分散分析における単純効果の検定について

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奈良教育大学学術リポジトリNEAR

分散分析における単純効果の検定について

著者瀧野千春

雑誌名奈良学芸大学紀要. 人文・社会科学

巻 13

ページ 163‑170

発行年 1965‑02‑27

その他のタイトル TESTING THE SIMPLE EFFECTS IN THE ANALYSIS OF VARIANCE

URL http://hdl.handle.net/10105/3435

(2)

分散分析における単純効果の検定について

. ̲ i :・

(心理学教室)

I

実験や調査の結果として得られたデータについて、分散分析法が適用され、今仮に2要因の場合を例にとるならば、要因』、要因β、およびその交互作用(interaction)についてそれぞれ有意性(significance)が検定されたとするO 次にたとえば検定の結果有意と判定された要因Aあ

るいは要因Bの主効果(main effect)が検定されるのが普通である.今要因Aの水準数(number of levels)をP(仮に♪‑3とする)、要因Bの水準数をq(仮にq‑2とする)とすると、平均値A‑1、

IA2、 IA。を2つずつ組合わせてその差をつくり、その平均値の差の有意性が検定される。たとえば瓦一A瓦の有意性は下の式によって検定される。平均値奄‑Bzについても同様である。

(要因Aの主効果の検定) (要因Bの主効果の検定)

〜‑ A1‑A3 t‑一一B2 但しN‑npq.

/2MSerror vN//サ,/節言

nは1条件当りの被験者数 tIは要因Aの水準数 qほ要因Bの水準数ところが2要因の分散分析では、要因Aの水準数P(仮に9‑3とする)、要因Bの水準数q(仮にq‑2とする)を組み合わせた数だけの平均値が存在するOすなわち

/>, b二

ci A Bu オ瓦2

ォ2 AB21 施

a3 AB31 福2

の6個の平均値である。この場合縦(あるいは列)方向にならんでいる平均値を2つずつ対にしてその差を検定するのと、槙(あるいは行)方向にならんでいる平均値の差を検定するのとが考えられるO前者は例えば、 ABu‑ABsiC第1列)およかオお221二柚。2(第2列)の2通り(すなわち要因 Bの水準数に等しい)、後者は画房i‑ABu (第1行)、 ABn一二才お22 (第2行)、 ABn‑ABw (第3 行)の3通り(すなわち要因Aの水準数に等しい)が考えられるOそして前者の検定を要因Aの水準bl、 b2における単純効果(simple effect)の検定、後者の検定を要因Bの水準al、 a2、 a3における単純効果の検定と云う。

(註)第1列にはこの他に初ユ1‑ABnおよびABzi‑ABsiがある。第2列にはこの他にA瓦盲‑AS22およびABi2‑AB32がある。

要因Aの水準bZにおける単純効果たとえばオ万2‑/153!の検定は下の式で検定されるD

f‑ ABn ‑ AB3:

ー/騒

また要因Bの水準a3における単純効果たとえば座高1‑A瓦2の検定も同じ式で行われるO 尚上記の単純効果の検定に先立って要図Aと要因Bとの交互作用項が有意であることなどが前以て確かめられている必要があるが、この点に関してはあとで詳しく述べることにする。

(3)

164 分散分析における単純効果の検定について (瀧野)

さて単純効果の検定にとって必要なのはMSerrorである。これは残差項あるいは誤差項とも云われるが、分散分析特に要因配置法(factorial design)を考えると、以下の4つの場合に大別す

ることが出来る。

Casel:pxq、或いは♪XqXrすなわち2要因A、 Bの水準数がP、qである場合、或いは3要因A、 B、 Cの水準数がそれぞれカ、 q、 rの場合であり、どちらの場合も各要因にくり返しが見られない場合。

Case 2: Pxqでどちらか一方の要因(たとえば要因B)にくり返しの見られる場合。

Case 3: ♪×qxrであとの二つの要因(すなわち要因Bと要因C)にくり返しの見られる場合。

Case 4: ♪×qxrで最後の要因(すなわち要因C)にくり返しの見られる場合。

上記の4つの場合のうち、最初のCase lは分散分析の結果得られる誤差項すなわちMSerror をそのまま単純効果の検定の式の分母に用いるため問題はないので Case 2以下の場合について詳述することにするO

Ⅱ

Case 2について考えるに当って、第1表のデータ(2)の分散分析から始める。被験者6名が3 名ずつ要因Aの水準al、 a2に割当てられ、 3回のくり返しが要因Bの水準bl、 b2、 b3として行

なわれている場合である。 fli(サ‑l、 2)とbj(?‑i、 2、 3)の組み合わせの各条件下での被験者3 名の合計値と平均値(カッコ内に表示する)とを示したのが第2表である。

第1衷 Case 2の数値例

Os bi b2 b3

第3表分散分析表

第2表合計値及び平均値

6 i b2 b3 Total

7(2.33) 4(1.33) 16(5.33)￨ 27 16(5.33) 21(7.00) ll(3.67) ! 48

Total 23 25 27

ss df MS Between Os】 43.83

A

err。r(b)言霊

‑軽旦48.67 β1.33 AB41.34 error(w)6.00

7 7 5

6 6 7

0 n U 0

2

5.07

*

rg 72

更に第3表は第1表および第2表にもとづいて作られた分散分析表であり、第 3表から交互作用項が有意であることがわかる。くり返しが見られる場合には2 つ或いはそれ以上の誤差項(この場合は MSerror(h)とMSerrorrwノ)が得られるこ

とはくり返しが見られない場合に比べて大きな相違と云える。

要因Aの単純効果の検定をするには、

第2表から先ず要因Bの3つの水準bl、

b2 、 b3についてそれぞれ要因Aの平方和(SS; sum of squares)を計算する.そしてこれをSSa at bjQ‑1、 2、 3)と書くことにする。すなわち

SSaat bi ‑誓竺 ‑13.50‑‑‑‑‥‑(1)

(4)

42+212

sScatb%‑‑0‑‑252‑48.17‑‑・・・‑‑・(2) 6

SSaath‑W+壁一等‑4.17‑日・(3) 3

となるO上記の3つのSSaatbjの和、すなわち(1)+(2)+(3)或いは∑SSaatbjを求める3 J=l

と、65.84となり、これは第3表のSS<z‑24.50とSSォ6‑41.34の和に等しいことがわかる。これは SSaatbjの検定の誤差項としてはSSaに関する誤差項としてのSSerror(b)と、SSabに関す

る誤差項としてのSSerror(w)の両者を下の式に代入してえられるものを用いるべきであることを意味している。すなわち第3表から

‑塾些迦ナSSerrorc旦誓‡豊‑‑2.ll‑‑‑‑(4) dferrorch)+dferror(、、)

である。上記のMSのdfは12(上式の分母)である。

SSaatbjの有意性をそれぞれダ」検定によってしらべると、

F‑SSa些bilpニー6.40*F‑鞄at車2/P二1‑22.83**蔓Sa早t互!旦二‑1.98 2.112.112.ll

となる。有意水準はそれぞれの値の右肩に付したマ‑クで示してあるO上の3つのF値のdfはいずれも1と12である。次に5%レベルで有意であったSS<zat61の結果にもとづいて単純効果の検定の1つとしてオ瓦i‑ABuの差の有意性をしらべると、

f= AB2l ‑ ABn 5.33 ‑ 2.335.33 ‑ 2.33 _‑ 2.542*

,/宗謡五㌦/空車(df‑12)

となる。

要因Bの単純効果の検定をするには、第2表から要因Aの2つの水準al、a2についてそれぞれ要因Bの平方和を計算する。そしてこれをSS6atat(*‑1、2)と書くことにするOすなわち 72SS&atai=‑‑‑一寸42+162

‑3‑I‑‑晋‑26.00‑‑‑(5)

SS6 at <z2 i62 +2i2 +ir

‑^‑ ‑ 16.67. ‑ (6)

2

となる。上記の2つのSS6atatの和、すなわち(5)+(6)或いは∑ SSiataiを求めると、

i=1

42.67となり、これは第3表のSS6‑1.33とSSォ6‑41.34の和に等しいことがわかる。これはSSb at aiの検定の誤差項はSSbおよびSSabの両者に関する誤差項であるSSerrorcoをその自由磨(df)で割ったMSerrorvォr)を用いればよいことを意味している。

SSi at a。の有意性をそれぞれF‑検定によってしらべると、

F‑ SS6 at a, /a‑I 26.00/2

MSerror rw) 0.75 ー MSerror(、 0.75‑1733** F‑SS6atazJq‑1 ¥些些= ll.12**

となる。この2つのダ値のdfはいずれも2と12である。次に要因Bの単純効果の検定の1つとして、魂2‑ABaの差の有意性をしらべると、

J‑

となる。

AB22 ‑ AB2: 7.00 ‑ 3.67

1/i繭×0.75 1/ 12

‑ ‑ 4.690**

(df‑8)

(5)

すなわちくり返しの見られる要因βに関する単純効果の検定にあっては、その誤差項は MSerrorr。,〕でよく、もう一方の要因Aに関する単純効果の検定の誤差項としては、式(4)で示される MSを用いねばならぬと云うことになるO

Ⅲ

Case 3は第4表のデータ(3)の分散分析から考えよう。 6名の被験者が3名ずつ要因Aの水準al、

a2に割当てられ、要因Bの水準bl、 b2、 b3と要因Cの水準cl、C2、C3とを組み合わせた9個の条件がくり返しと考えられる場合である。第5表にはォォ(ォ‑!、 2)とbjQ‑l、 2、 3)の組み合わせの各条件下での被験者3名の要因Cの3条件をいっしょにした合計値と平均値(カッコ内の数値) が示されている。

第4表 Case 3 の数値例 62

cICzC3Cl空3Total 2C3

45 53 60 35 41 50 60 65 75

40 52 57 30 37 47 58 54 70

28 37 46 25 32 41 40 47 50

3 7 9

"

I C I ハ J 6

2

1 1

2

3 1

3

7 5

4

5 4

7

9 3

3

3 5

0

0 T I ' , '

‑ , 蝣 V 1

5

7 6

5

7 8

5

0 4

4

6 0

2

6

ir, ‑r in

4 5 6

2α ‑f^ ‑fs r.

1

つ

J

1

Ei

^E KH lw

35 343

7 6

3 4

bi b2

Total 978 801 612 2391

第6表分散分析表 ss df MS Between Os

A error(b)

Within Os

3.16‑

4622.78 2度16i63 5。5霊*

6 6

3 ' ェ 9

5 r J r J J

HHH

・ . ・

・ . l

X 1 I

25.17 13.20 2.67 2.83 16 7.94

**

蝣V j ‑ L

I

‑ , 9

1

cc

第6表の分散分析表から交互作用項は要因Aと要因Bとの交互作用だけが有意であることがわかる。

尚誤差項はMSerror(b)、 MSerror(wi)、

MSerror (W2)、 MSerror(w3)の4つが得られる。

単純効果に関してはSSs at bj(J‑l、

2、3)、SSaatcた(*‑1、2、3)、 SS6atai

(ォ蝣‑!、 2)、 SSc at at(ォ‑1、 2)、 SS6at

c:xk‑¥、 2、 3)、 SSc atbj(j‑l、 2.3)、

SSaat bcjた0‑1、2、3; k‑l、 2、 3)の検定が先ず考えられるが、第4表のデータについてはAとBとの交互作用項だけが有意であるので、 SSaat b]とSSb at aL との有意性をそれぞれF‑検定することから始めるのであるが、これはⅡの項で詳述したので省略して、直ちに単純効果の検定に移ることにするO先ず要因

Aの単純効果の検定の為の誤差項は、

SSerror(b) +SSerror(wi)

dferror (b)+ dferror(wi) (7)或いは MSerror(b) + (q‑ 1) MSerror(wi)

(7)∫

で求められる。第6表の数値を上式に代入すると

2491.11十234.89 1‑:‑8 或いは

622.78+ (3‑1) ×29.36 3

となって両者はどちらも227.17となって

(6)

‑3r<する。

次にAB21‑諮B22の有意性は下の式によって

〜‑ 54.89 ‑39.56 2

‑ 2.158‑ 蝣(8)

1 54/2x3 ×227ユ7

を求めこのtと下の式から求められる *evitiea】し1)との大小を比較してt>taこ‑Jailならば有意であるとするのである。

*critical r<z‑ MSerror(b) + ;&(tf‑ 1) MSerror(wi)

MSerror(b) + (q ‑ 1) MSerror(wi) 上式にそれぞれ数値を代入すると

'critical ‑

但し taはdferror(b)に対応するtの値、 tbはdferror (W!)に対応するtの値

2.776× 622.78+2.306× (3‑1) × 29.36 1864.246

622.78十(3‑1) × 29.36 681.50 ^‑ 2.736

となり、 tく^criticalとなって式(8)のtは有意でない。

しかし両者のdfが大きくて30以上であるような場合には蝣critic;.'!を計算せず式(7)のtは正規分布のC.R.(critical ratio)と見なして差し支えない。

要因βの単純効果の検定の為の誤差項はMSerror(wi)だけを用いればよいので、詳細は省くことにする。第6表から、 AとCの交互作用、 BとCの交互作用、 ABC3要因の交互作用はいずれも有意でなかったので、ここでは数値の例としては・とりあげなかったが、一般的な問題として考えると、 SSa at fit; SS& at ct¥ SSe at bjの検定の誤差項にはそれぞれerror(b)とerror(w);

error(wi)とerror(w3); error(wa)とerror(w3JをSSa at b]の検定の誤差項を求めた場合に準じて使用し、 SS<? at atの検定の誤差項にはMSerror (wa)を単独で用いるO又SSa at bcjicの誤差項には

SSerror(b) + SSerror(wi) + SSerror (w2) +SSerror (w3)

dferror (b) +dferror (wi) + dferror (wO十dferror (ws) ^{‑‑‑‑‑・‑(9)}

を用いる。

すなわちこの項で問題としているCase 3は分散分析の結果としてerror(b)に関する誤差項の他にerror(w)に関する誤差項が3つ得られるが、 SSc atbcjkの検定の場合を除いては、 IIの項で述べたCase 2の単純効果の検定の為の誤差項を求める考え方が基礎的なものとなっていると云

えるO

Ⅳ

Case 4ほ第7表のデータ(3)の分散分析から考えよう。 12名の被験者が3名ずつ4条件に割当てられる. 4条件と云うのはa￡(f‑l、 2)とbjU‑U 2)とを組合わせた条件の数である。そして要因Cの4条件がくり返しと考えられる場合である。第8表にはォiO'‑i、 2)と6jC/‑i、 2)とを組合わせた条件下での被験者3名の要因Cの3条件をいっしょにした合計値と平均値(カッコ内の数値)が示されている。

第9表の分散分析表から、要因Aと要因Bの交互作用項だけが4つの交互作用項のうちで有意であることがわかる。尚誤差項はMSerror(b)とMSerror(w)との2つだけであるD

単純効果の検定に関しては第7表のデータと第9表の分散分析表とから、 SScatbjとSS6at

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aiとの2つについてその有意性をF一検定することが先ず行なわれるわけであるが、この例では alもbJも共に2条件であるので、F‑検定を省略して、すぐにt‑検定を行なってもよい。要因A の水準狛こおける単純効果諮Bn‑オ瓦2の検定を例にとると、この検定の為の誤差項はMSerror (b)であるOその理由は第9表の分散分析表から、SSaとSSa6とに凋する共通の誤差項は MSerror(b)であるからである。それで初12‑AB22の有意性は下の式から

t‑一旦堅‑12.17‑I‑I‑‑2.670*‑‑・・・‑・・‑(10) V48/2x2

77sx10.31(df‑8)

を求めることによって検定するのであるG 第7表 Case4 の数値例

os巨 C2 c3 c4iTotal

∂i ' 2

一一 l

19 12

3 〜 14 10 32 16 10

12

18 10 34

c D C O C D O I C D t O

8 4 6

O 'O ' .1 r: :

0 0 8

1 1

6 4 2: E: r: ︒︒rHcoco竺√

COO)CO

分散分析表

b2 Total

125(10.42) 104C 8.67) 105( 8.75) 146(12.17) 230 250 480

次に要LE Bの水準alにおける単純効果 A瓦1‑ABuを検定するには、 SSbとSSa6 とに共通の誤差項はMSerror(b)であるので、誤差項は上記の検定の場合と同じものでよいことがわかる。すなわち式(10)の分子だけをABn一議B12と変えて計算すればよい。

尚交互作用項が有意でないので、この例を用いた検定は出来ないが、一般的な問題として考えると、 SScata,、 SScatbj、

SSe at abりの検定にはMSerror(w)が誤差項として用いられる ACn‑A&3の検定を例にとると、

ACn‑ACu

/ 2

‑/砺諒× MSerror(w)

〔但しdfはMSerror(w)のdf〕

を用いればよい。

更にSSa at cic、 SS6 at Ck、 SSabat cicの検定には、式(4)から得られる MSを誤差項として検定が行なわれる。 BCu‑BC24の検定を例にとると、

〜‑

を用いればよい。

BCl4‑ BCu

,ノ品×MSerror ^[但し^し

MSe fct,芸oi霊(4)IC.芸諾gf:雷)

(8)

Ⅴ

上述したことを要約すると、単純効果の検定に用いるのに適切な誤差項としては、

(1) Case lでは、分散分析の結果得られるMSerrorをそのまま用いるO

(2) Case2では、くり返しの見られる要因に関してはMSerror(w)を、もう一方の要因に関しては、 SSerror(b)とSSerror(w)とを式(4)に代入して得られるMSを用いる。

(3) Case 3では、 SSerror(b)と3つのSSerror(wi) (サ‑1、 2、 3)が得られるが、この4つのSSを一応同列において考え、たとえばSS6ataiのように∑SS6atai‑SSb+SSabとなり、も

SSbとSSabとは1つの共通の誤差項SSerror(wi)をもつので、これをそのdfで割ってそのMS を用いる場合と、たとえばSSc at6jのように∑SScat6j‑SSc+SS6cとなって、 SScの誤差

J

項はSSerror(w2)、SSbcの誤差項はSSerror(w.3)と云うように同一の誤差項でないときは式(4) あるいは式(7)から求めた値を用いる場合と、 SSaat bcjたのように式(9)から求めた値を用いる場合とがある。

(4) Case 4では、 SSerror(b)とSSerror(w)との2っが得られると云う点でCase 3と異なるが、それ以外の点では、 Case 3 と同様の考え方に立って、 MSerror(b)を単独で用いるか、

MSerror(w)を単独で用いるか、式(4)を適用して求めた値を用いるかを決めればよいのである。

参考文献

(1) Cochran, W.G. and Cox, G.M. 1950 Experimental designs, Wiley.

(2)瀧野千春1964単純効果の検定に関する一考察、日本心理学会第28回大会発表論文集O ( 3 ) Winer, B.J. 1962 Statistical principles in e坤erimental design, Wiley.

(昭和39年9月30日受理)

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TESTING THE SIMPLE EFFECTS IN THE ANALYSIS OF VARIANCE

Chiharu Takino

Department of Psychology, Nara Gakugei University, Nara, Japan

The analysis of variance technique was applied, and it was found that the interaction term between two factors was significant. Thereafter, the tests on the simple effects for each of the factors must be made. The appropriate use of the error term is different in four cases. It is as follows:

Case 1: pxq or pxqxr factorial experiment with no repeated measures.

Case 2: pXq factorial experiment with repeated measures on one factor.

Case 3: pxqx r factorial experiment with repeated measures on last two factors.

Case 4: pxqx r factorial experiment with repeated measures on the last factor.

As for the Case 1, the usual error term which has been resulted from the analysis of variance is used.

As for the Case 2, the error(w) term is used for the tests of the simple effects on the repeated factor, and the composite error term which is consisted of error(b) and error(w) is used for the tests on non-repeated factor.

As for the Case 3, the error(wi ) or the error(w2) term is used; or the one of composite error terms which are consisted of error(b) and error(wi ); error(b) and error(W2 ); error

(wi ) and error(W3); and error(w2) and error(W3) is used. Or the composite error term which is consisted of error(b), error(wi ), error(wz ), and error(ws ) is used.

As for the Case 4, the error(b) or the error(w) term is used; or the composite error term which is consisted of error(b) and error(w) is used.