TRV Matheπ匿tics 14−1 〔1978）
ON STAB工LIT工ES OF EXPAND工NG ENDOMORPH工SMS OF
COMPACT MAN工FOLDSMa8ato8hi OKA
（Rece ived May 19， 1978）1㎜lm㎝．1綱鞠e㎡㎝叩hisrns。n finite dirnensiona1 cormected
dO c㎝Plete C Rienannian taanifolds without boundary鳩re investigated by M． S㎞b 【7］． He proved that expand ing end㎝orphisms on compact comected C°°Rie− mannian manifolds without boumdary are structurally stable． On the other㎞d，R． Bowen stated加【1］t㎏t㎞㎝⑩叩hi珊s。f卿ct metric s照ces with
e閃pans iveness and pseudo orbit trac ing Property （stochastic stability， cf． 【5】 ） are topologically stable ill tlle strong sellse， In this mte， by us ing pseudo orbit tracing property for endomorphisrns， we prove that e即㎝ding end㎝orphisms on c（rmpact comectedσ゜°Riamian manifolds without boundary are topologically stable ill the strong sense and also structurally stable in the strong sense． 1． DEFINITIONS AND rOrOLOGICAL STABILITY． Let X be a metric space with metric function d． ・・F・N・T・㎝・… equ・nc・e・｛xi｝二。 is said・・be aδ一P・印㊤6・bi・f。・ a continuσus map f“ X ＞X if dげ（Xi）・Xi，1）≦δ f・r i−O・1・2・…・ A．point y e l X ε一tlraces ￠ ff ． − 4r〆ω・ヅ≦・ f・・“t．ヱ．2．…． Where fO（x）一。f・r孤y。，X． DEFINITION 2． there exists ε0 ＞ O eger n when x X y． Aconti皿10us map了ごX ＞X is positively expansive if su・h t』t 4σ㌔九戸ωノ≧・。 f・r・㎝・n・・−n・g・ti・・int一 εO is called an expans ive constant ofア・ DEFINITION 3． Acontinuous map了ごX ＞X is said to have the pseudo orbit tracing property if for any e ＞ O there exists δ ＞ O such that fbr any 2930 M−，．eKA δ一pseudb oゴbit of f｛！， there ercists y∈x砲ichε三traces…三． ・。th。 fb1・砿㎎，・i。 a c卿。t・mdt。元鋼ce， and 10txノ．i。。。pace・f all continuous maps of X wig．．the metriC 4。rf．・ノー弧｛d・rfr・）．・rx〃sx・・｝． fs・・i・°・（・）・ DEFINITION 4． A cont迦ous皿ap．王．ごX 琴is said to be topologically stable in the stro㎎ sense if fbr any ε ＞ 0， there exists δ ＞ O with・the f…。砲騨・P・・ty・f・・aPy・9・E°（・）・wi・h d。rf，g」・δ，・he・e・exi・t・
逗゜α）鋤血口・9−f・方画％rW≦・，噸・・X i・th・id㎝・ity卿
of」rぽPROPOSITIOU・1（R． B・XUi［1D． if f・砲〃・函励殉卿・i・￠
磁《．ha8』P8euゐρrbit tvaOfng・．ρ㌘OP傑勾． thenアis topρZogieaZZy 8励Zθin 祐θ8加oησεθη8θ． This proposition is stated・essentially in ［1］． We shall gi噸the・ proof． ． ． ke・・ア・L・t・0・Ob・an・XP・n・iv・・c・n・t・nt・fτ・F。・any・e＞δ：we㌶㌫ltε‘8蕊。1°；：：e＞二1，㌻㌻蕊δ。；．1。芸；￡r
N・・；・f・。rf，・）・・，・…n・f・r・・…x・X，｛ gt （x，｝島訂・δ一P⊇・rb・t 。f f・lh・・efb・e・f・㎝・ヱ＜ε〆2・th・t・e・i・t・㎝麺・y‘X・Whi・hε1一ぬces｛θt rxJ｝二。，i↓・・ ．
エ 6r子ω・gt・la〃≦・、・．． i’t…2・…・ Here we define h：X−一＞X by hrx）＝9・ We show hog＝foh as follows；． Frαn the definition of h， fbr any xξX の d （ft （k （9 （・）））・ gt （9 ・a）） ）≦・1・m…，・・…・．ω． Also， 4r〆＋1r・ω九∼㌔ωノ）≦・ヱ．）o。ヱ．2，…． r・） for a皿y xεX． Fr（ぬ a）， r2），we get ．ψ晒川・舟願〃月≦・… i−・…2・∵・・
for any、x∈x． Since ε1 ＜ ε0／2， we have hog＝了oh．ENDCmORPHISmS OF OOMPACT MANIFOH〕S ・ 31 h is contil皿ous・ Because， if h is not continuous at￠0「∈X， th㎝there
exi・t・a・剛㎝ce｛却二、血血㎜・erg・・t・x。・㎞・胸鵠品eS nC・
・・rv・・g・t。輪。L Since x i・c卿・t・鵬㎝ass㎜・th・t｛h（・。）｝三
c・mverges t・y・X which is differept frα・h （xO） ’貯㎝．P・sitive∈卿ive− ・ess・ばr飾九fn rh rx。〃，≧・。 f…㎝・n㎝一neg・tive血ヰ・g・・m・th・・efb・ethe「e斑sts a psitive i・t寧・0鋤d旭t
drfn（hrx．〃・摺侮。〃・）≧・〆2 」b・孤y・≧・。・ r3」 On the other hand， frt n the definition of h，4♂r殉〃・♂馬〃≦・、・
［［1ierefore we have 6♂伍侮。〃・ Sinee｛・v｝こ、・・w瓠gesV1≧vO・uch Vhat
診● ■ ■ ■ ・ ● ■ 診診 9●9一33
7ユ？占33
ゆ。浴B
r4）gn’la。昼・ヱ・ nt・ヱ・2・…．・ r5）
t・xO・th・re e・i・t・ap・sitive int・g・r vl with 4fみ∼ノ・θ％。〃≦・呈・ fb・any・≧’・ヱ・ Hence we have d（fP’（hrx．〃・戸輪。〃昼・・、＜ε〆・・ f・r v≧・、 This contradicts to （3，． Therefbre h is contimlous on X．F’・n th・d・f桓iti。・Qf・h・鳩㎞㎝40伍・1∂≦・2… q・E・D・
2．｛㎜㎜1㎜．
In・the f・11cWing，〃is a c・IlrPact c・nnected・C°°Ri卿i飢㎜if・1d砿th−out b（輌・ An endomorphism of〃is a differentiable fU㏄tion丘㎝〃to〃，
紐とif it i・・f♂−class， r≧1，we・a11♂−end・m・rPhi・m．班FIMTI㎝．5．σ2一㎝d㎝・rphi珊了。f〃i・e・綱mg if th眠exi，t．
・。賦孤t・σ・鋤dλ・・su・hd遭tl夕飼−≧σλ”同fb・『孤y・・四孤4卿
Pe・itive intege！・π・｝le・e l…1is the RiqmE迦i・n・met・ic・n〃副野is
the．differential of了． ・Z。。（・）・denote・th・・et・f・a・・〆・㏄・・di任・。・。rPhi… f・cu・M・・〃．・卿飢d・6ω砿・・d㎝・te a c…曲・・a・d・an。pen’．楓・nt・h・㎝…−d
radius r respectively with resp㏄t to the Rienannian metric． ．恥asS皿・th・t・一｛σヱ・σ2・・…ひ。｝姐β一｛γ1・V2・…・㌃｝ar・⑯・。・er− ingS of〃and that there exist systems of coordinate neigh1）orhoods32
M．bKA
｛N「Ui・fli）｝：…｛・7」・》｝≠、瓢・倣tt、・．元〃号・』5弓訂・th・
c1°皿es°fσ∂！ゴ・esp・ct’v・1y・F・「the−一・・㎜・th・・ ・he・・ex’・t・a ㎜Pゴ・‘｛1・2・…・・｝〉｛・・2・…・・｝su・h蹴卿已㌧rz／fb・i’一・………F・r・声・iv・輌・rε〉・…t確r・・β・ゴ・アノb・the set・f…♂一㎜P
θごVe＞fwith t1Xe fOllowing properties， （i〕 σ仰∈．γ醐 句・2・…・8・ （11〕1物…φ；ヱーピ、・f・φ；ヱ‖，＜ε・剖．2，…，8，．噸・卜・1，i・the・一・・m・n・he・pace。f…㎞d・d♂一㎜P・、丘㎝φゼrσ∂
to the m−dimensional Euclidean Space 1∼n， m＝d鋤， The set of a11 一 れ．β。ゴ。f」・9・n・r・tes th・♂−t・PO1・gy・fずω血・h i・the set・f・・1♂− maps fr㎝．〃 to〃． 1」Emm・1・ 1わrα哨ダf∈DZoθ「Mθ♪ カ72θヱ゜θ exist constants R ＞ ρ3 V ＞ 0αη〈ヱ・W励・加・飢げノwith r。日ρ。。τ・。σヱ．触Z。σY．SU。力微・鋤卿9，〃げノ
an4 x・M．（i）・r4ωノ蹄㎏ω九
〔ii） σi・W・・励・・π㌦傷ノ・ b・・ア↓桓tα一｛”1・σ2・…・ひ。｝and B−｛Vl・γ2・…・γt｝ar・・脚・。…− ings of〃・ We assume that．there exists a map Jξ．｛1323．．◆38｝ ．〉｛ヱ323．．．，t｝鋤血tf「Uiノ∈γ調．fO「仁1・2・…・ぎ・恥・th・m・・∼・・㎜・血t there
ex・・t・y・t−f…輌・…ig吻・h・・d・｛NCUi’φi）｝ご，・｛・弓・㌧ノ｝ゴ三， su・h 血・聾q臨う・已弓・and ￠ir・8 are con・e・・set・in Rm・ T1・er・頭・t刀ヱ〉・0飢d O＞O ・u・h th4t f・・fU・1id・飢m・t・i・dO ・nd the R’臼㎜i紐鵬t「ic d°n”・侃≧ば・≧「ヱ／のd°n BR、ω×BR、（x） f°「 ahy XE”・ 恥・・…㎜・鴫r・，β。ゴ。f）已・、。。（・）・f・・s・tff・…n・・隅・・ε〉・1・・卿・・屡…β・ゴ・f・…t 9、・・th・Jac…一・・iX・f・ゲψゴ，、晒一ヱ・魎・
駆・）−m血｛・／・・21・、ω一11…互｝．ENIX》痕）RPHISMS OF （X】MPA（πMANIFOLDS 33”
P「σ，−min｛P、侑い2rθ九・…y．ω・ ．
S血ce買i・c・n・血・。…n鴫r・。・β．ゴ。了‥㎝・・㎜・t油t th・㏄瓠i・tS−lt：膿、1，：tぱ。1㍑1。ご、顯麟’．R， suCh，ha，i，
dr・・yノ・R，…y・Ui…h㎝1毛ω一W1・2♂・，凪2．．．．。・． Tl・ere
tsε2＞°
ﾑ二；蒜三1・： ㌫Slll：鮒’・
if・d「x・yノ＜盈2・x・y・Ui・ lhe「e㎝i・t・R＞O with R・R2 ・u・th・that・f・・any…〃there朕i・t・a neighb・rh・・d Ui・ with Ui PBRr・九‘W・・hav・ ・；1・φ紳⑭一φ・ …） 」 E BS、ω・・≦・≦・・ fb「x・y・BR「・い㏄鋤・eφ〆〃￠ノi・ac・nvex・et・陥f』・EM and defin・f・・…嘘、r・・醐・一・φ・脇・・
θi rv3 9・tJ＝Gi 「v＋tu）−Gi rvノーtgi rXO）iら 0≦tE＿1・Then
l圭θzω．9．胡＝1 9i rφ；・i （v＋tzo〃ω一σ汐o川 L ≦1・irφ；ヱ（v鋤〃一・、rx。」t酬・2・2ψ1． ・ince’ lw＋1・、・x。戸・μ。・・1≦1・〆。戸l l・〆。加1．鴨・・t ・・2中1≦1・i侮。）・1．Therefo・e l熱ぴ．・川・1・、rx。畑1／・。 and・f・rm th・一輌
theoren we have lei 「v・θ・刀一‘6i rv・σ・0川く19i rXO加1／3・ Hence we get 1 Girv＋t・ノーσzω一9i lao加1＜．l g〆％加1／3． Therefbre，34・ M．PKA
I・迦ノー馬ω1・21・ir・。川／・≧殉小ω
恥㎞wthat g is珂㏄tive on BR（XOノ・ ’
恥w・if ・d （x・eloノ＝・R・then・f「c・iマ1ノ・ 、 侃rσω・grx。〃≧d。仰醐侑伝〃・物rg傷。〃， ≧・・2・d。rφi（・」．φμ。〃 ≧4鋼属虚oノ＝ 4CpR・恥順殉ω。・（x。〃≧・1・R・Sinc・gi・adi任・。・・rPh・−Bli （x。ノ，鳩9・t
・卓b〃蹄r・rx。〃・ Q・・…
We introduce adaptiedk ineltriCs“．、fbr expanding endomorphisms as fbllows： LE岨2（J．ぬth。。【6】）． L。t・f・be。σ1．e、pmding。nd・m・xphi・m・f M． Th・n th・r・ ecists．a・Rieme励伽m・tri・1・1唖α・・n8tmt・P・ヱsuch that l励1≧pn回f・・ any・v・盟叫P・・iti・e i・t・g・… Proof． Letσ＞0， λ＞2 be the const’ants of the definition of了． Ta］（eμ＞2with｜」＜ λ． Then there exists a pOsitive integeT瓦 such t1鳳t ・rx／・）k≧ヱ．脆d・fi・・ 1。1・。芒1，−mTfPl．1・，・卿 η2＝0 砲ere沸．。．脆ca1、凪。te a。 fb11㎝。，． ‖判・．芒1，一酵・。1・’．，・】i 1，−MT”vl・ ． m＝ヱ η1＝0 ・・2｛1・12−1・12坤一ぴ・12｝ ≧・2｛1・12叫vl2・r・rv・ノkl・1／2｝≧μ21・12． ．q・E・D・
L・t伽・01−eXP・nding・・d㎝。叩hi・m・f〃a・・d・w・・take・an・血pt・d m・t・i・ 。fτ． Then fo・．・uffi・i・泣・y馴砿・ε〉・，・・…㎝㎝…f鴫r・．β，ゴ．糎・㎜）㎜SMS OF（㎜cr MANIrOIDS
・ヱーe・p・nd・n9 e・dtmotp・・s・・s・・nd・f・r…r…鴫r・．β．ゴ．f」・th・…・・t・P・suCh 廿温t．1ぜ・1≧pMl v t｛for’lany v・現洞．2。．．．恥d・f桓e aゴ㎞・t垣nλ・n 尾r・．β。ゴ。f）・・f・…ws・， λrθμ卿｛P・−1ψ司≧・mll・・I fb・a・y・v・鵬呼2・…｝・
Lem・3． L・”わ。。02一郷．W。n、IO。。uphi。m。τM．』。 e，i。カ
ε〉・a・d・6・・螂吻輌卿9・瞳r・．β．ゴ．ρ励⇔・疏・≦δ。
・・B9・・」」 ）・（，9ル碓〃 for any x∈〃． oo boof． Let r （x3 y）be the set of all broken O curve frorn x to y， and co let ’「ξ （x・y） be the’set°f all b「°ken C‘㎜e臼㎝、・t°y in Bξ（x随㎝ y∈Bξ （x）・ Since M is coロ腿ct， theTe exists ζ ＞ O：：”一’乏s血Ch．こthat dr・・y）−i㎡｛〒s』Y・・rζ （x・〃）｝ f°「 ・ny xε”伽〃ξBζω・Here Y i・th・1・・gth・f Y・ NDw， fbr suffici㎝tly sma11ε＞0， the fUnctionλ is bDunded on鵬r・，β．ゴ。輌d・−P・tλ・皿P｛・侑ノ…〃lr・．β．ゴ，f）｝・
Fr㎝Lenr田11， there exist 1ヨ＞ 0，，p ＞ O such that ・峰〃P BilR・・ωノ fbr any￠∈〃． Takeδ＞O withλδ’＜min｛R。ζ、岬｝． Then for｛my r≦δal凪Y・・1，、ル・・（x〃・曲・・…剛・証｛〒・Y・・ζ⑭・y）｝・・inc・
y・・晶ω九故・ex・・t…Bll（・） ・i血・r・） −y・ 一
λrθノ・〉趾｛〒SY・rζrgω・θr・〃｝ ≧i皿f｛9Yξ⊃Y∈r （x， zJ ｝ ≧’λ （9） inf｛Y3 Yεr （x3 y） ｝＝λrgJdrx，9ノ．輪・f・…e油・…コω・ Q・・…
3536 s M．◎KA We obtain the fbllowing propositi㎝丘om r㎝a 3．． PROPOSITION・2．乙．t f b。。♂−e・pa・di・g・・伽・rphi・m・f M．』・
。吻。。殉励吻。d．Nrア，。fτ．with．。。．P。。励♂幽Z。gy．a。d。。㈱繊
δ＞Osueh that aZZ、 eZenents・了Nげ）卿ρ・sitiveZy eupccnding mcrps with an eupc nding eonstantδ． THEOREM・3．0ヱーeUP⑳nti・g・㎞・・phi・m・・f〃h・・V・輪・ρ・励・嚇物・物？r・p・rty・ ．
b。。了．L・t f b・ ・’ Cl一卿di㎎㎝伽・・rphi・・飢dδ・Ob・the c・n・t・nt・f Le㎜・a 3・陥ぽit・λ加tead・fλげ）・F・・ε＞0・w・ tak・δ0＞O ・u・h
廿担tδo「2λ一ヱ／λ一刀く肛㎞｛・・δ／4｝・L・t｛・・｝二・b・aδ・一一・・rb’t・fア・脆醐・一王鴎P
i“0．ヱ．2。．．． ，t血en f㎜1 L㎝ma 3， P・「B・〆λ一・「xy” p B・。vλ一・げ（x・”・句・ヱ・2・…・・血・アi・adiff・。・・rphi・・n・n・1侮撫飢y品・w・・9・t・
・・〆・．・・r… ・ F；ヱ…。vλ一・rf・（・・・…D・2・2・一ω Sinc・｛xi｝二。 i・δ。−P・ed・・rbit， B・。Vλ一・げ「Xi−・」」PB・〆λ一・（Xiノ・剖・2・3・…・ 「2」Fr㎝ω3 r2）3
・・。・／λ一ヱげ（・・一・口・；ヱrB・。vλ一・rf…））・ Fr㎝ω， r3） ， we get B・♂一・r・i一ヱ…；三…；ユ…。λ／λ一・⑭九 therefore， we put 亡＝232333・・． ．（3） を＝ヱ32333・．・ 3 ・・〆・，・rx… ・S’・・；c…・・；2…。λハ．・卿〃・ 働ヱ．2。．EN［℃M）RPHISMS OF CCMPACT MANIFOLDS 37 ⊃ 〃 ﹂阜 げ ヨ
ρ
λ0％
ヱr 尻τ O oo ●20
一 ヱF
ヱo 一〇 ＝ ．Z i＝OJ 2323．．． 3 then by （O・「2ノ・ w・・ha・・Ai ・Ai。ヱi−・，ヱ．2J…・Since・M・i・c・mPact， ◎O oo ￡。ゲφ’脆㎞゜w that any e’ement°f￡。 A・ε一t・ace・｛x・｝二・・ Q．E．D． Fr㎝Propositi（m 2 and Theor㎝3， we get the following propOsition by Proposition 1． ． PR・POS・T・ON 4． ci−eUP・・nding embm。ilphi，ms S勧力Zθ in the st？ong sensθ． of M al，θ topo ZOθioaZZy DEF・N・T・㎝6・A・2−m・p・f・ M−＞M・i…tru・tura・・y・醐・m・h。，t。㎝9’・㎝・eif fb・飢yε〉・・th・r・exi・t・…ighbO・h・・dルげノ・f輌・Zt・P・1・gy
such that fbr any g∈Nrf） there exists a homeomorphism h：M−一一…羽such that h°θ＝τgh ・nd do「h・IMノ＜ε・ THEOREM 5・ 0ヱーe epandine endomOilphisms of Mα㌘θstt・uottuaZly 8鋤Zθ in thθ st？ong SθnSe． b・・f’Le・fbe a・1−e卿di・g・nd・㎜・phi・m・f〃．取西。P。。i・i。n・2， the「e existδ〉°・・d…ighb・rh・・d・N、・rf］ ・u・h・ha・any・9…、・rf／i・a・P・・i− tively・・rP・nding・m・p・with・n・xpanding・・n・t・nt 6． S血ceτi・t。P・1・gically stable in the st「・・g・㎝se・f…〉…here・・xi・t・a・・ig地・血・記・，げJ such t｝rat f・・9・百2 rρth・re・・xi・t・a・c・nt麺uσu・m・p h・ −e・M・・u・h・that h°9＝f°h ・nd dO「h・IM）≦・／2・F・r・uffi・i・ntly㎝・11ε＞0，㈹・；a・・…迦・ that h is a onto map and furthennore we assulne ε く δ． We P”t N「ρ一”ヱ「f）∩η2 rf）・th・n th・ab・v・・h f・・σ・mCf）i・ah㎝・・− morphism of〃． Because， if h rx）＝hry／and x S y． then fbr some ncm−nega− tiv・i・t・g・・mw・ha・・drgMr・）， gM （y〃≧δ． F・㎝d伽θmω．σMrx〃≦e／2、 4伽9ηr〃ノ．♂r〃〃≦・／2and畑一了・h． w。 h。v。 a c。nt。、di。ti。n、uとh t｝rat ε＜δ≦4r♂ω。♂r翌〃≦・． Theref…hi・a知・・（m・・rphi・m・f・M． Q．E．D．38
