第3回レポート問題解答例 (1)

第

3

回レポート問題解答例

(1) 式(B)の両辺の回転をとると、

rot rot rot B rot B  ( 1 )

E t  t

 

 

 



となる。

次に、式(E)の関係を式(A)に代入すると、

rot E Ε  ( 2 ) B   



 

t

^となる。

式(1)の右辺に式(2)を代入すると、

rot rot

₂

( 3 )

2

t 

t 

 



 

 E E

E  

となり、式(3)の左辺に式(F)の

公式を適用すると、

grad div

₂

( 4 )

2 2



t

t 

 



 





 E E

E

E  

となる。さらに、式(4)の左辺に式(C)

の関係を用いると、Eに関する方程式 ^{2 2}₂

 0  ( 5 )



 



 

 t t

E

E  E 

が得られる。

(2) 式

E

_x

( z , t )  E

₀

e

^i(kzt) を式(5)に代入すると、

 k

²

E

_x

 

²

E

_x

 i  E

_x

 0

^{となる。従って、}Ex がゼ ロでなければ、

k

²

 

²

 i 

の関係が成立しなければならない。

k  k

_r

 ik

_i^{とすると、}

i r i

r

k ik k

k

k

²



²



²

 2

であり、従って

k

_r²

 k

_i²

 

²、

k

_r

k

_i

  / 2

となる。これを解いて kr, ki を求め

ればよい。 ₂ ²

2 2 2 2

2 2

4   

 _







r r

i

r

k k k

k

、従って

4 k

_r⁴

 4 

²

k

_r²

 

²



²



²

 0

^{であり、従って}

2

2 2 2 2

2

       

k

r となるが、復号の − の方は、kr が虚数となるので、この場合はない。従って、

2 1 2

2 1 2 2

1 2 2 2 2

1 2 1

2 1

2  





 







 





 

  



 



 



 



 





 



 



 



 



 



 

 





 

  

 



 



 



 









k

r ^となる。



 





 

  



 



 



 

 





 

  



 



 





 1 1

1 2 2 1

2 2 2

2 2 2

2 2





 





 

r

i

k

k

^{であり、従って}

2 1 2

1

2 1  





 







 





 

  



 



 

 



 

k

i と求められる。

(3)

E

_x

( z , t )  E

₀

e

^i(kzt)

 E

₀

e

^{ikrikizt}

 E

₀

e

^kiz

e

^{ikrzt} となり、波数kの虚部、即ちki が減衰定数であるこ とが分かる。従って、Exの振幅が 1/e となる距離、即ちSkin depth δは、

) 6 ( 1

2 1 1

1

²

1 2







 





 

  



 



 



 





 

k

i ^となる。

(4) 式(B)より、

t B z

E

x y



 

 



の関係式が得られ(何故なら、Ey = Ez = 0,

y x 





 ,

の項もゼロ)、

E

_x

( z , t )  E

₀

e

^i(kzt)

とさらに、磁場BもB_y(z,t) B₀e^i(kzt)のように表わすことができるとして代入すると、

ikE

_x

 i  B

_y^の関

係が得られる。従って、磁場と電場との間には _y

k E

_x

B ^ 

^{の関係がある。波数k}が複素数であることを考慮

してその位相差を求めてみると、

) ( 0 2 2 )

( 0 2 2 2

2     











^{  }

 

 

 

 



_x ^{r i} _x ^{r i i} _x ^{r i i ikz t r i i kz t}

y

k k E e

e E k e E k

k e E k

ik E k

B k

であり、三

番目の等式は、複素数kを極形式で表わしたものである。従って、

r i

k

1

k tan

^

 

である。上式より、Byは

Ex に対して位相がϕ だけ遅れていることが分かる。この場合時間回転は

e

^it、つまり複素平面上を時計回

りであるから、それに対してϕ だけ遅れていることになり、その位相差ϕ は

r i

k

1

k tan

^

 

である。



 





 

  



 



 



 





 







 





 

  



 



 



 





 

  



 



 

 



 



 





 





 

  



 



 



 





 

  



 



 

 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

1

2

2 1 2

2

2

2 1 2

2 1 2





























r i

k

k

であるから、

位相差

 





 







 





 

  



 



 



 tan

^

tan

^

1 1

2 1

1







 

r i

k

k

となる。

(5) 式(6)において、σ >> εω という関係が成り立っているとするならば、{ }の中は





となる。従って

   ²

^{となる。また位相差}ϕは、

 

1 4 tan

tan

^{1 1}



 

^



^



r i

k

k

である。