結 び 目の 円 周 数 に よ る特 徴 付 け 小 畑 久 美 ㌔ 佐 久 間 一 浩**

結 び 目の 円 周 数 に よ る特 徴 付 け 小 畑 久 美 ㌔ 佐 久 間 一 浩**

number a circular

via knot Characterization of a

SAKUMA**

Kazuhiro KOBATA* and

Kumi

A spatial embedding of a graph G is a realization of G into the 3-dimensional Euclidean space IV. J. H. Conway and C. McA. Gordon proved that every spatial embedding of the complete graph with 7 vertices contains a nontrivial knot. A linear spatial embedding of a graph into R3 is an embedding which maps each edge to a single straight line segment. In this paper, we actually construct a linear spatial embedding of the complete graph with 2n — 1 (or 2n) vertices which contains the torus knot T(2n — 5, 2) (n > 4). A circular spatial embedding of a graph into I".3 is an embedding which maps each edge to a round arc. We define the circular number of a knot as the minimal number of round arcs in R3 among such embeddings of the knot. Then we have relations between a circular number and other invariants. We also show that a knot has circular number 3 if and only if the knot is a trefoil knot, and the figure-eight knot has circular number 4.

Key words: knot, spatial graph, complete graph, circular number

の 円 弧 か ら な る 円 周 型 埋 め 込 み を 持 つ と し,そ の よ うな η の 最 小 数 を 結 び 目 κ の 円 周 数 と よ び,Circ(K)と 表 記 す る.

1。 序 文

定 理1.[91

(1)結 び 目 κ が 三 葉 結 び 目 で あ る こ と とCirc(κ);3 で あ る こ とは 同 値 で あ る.

(2)結 び 目 κ が8の 字 結 び 目 な ら ばCirc(κ)=4で あ る.

定 理1(2)の 逆 の 主 張 は 一 般 に は成 り立 た な い(注3を 参 照).

この論 文 の構成 は以 下 の よ うであ る:2節 では,脆 頂 点 完全 グ ラ フの線 形 埋 め込み ブ を 定義 し,命 題1の 証明 の 概 要 を与 え る、3節 にお いて,結 び 目の 円周 型埋 め込み の 性 質 を示 し,定 理1を 証 明す る.4節 で,今 後 の研 究 の課 題 につ いて触 れ る.

2.線 形埋 め込み

ConwayとGordonは([31参 照)に お い て 、 完 全 グ ラ フK7の 任 意 の 空 間 埋 め 込 み は 非 自 明 な 結 び 目 を 含 む こ と を 証 明 し た.彼 ら の 結 果 を も う少 し精 密 な 言 い 方 で 表 現 す れ ば,"鵬=7か つ π>3な ら ば,観 頂 点 完 全 グ ラ フ κ皿 の 任 意 の 空 間 埋 め 込 み は 最 小 交 点 数 が π の 結 び 目 を 含 む."そ こ で,こ の 結 果 を 観>8も し く は,π>4 に 拡 張 した い と 考 え た.そ の た め に,次 の よ う な 埋 め 込 み を 構 成 し た.κ π の す べ て の 頂 点 が 図1の よ うに,ら 線 H:={(cosθ,sinθ,2π̲の;0≦ θ ≦2π}上 に うっ る 線 形 埋 め 込 み ズ:Kπ →IR3を 考 え る.こ の 埋 め 込 み ズ に よ り,命 題1が 成 り 立 つ こ と が わ か る,証 明 は 帰 納 的 に で き る.グ ラ フ に どの よ うな 結 び 目 や リン ク が 含 ま れ て い る か は,グ ラ フ 理 論 の 視 点 か ら も 結 び 目 理 論 の 視 点 か ら も 大 変 興 味 深 い こ と で あ る.命 題1の 結 果 はConwayと グ ラ フ σ と は1次 元 単 体 的 複 体 で あ り,0次 元 単 体 と

1次 元 単 体 を そ れ ぞ れ 頂 点 と辺 と よぶ.特 に,(π 一1)次 元 単 体 の1次 元 ス ケ ル トン をn頂 点 完 全 グ ラ フ と い い, κ π と表 記 す る.完 全 グ ラ フ κ π は ど の2頂 点 も 辺 で 結 ば れ て い る グ ラ フ で あ る.グ ラ フGの 頂 点 の 集 合 と 辺 の 集 合 を そ れ ぞ れ γ(G),E(σ)と 表 記 す る.グ ラ フ σ の 飛3(={(欝,竃5,拷)lz,忽,2∈ 正ヒ})へ の 埋 め 込 み ∫=σ → 正〜3

を σ の 空 間 埋 め 込 み,飛3へ 埋 め 込 まれ た グ ラ フ ∫(σ)を 空 間 グ ラ フ と よ ぶ.グ ラ フ σ の サ イ ク ル σ とは2っ の 連 続 した 頂 点 競 と り,+1は 辺 り繊+1に よ り結 ば れ て い るG の 相 異 な る 頂 点 の 巡 回 列{η0,紗11●●●,"箆一1}で あ る(̀は π を 法 と す る).リ ン ク と はR3内 の 単 純 閉 曲 線 の 有 限 個 の 互 い に素 な 和 集 合 で あ る.特 に,1成 分 の リン ク を 結 び

目 と よ ぶ.σ が 空 間 埋 め 込 み ノ:σ 一→R3に よ りR3に 埋 め 込 ま れ て い る と き,σ の 任 意 の サ イ ク ル の 像 は 結 び

目 で あ り,Gの 任 意 の サ イ クル の 互 い に 素 な 和 集 合 の 像 は リン ク で あ る 。任 意 の 辺 をR3内 で 直 線 に うつ す グ ラ フ の 空 間 埋 め 込 み を 線 形 埋 め 込 み と よぶ 、単 純 グ ラ フ と は 多 重 辺 と ル ー プ を も た な い グ ラ フ で あ る.任 意 の 単 純 グ ラ フ が 空 間 埋 め 込 み を も つ こ と は よ く知 ら れ て い る(国 参 照).T1(p,q)で,(p,の 型 の トー ラ ス 結 び 目を 表 す とす る ([21参 照).こ の 論 文 で は,線 形 埋 め 込 み ズ:σ 一→IR3

を 構 成 し,次 を 示 し た.

命 題1.[9]η を π ≧4の 整 数 とす る と き,T(2π 一512) を 含 む 碗 伽1と κ2π の 線 形 埋 め 込 み が 存 在 す る.

任意 の辺 が 腱3内 で円弧 に うつ る グラ フの空間 埋 め込 み を円 周型 埋め 込み とよぶ.1ぐ を結 び 目 とす る.κ が 驚個

平成20年6月21日 受 理

*大 学 院総 合理 工 学研 究科理 学 専攻

**理 学科

ぴ 目 κ'を,そ の ￠g平 面 へ の 投 影 で あ る ダ イ ア グ ラ ムD が 一 般 の 位 置 とな る よ うに と る.こ の と き 、 制 限glκ'を D上 の 高 々2値 の 多 価 関 数 と見 な す こ と が で き る が,一 般 の位 置 と い う こ と に よ り,こ の 関 数 の 極 大 点 は2値 点 で は な い もの と して よ い.κ'を 取 り 替 え て 得 られ る 極 大 点 の 数 の 最 小 数 を κ の 橋 数 と い い6(κ)で 表 す.

明 ら か に,こ れ らは 結 び 目の 整 数 値 不 変 量 で あ る.ス テ ィッ ク数 は最 小 交 点 数 が10個 の 結 び 目ま で は よ く知 られ て い る.弧 指 数 は 最 小 交 点 数 が10個 の 交 代 結 び 目 に っ い て 求 め られ て い る([61参 照).こ こで 交 代 結 び 目 と は ダ イ ア グ ラ ム0に 沿 っ て た ど る と 上 下 交 点 が 交 互 に 現 れ る ダ イ ア グ ラ ム 持 っ 結 び 目 で あ る.ま た,arc(κ)≦c(κ)十2

も 示 され て い る([6]参 照).例 え ば,κ を 三 っ 葉 結 び 目 (c(κ)=3)と す る と,st(κ)=6,arc(κ)=5,b(κ)ニ2

で あ り,κ を8の 字 結 び 目(c(κ)=4)と す る と,st(κ)=

7,arc(κ)=6,6(κ)=2で あ る.こ の と き,次 が 得 られ る.

命 題2。[9]

(1)Circ(κ)=1⇔1ぐ が 自明 な 結 び 目.

(2)Circ(・ κ)≦st(」F《F).

(3)Ci1驕c(κ)≦a17c(」 κ)・

(4)Circ(κ)≦c(κ)+2.

(5)6(κ)≦2Circ(」F().

こ の 命 題 は 不 変 量 の 定 義 か ら ほ と ん ど た だ ち に わ か る も の ば か りだ が,重 要 で あ る.

注2.円 周 数 の 定 義 か ら,円 周 数 が2に な る 結 び 目 は 存 在 しな い.最 近,G.T.Jlnは 素 な 結 び 目 κ が 交 代 結 び 目 で な い こ と と,arc(κ)≦c(κ)は 必 要 十 分 で あ る こ と を 示 した([7]参 照)。 した が っ て,素 な 結 び 目 κ が 交 代 結 び 目 で な い な らCirc(κ)≦c(κ)で あ る.こ こ で,素 な 結 び 目 と は 他 の 結 び 目の 連 結 和 で か け な い 結 び 目の こ と で

あ る.

定 理1を 一 部 証 明 す る.結 び 目 κ が 三 葉 結 び 目な ら ば Circ(κ)=3で あ る こ と を 示 す.

ま ず,結 び 目 κ を 三 葉 結 び 目 とす る 。 図2の よ うに 円 5を ∬y平 面 上 に あ っ て 原 点oを 通 る よ うに と る.同 様 に 円 丁 は 颯 平 面 上 に,円Wは 騨 平 面 に 平 行 な 平 面 上 に そ れ ぞ れ と る.そ の と き,図2の よ う に3,T,Wは3

点0,31,32で 交 わ る よ うに と る.円5上 に あ る0と3エ

Figure2:三 葉 結 び 目 の 円 周 型 埋 め 込 み

を っ な ぐ 図 に あ る よ うな 細 線 で 描 か れ た 弧 を δ訂 とす る.

Gordonの 結 果 に比 べ て,完 全 グ ラ フ の 頂 点 数 を 増 や す と 最 小 交 点 数 が4以 上 の 結 び 目を 含 む こ と が 分 か る 点 に お い て,ConwayとGordonの 結 果 よ り優 れ て い る と考 え ら れ る.た だ し,こ の 結 果 は 空 間 埋 め 込 み を 線 形 埋 め 込 み に 制 限 して い る た め,今 後 は 任 意 の 空 間 埋 め 込 み で どの よ う な 結 び 目が 含 ま れ る か を 調 べ た い.

3.円 周 型埋 め込 み

線 形 埋 め 込み を任 意 の空 間 埋 め 込み に近 づ け るた め に 考 えたの が,こ の節 で述 べ る円周型 埋 め込み で あ る.線 形 埋 め込 み よ りも円周 型埋 め込 み の方が任 意の 埋 め込み に近 い と考 えた理 由は 次 の2点 で あ る.任 意 の グ ラ フは円 周 型 埋 め 込み を もつ こ と と,線 形埋 め込 み は1つ の結 び 目 を構 成す るた め に6辺 必 要 だが,円 周 埋 め 込み は3辺 で 構成 でき る こ とか らで あ る.完 全 グ ラフは多重 辺 を持 たな い ため,3辺 で 結び 目を構成 す る.こ の節 で は,円 周型 埋 め込 みの い くつ か の性 質 を示 す.

定 義1.Gを グ ラ フ と す る.Gの 任 意 の 辺eに 対 し て,

∫(e)⊂ εと な る 円 弧 εが 存 在 す る 空 間 埋 め 込 み ∫:G→

飛3を 円 周 型 埋 め 込 み と よぶ.

任 意の グラ フは 空間埋 め込み を持つ ことは簡単 に分か る.

注1、 イ ソ トピ ー 類 で 円周 型 埋 め込 み を 持 た な い 空 間 グ ラ フ は 存 在 す る 、

次 に,円 周 型 埋 め 込 み の 性 質 を 述 べ る.こ こ か ら は,結 び 目に 制 限 す る.

定 義2.結 び 目 を κ とす る.円 周 数Circ(κ)と は κ が π 本 の 円 弧 の 円 周 型 埋 め 込 み を も つ よ うな π の 最 小 数 と 定 義 す る.

ここで 円 周数 と他 の 不変 量 を 比較 す る.比 較 した い結 び 目の 不変 量 は次 の4つ で あ る。

定 義3.結 び 目 κ の ス テ ィッ ク 数st(κ)と は κ がn本 の 直 線 の 線 形 埋 め 込 み を もつ よ うなnの 最 小 数 で あ る.結 び 目 κ の 弧 指 数arc(κ)と は 各 シ ー トに κ の 円 弧 が 各1 本 ず つ の る よ う に ブ ッ ク([4][5]参 照)に 埋 め 込 む シ ー ト の 最 小 数 で あ る.結 び 目 κ の 最 小 交 点 数c(κ)と は κ の す べ て の 正 則 射 影 の 交 点 の 最 小 数 で あ る ◆最 後 に 向 き付 け られ た 結 び 目 κ に対 して 橋 数6(κ)を 定 義 す る.ま ずR3 に 直 交 座 標 系 ￠解 を 定 め る.次 に κ に イ ソ トピ ッ ク な 結

注3.円 周 数 は 一 般 的 に 連 結 和 に 関 して 加 法 的 で は な い 。 例 え ば,三 葉 結 び 目 κ とそ の 鏡 像 κ 尊の 連 結 和 に 対 して, Circ(飾 κ り=4が 得 られ る 、 実 際,図4よ り4本 の 円 弧 の 円 周 型 埋 め 込 み を も つ.一 方,定 理 エ(1)よ り 三 葉 結 び 目 とそ の 鏡 像 の 円 周 数 は ど ち ら も3で あ る こ と よ り, Circ(κ)+Circ(κ っ=6で あ る.よ っ て,加 法 的 で は な い こ とが 分 か る.ま た,こ の こ とか ら 定 理1の 逆 の 主 張"

円 周 数 が4に な る 結 び 目 は8の 字 結 び 目 で あ る"は 成 り 立 た な い こ とが わ か る.し か し,円 周 数 が4に な る̀素 な 結 び 目'は8の 字 結 び 目 で あ ろ う,と 予 想 して い る.

Figure4:三 葉 結び 目 とその 鏡 像 の連 結 和 の 円周 型 埋 め 込 み

4.今 後 の 問 題

今 後 の 問 題 は 、 次 の2つ が 主 な 問 題 で あ る.

問 題1.完 全 グ ラフ に内蔵 す る結び 目,そ して 特 に内蔵 す る結び 目を特定 でき る不変 量 と完 全 グラ フの頂 点 数の 関 係 を調 べ る.

問 題2。 円 周数 に 対す る結 び 目の分 類 と他 の 結 び 目の 不 変 量 との関 係.

完全 グラ フの 結び 目の 内蔵 に関 す る問題(問 題1)を 調 べ るた めに 円周型埋 め込 み(問 題2)を 考察 す る.さ らに, 結 び 目か ら一般 の 空 間 グラ フへ の 拡 張 を試 み る方 法 を 取 る.そ の ため にまず 調べ たい こ と と して,例 えば 次の5点 が あ る.

(1)最 小交点 数 が5の 結 び 目の 円 周数 の 決 定.

(2)円 周数 と超 橋数 の 関係.

(3)円 周 数 の弧 指数 で の上 か らの 評 価.

(4)円 周数 が最 小交 点数 以 下 に な る こ との 証明 。 (5)円 周数 の決 定.

ここで κ の超橋 数 とは,κ'を κ に イ ソ トピー 同値 なR3 に埋 め込 まれ た結 び 目と し,謬 を 高 さ関数 の方 向 を表 す 単

ノ ノ

位 ベ ク トル,b。(κ)を 軸IR。 へ の κ の 直 交 射 影 の 極 大 点 の 個 数 と す る と き,

sb(κ):=min{max6z(κ)}

げ

κ'〜K3∈32

で 定 義 さ れ る 不 変 量 で あ る.こ の 不 変 量 の 研 究 は 始 め られ た ば か りで あ るが,G.T.Jin([81参 照)を は じ め 盛 ん に行 わ れ て い る.ま た,1つ 目 の 問 題 は 図5の2つ の 結 び 目 51結 び 目 と52結 び 目 に つ い て 考 えれ ば よ い.円 周 数 が4 か5で あ る こ と は 図6よ りCirc(51)≦5が 分 か る.定 理 1よ りC童rc(51)≧4な の で,51結 び 目の 円 周 数 は4か5 で あ る こ と が 分 か る.

謝辞 。 本稿 は[91の 結 果 が母体 となって い る.著 者 らは 田 中利 史氏 に特 に感 謝の 意 を表 した い.

同 様 に,円 丁 上 に あ るoと82を つ な ぐ細 線 で 描 か れ た 弧 を δお,円W上 に あ る31と82を つ な ぐ細 線 で 描 か れ た 弧 を 可32と す る.そ の と き,

3UTUI布1一{δ 葦丁,砺,礪}

で 構 成 さ れ る 結 び 目 は 三 葉 結 び 目 で あ る.こ れ よ り, Circ(κ)≦3で あ る ・ ま た,命 題2(1)と 注2よ り Circ(κ)≧3で あ る ・ し た が っ て,κ が 三 葉 結 び 目 な

らCirc(κ)=3で あ る ・

次 に,結 び 目 κ が8の 字 結 び 目 な ら ばCirc(κ)罵4で あ る こ と を 示 す.

まず,結 び 目 κ を8の 字 結 び 目 と す る.図3の よ うに 円Pを 灘y平 面 に原 点oを 通 る よ う に と る.同 様 に 円Q は 解 平 面 に 平 行 な 平 面 に,円Rは 綴 平 面 に 平 行 な 平 面 に それ ぞ れ と る.そ の と き,図3の よ うにP,g,Rは2 点62,直3で 交 わ る よ うに と る.図3の よ うに 原 点oとR

2→1

Figure3:8の 字 結 び 目の 円 周 型 埋 め 込 み

との 交 点 亡1を と お る 円 弧Lも と る.円R上 で 西1と ε2を つ な ぐ図 中 で は 細 い 弧 を 砺 とす る.同 様 に,円Q上 で 62と 砲 を つ な ぐ 細 い 弧 を 砺,円P上 でoと ε3を っ な

ぐ細 い 弧 を 砿 とす る.そ の と き,

PuQuRuL‑{61ε2,亡2ε370ε3}

で 構 成 され る 結 び 目 は8の 字 結 び 目 で あ る.こ れ よ り, c三rc(κ)≦4で あ る.ま た,定 理1(1)よ りCirc(κ)≧4 で あ る.し た が っ て,1で が8の 字 結 び 目 な らCirc(κ)=4 で あ る.

最 後 に,円 周 型埋 め込 み を使 った も う1つ の 不 変量 を 紹 介 す る.

定義4。 結 び 目を ∫ ぐ とす る.不 変 量u鵬(κ)は κ を ㎜ 本 の 円周型埋 め込み に変 形す る ため に最 小交 点数 を実現 す る正則 射 影 の交 差 交換 の 最 小数 と定 義 す る.

こ こ で,徊 が2以 下 な らUm(κ)は κ の 結 び 目解 消 数 と等 し くな る.こ の 意 味 で,艇m(κ)は 結 び 目解 消 数 の 一 般 化 に な っ て い る と い え る.定 理1か ら 次 の 系 を 得 る 。 系1.結 び 目 κ が 三 葉 結 び 目 な ら,7π<2の と き

%漁(κ)=1,m≧3の と きUm(κ)=0で あ る.

Figure5:51結 び 目 と52結 び 目

Figure6:51結 び 目の 円 周 型 埋 め 込 み

参 者 文 献

[ 1 ]S. Negami, Ramsey theorems for knots, links and spatial graphs, Trans. Amer. Math. Soc. 324

(1991), no. 2, 527-541.

[ 2 JA. Kawauchi, A survey of knot theory, Translated

and revised from the 1990 Japanese original by the author. Birkhauser Verlag, Basel, 1996.

[ 3 P. H. Conway; C. McA. Gordon, Knots and links in Spatial graphs, J. Graph Theory 7 (1983), no.

4, 445-453.

[ 4 ]P. R. Cromwell; I. J. Nutt, Embedding knots and links in an open book. II. Bounds on arc index,

Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 119 (1996),

no. 2, 309-319.

[ 5 ]P. R. Cromwell, Arc presentations of knots and links, Knot theory (Warsaw, 1995), 57-64, Banach Center Publ., 42, Polish Acad. Sci., Warsaw, 1998.

[ 6 ]Y. Bae; C.-Y. Park, An upper bound of arc index of links, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 129

(2000), no. 3, 491-500.

[ 7 }G. T. Jin, Prime knots with arc index up to 11 and an upper bound of arc index for non-alternating

knots, A plenary talk, The First east Asian School of Knots and Related topics, The University of

Tokyo, January 21-24, 2008.

[ 8 ]G. T. Jin, Polygon indices and superbridge indices of torus knots and links, J. Knot Theory Ramifi-

cations 6 (1997) 281-289.

[ 9 ]K. Kobata, T. Tanaka, A circular spatial embed- ding of a graph in Euclidean 3—space,x