物数学
I.p7.1
[物理数学及び演習 I 2014
問7-1
の答](1)
支点A
のまわりの力のモーメントをN ~
とするとN ~ = −−→
AP
1× F ~
1= (2 − a , 1 − b , 0) × (1, 0, 0) = (0, 0, b − 1) (p7.1)
となる。板が回転し始めないのは，
N ~ = ~ 0
の場合なので，(a, b)に対する条件はb = 1 ,
(
a
は任意。)
(p7.2)
となる。すなわち，点A
が，直線y = 1
上にあればよい。次に，板が反時計回りに回転を始めるのは
N ~
がz
軸の正の向きになっている場合，つまりN ~
のz
成分が 正の場合なので，(a, b)に対する条件はb > 1 , (
a
は任意。)
(p7.3)
となる。(2)
N ~ = −−→
AP
1× F ~
1+ −−→
AP
2× F ~
2= (2 − a , 1 − b , 0) × (1, 0, 0)+( − a , 2 − b , 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, − a+b − 1) . (p7.4)
板が回転し始めないのは，N ~ = ~ 0
の場合なので，(a, b)に対する条件はb = a + 1 (p7.5)
となる。すなわち，点
A
が，直線y = x + 1
上にあればよい。次に，板が反時計回りに回転を始めるのは
N ~
がz
軸の正の向きになっている場合，つまりN ~
のz
成分が 正の場合なので，(a, b)に対する条件はb > a + 1 (p7.6)
となる。
(3) ?
N ~ = −−→
AP
1× F ~
1+ −−→
AP
2× F ~
02= (2 − a , 1 − b , 0) × (1, 0, 0) + ( − a , 2 − b , 0) × ( − 1, 0, 0) = (0, 0, 1) . (p7.7)
板が回転しないように支点A
をとることはできない。N ~
はz
軸の正の向きなので，板は反時計回りに回転 を始める。(4) F ~
3= (F
x, F
y, F
z)
とするとN ~ = −−→
AP
1× F ~
1+ −−→
AP
2× F ~
2+ −−→
AP
3× F ~
3= (1 , 2 , 0) × (1, 0, 0) + ( − 1 , 3 , 0) × (0, 1, 0)
+(0 , − 4 , 0) × (F
x, F
y, F
z) = ( − 4F
z, 0, − 3 + 4F
x) = (0, 0, 0) (p7.8)
より，Fx= 3/4 , F
z= 0
となる。1 = ¯¯ ¯ F ~
3¯¯ ¯
2= F
x2+ F
y2+ F
z2= 9
16 + F
y2(p7.9)
より,Fy
= ± √
7/4．以上より
F ~
3= (
3 4 , ±
√ 7 4 ,
,0
)
. (p7.10)
物数学
I.p7.2
[物理数学及び演習 I 2014
問7-2
の答](1)
N ~ = −−→
OP
1× F ~
1= (1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1) . (p7.11)
地球儀はO
を通るN ~
の向きの直線を軸として回転を始めるので，軸と地球儀の表面との交点の座標は(0, 0, s)
と書ける．地球儀の半径は1
なのでs
2= 1
より(0, 0, ± 1) (p7.12)
が求める
2
点となる。(2)
N ~ = −−→
OP
1× F ~
1+ −−→
OP
2× F ~
2= (0, 0, 1) + (0, 1, 0) × (0, 0, 1) = (1, 0, 1) . (p7.13)
地球儀はO
を通るN ~
の向きの直線を軸として回転を始めるので，軸と地球儀の表面との交点の座標は(s, 0, s)
と書ける．地球儀の半径は1
なので2s
2= 1
より( 1
√ 2 , 0 , 1
√ 2 )
, (
− 1
√ 2 , 0 , − 1
√ 2 )
(p7.14)
が求める2
点となる。(3)
N ~ = −−→
OP
1× F ~
1+ −−→
OP
3× F ~
3= (0, 0, 1) + (0, 0, 1) × (0, − 1, 0) = (1, 0, 1) . (p7.15)
地球儀はO
を通るN ~
の向きの直線を軸として回転を始めるので，軸と地球儀の表面との交点の座標は(s, 0, s)
と書ける．地球儀の半径は1
なので2s
2= 1
より( 1
√ 2 , 0 , 1
√ 2 )
, (
− 1
√ 2 , 0 , − 1
√ 2 )
(p7.16)
が求める2
点となる。(4)
N ~ = −−→
OP
1× F ~
1+ −−→
OP
2× F ~
2+ −−→
OP
3× F ~
30= (1, 0, 1) + (0, 0, 1) × (1, 0, 0) = (1, 1, 1) . (p7.17)
地球儀はO
を通るN ~
の向きの直線を軸として回転を始めるので，軸と地球儀の表面との交点の座標は(s, s, s)
と書ける．地球儀の半径は1
なので3s
2= 1
より( 1
√ 3 , 1
√ 3 , 1
√ 3 )
, (
− 1
√ 3 , − 1
√ 3 , − 1
√ 3 )
(p7.18)
が求める2
点となる。(5) F ~
4= (F
x, F
y, F
z)
とするとN ~ = −−→
OP
1× F ~
1+ −−→
OP
4× F ~
4= (0, 0, 1) + (
− 1
√ 2 , − 1
√ 2 , 0 )
× (F
x, F
y, F
z)
= (
− F
z√ 2 , F
z√ 2 , 1 + F
x− F
y√ 2 )
= (0, 0, 0) (p7.19)
より，Fy
= F
x+ √
2 , F
z= 0
となる。1 = ¯¯ ¯ F ~
3¯¯ ¯
2= F
x2+ F
y2+ F
z2= 2F
x2+ 2 √
2F
x+ 2 (p7.20)
より,Fx
= − 1/ √
2．以上より
F ~
3= (
− 1
√ 2 , 1
√ 2 , 0 )
. (p7.21)
物数学
I.p7.3
(6) F ~
40= (F
x0, F
y0, F
z0)
とするとN ~ = −−→
OP
1× F ~
1+ −−→
OP
2× F ~
2+ −−→
OP
4× F ~
40= (1, 0, 1) + (
− 1
√ 2 , − 1
√ 2 , 0 )
× (F
x0, F
y0, F
z0)
= (
1 − F
z0√ 2 , F
z0√ 2 , 1 + F
x0− F
y0√ 2 )
(p7.22)
となる．
N ~
のx
成分とy
成分を同時に0
とすることはできないので，地球儀を静止したままとすることは できない．(7)
N ~ = −−→
OP
1× F ~
1+ −→
OP × F ~ = (0, 0, 1) + −→
OP × F ~ (p7.23)
を満たす
P
とF ~
を求める．点P
の座標を(x, y, z)
とすると0 = −→
OP · ( −→
OP × F ~ )
= (x, y, z) · (0, 0, − 1) = − z (p7.24)
より，z
= 0
がわかる．F ~ = (F
x, F
y, F
z)
とすると(0, 0, − 1) = (x, y, 0) × (F
x, F
y, F
z) = (
yF
z, − xF
z, xF
y− yF
x)
(p7.25)
よりyF
z= 0 , xF
z= 0 , − xF
y+ yF
x= 1 . (p7.26) F
z6 = 0
とすると，上の第1,2
式よりx = y = 0
となり，第3
式を満たすことができないので，Fz= 0
とな る。点P
は半径1
の円周上にあるのでx = cos(θ) , y = sin(θ) (p7.27)
とする。
F ~
を−→
OP
に平行な成分と垂直な成分に分けて考える；F ~ = f
1(cos(θ), sin(θ), 0) + f
2( − sin(θ), cos(θ), 0) . (p7.28)
1 = − xF
y+ yF
x= − f
2(p7.29)
より
−→ OP = (cos(θ), sin(θ), 0) , F ~ = f
1(cos(θ), sin(θ), 0) + (sin(θ), − cos(θ), 0) , f
1は任意(p7.30)
が得られる．
