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An overview of teaching of area of plane figures in elementary schools
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Soichiro KATAYAMA ʢՎࢁେֶڭҭֶ෦ʣా ༟೭
Hiroyuki TAGAWA ʢՎࢁେֶڭҭֶ෦ʣ୩ ༗Ճ
Yuka TANI ʢՎࢁେֶେֶӃڭҭֶݚڀՊʣ ຊߘͰ, খֶߍʹ͓͚Δ໘ੵࢦಋΛ֓؍͠, ໘ੵͱͲ͏͍ͬͨͷ͔Λ࠶ೝࣝ͠, ֶతʹݫີʹ໘ੵΛͱΒ͑ Δํ๏ʹ͍ͭͯ֓આ͢Δ.1
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ຊઅͰ, લઅ·Ͱͷ “໘ੵ” ͷຬ͖ͨ͢ੑ࣭Λଌ ͷݴ༿Ͱॻ͖ͯ͠ΈΔ. ঘ, ຊઅͷ༰ [6], [8], [9] ͳͲΛࢀߟʹͨ͠. ·ͣ໘ੵ͕ఆΊΒΕΔ “ਤܗ” ͷू߹ Λهड़͢Δݴ༿ΛநతͳΈͰ༻ҙ͢Δ. ఆٛ4.1 (Ճ๏). ू߹ Ω ͷ෦ू߹ͷ F ͕ σ-Ճ๏Ͱ͋Δͱ࣍ͷੑ࣭Λຬͨ͢͜ͱΛ͍͏: (i) Ω ∈ F. (ii) A ∈ F ͳΒ Ac∈ F. (iii) Ak ∈ F (k ∈ N) ͳΒ ∞ ∪ k=1 Ak ∈ F. ͜͜Ͱ(iii) Λ࣍ͷੑ࣭ʹஔ͖͑ͨͷཱ͕͢Δͱ ͖, F Λ༗ݶՃ๏ͱ͍͏: (iii′) A1, A2∈ F ͳΒ A 1∪ A2∈ F. ͨͩ͠ Ac A ͷ (Ω Λશମू߹ͱͯ͠ͷ) ิू߹Λ ද͢. ∞ ∩ k=1 Ak = (∞ ∪ k=1 Ack )c ʹҙ͢Δͱ, Ak∈ F (k ∈ N) ͳΒ ∞ ∩ k=1 Ak∈ F ͔Δ. ·ͨ, ∅ Ͱۭू߹Λද͢ͱ, ∅ = Ωc∈ F Ͱ͋Δ. (iii) Ͱ Ak = ∅ (k ≥ 3) ͱ͓͚, (iii′) ͕ಘΒΕΔ͔ Β, σ-Ճ๏༗ݶՃ๏Ͱ͋Δ. ٯҰൠʹਖ਼͘͠ ͳ͍3. ྫ͑, ฏ໘શମͷ “໘ੵ” Λߟ͑Δͱ, ͦΕ༗ݶͷ Ͱͳ͍Ͱ͋Ζ͏. ͦͷҙຯͰ “໘ੵ” ʹ ∞ ͷڐ ͓ͯ͘͠ͱศརͰ͋Δ4. “໘ੵ” Λهड़͢Δݴ༿Λ ΓநతͳΈͰ༻ҙ͓ͯ͘͠. 3ঘ, (iii′) Λؼೲతʹద༻͢Δͱ, ࣍ͷ͜ͱͷཱ༰қʹΘ͔Δ: (iii′′) K Λࣗવͱ͢Δ. A1, A2, . . . , AK∈ F ͳΒ K ∪ k=1 Ak∈ F. 4ҙͷ a ∈ R ʹରͯ͠, a < ∞ ͱ͢Δ. ·ͨ a ∈ R ∪ {∞} ʹ ରͯ͠ a + ∞ = ∞ + a := ∞ ͱఆΊΔ. ·ͨ a > 0 ʹରͯ͠ a· ∞ = ∞ · a := ∞ ͱ͠, 0 · ∞ = ∞ · 0 = 0 ͱ͓ͯ͘͠. ͨͩ͠ ∞ ʹΑΔׂΓࢉҾ͖ࢉߟ͑ͳ͍.ଘࡏΛೝࣝ͢Δ͜ͱେͰ͋Δ. ԁͷ໘ੵΛٻΊΔ ͜ͱ, ͦͷୈҰาͱߟ͑ΒΕΔ. ͦͷࢦಋաఔ, ԁͷ ໘ੵͷݟੵΓ͔Β࢝·Γ, ԁΛΈͨ͠ਤܗ͔Β ํܗͷۃݶҠߦΛ௨ͯ͠ٻΊΔ͜ͱͱͳ͍ͬͯΔ. ͜ ͷۃݶҠߦΛਖ਼Խ͢Δʹ, ੑ࣭ (A) Λ༻͍ͨ͞Έ ͏ͪͷٞʹՃ͑ͯԁप(ۂઢͷ͞) ͷఆٛͷݫີԽ ඞཁͱͳΔ. ͜ͷΑ͏ͳ͠͞ΛؚΉԁͷٻੵ, ֶ తʹݫີੑΛ͍ܽͨࢦಋͱͳΒ͟ΔΛಘͳ͍ͷͰ, খֶ ߍʹ͓͚Δ໘ੵͷࢦಋʹ͓͍ͯ, ୯ݩʮԁͷ໘ੵʯ, ࠷ ҙ͖͢୯ݩͷҰͭͱߟ͑ͯΑ͍ͩΖ͏. 3.5 “໘ੵ” ʹରͯ͠ཁٻ͞ΕΔੑ࣭ ͜Ε·Ͱͷ͜ͱΛ·ͱΊΔͱ, খֶߍͷஈ֊Ͱͷ “໘ੵ” ʹؔ͢ΔਪͰ༻͍ΒΕ͍ͯΔੑ࣭ͱͯ࣍͠ͷ4 ͕ͭ ͋͛ΒΕΔ(ޙͷ߹ͰॱংΛม͑ͨ. ҎԼͰ͜ͷ൪ ߸ͰҾ༻͢Δ). (I) 1 ล͕ 1 ͷਖ਼ํܗͷ໘ੵ 1 Ͱ͋Δ. (II) ͋ΔਤܗΛ 2 ͭ, ·ͨͦΕҎ্ʹׂͨ͠ͱ͖, ׂ͞Εͨਤܗͷ໘ੵΛ͠߹ΘͤΔͱ, ͱͷਤ ܗͷ໘ੵͱมΘΒͳ͍. (III) ҠಈʢฏߦҠಈ, ճస, ཪฦ͠) ͯ͠໘ੵมΘ Βͳ͍. (IV) ༩͑ΒΕͨ 2 ͭͷਤܗʹରͯ͠, ͋ΔਤܗΛؚΉ ਤܗؚ·ΕΔਤܗΑΓ໘ੵ͕େ͖͍. ঘ, ਤܗΛ 2 ͭʹׂͨ͠ͱ͖, ׂઢͲͪΒʹଐ͢Δ ͷ͔ͳͲ, ᐆດͳ෦͕͋Δ͕, ͦΕʹ͍ͭͯޙ΄Ͳਖ਼ ֬ʹड़Δ. ·ͨ, (III) ͷཪฦ͠ʹؔ͢Δෆมੑ, ڭ Պॻʹ໌֬ʹݱΕͳ͍͕, ͜Ε “େ͖͞ͱܗΛม͑ ͳ͍ม”(ΑΓਖ਼֬ʹ߹ಉม) Ͱ͋Δ͔ΒؚΊ͓ͯ ͍ͨ. ٯʹ͜ΕҎ֎ͷੑ࣭༻͍ΒΕ͍ͯͳ͍͔Β, ໘ੵͱ ਤܗʹରͯ͠ఆٛ͞Ε্ͨͷ4 ͭͷੑ࣭Λຬͨ͢ྔͰ ͋Δͱ͍ͬͯΑ͍. ্ͷ(I)ʙ(IV) Λຬͨ͢໘ੵ͕͋ͬͨͱ͖, (I) Λྫ͑ ʮ1 ล͕ 1 ͷਖ਼ํܗͷ໘ੵ a Ͱ͋Δʯ(ͨͩ͠ a > 0 ͱ͢Δ) ʹஔ͖͑, (II)ʙ(IV) Λͦͷ··ຬͨ͢Α͏ͳ ໘ੵ, ݩͷ໘ੵΛ a ഒ͢ΕಘΒΕΔ. ·ͨ (I) Λྫ͑ ʮ1 ล͕ b ͷਖ਼ํܗͷ໘ੵ 1 Ͱ͋Δʯ(ͨͩ͠ b > 0 ͱ͢Δ) ʹஔ͖͑ͨͷ, ݩͷ໘ੵΛ 1/b2ഒ͢Ε ಘΒΕΔ. ͜ͷΑ͏ʹ (I) ج४ͱͳΔେ͖͞ΛܾΊΔ Ҏ্ͷҙຯͳ͍ͱݴ͑Δ. ͜Ε໘ੵΛද͢୯Ґͷ બͼํʹࣗ༝͕͋Δ͜ͱʹରԠ͍ͯ͠Δ. ֶతʹ, ຊʹ্Ͱड़ͨΑ͏ͳੑ࣭Λͭྔ͕ ఆٛͰ͖Δ͔Ͳ͏͔ͱ͍͏͕͋Δ. ໘ੵମੵ (͋Δ ͍֬) ͱ͍͏Α͏ͳ֓೦ΛநԽͨ͠ଌͱ͍͏ ֶత֓೦͕19 ੈل͔Β 20 ੈلॳ಄ʹܗ͞Εͨ. ͜ ͷଌʹΑΓ্ͷ͍ʹຬͷ͍͘ղΛ༩͑Δ͜ ͱ͕Ͱ͖Δ. ࣍અͰଌʹ͍ͭͯ֓આ͢Δ.
4
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µ(A1∪ A2) = µ(A1) + µ(A2).
µ ͕ (Ω,F) ্ͷଌͰ͋Ε, ༗ݶՃ๏తଌͰ͋Δ ͜ͱ༰қʹΘ͔ΔͰ͋Ζ͏. ໋ 4.3. µ ͕ (Ω, F) ্ͷଌ (͋Δ͍༗ݶՃ๏ తଌ) ͱ͢Δ. A, B ∈ F ʹରͯ͠ A ⊂ B ͳΒ µ(A)≤ µ(B) ཱ͕͢Δ. ࣮ࡍ, B = A ∪ (Ac∩ B) ͓Αͼ A ∩ (Ac∩ B) = ∅ Ͱ͋ Δ͔Β µ(B) = µ(A) + µ(Ac ∩ B) ≥ µ(A) ཱ͕͢Δ. ໋4.4. µ : F → [0, ∞) ∪ {∞} ͕ (2) ͱ (1′) µ(A) < ∞ ͱͳΔ A ∈ F ͕ଘࡏ͢Δ Λຬͨͤ µ (Ω, F) ্ͷଌͱͳΔ. ٯཱ͢Δ. ಉ༷ͷ͜ͱ͕༗ݶՃ๏తଌʹରཱͯ͢͠Δ. ࣮ࡍ, p = µ(∅) ͱ͓͖, (2) Λ A1= A, Ak= ∅ (k ≥ 2) ͱͯ͠ద༻͢Δͱ µ(A) + ∞ ∑ k=2 p = ∞ ∑ k=1 µ(Ak) = µ (∞ ∪ k=1 Ak ) = µ(A) < ∞ ΑΓ, p = 0 Ͱ͋Δ (ಉ༷ʹ (2′) Λ༻͍Δͱ µ(A) + p = µ(A) + µ(∅) = µ(A ∪ ∅) = µ(A) < ∞ ΑΓ, p = 0 Λ ಘΔ). Αͬͯ (1) ཱ͕͢Δ. ٯʹ (1) ͕Γཱͯ A =∅ ͱͯ͠ (1′) ཱ͕͢Δ. ฏ໘Λ R2 ͱΈͳ͠, (ᐆດͳදݱͰ͋Δ͕)“ਤܗ” ͷू·ΓΛ F ͱॻ͍ͨͱ͠Α͏ (“ਤܗ” R2 ͷ෦ ू߹ͱߟ͍͑ͯΔ). ͋Δਤܗͷ֎෦Λ·ͨ “ਤܗ” ͱߟ ͑Δ͜ͱ, “ਤܗ” Λ͋Θͤͨͷ, ·ͨ “ਤܗ” ͱΈ ͳ͢͜ͱࣗવͰ͋Δ͔Β, “ਤܗ” ͷू·Γ F ༗ݶ Ճ๏Ͱ͋Δͱߟ͑ͯΑ͍ͩΖ͏. ͦ͜Ͱ A ∈ F ͷ໘ ੵΛ µ(A) Ͱද͢ͱલઅʹ্͛ͨ໘ੵͷੑ࣭ͱ࣍ͷΑ ͏ʹ͍͏͜ͱ͕Ͱ͖Δ: (1′′) µ([0, 1] × [0, 1])= 1 ཱ͕. (2′′) A 1ͱ A2ʹରͯ͠ A1∩ A2͕ۭ͘͠༗ݶݸͷ ઢͷΈ߹ΘͤͰ͔͚ΔͳΒ5, µ(A 1∪ A2) = µ(A1) + µ(A2). (3) O Λ R2 ͷ߹ಉม6ͱ͢Δͱ͖, A ∈ F ͳΒ O(A)∈ F Ͱ͋ͬͯ, µ(O(A))= µ(A).
(4) A ⊂ B ͳΒ, µ(A) ≤ µ(B). (1′′) (1′) ͷಛผͳ߹Ͱ͋Γ, (2′′) ͔Β (2′) ͕ै͏͔ Β, ໋ 4.4 ΑΓ µ ༗ݶՃ๏తଌͰ͋Δ. ͕ͨͬͯ͠ ໋4.3 ΑΓ (4) ࣗಈతʹཱ͢Δ͜ͱ͕Θ͔Δ. Ҏ ্͔Βຊ࣭తͳੑ࣭(1′′), (2′′), (3) Ͱ͋Δ. ͜ͷΑ͏ ͳੑ࣭Λຬͨ͢“໘ੵ” ͷଘࡏখֶߍҎ߱ߴߍʹࢸΔ ·Ͱ؍తʹೝΊ͍ͯͨͷ͕ͩ, ࣮ࡍʹֶతʹଘࡏΛ ূ໌͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ·ͣ R2 ʹ͓͚Δ࠷جຊతͳ ଌͰ͋Δϧϕʔάଌͷߏ๏Λ(ূ໌ൈ͖ʹ) ֓؍͠ ͓ͯ͜͏.
I ͕ R ͷ۠ؒͰ͋Δͱ [a, b], (a, b), (a, b], [a, b) ͷ ͍ͣΕ͔Ͱॻ͚Δ͜ͱΛ͍͏(a = −∞ b = ∞ ڐ ͢). ͜͜Ͱ (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} ͳͲͰ͋Δ. |[a, b]| = |(a, b)| = |(a, b]| = |[a, b)| := b − a ͱ͓͘7. R2ͷ෦ू߹ A ͕جຊਤܗͰ͋Δͱ, I 1×J1, . . . , IK× JK ͕ޓ͍ʹૉʹͳΔΑ͏ͳ༗ݶݸͷ۠ؒ I1, . . . , IK ͱ J1, . . . , JK ͕ͱΕͯ A = K ∪ k=1 (Ik× Jk) ͱॻ͚Δ͜ͱΛ͍͏. ͜ͷͱ͖ m(A) := K ∑ k=1 |Ik| |Jk| ͱ͓͘. A ͷද͠ํ 1 ௨ΓͱݶΒͳ͍͕, m(A) ද ͠ํʹΑΒͣʹఆ·Δ͜ͱΛࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δ. جຊਤ 5࣮ࡍʹ࿈ଓۂઢͷ߹ͤͰΑ͍͕, খֶߍͷڭՊॻͰݱΕΔͷ ઢͷΈͰ͋Δ͔Β, ؆୯ͷͨΊ͜ͷΑ͏ʹͨ͠. 6O ͕ R2 ͷ߹ಉมͰ͋Δͱ, O ͕͞Λม͑ͳ͍ (ͭ·Γ |O(x)| = |x| ͕ x ∈ R2ʹରͯ͠Γཱͭ) ઢܗมͰ͋Δ͜ͱΛҙ ຯ͢Δ.R2ʹ͓͚Δ߹ಉม, ฏߦҠಈ, ڸөҠಈ, ճసҠಈͷ߹ Ͱॻ͚Δ͜ͱΒΕ͍ͯΔ. 7a =−∞ ·ͨ b = ∞ ͷͱ͖, b − a = ∞ ͱΈͳ͢. ܗશମͷΛ E ͱ͓͘ͱ, E ༗ݶՃ๏ͱͳΔ. ·ͨ, m (R2,E) ্ͷ༗ݶՃ๏తଌͱͳΔ. ؍తʹ, ۠ ؒ I, J ʹରͯ͠ I × J ํܗ8Λද͠, |I| |J| ͦͷ ໘ੵͰ͋Δ. ͦͯ͠جຊਤܗͱ༗ݶݸͷํܗΛॏͳ Βͳ͍Α͏ʹΈ߹ΘͤͯͰ͖ΔਤܗͰ͋Γ, ͦͷ໘ੵ Λ‘ߏ͢Δํܗͷ໘ੵͷ’ ͱఆٛͨ͜͠ͱʹͳΔ. Ұൠʹ A ⊂ R2 ʹରͯ͠ m∗(A) := inf {∞ ∑ k=1 m(Bk) � � � A ⊂ ∞ ∪ k=1 Bk, Bk∈ E } ͱఆΊ9, ͜ΕΛ A ͷϧϕʔά֎ଌͱݺͿ. ؍తʹ , A Λ෴͏Α͏ͳجຊਤܗͷͷ໘ੵͷͷͳ͔Ͱ࠷ খ͍͞ͷΛٻΊ͍ͯΔ͜ͱʹͳΔ. ԁͷ໘ੵΛٻΊ Δํ๏ͷҰͭͱͯ͠, ͞·͟·ͳେ͖͞ͷϚεΛ࣋ͭ ํ؟ࢴʹԁΛॻ͍ͯ, ԁΛؚΉϚεͷΛ͑Δ͜ͱ ͱͷྨࣅੑ͕ݟͯͱΕΔͰ͋Ζ͏. ͨͩ͜͜͠ͰϚε ͷେ͖༷͞ʑͳͷ͕ࠞࡏͯ͠Α͍͠, ݸແݶ ʹ͋ͬͯΑ͍ͱ͜Ζ͕ҧ͏Ͱ͋Δ. Ak ΛR2ͷ෦ू߹ͱ͢Δͱ m∗ (∞ ∪ k=1 Ak ) ≤ ∞ ∑ k=1 m∗(Ak) ͱͳΔ͜ͱΛࣔ͢͜ͱͰ͖Δ͕, ෆ߸Λ߸ʹஔ͖ ͑ͨͷ Ak ͕ޓ͍ʹૉͰ͋ͬͯҰൠʹਖ਼͘͠ ͳ͍. ͔͠͠, k ∈ N ʹରͯ͠ Ak ͕ޓ͍ʹૉͳ։ू߹ (ͭ·Γ؍తʹ͍͑ڥքΛؚ·ͳ͍ू߹) ͷͱ͖, m∗ (∞ ∪ k=1 Ak ) =∑∞ k=1 m∗(Ak) ཱ͕͢Δ10. ͦ͜Ͱ࣍ͷΑ͏ͳ෦ू߹Λಋೖ͢ Δ: A ⊂ R2 ͕ϧϕʔάՄଌू߹Ͱ͋Δͱ, ͲͷΑ ͏ͳਖ਼ͷ ε ͕༩͑ΒΕͯ, ͋Δ։ू߹ U ͕ͱΕͯ m∗(A ∩ Uc) < ε ͱͳΔ͜ͱΛ͍͏. ؍తʹϧϕʔά Մଌू߹ͱ, ֎ଌ͕͍͘ΒͰ͍ۙ։ू߹͕ͱΕΔΑ ͏ͳू߹Ͱ͋Δ. ϧϕʔάՄଌू߹ͷશମΛ L ͱॻ͘ͱ, L σ-Ճ๏ͱͳΓ, A ∈ L ʹରͯ͠ µ(A) := m∗(A) ͱ͓͘ͱ, µ (R2, L) ্ͷଌͱͳΔ. ͜ͷଌΛϧ ϕʔάଌͱݺͿ. 8[a, b]× [c, d] ͳΒลΛશؚͯΈ, (a, b) × (c, d) ͳΒลҰ ؚ·ͳ͍. (a, b] × (c, d] ͳΒ্ͱӈͷลؚΉ͕, Լͱࠨͷลؚ ·ͳ͍. 9X⊂ [0, ∞) ∪ {∞} ͱ͢Δͱ͖, m ≤ x ͕શͯͷ x ∈ X ʹର͠ ͯΓཱͭΑ͏ͳ m ∈ [0, ∞) ∪ {∞} ͷதͰ࠷େͷͷΛ inf X ͱ ॻ͘. inf X [0, ∞) ∪ {∞} ͷൣғͰඞͣଘࡏ͢Δ. 10։ू߹ A ʹରͯ͠, ޓ͍ʹૉͳجຊਤܗ B k (k∈ N) Ͱ A = ∪∞ k=1Bk͔ͭ m∗(A) =∑∞k=1m(Bk) ͱͳΔͷ͕ଘࡏ͢Δ͜ͱΛ ༻͍Δ. ϧϕʔάଌ͕զʑͷٻΊΔ໘ੵͷੑ࣭Λͭ͜ͱΛ ࣔ͢લʹগ͠ҙΛड़Δ. બެཧͷԼͰ, R2ͷ෦ ू߹ͰϧϕʔάՄଆू߹Ͱͳ͍ͷ͕ଘࡏ͢Δ. ͠ ͕ͨͬͯϧϕʔάଌͷఆ·Βͳ͍ू߹͕ଘࡏ͢Δ. ͠ ͔͠, ͨͱ͑։ू߹ดू߹શͯϧϕʔάՄଌू߹ Ͱ͋Δ͜ͱ͕͔Γ, ௨ৗ “ਤܗ” ͱͯ͠ఆ͢ΔΑ͏ͳ ͷશͯϧϕʔάՄଌू߹Ͱ͋Δͱߟ͑ͯΑ͍. ·ͣجຊਤܗͷଌͷఆΊํ͔Β, (1′′) ཱ͕͢Δ͜ ͱ͕͔Δ. ·ͨ֎ଌͷఆٛΑΓ, ઢͷଌ 0 ͱ ͳΔ͜ͱ͕͔Δ11. ͕ͨͬͯ͠, ༗ݶݸͷઢ͔ΒͳΔ ू߹ͷଌ0 Ͱ͋Δ. Ҏ্ʹҙ͢Δͱ (2′′) ͷཱ ࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ࣮ࡍ, A1∩ A2͕༗ݶݸͷઢͰ͔ ͚ΔͳΒ, ࠓࣔͨ͜͠ͱ͔Β µ(A1∩ A2) = 0 Ͱ͋Δ. Αͬͯ µ(A1) = µ(A1∩ Ac2) + µ(A1∩ A2) = µ(A1∩ Ac2) ͱͳΔ. ಉ༷ʹ µ(A2) = µ(A2∩ Ac1) Ͱ͋Δ. A1∩ Ac2, A2∩ Ac
1, A1∩ A2ޓ͍ʹૉͰ͋Γ, ͜ΕΒͷू߹ A1∪ A2 Ͱ͋Δ. ͕ͨͬͯ͠
µ(A1∪ A2) =µ(A1∩ Ac2) + µ(A2∩ Ac1) + µ(A1∩ A2) = µ(A1) + µ(A2) ͱͳΓ, (2′′) ͕ࣔ͞Εͨ. جຊਤܗͷฏߦҠಈ, ڸөҠಈ جຊਤܗͱͳΓ, ଌෆมͰ͋Δ͜ͱ͕͔Δ͔Β, A∈ L ͷฏߦҠಈ, ڸөҠಈϧϕʔάՄଌू߹Ͱ͋ͬ ͯଌ͕ෆมͰ͋Δࣄ༰қʹಘΒΕΔ. ճసҠಈ O ʹ ؔͯ͠, جຊਤܗΛճసͤͨ͞ͷҰൠʹجຊਤ ܗͰͳ͍͕, Ek ∈ E (k ∈ N) ͕༩͑ΒΕͨͱ͖, ҙ ͷ ε > 0 ʹରͯ͠, Fk ∈ E ͕ͱΕͯ, ∞ ∪ k=1 O(Ek) ⊂ ∞ ∪ k=1 Fk, ∞ ∑ k=1 m(Fk) ≤ ∞ ∑ k=1 m(Ek) + ε ͱͰ͖Δ͜ͱΛ༻͍Ε12, O(A) ∈ L ͓Αͼ m∗(O(A))= m∗(A) (͢ͳΘͪ µ(A) = µ(O(A))) Λࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖ Δ. Αͬͯ (3) ΛಘΔ. Ҏ্͔Β, F = L, µ Λϧϕʔάଌͱ͢Ε໘ੵʹର ͯ͠ٻΊΔੑ࣭͕ຬͨ͞ΕΔ͜ͱ͕Θ͔ͬͨ. ͜͜Ͱ ϧϕʔάଌͷߏR2ͰΛਐΊ͕ͨҰൠͷRn ͷ ߹ಉ༷ʹߏ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ಛʹ R3 ͷ߹ ମੵͱ͍͏֓೦ͷਖ਼ԽΛ༩͑Δ. ঘ, A ∈ L ʹରͯ͠ ϧϕʔάଌͱҰக͢ΔΑ͏ͳ, R2 (͘͠ R) ͷ ෦ू߹શମʹରͯ͠ఆٛ͞Εͨ༗ݶՃ๏తଌଘࡏ 11ྫ͑ L = {(x, 1) | a ≤ x ≤ b} ε > 0 ͱ͢Δͱجຊਤܗ [a, b]× [1 − ε/2, 1 + ε/2] Ͱ෴͏͜ͱ͕Ͱ͖Δ͔Β, µ(L) ≤ ε(b − a) Ͱ͋Δ. ε > 0 ҙʹબΔ͔Β µ(L) = 0 Ͱ͋Δ. 12͜ΕʹΑΓ m∗(O(A))≤ m∗(A) + ε ͕ҙͷ ε > 0 ʹରͯ͠
ཱ͢Δ͔Β m∗(O(A))≤ m∗(A) ΛಘΔ. ଞํ, A = O−1(O(A))
Ͱ O−1ճసҠಈ͔ͩΒ m∗(A)≤ m∗(O(A))Ͱ͋Γ, m∗(A) =
m∗(O(A))Ͱ͋Δ. ఆٛ4.2 (ଌ). Ω Λू߹, Ω ͷ෦ू߹ͷ F Λ σ-Ճ๏ͱ͢Δ. ࣸ૾ µ : F → [0, ∞) ∪ {∞} ͕ (Ω, F) ্ ͷଌͰ͋Δͱ, ࣍ͷੑ࣭Λຬͨ͢͜ͱΛ͍͏: (1) µ(∅) = 0. (2) Ak ∈ F (k ∈ N) ͕ޓ͍ʹૉͰ͋Δ, ͢ͳΘͪ j ̸= k ͳΒ Aj∩ Ak = ∅ Ͱ͋Δͱ͖, µ (∞ ∪ k=1 Ak ) = ∞ ∑ k=1 µ(Ak). F ͕༗ݶՃ๏Ͱ͋ͬͯ, ্ه (1) ͓Αͼ, ࣍ͷ (2′) ͕Γཱͭͱ͖, ࣸ૾ µ : F → [0, ∞) ∪ {∞} Λ༗ݶՃ๏ తଌ(͋Δ͍δϣϧμϯଌ) ͱݺͿ: (2′) A1, A2∈ F ͕ޓ͍ʹૉͰ͋Δͱ͖,
µ(A1∪ A2) = µ(A1) + µ(A2).
µ ͕ (Ω,F) ্ͷଌͰ͋Ε, ༗ݶՃ๏తଌͰ͋Δ ͜ͱ༰қʹΘ͔ΔͰ͋Ζ͏. ໋ 4.3. µ ͕ (Ω, F) ্ͷଌ (͋Δ͍༗ݶՃ๏ తଌ) ͱ͢Δ. A, B ∈ F ʹରͯ͠ A ⊂ B ͳΒ µ(A)≤ µ(B) ཱ͕͢Δ. ࣮ࡍ, B = A ∪ (Ac ∩ B) ͓Αͼ A ∩ (Ac ∩ B) = ∅ Ͱ͋ Δ͔Β µ(B) = µ(A) + µ(Ac ∩ B) ≥ µ(A) ཱ͕͢Δ. ໋ 4.4. µ : F → [0, ∞) ∪ {∞} ͕ (2) ͱ (1′) µ(A) < ∞ ͱͳΔ A ∈ F ͕ଘࡏ͢Δ Λຬͨͤ µ (Ω, F) ্ͷଌͱͳΔ. ٯཱ͢Δ. ಉ༷ͷ͜ͱ͕༗ݶՃ๏తଌʹରཱͯ͢͠Δ. ࣮ࡍ, p = µ(∅) ͱ͓͖, (2) Λ A1= A, Ak= ∅ (k ≥ 2) ͱͯ͠ద༻͢Δͱ µ(A) + ∞ ∑ k=2 p = ∞ ∑ k=1 µ(Ak) = µ (∞ ∪ k=1 Ak ) = µ(A) < ∞ ΑΓ, p = 0 Ͱ͋Δ (ಉ༷ʹ (2′) Λ༻͍Δͱ µ(A) + p = µ(A) + µ(∅) = µ(A ∪ ∅) = µ(A) < ∞ ΑΓ, p = 0 Λ ಘΔ). Αͬͯ (1) ཱ͕͢Δ. ٯʹ (1) ͕Γཱͯ A =∅ ͱͯ͠ (1′) ཱ͕͢Δ. ฏ໘Λ R2 ͱΈͳ͠, (ᐆດͳදݱͰ͋Δ͕)“ਤܗ” ͷू·ΓΛ F ͱॻ͍ͨͱ͠Α͏ (“ਤܗ” R2 ͷ෦ ू߹ͱߟ͍͑ͯΔ). ͋Δਤܗͷ֎෦Λ·ͨ “ਤܗ” ͱߟ ͑Δ͜ͱ, “ਤܗ” Λ͋Θͤͨͷ, ·ͨ “ਤܗ” ͱΈ ͳ͢͜ͱࣗવͰ͋Δ͔Β, “ਤܗ” ͷू·Γ F ༗ݶ Ճ๏Ͱ͋Δͱߟ͑ͯΑ͍ͩΖ͏. ͦ͜Ͱ A ∈ F ͷ໘ ੵΛ µ(A) Ͱද͢ͱલઅʹ্͛ͨ໘ੵͷੑ࣭ͱ࣍ͷΑ ͏ʹ͍͏͜ͱ͕Ͱ͖Δ: (1′′) µ([0, 1] × [0, 1])= 1 ཱ͕. (2′′) A 1 ͱ A2ʹରͯ͠ A1∩ A2͕ۭ͘͠༗ݶݸͷ ઢͷΈ߹ΘͤͰ͔͚ΔͳΒ5, µ(A 1∪ A2) = µ(A1) + µ(A2). (3) O Λ R2 ͷ߹ಉม6ͱ͢Δͱ͖, A ∈ F ͳΒ O(A)∈ F Ͱ͋ͬͯ, µ(O(A))= µ(A).
(4) A ⊂ B ͳΒ, µ(A) ≤ µ(B). (1′′) (1′) ͷಛผͳ߹Ͱ͋Γ, (2′′) ͔Β (2′) ͕ै͏͔ Β, ໋ 4.4 ΑΓ µ ༗ݶՃ๏తଌͰ͋Δ. ͕ͨͬͯ͠ ໋4.3 ΑΓ (4) ࣗಈతʹཱ͢Δ͜ͱ͕Θ͔Δ. Ҏ ্͔Βຊ࣭తͳੑ࣭(1′′), (2′′), (3) Ͱ͋Δ. ͜ͷΑ͏ ͳੑ࣭Λຬͨ͢“໘ੵ” ͷଘࡏখֶߍҎ߱ߴߍʹࢸΔ ·Ͱ؍తʹೝΊ͍ͯͨͷ͕ͩ, ࣮ࡍʹֶతʹଘࡏΛ ূ໌͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ·ͣ R2 ʹ͓͚Δ࠷جຊతͳ ଌͰ͋Δϧϕʔάଌͷߏ๏Λ(ূ໌ൈ͖ʹ) ֓؍͠ ͓ͯ͜͏.
I ͕R ͷ۠ؒͰ͋Δͱ [a, b], (a, b), (a, b], [a, b) ͷ ͍ͣΕ͔Ͱॻ͚Δ͜ͱΛ͍͏(a = −∞ b = ∞ ڐ ͢). ͜͜Ͱ (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} ͳͲͰ͋Δ. |[a, b]| = |(a, b)| = |(a, b]| = |[a, b)| := b − a ͱ͓͘7. R2ͷ෦ू߹ A ͕جຊਤܗͰ͋Δͱ, I 1×J1, . . . , IK× JK ͕ޓ͍ʹૉʹͳΔΑ͏ͳ༗ݶݸͷ۠ؒ I1, . . . , IK ͱ J1, . . . , JK ͕ͱΕͯ A = K ∪ k=1 (Ik× Jk) ͱॻ͚Δ͜ͱΛ͍͏. ͜ͷͱ͖ m(A) := K ∑ k=1 |Ik| |Jk| ͱ͓͘. A ͷද͠ํ 1 ௨ΓͱݶΒͳ͍͕, m(A) ද ͠ํʹΑΒͣʹఆ·Δ͜ͱΛࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δ. جຊਤ 5࣮ࡍʹ࿈ଓۂઢͷ߹ͤͰΑ͍͕, খֶߍͷڭՊॻͰݱΕΔͷ ઢͷΈͰ͋Δ͔Β, ؆୯ͷͨΊ͜ͷΑ͏ʹͨ͠. 6O ͕R2 ͷ߹ಉมͰ͋Δͱ, O ͕͞Λม͑ͳ͍ (ͭ·Γ |O(x)| = |x| ͕ x ∈ R2ʹରͯ͠Γཱͭ) ઢܗมͰ͋Δ͜ͱΛҙ ຯ͢Δ.R2ʹ͓͚Δ߹ಉม, ฏߦҠಈ, ڸөҠಈ, ճసҠಈͷ߹ Ͱॻ͚Δ͜ͱΒΕ͍ͯΔ. 7a =−∞ ·ͨ b = ∞ ͷͱ͖, b − a = ∞ ͱΈͳ͢. 挙
−163− ܗશମͷΛ E ͱ͓͘ͱ, E ༗ݶՃ๏ͱͳΔ. ·ͨ, m (R2,E) ্ͷ༗ݶՃ๏తଌͱͳΔ. ؍తʹ, ۠ ؒ I, J ʹରͯ͠ I × J ํܗ8Λද͠, |I| |J| ͦͷ ໘ੵͰ͋Δ. ͦͯ͠جຊਤܗͱ༗ݶݸͷํܗΛॏͳ Βͳ͍Α͏ʹΈ߹ΘͤͯͰ͖ΔਤܗͰ͋Γ, ͦͷ໘ੵ Λ‘ߏ͢Δํܗͷ໘ੵͷ’ ͱఆٛͨ͜͠ͱʹͳΔ. Ұൠʹ A ⊂ R2 ʹରͯ͠ m∗(A) := inf {∞ ∑ k=1 m(Bk) � � � A ⊂ ∞ ∪ k=1 Bk, Bk∈ E } ͱఆΊ9, ͜ΕΛ A ͷϧϕʔά֎ଌͱݺͿ. ؍తʹ , A Λ෴͏Α͏ͳجຊਤܗͷͷ໘ੵͷͷͳ͔Ͱ࠷ খ͍͞ͷΛٻΊ͍ͯΔ͜ͱʹͳΔ. ԁͷ໘ੵΛٻΊ Δํ๏ͷҰͭͱͯ͠, ͞·͟·ͳେ͖͞ͷϚεΛ࣋ͭ ํ؟ࢴʹԁΛॻ͍ͯ, ԁΛؚΉϚεͷΛ͑Δ͜ͱ ͱͷྨࣅੑ͕ݟͯͱΕΔͰ͋Ζ͏. ͨͩ͜͜͠ͰϚε ͷେ͖༷͞ʑͳͷ͕ࠞࡏͯ͠Α͍͠, ݸແݶ ʹ͋ͬͯΑ͍ͱ͜Ζ͕ҧ͏Ͱ͋Δ. Ak ΛR2ͷ෦ू߹ͱ͢Δͱ m∗ (∞ ∪ k=1 Ak ) ≤ ∞ ∑ k=1 m∗(Ak) ͱͳΔ͜ͱΛࣔ͢͜ͱͰ͖Δ͕, ෆ߸Λ߸ʹஔ͖ ͑ͨͷ Ak ͕ޓ͍ʹૉͰ͋ͬͯҰൠʹਖ਼͘͠ ͳ͍. ͔͠͠, k ∈ N ʹରͯ͠ Ak ͕ޓ͍ʹૉͳ։ू߹ (ͭ·Γ؍తʹ͍͑ڥքΛؚ·ͳ͍ू߹) ͷͱ͖, m∗ (∞ ∪ k=1 Ak ) =∑∞ k=1 m∗(Ak) ཱ͕͢Δ10. ͦ͜Ͱ࣍ͷΑ͏ͳ෦ू߹Λಋೖ͢ Δ: A ⊂ R2 ͕ϧϕʔάՄଌू߹Ͱ͋Δͱ, ͲͷΑ ͏ͳਖ਼ͷ ε ͕༩͑ΒΕͯ, ͋Δ։ू߹ U ͕ͱΕͯ m∗(A ∩ Uc) < ε ͱͳΔ͜ͱΛ͍͏. ؍తʹϧϕʔά Մଌू߹ͱ, ֎ଌ͕͍͘ΒͰ͍ۙ։ू߹͕ͱΕΔΑ ͏ͳू߹Ͱ͋Δ. ϧϕʔάՄଌू߹ͷશମΛ L ͱॻ͘ͱ, L σ-Ճ๏ͱͳΓ, A ∈ L ʹରͯ͠ µ(A) := m∗(A) ͱ͓͘ͱ, µ (R2, L) ্ͷଌͱͳΔ. ͜ͷଌΛϧ ϕʔάଌͱݺͿ. 8[a, b]× [c, d] ͳΒลΛશؚͯΈ, (a, b) × (c, d) ͳΒลҰ ؚ·ͳ͍. (a, b] × (c, d] ͳΒ্ͱӈͷลؚΉ͕, Լͱࠨͷลؚ ·ͳ͍. 9X⊂ [0, ∞) ∪ {∞} ͱ͢Δͱ͖, m ≤ x ͕શͯͷ x ∈ X ʹର͠ ͯΓཱͭΑ͏ͳ m ∈ [0, ∞) ∪ {∞} ͷதͰ࠷େͷͷΛ inf X ͱ ॻ͘. inf X [0, ∞) ∪ {∞} ͷൣғͰඞͣଘࡏ͢Δ. 10։ू߹ A ʹରͯ͠, ޓ͍ʹૉͳجຊਤܗ B k (k∈ N) Ͱ A = ∪∞ k=1Bk͔ͭ m∗(A) =∑∞k=1m(Bk) ͱͳΔͷ͕ଘࡏ͢Δ͜ͱΛ ༻͍Δ. ϧϕʔάଌ͕զʑͷٻΊΔ໘ੵͷੑ࣭Λͭ͜ͱΛ ࣔ͢લʹগ͠ҙΛड़Δ. બެཧͷԼͰ, R2 ͷ෦ ू߹ͰϧϕʔάՄଆू߹Ͱͳ͍ͷ͕ଘࡏ͢Δ. ͠ ͕ͨͬͯϧϕʔάଌͷఆ·Βͳ͍ू߹͕ଘࡏ͢Δ. ͠ ͔͠, ͨͱ͑։ू߹ดू߹શͯϧϕʔάՄଌू߹ Ͱ͋Δ͜ͱ͕͔Γ, ௨ৗ “ਤܗ” ͱͯ͠ఆ͢ΔΑ͏ͳ ͷશͯϧϕʔάՄଌू߹Ͱ͋Δͱߟ͑ͯΑ͍. ·ͣجຊਤܗͷଌͷఆΊํ͔Β, (1′′) ཱ͕͢Δ͜ ͱ͕͔Δ. ·ͨ֎ଌͷఆٛΑΓ, ઢͷଌ 0 ͱ ͳΔ͜ͱ͕͔Δ11. ͕ͨͬͯ͠, ༗ݶݸͷઢ͔ΒͳΔ ू߹ͷଌ0 Ͱ͋Δ. Ҏ্ʹҙ͢Δͱ (2′′) ͷཱ ࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ࣮ࡍ, A1∩ A2͕༗ݶݸͷઢͰ͔ ͚ΔͳΒ, ࠓࣔͨ͜͠ͱ͔Β µ(A1∩ A2) = 0 Ͱ͋Δ. Αͬͯ µ(A1) = µ(A1∩ Ac2) + µ(A1∩ A2) = µ(A1∩ Ac2) ͱͳΔ. ಉ༷ʹ µ(A2) = µ(A2∩ Ac1) Ͱ͋Δ. A1∩ Ac2, A2∩ Ac
1, A1∩ A2ޓ͍ʹૉͰ͋Γ, ͜ΕΒͷू߹ A1∪ A2 Ͱ͋Δ. ͕ͨͬͯ͠
µ(A1∪ A2) =µ(A1∩ Ac2) + µ(A2∩ Ac1) + µ(A1∩ A2) = µ(A1) + µ(A2) ͱͳΓ, (2′′) ͕ࣔ͞Εͨ. جຊਤܗͷฏߦҠಈ, ڸөҠಈ جຊਤܗͱͳΓ, ଌෆมͰ͋Δ͜ͱ͕͔Δ͔Β, A∈ L ͷฏߦҠಈ, ڸөҠಈϧϕʔάՄଌू߹Ͱ͋ͬ ͯଌ͕ෆมͰ͋Δࣄ༰қʹಘΒΕΔ. ճసҠಈ O ʹ ؔͯ͠, جຊਤܗΛճసͤͨ͞ͷҰൠʹجຊਤ ܗͰͳ͍͕, Ek ∈ E (k ∈ N) ͕༩͑ΒΕͨͱ͖, ҙ ͷ ε > 0 ʹରͯ͠, Fk∈ E ͕ͱΕͯ, ∞ ∪ k=1 O(Ek) ⊂ ∞ ∪ k=1 Fk, ∞ ∑ k=1 m(Fk) ≤ ∞ ∑ k=1 m(Ek) + ε ͱͰ͖Δ͜ͱΛ༻͍Ε12, O(A) ∈ L ͓Αͼ m∗(O(A))= m∗(A) (͢ͳΘͪ µ(A) = µ(O(A))) Λࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖ Δ. Αͬͯ (3) ΛಘΔ. Ҏ্͔Β, F = L, µ Λϧϕʔάଌͱ͢Ε໘ੵʹର ͯ͠ٻΊΔੑ࣭͕ຬͨ͞ΕΔ͜ͱ͕Θ͔ͬͨ. ͜͜Ͱ ϧϕʔάଌͷߏR2 ͰΛਐΊ͕ͨҰൠͷRn ͷ ߹ಉ༷ʹߏ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ಛʹ R3 ͷ߹ ମੵͱ͍͏֓೦ͷਖ਼ԽΛ༩͑Δ. ঘ, A ∈ L ʹରͯ͠ ϧϕʔάଌͱҰக͢ΔΑ͏ͳ, R2 (͘͠ R) ͷ ෦ू߹શମʹରͯ͠ఆٛ͞Εͨ༗ݶՃ๏తଌଘࡏ 11ྫ͑ L = {(x, 1) | a ≤ x ≤ b} ε > 0 ͱ͢Δͱجຊਤܗ [a, b]× [1 − ε/2, 1 + ε/2] Ͱ෴͏͜ͱ͕Ͱ͖Δ͔Β, µ(L) ≤ ε(b − a) Ͱ͋Δ. ε > 0 ҙʹબΔ͔Β µ(L) = 0 Ͱ͋Δ. 12͜ΕʹΑΓ m∗(O(A))≤ m∗(A) + ε ͕ҙͷ ε > 0 ʹରͯ͠
ཱ͢Δ͔Β m∗(O(A))≤ m∗(A) ΛಘΔ. ଞํ, A = O−1(O(A))
Ͱ O−1ճసҠಈ͔ͩΒ m∗(A)≤ m∗(O(A))Ͱ͋Γ, m∗(A) =
m∗(O(A))Ͱ͋Δ. 7
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ɹ ͏ͳਖ਼ͷ ε ͕༩͑ΒΕͯ, A ΛؚΉ։ू߹ U ͕ͱΕͯ m∗(U ∩ Ac) < ε ͱͳΔ͜ͱΛ͍͏. ؍తʹϧϕʔά Մଌू߹ͱ, ֎ଌ͕͍͘ΒͰ͍ۙ։ू߹͕ͱΕΔΑ ͏ͳू߹Ͱ͋Δ. ϧϕʔάՄଌू߹ͷશମΛ L ͱॻ͘ͱ, L σ-Ճ๏ͱͳΓ, A ∈ L ʹରͯ͠ µ(A) := m∗(A) ͱ ͓͘ͱ, µ (R2,L) ্ͷଌͱͳΔ. ͜ͷଌΛϧϕʔ άଌͱݺͿ. c͢Δ(όφοϋ –ϑΥϯɾϊΠϚϯͷఆཧ). ͔͠͠ R3ʹ ͓͍ͯ, (બެཧͷԼͰ) ͜ͷΑ͏ͳ༗ݶՃ๏తଌ ଘࡏ͠ͳ͍͜ͱΒΕ͍ͯΔ.
5
͍͔ͭ͘ͷҙ
5.1 ํܗ (ਖ਼ํܗ) ͷ໘ੵͷެࣜ খֶߍʹ͓͍ͯ, ลͷ͕͞༗ཧ () ͷ߹ͷํ ܗ͘͠ਖ਼ํܗͷ໘ੵͷެࣜΛֶश͢Δ(༗ݶখ දهͷͰ༗ཧͷಛघͳ߹ʹա͗ͳ͍). ͓ͦΒ ͘ଟ͘ͷੜెͨͪ(͋Δ͍গͳ͔Β͵ڭࢣ) , தֶҎ ߱Ͱลͷ͕͞༗ཧͰͳ͘ແཧͷ߹ʹʮॎ × ԣʯͱ͍͏ެࣜͰํܗͷ໘ੵΛٻΊΔ͜ͱʹԿͷٙ ๊͍͍ͯͳ͍ͷͰͳ͍ͩΖ͏͔. ͔͠͠খֶߍͷڭ ՊॻͰ͋͘·Ͱʮެࣜʯͱͯ͠ಋ͍͍ͯΔͷͰ͋Δ͔ Β, ͜͜ʹΪϟοϓ͕͋Δ͜ͱೝ͓͖ࣝͯ͘͠Ͱ͋Ζ ͏. ͦͯ͜͠ͷΪϟοϓཱͨͳ͍ܗͰখֶߍͷڭՊ ॻதʹݱΕ͍ͯΔ. ԁͷ໘ੵΛٻΊΔ໘Ͱ, ܘ × ԁपͷͱ͍͏ํܗͷ໘ੵΛܭࢉ͢Δ. ԁपΛখ ֶߍͰ3.14 ͱ͍ͯ͠ΔͷͰ, ༗ཧ͔͠ݱΕ͍ͯͳ͍ Α͏ʹݟ͑Δ͕, ࣮ԁपແཧͰ͋Γ, ܘ͕༗ཧ ͷ߹ʹ, ԁपͷແཧͰ͋Δ. ͕ͨͬͯ͠, ͜ͷ෦Ͱਖ਼Խͷ͞Ε͍ͯͳ͍ެࣜΛ༻͍͍ͯΔ͜ͱ ʹͳΔ. ঘ, 4 અͰݟͨΑ͏ʹํܗͷ໘ੵʮॎ × ԣʯͰ͋Δ ͜ͱΛఆٛͱࢥͬͯཧΛల։͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ. ͋Δ ͍໘ੵͷੑ࣭(IV) Λ༻͍Δͱ, ลͷ͕͞༗ཧͷ ߹ͷެ͔ࣜΒ, ແཧͷ߹ͷެࣜΛҎԼͷΑ͏ʹಋ͘ ͜ͱ͕Ͱ͖Δ. p, q Λແཧͱ͠, ลͷ͕͞ p ͱ q ͷ ํܗͷ໘ੵΛ µ ͱ͓͘. ༗ཧͷྻ {pn}, {Pn}, {qn}, {Qn} Ͱ pn≤ p ≤ Pn, qn≤ q ≤ Qn ͔ͭ limn→∞pn= limn→∞Pn= p, n→∞lim qn= limn→∞Qn = q Λຬͨ͢ͷ͕औΕΔ(༗ཧͷີੑ). ํܗͷେখ ൺֱʹΑΓ pnqn ≤ µ ≤ PnQn. ͜͜Ͱ n → ∞ ͱͨ͠ ۃݶΛऔΔͱ pq ≤ µ ≤ pq, ͢ͳΘͪ µ = pq Ͱ͋Δ. 5.2 ໘ੵͱੵͷؔ ߴߍͰ, (ຊߘͰݟͨΑ͏ʹ࣮໌֬ͳ֓೦ͱͯ͠ ఏࣔ͞Ε͍ͯͳ͍) ໘ੵͷ֓೦Λཱ֬ͨ͠ͷͱͯ͠, y = f (x) ͱ y = g(x) ͱ x = a ͱ x = b Ͱғ·ΕΔ෦ ͷ໘ੵ͕(ͨͩ͠ g(x) ≤ f(x) ͱ͢Δ) ∫ b a ( f (x)− g(x))dx ͰٻΊΒΕΔͱ͍͏આ໌Λ͍ͯ͠Δ. ͜͜Ͱ༻͍ΒΕΔ ͷ໘ੵͷੑ࣭(II) ͱ (IV) Ͱ͋Δ. ٯʹߴߍ·ͰͰݱ ΕΔΑ͏ͳ“ਤܗ” ʹؔͯ͠, ଌ·Ͱ࣋ͪग़ͣ͞ͱ , ͜ͷΑ͏ͳੵͰ໘ੵΛఆٛ͢Δͱ͍͏ͷ͕ 1 ͭͷ ౷ҰతͰ؆୯ͳํ๏Ͱ͋Δ. ͨͩ͠, ݱߦͷΧϦΩϡϥ ϜͰ, ੵΛఆੵ͔Βಋೖͤͣ, ඍͷٯԋࢉͱͯ͠ ෆఆੵΛಋೖ͠, ͔ͦ͜ΒఆੵΛఆ͍ٛͯ͠ΔͨΊ, ͜ͷํ๏Ͱ໘ੵͷఆ͕ٛ؍తʹ͔Γʹ͘͘ͳΔ ڪΕ͕͋Δ13.
