配布禁止

(1)

配 ^{今野和子} ^{玉河数について} 布

²⁰⁰⁵

^年

^∗^{概要}¹

^{今野拓也} ^月禁

⁶

^日

^†

止

代数体上の連結簡約線型代数群の玉河数の定義とそれについての小野孝氏の結果、

Weilの予想を紹介する。次にLanglands, Lai, KottwitzによるWeilの予想の解決の議論を最も単純なSL(2)とその内部形式の場合に解説する。

加法群の場合

. . . . 3

2.2

乗法群の場合

. . . . 4

2.3

定義

. . . . 5

2.4

小野・Sansuc の結果と

Weil

の予想

. . . . 6

3 SL(2,A)の上の玉河測度 10 3.1

記号と設定

. . . . 11

3.2

玉河測度

. . . . 11

4 Eisenstein級数の復習 12 4.1

誘導表現の

Paley-Wiener

切断

. . . . 13

4.2 Eisenstein

擬級数

. . . . 14

4.3 Eisenstein

級数

. . . . 15

∗京都大学大学院理学研究科数学教室 E-mail : kkonno@math.kyoto-u.ac.jp

URL :http://knmac.math.kyushu-u.ac.jp/^∼kkonno/Kazuko.html

†九州大学大学院数理学研究院

E-mail : takuya@math.kyushu-u.ac.jp

URL :http://knmac.math.kyushu-u.ac.jp/^∼tkonno/index-j.html

訂正やコメントなどがありましたら、上記の電子メールアドレスまでお寄せ下さい。

(2)

配布禁止

5 絡作用素の計算 15

5.1

局所絡作用素の定義

. . . . 15 5.2

局所絡作用素の計算

. . . . 16

6 単位表現の重複度と玉河数 19

6.1 Eisenstein

擬級数の

Petersson

内積

. . . . 19 6.2

玉河数の計算

. . . . 21

7 SU(2)の玉河測度 22

8 Selberg跡公式 22

9 跡公式の前安定化 25

9.1

安定共役

. . . . 25 9.2

前安定化

. . . . 26

10 跡公式の比較と玉河数 28

10.1 G^∗

の

Selberg

跡公式

. . . . 28 10.2

テスト函数と跡公式の単純化

. . . . 29 10.3 SU(2)

の玉河数

. . . . 33

1

導入

代数体

F

上で定義された線型代数群

G

に対してはそのアデール群

(アデール環上の有理

点の群)

G(A)

が定まる。これは局所コンパクト位相群でもとの代数体上の有理点たちはその離散部分群

G(F)

をなす。この代数体上の左不変体積要素から適当な正規化の過程を経て定義される

G(A)

上の左不変測度が玉河測度であり、それによる商空間

G(F)\G(A) (正

確にはそれを

R

ベクトル部分で割ったもの) の体積が玉河数である。玉河数の構成は玉河恒夫氏によるものだが、それを玉河数と呼んでその重要性に注意を喚起したのは

A. Weil

である

[Wei82]。Weil

は自身の開発した

Siegel-Weil

の公式を用いてさまざまな古典群の

玉河数を計算している。その後、小野孝氏が

G

がトーラスの場合の玉河数を決定し、さらにそれを用いて半単純群の相対玉河数を記述した

[小野63]。この結果は後にSansuc

によって連結簡約群の場合に拡張された

[San81]。小野氏の論説[小野63]

でも強調されているように、これらの研究の動機は玉河数の整数論的意味の解明にあった。

一方、

Langlands

は

Eisenstein

級数を用いて

G(F)\G(A)

上の定数函数の

Petersson

ノルムを計算することにより、分裂簡約群の玉河数を一般的に決定した

[Lan66]。この議論は Lai

によって準分裂簡約群に拡張された

[Lai80]。さらにJacquet-Langlands

は四元数体の乗法群と

GL(2)

の

Selberg

跡公式を比較することで、四元数体の乗法群の玉河数が

GL(2)

のそれに一致することを証明した

[JL70]。Kottwitz

は

J. Arthur

の跡公式の細かい展開と

Euler-Poincar´e

函数の軌道積分の決定により、この議論を一般の半単純単連結群に拡張し、

その玉河数が

Lai

によって決定され得た準分裂内部形式の玉河数に一致することを証明し

(3)

配布禁止

た

[Kot88]。これとSansuc

の結果によって連結簡約群の玉河数は完全に決定されたのであ

る。Langlands の議論は上でも触れた玉河数の意味についての基本的な理解を与えた点で重要である。すなわち表現論の意味の重複度が

1

である単位表現の

Petersson

ノルムが玉河数なのであるから、玉河数は保型表現の調和解析的な重複度とその数論的寄与の比に他ならない。換言すれば既約保型表現の周期などの数論的寄与はその表現としての周期に玉河数を乗じたものになる。小野氏によるトーラスの玉河数の公式はこの比が自然なものであることを裏付けており

((2.2)

およびその後のコメントを参照)、また一般の簡約群の場

合にも

Labesse

による

“twisted space”

を用いれば同様の解釈ができると思われる。

このように

Langlands

以降の玉河数は上の意味で保型表現論の基盤の一角をなし、

Arthur-

Selberg

跡公式や保型形式の周期、志村多様体のゼータ函数などの考察には欠かせない。こ

のノートの目的は玉河数の定義、および小野・

Sansuc, Langlands, Lai, Kottwitz

によるその決定を、わずかだが現代の視点からの更新を加えて概説することである。特に

Langlands

以降の玉河数の計算方法については、跡公式の考察などに応用されていることを踏まえ、

最も単純な

SL(2)

とその内部形式の場合ではあるが、詳しい議論を紹介した。これにより一般の場合の結果及び証明についてもだいたいの想像はつくであろう。この原稿が日本で保型形式を研究されている、特に若い方々の一助となれば幸いである。

2

玉河測度と玉河数

F

を代数体とし、

A,A^×

で

F

のアデール環およびイデール群を表す。

A^×

上のイデールノルムを

| · |A,

その核を

A¹

と書く。F の素点

v

での完備化を

F_v

と書き、そのモヂュラスを

| · |v

と書く。さらに

v

が非アルキメデス的な場合には、F

v

の極大コンパクト部分環を

Ov,

その唯一の極大イデアルを

pv,

素元の一つを

ϖ_v

でそれぞれ表し、剰余体

Ov/p_v

の位数を

q_v

と書く。アルキメデス素点での

F

の完備化たちの直積環を

F_∞ = Q

v|∞ F_v,

有限アデールたちのなす

A

の部分環を

Aﬁn

で表す。F の代数閉包

F¯

を固定して

Γ = Γ_F

で絶対

Galois

群

Gal( ¯F /F)

を表す。同様に

F_v

の代数閉包

F¯_v

と

F

準同型

F ,¯ → F¯_v

を固定し、

Γ_v := Gal( ¯F_v/F_v)

と書く。

体の

Galois

拡大

K/L

と

Gal(K/L)

加群

A

に対して、

Hⁱ(K/L, A)

で

Gal(K/L)

の

A

係数

i

次コホモロジー群

(Galois

コホモロジー群) を表す。

A

が非可換でも

Hⁱ(K/L, A), (i= 0,1)

は定義されていた。特に

K/L= ¯F /F

の場合にはこれを

Hⁱ(F, A)

と略記する

[Ser79]。

複素数

z

の実部と虚部をそれぞれ

ℜz,ℑz

で表す。

2.1

加法群の場合

コンパクト位相群

A/F

の非自明な指標

ψ = N

v ψ_v

を固定し、各素点

v

で

ψ_v

に関して自己双対な

F_v

上の測度

dx_v

を取る。つまり

F_v

上の

Schwartz-Bruhat

函数

f

に対して

Fourier

逆公式

f(x) = Z

Fv

³Z

Fv

f(z_v)ψ_v(y_vz_v)dz_v

´

ψ_v(−xy_v)dy_v

(4)

配布禁止

が成り立つ測度を取る。特に

ψ_v

の位数が

0

となる

v

では

Z

Ov

dx_v = 1

となるから、これらの積測度

dx:=Q

v dx_v

は

A

上の定義可能な不変測度であり、これに関する

A/F

の測度は

1

となる

¹

。

2.2

乗法群の場合

まず

Dedekind

ゼータ函数について思い出しておこう。F の

(完全な) Dedekindゼータ

函数 ζ_F(s)

は局所ゼータ因子

ζ_F_v(s) :=











Γ_R(s) := π⁻^s/2Γ(s/2) v

が実のとき

Γ_C(s) := 2·(2π)⁻^sΓ(s) v

が複素のとき

1

1−q_v⁻^s v

が非アルキメデスのとき

の

Euler

積で与えられていた

²

。この

Euler

積は

ℜs > 1

で絶対収束し、そこで定義された

ζ_F(s)

は全複素平面に有理型に解析接続される。同様に従来の

Dedekind

ゼータ函数

ζ_F,ﬁn(s) := Q

v-∞ ζ_F_v(s)

も全平面に有理型に解析接続され、s

= 1

で単極を持つ。そこでの留数は

Res_s=1ζ_F,ﬁn(s) = 2^r¹(2π)^r²h_FR_F

|∆_F|^1/2|µµµ_∞(F)| (2.1)

であることが知られている

(例えば[Wei95, VII

章] を見よ)。ここで、r

1, r₂

はそれぞれ

F

の実、複素素点の個数であり、h

F

は

F

の類数、R

F

はレギュレータ、∆

F

は判別式を表す。

また

µµµ_∞(F)

は

F

内の

1

の巾根の群である。

さて、

Gm

上の不変

1

形式

ω_G_m := dx/x

と上から

F_v^×

上の不変測度

|ω_G_m|v = dx_v/|x_v|v

が定まる。ψ

v

の位数が

0

である非アルキメデス的な

v

では

Z

O^×v

|ω_G_m|v = Z

O^vrpv

dxv = 1−q⁻_v¹ =ζFv(1)⁻¹

が成り立つから、それらの

v

についての積測度はイデール群

A^×

上の

Radon

測度にならない。この点を補正して

A^×

上の玉河測度を

dx^× := lim

s→1

1 (s−1)ζ_F,ﬁn(s)

Y

v

dx^×_v,

dx^×_v =

(|ω_G_m|v v

がアルキメデス的なとき

ζFv(1)|ω_G_m|v

それ以外のとき

1これはF⊂Aがψに関する自己双対格子であることから明らかである。[Wei95, V.4命題7]にはFの判別式∆F,つまりoのZ基底とその双対基底との間の変換行列の行列式が現れているが、これは測度をそのZ基底から定めているためで、ψ自己双対測度で計算すれば|∆_F|^1/2は現れない。

2Tateの学位論文[CF86, XV]や[Wei95]ではπΓ_C(s)を複素素点でのガンマ因子としているが、現在では上の定義を用いる[Tat79, 3.1]。

(5)

配布禁止

と定める。

正実数の集合

R^×+

を対角埋め込み

R^×+ ∋ a 7→ (a, a, . . . , a) ∈ Q

v|∞ F_v^× = F_∞^×

により

F_∞^×

の部分群と見なし、イデールノルム

| · |A : A^× → R^×+

の核を

A¹

と書けば、直積分解

A^× =R^×+×A¹

が成り立つ。同型

R^×+ ∋a7−→^∼ log|a|A= [F :Q] loga∈R

による

R

上の

Lebesgue

測度の引き戻しを

da

と書き、

A¹

上の不変測度

dx¹

で

dx^× =da dx¹

が成り立つものを取る。このとき

Tate

の結果

[CF86, XV,

定理

4.3.2], [Wei95, V.4

命題

9]³ Z

F^×\A¹

Y

v

dx^×_v = 2^r¹(2π)^r²hFRF

|∆_F|^1/2|µµµ_∞(F)|

と

(2.1)

から

Gm

の玉河数

τ(Gm) :=

Z

F^×\A¹

dx¹

は

1

である。

2.3

定義

以上の例は玉河測度、玉河数の定義を一般化するのに十分な示唆を与えている。その定義を述べよう。

G

を

F

上定義された連結簡約線型代数群とする。G 上の

F

有理的な最大次数の

G

不変微分形式

ω_G

を固定すれば、上で止めた

F_v

上の測度

dx_v

と併せて、G(F

v)

上の不変測度

|ω_G|v

が定まる。次に

G

の指標群

X^∗(G) := Hom(G,Gm)

には

Γ

が作用している。

V_G:=X^∗(G)⊗ZC

上の

Γ

の表現の

Artin L函数 L_ﬁn(s, V_G) :=Y

v-∞

L_v(s, V_G), L_v(s, V_G) := det(1−q_v⁻^sΦv|V_G^I^Fv)⁻¹

を思い出す。ただし

Φ_v ∈Γ_v

は幾何的

Frobenius元、IFv ⊂Γ_v

は惰性群

(inertia group)

を表す。このとき有限個を除くほとんど全ての非アルキメデス素点

v

で

Z

G(O^v)

|ω_G|v

はある収束

Euler

積

⁴

の

v

成分に

L_v(1, V_G)⁻¹

をかけたものになる。特に

G(F_v)

上の不変測度を

dg_v :=

(|ω_G|v v

がアルキメデス的なとき,

L_v(1, V_G)|ω_G|v

それ以外のとき.

3[Wei95]の不変測度は玉河測度の|∆_F|^1/2倍になっていることに注意。

4補題3.1の例でもわかるように、Gの準分裂内部形式上のスカラー値Eisenstein級数の定数項の分母が現れる。

(6)

配布禁止

と定めれば、積測度

Q

v dg_v

は

G(A)

上の

Radon

測度を与える。イデールノルムの積公式からこれは

ω_G

の取り方

(F^×

倍を除いて一意) に依存しない。

G

の

F

階数

r

は

X^∗(G)

内の

Γ

不変元の群

X^∗(G)F

の階数に等しく、従って

Lﬁn(s, VG)

は

s= 1

で

r

次の極を持つ。以上のもとで

G(A)

上の玉河測度を

dg:= 1

lim_s_→₁(s−1)^rL_ﬁn(s, V_G) Y

v

dg_v

と定める。

A_G

で

G

の中心

Z_G

内の極大

F

分裂トーラスを表す。定義から

F

同型

G^rm

→∼ A_G

があるが、それによる対角部分群

(R^×+)^r ⊂ (F_∞^×)^r

の像を

A_G ⊂ A_G(F_∞)

と書く。a

G :=

Hom(X^∗(G)F,R)

とおき、準同型

HG :G(A)→aG

を

〈χ, H_G(g)〉=|χ(g)|A, ∀χ∈X^∗(G)_F

により定める。H

G

の核を

G(A)¹

と書けば、G(F

)

は

G(A)¹

の余測度有限な離散部分群になる。明らかに

H_G|AG :AG →^∼ aG

は同型であり、直積分解

G(A) = AG×G(A)¹

が成り立つ。A

G

上の測度

da

を、X

^∗(G)_F

の双対格子

Λ_G:={H ∈a_G| 〈χ, H〉 ∈Z, ∀χ∈X^∗(G)_F}

による商

a_G/Λ_G

の測度が

1

となる

a_G

上の

Lebesgue

測度の

H_G

による引き戻しとする。

G(A)¹

上の測度

dg¹

を

dg=da dg¹

なるものとして、G の玉河数を

τ(G) :=

Z

G(F)\G(A)¹

f(g)dg¹

と定義する。

2.4

_小野・

Sansuc

_の結果と

Weil

_の予想

小野孝氏はトーラスの玉河数の記述を用いて、一般の半単純線型代数群の玉河数を単連結代数群のそれに帰着した

[小野63]。ここではその結果のSansuc

による簡約線型代数群への拡張

[San81, §6]

を紹介しよう。

トーラスの玉河数

まず

F

トーラス

T

に対して、その

(Langlands)

双対トーラス

Tb :=

X^∗(T)⊗ZC/X^∗(T)

を導入する。定義から従う完全列

0 → X^∗(T) → LieTb ^exp→ Tb → 0

の

Galois

コホモロジー群列

0−→X^∗(T)^Γ −→(LieTb)^Γ −→Tb^Γ

−→H¹(F, X^∗(T))−→H¹(Γ,LieTb)−→H¹(Γ,Tb)−→. . .

において

H¹(Γ,LieTb) = 0

であるから、

H¹(F, X^∗(T))≅cok¡

(LieTb)^Γ →Tb^Γ¢

=π₀(Tb^Γ)

(7)

配布禁止

を得る。ただし

(·)^Γ

は

Γ

不変な元たちのなす部分群、π

0(·)

は連結成分の群をそれぞれ表す。T の

(1

コホモロジー群に対する) Shafarevich-Tate 群

X¹(T /F) := ker

³

H¹(F, T)→H¹(F, T( ¯A))≅M

v

H¹(F_v, T)

´

を用意する。ここで

A¯ :=A⊗F F¯

と書いた。これらを用いて小野氏のトーラスの玉河数に対する結果は

τ(T) = |π₀(Tb^Γ)|

|X¹(T /F)| (2.2)

と書ける。あるいは

Z

(T( ¯F)\T( ¯A))^Γ

dt=|H¹(F, T( ¯A)/T( ¯F))|

としてもよい。すなわち玉河測度についての

(T( ¯F)\T( ¯A))^Γ上の定数函数1のL²ノルムは主T(A)/T(F)等質空間の数に一致するということである。なおこれは右辺の量とτ(T)

の函手性を比較して容易に証明できる

[Mil86, I.

定理

9.11]。

z拡大と玉河測度 G

を

F

上の連結簡約線型代数群とする。G

1

をその

z拡大、すなわち

中心拡大

1−→Z₁ −→G₁ −→^p G−→1 (2.3)

であって

•

有限次拡大の族

Ei/F (1≤i≤r)

があって、Z

1 ≅Qr

i=1 Res_E_i_/FGm,

つまり

Z1

は誘

導トーラス(induced torus)

である。

• G₁

の導来群は

G

の導来群

G_der

の単連結被覆

G_sc

に一致する。

を満たすものとする

⁵

。(2.3) は

1→A_Z₁ →A_G₁ →A_G→1

を与える。A

_•

はいずれもベクトル群であるから同型

AG1

→∼ AZ1 ×AG

が得られるが、これは玉河数の定義に用いた測度とは整合していない。実際、A

G

上の測度は

X^∗(G)_F

の双対格子の余測度を

1

となるように選んでいたから、c

:= [X^∗(Z₁)_F ⊕X^∗(G)_F :X^∗(G₁)_F]

として

da_G₁ =c da_Z₁da_G (2.4)

である。

ここで

G

の

L

群

^LG=Gboρ_GWF

を導入する。すなわち

Gb

は

G

と双対なルートデータを持つ連結簡約

C

代数群であり、ρ

G : Γ→Aut(G)b

は

G

のルートデータへの

Γ

作用と双対な作用を

Gb

のそれに引き起こす

Γ

作用で、

Gb

のある分裂を保つものである

[Bor79, I.2]。F

多様体

X

の

Picard

群を

Pic(X)

と書けば、Sansuc によるきわめて一般的な完全列

[San81,

系

6.11]

0−→X^∗(G)_F −→X^∗(G₁)_F −→X^∗(Z₁)_F −→Pic(G)−→Pic(G₁)−→Pic(Z₁)

5任意の連結簡約群に対してz 拡大が存在することは簡単に示せる[DMOS82, V. 定理3.1], [Lan79, pp.228–229]。

(8)

配布禁止

がある。

G

が連結簡約

F

代数群の場合には函手的同型

Pic(G)→^∼ π₀(Z(G)b ^Γ)

がある

[Kot84, (2.4.1)]

ので、これは

X^∗(G₁)_F −→X^∗(Z₁)_F −→π₀(Z(G)b ^Γ)−→π₀(Z(Gb₁)^Γ)−→0

を与える。また

Zb₁^Γ −→^∼ Yr i=1

³C[Γ/Γ_E_i]/Z[Γ/Γ_E_i]

´Γ

は連結であることを使った。これを使うと、上の指数は

c=|cok(X^∗(G₁)_F →X^∗(Z₁)_F)|=|ker(π₀(Z(G)b ^Γ)³π₀(Z(Gb₁)^Γ))|

= |π₀(Z(G)b ^Γ)|

|π₀(Z(Gb₁)^Γ)|

と書ける。

G₁

の定義の

Galois

コホモロジー列から得られる可換図式において、Shapiro の補題と

Hilbert

の定理

90

から

H¹(F, Z₁)≅

Mr i=1

H¹(E_i,Gm) = 0, H¹(F, Z₁( ¯A))≅M

v

H¹(F_v, Z₁) = 0 (♯)

であることに注意すれば、

1 −−−→ Z1(F) −−−→ G1(F) −−−→ G(F) −−−→ 1



y y y

1 −−−→ Z₁(A) −−−→ G₁(A) −−−→ G(A) −−−→ 1

が得られる。特に

(2.4)

と併せて、G

1(F)A_G₁\G₁(A)

上の可積分函数

φ

に対して

Z

G1(F)\G1(A)¹

φ(g1)dg₁¹ = |π₀(Z(Gb₁)^Γ)|

|π₀(Z(G)b ^Γ)| Z

G(F)\G(A)¹

Z

Z1(F)\Z1(A)¹

φ(zι(g))dz¹dg¹ (2.5)

が成り立つ。もちろん測度は玉河数の定義に用いたものであり、ι

: G(F)\G(A)¹ ,→ G₁(F)\G₁(A)¹

は上の可換図式から与えられる切断である。また玉河測度の正規化定数

lim_s_→₁(s−1)^rL_ﬁn(s, ρ_G)

が簡約群の完全列に対して乗法的であることを用いた。

単連結被覆への帰着 D_G₁ :=G₁/G_1,der=G₁/G_sc

として

1−→G_sc−→G₁ −→^p D_G₁ −→1 (Der_G₁)

を考える。非アルキメデス素点

v

では

Kneser

の定理

[Kne65a], [Kne65b]

より

1−→G_sc(F_v)−→G₁(F_v)−→D_G₁(F_v)−→H¹(F_v, G_sc) = 1

(9)

配布禁止

が成り立つ。一方のアルキメデス素点ではp は

Lie

環の間の全射を与えるから、

p(G₁(F_v)) = D_G₁(F_v)₊

である。

((·)₊

は

F_v

の位相から定まる位相についての単位元の連結成分を表す。

)

特に

DG1(F) ⊂ DG1(F_∞)

が稠密であることと併せて、D

G1(F)p(G1(F_∞)) = DG1(F_∞)

である。非アルキメデス素点の状況も併せれば

D_G₁(F)p(G₁(A)) =D_G₁(A) (†)

がわかる。

次に

g ∈G₁(A)

が

p(g)∈D_G₁(F)

を満たすとする。可換図式

1 −−−→ G_scy(F) −−−→ G₁y(F) −−−→^p D_Gy₁(F) −−−→^∂^F H¹(F, Gy _sc) −−−→

1 −−−→ G_sc(A) −−−→ G₁(A) −−−→^p D_G₁(A) −−−→^∂^A H¹(F, G_sc( ¯A)) −−−→

から、その

H¹(F, G_sc)

での像

∂_Fp(g)

は

X¹(G_sc/F) := ker[H¹(F, G_sc) → H¹(F, G_sc( ¯A))]

に属する。しかし

Kneser [Kne66], Chernousov [Che89]

から

X¹(G_sc/F)

は消えているから、これは

p(g)∈p(G₁(F)

を意味する。すなわち

p(G₁(F))\p(G₁(A))−→D_G₁(F)\D_G₁(A)

は単射である。これと

(†)

から

ϕ∈L¹(D_G₁(F)A_G₁\D_G₁(A))

に対して

Z

G1(F)\G1(A)¹

ϕ(p(g₁))dg₁¹ = Z

p(G1(F))\p(G1(A)¹)

ϕ(t) Z

Gsc(F)\Gsc(A)

dg_scdt¹

=τ(G_sc) Z

DG1(F)\DG1(F)p(G1(A)¹)

ϕ(t)dt¹

=τ(G_sc) Z

DG1(F)\DG1(A)¹

ϕ(t)dt¹

(2.6)

(2.5), (2.6)

を比較して次が得られる。

定理 2.1 ([San81]

定理

10.1). G

を

F

上定義された連結簡約線型代数群とし、その導来群

の単連結被覆を

G_sc

と書くとき、

τ(G) = |π₀(Z(G)b ^Γ)|

|X¹(G/F)|τ(G_sc).

証明. D_G₁(F)A_G₁\D_G₁(A)

の定数函数

1

を

1_D_G

1

として、1

DG1 ◦p

に対する

(2.5), (2.6)

を組み合わせれば、

|π₀(Z(Gb₁)^Γ)|

|π₀(Z(G)b ^Γ)|τ(G)τ(Z1) = τ(Gsc)τ(DG1)

を得る。2.2 節で見たように

τ(Z₁) = 1

である。また

G₁

の導来群

G_sc

が単連結なことから

Z(Gb₁)

は連結

(従ってトーラス) [今野b,

補題

1.3]

で、

^LD_G₁ =Z(Gb₁)×ρG1 W_F

である。

よって上は

τ(G) = |π₀(Z(G)b ^Γ)|τ(D_G₁)

|π₀(Z(Gb₁)^Γ)| τ(G_sc) = |π₀(Z(G)b ^Γ)|

|X¹(DG1/F)|τ(G_sc)

配布禁止

配 今野 和子 玉河数について 布

年

今野 拓也 月 禁

日

止

目 次

加法群の場合

乗法群の場合

定義

小野・Sansuc の結果と

の予想

記号と設定

玉河測度

誘導表現の

切断

擬級数

級数

配 布 禁 止

局所絡作用素の定義

局所絡作用素の計算

擬級数の

内積

玉河数の計算

安定共役

前安定化

の

跡公式

テスト函数と跡公式の単純化

の玉河数

導入

代数体

上で定義された線型代数群

に対してはそのアデール群

点の群)

が定まる。これは局所コンパクト位相群でもとの代数体上の有理点たちはそ の離散部分群

をなす。この代数体上の左不変体積要素から適当な正規化の過程を経 て定義される

上の左不変測度が玉河測度であり、それによる商空間

確にはそれを

ベクトル部分で割ったもの) の体積が玉河数である。玉河数の構成は玉河 恒夫氏によるものだが、それを玉河数と呼んでその重要性に注意を喚起したのは

である

は自身の開発した

の公式を用いてさまざまな古典群の

玉河数を計算している。その後、小野孝氏が

がトーラスの場合の玉河数を決定し、さ らにそれを用いて半単純群の相対玉河数を記述した

に よって連結簡約群の場合に拡張された

でも強調されてい るように、これらの研究の動機は玉河数の整数論的意味の解明にあった。

一方、

は

級数を用いて

上の定数函数の

ノル ムを計算することにより、分裂簡約群の玉河数を一般的に決定した

によって準分裂簡約群に拡張された

は四元数体の 乗法群と

の

跡公式を比較することで、四元数体の乗法群の玉河数が

のそれに一致することを証明した

は

の跡公式の細かい展開と

函数の軌道積分の決定により、この議論を一般の半単純単連結群に拡張し、

その玉河数が

によって決定され得た準分裂内部形式の玉河数に一致することを証明し

配 布 禁 止

た

の結果によって連結簡約群の玉河数は完全に決定されたのであ

る。Langlands の議論は上でも触れた玉河数の意味についての基本的な理解を与えた点で 重要である。すなわち表現論の意味の重複度が

である単位表現の

およびその後のコメントを参照)、また一般の簡約群の場

合にも

による

を用いれば同様の解釈ができると思われる。

このように

以降の玉河数は上の意味で保型表現論の基盤の一角をなし、

跡公式や保型形式の周期、志村多様体のゼータ函数などの考察には欠かせない。こ

のノートの目的は玉河数の定義、および小野・

によるそ の決定を、わずかだが現代の視点からの更新を加えて概説することである。特に

以降の玉河数の計算方法については、跡公式の考察などに応用されていることを踏まえ、

最も単純な

玉河測度と玉河数

を代数体とし、

配 ^{今野和子} ^{玉河数について} 布

^年

^{今野拓也} ^月禁

^日

目次

配布禁止

が定まる。これは局所コンパクト位相群でもとの代数体上の有理点たちはその離散部分群

をなす。この代数体上の左不変体積要素から適当な正規化の過程を経て定義される

ベクトル部分で割ったもの) の体積が玉河数である。玉河数の構成は玉河恒夫氏によるものだが、それを玉河数と呼んでその重要性に注意を喚起したのは

がトーラスの場合の玉河数を決定し、さらにそれを用いて半単純群の相対玉河数を記述した

によって連結簡約群の場合に拡張された

でも強調されているように、これらの研究の動機は玉河数の整数論的意味の解明にあった。

ノルムを計算することにより、分裂簡約群の玉河数を一般的に決定した

は四元数体の乗法群と

配布禁止

る。Langlands の議論は上でも触れた玉河数の意味についての基本的な理解を与えた点で重要である。すなわち表現論の意味の重複度が

によるその決定を、わずかだが現代の視点からの更新を加えて概説することである。特に

上のイデールノルムを

と書き、そのモヂュラスを

の位数を

有限アデールたちのなす

で絶対

に関して自己双対な

配布禁止

上の定義可能な不変測度であり、これに関する