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重力場のエネルギー擬テンソル

中嶋 慧

December 3, 2019

Abstract 本記事は数理物理 Advent Calendar 2019の4日目の記事である。この記事では重力場 のエネルギー擬テンソルとスーパー・ポテンシャルを解説する。主に内山龍雄の[1, 2, 3]を 参考にした。

Contents

1 一般論 2 1.1 記号の導入とアインシュタイン方程式 . . . . 2 1.2 重力場のエネルギー擬テンソル . . . . 3 1.3 不変変分論：スーパー・ポテンシャルの導出 . . . . 5 1.4 補足 . . . 10 2 具体的な計算 11 2.1 前章に現れた量の計算 . . . 11 2.2 名前の付いたスーパー・ポテンシャル . . . . 15 A アインシュタイン・ヒルベルト作用の変形 18 B G から得られる量 20 B.1 G の微分 . . . . 20 B.2 アインシュタイン・テンソル . . . . 21 B.3 擬スーパー・ポテンシャル(0)_Cσδ ρ . . . . 21

1

一般論

1.1

記号の導入とアインシュタイン方程式

この記事では D 次元時空を考え、計量 gµνの符号は (− + + · · · +) とする。また、 Γσ_µν := 1 2g σλ_(∂ µgλν+ ∂νgλµ− ∂λgµν), (1.1) Rµ_λαβ := ∂αΓ µ λβ− ∂βΓ µ λα+ Γ µ ραΓ ρ λβ− Γ µ ρβΓ ρ λα, (1.2) Rµν := Rλµλν, (1.3) R := gµνRµν (1.4) とする。付録 A で示すように、 √ −gR = √−gG + ∂µDµ, (1.5) G := gµν [ Γρ_γνΓγ_µρ− Γρ_γρΓγ_µν ] , (1.6) Dρ :=√−g [ gµνΓρ_µν− gµρΓν_µν ] (1.7) となる。ここで g := det(gµν) である。以下、 LG := 1 2κ √ −gR, (1.8) ˜ LG := 1 2κG , G := √ −gG (1.9) とする。κ はアインシュタイン定数である。今、 Gµν := 1 √ −g [ _∂G ∂gµν − ∂λ ∂G ∂(∂λgµν) ] (1.10) とすると、 Gµν = Rµν− 1 2gµνR (1.11) となる。これは§ B.2 で示す。また、 Gµν := ∂G ∂gµν − ∂λ ∂G ∂(∂λgµν) (1.12) とすると、 Gµν =−√−gGµν (1.13) となる1) _。 1)_{§ B.2 ではこの式を示す。この式から (1.11) が従う。それは、} δgµν = −gµαgνβδgαβ から明かである。

重力場と物質場 (ゲージ場を含む) の合成系の作用は、 S = ∫ dDx (LG+ √ −gLmat) (1.14) である。_Lmatは物質場のラグランジアン密度である。アインシュタイン方程式は、 Gµν = κTµν, (1.15) Tµν :=−2 [_∂(√_−gL mat) ∂gµν − ∂ λ ∂(√−gLmat) ∂(∂λgµν) ] (1.16) となる。ここで、Tµν _{:= T}µν_/√_{−g はエネルギー・運動量テンソルである}2)_。

1.2

重力場のエネルギー擬テンソル

§ 1.3 で示すように、 ∂µGµν − 1 2∂νgαβG αβ _{≡ 0 (1.17)} が示される。ここで、_{≡ は運動方程式の助けなしに成り立つ式を表す。同様に、} ∂µTµν − 1 2∂νgαβT αβ _{= 0 (1.18)} となる。これはエネルギー・運動量保存則を表す。 さて、明らかに、 ∂µTµν ̸= 0 (1.19) である。もし、 ∂µ[( √ −g)α_(Tµ ν+ t µ ν)] = 0 (α =−1, 0, 1) (1.20) または ∂µ[( √ −g)α_(Tµν _{+ t}µν_{)] = 0 (α =−1, 0, 1) (1.21)} となる量 tµ νまたは tµνが存在すれば、 Pν := ∫ Vt dD−1x (√−g)α(T0_ν + t0_ν) (1.22) または Pν := ∫ Vt dD−1x (√−g)α(T0ν+ t0ν) (1.23) は保存量となる (ことを以下で示す)。ここで、t = x0_{が時間と解釈できる座標系を選んだ。V} t は時刻が t となる超平面である。dD−1_{x = dx}1_dx2_{· · · dx}D−1_{である。t}µ ν, tµν を重力場のエネル 2)_{多くの文献と符号が逆である。}

ギー擬テンソルと呼ぶ3) _{。電話帳 (Wheeler, Misner, Thorne) では、α =−1 に対して (1.21) が} 成立するエネルギー擬テンソルが解説されている。ランダウ・リフシッツ (『場の古典論』) の エネルギー擬テンソルは α = 1 に対して (1.21) が成立する。本記事では、α = 0 に対して (1.20) が成立する場合を扱う。 量 Jµ r(r はラベルで、テンソルの添え字でも良いし、そうでなくても良い) が ∂µJµr = 0 (1.24) を満たすとし、以下を仮定する： • 時空は無限遠において漸近的にミンコフスキー時空に近づく。 • Jµ rは無限遠で十分早く 0 に収束する。 このとき、 Qr := ∫ dD−1x J0_r (1.25) の左辺は、積分 Qr(σ) := ∫ σ dσµ Jµr (1.26) で曲面 σ を時刻 t(= x0_{) が一定の面 V} tと選んだものである。ただし、dσµは面積素で、dσ0 = dD−1x = dx1dx2· · · dxD−1である。時刻 t1, t2が一定の面 Vt1, Vt2 をつなぐ面 (無限遠にある側 面) を σ12とする。Vt1, Vt2, σ12に囲まれる領域を Ω とし、∂Ω = Vt1 + σ12− Vt2 とする。この とき、 Qr(∂Ω) = Qr(Vt1)− Qr(Vt2) + Qr(σ12) (1.27) である。一方、ストークスの定理 (ガウスの定理) より、 Qr(∂Ω) = ∫ Ω dDx ∂µJµr = 0 (1.28) である。よって、Qr(σ12) = 0 を仮定すれば、 Qr(Vt) = ∫ Vt dσµ Jµr = ∫ Vt dD−1x J0_r (1.29) が時間によらない、つまり (1.25) が時間によらないことが分かる。 今、 (√−g)α(1 κG µ ν+ t µ ν) ≡ ∂λUλµν (1.30) を満たす量が存在し、 ∂µ∂λUλµν = 0 (1.31) 3)_{エネルギー擬テンソルは一般座標変換に対してテンソルのように変換されないが、アフィン変換 (1.43) に対} してはテンソルとして変換される。

であるとする。このとき、アインシュタイン方程式より、 (√−g)α(Tµ_ν + tµ_ν) = ∂λUλµν (1.32) となり、 ∂µ[( √ −g)α (Tµ_ν+ tµ_ν)] = 0 (1.33) となる。もしも、 Uλµ_ν ≡ −Uµλ_ν  (1.34) であれば、(1.31) も成立する。(1.30), (1.34) を満たす量をスーパー・ポテンシャルという。(1.30), (1.31) を満たす量を、ここでは仮に擬スーパー・ポテンシャルと呼ぶ。tµν_{についても同様であ} る (その場合、U の添え字は Uλµν _{となる)。} スーパー・ポテンシャルが存在するとき、Pν は、 Pν = ∫ Vt dD−1x ∂λUλ0ν = ∫ Vt dD−1x ∂kUk0ν = ∫ St dSk Uk0ν (1.35) となり、表面積分で書ける。 § 1.3 では、アインシュタインのエネルギー擬テンソル tµ_ν := 1 2κ ( _∂G ∂(∂µgαβ) ∂νgαβ− δνµG ) (1.36) に対して、 1 κG µ ν + t µ ν ≡ ∂λUλµν ≡ ∂λ(0)Cλµν, (1.37) Uλµ_ν ≡ −Uλµ_ν, (1.38) ∂µ∂λ(0)Cλµν ≡ 0, (1.39) (0) Cλµ_ν ̸= −(0)Cµλ_ν (1.40) を満たすスーパー・ポテンシャル Uλµ ν と、擬スーパー・ポテンシャル(0)Cµλνを与える。

1.3

不変変分論：スーパー・ポテンシャルの導出

この節では、Noether の第 2 定理を応用して、スーパー・ポテンシャルを導入する。 Noether の定理には、大域的変換に対する第 1 定理と、局所的変換に対する第 2 定理がある。 第 1 定理は場の理論の教科書で頻繁に使われる。第 2 定理の大きな応用例は、ゲージ理論と、こ こで解説する重力場のエネルギーだと思う。ゲージ理論への応用は、[1] や私のノート「一般ゲー

ジ場論」http://physnakajima.html.xdomain.jp/gauge.pdf が詳しい。なお、論文 [4] はこ の 2 つの応用について詳しい。 重力場のエネルギー擬テンソルの研究は、膨大な計算か、天才的なひらめきに関係するも のが多いように思える。本記事では、そのどちらも (あまり) 必要ない部分を選んで解説する。 Noether の第 2 定理の方法は、そのような方法だと思う。 さて、 SG := ∫ dDx LG, (1.41) ˜ SG := ∫ dDx ˜LG (1.42) とする。SGは一般座標変換で不変であり、 ˜SGはアフィン変換 xµ→ x′µ = aµ_νxν + bµ (1.43) で不変である。ここで、aµ ν, bµは定数で、行列 aµν は逆を持つとする。さて、微小の一般座標 変換 x′µ = xµ+ ξµ(x) (1.44) を考える。この時、SGの変化は、 δSG = ∫ dDx [_∂(x′₎ ∂(x)L ′ G(x′)− LG(x) ] = ∫ dDx (δLG+LG∂µξµ) (1.45) である。ここで、 δF (x) := F′(x′)− F (x) (1.46) である。今、 ¯ δF (x) := F′(x′)_x′=x− F (x) (1.47) と置くと、 δF (x) = F′(x′)− F′(x′)_x′=x+ F′(x′)_x′=x− F (x) = ∂µF δxµ+ ¯δF (x) (1.48) であり、 ¯ δ(∂µF ) = ∂µ(¯δF ), (1.49) δ(∂µF ) = ¯δ(∂µF ) + ∂ν∂µF δxν = ∂µ(¯δF ) + ∂ν∂µF δxν = ∂µ(δF )− ∂νF ∂µ(δxν) (1.50)

が従う。第 3 等号で (1.48) を用いた。よって、 δLG+LG∂µξµ = ¯δLG+ ∂µ(LGξµ) (1.51) である： δSG = ∫ dDx [ ¯ δLG+ ∂µ(LGξµ) ] . (1.52) ここで、 2κ¯δLG = ¯δG + ∂µ¯δDµ = ∂G ∂gαβ ¯ δgαβ+ ∂G ∂(∂γgαβ) ∂γδg¯ αβ +∂µ [_∂Dµ ∂gαβ ¯ δgαβ + ∂Dµ ∂(∂γgαβ) ∂γδg¯ αβ ] = Gαβδg¯ αβ + ∂µ [ _∂G ∂(∂µgαβ) ¯ δgαβ+ ∂Dµ ∂gαβ ¯ δgαβ+ ∂Dµ ∂(∂γgαβ) ∂γδg¯ αβ ] (1.53) である。また、 ¯ δgαβ = −∂αξλgλβ− ∂βξλgλα− ξµ∂µgαβ (1.54) なので、 Gαβδg¯ αβ = −2∂αξλGαλ− ξ µ ∂µgαβGαβ = ∂µ[−2ξλG µ λ] + 2ξ µ_∂ αGαµ− ξµGαµ∂µgαβGαβ (1.55) となる。以上より、 2κ [ ¯ δLG+ ∂µ(LGξµ) ] = ξµ(2∂αGαµ− ∂µgαβGαβ) + ∂µSµ, (1.56) Sµ := −2ξλGµ_λ+ ∂G ∂(∂µgαβ) ¯ δgαβ+ ∂Dµ ∂gαβ ¯ δgαβ+ ∂Dµ ∂(∂γgαβ) ∂γδg¯ αβ +(G + ∂αDα)ξµ (1.57) となる。これを (1.52) に代入して、 2κδSG = ∫ V dDx ξµ(2∂αGαµ− ∂µgαβGαβ) + ∫ V dDx ∂µSµ≡ 0 (1.58) を得る。第 2 項は ∂V での表面積分となり、これが 0 になるように ξµ_{を選ぶことが出来る。よっ} て、第 1 項から、 ∂αGαµ− 1 2∂µgαβG αβ _{≡ 0 (1.59)} を得る。これは (1.17) であり、ビアンキ恒等式である。

(1.59) を (1.58) に代入して、 ∂µSµ ≡ 0 (1.60) という恒等式が得られる。今、 1 2κS µ _{= B}µ γξ γ_{+ C}µ,α γ∂αξγ+ Fµ,αβγ∂α∂βξγ (1.61) と置く (Fµ,αβ γ = Fµ,βαγとする) と、ξγ, ∂αξγ, ∂α∂βξγ, ∂α∂β∂γξµの係数をそれぞれ 0 と置くこ とで、 ∂µBµγ ≡ 0, (1.62) Bµ_γ+ ∂αCα,µγ ≡ 0, (1.63) C(α,β)_γ+ ∂µFµ,αβγ ≡ 0, (1.64) F(γ,αβ)_µ ≡ 0 (1.65) を得る。ここで、(_{· · · ) は対称化記号であり、} C(α,β)_γ = 1 2(C α,β γ+ C β,α γ), (1.66) F(γ,αβ)_µ = 1 3(F γ,αβ µ+ F α,βγ µ+ F β,γα µ) (1.67) である。さて、 Sµ = ξλ(−2Gµ_λ + Gδ_λµ+ ∂αDαδ µ λ)− ( _∂G ∂(∂µgαβ) +∂D µ ∂gαβ ) (2∂αξλgλβ+ ξλ∂λgαβ) − ∂Dµ ∂(∂γgαβ) (2∂γ∂αξλgλβ+ 2∂αξλ∂γgλβ+ ∂γξλ∂λgαβ + ξλ∂γ∂λgαβ) (1.68) なので、Bµ γ, Cµ,αγ, Fµ,αβγは以下のようになる： Bµ_γ = − (₁ κG µ γ+ t µ γ ) + 1 2κ∂σ(D σ_δµ γ − D µ_δσ γ), (1.69) Cµ,α_γ = −1 κ ( _∂G ∂(∂µgαβ) gγβ + ∂Dµ ∂gαβ gγβ + ∂Dµ ∂(∂λgαβ) ∂λgγβ + 1 2 ∂Dµ ∂(∂αgµν) ∂γgµν ) , (1.70) Fµ,αβ_γ = − 1 2κ ( _∂Dµ ∂(∂βgαδ) + ∂D µ ∂(∂αgβδ) ) gγδ. (1.71) Bµ γの最後の項で、 ∂γDµ = ∂Dµ ∂gαβ ∂γgαβ+ ∂Dµ ∂(∂δgαβ) ∂γ∂δgαβ (1.72) を用いた。なお、tµ γは (1.36) で定義される。tµγはアフィン変換 (1.43) に対してテンソルとし て振る舞う。 (1.62), (1.69) より、 ∂µ (₁ κG µ γ+ t µ γ ) ≡ 0 (1.73)

を得る。これとアインシュタイン方程式より、tµ γはエネルギー擬テンソルであることが分かる。 ˜ SGに対しては、 ∂α∂βξγ = 0 (1.74) となるような任意の微小な ξγ_{について同様の議論が成り立ち、} ∂µ(0)Sµ≡ 0 (1.75) となる。ここで、(0)_Sµ_{は S}µ_{で D}µ_{→ 0 としたものである。よって、} 1 2κ (0) Sµ = (0)Bµ_γξγ+(0)Cµα_γ∂αξγ (1.76) と置くと、 ∂µ(0)Bµγ ≡ 0, (1.77) (0)_Bµ γ+ ∂α(0)Cαµγ ≡ 0 (1.78) を得る。(0)_Bµ γ, (0)Cµ,αγは Bµγ, Cµ,αγで Dµ→ 0 としたものである： (0)_Bµ γ = − (₁ κG µ γ+ tµγ ) , (1.79) (0) Cµα_γ = −1 κ ∂G ∂(∂µgαβ) gγβ. (1.80) (1.78), (1.79), (1.80) より、(0)Cµα_γが擬スーパー・ポテンシャルだと分かる4) 5)。 さて、(1.62), (1.63), (1.69), (1.70) より、 1 κG µ ν + t µ ν ≡ ∂λ [ − 1 κδ [λ ν D µ]_{+ C}λ,µ ν ] (1.81) である。ここで、[· · · ] は反対称化記号で、 A[µν]= 1 2(A µν_{− A}νµ_{) (1.82)} である。ここで、 Cλ,µ_ν = C[λ,µ]_ν+ C(λ,µ)_ν ≡ C[λ,µ] ν− ∂ρFρ,λµν (1.83) である。(1.64) を用いた。よって、 1 κG µ ν + t µ ν ≡ ∂λ [ − 1 κδ [λ ν D µ]_{+ C}[λ,µ] ν ] −1 2∂λ∂ρ(F ρ,λµ ν + F λ,ρµ ν) (1.84) 4)_{(1.73) と (1.78), (1.79), (1.80) より、(1.39) が従う。} 5)_{アインシュタインのエネルギー擬テンソルと対応する擬スーパー・ポテンシャルは、アインシュタインにより} 1916 年に発見された。

となる。(1.65) より、 Fρ,λµ_ν + Fλ,ρµ_ν ≡ −Fµ,λρ_ν (1.85) である。よって、 Fρ,λµ_ν + Fλ,ρµ_ν ≡ 1 3 [ Fρ,λµ_ν + Fλ,ρµ_ν + 2(−Fµ,λρ_ν) ] = 1 3 [ (Fρ,λµ_ν − Fµ,λρ_ν) + (Fλ,ρµ_ν − Fµ,ρλ_ν) ] (1.86) であり、 −1 2∂λ∂ρ(F ρ,λµ ν + F λ,ρµ ν) ≡ ∂λuλµν, (1.87) uλµ_ν := ∂ρvρλµν ≡ u [λµ] ν, (1.88) vρλµ_ν :=−1 3(F λ,ρµ ν − Fµ,ρλν) = vρ[λµ]ν (1.89) となる。以上より、 1 κG µ ν + t µ ν ≡ ∂λUλµν, (1.90) Uλµ_ν :=−1 κδ [λ ν D µ]_{+ C}[λ,µ] ν − 1 3∂ρ(F λ,ρµ ν − F µ,ρλ ν) = U [λµ] ν (1.91) を得る。この Uλµ νはスーパー・ポテンシャルである。

1.4

補足

Sµ_{のことを S}µ_{[ξ] と書く。ε を微小なスカラー, ξ}µ_{を任意のベクトル場とし、} Sµ[εξ] = εBµ[ξ] + ∂αεCµ,α[ξ] + ∂α∂βεFµ,αβ[ξ] (1.92) と置くと、 Bµ[ξ] = ξγBµ_γ+ ∂αξγCµ,αγ+ ∂α∂βξγFµ,αβγ, (1.93) Cµ,α[ξ] = ξγCµ,α_γ+ 2∂βξγFµ,αβγ, (1.94) Fµ,αβ[ξ] = ξγFµ,αβ_γ (1.95) となる。恒等式 ∂µSµ[εξ]≡ 0 (1.96) の ε, ∂αε, ∂α∂βε の係数より、 ∂µBµ[ξ] ≡ 0, (1.97) Bµ[ξ] + ∂αCα,µ[ξ] ≡ 0, (1.98) C(α,β)[ξ] + ∂µFµ,αβ[ξ] ≡ 0, (1.99) F(µ,αβ)[ξ] ≡ 0 (1.100) を得る。

2

具体的な計算

本章の計算は [1, 2, 3] には載っていないが、[5] に計算結果が載っている。本章の計算結果は [5] と一致する。

2.1

前章に現れた量の計算

前章での記号は、 G = √−gG, G = gµν [ Γρ_γνΓγ_µρ− Γρ_γρΓγ_µν ] , (2.1) Dρ = √−gDρ, Dρ= gµνΓρ_µν− gµρΓν_µν, (2.2) Bµ_γ = − (₁ κG µ γ+ t µ γ ) + 1 2κ∂σ(D σ_δµ γ − D µ_δσ γ), (2.3) Cµ,α_γ = −1 κ ( _∂G ∂(∂µgαβ) gγβ+ ∂Dµ ∂gαβ gγβ + ∂Dµ ∂(∂λgαβ) ∂λgγβ + 1 2 ∂Dµ ∂(∂αgµν) ∂γgµν ) , (2.4) Fµ,αβ_γ = − 1 2κ ( _∂Dµ ∂(∂βgαδ) + ∂D µ ∂(∂αgβδ) ) gγδ, (2.5) (0)_Cµα γ = − 1 κ ∂G ∂(∂µgαβ) gγβ, (2.6) tµ_ν = 1 2κ ( _∂G ∂(∂µgαβ) ∂νgαβ − δνµG ) (2.7) であった。これらを具体的に計算する。 今、 Γλµν := 1 2(∂µgλν+ ∂νgλµ− ∂λgµν) (2.8) とすると、 G = gµνgραgγβ[ΓαγνΓβµρ− ΓαγρΓβµν] = gµνgραgγβ[ΓαγνΓβµρ− 1 2∂γgαρΓβµν] (2.9) である。また、 ∂Γλµν ∂(∂σgδτ) = 1 2(δ σ µδ δτ λν+ δ σ νδ δτ λµ− δ σ λδ δτ µν) (2.10) となる。ここで、 δαβ_µν = δ(α_µ δβ)_ν (2.11) である。よって、 Gσ,δτ := ∂G ∂(∂σgδτ) = 1 2g µν_gρα_gγβ_[(δσ γδανδτ + δσνδαγδτ − δασδγνδτ)Γβµρ+ Γαγν(δµσδβρδτ + δρσδβµδτ − δβσδµρδτ) −δσ γδαρδτΓβµν− Γαγρ(δµσδβνδτ + δνσδβµδτ − δσβδδτµν)] (2.12)

となる。これより、 Gσ,δτ = 1 2[g µν_gρα_(δσ γδ δτ αν + δ σ νδ δτ αγ− δ σ αδ δτ γν)Γ γ µρ+ g µν_gγβ_Γρ γν(δ σ µδ δτ βρ+ δ σ ρδ δτ βµ − δ σ βδ δτ µρ) −gµν_gρα_δσ γδ δτ αρΓ γ µν − g µν_gγβ_Γ γ(δσµδ δτ βν+ δ σ νδ δτ βµ− δ σ βδ δτ µν)] =: (1) + (2) + (3) + (4) (2.13) となる。ここで、 Γγ := Γργρ (2.14) である。まず、 (1) = 1 2g µν_gρα_(δσ γδανδτ + δνσδαγδτ − δασδγνδτ)Γγµρ = 1 4[Γ σ µρ(gµτgρδ+ gµδgρτ) + gµσ(gρδΓτµρ+ gρτΓδµρ)− gρσ(gµτΓδµρ+ gµδΓτµρ)] = 1 4Γ σ µρ(gµτgρδ+ gµδgρτ) (2.15) である。次に、 (2) = 1 2g µν_gγβ_Γρ γν(δ σ µδ δτ βρ+ δ σ ρδ δτ βµ− δ σ βδ δτ µρ) = 1 4[g σν_(gγδ_Γτ γν + g γτ_Γδ γν) + Γ σ γν(g τ ν_gγδ_{+ g}δν_gγτ_{)− g}γσ_(gδν_Γτ γν + g τ ν_Γδ γν)] = 1 4Γ σ γν(g τ ν_gγδ_{+ g}δν_gγτ_{) (2.16)} であり、 (3) = −1 2g µν_gρα_δσ γδ δτ αρΓ γ µν = 1 4(−2g µν_gδτ_Γσ µν), (2.17) (4) = −1 2g µν_gγβ_Γ γ(δµσδ δτ βν+ δ σ νδ δτ βµ− δ σ βδ δτ µν) = 1 4[−2(g στ_gγδ_{+ g}σδ_gγτ_)Γ γ+ 2gδτgσγΓγ] (2.18) となる。よって、 Gσ,δτ = 1 4 [ 2Γσ_µρ(gµτgρδ+ gµδgρτ)− 2gµνgδτΓσ_µν − 2(gστgγδ+ gσδgγτ)Γγ+ 2gδτgσγΓγ ] = 1 2 [ Γσ_µρ(2gµτgρδ− gµρgδτ) + (gδτgσγ − gστgγδ− gσδgγτ)Γγ ] (2.19) となる。これより、 (0)_Cσδ α =− 1 κ √ −gGσ,δτ_g τ α =− √_−g 2κ [ Γσ_µρ(2δµ_αgρδ− gµρδδ_α) + (δ_αδgσγ− δ_ασgγδ− gσδδ_αγ)Γγ ] =− √ −g 2κ [ (2Γσ_αρgρδ − Γσ_µρgµρδ_αδ) + (δ_αδgσγΓγ− δασg γδ Γγ− gσδΓα) ] = 1 2κ √ −g[δ_αδ(Γσ_µρgµρ− Γγgσγ) + δασΓγgγδ+ Γαgσδ − 2Γσαρg ρδ] (2.20)

となる。 次に、 Dµσ,αβ := ∂D µ ∂(∂σgαβ) (2.21) を調べる。まず、 Dκ = (gµνgκρ− gµκgνρ)Γρµν (2.22) である。よって、 Dκσ,αβ = 1 2(g µν_gκρ_{− g}µκ_gνρ_)(δσ µδ αβ ρν + δ σ νδ αβ ρµ − δ σ ρδ αβ µν) = 1 4(2g σβ_gκα_{+ 2g}σα_gκβ_{− 2g}αβ_gκσ −2gσκ_gβα_{− g}βκ_gσα_{− g}ακ_gσβ_{+ g}ακ_gβσ_{+ g}βκ_gασ₎ = 1 2(g σβ gκα + gσαgκβ − 2gαβgκσ) (2.23) となる。これより、 Fκ,αβ_γ =− √ −g 2κ ( Dκβ,αδ+ Dκα,βδ ) gγδ = √_−g 4κ ( − gβδ_gκα_{− g}βα_gκδ_{+ 2g}αδ_gκβ _{− g}αδ_gκβ_{− g}αβ_gκδ_{+ 2g}βδ_gκα)_g γδ = √ −g 4κ ( − 2gαβ_gκδ_{+ g}αδ_gκβ _{+ g}βδ_gκα)_g γδ = √_−g 4κ ( − 2δκ γgαβ + δγαgκβ+ δγβgκα ) (2.24) を得る。 次に、Cµ,α γを調べる。今、 (1)_cµ,α γ := ∂Dµ ∂gαβ gγβ, (2.25) (2)_cµ,α γ := ∂Dµ ∂(∂λgαβ) ∂λgγβ, (2.26) (3)_cµ,α γ := 1 2 ∂Dµ ∂(∂αgµν) ∂γgµν, (2.27) (0)_cµ,α γ :=−κ · (0)_Cµα γ = ∂G ∂(∂µgαβ) gγβ (2.28) とすると、 Cµ,α_γ = −1 κ 3 ∑ n=0 (n)_cµ,α γ (2.29) である。まず(1)_cµ,α γを調べる。今、 dκ,αβ := ∂D κ ∂gαβ (2.30)

と置く。関係式 δgσλ = −gσ(αgβ)λδgαβ (2.31) より、 dκ,αβ = (−gµ(αgβ)νgκρ− gµνgκ(αgβ)ρ+ gµ(αgβ)κgνρ+ gµκgν(αgβ)ρ)Γρµν =−gµαgβνΓκ_µν −1 2g µν_(gακ_Γβ µν + g βκ_Γα µν) +1 2(g µα_gβκ_{+ g}µβ_gακ_)Γ µ+ 1 2g µκ_(gνα_Γβ µν + g νβ_Γα µν) (2.32) である。よって、 ∂Dκ ∂gαβ = 1 2g αβ_Dκ₊√_−gdκ,αβ = √_−g 2 [ gαβ(gµνΓκ_µν− gµκΓµ)− 2gµαgβνΓκµν− gµν(gακΓβµν+ gβκΓαµν) +(gµαgβκ+ gµβgακ)Γµ+ gµκ(gναΓβµν + g νβ Γα_µν) ] (2.33) となる。これより、 (1)_cκ,α γ = ∂Dκ ∂gαβ gγβ = √ −g 2 [ δα_γ(gµνΓκ_µν − gµκΓµ)− 2gµαΓκµγ− g µν (gακgβγΓβµν+ δ κ γΓ α µν) +(gµαδκ_γΓµ+ gακΓγ) + gµκ(gναgβγΓβµν+ Γ α µγ) ] (2.34) となる。 次に、(2)_cµ,α γ, (3)cµ,αγを調べる。関係式 ∂λgµν = gµρΓ ρ νλ+ gνρΓ ρ λµ (2.35) より、 (2)_cκ,α γ = ∂Dκ ∂(∂λgαβ) ∂λgγβ = √−gDκλ,αβ(gγαΓαβλ+ gβαΓαλγ) = √ −g 2 (g λβ gκα+ gλαgκβ − 2gαβgκλ)(gγρΓ ρ βλ+ gβρΓ ρ λγ) = √_−g 2 (g λβ_gκα_g γρΓρβλ+ g κα_Γ γ+ gλαgκβgγρΓρβλ+ g λα_Γκ λγ −2gαβ_gκλ_g γρΓρβλ− 2g κλ_Γα λγ) (2.36)

となる。また、 (3)_cκ,α γ := 1 2 ∂Dκ ∂(∂αgµν) ∂γgµν = √ −g 2 D κα,µν_∂ γgµν = √ −g 2 D κα,µν (gµρΓρνγ+ gνρΓργµ) = √_−g 2 (g αν_gκµ_{+ g}αµ_gκν_{− 2g}µν_gκα_)g µρΓρνγ = √ −g 2 (g αν_Γκ νγ+ g κν_Γα νγ− 2g κα_Γ γ) (2.37) である。なお、 (0)_cκ,α γ = √_−g 2 [ δ_γα(−gµρΓκ_µρ+ gκλΓλ)− δγκg λα_Γ λ− gκαΓγ+ 2gραΓκγρ ] (2.38) であった。 よって、 −κCµ,α γ = 3 ∑ n=0 (n)_cµ,α γ = √_−g 2 [ δ_γα(−gµρΓκ_µρ+ gκλΓλ)− δγκgλαΓλ − gκαΓγ+ 2gραΓκγρ +δ_γα(gµνΓκ_µν− gµκΓµ)− 2gµαΓκµγ − gµν(gακgβγΓβµν + δγκΓαµν) +(gµαδκ_γΓµ+ gακΓγ) + gµκ(gναgβγΓβµν+ Γ α µγ) +gλβgκαgγρΓρβλ+ g κα_Γ γ+ gλαgκβgγρΓρβλ+ g λα_Γκ λγ −2gαβ_gκλ_g γρΓρβλ− 2g κλ_Γα λγ +gανΓκ_νγ+ gκνΓα_νγ− 2gκαΓγ ] (2.39) である。整理すると、 Cµ,α_γ = √ −g 2κ [ δ_γκgµνΓα_µν + gκαΓγ− 2gραΓκγρ ] (2.40) となる。

2.2

名前の付いたスーパー・ポテンシャル

今、 Wκρ,α_γ := √ −g 2κ (g ακ_δρ γ− g αρ_δκ γ) = 4 3F [κ,ρ]α γ = W [κρ],α γ (2.41) とし、 fκρ_γ := (0)Cκρ_γ− ∂ρWκρ,αγ = f [κρ] γ, (2.42) mκρ_γ := Cκ,ρ_γ− ∂ρWκρ,αγ = m[κρ]γ (2.43)

とする。fκρ γは Freud のスーパー・ポテンシャルとなり、mκργはメラーのスーパー・ポテンシャ ルとなる [5]。これらは、 ∂κfκργ = ∂κ(0)Cκργ, (2.44) ∂κmκργ = ∂κCκ,ργ (2.45) を満たす。Freud のスーパー・ポテンシャルはアインシュタインのエネルギー擬テンソルを与 え、メラーのスーパー・ポテンシャルはエネルギー擬テンソル (M )_tµ ν := t µ ν + 1 κ∂λδ [λ ν D µ] _(2.46) を与える。 さて、fκρ γの表式を求めよう。まず、 ∂ρ √ −g =√−gΓρ (2.47) なので、 ∂ρWκρ,αγ = √ −g 2κ [ gακΓγ− Γρgαρδγκ+ ∂γgακ− ∂ρgαρδγκ ] (2.48) となる。また、 ∂λgαβ = −gµαgνβ∂λgµν = −gµαgνβ(gµρΓρ_νλ+ gνρΓρ_λµ) = −(gνβΓα_νλ+ gµαΓβ_λµ), (2.49) ∂λgαλ = −(gνλΓανλ+ g µα_Γ µ) (2.50) より、 ∂ρWκρ,αγ = √ −g 2κ [ gακΓγ− Γρgαρδγκ− g νκ_Γα νγ− g µα_Γκ γµ+ (g νλ_Γα νλ+ g µα_Γ µ)δγκ ] = √_−g 2κ [ gακΓγ− gνκΓανγ− gµαΓκγµ+ gνλΓανλδκγ ] (2.51) なので、 fκα_γ = 1 2κ √ −g[δ_γα(gµρΓκ_µρ− gκλΓλ) + δγκg λα_Γ λ+ gκαΓγ− 2gραΓκγρ −gακ_Γ γ+ gνκΓανγ+ g µα_Γκ γµ− g νλ_Γα νλδ κ γ ] = 1 2κ √ −g[δ_γα(gµρΓκ_µρ− gκλΓλ) + δγκ(g λα_Γ λ− gνλΓανλ)− g ρα_Γκ γρ+ g νκ_Γα νγ ] (2.52) となる。 mκρ_γの表式は、 mκρ_γ = √_−g 2κ [ δ_γκgµνΓα_µν + gκαΓγ− 2gραΓκγρ −gακ_Γ γ+ gνκΓανγ+ gµαΓκγµ− gνλΓανλδγκ ] = √ −g 2κ [ gνκΓα_νγ− gραΓκ_γρ ] (2.53)

となる。 また、メラーのスーパー・ポテンシャルに対応して、 mκρ[ξ] := Cκ,ρ[ξ]− ∂ρ [ ξγWκρ,α_γ ] = m[κρ][ξ] (2.54) を考えることができる。mκρ_{[ξ] は Komar のスーパー・ポテンシャルと呼ばれる [5]。} 本記事で解説できなかった、重力場のエネルギーについての進んだ議論は、論文 [4] が詳しい。

A

アインシュタイン・ヒルベルト作用の変形

この章では、一般のアフィン接続6) _{についての √}−gR を変形する。 一般のアフィン接続は、 Γσ_µν = ˜Γσ_µν + Kσ_µν (A.1) で与えられる。ここで、 ˜ Γσ_µν := 1 2g σλ_(∂ µgλν+ ∂νgλµ− ∂λgµν) (A.2) はクリストッフェルの 3 指記号で、§ 1 の Γσ µνである。また、 Kσ_µν := 1 2(C σ µν+ Cνµσ + Cµνσ) (A.3) は contortion と呼ばれ、最初の 2 つの添え字について反対称 Kσµν =−Kµσν (A.4) である。なお、 Cσ_µν := Γσ_µν − Γσ_νµ (A.5) は捩率テンソルである。 さて、√_{−gR は次のように書き換えられる：} √ −gR = √−ggµν[_∂ ρΓρµν − ∂νΓρµρ+ Γ ρ γρΓ γ µν − Γ ρ γνΓ γ µρ ] = ∂ρ [√ −ggµν Γρ_µν −√−ggµρΓν_µν ] −∂ρ( √ −ggµν_)Γρ µν+ ∂ρ( √ −ggµρ_)Γν µν −√−ggµν[_Γρ γνΓ γ µρ− Γ ρ γρΓ γ µν ] = ∂ρDρ− ∂ρ( √ −ggµν_)Γρ µν+ ∂ρ( √ −ggµρ_)Γν µν− √ −gG, (A.6) G := gµν[_Γρ γνΓ γ µρ− Γ ρ γρΓ γ µν ] , (A.7) Dρ :=√−ggµνΓρ_µν −√−ggµρΓν_µν. (A.8) まず、(A.6) の右辺第 2 項を計算する。その計算に、 ∂λ √ −g = √−g˜Γµ λµ (A.9) を用いると、 −∂ρ( √ −ggµν_)Γρ µν =− √ −g(gµνΓ˜α_ρα+ ∂ρgµν ) Γρ_µν (A.10) 6)_{ただし、∇} λgµν = 0 を仮定している。

となる。ここで、 0 = ∇ρgµν = ∂ρgµν+ Γµαρgαν + Γναρgµα (A.11) を用いると、 −∂ρ( √ −ggµν_)Γρ µν = √−g ( − gµν_Γ˜α ρα+ Γ µ αρg αν _{+ Γ}ν αρg µα)_Γρ µν = √−ggµν [ − ˜Γα ραΓ ρ µν+ Γ α µρΓ ρ αν + Γ α νρΓ ρ µα ] = √−ggµν [ − ˜Γα ραΓ ρ µν+ 2Γ α µρΓ ρ (αν) ] = √−ggµν [ − ˜Γα ραΓ ρ µν+ Γ α µρ(2Γ ρ αν − C ρ αν) ] (A.12) を得る。ここで、2Γρ [αν] = C ρ ανを用いた。また、(A.6) の右辺第 3 項は、 ∂ρ( √ −ggµρ_)Γν µν = √−g ( gµρΓ˜α_ρα− Γµ_αρgαρ− Γρ_αρgµα ) Γγ_µγ = √−ggµν [ ˜ Γα_ναΓγ_µγ − Γρ_µνΓγ_ργ − Γρ_νρΓγ_µγ ] = √−ggµν [ − Γρ µνΓ γ ργ− K ρ νρΓ γ µγ ] (A.13) となる。ここで (A.1) を用いた。よって、(A.6) の右辺第 2,3 項の和は、 −∂ρ( √ −ggµν_)Γρ µν + ∂ρ( √ −ggµρ_)Γν µν = √−ggµν { − Γρ µν [ ˜ Γγ_ργ+ Γγ_ργ ] + 2Γα_µρΓρ_αν −Γα µρC ρ αν − K ρ νρΓ γ µγ } = √−ggµν { − 2Γρ µνΓ γ ργ + Γ ρ µνK γ ργ + 2Γ α µρΓ ρ αν −Γα µρCραν − KρνρΓγµγ } = 2√−gG +√−ggµν { Γρ_µνKγ_ργ− Γα_µρCρ_αν − Kρ_νρΓγ_µγ } = 2√−gG +√−ggµνL(µν) (A.14) である。ここで、 Lµν := ΓρµνK γ ργ − Γ α µρC ρ αν − K ρ νρΓ γ µγ = Γρ_µνCρ− ΓαµρCραν − CνΓγµγ (Cµ := Cσµσ) (A.15) である。第 2 等号で、Kσ µσ = Cµを用いた。よって、 √ −gR = √−gG + ∂µDµ+ √ −ggµν_L (µν) (A.16) となる。特に、リーマン接続の場合 (捩率がない場合)、上式は (1.5) となる。

B

G

から得られる量

B.1

G

の微分

(2.12) より、 ∂G ∂(∂σgδτ) = 1 2[(g µτ gρδgσβ+ gµσgρδgτ β− gµτgρσgδβ)Γβµρ +(gσνgτ αgγδ+ gτ νgσαgγδ− gδνgτ αgγσ)Γαγν −gµν gτ δgσβΓβµν− 1 2(g στ gραgγδ+ gτ σgραgγδ− gδτgραgγσ)∂γgαρ] = 1 4 [ (gµτgρδgσβ+ gµσgρδgτ β − gµτgρσgδβ)(∂µgβρ+ ∂ρgβµ− ∂βgµρ) +(gσνgτ αgγδ+ gτ νgσαgγδ− gδνgτ αgγσ)(∂γgαν + ∂νgαγ − ∂αgγν) −gµν_gτ δ_gσβ_(∂ µgβν+ ∂νgβµ− ∂βgµν) −(gστ_gρα_gγδ_{+ g}τ σ_gρα_gγδ_{− g}δτ_gρα_gγσ_)∂ γgαρ ] (B.1) となる。第 n 項 (n = 1, 2, 3, 4) からの寄与を (n)/4 と書くと、 (1) = Pτ,δσ+ Pσ,δτ − Pτ,δσ + Pδ,τ σ+ Pδ,τ σ− Pσ,δτ − Pσ,δτ − Pτ,δσ+ Pδ,τ σ = −Pτ,δσ− Pσ,δτ + 3Pδ,τ σ. (B.2) ここで、 Pα,βγ := gαλgβµgγν∂λgµν (B.3) である。 (2) = Pδ,τ σ+ Pδ,τ σ − Pσ,δτ + Pσ,δτ + Pτ,δσ− Pδ,τ σ− Pτ,δσ− Pσ,δτ + Pτ,δσ = Pτ,δσ− Pσ,δτ + Pδ,τ σ. (B.4) (3) = gδτ(−2P•,•σ+ Pσ,••). (B.5) ここで、 Pα,•• := gαλgµν∂λgµν, (B.6) P•,•β := gλµgβν∂λgµν. (B.7) (4) = −2gστPδ,••+ gδτPσ,•• (B.8) よって、 ∂G ∂∂σgδτ = 1 2 [ − Pσ,δτ _{+ 2P}(δ,τ )σ _{+ g}δτ_(−P•,•σ_{+ P}σ,••_{)− g}σ(δ_Pτ ),••]_{. (B.9)}

B.2

アインシュタイン・テンソル

局所ローレンツ系7) _{で考える。この時、} Gδτ = ∂G ∂gδτ − ∂σ ∂G ∂∂σgδτ =−∂σ ∂G ∂∂σgδτ (B.10) である。また、 ∂σ ∂G ∂∂σgδτ = 1 2 [ − P σ,δτ σ + P δ,τ σ σ + P τ,δσ σ − P δτ,••_{+ g}δτ_(−P •,•σ σ + P σ,•• σ ) ] (B.11) である。ここで、 P_σσ,δτ = ησαηδβητ γ∂σ∂αgβγ (B.12) などである。一方、 Rµν = 1 2(P µ,αν α − P α,µν α − P µν,••_{+ P}ν•,•µ₎ = 1 2(P µ,να α − P α,µν α − P µν,••_{+ P} ν,µα α ) (B.13) および、 R = −P_αα,••+ P_α•,•α (B.14) である。よって、 ∂σ ∂G ∂∂σgδτ = Rδτ− 1 2g δτ R = Gδτ (B.15) となる。これより、 Gδτ =−√−gGδτ (B.16) が示された。

B.3

擬スーパー・ポテンシャル

(0)

C

σδ_ρ 擬スーパー・ポテンシャル(0)_Cσδ ρは、 (0) Cσδ_ρ = −1 κ ∂G ∂(∂σgδτ) gτ ρ = √ −g 2κ [ Pσ,δ_ρ− Pδ,σ_ρ− P_ρδσ+ δδ_ρ(P•,•σ− Pσ,••) + 1 2g σδ P_ρ••+1 2δ σ ρP δ,••] ̸= −(0)_Cδσ ρ (B.17) となる。[3] には(0)_Cσδ ρ=−(0)Cδσρという記述があるが、間違いである。 7)_{その座標系の原点では、} gµν = ηµν := diag(−1, 1, 1, · · · , 1) , ∂λgµν= 0 となる。

References

[1] 内山龍雄『一般ゲージ場論序説』(岩波書店, 1987 年). [2] 内山龍雄『一般相対性理論』(裳華房, 1978 年).

[3] 内山龍雄『相対性理論』(岩波書店, 1977 年).

[4] Chiang-Mei Chen, J. M. Nester and Roh-Suan Tung, “Gravitational energy for GR and Poincar´e gauge theories: a covariant Hamiltonian approach”, Int. J. Mod. Phys. D 24, 1530026 (2015). [arXiv:1507.07300]

[5] B. Julia, S. Silva, “Currents and Superpotentials in classical gauge invariant theories I. Local results with applications to Perfect Fluids and General Relativity”, Class. Quant. Grav. 15, 2173 (1998).[arXiv:gr-qc/9804029v2]