Exercise in Mathematics IIB
数学演習
IIB
平場 誠示 (Seiji HIRABA) 作成
前期の復習 問 0.1 次の言葉の英語と定義を述べ, さらに関連する重要な性質（= 定理, 補題, 命題等）があれ ば, それも述べよ. n 次元ユークリッド空間 Rnユークリッドの距離, 近傍（球体） B(a; δ) = Bδ(a) or Uδ(a) = U (a; , δ) （正確には δ-近傍）.
Rnの開集合, 閉集合, 内点, 外点, 境界点; 内部（開核）, 外部, 境界, 閉包; 触点, 集積点, 孤立点. ユークリッド空間における連続写像（関数） 位相空間 (S,O) 密着位相（自明位相）, 離散位相, 開集合, 内部（開核）, 閉集合, 閉包 近傍と近傍系, 準基と開基（準基底と基底）, 基本近傍系, 第 1 可算公理 CI と第 2 可算公理 CII, 可分, 稠密, 連続写像, 開写像, 閉写像, 同相写像, 誘導位相, 部分空間, 相対位相, 直積空間, 問 0.2 そもそも位相とは何か？何のための概念か？自分の理解した範囲で簡潔に答えよ.
後期の内容
目 次
1 連結性 (Connectivity) 3 2 コンパクト性 (Compactness) 6 3 分離公理 （Separating Axioms) 9 4 距離空間 (Metric Spaces) 10 問 0.3 以下の言葉の英語と定義を述べ, さらに関連する命題を述べ, その証明（の概略）を説明せ よ. 但し, (S,O): top. sp. とし, A ⊂ S とする. A: 連結, 弧状連結; 連結成分, 完全不連結, 中間値の定理, A: コンパクト (cpt); 有限交叉性, チコノフの定理, 分離公理: T0, T1, T2, T3, T4-sps., ハウスドルフ空間, 正則空間, 正規空間, ウリゾーンの捕題, 距離（空間）, コーシー列, 完備距離空間, 全有界, 点列コンパクト, 等長写像, 完備化, 距離化可能定理（ウリゾーンの定理）n-dim. Euclid sp.
metric, nbd=neighborhood, ball,
open, closed, interior pt=point, exterior, boundary, open kernel, closure, adherent pt, accu-mulation pt, isolated pt,
continuous map.=mapping (ft=function)
Topological sp.
topology, indiscrete (trivial) top., discrete top., nbd=neighborhood system, sub-basis & basis,
fundamental system of nbds, 1st axiom of countability, 2nd axiom of countability, separable, dense (1st-countable sp., 2nd-countable sp., という言い方もする.)
open map., closed map., homeomorphism, induced top., subsp., relative top., product top.,
Connectivity
path-connected, connected component, totally disconnected, intermediate value theorem,
Compactness
compact, finite intersection property, Tychonoff’s theorem,
Separation axioms
Hausdorff sp., regular, normal, Urysohn’s lemma,
Metric spaces
Cauchy sequence, complete, totally bounded, sequentially compact, distance-preserving map, completion, metrization theorem.
本ノートでは, 常に, (S,O): top. sp.; 位相空間, 即ち, S: a set, O ⊂ P(S) = 2S: 位相とする. また複数あるときには (S′,O′) や, (A,OA), (B,OB), また (Si,Oi) (i = 1, 2, . . .), (Sλ,Oλ) (λ∈ Λ): top. sps などと表す. さらに Rn やその部分集合などには, 断らない限り, 普通の位相, 即ち, Euclid 位相 (=Euclid 距 離から定まる位相) が入っているものとする. 以下の問で, 「定義を述べよ」という問題については, 必ず, 言葉のみと論理記号（＋単語）のみ の両方で述べよ. また, 「命題や定理、補題を述べよ」という問題については, できるだけ言葉のみ とできるだけ記号のみの両方で述べ, その証明も説明せよ. 例えば, 位相空間での連続写像とは, 開集合の引き戻し（逆像）が開集合となること.
f : (S,O) → (S′,O′) が連続 ⇐⇒ f−1(O′)⊂ O, i.e.,∀V ⊂ S′: open, f−1(V )⊂ S: open.
1
連結性
(Connectivity)
問 1.1 連結の定義を述べよ. 空でない位相空間において, 開かつ閉である部分集合がそれ自身か空集合しかないとき、連結で あるという。言い換えれば、空でない開かつ閉な真部分集合をもつときは連結でない（非連結）。 また、部分集合については、相対位相で考えて、連結なときをいう。(空集合も連結と解釈する.) 即ち, (A,OA): 連結 (connected) def ⇐⇒ [ B ⊂ A: 開かつ閉 of (A, OA) なら B =∅ or B = A] ここで, OA=O ∩ A は A ⊂ S の (S, O) からの相対位相を表す. つまり上の, B⊂ A: 開かつ閉 of (A, QA) ⇐⇒ ∃U, V ∈ O; B = U ∩ A = Vc∩ A. 使い易いのは, 連結でない（非連結 = 分離できるともいう）の方で, A⊂ S: 連結でない ⇐⇒ ∃U, V ∈ O; A ⊂ U ∪ V, A ∩ U ∩ V = ∅, A ∩ U ̸= ∅, A ∩ V ̸= ∅.例えば, R において区間 [a, b], (a, b], (a, b), [a, b) (a < b) は全て連結であるが, B = (a, b)∪ [c, d)
(a < b < c < d) は連結ではない. 実際, (a, b), [c, d) はOB において, 開かつ閉である. 問 1.2 連結に関する命題を述べよ.
・連結集合の連続像も連結. f : S→ S′: conti. S: connected⇒ f(S) ⊂ S′: connected.
f (S)連結でなければ,∃U′, V′∈ O′; f (S)⊂ U′∪ V′, f (S)∩ U′∩ V′=∅, f(S) ∩ U′̸= ∅, f(S) ∩ V′̸= ∅. S⊂ f−1(f (S))と逆像操作f−1 が集合の演算を保ち,さらにf の連続性からS が連結でないを得る, ・A⊂ B ⊂ A で, A が連結なら, B もそう. 特に A も連結. B: 連結でないならA: 連結でないを示す. その際,もし,あるU∈ Oに対し, A∩ U = ∅ならA∩ U = ∅ となることを用いる. 実際,もし∂A∩ U ̸= ∅とすると∃x∈ ∂A ∩ U で,境界の定義より, U はAの内点と 外点を持ち, A∩ U = ∅に矛盾する. ・交わりのある連結集合の和も連結 A, Bを連結として,和がU, V で分離されるとするとAかB のどちらかは,このU, V によって分割され てしまい,仮定に反する. 実際, . 共通元を1つx∈ A ∩ B固定して, x∈ U なら, A∩ V かB∩ V の少なく とも一方は空で無いので,もしA∩ V ̸= ∅ならAが分割される. 他の場合も同様.
x∈ S に対し, C(x) = ∪ C:連結,x∈C C: x を含む連結成分. これは x を含む最大の連結集合で, 上の ことから, 閉集合である. S が完全不連結 ⇐⇒def ∀x∈ S, x を含む連結成分 C(x) = {x}. Q やカントール Cantor 集合は完全不連結である. ・任意個の連結集合の直積集合も連結で, 逆も成立. 問 1.3 位相空間上の連続関数に関する中間値の定理を述べよ. 定理 1.1 (中間値の定理) (S,O): 連結, f : S → R: 連続関数とし, x0, x1 ∈ S; α = f(x0) < β = f (x1) とすると α <∀γ < β,∃x∈ S; f(x) = γ. [証] 背理法で示す. もし∃γ∈ (α, β);∀x∈ S, f(x) ̸= γとすると, f−1((−∞, γ)) = f−1((−∞, γ]) ∋ x0 がS の空でない開かつ閉な真部分集合となってしまい, S の連結性に反する. 直接照明なら, f (S)⊂ R も連結で, α, β ∈ f(S)から, [α, β]⊂ f(S)が成り立つことを用いれば明らか. (実際, S′⊂ R: 連結で, α, β∈ S′のとき,もし, α <∃γ < β; γ /∈ S′とするとS′ が(−∞, γ), (γ, ∞)で分離 されてしまいS′ の連結性に反する.) 問 1.4 弧状連結の定義と命題を述べよ. 弧状連結=任意の 2 点を (その集合内の) 弧で結ぶことができる. ここで, 弧=連続曲線で, x, y∈ S に対し, それを結ぶ弧 f とは f : [0, 1]→ S; 連続, f(0) = x, f(1) = y を満たす. ・弧状連結は連結 実際, 任意の x, y ∈ S を結ぶ弧 f に対し, Sx,y := f ([0, 1]) が連結で, それらについての和 ∪ x,y∈SSx,y = S も連結. 連結というと繋がっているというイメージで, 弧状連結と同じと思うかもしれない. 実際, ・Rn において, 空でない開集合が連結 ⇐⇒ 弧状連結. しかし, 開集合でないとき, 弧状連結ではない連結集合がある. R2 において, 線分 (0, 1]× {0} と {1/n} × (0, 1] (n ≥ 1) を合わせたものを A として, さらに {0} × (0, 1] を合わせたものを B とすると, A⊂ B ⊂ B ∪ {(0, 0)} = A となり, 明らかに A は弧状連結, 従って連結で, 定理より B も連結となるが, 弧状連結ではない. 問 1.5 上の例を図示して, 説明せよ.
連結な基本近傍系をもつとき 局所連結という, 即ち,∀x∈ S,∀U (x): x の近傍,∃U ⊂ U(x); 連結. ・局所連結 ⇐⇒ 任意の開部分空間の各連結成分は開集合 ⇐⇒ 連結開集合全体が開基 別の例として, R2 において, A = {( x, sin1 x ) ; x > 0 } これは明らかに弧状連結. しかし, A = A∪ {(0, y); −1 ≤ y ≤ 1} =: S は連結であるが弧状連結で はない. 局所連結でもない. 原点と (1/π, 0) を S の弧 f で結べるとすると, 矛盾が言える. 弧が原点を離れる最後の時間 t0 を考えて, その先の時間近傍には, f (t) の y 成分が, ±1 になる点が無数にあり, 距離が 2 以上離 れている 2 点 f (α), f (β) が選べて, しかし, α, β は t0 の近傍なので, f の連続性から, いずれも f (t0) = (0, 0) の近くになければならないので, その距離は 1 以下にできる (ように選べる). これ は矛盾である. 問 1.6 上の弧状連結でないことの証明を厳密にせよ. 弧をf : [0, 1] → S; f(0) = (0, 0), f(1) = (1/π, 0) として, 射影 p : S → R; (x, y) 7→ x を考える. p(f (0)) = 0, p(f (1)) = 1/π > 0より, t0= max{0 ≤ t ≤ 1; p(f(t)) = 0} (弧が原点を離れる最後の時間) とおくと,これは存在し, 0≤ t0< 1. 連続性から0 <∃δ < 1− t0; t0<∀t < t0+ δ,|f(t) − f(t0)| < 1/2. ま たt0 の定義からp(f (t0+ δ) > 0なのでn≫ 1に対し, p(f (t0)) = 0 < {( 3 2+ 2n ) π }−1 < {( 1 2+ 2n ) π }−1 < p(f (t0+ δ)) 中間値の定理より, ∃α, β∈ (t0, t0+ δ); p(f (α)) ={(3 2+ 2n ) π }−1 , p(f (β)) = {( 1 2+ 2n ) π }−1 . f (α) = (p(f (α)),−1), f(β) = (p(f(β)), 1)より, 2 <|f(α) − f(β)| ≤ |f(α) − f(t0)| + |f(t0)− f(β)| ≤ 1 2+ 1 2 = 1 となり,矛盾. S = A = A∪ {(0, y); −1 ≤ y ≤ 1} が局所連結でないことについて. 原点中心, 半径 1/2 の開円板 B に対し, S の開部分空間 S∩ B において, 原点を含む連結成分 は{(0, y); −1/2 < y < 1/2} となり, これは S の開集合ではない. これより, 局所連結ではない. 問 1.7 上で S∩ B において, 原点を含む連結成分が C = {(0, y); −1/2 < y < 1/2} であること, さ らにこれが S の開集合でないことを示せ. もしC がS の開集合なら,原点Oに対し, 0 <∃δ < 1/2; U = Uδ(O)⊂ R2, S∩ U ⊂ C. しかし,明らか にS∩ U にはC 以外のS の点が含まれるので矛盾.
2
コンパクト性
(Compactness)
問 2.1 コンパクトの定義を述べよ.任意の開被覆に対し, 有限部分被覆が存在する.
注意 ここでは,テキストと違って,集合に対するコンパクトを一般的な定義とする. 即ち, A⊂ S: cpt ⇐⇒def ∀{Uλ}: O.C.(= open covering) of A,∃{Uλi}
n i=1; O.C. of A. ⇐⇒ ∀Uλ∈ O; ∪ Uλ⊃ A,∃λi, i = 1, 2, . . . , n; ∪n i=1Uλi⊃ A. ・部分集合としてコンパクトと相対位相でコンパクトが同値, 即ち, A⊂ S がコンパクト ⇐⇒ 相対位相で (A, OA) がコンパクト. 問 2.2 コンパクトの性質に関する命題を述べよ. ・有限集合は常にコンパクトで, また, 離散空間において, [コンパクト ⇐⇒ 有限集合]. ・コンパクト集合の有限個の和もコンパクト. ・コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト （閉部分集合の補集合を考えれば良い.） ・コンパクト集合の連続像もコンパクト （それぞれの定義より, 容易.） ・有限個のコンパクト空間の直積空間もコンパクト. （実は, 無限個であっても成り立つ. チコ ノフの定理） 問 2.3 有限交叉性の定義を述べ, コンパクト性と関係する命題を述べよ. コンパクト空間 ⇐⇒ 有限交叉性をもつ閉集合族の共通部分が空でない ⇐⇒ 有限交叉性をも つ集合族の閉包の共通部分が空でない 対偶と補集合を考えれば良い. 閉集合族の共通部分が空ならば,有限交叉性を持たない. また最後の同値も 少し考えれば明らか. Hausdorff 空間とコンパクト性 ・ハウスドルフ空間 = T2- sp. (= 異なる 2 点が, 開集合によって分離される空間) において, コ ンパクト集合とそれに属さない点は, それぞれを含む開集合によって分離される. コンパクト集合の点と、外の固定された点を分離する開近傍を考えると,コンパクト集合の方の開被覆がで き,その有限部分被覆が存在するので,その和と対応する外の点の方の(有限個の) 開近傍の共通部分を考え れば良い. ・ハウスドルフ空間において, コンパクト集合は閉集合. 上の結果から,コンパクト集合がその外の任意の点と開集合で分離されるので,その外の点は,コンパクト 集合の補集合の内点となり,開集合であることが分る. 従って,コンパクト集合は閉集合. ・コンパクト空間からハウスドルフ空間への全単射連続写像は同相写像となる. 即ち, f−1 が連 続 = f が開写像, かつ, 閉写像.
S: cpt, S′: T2, f : S→ S′: 全単射連続とする. ∀C⊂ S: closed ⇒ cpt (by S cpt), f(C)もcpt (by f :
conti.) ⇒ closed (by S′: T2). よってf : closed map. = open map. 即ち, f−1: conti.
・ハウスドルフ空間において交わらないコンパクト集合は開集合によって分離される.
一方のコンパクト集合の各点と他方のコンパクト集合が開集合で分離され,その証明と同様にすれば,明ら か. (点が、コンパクトに代わっただけ.)
・コンパクトハウスドルフ空間は T4 空間 (= 交わらない任意の閉集合が開集合によって分離).
・ハイネ-ボレルの被覆定理 Rn において∏n i=1[ai, bi] はコンパクト 背理法で示す. 有限個で覆えない開被覆があるとすると,矩形を各辺の真ん中で2n等分して,その中で,無 限個でしか覆えない小矩形を1つ選んで,また2n等分して,同様に小矩形を選んで行く. するとこれはある 点に収束するので,被服のある開集合に含まれる. このことから小矩形のある所から先はその開集合に含まれ ることになり,無限個でしか覆えないという前提に反することになる. ・Euclid 空間 Rn において, コンパクト集合 = 有界閉集合 コンパクトなら,原点中心の任意の開近傍Bδ(O)に対し（Rn全体が覆われるので）,この有限個で覆われ るので,結局,どれか1つで覆われるので,有界. またRn はハウスドルフなので,コンパクトなら閉. 逆は, 有界なら,ある閉区間の直積で覆われて,さらにその中の閉集合なので,前の定理から,コンパクト空間の閉部 分集合となり,コンパクト. ・コンパクト空間上の実数連続関数は最大値・最小値を持つ.
S: cpt, f : conti. なら, f (S)⊂ Rもcptで,有界閉なので, max, minを持つ.
問 2.4 Tychonoff の定理を述べ, その証明の概要を説明せよ. 任意個のコンパクト空間の族の直積空間もコンパクト. （重要なのは、数がいくらあっても、即 ち、可算無限個以上のコンパクト空間の族に対しても成り立つということ.） ちなみに, 逆も, 射影が連続であることとコンパクト集合の連続像もコンパクトであることから, 成り立つ. 証明には、Zorn の補題と選択公理を用いるが, 逆に、Tychonoff の定理を仮定すると選択公理が 証明できるので, 実は同値. [Tychonoffの定理の証明]について （テキストの証明は分り難いので,少し修正する.） コンパクト空間Sλ の直積S = ∏ λ∈ΛSλがコンパクトを示すのに, S の有限交叉性を持つ任意の閉部分 集合族C ⊂ 2Sに対し,∩C =∩{C ∈ C} ̸= ∅を示せばよい. このCを任意に1つ固定し,これを含む有限交 叉性を持つ集合族の全体をX ={X ⊂ 2S;X ⊃ C}として,包含関係を順序とすると,空でない帰納的順序集 合となる. 実際, Xのある全順序部分Y⊂ Xに対し, Y =∪Y =∪{X ; X ∈ Y} = {A ⊂ S; A ∈ X ∈ Y} とおけば,有限交叉性を持つことが示せて,Y ∈ X. 即ち, Yの上界となる. Zornの補題から極大元X0∈ X が存在する. C ⊂ X0 より,この極大元に対し,∩X0= ∩ {X; X ∈ X0} ̸= ∅を示せば十分となる. ∀λ∈ Λ,射 影πλ: S→ Sλに対し,Cλ={πλ(X); X∈ X0}とおけば, Sλにおける有限交叉性を持つ1つの閉集合族と なり, Sλのコンパクト性より, ∩ Cλ̸= ∅. 選択公理より, x = (xλ); xλ∈ ∩ Cλが1つ選べて, x∈ ∩ X0とな ることが分る. 実際, x∈∩X0 ⇐⇒ ∀X ∈ X0, x∈ X より, xの任意の近傍U に対し, U∩ X ̸= ∅を言え ば良いが,さらにU の代わりに,基本近傍系∩n i=1πλ−1i(Vλi); VλはSλにおけるxλの任意の近傍,に置き換 えて示せば良い. しかし,これもxλ∈ πλ(X) ⇐⇒ Vλ∩ πλ(X)̸= ∅ ⇐⇒ π−1(Vλ)∩ X ̸= ∅ (Vλはxλの 任意の近傍)より明らか. [Tychonoff の定理⇒選択公理]について 選択公理は『任意個の空でない集合の族から一斉に元が1つずつ選び出せる』というものであるが,これ をその集合族の直積で考えれば,その直積が空でないということになる. 即ち,『任意個の空でない集合の族 の直積集合も空でない』と同値である. これを Tychonoffの定理を用いて示すには、少し集合を拡張して、 そこへ上手い位相を入れてコンパクトにし,それと「有限交叉性を持つ任意の閉集合族の共通分も空でない」 が同値であることを用いてやれば良い. 実際, Aλ (λ∈ Λ)を空でない集合として, ∏ Aλ̸= ∅ を示す. 全く 別の点ωを加えて, Sλ= Aλ∪ {ω}として,Oλ:={∅, Sλ,{ω}, Bc; ♯B <∞}とおけば,これは位相となり, (Sλ,Oλ)はコンパクトとなる(→問). チコノフより, S := ∏ Sλもコンパクト. 射影πλ: S → Sλに対し, Fλ= π−1λ (Aλ)はS での閉集合となる(→問). しかも,{Fλ}λ∈Λは有限交叉性をもつ. よって, Sのコンパ クト性から,∏Aλ= ∩ Fλ̸= ∅. 問 2.5 上の(Sλ,Oλ)がコンパクトであることを,有限交叉性を用いて証明せよ. またFλ= πλ−1(Aλ)が閉 集合であることも示せ. (射影は連続で, Aλ={ω}c: closed in Sλ.) さらに{Fλ}λ∈Λ が有限交叉性をもつことも示せ. (∀λ1, . . . , λn∈ Λに対し, xλi ∈ Aλi (i = 1, . . . , n)を 1つずつとり, xλ= ω (λ̸= λi, i = 1, . . . , n)とすれば, x = (xλ)∈ ∩ Fλi.)
局所コンパクト性 (Locally Compactness) 問 2.6 局所コンパクト, 相対コンパクトの定義を述べよ. 位相空間が局所コンパクトとは各点が少なくとも 1 つのコンパクトな近傍を持つこと. 部分集合が相対コンパクトとはその閉包がコンパクトであるときをいう. ・ハウスドルフ空間において, 相対コンパクトな開近傍を持つこととコンパクトな近傍を持つこ とは同値である. 点xのコンパクトな近傍に対し,その内部を考えれば良いが,もしその全てがxを含まないとすると,コン パクト近傍の境界上にxがあることになる. これは近傍の定義(xが内点であるということ)に反する. 問 2.7 局所コンパクトに関する命題を述べよ. ・局所コンパクトハウスドルフ空間において, コンパクトな近傍全体は基本近傍系となる. 即ち, 各点の任意の近傍は, コンパクトな近傍を含む. x∈ K: cptとして,∀U : open; x∈ U ⊂ Ko に対し,∃C: cpt; x∈ C ⊂ U を示せば十分. しかし,こ
れはコンパクトハウスドルフ空間が T3, i.e.,点xと閉集合Ucが開集合で分離されるので,∃U1, U2: open;
x∈ U1, Uc⊂ U2, U1∩ U2=∅, i.e., x ∈ U1⊂ Uc 2 ⊂ U. 従って, C = U2c とおけばC⊂ K でcptとなる. ・局所コンパクトハウスドルフ空間は T3 空間, 即ち, 点と閉集合が開集合によって分離される. x /∈ C: closedに対し,∃U : open; x∈ U ⊂ U ⊂ Ccを示せば良い. しかし,これは上の結果より,∃K: cpt; x∈ Ko⊂ K ⊂ Cc なので, U = Ko ととれば良い. コンパクト化 問 2.8 コンパクト化の定義とそれに関する命題を述べよ. コンパクト化: S: top. sp. に対し, ∃S: cpt,e ∃ϕ : S→ ϕ(S) ⊂ eS: isom.; ϕ(S) = eS. このとき, ( eS, ϕ) を S のコンパクト化という. さらに eS\ ϕ(S) が 1 点集合のとき, 1 点コンパクト化という. ・任意の位相空間は 1 点コンパクト化できる, 即ち, (S,O): top. sp. に対し, 1 点 x∞∈ S を加/ え, S∗= S∪ {x∞} に適当な位相 O∗;O∗∩ S = O を入れることにより, コンパクトにできる. (当 然, (S,O) はその部分空間となる.) O∗=O ∪ O ∞={U; U ∈ O or U ∈ O∞};但し, V = S∗\ F ∈ O∞; F は∅かS のコンパクト閉集合と おけば良い. 即ち,O∞ の元は,全体集合S∗か,Oの中で補集合がコンパクト閉集合であるものに, 1点x∞ を付け加えたもの. O∗ が位相になることはコンパクトの性質より容易に示せて,またN (x∞) =O∞より, N (x∞)∩ S ̸= ∅となり, S = S∗がいえる. さらに, S∗がコンパクトなることについては,∀{Uλ} ⊂ O∗: 開 被覆に対し,どれか一つはx∞を含み,その補集合はSのコンパクト閉集合で,それが残りのUλ\ {x∞} ∈ O で覆われているので,有限個で覆われる. 従って, S∗自身が有限個のUλで覆われることになり,コンパクト となる. ・S の 1 点コンパクト化 S∗ が, ハウスドルフ空間になり, S⊂ S∗が部分空間となるための必要 十分条件は, S が局所コンパクトハウスドルフであることで, そのときの S∗の位相O∞ は一意的 に決まる.
3
分離公理 （
Separating Axioms)
点や閉集合を位相的に分離するための概念を考える. 問 3.1 次の言葉の定義を述べよ. T0-sp., T1-sp., T2-sp., T3-sp., T4-sp., ハウスドルフ Hausdorff sp., 正則空間, 正規空間. T0: 異なる 2 点が, 少なくとも一方のある開近傍で, 分離される. T1: 異なる 2 点が, どちらでも一方のある開近傍で, 分離される. T2: 異なる 2 点が, それぞれのある開近傍で, 分離される. T3: 1 点とそれを含まない閉集合が, それぞれを含むある開集合で分離される. T4: 交わりのない 2 つの閉集合が, それぞれを含むある開集合で分離される. Hausdorff= T2, 正則空間 = T1+ T3-sp., 正規空間 = T1+ T4-sp. 注）教科書によっては T3 を正則空間, T4 を正規空間と定義するものもある. 実際, Wikipedia ではそう定義されている. 問 3.2 T1 ⇐⇒ 1 点集合が閉集合を示せ. x∈ Sに対し,それ以外の点y̸= xを考えれば, T1 から,∃Uy∋ y: open; x /∈ Uyより,明らかに{x}は 閉. 実際,{x}c=∪y̸=xUyで開. 逆はもっと明らか. これから, [正規 T1+ T4⇒ 正則 T1+ T3] がいえる. 問 3.3 Hausdorff sp. に関する命題を述べて, 証明せよ. ・ハウスドルフ空間において 1 点集合は閉集合. (T2⇒ T1 より明らか.) 従って, T2+ T4 なら T3(閉に 1 点集合が含まれるので). さらに, 正規ハウスドルフなら正則. ・距離位相はハウスドルフかつ T4で, 従って, T3 でもあるので, 正規正則ハウスドルフ. (距離が正なら, その半分の距離の開近傍を考えれば良い.) ・S ハウスドルフ ⇐⇒ S2 の対角線{(x, x); x ∈ S} は閉集合. ⇐⇒ 各点 x ∈ S において, そ の全ての閉近傍の共通部分は{x}. (ちなみに閉近傍 = その点を内点として含む閉集合). x̸= y ⇒ (x, y) /∈ 対角線 とU × V ⊂ 対角線c ⇐⇒ U ∩ V = ∅ に注意 . また直積位相の定義より, O∈ O(S2)に対し,∃U, V ∈ O; U × V ⊂ O も用いれば,最初の同値は容易. x̸= yなら ∃U, V ∈ O; x ∈ U, y ∈ V, U ∩ V = ∅このとき, Vc は xの閉近傍となる. 即ち, x⊂ U ⊂ Vc, y /∈ Vc. これに注意すれば,最後のはT2 との同値が示せる. 問 3.4 T3 ⇐⇒ 各点において, 閉近傍の全体は基本近傍系となる. 即ち, x ∈ S の任意の近傍 U に対し, ∃V ⊂ U: x の閉近傍, i.e., x ∈ Vo⊂ V = V ⊂ U. Uc: closed に注意すれば容易. 問 3.5 T4 ⇐⇒ T4′; F : closed, G: open; F ⊂ G なら,∃U : open; F ⊂ U ⊂ U ⊂ G. 上と同様.問 3.6 ウリゾーン (Urysohn) の補題を述べ, その証明の概略を説明せよ.
・S を T4とする. A, B⊂ S を互いに素な閉集合とすると, [0, 1] 値連続関数 f on S によって,
0 と 1 に分離される, i.e., f (A) ={0}, f(B) = {1}. .
Λ: [0, 1]の2進有理数m/2n, n≥ 1, m = 0, 1, . . . , 2nの全体とする. このとき, T′
4 により,次が示せる. ∀r ∈ Λ,∃O(r)∈ O; A ⊂ O(0) ⊂ O(1) = Bo
, r < r′ ⇒ O(r) ⊂ O(r′). そこで, f : S → Rを, f = 1 on
4
距離空間
(Metric Spaces)
問 4.1 距離空間 (S, d) の定義と例を述べよ. 非負性, ０値同一性, 対称性, 三角不等式 ・d が距離なら, d′= d/(1 + d) も距離, ・X ̸= ∅ 上の実数値有界関数の全体 B(X) = B(X, R) に, ∥f∥∞= supx∈X|f(x)| として (これ をノルムという), d(f, g) =∥f − g∥∞とおけば, (B(X, R), d) は距離空間. 問 4.2 距離空間の可算公理と分離公理に関する性質を述べよ. ・距離空間⇒ CI: 各点が可算個の基本近傍系を持つ. ・距離空間が CII: 可算開基を持つ ⇐⇒ 可分. ∀x∈ S, B r(x); r∈ Q+ が基本近傍系. また,位相空間において, CII なら可分だが,これは, 可算開基を 持つなら,開基の開集合から, 1点ずつxn固定すれば,その全体が稠密となる. 実際,可分: {xn} = S ⇐⇒ ∀U ∈ O,∃x n ∈ U で,∃Un: 開基の開集合; Un⊂ U からいえる. 逆に可分な距離空間なら,可算稠密部分 {xn}に対し, Br(xn), r∈ Q+, n≥ 1が可算開基となる. 実際,∀U : openに対し, x∈ U,∃δ > 0; Bδ(x)⊂ U より,∃n; d(x, xn) < δ/2. よって, 0 < r < δ/2なるr∈ Qを1つとれば, Br(xn)⊂ U を得る. ・距離空間は正規ハウスドルフで, 結局, 正規正則ハウスドルフ; T2+ T4⇒ T1+ T3. 問 4.3 コーシー列、完備距離空間の定義を述べよ. 問 4.4 コーシー列のある部分列が収束していれば, 元の列自身が収束することを示せ. 問 4.5 完備距離空間の例を挙げ, 説明せよ. X ̸= ∅ に対し, 実数値有界関数の全体 B(X) は d(f, g) = ∥f − g∥∞ のもと, 完備. また (X,O) を空でない位相空間とし, Cb(X) = Cb(X, R) を X 上の実数値有界連続関数の全体とすると同じ 距離のもと, Cb(X)⊂ B(X) も完備. 問 4.6 全有界と点列コンパクトの定義を述べよ. また, 距離空間におけるコンパクト集合に関する 命題を述べよ. 距離空間が 全有界 ⇐⇒ 任意の正の数 ε > 0 に対し, 適当な有限個の点の ε 近傍で全体を覆える.def 点列コンパクト ⇐⇒ 任意の点列が収束部分列をもつ.def ・距離空間において次の同値が成り立つ. コンパクト ⇐⇒ 点列コンパクト ⇐⇒ 全有界, かつ, 完備 問 4.7 等長写像の定義を述べ, それは単射であることを示せ. f : (S, d)→ (S′, d′) が等長写像 ⇐⇒def ∀x, y∈ S, d(x, y) = d′(f (x), f (y)) このとき, f (x) = f (y) とすると 0 = d′(f (x), f (y)) = d(x, y) となり, x = y を得るので, 単射. 問 4.8 完備化の定義と, 定理を述べよ.( eS, ed) が (S, d) の完備化 completion とは,∃i : S → eS 等長写像; ( eS, ed) は完備, i(S)⊂ eS は
稠密.
またこのとき, 等長写像もセットにして, (( eS, ed), i) を完備化ということもある.
・任意の距離空間に対し, その完備化は存在し, またその完備化同士の間には, 全単射な等長写像 が存在し, 完備化それぞれに付随する等長写像を保つ.
(( eS, ed), i), (( ˆS, ˆd), ˆi) を (S, d) の完備化とすると,∃f : eS→ ˆS 全単射等長写像; ˆi = f◦ i.
問 4.9 ウリゾーンの距離化可能定理を述べ, その概略を説明せよ.
・ウリゾーンの距離化可能定理 CII+ T2+ T4 空間は距離化可能.
問 4.10 CII + T3= T4を示せ.
問 4.11 縮小写像の定義を述べ, さらに, 「縮小写像の原理」の命題を述べよ.
f : S→ S が縮小写像 ⇐⇒def ∃c < 1;∀x, y∈ S, d(f(x), f(y)) ≤ c · d(x, y).
・縮小写像の原理 完備距離空間上の縮小写像に対し, 不動点が唯一つ存在する. 任意に1つ点を固定し,縮小写像で,写して行くと,その点列がコーシー列となる. 完備性から極限が存在 し,それが実は不動点となる. 一意性はx, x′ の2つあるすると,次からd(x, y) = 0, i.e., x = y. d(x, y) = d(fn(x), fn(y))≤ cnd(x, y) 問 4.12 完備距離空間における, ベールの定理を述べよ. ・ベールの定理 完備距離空間において, 稠密な開集合が可算個あれば, その共通部分も稠密.
