PowerPoint プレゼンテーション

Superspecial curves of genus 4

工藤 桃成*, 原下 秀士**

*九州大学大学院数理学府, **横浜国立大学環境情報学府

目次：

1. Introduction

2. Outline of the proofs of our main theorems 3. Concluding remarks

本講演の主結果は以下の論文より：

[KH17a] M. Kudo and S. Harashita, “Superspecial curves of genus 4 in small characteristic”,

Finite Fields and Their Applications, Vol. 45, pp. 131-169, 2017

[KH17b] M. Kudo and S. Harashita, “Enumerating superspecial curves of genus 4 over prime fields”, arXiv:1702.05313 [math.AG].

Introduction

𝑝：素数 ≠ 2 𝑔 ≥ 0 𝐾：標数 𝑝 の完全体 Problem 与えられた (𝑝, 𝑔), 𝐾 に対して, 𝐾 上の種数 𝑔 の超特別曲線 (superspecial curve) は存在するか？

Definition of superspecial curves

Def. 𝐾 上の(非特異)射影代数曲線 𝐶 ⊂ 𝐏𝑟 が超特別 (superspecial)

⟺ Jacobian 𝐽(𝐶) が超特異楕円曲線の直積に 𝐾 上で同型となる

Fact 超特別曲線 𝐶 は 𝔽_𝑝2上の曲線に descend する

- 小さい 𝑝 に対しては, 超特別曲線は 𝔽_𝑝2 上の ∃ 最大曲線 𝑋 に descend する

Ekedahl’s problem

Thm. ([Eke87], Theorem 1.1)

i) ∃𝐶 ; s.sp. non-hyperelliptic ⟹ 2𝑔 ≤ 𝑝2 − 𝑝

ii) ∃𝐶 ; s.sp. hyperelliptic and 𝑝, 𝑔 ≠ (2,1) ⟹ 2𝑔 ≤ 𝑝 − 1 e.g. ∃𝐶 ; s.sp. non-hypell. with 𝑔 = 4 ⟹ 𝑝 ≥ 5

Problem ([Eke87], p. 173)

任意の 𝑝 ≠ 2,3 に対して, 種数 𝑔 = 4 or 5 の超特別曲線は存在するか？

主定理

Theorems (K. and Harashita, [KH17a])

A) 𝔽₂₅ 上の種数 𝑔 = 4 の超特別曲線の 𝔽₂₅ 同型類は 𝐏3 内の二つの曲面 2𝑦𝑤 + 𝑧2 = 0, 𝑥3 + 𝑎₁𝑦3 + 𝑎₂𝑤3 + 𝑎₃𝑧𝑤2 = 0 の完全交叉として与えられる. ここで, 𝑎₁, 𝑎₂ ∈ 𝔽₂₅× , 𝑎₃ ∈ 𝔽₂₅. B) 𝑝 = 7 においては種数 𝑔 = 4 の超特別曲線は存在しない cf. 𝑔 = 2 ：𝑝 ≥ 5 に対して超特別曲線が存在 [Ser83] 𝑔 = 3： 𝑝 ≥ 3 に対して超特別曲線が存在 [Ibu93]

[Ser83] J.-P. Seere, “Numbre des points des courbes algebrique sur 𝔽_𝑞”, Sém. Théor. Nombres Bordeaux (2) 1982/83, 22 (1983). [Ibu93] T. Ibukiyama, “On rational points of curves of genus 3 over finite fields, Tohoku Math. J. 45 (1993), 311-329.

目次：

1. Introduction

2. Outline of the proofs of our main theorems

Ingredients to prove our results

(1) 𝑔 = 4 の (非超楕円的) 射影代数曲線を表現する”適切な”モデル (2) 超特別性の判定法 (3) 𝑔 = 4 の超特別曲線を数え上げるアルゴリズム 𝑝 = 5 と 𝑝 = 7 の場合においてアルゴリズムが実時間で終了するために, - (3-1) 三次形式の簡約化 - (3-2) 連立代数方程式の混合型求解アルゴリズムと, 適切な項順序・係数選択

(1), (2) : theoretical, (3) : technical and computational

(1) Model of non-hyperelliptic curves of 𝑔 = 4

Claim 主定理の証明では, 次を仮定してよい： - 𝐶 は 𝔽_𝑝2 上の非超楕円的曲線 - 𝐶 は 既約二次形式 𝑄 と 既約三次形式 𝑃 で定義される 𝐏3 内の交叉, i.e. 𝐶 = 𝑉(𝑃, 𝑄) - 𝑄 と 𝑃 の係数は全て 𝔽_𝑝2 の元 詳細は [KH17a] の Sect. 2 を参照

(2) Criterion for superspeciality of 𝐶 = 𝑉(𝑃, 𝑄)

Prop. ( [KH17a], Cor. 3.1.6 ) 𝐶 = 𝑉(𝑃, 𝑄) が超特別

⟺ 𝑃𝑄 𝑝−1 において, 次の 16 個の単項式の係数が全て 0： 𝑥2𝑦𝑧𝑤 𝑝−1, 𝑥2𝑝−1𝑦𝑝−2𝑧𝑝−1𝑤𝑝−1, 𝑥2𝑝−1𝑦𝑝−1𝑧𝑝−2𝑤𝑝−1, 𝑥2𝑝−1𝑦𝑝−1𝑧𝑝−1𝑤𝑝−2, 𝑥𝑝−2𝑦2𝑝−1𝑧𝑝−1𝑤𝑝−1, 𝑥𝑦2𝑧𝑤 𝑝−1, 𝑥𝑝−1𝑦2𝑝−1𝑧𝑝−2𝑤𝑝−1, 𝑥𝑝−1𝑦2𝑝−1𝑧𝑝−1𝑤𝑝−2, 𝑥𝑝−2𝑦𝑝−1𝑧2𝑝−1𝑤𝑝−1, 𝑥𝑝−1𝑦𝑝−2𝑧2𝑝−1𝑤𝑝−1, 𝑥𝑦𝑧2𝑤 𝑝−1, 𝑥𝑝−1𝑦𝑝−1𝑧2𝑝−1𝑤𝑝−2, 𝑥𝑝−2𝑦𝑝−1𝑧𝑝−1𝑤2𝑝−1, 𝑥𝑝−1𝑦𝑝−2𝑧𝑝−1𝑤2𝑝−1, 𝑥𝑝−1𝑦𝑝−1𝑧𝑝−2𝑤2𝑝−1, 𝑥𝑦𝑧𝑤2 𝑝−1 cf. 楕円曲線 𝐸 = 𝑉(𝐹) (𝐹：三次形式) が超特異 ⟺ 𝐹𝑝−1 のある係数たちが全て 0

より一般の場合(完全交叉など)については [Kud17, Sect.5] or [KH17a, Appendix B]

[Kud17] M. Kudo, “Analysis of an algorithm to compute the cohomology groups of coherent sheaves and its applications”, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, 2017, doi: 10.1007/s13160-017-0238-z.

(3) Algorithm to enumerate s.sp. curve of 𝑔 = 4

“考えられる” 𝑃 と 𝑄 に対して, 1. 𝑃 と 𝑄 の未知係数を独立変数 𝑎₁, … , 𝑎_𝑡 とみなす 2. 𝑃𝑄 𝑝−1 を計算 (𝔽_𝑝2 𝑎₁, … , 𝑎_𝑡 [𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤] 上の計算). 3. 超特別性の判定法から 𝑎_𝑖 たちに関する多変数連立代数方程式を立て, (何らかのアルゴリズムによって) それを解く 4. 各解について, 𝐶 = 𝑉(𝑃, 𝑄) が非特異か判定 上記を計算代数システム MAGMA [BCP97] 上で実行したい (が, このままでは問題がある)

Problems for enumeration and our solutions

1. 多変数連立代数方程式の変数の個数が多すぎる：20 + 10 = 𝟑𝟎.

2. 変数の個数を減らせても, (次数が高いこともあり) 代数方程式求解は重い：

Problems for enumeration and our solutions

1. 多変数連立代数方程式の変数の個数が多すぎる：20 + 10 = 𝟑𝟎. 2. 変数の個数を減らせても, (次数が高いこともあり) 代数方程式求解は重い： 代数方程式たちの最高次数 = 2 𝑝 − 1 = 𝟏𝟐 (if 𝑝 = 7) 𝑄 の固定群 (直交群) の作用による三次形式の簡約化 混合型求解法と適切な項順序・係数選択 可能な限り減らす！ 効率的に解く！

(3-1) Reduction of cubic forms

Note: - 𝑄 の階数 ≥ 3 (otherwise 𝑄 : 可約) - 一般に, 二次形式はその階数と判別式の値により類別される (注： 𝐾 は標数 𝑝 ≠ 2 の有限体) 従って, 𝑄 を次のいずれかと仮定してよい： 𝑄 = 2𝑥𝑤 + 2𝑦𝑧, 2𝑥𝑤 + 𝑦2 − 𝜖𝑧2 with 𝜖 ∉ 𝐾× 2, or 𝑄 = 2𝑦𝑤 + 𝑧2 (degenerate) 𝜑 : 𝑄 に対応する対称行列 𝑂_𝜑 𝐾 ≔ {𝑔 ∈ 𝐺𝐿₄ 𝐾 ∶ 𝑔𝑇𝜑𝑔 = 𝜇𝜑, ∃𝜇 ∈ 𝐾×} 𝑂_𝜑(𝐾) の元 𝑔 で 𝑃 を 𝑔 ⋅ 𝑃 に変換することで, 𝑃 の未知係数を減らす！

Reduction of cubic forms 𝑃

Lem. (Degenerate case) 𝑄 = 2𝑦𝑤 + 𝑧2 とする

⋕ 𝐾 > 5 かつ char 𝐾 ≠ 2 であれば, 𝐶 はある 𝑉(𝑃, 𝑄) と 𝐾 上で同型である, ここで (𝑎_𝑖 ∈ 𝐾 with 𝑎₀, 𝑎₆ ∈ 𝐾× and 𝑏₁, 𝑏₂ ∈ {0,1}) 𝑃 = 𝑎₀𝑥3 + 𝑎₁𝑦2 + 𝑎₂𝑧2 + 𝑎₃𝑤2 + 𝑎₄𝑦𝑧 + 𝑎₅𝑧𝑤 𝑥 + 𝑎₆𝑦3 + 𝑎₇𝑧3 + 𝑎₈𝑤3 +𝑎₉𝑧2𝑦 + 𝑏₁𝑤𝑧2 + 𝑏₂𝑤2𝑧 𝐶₀ = 𝑉(𝑃₀, 𝑄) 𝐶₁ = 𝑉(𝑃₁, 𝑄) 𝐶 = 𝑉(𝑃, 𝑄) 同型 同型 同型 𝑂_𝜑(𝐾) の作用 𝑂_𝜑(𝐾) の作用 20 変数… ほぼ 10 変数！ cf. moduliの次元： 3𝑔 − 3 = 9

(3-2) Heuristic hybrid method

連立代数方程式求解のために, “混合型解法 (hybrid method)” を適用 - “変数化係数” 𝑎_𝑖1,…,𝑎_𝑖𝑠 を選び, {𝑎₁, … , 𝑎_𝑛} = {𝑎_𝑖1, … , 𝑎_𝑖𝑠} ⊔ {𝑎_𝑗1, … , 𝑎_𝑗𝑡} とする - 各 𝑎_𝑗1, … , 𝑎_𝑗𝑡 ∈ 𝔽_𝑝⊕𝑡2 に対して, 𝔽_𝑝2[𝑎_𝑖1, … , 𝑎_𝑖𝑠] における連立代数方程式を Gröbner 基底を計算することで解く Q. どの係数を変数とみなす/みなさないのが最適か？(方程式系依存であるため非自明) …連立代数方程式求解のコストと総ループ数に trade-off あり - 今回は, 変数化する係数を実験的に決定 必要な計算は全て実時間で終了！

Computational result (Degenerate case)

Prop. 二次形式 𝑄 = 2𝑦𝑤 + 𝑧2 と次の形の三次形式 を考える. ここで 𝑎₀, 𝑎₆ ∈ 𝔽₄₉× , 𝑏₁, 𝑏₂ ∈ {0,1}. このとき, 𝑏₁, 𝑏₂, 𝑎₀, … , 𝑎₉ で 𝐶 = 𝑉(𝑃, 𝑄) が超特別となるものは存在しない 𝑃 = 𝑎₀𝑥3 + 𝑎₁𝑦2 + 𝑎₂𝑧2 + 𝑎₃𝑤2 + 𝑎₄𝑦𝑧 + 𝑎₅𝑧𝑤 𝑥 + 𝑎₆𝑦3 + 𝑎₇𝑧3 + 𝑎₈𝑤3 +𝑎₉𝑧2𝑦 + 𝑏₁𝑤𝑧2 + 𝑏₂𝑤2𝑧

Computational proof of Proposition

Proof. 各 𝑏₁, 𝑏₂ ∈ {0,1} に対して, 次を MAGMA 上で実行する： (1) 𝑎_𝑖 のうち 7 つ (𝑎₂, 𝑎₃, 𝑎₄, 𝑎₅, 𝑎₇, 𝑎₈, 𝑎₉) を次の項順序の下, 独立変数とみなす： (2) 各 𝑎₀, 𝑎₆ ∈ 𝔽₄₉× と 𝑎₁ ∈ 𝔽₄₉ に対して, 超特別性の判定法から得られる 多変数連立代数方程式を解く (MAMGA の組み込み関数 “Variety” を使用). 各解に対して, 𝑉(𝑃, 𝑄) が非特異か判定. 出力*から結果を得る ∎ 𝑎₈ ≺ 𝑎₇ ≺ 𝑎₉ ≺ 𝑎₃ ≺ 𝑎₅ ≺ 𝑎₂ ≺ 𝑎₄ (次数付逆辞書式順序, grevlex) ⋯ Order A とおく * 実装コードとログファイルは講演者のウェブページにて公開 : http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~m-kudo/kudo-harashita-comp.html

Comparison with other choices

Monomial Order Total Iterations Number of indeterminates Ave. Time for 𝑷𝑸 𝒑−𝟏

Ave. Time for solving SA

Ave. Time for testing non-singularity Total time A 2352 7 0.061681s 0.0096143s 0.0050817s 181s B 2352 7 0.059429s 0.16105s 0.0046765s 531s C 2352/49 8 0.064813s 14.177s 0.25106s 695s D 2352 × 49 6 0.056109s 0.00087351s 0.00011386s 7402s

Table: Timing data of the computation for degenerate case with 𝒒 = 𝟒𝟗, 𝒃_𝟏 = 𝒃_𝟐 = 𝟎 and 𝒂_𝟎 = 𝟏

C: 𝑎₈ ≺ 𝑎₇ ≺ 𝑎₉ ≺ 𝑎₃ ≺ 𝑎₅ ≺ 𝑎₂ ≺ 𝑎₄ ≺ 𝑎₁ (grevlex), 𝑎₆ runs through 𝔽₄₉×

D: 𝑎₈ ≺ 𝑎₇ ≺ 𝑎₉ ≺ 𝑎₃ ≺ 𝑎₅ ≺ 𝑎₂ (grevlex), (𝑎₆, 𝑎₁, 𝑎₄) runs through 𝔽₄₉× × 𝔽₄₉ 2 B: 𝑎₉ ≺ 𝑎₇ ≺ 𝑎₅ ≺ 𝑎₄ ≺ 𝑎₃ ≺ 𝑎₂ ≺ 𝑎₁ (grevlex), (𝑎₆, 𝑎₈) runs through 𝔽₄₉× × 𝔽₄₉

Rough sketch of the proofs

Theorems A and B Computational Problems: 考えられる 𝑃 と 𝑄 について, 𝐶 = 𝑉(𝑃, 𝑄) が超特別となる 𝑃, 𝑄 を数え上げよ 理論的に 帰着 我々のアルゴリズム with 三次式の簡約化, 混合型求解法 による標準化・効率化 Q.E.D ! Solved over MAGMA

Corollaries

Cor. 1 標数 𝑝 = 5 の有限体上の 𝑔 = 4 の超特別曲線は閉体上で全て互いに同型

Cor. 2 𝔽₂₅ 上の種数 𝑔 = 4 の超特別曲線の 𝔽₂₅ 同型類は 21 個

Cor. 3 𝑁₄₉ 4 = 102 (exact value!)

目次:

1. Introduction

2. Outline of the proofs of our main theorems

Concluding remarks

1. 他の場合 (二次式非退化の場合, 𝑞 = 25 の場合) の Prop. も, 前述した「二次式退化, 𝑞 = 49 の場合」と同様に証明

2. 固定した 𝐶 に対して Aut_𝔽25 (𝐶) を決定できる (これも連立代数方程式求解に帰着)

Next Target: 𝑔 = 5 or large 𝑝

- genus 4 over 𝔽₅, 𝔽₁₁ (arXiv, [KH17b]) - genus 5 (進行中)

- 混合型求解法の標準化 (今後の課題)