, . . . , xn は、独立変数すなわち、x1 で微分すると、0だから、 ∂F ∂x1 + ∂F ∂y ∂F ∂x1 = 0 より、以下の式を得る。 ∂y ∂x1 = − Fx1(x1, . . . , xn, y) Fy(x1, . . . , xn, y) では、どのようなとき、y = f (x1, . . . , xn)の様に、陽関数に書け、また、上のような操作 が可能なのか。 定理 3.3 [陰関数定理] 関数F (x, y) は、点 (p, q)の近傍で連続、かつ偏微分可能で、偏導 関数 Fx(x, y)、Fy(x, y) が連続とする。このとき、F (p, q) = 0、Fy(p, q) "= 0 ならば、点 x = pの近傍で微分可能な関数 y = f (x)がただ一つ定まり (1) F (x, f(x)) = 0、f (p) = q。 (2) ∂F ∂x(x, f(x)) + ∂F ∂y(x, f(x))f !(x) = 0 定理 3.4 [陰関数定理] 関数 F (x, y, z) は、点 (p, q, r) の近傍で連続、かつ偏微分可能で、 偏導関数 Fx(x, y, z)、Fy(x, y, z)、Fz(x, y, z) が連続とする。このとき、F (p, q, r) = 0、 Fz(p, q, r) "= 0ならば、点 (p.q) の近傍で微分可能な関数z = f (x, y) がただ一つ定まり
(1) F (x, y, f(x, y)) = 0、f (p, q) = r。 (2) ∂z ∂x= − Fx Fz, ∂z ∂y = − Fy Fz n変数のときは、どうであろうか。 3.3 極値 2変数関数z = f (x, y) と、点P (p, q) において、点P に十分近い任意の点Q(x, y)に対 して、 f (p, q) < f (x, y) が成り立つとき、関数z = f (x, y)は、点P で極小 (minimum)であると言い、点 P を極 小点、f (p, q)の値を極小値という。逆に、 f (p, q) > f (x, y) が成り立つとき、関数z = f (x, y)は、点P で極大(maximum)であると言い、点P を極 大点、f (p, q)の値を極大値という。極小点、極大点を総称して、極点(extremum point)と 言い、極小値と、極大値を総称して、極値という。 x座標、y 座標を固定して考えれば、一変数の場合の結果から、点P (p, q)がz = f (x, y) の極点であれば、 fx(p, q) = fy(p, q) = 0 を満たすことが分かる。このように、fx(p, q) = fy(p, q) = 0を満たす点をf (x, y)の停留点 (stationary point) と言う。このことから、極値を調べるには、まず、停留点を調べれば良 いことが分かる。 定理 3.5 関数 f (x, y) が偏微分可能で、点(p, q)は、停留点とする。 A = fxx(p, q), B = fxy(p, q), C = fyy(p, q) とおくとき、 (1) B2− AC < 0 ならば、点 (p, q)は、極点であり、さらに、 (a) A > 0のときは、f (p, q) は、極小値 (b) A < 0のときは、f (p, q) は、極大値 である。 (2) B2− AC > 0 ならば、点 (p, q)は、極点ではない。
証明 命題3.2をn = 1として、適用すると、 f (p + h, q + k)− f(p, q) = hfx(p, q) + kfy(p, q) + 1 2 ! h2fxx(p + θh, q + θk) + 2hkfxy(p + θh, q + θk) + k2fyy(p + θh, q + θk) " ここで、fx(p, q) = fy(p, q) = 0 だから、 = 12k2 # h2 k2fxx(p + θh, q + θk) + 2 h kfxy(p + θh, q + θk) + fyy(p + θh, q + θk) $ 最後の式は、h/k の２次式と見ると、h, k が小さいとき、判別式は、B2− AC である。 ここで、B2− AC < 0ならば、最後の式は、0にならない。かつ、その符号は、A の符 号で決まる。従って、 (a) A > 0のときは、f (p + h, q + k)− f(p, q) > 0すなわち、f (p, q)は、極小値。 (b) A < 0のときは、f (p + h, q + k)− f(p, q) < 0すなわち、f (p, q)は、極大値。 B2− AC > 0 ならば、h/k は、任意の値をとりうるから、f (p + h, q + k)− f(p, q)の符号 は、定まらない。従って、点(p, q)は、極点ではない。 注 B2− AC = 0 のときは、極値であるかどうか判定できない。 例3.1 f(x, y) = 4xy − 2y2− x4とする。すると、 fx= 4y − 4x3, fy= 4x − 4y, fxx= −12x2, fxy = 4, fyy= −4 これより、fx(x, y) = fy(x, y) = 0 を満たすものは、y = x を代入して、x = −1, 0, 1。 D = 16− 48x2 = 16(1 − 3x2)。従って、(1, 1), (−1, −1) で極大、(0, 0)では、極値を持た ない。 3.4 平均値の定理の証明 以下の定理の証明をする。 命題 3.6 (命題 3.2 n = 1 再掲) f(x, y) を一次導関数 fx, fy 二次導関数が存在し連続な (C2 級) 関数とする。このとき、a, bとh, k に対して、次の条件を満たす θ 0 < θ < 1が 存在する。 f (a + h, b + k)
= f(a, b) + hfx(a, b) + kfy(a, b) 1
2(h2fx,x(a + θh, b + θh) + 2hkfx,y(a + θh, b + θk) + k2fy,y(a + θh, b + θk))
補題 3.7 f(x), g(x) をともに区間 [a, b]で連続、(a, b)で微分可能な関数で、g!(x) != 0と する。このとき、a < u < bで次の条件を満たすものが存在する。 f (b)− f(a) g(b)− g(a) = f!(u) g!(u). (1) 証明 F (x)を次のように定義すると、 F (x) = f (x)− f(a) −f (b)− f(a) g(b)− g(a)(g(x) − g(a))
F (a) = F (b) = 0だからRollの定理により、F!(u) = 0 となるものがある。これは、(1)が
成り立つことを意味する。 補題 3.8 F (x) を0を含む区間で連続で二階微分可能な関数とする。この区間内の t に対 して、1 < θ < 1 で次の条件を満たすものが存在する。 F (t) = F (0) + F!(0)t +1 2F!!(θt)t2. (2) 証明 f (x) = F (x)− F (0) − F!(0)x, g(x) = x2 とすると、f (0) = g(0) = 0 だから、補 題3.7 より 0とt の間の uで下の最初の等号を満たすものが存在する。さらに、f1(x) = F!(x) − F!(0), g1(x) = 2xに補題3.7 を適用するかまたは、通常の微分係数の定義または、 平均値の定理より、二番目の等号をみたすvが0とuの間に存在する。vは0とtの間で もあるから、それは、v = θt 0 < θ < 1とも書け、最後の等号が得られる。 F (t)− F (0) − F!(0)t t2 = f!(u) g!(u) = F!(u) − F!(0) 2u = F!!(v) 2 = F!!(θt 2 . 最初の式と、最後の式から、結果がえられる。（θ を使う理由はt > 0の場合もt < 0の場 合も一通りの表し方で表現できる便利さのゆえです。） 命題の証明： F (t) = f (a + ht, b + kt)とおくと、Chain Ruleを用いて、 F!(t) = fx(a + ht, b + kt)h + fy(a + ht, b + kt)k. さらにこれを微分すると、fx(a + ht, b + kt), fy(a + ht, b + kt) にChain Ruleを適用する ことになり、 F!!(t) = fx,x(a + ht, b + kt)h2+ fx,y(a + ht, b + kt)hk fy,x(a + ht, b + kt) + fy,y(a + ht, b + kt)k2
二次導関数が連続であることから、Schwartzの定理により、fx,y= fy,x 戸なることに注意
する。さて、補題3.8 でt = 1 とすると、0 < θ < 1 で次の等式を満たすものが存在する。 f (a + h, b + k) = F (1) = F (0) + F!(0)t +1 2F!!(θt)t2 = f(h, k) + hfx(a + h, b + k) + kfy(a + h, b + k) +12(h2f x,x(a + θh, b + θh) + 2hkfx,y(a + θh, b + θk) + k2fy,y(a + θh, b + θk)). これが求める結果であった。
![S -module. isbi-graded, I ishomogeneousandinvariantso DH isabi-graded DH R/IR := Let I betheidealgeneratedbytheconstantfreeinvariantsofthisaction. σf ( x ,...,x ,y ,...,y ):= f ( x ,...,x ,y ,...,y ) Let R C [ x ,...,x ,y ,...,y ] onwhich S acts diagonall](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)