Direction of the traveling wave

Stator Metal

Rotor

Piezoelectric ceramics Pressure

Movement of rotor

Direction of the traveling wave

Group 1

t sin ω V

〜

) t sin( ω + φ V Alternating voltage of two aspects

〜 Elliptic motion

Group 2 St

温度特性を考慮した超音波モータの数学モデルの導出 

Derivation of Mathematical Models of an Ultrasonic Motor Considering Temperature Characteristics

精密工学専攻  ３号  井澤広朗

Hiroaki Isawa

ator Metal

Rotor

Piezoelectric ceramics Pressure

Movement of rotor

Direction of the traveling wave

Group 1

t sin ω V

〜

) t sin( ω + φ V Alternating voltage of two aspects

〜 Elliptic motion

Group 2

Alternat ing voltage

（V, ω,φ）

Rotat ional speed

St ator Rot or

USM St ator/Rotor

cont act Alternat ing voltage

（V, ω,φ）

Rotat ional speed

St ator Rot or

USM St ator/Rotor

cont act

1.  緒言 

  今後，高齢化社会になり医療・福祉現場でも機械化が進み 人間との共同作業の場面が増えると予想されている．

このような現場で用いられるアクチュエータとして，注目 されているのが超音波モータ（

USM

）である．このモータは，

超音波領域の超音波振動を駆動源とするアクチュエータで 電磁波を発生せず，またその影響を受けない．このような特 性は計器類が多く存在する医療現場において有効であると 考える．また，電源が切れていても保持力(自己保持特性)を 有し，低速・高トルクであるためブレーキ機構を必要としな い．このため，様々な分野で応用が期待されている．

一方，

USM

の駆動原理は複雑で入出力関係を表す有効な 解析的モデルが導出されておらず，速度制御やトルク制御を 容易に行うことができない．また，温度の影響を受けやすい．

摩擦駆動のため長時間の運転をする際に発熱を伴い，その発 熱により

USM

自身の機械的特性が変化し，回転数が減少し てしまう．このような欠点があるために，限られた分野でし か応用されていないのが現状である．

そこで，本研究では

USM

の入力波形による特性の違いに ついて把握し，制御系の運用を容易にするため熱特性を考慮 したモータの入出力特性を表す数学モデルの導出が目的で ある．

 

2.  USM の基礎理論 

 

USM

は圧電素子に高周波の交流電圧を加えることで生じ る振動を用いて駆動するモータである．振動の利用の仕方か ら，クサビ型と進行波型の

2

つに分かれるが，進行波型の方 が耐久性に優れているなどの点から現在はこちらが主流と なっている．本研究で用いる

USM

は進行波型である．

 

Fig. 1

に

USM

の原理図を示す．圧電素子である圧電セラミ

ックを図のように

1

，

2

と二つのグループに分けてステータ 金属（弾性体）に接着し，それぞれ交流電圧を加えると定在 波が生じる．各グループに互いに時間的位相差

φ

持つ交流電 圧を加えると，発生する二つの定在波が合成され，進行波を 得ることができる．すると，ステータ金属のある一点は楕円 軌跡を描き，ここにロータ（移動体）を押し付けることで駆 動力を得る．この入力する交流電圧の振幅

V

，角振動数

ω

， 位相差

φ

によって

USM

の回転数を制御することが可能であ る．

   

                           

 

Fig.1 Principles of a USM

 

3.  USM の特性モデル 

3.1 入出力モデル  3.1.1 モデル化の流れ 

 

Gregor Kandarel ⁽¹⁾

・青柳

^{, (2)}

のモデル式を参考に，

USM

の数 学モデルを検討した．導出は，ステータ，ステータとロータ の接触部，ロータの三要素に分割してそれぞれモデル化し，

一つに統合することで行った．

Fig. 2

にモデルの要素につい て図で示す．入力変数は交流電圧の振幅

V

，角振動数

ω

，位 相差

φ

^{で，出力は}

USM

の回転数である． 

         

 

Fig.2 Components of the model of the USM

 

3.1.2 ステータモデル 

  ステータは，電気を機械的なエネルギーに変換する

USM

の重要な要素である．ステータのモデルとして一般的に用い られるのが

Fig. 2

である．これは，ステータで発生する定常 波の機械的な等価モデルである．上の部分が圧電セラミック の電気的な要素を，下の部分がステータ金属の機械的な要素 を表している．

A

は電気的なエネルギーを機械的なものに変 換する比例定数である．このモデルを二つ連結させ，進行波 が発生するステータのモデルとする．

このモデルの運動方程式より，入力である二相の交流電圧 を

U Pn

とすると，ステータの振動振幅

w n

はそれぞれ次式のよ うに表せる．ここで

n

は

1

，

2

である．

( ) ^t

V

U _{P 1} = sin ω

                

(1)

( ω + φ )

= V t

U _{P 2} sin

       

(2) (3)

(4)

( )

[

U P i

C P

R P

d S 1/c

S m

eff A

U

_P

i

C

P

R

P

d

_S

1/c

_S

m

_eff

A

U P i

C P

R P

d S 1/c

S m

eff A

U

_P

i

C

P

R

P

d

_S

1/c

_S

m

_eff

A

U P i

C P

R P

d S 1/c

S m

eff A

U

_P

i

C

P

R

P

d

_S

1/c

_S

m

_eff

A

U P i

C P

R P

d S 1/c

S m

eff A

U

_P

i

C

P

R

P

d

_S

1/c

_S

m

_eff

A

Fig.3 A electrical equivalent circuit

1/C

P

R

_P

U

_Pn

c

S

d

S

m

_eff

A

1 w

_n

1/C

P

R

_P

U

_Pn

c

S

d

S

m

_eff

A

1 w

_n

m _eff kg 0.018 ds Nsm ^-1 5.761 C _p nF 3.37 f _res kHz 47.53 R _p Ω 37.57 f _ant kHz 47.71

1 ]

1 1 1 1

1

S S eff

U U A

w c w d w m

ε

ε +

−

=

+

+ &

&&

]

2 2 1 1

1 P P

( )

[ _{2 2 1 1}

2

2 2 2 2 2

1 _{P P}

S S eff

ε U ε U

A

w c w d w m

+

−

=

+

+ &

&&

ただし，

V

は振幅，

ω

^{は角周波数，}

φ

^{は位相差，}

m eff

は等価質 量，

c Sn

は等価剛性，

d Sn

は等価粘性である．

ε n

は二つのモデル の連結時に伴うゆがみやずれを表す変数である．

ε ₁ = ε ₂ = ε

として，その値は一般的

5%

以下である．また，二つのモデ ルが理想的に同じ振動振幅で振動するとして

w ₁ = w ₂ = w

と する．

   

ここで，

USM

の重要な特性として，入力アドミタンスが 挙げられる．交流回路における電流の流れやすさを表わし，

入力電流と印加電圧の比で求められる．ステータの等価回路

を

Fig. 3

と仮定すると，次式のように表わせる．

( ) [ eff s ^{2 +} ( A ² R P ⁺ d s ) s ⁺ A ^{2 /} C P ⁺ c S ]

( )

( )

2 1 3

/ /

/ ⁻

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

+ +

+

+

× +

=

P S P S S P

P eff s P eff P

C c s C d c R

s C m d R s m R

m s s Y

(5)

ただし，

C P

はキャパシタンス，

R p

は等価抵抗である，

f res

は共 振周波数，

f ant

は反共振周波数である．実験により計測したア ドミタンス曲線と式

(3)

，

(4)

の計算によって求めた理論値が 一致するようにそれぞれのパラメータを決定した．

  具体的な各パラメータの決定方法について述べる．等価質 量

m eff

，キャパシタンス

C P

，共振周波数

f res

，反共振周波数

f ant

の各パラメータについては，実験により計測した値を用いた．

さらに，これらの実測したパラメータより，等価剛性

c S

，比 例定数

A

は次式のように表わせる．

( 2 _res ) ²

eff

S m f

c = π

                 

(6)

( ) ( )

[ ^{2 2} ]

2 m _eff C _p f _ant f _res

A = π − (7)

 

残りの等価粘性

d S

，等価抵抗

R P

を，実験により計測したア ドミタンス曲線と式

(3.5)

より計算した値が一致するように パラメータを決定した．

実験により計測したステータのアドミタンス曲線と式

(5)

より計算した値を

Fig. 4

に示す．また，この実験値と理論値 の比較によって決定した各パラメータを

Table 1

に示す．実 験値と理論値は で，概ねよい近似ができたと考え る．

987 .

2 = 0 R

       

4.65 4.7 4.75 4.8 4.85

x 10 ⁴ -75

-70 -65 -60 -55 -50 -45

A d m it tan ce d B

                             

3.1.3 ステータ/ロータの接触部のモデル 

ステータとロータの接触部の拡大図を

Fig. 5

に示す．式

(3)

，

(4)

で求めた を振幅とする定在波がステータで発生し，それ らを重ね合わせると，ステータに進行波が発生する．その波 の頂点の速度 は次式で表せる． 

w

v S

( )

( ω φ ) ω ^φ

φ ω ω φ

sin sin sin

2 cos cos 1

2 ² t ² t

t r

w an v

S n

S + +

+

= − (8)

ただし，

a

はステータの厚み，

n

は波の数，

r S

はステータの半 径である．

  次に，ロータの慣性モーメントを

J

，回転角を

θ

^，ロータ の押し付け力を

F C

とすると，ステータからロータへの力の伝 達式が次式で表すことができる．

   

J θ ^&& + Br _R ² F _C θ ^& = Br _R v _S F _C

       

(9)

   

v _R = r _R θ ^&

           

       

(10)

ただし，

B

は比例定数，

r R

はロータの半径である．

Fig.2 Mechanical equivalent models of a stator

Table 1 Parameters of the admittance model Fig.4 The admittance curve of the stator and the model

Frequency Hz

Measurement Model

4.65 4.7 4.75 4.8 4.85

x 10 ⁴ -75

-70 -65 -60 -55 -50 -45

A d m it tan ce d B

Frequency Hz

Measurement Model

Admittance dB

Frequency kHz

F

c

Rotor

Stator v

_s

v

R

a

Moving direction of traveling wave Surface

F

c

Rotor

Stator v

_s

v

R

a

Moving direction of traveling wave Surface

               

-75 -70 -65 -60 -55 -50 -45 -40

46.80 47.00 47.20 47.40 47.60 47.80 48.00 48.20 24 ℃ 40 ℃ 50 ℃ 60 ℃

Admittance dB

Frequency kHz Frequency kHz

Rotational speed rpm

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

49 49.5 50 50.5 51 51.5 52 52.5 53

Frequency kHz Rotational speed rpm

0

200 400 600 800 1000 1200 1400

47 47.5 48 48.5 49 49.5 50 50.5

 

3.2 温度特性モデル 

 

2

章で述べたとおり，

USM

は駆動させ続けると温度が上昇 し，回転数が減少する．そして，この減少によって，摩擦熱 は減少し，今度は

USM

の温度が減少する．結果，長時間経 過すると，温度と回転数が一定値に収束していく． 

まず，

USM

の駆動によって発生する摩擦熱を考える．質量

W

の物体を摩擦係数

µ

^の平面に

F C

の力で押し付け，速度 で 動かすときの熱量が次式で表せる

v

(3)

． 

( _C )

usm v t W g F

Q = ∆ ⋅ +

∆ µ

         

)

            

(11)

  ただし，

g

は重力加速度である．このとき速度 は

USM

の 回転速度で，温度

T

によって変化する関数 と仮定する．

v

( ) T v

  次に，大気の熱容量を無限大と仮定すると，

USM

の温度上 昇は，ニュートンの冷却法則および熱容量式より，次式で表 せる

⁽⁴⁾

． 

( ) ( _{usm air}

air S t T t T

Q = ∆ −

∆ α

                      

(12)

             

(13)

 

( ) (

[ ]

air usm

usm usm

usm

Q Q

t T t t T C

∆

−

∆

=

−

∆

+ )

ただし，

∆ Q _usm

は

USM

の発熱量，

∆ Q _air

は大気に放出される 熱量，

C usm

は

USM

の熱容量，

α

^{は表面熱伝導率，}

S

は

USM

の 全表面積，

T usm

は

USM

の表面温度，

T air

は大気温度，

t

は駆動 時間である．以上の式

(11)

〜

(13)

をまとめ，時間で微分するこ とにより次式が求められる． 

( )

( )( )

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − + −

= ⋅

−

C t S S

F g W T v

T t T

usm C

air usm

α α

µ 1 exp

      (14)

 

4.  実験結果と考察 

4.1 入出力特性 

 

USM

は周波数制御方式が，その容易さから一般的である．

そこで，モデルの検証として，交流電圧の振幅

200 V

，位相

差

90 deg

，表面温度

24

℃の場合の周波数と回転数の関係を

計測し，モデルによって求めた理論値と比較した．それを

Fig. 6

に示す． 

実験値は，回転数がもっとも高い共振周波数から周波数を 上昇させると，回転数が減少した．モデルによる理論値は，

オーダーとグラフの傾向を一致させることができた．しかし，

共振周波数近辺では大きく違う値となった．これは，超音波 モータの特徴のためだと考える．

実験において，共振周波数より周波数を減少させると，回 転数は急激に減少した．このような挙動を示すのことは，

USM

の特徴として知られており，製品化されている

USM

は 最高回転数より低い回転数の範囲で制御を行うことが多い． 

理論値は，最高回転数を示す共振周波数が実験値と

2

 kHz 差が生じた．また，回転数のオーダーは一致したが，最高 回転数で大きな差が生じた．さらに，傾きも大きく異な った．ステータとロータ間のモデルの更なる検討が必要だと 考える． 

 

Fig.5 Driving Mechanism of USM

 

         

(a) Measurement (b) Model

 

Fig.6 The relationship between frequency and rotational speed

 

4.2 温度特性 

  式

(8)

によって，温度特性を求めるには温度と回転数の関数 である

v ( ) T

が必要である．そこで注目したのが，

Fig. 4

に示 したステータのアドミタンス特性である．

表面温度が

24

，

40

，

50

，

60

℃の時の，特性について計測 した結果を

Fig. 7

に示す．図より，温度が上昇するとグラフ が

x

軸のマイナス方向にスライドおり，共振周波数は

10

℃

の上昇で

100 Hz

減少している．よって，

USM

の周波数と回

転数の特性も同様の傾向を示すと考える．

ここで，周波数と回転数の特性について，温度を室温

24

，

40

，

50

，

60

℃と変化させて計測した結果と，モデルによっ て計算した結果を

Fig. 8

に示す．ただし，挙動が安定な共振 周波数より高い周波数の範囲で検討していく．図より，ステ ータのアドミタンス特性と同様に，温度上昇によってグラフ が

x

軸のマイナス方向にスライドした．

  この

Fig. 9

のモデルの理論値を各温度において，周波数を

f

と回転数を

n

として

= a / ( f + b )

T

n

の式で近似を行った．さ らに，各温度

T

において

a

は定数で

b

の値を温度

T K

の関数 と仮定し，一次式で近似した．以上より

v )

は次式のように なる.

( ( ) ^{T = 30 ∗ f +} ( ^{9 . 94 ∗ 10 140 − 3 ∗ T − 50 . 3} )

v π

     

(15)

Fig.7 The relationship between the admittance and frequency

of the stator as a parameter of temperature

Time s

25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

0 50 100 150 200

300[rpm]

230[rpm]

180[rpm]

110[rpm]

50[rpm]

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

49 49.5 50 50.5 51 51.5 52 52.5 53

24 ℃ 40 ℃ 50 ℃ 60 ℃

Rotation al speed rp m

Fig.8 The relationship between frequency and rotational speed as a parameter of temperature

Frequency kHz

Rotation al speed rp m

Frequency kHz

Time s Rotation al speed rp m Rotation al speed rp m

Time s

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

47 47.5 48 48.5 49 49.5 50 50.5

24 ℃ 40 ℃ 50 ℃ 60 ℃

0 50 100 150 200 250 300 350

0 50 100 150 200

300[rpm]

230[rpm]

180[rpm]

110[rpm]

50[rpm]

25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

0 50 100 150 200

300[rpm]

230[rpm]

180[rpm]

110[rpm]

50[rpm]

0 50 100 150 200 250 300 350

0 50 100 150 200

300[rpm]

230[rpm]

180[rpm]

110[rpm]

50[rpm]

初期回転数を

50

，

110

，

180

，

230

，

300 rpm

で

100 s

回転さ せた時の温度と回転数の変化を実験によって計測した結果 を，式

(14)

，

(15)

より理論値を計算した結果を

Fig. 9, 10

に示 す．

時間が経過するにしたがって，

USM

の表面温度は上昇し，

回転数が下がる様子を実験により確認できた．モデルの理論 値は表面温度，回転数の変化ともに同じ傾向を示し，オーダ ーは一致した．しかし，表面温度の特性は実験値より大きな 値になった．また，回転数の特性は初期回転数が上昇するに したがって実験値より大幅に減少する結果となった．これは モデルにおいて，大気への熱量の移動はモータ表面からしか 考慮していないが，実際はモータを固定してある土台からも 放熱しているためだと考える．また，本モデルにおける温度 による影響を，回転数にしか考慮していないが，他にも温度 依存性の高いパラメータがあるためだと考える．

           

 

T emperatu re ℃

           

(b) Model

 

Fig.9 Temperature characteristic

 

(a) Measurement

 

             

(a) Measurement

 

       

(b) Model

     

(b) Model

 

Fig. 10 Rotational speed characteristic

 

5.  結言 

 

USM

の入出力特性及び温度特性の数式モデルを導き出し，

実験値と比較した． 

(1) 入出力特性は，グラフの傾向とオーダーを一致させるこ とができた．しかし，実験値よりも傾きが大きく異なり，

最高回転数付近で実験値より大きな値を示した．  

(2) 温度特性は，グラフの傾向とオーダーを一致させること ができた．しかし，初期回転数を高くするに従い，実験 値と大きく異なる結果となった． 

 

参考文献 

(1) Gregor Kandare and Jorg Wallaschek, Derivation and Validation of a Mathematical Model for Traveling Wave Ultrasonic Motors, Smart Materials and Structures, 11, (2002) pp. 565–574 .

(2)

青柳誠司，小田高広，神谷好承，岡部佐規一，超音波  モータの高速・精密位置決め制御に関する研究，精密機  械工学会誌，

59-2 (1993) pp. 299-304

T emperatu re ℃

(3) F

．

P

．バウデン，

D

．テイバー，固体の摩擦と潤滑，丸

善，東京

(1992) pp.31-33

(4)

矢野順彦，藪上勝宏，阪部俊也，超音波モータ実時間制 御システムの開発と温度特性を用いた速度制御器の構 築，日本機械学会論文集

. C

編，

69-677 (2003) pp.18-25

Time s

(a) Measurement