(1)第５章 対流熱伝達の基礎
伝熱工学の基礎： 伝熱の基本要素、フーリエの法則、ニュートンの冷却則
１次元定常熱伝導： 熱伝導率、熱通過率、熱伝導方程式
２次元定常熱伝導： ラプラスの方程式、数値解析の基礎
非定常熱伝導： 非定常熱伝導方程式、ラプラス変換、フーリエ数とビオ数
対流熱伝達の基礎： 熱伝達率、速度境界層と温度境界層、層流境界層と
乱流境界層、境界層厚さ、混合平均温度
強制対流熱伝達： 管内乱流熱伝達、円柱および球の熱伝達、管群熱伝達
自然対流熱伝達： 垂直平板自然対流熱伝達、密閉層内自然対流、共存対
流熱伝達
輻射伝熱： ステファン-ボルツマンの法則、黒体と灰色体、輻射率、形態係数
凝縮熱伝達： 鉛直平板膜状凝縮、凝縮数、水平円管膜状凝縮、滴状凝縮
沸騰熱伝達： 沸騰曲線、気泡力学、沸騰熱伝達率
ニュートンの冷却則
（
Newton’s law of cooling）
T
T
A
Q
w
実験的な事実： （熱移動量）
∝（温度差）
比例定数を
h とすると、
ここで、
h
W m2
K
は、
熱伝達率
と呼ばれる。
h
T
T
A
Q
w
ニュートンの冷却則
（Newton’s law of cooling）
対流熱伝達
高温発熱体表面を流れる空気の流速によって熱移動が異なる！ なぜ？
ニュートンの冷却則と熱伝達率
熱伝達→熱伝達率の予測
熱移動量（Newton’s Law of Cooling）：
予測
(1) 流れ場の予測
→運動の法則、速度境界層
(2) 流れの場の中で成り立つエネルギー収支
→温度場
(3) 加熱面と流体間の熱伝達率の予測
T Tw
hA
Q
ニュートンの粘性則
（せん断応力）
y
V
A
F
比例定数：
y
V
A
F
y
V
平板に沿う速度境界層の変化
u
u
0.99
：速度境界層
平板の場合
層流境界層から乱流境界層への遷移：
5
10
5
x
u
6
5
10
2
~
10
（ ：表面粗さに依存）
レイノルズ数
慣性力：
粘性力：
l
u
u
x
u
u
~
2
~
~
u
y
u
y
y
レイノルズ数＝慣性力
/粘性力
＝
l
u
u
l
u
u
2
流体要素に対する運動方程式
質点に対するニュートンの第２法則：
F=ma
↓
流体要素に対する運動方程式：
（力）＝（ある検査体積を通過する質量流量）×（速度）
（仮定）
(1) 流体は非圧縮性
(2) 定常
(3) y 方向に圧力変化なし
(4) 粘性係数一定
(5) y 方向の粘性せん断応力を無視
（
x 方向の運動量変化）＋（y 方向の流動による x 方向の運動量変化）
＝（検査体積に働く力）＋（粘性せん断応力の和）
流体要素に働く力
（
x 方向の運動量変化）
=（右側面から流出した運動量）—（左側面から流入した運動量）
dx
dy
u
u
x
u
u
dy
1 1
2
（
y 方向の流動による x 方向の運動量変化）
=（上面から流出した運動量）—（下面から流入した運動量）
dy
dx
v
u
y
u
u
dy
y
v
v
dx
1
1
（圧力の和）
dx dy
x
P
P
dy
P
1 dxdy
x
P
（粘性せん断応力による正味の力）
=（上面に働くせん断応力）—（下面に働くせん断応力）
1
1
dx
y
u
dx
dy
y
u
y
y
u
dxdy
yu
22
層流境界層に対する運動方程式
せん断応力と圧力による力の和を検査体積に流入する
X方向の運動量の和と等しいとおくと、
dy dx uvdx
y
u
u
dy
y
v
v
dy
u
dy
dx
x
u
u
2
2
dxdy
y
u
dxdy
x
P
2
2
左辺
=
dy dx uvdx
y
v
y
v
dy
y
v
u
dy
y
u
v
uv
dy
u
dy
dx
x
u
dx
x
u
u
u
2
2
2
2
2
2
2
y
u
x
P
y
v
x
u
u
y
u
v
x
u
u
よって
質量保存則
質量の保存則より
x 方向で考えると （流入した質量）—（流出する質量）=0
0
dxdy
x
u
x, y 方向の質量の保存を考えると、
0
y
v
x
u
物性値一定のもとでの層流境界層に対する運動方程式
2
2
y
u
x
P
y
u
v
x
u
u
（連続の式）
von Karman による層流境界層方程式の近似解法
（仮定）
(1) y 方向成分（流れに垂直）は無視
検査体積から流出する運動量
H
udy
0
面１を通して流入する運動量：
H
udy
u
0
面２を通して流出する質量、運動量：
H
dy
dx
x
u
u
0
u dy
dx
dx
d
dy
u H
H
0
2
0
2
A – A 面を通過する質量：
udy
dx
dx
d H
0
A – A 面を通過する運動量：
udy dx u
dx
d H
0
結局、検査体積から流出する運動量は：
udy
dx
x
u
dx
udy
u
u
dx
d
dx
udy
dx
d
u
dx
dy
u
dx
d H H H H
0 0 0
0
2
面１を通して流入する質量 ：
境界層運動量積分方程式
圧力によって働く力：
Hdx
x
P
H
dx
x
P
P
H
P
粘性によって働く力：
dx
y
u
dx
w
（検査体積内の運動量の増分） ＝ （検査体積に働く力の和）
Hdx dx
x
P
dx
udy
x
u
dx
udy
u
u
dx
d
w
H
0
H
0
ベルヌーイの式より
2
2
1
u
P = 一定 であるから
0
x
u
u
x
P
x
u
u
x
P
0
y
H
0 y
u
udy
u
u
x
平板に沿う速度境界層
“境界層内の運動量積分方程式”
0
0
y
y
u
udy
u
u
dx
d
左辺：速度がu
∞からu(y)に減速されることに要する力
右辺：壁での粘性によるせん断応力
境界層内速度分布
異なる位置yにおいて速度分布u(y)は相似であると仮定する
3
4
2
3
2
1 C y C y C y
C
y
u
速度分布が満足すべき境界条件は
： u(0)=0
： u(δ)=u
∞
：
：
0
y
u
y
0
y
0
y
0
y
y
0
2
2
y
u
以上より、速度境界層内の速度分布は
3
2
1
2
3
y
y
u
y
u
境界層積分方程式の解
3
2
1
2
3
1
1
y
y
u
u
u
u
u
u
y u
u
y
u
y
u
u
y
y 2
3
2
3
1
2
3
3
2
0
0
以上より
また
従って、境界層運動量積分方程式は
y dy 23 u
2
1
y
2
3
y
2
1
y
2
3
1
dx
d
u
0
3
3
2
u
dx
d
13
140
0
0
y
y
u
udy
u
u
dx
d
速度境界層厚さ
u
x
x
13
280
x
0
x
0 13 u dx
140
d
u x
x
Re
ここで とおくと速度境界層厚さは、
x
x Re
64
.
4
ニュートンの冷却則と熱伝達率
熱伝達→熱伝達率の予測
熱移動量（Newton’s Law of Cooling）：
予測
(1) 流れ場の予測
→運動の法則、速度境界層
(2) 流れの場の中で成り立つエネルギー収支
→温度場
(3) 加熱面と流体間の熱伝達率の予測
T Tw
hA
Q
エネルギー保存則
上面より熱伝導によって運ばれるエネルギー
ルギー
上面より流出するエネ
ルギー
右面より流出するエネ
粘性力による仕事
て運ばれるエネルギー
下面より熱伝導によっ
ルギー
下面より流入するエネ
ルギー
左面より流入するエネ
dx
dy
y
T
y
T
k
dx
dy
y
v
v
dy
y
T
T
c
dy
dx
x
u
u
dx
x
T
T
c
dxdy
y
u
dx
y
T
k
Tvdx
c
Tudy
c
p
p
p
p
2
2
2
dxdy
y
T
k
dxdy
y
T
v
x
T
u
y
v
x
u
T
c
dxdy
y
u
p 2
2
2
エネルギー方程式
連続の式より
0
y
v
x
u
2
2
2
y
u
y
T
k
y
T
v
c
x
T
u
cp p
だから
いま、温度伝導率（
Thermal Diffusivity）を
と定義すると、
p
c
k
2
2
2
y
u
c
y
T
y
T
v
x
T
u
p
2
2
y
T
y
T
v
x
T
u
熱伝達率の導出
壁面近傍での速流体速度＝０であるから、壁面から
流体への熱移動は熱伝導のみによって伝えられる。
0
y
y
T
k
q
一方、ニュートンの冷却則により、
h T T
q w
0
y
w
y
T
k
T
T
h
だから
T T
y
T
k
h w
y 0
すなわち、熱伝達率
hを求めるためには、
壁面の温度勾配を知ればよい。
境界層内での温度分布
境界層内での温度分布を
T(y)=C
1+C
2y+C
3y2
+C
4y3
とおくと、この式が満足すべき境界条件は、
y=0 ：
T(0)=Tw
y=0 ：
y=
t ： T(
t)=T∞
y=
t ：
であるから、境界層内での温度分布は、
0
2
2
y
T
0
y
T
3
2
1
2
3
w t t
w y y
T
T
T
T
熱伝達率の評価
3
2
1
2
3
w t t
w y y
T
T
T
T
32
2
3
1
2
3
t
t
w
y
T
T
y
T
t
w
y
T
T
y
T
2
3
0
t
w
y
k
T
T
y
T
k
h
2
3
0
境界層内の温度分布：
熱伝達率は、
温度境界層厚さ
t がわかれば、熱伝達率が評価できる。
ニュートンの冷却則と熱伝達率
熱伝達→熱伝達率の予測
熱移動量（Newton’s Law of Cooling）：
予測
(1) 流れ場の予測
→運動の法則、速度境界層
(2) 流れの場の中で成り立つエネルギー収支
→温度場
(3) 加熱面と流体間の熱伝達率の予測
T Tw
hA
Q
エネルギー保存式
仮定として、 とすると、エネルギー収支式は、
対流によって流入するエネルギー
壁からの熱移動
粘性力による仕事
エネルギー
対流によって流入する
t
dx
y
T
k
dx
dy
y
u
T
c
dx
udy
x
A
dx
T
c
udy
x
T
c
udy
T
c
udy
y
H
p
H
H
p
H
p
H
p
0
0
2
0
0
0
0
'
A
2
1
壁からの熱移動
粘性力による仕事
ー
より流出するエネルギ
面
ー
より流出するエネルギ
面
ー
より流入するエネルギ
面
であるから
エネルギー積分方程式
c uTdy
dx
x
uTdy
c
dx
y
T
k
dx
dy
y
u
T
c
dx
udy
x
uTdy
c
H
p
H
p
y
H
p
H
H
p
0
0
0
0
2
0
0
0
0
2
0
y
H
p
H
y
T
dx
dy
x
u
c
udy
T
T
x
“エネルギー積分方程式”
粘性散逸項を無視することにすると
0
0
y
H
y
T
udy
T
T
dx
d
エネルギー積分方程式の変形
0
y
H
0
y
T
udy
T
T
dx
d
0
y
w
H
0
w
w
w
w
y
T
T
dy
u
u
u
T
T
T
T
T
T
T
T
dx
d
0
y
w
w
w
H
0
w
w
w
T
T
T
T
y
T
T
dy
u
u
T
T
T
T
1
dx
d
u
T
T
ここで
3
y
2
1
y
2
3
u
y
u
3
t
t
w
w y
2
1
y
2
3
T
T
T
T
エネルギー積分方程式の解法
>
tの仮定より、積分の上限はH→
tでよい
（なぜならば、y>
tではT=T
∞）
0
0 1
y
w
w
w
w
w
w
T
T
T
T
y
T
T
dy
u
u
T
T
T
T
dx
d
u
T
T t
∞=T
∞-T
wとすると
0
3
0
3
3
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
1
y
t
t
t
t
y
y
y
dy
y
y
y
y
dx
d
u t
よって、
t
t
t
dx
d
u
2
3
280
3
20
3 2 4
エネルギー積分方程式の解法
ここで、=
t/とおくと
2
3
280
3
20
3 2 4
dx
d
u
仮定より、>
t、よって<1だから
は
に比べて小さいので
2
3
20
3 2
dx
d
u
を解けばよい。境界条件は、
x=x
0： t=0 ⇔ =
ここで
x
x
u 2
2
10
u
x
13
140
かつ
u
x
13
280
2
であるから
エネルギー積分方程式の解法
より、解くべき式は
14
13
dx
d
x
4 2
3
となる。ここで
dx
d
3
1
dx
d 3
2
であるから、
14
13
dx
d
x
3
4 3
3
この微分方程式の解は、
4
3
0
3
x
x
1
14
13
エネルギー積分方程式の解法
今、プラントル数
Pr を定義すると、
3
1
4
3
0
3
1
3 Pr 1
14
13
x
x
3
1
4
3
0
3
1
1
Pr
026
.
1
1
x
x
t
エネルギー積分方程式の解法
今、プラントル数
Pr を定義すると、
3
1
4
3
0
3
1
3 Pr 1
14
13
x
x
3
1
4
3
0
3
1
1
Pr
026
.
1
1
x
x
t
x
x Re
64
.
4
ここで、速度境界層厚さは、
熱伝達率とヌッセルト数
x
x
x
k
x
x
k
k
h
x
t
t
1
64
.
4
Re
1
Pr
026
.
1
2
3
1
2
3
2
3
2
1
3
1
4
3
0
3
1
3
1
4
3
0
2
1
3
1
1
Re
Pr
332
.
0
x
x
x
k
h x
3
1
4
3
0
2
1
3
1
1
Re
Pr
332
.
0
x
x
Nu x
ヌッセルト数：
Nu
hx k
ヌッセルト数
熱伝導による熱移動
熱伝達による熱移動
L
T
k
T
h
k
hL
Nu
プラントル数
温度境界層厚さ
速度境界層厚さ
温度伝導率
動粘性係数
Pr
（例）
空気、He、H
2、O
2、N
2：
水蒸気 ：
水 ：
油 ：
7
.
0
~
Pr
0
.
1
~
Pr
5
~
13
Pr
276
~
47100
Pr
Pr の意味
(1) 温度境界層厚さと速度境界層厚さの比に
関係するパラメータ
(2) 与えられた境界層外の流れ場に対して、どの程度
厚く温度、速度境界層が発達するかを示す指標
膜温度
一般に、壁温と主流温度は異なり、温度分布が生じる、
この壁温と主流温度の違いによって発生する物性値の
違いを考慮するため、以下の式で計算される膜温度を
用いるのが普通である。
2
T T
Tf w
平均熱伝達率
次式よって求められる熱伝達率は、
板の前線からの距離xによって変化
する局所的な値である。
2
1
3
1
Re
Pr
332
.
0 x
x
Nu
k
x
h
Nux
x
x=0からx=Lまでの熱の移動を求めるためには、x=0からx=Lの
区間での熱伝達率を求めておかなければならない。すなわち、
L
0
L
0 x
dx
dx
h
h
平均熱伝達率
2
1
3
1
2
1
3
1
0 2
1
2
1
3
1
0
2
1
3
1
0
0 2
1
3
1
Pr
332
.
0
2
2
Pr
332
.
0
Pr
332
.
0
Pr
332
.
0
1
Re
Pr
332
.
0
L
u
L
k
L
u
L
k
dx
x
u
L
k
dx
x
u
x
k
L
dx
dx
x
k
h
L
L
L
L
L
x
h
h
2
円管内の層流熱伝達
熱伝達率hは
0
r
r
b
w
r
T
k
T
T
h
q
w b
r
r
T
T
r
T
k
h
0
混合平均温度（Bulk Temperature）
0
0
0
0
2
2
r
p
r
p
b
c
u
dr
r
T
c
u
dr
r
T
分子： 管断面の全エネルギー流量
分母： 質量速度と比熱の積の積分値
→ ある点での流れのもつ全エネルギーを表す温度
“Mixing-cup temperature”
「ある容器に流体を貯めて、平衡温度になった時の温度」
に等しい。
円管内の温度分布を表す式
dx
x
T
T
uc
dr
r
dr
r
T
r
r
T
dx
dr
r
k
T
uc
dr
r
r
T
dx
r
k
p
p
2
2
2
2
環状の円管要素内のエネルギー収支は、
dr
r
dx
q
r
q
r+dr
ρ(2πrdr)uc
pT
dx
x
T
T
uc
dr
r
dq
T
uc
dr
r
dq
p
dr
r
p
r
2
2
であるから
より
u
x
T
r
T
r
r
r
1
1
p
c
k
ただし
円管内の温度分布の導出
u
x
T
r
T
r
r
r
1
1
円管内の温度分布は、
x
T
dr
r
dx
q
r
q
r+dr
ρ(2πrdr)uc
pT
なる式を、 =一定 の仮定
のもとで解くことによって
得られる 。
円管内の力の釣り合い
力のバランスを考えると、
2
2
2 r dx P dP r
r
P
r
dx
dP 2
一方、ニュートンの粘性則
によって、
dr
du
円管内の流速分布
dr
du
r
dx
dP
2
0 0
2
1
r
r
r
r dx rdr
dP
du
2
2
1
02 2
0
r
r
dx
dP
r
u
r
u
2
0
2
4
1
r
r
dx
dP
r
u
管中心での速度がu
0だから、u(0)=u
0
2
0
4
1
0
r
dx
dP
u
2
0
0
1
0
r
r
u
r
u
u
r
u
流速分布をエネルギー式に代入
2
0
0 1
1
1
r
r
u
x
T
r
T
r
r
r
これを解けば温度分布T(r)が求められる。
rdr
r
r
u
x
T
dr
r
T
r
r
2
0
0 1
1
1
2
0
4
2
0
4
2
1
C
r
r
r
u
x
T
r
T
r
r
C
r
r
r
u
x
T
r
T 1
2
0
3
0
4
2
1
dr
r
C
dr
r
r
r
u
x
T
dr
r
T 1
2
0
3
0
4
2
1
2
1
2
0
4
2
0 ln
16
4
1
C
r
C
r
r
r
u
x
T
T
円管内の温度分布
温度に対する境界条件、r=0： 、T=T
0
より、 C
1=0、C
2=T
0であるから、
温度分布は、
0
r
T
0
2
0
4
2
0
16
4
1
T
r
r
r
u
x
T
T
0 02 0
0
16
3
T
x
T
r
u
r
T
Tw
0
2
0
0
96
7
T
x
T
r
u
Tb
x
T
r
u
r
T
r
r
4
0
0
0
混合平均温度：
壁面温度は：
温度勾配：
円管内層流熱伝達率の評価
0
2
0
0
0
0
b
w
r
r
r
k
11
24
x
T
r
u
96
7
16
3
x
T
4
r
u
k
T
T
r
T
k
h 0
いま、ヌッセルト数：
k
hd
Nu
0
d
0=2r
0だから、
（参考）平板の場合 ：
364
.
4
11
48
Nu
3
1
2
1
Pr
Re
032
.
0
Nu
問題5-1
拡大管(Diffuser)の中を20(℃)の水が、10(kg/s)の割合
で流れている。管の内径は、入り口断面で3.0(cm)、出
口断面で9.0(cm)である。摩擦のない流れとして、出入
り口での静圧上昇を計算しなさい。
ただし、ベルヌーイの法則
が成り立つとし、水の密度を1000(kg/m3
)する。
2
2
2
2
1
1 u
2
1
P
u
2
1
P
解法の方針5-1
出入り口での静圧上昇は、ベルヌーイの法則より
出入り口での速度は、質量速度を、 とすると、
連続の式
2
2
1
1u A u
A
G より
であるから、
)
u
u
(
2
u
2
1
u
2
1
P
P2
1
12
22
12
22
)
s
/
kg
(
G
2
2
1
1
A
G
u
,
A
G
u
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
A
G
A
G
2
)
u
u
(
2
P
P
4
d
A
,
4
d
A
2
2
2
2
1
1
また
2
2
2
2
1
1 u
2
1
P
u
2
1
P
ベルヌーイの法則：
問題
5-2
内径1 cmの円管に油が、流量0.14 kg/sで流れている。油は、入口より一
様な速度で流入するものとし、速度助走区間を求めよ。さらに、管摩擦係
数
fを用い、十分に発達した流れの区間における管軸1 m当たりの圧力
損失を求めよ。なお、油はニュートン流体とし、密度r=860 kg/m3、粘度
m=0.0172 Pa・sとする。なお、速度助走区間は以下の式で記述できる。
d
u d Re
L 0.05 ：層流(Re
d≦2300)
Lu d 10：乱流(Red>2300)
また、管摩擦係数λ
fは以下の式で記述できる。
d
f
Re
64
14
3164
.
0
d
f Re
：層流(Re
d≦2300) ：乱流(Re
d>2300)
また、長さl [m]当たりの圧力損失は以下で表される。
2
2
1
u
d
l
p
f
問題5-3
27℃で1atm(=1.0132×105
Pa)の空気が平板に沿って
2m/sの流速で流れている。平板の前縁からの距離が
20cmにおける境界層厚さを計算せよ。ただし、空気の
ガス定数は287J/kgKであり、27℃における粘性係数は
1.98×10-5
kg/msである。
問題5-4
問題5-3の流れにおいて、平板が全面にわたって
60℃に加熱されているとする。このとき、平板前縁
から20cmまでの間の長さにおいて奪われる熱量
を求めよ。ただし、奥行きｚ方向については単位厚
みを考えよ。
ただし、以下の値を使用してよい。
)
K
kg
/
kJ
(
006
.
1
C
7
.
0
Pr
)
K
m
/
W
(
02749
.
0
k
)
s
/
m
(
10
36
.
17
p
2
6
解法の方針5-4
いま、レイノルズ数、ヌッセルト数は、
x
u
Re
x 1/2 1/3
x 0.332 Re Pr
k
x
h
Nu
x
k
Nu
hx x
であるから、熱伝達率は
ここで、平均熱伝達率は、この２倍であるから、
2 hx
h
よって 奪われる全熱量は、
hA T T
Q w
問題5-5
単位体積当たりの発熱量がQの熱源が一様に分布した厚さL
の平板がある。片面は断熱されており、もう一方の面は、温度
T
1の流体と熱交換している。この流体と板壁面との熱伝達率
をhとするとき、板内部の温度分布を記述する式を求めなさい。
ただし、この平板の熱伝導率をkとする。
問題5-6
単位体積当たり発熱する熱量が、0.35[MW/m3
]の平板壁があ
る。片面は断熱されているが、もう一方の面は、93[℃]の流体
と熱交換している。流体と壁との間の熱伝達率を570[W/m2
・K]、
平板壁の熱伝導率を21[W/m・K]、平板壁の厚さを7.5[cm]とし、
壁内部の最高温度を計算しなさい。
問題5-7
２００Aの電流が、長さが1m、直径3.0mmのステンレス
鋼製針金中を流れる。ステンレス鋼線は、 110℃の液
体に浸されており、熱伝達率は、4[kW/m2
/K]とする。
ステンレス鋼線の中心温度を求めなさい。ただし、ステ
ンレス製の針金の熱伝導率を k=19[W/m･K]とし、鋼
の比抵抗を70[μΩ･cm]とする。
問題5-8
図に示すように、長さ6 cmで幅50 cm
の平板上を温度20 ºCの空気が速度
20 m/sで流れている。平板表面が一様な
温度60 ºCに保たれる時、その表面(片面)
からの単位幅当たりの放熱量はいくらか。
ただし、40 ºCにおける空気の動粘度を
1.70×10-5 m2
/s、熱伝導率を
0.0272 W/(m･K)、プラントル数Pr=0.711
とし，熱伝達率には平均熱伝達率
h を用いること．
