< 平面上の線積分 2 >

1999年度 基礎数学ワークブック番外編N o.2 −15−

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2 >

平面上の動点Pの位置ベクトルが r(t) =¡

x(t), y(t)¢

とする。t =a (位置A)から出発し 曲線Cに沿ってt=b (位置B)まで 動いたとする。すなわち曲線Cは (∗) C =©¡

x(t), y(t)¢

: a5t5bª

となる。今，時刻t=aから時刻tまでの曲線の長さs=s(t)は s =s(t) =

Z t a

¯¯

¯¯dr(t) dt

¯¯

¯¯dt

であった。すなわち ds dt =

¯¯

¯¯ dr(t)

dt

¯¯

¯¯=

sµdx dt

¶2

+ µdy

dt

¶2

となる。このとき2変数関数f(x, y)に対し，

Z

C

f(x, y)ds= Z b

a

f¡

x(t), y(t)¢ds dtdt

と考え，次式 Z

C

f(x, y)ds= Z b

a

f¡

x(t), y(t)¢^sµdx dt

¶2

+ µdy

dt

¶2

dt (Cに沿った線積分)

を曲線Cに沿った(曲線の長さに関する)線積分という。

普通，単に線積分といえば，この定義が使われる。それは曲線Cのパラメータ表示 (∗)によって変わらないからである。この線積分を 単に曲線Cに沿った線積分とか 曲線の長さに関する線積分とか弧長に関する線積分などという。