点電荷が作る電位の重ね合わせ

帯電導体の電荷分布

v3.1 Nov.2020 1

1^st. 2011/11/10 L^st. 2020/11/09

帯電導体の電荷分布

²

【例題】 次のケースで、電荷はどのように分布するか？

(3) 導体棒 (2) 導体円環

(1) 導体球 または導体球殻

＋＋

＋

＋＋＋

＋＋

＋

電荷の 注入

＋

＋

＋

＋ ＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋＋

＋

＋

＋

＋＋

＋

＋

＋＋

＋

＋＋

＋

＋

Answer : (1) クーロン力によって互いに反発するため、導体球表面に電荷が均一に分布する。(2) 同じ理 由で円環の外周に均一に分布する。(3) 同じ理由で導体棒のエッジに集中する。（均一にはならない。）

点電荷が作る電位の重ね合わせ

³

4 P

1 0

1 4

i

i i

V Q

 r



 

2 P

1 0

1 4

i

i i

V Q

 r



 

Q1

Q2

r1

r2

P V1

V2

Q1

Q2

Q3

Q4

r1

r2

r3 r4

P V1

V2

V4

V3

P 1 2

V  V V

P 1 2 3 4

V  V V  V V 正電荷

負電荷

正電荷 負電荷

(2)

(3)

1 2

1 2

P P

0 1 0 2

1 1

4 , 4

Q Q

V V

r r

 

  (1)

電位の重ね合わせ

任意点の電位は、点電荷Qが作る電位の 重ね合わせで表現される

点電荷から観測点 Pまでの距離 [m]

比例定数

4

P

0

1 4

i

i i

V Q

 r

 

i 番目の電荷 [C]

電位の総和（一般化）

P

0

1 ( ) ( ) ^V 4

V r r dv

R





  ^ 



任意点の電位は、微小電荷ρdvが作る電位の 積分で表現される

点電荷から観測点 Pまでの距離 [m]

位置r’における 電荷密度 [C/m³]

比例定数 重ね合わせ

領域

5

位置rにおけ る電位 [V]

O

VP

R

r r

( )r

  dv

電荷分布の計算モデル

⁶

【演習２】 長さ1 mの導体棒に1 Vの電圧を加えたとき、導体上の電荷密度分布 σ[C/m²]を求めよ。ただし，導体半径はa=1 mm とせよ。分割幅は各自で決めよ。

x 2a 2d

1₂_{3 } _{i } _N (2 ) 2

LN d  Nd

V

N. N. Rao, “Elements of Engineering Electromagnetics Sixth ed.,” p. 741, Pearson Prentice Hall J. D. Kraus, D. A. Fleisch, “Electromagnetics with applications Fifth ed.,” pp.558-559, McGraw-Hill

問題の定式化１

⁷

x 2a 2d

R

1₂_{3 } _{i } _N

2a

0 x

2 ( )2

R a  x x

d x

d

電位の観察点Pが 着目している導体 円筒の外にあるとき

VP ++++

dx

x (2 ) 2

L N d  Nd

2

P 0

0

1 4

d i

x d

V ad dx

R





 



  



 

x=0とすれば、着目している円筒導体

が自身の中心に作る電位になる。

(1)

[C/m ]2

 ^{面電荷密度}

着目している導体円筒上で は電荷密度σは一定とす る。

xx

問題の定式化２

⁸

x 2a

(2 ) 2 LN d  Nd

2d

1₂_{3 } _{i } _N

dx

++++

2a

0 x d

d VP

R

2 (0 )2

R a  x

電位の観察点Pが 着目している導体 円筒の中心にある とき

x

2

P 0

0

1 4

d i

x d

V ad dx

r





 



  



 

x

(2) 着目している導体円筒上で は電荷密度σは一定とす る。

問題の定式化３（解析的な積分）

⁹

 

2

P 0

0 2

2 2

0 0

2 2

0

2 2

0

2 2

2 2

0

1 4

1

4 ( )

2 1

4 ( )

ln ( )

2

( )

2 ln ( )

( )

d i

x d

i d

x d

i d

x d

d i

x d

i

i

V ad dx

R

d dx

a x x

a dx

a x x

a x a x x x

x d a x d

a

x d a x d

f x









 



 











 



 



 





 

 

  

 

  

   

      

   

    



 

 



2 2

2 2

0

( )

( ) ln

2 ( )

x d a x d

f x a

x d a x d



   

    

2 2

2 2

1 dx ln x a x C

a x

   





積分公式

ただし、f(x)を右のように置いた。

電位を求める積分は以下のようにして計算できる。

下の式でx=0とすれば、電位の 観察点が着目している導体円筒 の中心にあるときでも使える。

(1)

(3) (2) 未知数は積分記号内 の面電荷密度σ

（積分方程式と呼ぶ）

電磁気学でよく使う積分公式



^{2 2}



2 2

1 dx ln x a x C (1)

a x

   

  ^

　

 

    

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

1

1 ln

ln

x a x

dx dx

a x a x x a x

x a x

f x

a x dx dx dx f x C

x a x a x f x

x a x C

 

    

 

 

    

  

   

 

  

　

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) , ( ) 1

( ) 1 1

( )

f x x a x f x x

a x

x a x x

f x a x a x

f x x a x x a x a x

     



 

      

    

と置くと、

もとの式の分子・分母に _{x a}²_x² を掛けると、

10

を証明せよ。

証明終わり。

問題の定式化４（連立方程式）

¹¹

x 2(2 ) 4 L d  d

1₂

x 3(2 ) 6 L d  d

1₂₃

N=2 の場合

N=3 の場合

1

2

P 1 2

P 1 2

(0) ( 2 )

(2 ) (0)

V f f d

V f d f

 

 

  

  



P1 P₂

P1 P₂P₃ 2d

2d

1

2

3

P 1 2 3

P 1 2 3

P 1 2 3

(0) ( 2 ) ( 4 )

(2 ) (0) ( 2 )

(4 ) (2 ) (0)

V f f d f d

V f d f f d

V f d f d f

  

  

  

     

    

   



x 4(2 ) 8 L d  d

1₂₃

N=4 の場合

P1 P₂P₃

2d

1

2

3

4

P 1 2 3 4

P 1 2 3 4

P 1 2 3 4

P 1 2 3 4

(0) ( 2 ) ( 4 ) ( 6 )

(2 ) (0) ( 2 ) ( 4 )

(4 ) (2 ) (0) ( 2 )

(6 ) (4 ) (2 ) (0)

V f f d f d f d

V f d f f d f d

V f d f d f f d

V f d f d f d f

   

   

   

   

      

      

     

    

 P4

4

観測点P₁に作られる電 位は、σ₁が自分の中心 に作る電位と、σ₂が-2d 離れた位置に作る電位 の和で表される。

(1)

(2)

(3)

問題の定式化５（マトリクス表示）

¹²

x 2(2 ) 4 L d  d

1₂

x 3(2 ) 6 L d  d

1₂₃

N=2 の場合

N=3 の場合

1

2

1 P

2 P

(0) ( 2 ) (2 ) (0)

f f d V

f d f V





    

     

 

       P1 P₂

P1 P₂P₃ 2d

2d

1

2

3

1 P

2 P

3 P

(0) ( 2 ) ( 4 )

(2 ) (0) ( 2 )

(4 ) (2 ) (0)

f f d f d V

f d f f d V

f d f d f V







   

      

     

    

 

     

x 4(2 ) 8 L d  d

1₂₃

N=4 の場合

P1 P₂P₃ 2d

1

2

3

4

1 P 2 P

3 P

4 P

(0) ( 2 ) ( 4 ) ( 6 )

(2 ) (0) ( 2 ) ( 4 )

(4 ) (2 ) (0) ( 2 )

(6 ) (4 ) (2 ) (0)

f f d f d f d V

f d f f d f d V

V

f d f d f f d

f d f d f d f V









      

    

      

    

     

     

     

P4

4

[ ]は行列、{ }は列 ベクトルを示す。

行列には一定の 規則性があること が分かる。

(1)

(2)

(3)

計算手順の一例（N=4の場合）

¹³

行列要素

逆行列 解

電圧

x f(x)

計算条件

f(x)は自作関数で定義する こともできる。詳細は、

https://www.kusamalab.org/lecture/excelmacro/excelmacro.html

(1)

Excelによる連立方程式の解法

¹⁴

Ctrl Shift 押し ながら Enter B7:D9を選択状態

でB7に数式入力

Ctrl Shift 押し ながら Enter

B7:D9に逆行列 が出力される。

E7:E9に解 が出力さ れる。

E7:E9を選択状態でE7に数式入力

① ②

③ ④

計算結果（N=4の場合）

¹⁵

【解答例】 エクセルを使って数式を入力し、計算結果を描画する。

0 2E-10 4E-10 6E-10 8E-10 1E-09 1.2E-09 1.4E-09 1.6E-09

0 1 2 3 4 5

σ[C/m2]

導体分割番号

N=50 の場合

電荷分布の計算結果

¹⁶

【解答例】 Mathematica でプログラミングした結果 N=5 の場合

N=100 の場合 N=10 の場合