合理的 予想 の下 での企 業 の生産 お よび 在 庫行 動 の計 量分析

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合理的 予想 の下 での企 業 の生産 お よび 在 庫行 動 の計 量分析

AnEconometricAnalysisoftheProductionandInventoryBehavior oftheBusinessFirmullderRa七TonalExpec七a七ions

1.は じ め に 2.在 庫 と需 要 の 特 性 3.生 産 と在 庫 の 動 学 モ デル

3.1仮 定 と問 題 の定 式 化 3.2最 適 解 の必 要 条 件 3.3一 次 近 似 式 の 導 出

釜 国 男

KunioKAMA

3.4在 庫 に関 す る差 分 方 程 式 の解 の 性 質 4.モ デ ル の推 定 お よ び合 理 的 予 想 仮 説

4.1需 要 の確 率 過 程 と推 定 式

4.2需 要 の確 率 過 程 と行 動 方 程 式 の 推 定 法 4.3推 定 結 果

5.む す び

1.は じ め に

在 庫 投 資 はGNPの 構 成 要 素 の 中 で 最 も変 動 が 激 し く,景 気 循 環 現 象 を 理 論 的,実 証 的 に分 析 す る場 合 の 鍵 とな る,事 実,現 実 の 景 気 動 向 は 企 業 の在 庫 調 整 とい う観 点 か ら説 明 さ れ る こ とが 多 く,ま た マ クR経 済 理 論 の 分 野 ではMe七zlerの 古 典 的 な 在 庫 モ デ ル を は じ め幾 つ か の モ デル が 発 表 さ れ て い る.そ こで 本 稿 で は,ま ず 企 業 の 生 産 お よび 在 庫 行 動 の 理 論 モ デル を 構 築 し,次 に 現 実 の デ ー タ を 用 い て モ デ ル の 推 定 と検 定 を 行 な うこ とに した.

在 庫 投 資 の 問 題 あ るい は在 庫 保 有 を 含 め た 費 用 関 数 の 定 式 化 に 当 た っ て これ ま で広 く用 い られ て き た考 え方 に よる と,各 時 点 に お い て あ る 目標(ま た は所 望)在 庫 水 準 な る もの が存 在 し,現 実 の 在 庫 水 準 が 目標 レベ ル か ら乖 離 す れ ば 企 業 は 陰 伏 的 な費 用 を 負 担 す る こ とに な る と見 な さ れ

る1>.さ らに 目標 在 庫 は 販 売 量 と比 例 的 に 変 化 す る と仮 定 さ れ て い る.し か しな が ら,こ の よ う な 考Y方 は 以 下 の よ うな 問題 点 を 含 ん で い る.

(1)目 標 在 庫 水 準 の決 定 を 企 業 の在 庫 保 有 を 含 め た 利 潤 極 大 化 行 動 の 一 環 と し て説 明す るの で は な く,単 に 販 売 量(一 歩 譲 っ て 予 想 販 売 量)の 関数 と して ア プ リオ リに 仮 定 し て い る た め に, 企 業 の 経 営 環 境 が 変 化 した 場 合 の在 庫 行 動 の 変 化 を 分 析 で き な い.

(2)現 実 の 企 業 は 在 庫 調 整 を生 産 や 雇 用 調 整 とは独 立 に 行 な っ て い るの で は な く,そ れ らの 間 に 存 在 す る技 術 的 関 係 を 考 慮 し て そ れ ぞ れ の 調 整 を行 な っ て い る.そ の た め在 庫 だ け に つ い て の 最 適 行 動 ル ー ル が 伝 統 的 な ス トッ ク調 整 モ デル の 形 で 表 現 で き る と仮 定 して も,生 産 と雇 用 も含

1)た と え ば,H。lteta1.〔8〕,Hay〔6〕,Feldstein‑Auerback〔4〕 ,Blanchard〔2〕 な ど を 参 照 せ よ.

78季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XIVNo.1

め た 一 般 的 な モ デ ル の枠 内 で も従 来 の 定 式 化 が 依 然 と して 妥 当す る とい う保 障 は な い ・

(3)目 標 在 庫 が 実 際 の在 庫 水 準 に等 し くな い 場 合 に 生 じ る費 用 は,製 品 の売 切 れ に よる顧 客 の 喪 失 や 過 剰 在 庫 の もた らす 金 利 負 担,そ れ に在 庫 管 理 費 用 な どを 含 ん で い る.こ の うち製 品 の 売 切 れ 確 率 は 需 要 量 の 確 率 分 布 の 分 散(2次 の モ ー メ ン ト)に も依 存 す るが,目 標 在 庫 と予 想 販 売 量 の 比 率 を 一 定 と仮 定 す れ ば こ の点 が 完 全 に 無 視 さ れ る こ とに な る.

以 上 の よ うに 伝 統 的 な ス トッ ク調 整 モ デル は 多 くの 問 題 点 を 含 ん で お り,こ れ らを 改 善 す るた め に は 企 業 行 動 の ミク ロ経 済 学 的 分 析 ま で さか の ぼ る必 要 が あ る.そ こ で以 下 で は,雇 用 調 整 の 側 面 は 一一応 捨 象 して 生 産 と在 庫 調 整 だ け を 同 時 に 考 慮 した 企 業 の 最 適 化 行 動 を モ デ ル 化 し,理 論

モ デ ル か ら推 定 可 能 な 式 を 導 い て 現 実 の 企 業 行 動 と対 比 さ せ た い.

伝 統 的 な ケ イ ン ズ型 マ ク ロ計 量 モ デ ル に は 今 期 の 在 庫 を 前 期 の 在 庫 や 販 売 量 で説 明 す る在 庫 方 程 式 が 含 まれ て い る.も し こ の方 程式 の基 礎 に な っ て い る個hの 企 業 が 何 らか の意 味 で 最 適 化 行 動 を 取 っ て い る とす れ ば,方 程 式 の パ ラ メ ー タ ーは 生 産 関 数 や 販 売 量 の確 率 過 程 を 規 定 して い る パ ラ メ ー タ ー に 依 存 す る こ とに な ろ う.そ の場 合 に は,例 え ば 消 費 者 の嗜 好 の 変 化 や 間接 税 導 入 な どに よ り販 売 量 の確 率 過 程 が 変 化 す れ ば 在 庫 方 程 式 の パ ラ メ ー タ ーは シ フ トす る こ と に な る が,こ れ を 数 量 的 に知 るた め に は 在 庫 関 数 を 最 適 化 問題 の 解 と し て 導 出す る必 要 が あ る2)・

計 量 経 済 モ デル で通 常 ・構 造 方 程 式"と よば れ る も の は 実 は 最 適 化 問 題 を 解 い て 得 られ た"誘 導 型 方 程 式"で あ るた め に,こ れ らの 方 程 式 は デ ー タ に 対 し て 非 常 に 強 い 制 約 を 課 す こ と に な

る.そ の た め デ ー タを 企 業 の最 適 化 行 動 の観 点 か ら解 釈 す る試 み が 成 功 す る た めに は,集 計 度 の 低 い デ ー タを 使 うこ とが 絶 対 的 な 必 要 条 件 と な る3).こ の 意 味 で 個 別 企 業 の デ ー タを 用 い る の が 理 想 的 で あ るが,こ こ で は 産 業 レベ ル の 集 計 デ ー タを 使 わ ざ る を}な か った.ま た,タ イ ム ・ア

グ リゲ ー シ ョン も実 証 研 究 の結 果 に 影 響 を与 え る と考}ら れ る.企 業 に よ る生 産 と在 庫 の計 画 期 一 ま  間 の 長 さ と合 致 した デ ー タ を使 用 す るの が 望 ま しい が,本 研 究 で は 月 次 デ ー タを 用 い る こ とに し た.す な わ ち,通 産 省 のr通 産 統 計 』 中 の鉱 工 業 製 品 の 生 産,出 荷,在 庫 統 計 を 多 少 修 正 し て使 用 し た4).こ れ らは 金 額 表 示 あ るい は 指 数 表 示 で は な く,物 量 単 位 で表 示 さ れ て い るた め きわ め

て 都 合 が 良 い.

以 下,第2節 で は 理 論 モ デ ル の構 築 に は い る前 の 準 備 と して デ ー タ の特 性 を 記 述 し,緩 衝 在 庫 保 有 の 重 要 性 を示 唆 す る.第3節 で は 企 業 の 問 題 の 定 式 化 とそ の 解 の 性 質 を示 し,ま た 推 定 可 能 な 近 似 解 を導 出 す る.第4節 で は 需 要 の 確 率 過 程 を 定式 化 した 後,モ デ ル の 推 定 結 果 と仮 設 検 定 の 結 果 を 報 告 し,同 時 に 推 定 結 果 の経 済 的 イ ン プ リケ ー シ ョソ を示 す.最 後 に 第5節 で 残 さ れ た 幾 つ か の 問 題 点 を 指 摘 す る.

2)こ の 点 に つ い て はLucas〔10〕 の ケ イ ン ズ 型 マ ク ロ計 量 モ デ ル に よ る 政 策 シ ュ ミ レー シ ョン 批 判 を 参 照 せ よ.

3)Sargent〔11〕 は 本 稿 と同 じ よ うな方 法 を マ ク ロ 消 費 関 数 に 適 用 して恒 常 所 得 仮 説 を テ ス トした が,仮 説 は デ ー タ に よ って は っ き りと棄 却 さ れ た.棄 却 の 原 因 は お そ ら く理 論 仮 説 自体 に あ る ので は な く,あ

ま りに も集 計 度 の高 い デ ー タ を 用 い た こ とに あ る と思 わ れ る.

4)『 通 産 統 計 』 の数 値 は 必 ず し も,月 末 在 庫 量=前 月 末 在 庫 量+生 産 量 一出 荷 量,と い う定 義式 を満 た し て い な い.こ の よ うな場 合 に は 定 義 式 を 満 た す よ うに 在 庫 量 を 調 整 し た.

丁une1984釜 国 男=合 理 的 予 想 の下 で の 企 業 の 生産 お よ び在 庫 行 動 の計 量 分 析 ₇₉

2.在 庫 と需 要 の 特 性

表1は 第4節 の 実 証 研 究 で 使 用 した9つ の 電 気 製 品 の在 庫 と需 要(出 荷)に 関 す る月 次 デ ー タ を 要 約 した もの で あ る,第1欄 と第2欄 に は1977年4月 か ら1982年3月 ま で の 期 間 に お け る在 庫

と需 要 の平 均 水 準 が 示 さ れ て い る.第3欄 は 第1欄 の値 を 第2欄 の値 で 割 った もの で,平 均 在 庫 率 を表 わ して い る.平 均 在 庫 率 は0.76カ 月 か ら3.15ヵ 月 の 範 囲 内 で品 目毎 に 異 な って い る,も し

も 目標 在 庫 率 が デ ー タ期 間 中 一 定 で あ り,平 均 在 庫 率 が そ れ に ほ ぼ 等 しい とす れ ば,こ の 品 目毎 の 在 庫 率 のiラ ツキ は何 らか の 背 後 要 因 の違 い を反 映 した も の と解 釈 で き る.そ こで 次 に,需 要 の2次 の モ ー メ ン トを 見 るた め に,標 準 偏 差 と変 動 係 数 を 計 算 し,第4欄 と第5欄 に 示 した.需 要 の変 動 が 一 番 激 しか っ た の は エ ア コ ン デ イ シ ョナ で あ り,需 要 が 最 も安 定 して い た の は 電 気 洗 濯 機 で あ っ た5).

表1在 庫 と需 要の統 計的関係

一 テ

筒 型 マ ン ガ ン 乾 電 池 エ ア コ ン デ ィ シ ョナ (パ ッ ケ ー ジ 型)

子気気気黒ラ

電換電電電白力 ジ扇機庫機ピビ

ン濯蔵除レレ

レ気洗冷掃テ

1

184.6 1049.2 405.7 691.1 530.0 305.5 994.7 110.0 61640.0

D

164.6 562.2 371.5 38.3 411.1 335.8

$33.7 145.0 19545.0

1万

1.122 :..

1.092 1.876 1.289 .910 1.193 .759 3.X54

SD

32.4

99.0

49.3

111.5

73.9

97.1

7.60.3

23.9

.・

SD ア

・・:

.1761

.1327

.3027

.z79s

.2892

.1923

.1648

.4570

(注)標 本 期 間 は1977年4月 〜1982年3月.

い ま需 要 の変 動 と在 庫 保 有 の 関 係 を 見 るた め に,表1の 数 値 を用 い て様 々 の 回 帰 式 を 計 算 す る と表2の よ うに な る.① 式 と② 式 は 平 均 在 庫 を 平 均 需 要 と需 要 の標 準 偏 差 に 回 帰 させ た も の で あ る.係 数 推 定 値 の 符 合か ら判 断 す る限 りで は,在 庫 保 有 量 は需 要 の1次 お よ び2次 の モ ー メ ン ト と正 の 相 関 を持 って い る.し か し な が ら,実 際 に は 需 要 水 準 の 係 数 は統 計 的 に は 有 意 で は な く, 標 準 偏 差 の 係 数 だ け が 有 意 で あ る.但 し,① 式 と② 式 の形 では 在 庫 と需 要 量 の測 定 単 位 の選 択 が 見 か け 上 の相 関 を もた ら して い る可 能 性 が あ る.そ こ で両 辺 を 需 要 量 で 割 り,在 庫 率 を 需 要 の変 動 係 数 に 回 帰 させ た の が ③,④ 式 で あ る.こ の 場 合 に もや は り定 数 項 の値 は 小 さ く,か つ 有 意 で は な い が,需 要 の変 動 係 数 は 強 く有 意 で あ る.

5)エ ア コ ン デ ィ シ ョナ の 変 動 係 数 は 高 いが,こ れ は需 要 の 季 節 変 動 が 大 き い こ と を反 映 して い る .

So 季 刊 創 価 経 済 論 集 表2在 庫 保有 と需 要変動 の回帰式

Vol,XIVNo,1

① τ=‑144.3+0.535D+5.745SD (142.1)(0.546)(1.181) OI=0.059D‑E‑6.770SD

{0.280)(0.615) 1̲SD

③ 一ガ=0

・136+5・753丁 (0.425)(1.690) ISD

④ 一万 鼎=6

・256D (0.605)

RZ=0.9995E=204.04

h2=o.999S五=204.51

R2=0.6245E=0.484

R2=0.6185五=0.456

(注)係 数 推定値 の下 の カ ッコ内の数値 は係数 の標準誤 差で あ り,SE は回帰式 の標準誤差 を表わす.

以 上 の 僅 か な 証 拠 だ け か ら一 般 的 な結 論 を 引 き 出す こ とは 困 難 で あ るが,少 な く と も需 要 の 変 動 を 吸収 す るた め に 保 有 され る予 備 的 在 庫(緩 衝 在 庫)が 現 実 の在 庫 の 重 要 な 部 分 を 構 成 して い る こ とが 示 唆 さ れ た と言}よ う.こ の こ と が 本 稿 の 予 備 的 在 庫 に 関 す る研 究 に 一 つ の 動 機 を 与}

て い る.

一 般 に 需 要 の変 動 は ,タ イ ム ・ トレン ドや季節変 動 の よ うに規則的 に変化す る部 分 と,確 率的 に 変 化 す る部 分 か ら構 成 さ れ て い る.た と}需 要 が 正 確 に 予 測 で き た と して も,生 産 と需 要 の 間 に 時 間 的 なず れ が 生 ず る場 合 に は 在 庫 が 保 有 され る こ とに な り,こ の 取 引 動 機 に 基 づ く在 庫 に つ い て は これ ま で 多 くの 研 究 が な さ れ て い る.予 備 的 在 庫 保 有 は需 要 の確 率 変 動 部 分 に 対 応 す る も

の で あ る が,こ れ を 分 析 した も の と し て はArrow‑Harris‑IVIarshak〔1〕 モ デ ル が 有 名 で あ る ・ 本 稿 で は不 確 実 性 とい う確 率 分 布 の2次 の モ ー メ ン トを 企 業 の 動 学 的 最 適 化 問 題 の な か に 明示 的 に取 り入 れ る た め に モ デ ル は 数 学 的 に 相 当 複 雑 に な り,通 常 の や り方 で は 操 作 可 能 な解 を 得 る こ とは 困難 で あ る.そ こで,数 学 的 厳 密 さ を 多 少 犠 牲 に す る こ と に な る が,動 学 的 解 を 明 示 的 に 示 す こ とが で き る よ うに モ デ ル の 定 式 化 を 簡 単 化 す る こ とに した.

3.生 産 と在 庫 の 動 学 モデ ル

3.1仮 定 と 問 題 の 定 式 化

企 業 の 生 産 お よ び 在 庫 決 定 の モ デ ル を 定 式 化 す る た め に 以 下 の よ う な 仮 定 を 設 定 し た 。

<仮 定1>

企 業 は 彦期 に お け る 生 産 量 亀 を そ の 期 首 に お い て 決 定 し,期 間 内 に は 変 更 で き な い.

<仮 定2>

企 業 の 製 品 に 対 す る 需 要 量Dtは 確 率 的 に 変 化 す る が,企 業 は そ の 分 布 関Ft(D∂,従 っ て そ の 密 度 関 数 ∫診(.Dt)を 知 っ て い る6).‑D、 の 平 均 値 μtは 毎 期 変 化 す る が,分 散Q2は 一 定 で あ り,

6)通 常 この 種 の モ デル で は 経 済 主 体 は 外 生 変 数 の(条 件 付)期 待 値 を知 って い る と仮 定 す る だ け で十 分 で あ る が,こ こで は 緩 衝 在 庫 を 問 題 と して い るた め に,企 業 は 需 要 の分 布 の 形 自体 を知 って い る と 仮 定 す る必 要 が あ る.

June1984釜 国 男:合 理 的 予 想 の下 で の 企 業 の 生 産 お よび 在 庫 行 動 の 計 量 分 析 か つ 標 準 化 変 量D一 μ2の 分 布 は 不 変 で あ る.す な わ ち

Q

8r

F、(D,)‑F(D・

Qり が 成 り立 つ.

<仮 定3>

期 間 中 に 販 売 あ る い は 出 荷 可 能 な 量 は 前 期 末 在 庫 ∫… と今 期 の 生 産Q̀の 合 計 の み で あ り,他 社 か ら 買 入 れ て 転 売 し た り,将 来 の 需 要 増 を 見 込 ん で の 売 惜 し み は な い も の と仮 定 す る.こ れ よ

り販 売 可 能 量 をXtと す れ ば X,=∫ 診一1+Qt(1) と な る.

<仮 定4>

企 業 の 総 費 用 は 生 産 コ ス ト,生 産 調 整 コ ス ト,在 庫 管 理 コ ス トか ら成 り C・‑C・Q・+CZ2(Q・‑Q'‑1)・+δ ・・‑1・ ・1,C・ ・δ〉 ・

で 表 わ さ れ る.

<仮 定5>

企 業 は 彦期 に お い て 情 報 集 合

Ω 、={Q、‑1,SH,0、 一工,f、.1ゆ 、‑1,dt一エ,Q、‑2,'St‑2,…}

を 持 っ て い る.こ こ で クト、 とdt̲、 は 彦一1期 の 製 品 価 格 と 品 切 れ0単 位 当 た りの 費 用 で あ り・St̲i と0卜1に つ い て は 以 下 定 義 す る.

い ま 企 業 の 彦期 の 販 売 量 をSt,品 切 れ 量(未 充 足 需 要 量)をvtと す れ ば,上 の 仮 定1〜3よ り

St={Dt

Xt:1::XX::

軌一{O Xt:;:茸 至::

とな る.従 っ てXtが 与 え られ た 時 の5Ltとofの 条 件 付 期 待 値 は E(5̀lx̀)一 ∫罰%(Dt)画+Xt(・ 一照))(2)

E(0診lXご)一 ∫抽(Dt)dDt‐Xt(・‑Ft(Xt))(3) ま た,明 ら か に

ECDt)=ECSclXt)十E{Ofix̀)

以 上 の よ う な 諸 仮 定 の も と で,企 業 の 問 題 は 次 の よ う に 定 式 化 さ れ る.ま ず 利 潤1ろ を 17診rう85虚一q‑4̀Of

で 定 義 す る 。 企 業 は(1)式 の 制 約 の も と で,今 期 お よ び 将 来 の 期 待 利 潤 の 和 Σ がE(178.ゴ1動+か

j=0

8z 季刊 創 価 経 済 論 集 Vol,XIVNo,1

を 最 大 に す る 生 産 決 定 ル ー ル を 選 択 す る7>,bは 割 引 パ ラ メ ー タ ー で あ り,0<b<1.と こ ろ が ≠ 期 の 生 産 計 画 段 階 に お い て は 乳+ブ(ブ=!,2,…)は 確 率 変 数 の 集 合 で あ る た め に,利 用 可 能 な 情

ム

報 集 合 乳 か ら予 測 しな け れ ば な らな い,い まそ の 予 測 値 を 畠+ゴ とす れ ば(以 下 で は 予 測 問 題 と最 適 化 問 題 の 分 離 を 明 確 に す る た め に,〈 を 付 け て 情 報 集 合 の 予 測 値 を 表 わ す),実 際 の 問 題

の ム

は 外 生 変 数 の 予 測 値 を 所 与 と して Σ がE(17、.ゴlg∫.ゴ)を最 大 に す る非 確 率 的 な 最 適 化 問 題 とな

j=0 る.

3,2最 適 解 の 必 要 条 件

い ま 一 般 性 を 損 う こ と な く,企 業 は ≠=0に お い て,≠=0,1,2,… 。。 に お け る状 況 に つ い て の 予 測 の も と で 生 産 計 画 を た て る も の とす る.そ うす れ ば 企 業 の 問 題 は

T〈

limmaxΣ が 五(17君19̀)

T=。 。Qo ,41,…,QT̀=0

ヘ ム ム

s.t.It‑Qt‑E(∫̀IX、)+lt^1 と 表 わ す こ と が で き る.こ こ で

ム ム ム ム ム ム

E(178卜9診)=ptE(∫81X̀)‑Ct‐dtE(0診lX̀)

ム ノへも ム ム

Xt=Qt十lt ‑i,1̲1=1̲1,ρ0=ρ0

こ の 条 件 付 極 値 問 題 を 解 くた め に ラ グ ラ ン ジ ュ 関 数

T〈7<<<

φ=Σ がE(1781ρ ∂+Σ λ̀{∫診一Q診 十E(stlxt)一 ∫謬.1}

t=otWo

を 用 い る.こ れ をQご,It,ラ グ ラ ン ジ ュ 乗 数 λ̀で 偏 微 分 し て ゼ ロ と置 け ば 次 の 一 階 条 件 が 得 られ

る.

ム ノ  ム

霧亀 一gt∂E(π 日9faQt)一 ろ{1‑∂E(暮 裁 昂)}一 が+・acaき計 一・0

(彦 ・=0,1,…,Z「‑1)

ム ム

笠 一 ろ+碑 ∂E(artart)}一 ・

(t=0,1,…,T‑1)

(4)

(5)

7)予 測 問 題 と最 適化 問 題 を 同 時YT考 慮 す るた め に通 常 用 い られ る方 法 は,目 的 関 数 の 和 の 条 件 付 期 待 値 E〔  Σ∂ゴE(17̀+ゴ19ε+1

ゴ=0)叶 五 〔具 ろ・仏 痢

を 最大 化 す る こ とで あ る.こ の方 法 は情 報9幅 自体 を確 率 変 数 とみ て,そ れ が 変 化 した と きの 目的 関 数 の平 均 値 を評 価 基 準 とす る 立 場 で あ り,最 適 化 問 題 の解 は この 情 報 の予 測 方 式 も含 ん で い る.し か し デ シ ジ ョン変 数 が確 率 分 布 に影 響 を 与 え な い2次 の 目的 関 数 の場 合 に は 通 常cer七aintyequivalenceカ ミ 成 立 し,最 適 化 問題 は 予 測 され た情 報E〔 ρ婦19日 の も とで解 くこ とが で き る(多 期 聞 の 最 適 化 問 題 で こ れ が 成 立 す るた め の 条 件 に つ い て はChow〔3〕 参 照).従 っ て この よ うな場 合 に は 予 測 問題 を最 適 化 問 題 と分 離 して解 い て も 結 論 は 同 じに な る.緩 衝 在 庫 の 問 題 で は デ シ ジ ョ ン変 数(生 産 量)が 製 品 の販 売 量 や 品 切 れ の分 布 に影 響 を 及 ぼ す た め に 問 題 が きわ め て 複雑 とな る の で,技 術 的 な理 由で 予 測 問 題 を 最 適 化 問 題 か ら分 離 す る こ とに した.

June1984釜 国 男:合 理 的 予 想 の下 で の 企 業 の 生 産 お よび在 庫 行 動 の 計 量 分 析83

∂φ ^{ム ム ム}

∂λ、‑1・‑Q・+E(St【X')一 ∫・‑1‑0(t=0・1・ ●"・T‑1)

ム バ

器 一bT∂E(177【97aQT)一 々{・ 一 ∂E(STIXTVQfi)}一 ・(6)

攣 一 λ。‑o(7) arT

(6),(7)式 よ り無 限 期 間 問 題(T→ 。。)が 解 け る た め の 終 値 条 件

limbT

T°一一>oo∂E(ムπ望197aQT)一甑 串 ∂E(癖)蓄 一 ゐ ∂E(籍)}一 ・

が 得 られ る.こ の 条 件 を 満 足 す る た め に は,限 界 期 待 利 潤 の 絶 対 値 が 有 界 で あ る か,b‑1以 下 の ナ ー ダ ー で あ れ ば よ い,さ て,(2)と(3)をXt=Qt+lt‑、 で 微 分 す る と

∂E(St【Xtム

薇 診)一 ・‑Ft(Xt)(8)

∂E(0,1X̀ バ

aQt)一 一(・‑Ft(Xt))(9)

し か る にFt(Xt)はD、 がXa以 下 で あ る 確 率 を 表 わ す の で(8)と(9)の 値 ほ 有 界 で あ る.従 っ

ム

て 舳,お よ び 限 糟 用acTaQTがb'・ 以 下 の オ ー ダ ー で あ れ ば+分 で あ る ・ これ よ り籠 条 件 が成立す るための十分条件は

ム

略 【→0,IbTdTI→0,1わ ・ 謝 →0(T→ ・・)(10)

方 程 式 体 系(4)〜(7)をt=0,1,…,T‑1に つ い て 要 約 す る た め に,ま ず(4)式 を ろ),YVつ 貼 て 解 き,(8)式 を 用 い る と

ム ム

ろ 一 議

)b̀∂E(π6i96∂Q診)‑b∂ 諭1}

こ れ を(5)式 に 代 入す れ ば

ノ  ム ム

議)bt{∂E(17̀19♂ 殉̀)一 ゐ 鵠11}+be+i∂E(π 識1㈲

ム

1‑∂E(St+臭X・+1)<<

‑

Ft+、(aptムXt+i)gaff{∂E(舞1嗣 一 わ1;lli}一 ・ (t=0,1,…,T‑2)(11)

く2)と(3)よ り

∂E(St・ 臭X…)ム=1̲倉 、.1(Xt+、)(12)

art ム

F∂E(o

f.11Xε+1

〈 陣)一 一(1‑Ft.1(瓦+、))(13)

alt

g4季 刊 創 価 経 済 論 τ集 だ か ら,こ れ らを 代 入 す れ ば(11)は

ム ム ム

{∂E(17,i9君aQt)‑b衡}碗 瓦)∂E(π 識 【偏

ム ム

ー峨(X t){∂E(綴 爾 一わ1壽;1;ト ・(≠ ・・1・… ・T'‑2) と な る.彦=7L1に つ い て は λFOよ り(14)の 左 辺 第3項 を ゼ ロ と 置 い て

ム ム ム

{∂E!器 弊D‑b∂ 鵠}+臨 轟 の ∂E(IITalT±孕L・

Voi,XIVNo,1

(14>

(14)式 は 利 潤 極 大 の 一 階 条 件 で あ り,非 線 型 の 「オ イ ラ ー 方 程 式 」体 系 に 相 当す る.付 論1に は こ の式 の 経 済 学 的 解 釈 が 示 され て い る.無 限期 間 問 題 の解 は,終 値 条 件(10)と 初 期 値Q̲、 を 満 た す 非 線 型 差 分 方 程 式(14)の 解 で あ る,(8),(9),お よ び(12),(13)よ リ

ム ム

∂E(17̀iρ̀

∂Q̀)一(易+あ)(・‑Ft(Xt))actaQt

ム ム

∂E(π ・艮1ρ ・+1L(多

、+1+dt+、)(1‑Ft+1(Xt.1))̲∂Ct.+i artalt

ム ム

で あ る か ら,こ れ ら を(14)に 代 入 し てFt(X∂ に つ い て 解 く と

ム ノ 

Ft(Xt)一 灸+曇 一堕 謝)一(≠ α、,…,。.)(、5) 易伽 ∂霧 一ゐ磯i+ろ1亀ii)

ノ  ム ム

(15)式 に お い てF診(Xt)は 〈 仮 定2>のDtをXtで 置 き 換 え た も の で あ る か ら

ム ム

Ft(nXt)‑F(≒ 陽)

と な る.ま た 以 下 で は 製 品 価 格 と品 切 れ 費 用 の和 ρ̀+dtは1に 等 しい と仮 定 す る,費 用 関 数 の 具 体 的 な 形 は く 仮 定4>で 与 え られ て い る.こ れ らの 特 定 化 の も と で は(15)は

ム ノへ

F(Q̀+.τ 、̲1一μ̀

Q')e、+纏 謂 編 繋 去翫,)α 一・… … ・・)(・6)

と な る.ま た 終 値 条 件(10)は lbt∠1Q君[→0(t‑→OQ)(17) と な る こ と が 分 か る.

こ れ ま で は 生 産 調 整 コ ス トの 存 在 を 前 提 し た が,次 にC2が ゼ ロ で 調 整 コ ス トが な い 場 合 を 検 討 し よ う(以 下 の 解 は,調 整 コ ス トが 存 在 す る が 需 要 が 毎 期 一 定 の た め に4砧 瓢0と な る 場 合 の 解 で も あ る).こ の 場 合(16)よ り

ム ム

Qt十1諺 一1一 μ'=F州1(φ){t=0,1,… ・。)(18) U

が 得 られ る.こ こでF‑1は 需 要 の分 布 関 数Fの 逆 関 数 で あ る.φ は 割 引 率 と費 用 関 数 の パ ラ メ ー タ ーに 依 存 し て い る定 数 で

June1984釜 国 男:合 理 的 予 想 の 下 で の 企 業 の 生 産 お よ び在 庫 行 動 の 計 量 分 析 1‑C1 ,0<φ 〈1

φ=1十b(δ 一C1) 最 適 生 産 量 は(18)よ リ

ハ ム

Qt一 μ一(1、‑1一 σF‑1(φ))

ム ム ム

で 与 え ら れ る.It=Qt‑E(∫ 凄lx̀)+lt̲1を 用 い る とt末 の 在 庫 は

ム ム

ム

∫、=μ 、‑E(s,1μ 診+σF‑1(φ))+QF‑1(φ)

=E(0,1μ ム、+σF‑1(φ))+σF‑1(φ)

a

一 σ∫凱

(φ)(z‑F→(φ)).f(z)dz+・F→(φ)V

=σ{k(F‑1(φ))+F‑1(φ)}(t‑0,1,…,。 。)

〈

g5

(19)

(20)

最 適 在 庫 保 有 量 は φ,σ,お よ びF(・)に 依 存 し ・予 想 さ れ る需 要 の平 均 値 μ̀には 影 響 され な い.

ま た 在 庫 は 需 要 の 標 準 偏 差 と比 例 関 係 に あ る.今 期 お よび 来 期 以 降 の 生 産 量 は(20)を(19)に 代 入

し て ム

Q。=・ μ。‑L1+σF‑1(φ)ム

Qt=μrσ ん(F‑1(φ))(彦=1,2,…,。 。)(21)

生 産 調 整 コ ス トが か か ら な い た め に 予 想 さ れ る 需 要 の 変 動 は す べ て 生 産 量 の 変 化 に よ っ て 吸 収 さ れ,計 画 期 間 に お い て 在 庫 は 一一定 水 準 に と ど ま る.(21)の 第1式 が 現 実 の 生 産 量 を 表 わ し て い る

ム

が,μ 。の 需 要 が 実 現 す る とは 限 らな い の で生 産 ・在 庫 と も確 率 的 に 変 動 す る,こ の と き終 値 条 件

(17)は

ム

1が ∠μ̀1→0(t→Oo)(22)

と な る の で,将 来 の 予 想 需 要 の 変 化 は 高hb‑tの オ ー ダ ー で な け れ ば な ら な い.

他 方,調 整 コ ス トが 存 在 す る 場 合(C2>0)に は φ は も は や 定 数 で は な い の で,最 適 解 は(20), (21)と は 異 な る が,そ の 違 い は 調 整 コ ス トの 大 き さ に 比 例 す る こ と が 予 想 さ れ る.そ こ で 以 下 で は,(16)式 を 調 整 コ ス トが な い 場 合 の 解 の 近 傍 で 展 開 し た 一 次 近 似 式 を 導 出 し,近 似 解 の 形 と 性

質 を 検 討 し よ う.

3.3一 次 近 似 式 の 導 出

調 整 コ ス トが ゼ ロ の と き の 解 の ま わ りの 展 開 式 を 得 る た め に,(16)式 を

ノ  ノ 

Q,+1・ 一一 μ'=F‑1(9̀(c2)) Q

と み な してC2=0の 近 傍 で 展 開 す る と

ノ  ム

愈+lt‑i‑lit

Q≒F→(φ)一 。無)ωQ・ 一 わ4Q計D+。 ヂき)わ ωQ一 わ」転 ・)

τ=1+b(δ 一一C1)

ξ=19‑1(φ)(t‑‑0,1ジ ・。,QO)(23)

86季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XIVNo.1

この 式 は 砧 に 関 す る4階 の 定 数 係 数 線 型 非 同 次 差 分 方 程 式 で あ る が,こ れ を解 くた め に は 在 庫 と生 産 と予 想 販 売 量 の 関 係 を考 慮 す る必 要 が あ る.と ころ が 予 想 販 売 の 定 義 式 は生 産 と在 庫 に 関 して 非 線 型 とな って い るの で,こ の式 の近 似 式 も必 要 で あ る.

ム ム

ム

い ま,ろ=QrE(s̀lx̀)+lt‑iYこ お い て 予 想 販 売 量 は 近 似 的 に

ム ノへも ム

E(S,【Xt)=μ,‑E(08iXt)

ム ム

≒ μ̀‑0*十(1一 φ)(Xt‑X*)

ム ノ  ム

=μ,‑0*+(1一 φ)(Rt+lt‑一 μ,一 σF}1(φ))

0*=Qk(F‑1(φ))

バ

X*二 μ,+σF‑1(φ) で 与}ら れ る.従 っ て

ヘ ム ム ム

ム

1、≒Q,一(μ,‑0*)一(//)(Q、+lt̲一 μ、一 σF‑1(φ))+∫ 、‑1

ム ノ 

ニ φ(Qガ 十∫卜1一 μ,)一 φ(1*‑0*)十 ・τ*

1*=0*十 σF‑1(φ)(t=0,1,…,○ ○)(24) (24)をQ̀に つ い て 解 く と

Qt≒0・ 一 ・ ・)+1(lt‑1・)一 ￠‑1‑1)

一(〈μ,‑0*)+参(・//)(君 一 ・・)(25)

ム ム

こ こ でLは ラ グ ・オ ペ レ ー タ ー で,Ltiat=at̲zと 定 義 さ れ る.今 期 の 生 産 は 在 庫 調 整 に あ て る 部 分 と 今 期 の 需 要 に 対 応 す る 部 分 か ら 構 成 さ れ る.1(23)は 生 産 量 に 関 す る 差 分 方 程 式 で あ る が, (24)と(25)を 用 い て 在 庫 に 関 す る 式 に 変 換 で き る.ま ず(23)の 左 辺 は(24)よ り

ム ノ 

Q'+1含 一 μ1≒一が 一・・)+ξ 次 に 右 辺 は(25)と 前 方 演 算 子F=L‑1を 用 い て

ξ一 ρ(1‑/J)(1‑b」F)∠1Qf

一 ξ一 ρ(・ll/)(・‑bF)嬢+参(・11)d{lt‑1・)}

一 ξ一 ρ(1一 φ61F)(・‑bF)(・‑L)毎 号(・ 一 φわF)(・‑bF)(・//)(・ 一 五)(lt‑・*) C2

P=zf(ξ)

従 っ て 調 整 コ ス トが な い と き の 在 庫1*かム ら の 乖 離 で 表 し た 在 庫 を

yt==It‑1*(t==‑2,‑1,0,…,○ ○)(26) と お く と,(23)式 は

{÷+ρ(・ 一 φわF)(・‑6F)(・ 一 φL)(・‑L)}炉 一 φρ(1一 φδF)(・‑bF)(・ 一 五)μ・

(彦=0,1,…,oo) ま た,φ キ0の と き は 両 辺 を ρφ∂2で 割 れ ば

{議+(F‑一 毒)(Fの(・ 一φL)(・‑L)}Ya

‑一 φ(F‑一 テ去一)(Flb)(1‑L)鳥

c27y

(27')

June1984釜 国 男:合 理 的 予 想 の下 で の 企 業 の 生 産 お よび 在 庫 行 動 の計 量 分 析87 こ こ で こ れ ま で 使 用 し た パ ラ メ ー タ ー を ま と め て お く と

1‑C1 φ=

1十b(δ 一C1) ξ=F‑1(φ)(28)

C2

P= ノ(ξ){1十b(δ 一C1)}

潜 イ(一 ξ)∫(z)dz+ξ}

但 し.f(・)は 標 準 化 し た 需 要 分 布 の 密 度 関 数 で,F(・)は そ の 分 布 関 数 で あ る.

3.4在 庫 に 関 す る 差 分 方 程 式 の 解 の 性 質8)

在 庫 の 差 分 方 程 式(27)を 解 く た め に は,同 次 方 程 式 部 分 の 特 性 方 程 式 1・+ρ(φ わλ一1)(わλ一1)(λ 一φ)(λ一1)‑0(29)

6

の根 を 求 め る必 要 が あ る,一 般 の4次 方 程 式 の 根 は 非 常 に 複 雑 で あ るが,こ の場 合 に は λ*(キ0) を(29)の 一 つ の 概 す れ ば,一 虚 も ま た 根 と な る ・ 従 っ て(29)の4榔 幽 こ.,..鮒 け て え1, λ2,λ3,え4と す れ ば,次 の4つ の ケ ー ス の う ち の い ず れ か が 成 立 す る こ と に な る.

(・)λ1・

1・ ト 嵩 ・

(2)λ1・ λ・が 共 徽 素 数 で・ λ・と λ・は ト π,炉11 π な る共 微 素 数 ・

(3)禍 が共役複素獅 囚 嘱1一 六 ・磁 実根で 炉 鳶

(4)λ1,λ,が 共 役 複 素 数 で,λ 、 と λ4も 共 役 複 素 数 で あ り,1λ 、1=1λ 、1=R、 【eIλ41誕L.

》 う 付 論2で 示 し た よ う に,P≧0か つ σ>0な る 限 り ケ ー ス(3)と ケ ー ス(4)は あ り え な い.そ し て

ケ ー ス(1)で は λ1,λ2と も に φ よ り大 き く1よ り小 さ く な る.ま た ケ ー ス(2)で は λ1,λ2を 絶 対 値 が 小 さ い 方 の 共 役 複 素 根 と仮 定 す れ ば,付 論3で 示 し た よ う に0<λ 、λ2<φ だ か ら絶 対 値 は 1よ り小 さ くな る.な お 付 論3で は こ の 他 に,λ1λ2と λユ+λ2は σρ に 関 し て 単 調 増 加 関 数 で あ り, 0<σ ρく 。。 の 範 囲 で0<λ1+λ2<1+φ と な る こ と が 示 さ れ て い る.

い ま 以 上 の 関 係 を 用 い る と(29)式 は

脚 一ろ)(λ一λ2)(λ竜)(λ 一毒)

と因 数 分 解 で き る の で,同 時 方 程 式 の 一一般 解 は k,(ろy+梶 ω ・+k3(1tbb

l+k4(毒y

で 表 わ さ れ る.こ こ でkl,k2,k3,k4は 任 意 の 定 数 で あ る.し か し 終 値 条 件 を 満 た す た め に は 発 散 径 路 は 許 さ れ な い の で,k3と ん4は ゼ ロ で な け れ ば な ら な い.ま たklと ん2は2つ の 初 期 条 件 8)線 型 デ シ ジ ョ ン ・ル ー ル の 解 法 に つ い て はHay‑Holt〔7〕,Thei1〔14〕,ま た はSargent〔13〕 を 参 照

せ よ.

88季 刊 創 価 経 済 論 に よ っ て 決 ま る 。

従 っ て 差 分 方 程式(27)は 終 値 条 件 と初 期 条 件 よ り

(1一 λ1L)(、一棚 一 一 φ(Fb)(Flb)

集

(F̲1bbl)(F「 転)

Voi ,XIVNo,1

ム

(1‑L)μ̀Ct=エ0,1,…,◎ ○)(30)

とい う2階 の 差 分 方 程 式 に 帰 着 す る こ と に な る.

の 形 に変 え,yeに つ い て解 け ば

ム

タ戸(λ1十 λ2)ッ ∫̲一(λ1え2)yt‑,一 一M(F,五)!us

M{F,L)一(・‑L)(焔)、 一}云呈部 鵠 鰐P

次 に(31)と(24),(26)か ら 生 産 量 は

λ1λ2

λ1,λ2が複 素 数 であ る場 合 を考 慮 して 実 数 係i数

軌一(学 一1

11 B(F,L)=1‑(1‑L)(λ 、え2)

(t=Q,1,…,・ 。)

)(lt̲1‑1)一 φ(勾 ・‑1*)+B(F・L)(瓦 一 α)

τ(1+す)∂F+ゐ ・F・

ム ム

但 し こ こ で1̲1‑1‑1,1̲2=1‑z

1‑(λ 、+λ2)うF+(λ1λ2)う2F2 ム

μ̲1=μ̲1で あ る.

(t=p,1,…,。 。)

(31)

(32)

4.モ デ ル の推 定 お よ び合 理 的 予 想 仮 説

4.1需 要 の 確 率 過 程 と 推 定 式

前 節 で 得 ら れ た 生 産 の デ シ ジ ョ ン ・ル ー ル(32)は2期 前 ま で の 在 庫 ス ト ッ ク と 今 期 お よ び 将 来 の 需 要 分 布 の 平 均 値 の 予 想 を 含 ん で い る.従 っ て こ の 式 を 推 定 す る た め に は,需 要 分 布 の 平 均 値 に 関 す る 企 業 の 予 想 形 成 を 定 式 化 し な け れ ば な ら な い.い ま 企 業 は 過 去 の 需 要 の 実 現 値 を 知 っ て お り,そ れ を も と に 需 要 予 測 お よ び 生 産 決 定 を 行 な う も の と 仮 定 す る.そ し て 需 要 は 次 のm次 の 自 己 回 帰 過 程 に 従 が う と 仮 定 す る.

(1)̀一 ん∫)=ai(Dt̲1‑一 乃6̲1)十α2(L)t‑2‑ht‑2)十 。・・十 α"L(1)t‑ni‑ht̲m)十Et(33) こ こ でc,は 平 均0,分 散0<σ2〈 。。 の 系 列 相 関 を も た な い 確 率 変 数 で あ り,

ht=h。(tmodl2)+、(h、 。,乃2。,…,煽 。 は 定 数) は 月 別 季 節 定 数 で あ る.

こ の 確 率 過 程 を ベ ク トル 形 式 で 表 わ す と dt=.Ads̲1十ut(34)

Dt‑htEtaia2… …am‑fα"、

Dt‑一ht̲zO10… …00

dtl ‑:1'utf:1'A‑‑IO1...00

Dt̲me+1‑ht‑m+iOOOOO

June1984釜 国 男:合 理 的 予 想 の下 で の 企 業 の生 産 お よ び在 庫 行 動 の 計 量 分 析89

ム

こ こ で 企 業 は μ診を 合 理 的 に 予 想 す る も の と 仮 定 す る.す な わ ち μ8は4̲̀、 を 所 与 と し た と き の μ̀+ゴ(9=0,1,…,。 。)の 線 型 最 小 自 乗 推 定 値 に 等 し く

ムμ̀+ゴ=E(ヱ)t+ゴIde‑i)==乃 ご+ブ十 γノ4ゴ+idc̲1,γ==(1,0,…,0)(35)

既 に み た よ う に 生 産 量 は(32)式 で 与 え ら れ る が,す べ て の 変 数 の 季 節 変 動 部 分 を 除 去 す る た め に こ の 式 の 両 辺 の12期 の 差 分 を と れ ば

る・一(λ1十22φ 一1)lt‑1一 λ診 ・NI」一・+B(F,五)(鹸 一、2)

な お 一 般 に あ る 変ztのztGまzt‑zt‑i2を 表 わ す も の と す る.こ れ に(35)式 を 代 入 す れ ば Qt=(21十 λ2φ 『1)乳 一1一 λ瑳・lt‑・+B(F,L)γ 鵡 一1

但 し

偽̲1=(D≠̲1,Dt‑2,…,D̀覗)ノ

・B(F,L)γ オ4卜1=B(F,工)F'Yda‑i(Fゴ4卜 、=.4'4̀ ̲1だ か ら)

一{F‑(λ、λ2)

、転 〜繕 講(F‑・)}痴

一 γ{m(λ1λ2)〔 ・一(λ1+・)bA+(λ ・脚 ・〕‑1〔11‑(・+1)bA ‑}‑b2A2/〔A一 嚥1

一γα 蝋 一、9・(∬ 騨 位 行 列)

そ こ で 結 局,観 察 可 能 な変 数 だ け を含 ん だ 推 定 式 は る'一(λ1吉 λ2‑・)乙 … 聯 一・+γC(A)da‑,+η,(36)

こ こ で ὴは誤 差 項 で あ り,推 定 に 際 して は 平 均 μη,分散 ση2<。。の系 列 相 関 を もた な い 確 率変 数 と仮 定 す る(以 下 の推 定 例 に お い て は 定 数 項 は 常 に5%水 準 で統 計 的 に 有 意 で は な か った の で, μηはゼ ロ と仮 定 した).

4.2需 要 の 確 率 過 程 と行 動 方 程 式 の 推 定 法

需 要 の 自 己 回 帰 過 程 の パ ラ メ ー タ ーa,,a2,… …,α 。Lが 既 知 で あ れ ば,(36)は φ,b,λ 、λ2,λ1+λ2

9)い まAを 正 方 行 列,Fを 前 方 演 算 子 ,B(F)をFのn次 多 項 式 と し て

B(F)At=(β0+β ・F+β2F2+・ ・一・・+β ηFπ)ノqc==β0/4古+β1 .4ε+1+β2∠1ε+2+・ ・・…+・ βπ!4̀+n

=(β01+RIA+β2 .〜…12+・・・…+β η!i[n)ノ歪ホ=B(A)∠it が 成 立 す る.こ れ よ りB(A)が 正 則 な ら ば

1 遜̀

=B(A)‑1ノ 歪̀B(F)

が 成 り 立 つ の 鮪 理 頻 式c(F)

B(F)に つ し・て は C(F}

B(F}!望 ・‑c(F)1B(F)辺 ・}=C(F){B(A)‐iAc}

1(A)‑1{C(F)・4弓=B(A)一 ユC(A).4̀

と い う 関 係 が 得 ら れ る.

go季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XIVNo.1

の4個 の パ ラ メ ー タ ー を 含 む こ と に な る.し か し λ、と え2は 特 性 方 程 式(29)の 根 で あ る た め に 2、λ、=臥(φ,わ,σ ρ)

2、+λ2=ザ2(φ,ろ,σ ρ)

と い う制 約 条 件 が 存 在 す る(明 示 的 関 係 式 は 付 論3を 参 照).こ の た め 実 際 に は(36)式 の 自 由 パ ラ メ ー タ ー は 全 部 で3個 と な る.以 下 の 係 数 推 定 で は,(29)式 の λの3次(あ る い は1次)の 係 数 か ら 得 ら れ る 関 係 式(付 論3の 制 約(α))

(λ1十λ2)(・㌔ オろ)e(1+φ)(・+毒) (37)

に よ っ てb,φ,λ1λ2を 自 由 パ ラ メ ー タ ー と す る や り方 を 用 い た.ま た λの2次 の 項 の 係 数 を 使 え ば φ,b,λ 、λ2,λi+λ2か ら σρ を 求 め る こ と が で き る(付 論3,制 約(β)).な お 以 上 述 べ た こ と か ら,bは 識 別 可 能 で あ る が そ れ 以 外 の 構 造 パ ラ メ ー タ ーC1,C2,δ,σ は 識 別 不 能 で あ る こ と が 分 か る.

従 っ て 単 純 に 自 由 パ ラ メ ー タ ー の 数 だ け か らす れ ば,(36)式 に お い て 定 数 項 以 外 に 少 な く と も 3つ の 説 明 変 数 が 必 要 で あ る(需 要 の 自 己 回 帰 過 程 が1階 か そ れ 以 上 の 場 合 に は こ の 条 件 は 満 た さ れ る).さ ら に(36)式 は 説 明 変 数 に 関 し て 線 型 で あ る た あ に,自 己 回 帰 の 階 数 勉 が2あ る い は そ れ 以 上 の 場 合 に は,線 型 回 帰 モ デ ル に お い て 係 数 に 非 線 型 制 約 条 件 を 課 し た こ と と 同 等 と な り,制 約 の 数 は(m+2)‑3と み な す こ と が で き る.も し 前 節 で 定 式 化 し た 企 業 の 生 産 お よ び 在 庫 保 有 に 関 す る 理 論 仮 説 と 本 節 で 仮 定 し た 需 要 の 合 理 的 予 想 仮 説 が 正 し い とす れ ば,係 数 推 定 に 際 し て 制 約 条 約 を 課 し て も 課 さ な くて も 推 定 式 の 当 て は ま り具 合 に は 大 き な 差 は 生 じ な い 筈 で あ る.形 式 的 に は 上 の 結 合 仮 説(loin七hypo七hesis)は 尤 度 比 検 定 に よ っ て 検 証 で き る が,こ こ で は 計 算 コ ス ト節 約 の た め 尤 度 の 計 算 に 簡 便 法 を 用 い た 。 す な わ ち,(33)の 係 数 マ ト リ ッ ク スAと 自 由 パ ラ メ ー タ ー に 関 し て 尤 度 関 数 を 最 大 化 す る 代 わ りに,Aは あ ら か じ め 推 定 し て お き 自 由 パ ラ メ ー タ ー だ け を 最 尤 法 で 推 計 す る こ と に し た.こ の よ うに 完 全 情 報 最 尤 法 の 二 段 階 近 似 法 を 用 い る こ と に し た が,こ の 方 法 を さ ら に 詳 し く説 明 す る と 以 下 の 通 りで あ る.

ま ず 第 一 段 階 で は,(33)式 の12期 の 差 分 を と っ た 式 1)̀=α1DH十a2Dt̲2十 … 十anLDt̲η・十Et‑Et̲12(38)

ム ム ム

を 通 常 の 線 型 回 帰 で 推 定 し て 自 己 回 帰 係 数 の 推 定 値(α1,a2,…,α"、)を 求 め る.t期 の 境 乱 項 は

≠‑12期 お よ びt+12期 の 撹 乱 項 と系 列 相 関 を も つ た め に 〇五∫ は 最 良 推 定 値 で は な い が,バ イ ア ス は 無 く,ま た 撹 乱 項 の 系 列 相 関 は12期 離 れ た 標 本 間 に お い て の み 存 在 す る だ け で あ る か ら,推 定 効 率 の ロ ス は そ れ ほ ど 大 き い と は 思 わ れ な い(参 考 の た め2品 目 に つ い て 非 線 型 最 小 自乗 法 に

よ っ て(33)式 の α、,α曾,…,α。、とhエ。,h2。,…,煽 。 の 直 接 推 定 を 行 な っ た が,有 効 桁2桁 目 に 僅 か な 差 が あ る 程 度 でoLs推 定 値 と ほ と ん ど 変 わ ら な か っ た).

ム

次 に 第2段 階 で は,第1段 階 の 推 定 値Aを 用 い て 生 産 の 行 動 方 程 式(36)を 推 定 す る.こ の 推 定 は ゐ,φ,λ1λ2を未 知 パ ラ メ ー タ ー と し て,(37)式 の 制 約 の 下 で 非 線 型 最 小 自 乗 法(境 乱 項 が 正 規 分 布

の 場 合 に は 最 尤 法 と な る)を 用 い て 行 な っ た.尤 度 関 数 の 最 大 化 に はDavidson‑Fle七cher‑Powell

June1984釜 国 男:合 理 的 予 想 の下 で の 企 業 の生 産 お よ び 在 庫 行 動 の 計 量 分 析91

法 を 基 本 とす る ア ル ゴ リ ズ ム を 用 い,安 定 し た 解 が 得 ら れ る ま で 初 期 値 を 変 更 し て 収 束 を 確 認 し た(詳 し く はKotivalik‑Osborne〔9〕 参 照).な お 本 節 で 報 告 さ れ る 漸 近 的 標 準 誤 差 と 検 定 統 計

ム ム

値 は,推 定 の第2段 階 に お い てAの 代 わ りにAが 使 わ れ て い る 点 を 無 視 し て,珊 まオに 等 しい と い う仮 定 の下 で導 か れ て い る.

実 証 分 析 で 取 りあ げ た の は 既 に表1で 示 した よ うに,電 子 レ ン ジ,換 気 扇,電 気 洗 濯 機 ・ 電 気 冷 蔵 庫,電 気 掃 除 機,白 黒 テ レ ビ,カ ラ ー テ レ ビ,筒 型 マ ソ ガ ン乾 電 池,エ ア コ ン デ イ シ 。ナ (パ ッケ ー ジ 型)の 電 気 製 品9品 目で あ る.標 本 期 間 は1977年4月 以 降,1982年3月 ま で,サ ン プ ル 数 は60で あ る.こ れ らの 品 目を 選 ん だ 理 由は,① 流 通 経 路 が 複 雑 で な い,② 産 業 用 中 間財 と異 な り最 終 財 で あ る の で 需 要 の 動 向 が 理 解 し易 い,③ 需 要 主 体 が 消 費 者 で あ るた め特 定 の大 ロ 発 注 者 に よ る需 要 変 動 は あ ま りな い,④ 品 目が か な り細 分 化 され て お り,ま た主 に 大 企 業 に よ っ て 生 産 され て い る た め デ ー タ の 信 頼 性 が 高 い,⑤ 年 間 を 通 じて 需 要 が あ り,毎 月 ご との 計 画 立 案 が 可 能 で あ る(電 気 こ た つ 等 は 不 適 当),⑥ 標 本 期 間 中 に デ ー タ改 訂 が な い こ と(他 の 多 くの 品 目で は1978年 に 定i義変 更 が 行 な わ れ デ ー タ の 連 続 性 が 損 な わ れ て い る),等 に よ る.但 し,パ ッ ケ ー・ジ型 エ ア コ ソ デ ィシ ョナ は 需 要 の季 節 変 動 の 大 き い 品 目の 参 考 例 と して 意 図 的 に 取 りあげ た

もの で あ る.

4.3推 定 結 果

2段 階 推 定 法 の 第1段 階 と して(38)式 を 推 定 した が,推 定 結 果 は表3に 示 さ れ て い る.自 己 回 帰 の 階 数 は,係 数 が 正 で0.01以 上 で あ る と こ ろ まで を 打 切 り条 件 と して 決 定 した.そ の結 果,電 気 掃 除 機 は3階,エ ア コ ン デ ィシ ョナ は1階,他 は す べ て2階 の 自己 回 帰 過 程 とな った.決 定 係 数 は 冷 蔵 庫 とエ ア コ ンデ ィシ ョナ で は 特 に 小 さ く,季 節 変 動 を 除 い た 需 要 に お い て ラ ン ダ ムに 変

表3需 要 の 自 己 回 帰 式

al ^{a2 a3} x2 ヱ).iv. S.E.

電 子 レ ン ジ

換 気 扇

電 気 洗 濯 機

電 気 冷 蔵 庫

電 気 掃 除 機

白 黒 テ レ ビ

カ ラ テ レ ビ

筒 型 マ ン ガ ン 乾 電 池 エ ア コ ン デ イ シ ョナ (パ ッ ケ ー ジ 型)

.761 {.156) .614 (.156) .439 {.132) .212 {.139) .324 (.151)

・

(.154) .353 (.127)

.370 {.154)

.353 (.122)

1・ ・ (.i52)

1・:

(.i56) .424 (.i34) .183 (.137) .177 (,157) .336 (.169) .521 (.124) .257 (.153)

.276 (.151)

.633 .432

.621 .128

.306 .724

.510 .298

.263

1.93

1.94 2.05

2.03 1.99

1.94

1:

1.91

1.74

16.58

103.34 20.25

39.2&

35.85

1.

.':

15156.45 4922.54

(注)係 数 推 定 値 の下 の カ ッ コ内 の 数 値 は係 数 の 標 準 誤 差 で あ る.